Vectores en física

VECTORES Y ESCALARESVECTORES Y ESCALARES

Tipos de Magnitudes:

Magnitudes escalares: Magnitudes vectoriales:

Son las que se caracterizan mediante números reales en escala adecuada

Tienen módulo, unidad y no poseen direcciónEjemplos: 30 ºC (temperatura), 50 Kg (masa), 2 horas (tiempo), etc.

Involucran un valor numérico y una dirección, de modo que no se pueden representar de forma completa por un número real.

Posee magnitud como dirección.

Se denota con una K.Ejemplos: Fuerza, velocidad, aceleración y desplazamiento.

Cuando una partícula se mueve de A a B a lo largo de una trayectoria arbitraria representado por una línea punteada, su desplazamiento es una cantidad vectorial indicada por la flecha dibujada de A a B


Vector: Es un segmento de recta orientado y dirigido, que tiene origen y un extremo.

Elementos:

A BORIGEN EXTREMO

Módulo

O F = 4 NwDirecciónPunto de aplicación Sentido

1.- Módulo: Queda representado por la longitud del segmento que contiene el vector que representa

2.- Punto de aplicación u origen: es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector representa.

3.- Dirección: representa la dirección de la recta que contiene al vector. Puede ser horizontal, vertical, inclinada.

Sentido: esta indicada por la punta de la flecha colocada al extremo del vector. Pueden ser: hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha.

Regla del triángulo: Para sumar un vector B al vector A, se dibuja primero el vector A, con su magnitud representada en una escala adecuada sobre un papel gráfico.

Luego se dibuja el vector B a la misma escala con su origen empezando desde el punto de A.

Finalizando uniendo el origen del A con el extremo B


Suma de Vectores: Cuando dos o más vectores se suman todas deben tener las mismas unidades”. Ejemplo: no se pude sumar un vector velocidad a un vector desplazamiento.

V + d no se puede realizar

Igualdad de Vectores: “Dos vectores A y B pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan

en la misma dirección”, es decir que:

A = B A = B

Reglas para sumar dos vectores por métodos geométricos:


Suma de varios vectores:

Si tenemos cuatro vectores A, B, C, D, realizar su suma

Regla de adición por el paralelogramo:

En esta construcción los orígenes de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es a diagonal de un paralelogramo formado con A y B como sus lados

Ley conmutativa de la suma:

A + B = B + A


Ley asociativa:

Si tres o más vectores se suman, su total es independiente de la manera como se agruparon los vectores individuales

Negativo de un vector:

El negativo de un vector A se define como el vector que al sumarse a A produce cero para la suma vectorial. Es decir A + (-A) = 0

Los Vectores A + (-A) tiene la misma magnitud pero apuntan en sentido opuesto

Sustracción de vectores:

La sustracción de vectores emplean la definición del negativo de un vector. Definimos la operación A - B como el vector –B sumando al vector A

A

-A


Descomposición y suma de vectores es su forma analítica:

El método geométrico de suma de vectores nos es muy útil cuando tratamos con vectores en tres dimensiones, inclusive en el caso de dos dimensiones a menudo es conveniente.

Otra forma de sumar vectores es de forma analítica, que implica descomponer vectores en sus componentes con respecto a un sistema coordenado.

A = Ax + Ay

Ax = A Cos tag = Ay / Ax

Ay = A Sen

= arctag Ay A = Ax2 + Ay2

Ax

Coordenadas polares:

x = r cos y = r sen

tag = y / x r = x2 + y2


Vector en tres dimensiones:

V = ( Vx, Vy, Vz )

Se puede realizar analíticamente y geométricamente, como:

Componentes geométricos: módulo y ángulo:

Módulo

Si tenemos el siguiente vector

Vz = V Cos Vx = V Sen Cos Vy = V Sen Sen

Z

X

Y

V = Vx2 + Vy2 + Vz2

Z

X

Y

V


Vector en tres dimensiones: Cuando descomponemos un vector en sus componentes algunas veces es útil introducir un vector de longitud unitaria en una dirección determinada.

Ejemplo: a a

Ua U = 1

Asi el vector a puede escribirse por ejemplo como:

a = Ua aA menudo es conveniente emplear vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas escogidos.En el sistema de coordenadas rectangulares ordinariamente se emplean los símbolos especiales i, j y k, para vectores unitarios en las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z respectivamente

ax i, ay j , az k Componentes Vectoriales

ax i, ay j , az k Cantidades Vectoriales


Operaciones de vectores:

Suma y Resta:

Va = ( Ax , Ay, Az)

Vb = (Bx , By, Bz)

Va + Vb = ( Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)

Va - Vb = ( Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)

Ejemplo:

V1 = ( 3, -2, 1) unidades

V2 = ( 4, 5, -3) unidades

V1 + V2 = ( 7, 3, -2) unidades

V1 - V2 = ( -1, -7, -4) unidades


Multiplicación de vectores:

Tipos:

1.- ESCALAR . VECTOR = VECTOR

2.- VECTOR . VECTOR = ESCALAR (PRODUCTO ESCALAR)

3.- VECTOR x VECTOR = VECTOR (PRODUCTO VECTORIAL)

Producto de un Vector por un escalar:

El producto de un escalar K por un vector A se escribe K.A y se define un nuevo vector

cuya magnitud es K, veces mayor que la magnitud de A.

y

y

Ay

Ax

A

K.AEjemplo:

4 ( 3, 5, -2 ) = ( 12, 20, -8 )

La velocidad es una magnitud vectorial, no alcanza con decir que se mueve un auto a 45 km/h. (eso es el módulo!!)

El auto puede venir hacia ti

O el auto puede alejarse de ti

En ambos casos la dirección es horizontal, pero el sentido es diferente. En el caso de arriba el sentido es hacia la derecha y en el de abajo es hacia la izquierda.

El módulo de la velocidad en ambos es de 45 km/h

La fuerza es una interacción entre por lo menos dos cuerpos. No alcanza con decir que Juan le hizo una fuerza de 400N a un auto….esa fuerza la puede ejercer en diferentes direcciones y sentidos!!

Siempre que estés hablando de una magnitud vectorial debes de dar;

- Módulo. - Dirección. - Sentido. - Punto de aplicación.

Ejercicio Un río fluye de sur a norte a 5.0 km/h.

En este río, una lancha va de este a oeste, perpendicular a la corriente, a 7.0 km/h. Vista por una águila suspendida en reposo sobre la ribera, ¿que tan rápido y en que dirección viaja la lancha?

En este momento puedes hacerte trampa y avanzar en la diapositiva, ES COMO HACERTE UNA TRAMPA AL SOLITARIO!!!!

Lo primero es realizar un bosquejo o dibujo de la situación.Toma un papel y un lápiz , lee la letra del ejercicio y realiza el bosquejo.

Lo primero es ubicar los puntos cardinales, en nuestro sistema de referencia.

Luego debemos de indicar la velocidad del agua y de la lancha.

Un río fluye de sur a norte a 5.0 km/h. La lancha va de este a oeste,

perpendicular a la corriente, a 7.0 km/h

Análisis: Mientras la lancha avanza hacia el oeste, el río la lleva levemente hacia el norte.

¿Cómo determinamos la velocidad de la lancha? Lo que debemos hacer es sumar los vectores de velocidad. La velocidad final

de la lancha es la suma de la velocidad del río más la velocidad de la lancha. A esa velocidad final los marinos la llaman velocidad de deriva.

En lenguaje de ecuaciones:

El río fluye de sur a norte a 5.0 km/h. La lancha va de este a oeste a 7,0km/h.

El resultado final NO es sumar 7,0km/h + 5,0km/h …. ESTOS SON VECTORES!!!!!!!!!!!!!!!!! Tienen módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.LEER CONCEPTO DE VECTOR RESULTANTE

Trazamos las paralelas a cada uno de los vectores.

Luego desde el punto de unión de los vectores trazamos un vector sobre la diagonal, hasta la intersección de las paralelas trazadas anteriormente.

Ese es el vector resultante (Velocidad de deriva)de sumar la velocidad de la lancha con la velocidad del río.

Ahora vamos a determinar el módulo de esa velocidad de deriva….

Queremos obtener el módulo del vector resultante, para eso miremos el dibujo una vez más y observemos que hay dos triángulos rectángulos. Como tenemos triángulos rectángulos podemos usar al teorema de Pitágoras y determinar el módulo (valor) de la velocidad de deriva. Elegimos un triángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras.

Nosotros eligiremos el triángulo gris.

El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos al cuadrado. En una ecuación:

Observando nuestro dibujo los catetos son las velocidades del río y de la lancha, y la hipotenusa es la velocidad de deriva. Por lo tanto sustituyendo esto, obtenemos;

Ahora conocemos el módulo de la velocidad, pero como la velocidad es una magnitud vectorial debemos de determinar la dirección y sentido.

Esto se hace calculando el ángulo respecto a la horizontal, o sea el ángulo comprendido entre la velocidad de deriva y la velocidad de la lancha. (en nuestro triángulo gris)

Para eso utilizamos trigonometría y denominamos al ángulo con la letra “tita” (letra griega) ϴ.

La velocidad de deriva es de 8,6 km/k a 35,5° hacia el norte respecto del oeste.(horizontal).

Los marinos acostumbran a dar el ángulo respecto del norte.

Estaba tranquilo en la playa, hasta que ve a un joven en peligro.

Antes de entrar al agua observa la situación:

La corriente tiene una velocidad de 0,50m/s hacia el este y el guardavidas nada a una velocidad de 1,5 m/s

¿Desde qué posición (A,B o C)debe de entrar al agua el guardavidas?

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