Upload
gage-bauer
View
57
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
VEDISK MATEMATIK en översikt. Thomas Dahl Högskolan Kristianstad [email protected]. VEDA-SKRIFTERNA. 4 böcker 2000BC – 500 AC Rigveda , Samaveda , Yajurveda , Atharvaveda Innehåller Sulbasutras, innehåller en del märklig matematik. Nyupptäckt (?) Vedisk Matematik. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
VEDISK MATEMATIKen översikt
Thomas Dahl Högskolan [email protected]
VEDA-SKRIFTERNA
• 4 böcker 2000BC – 500 AC• Rigveda, Samaveda, Yajurveda, Atharvaveda• Innehåller Sulbasutras, innehåller en del
märklig matematik.
Nyupptäckt (?) Vedisk Matematik
Jagadguru Sankaracarya Sri Bharati Krsna Tirtha Maharaja (1884 – 1960)
VM slår igenom 1965 Tirthajis bok ges ut. 1967 Sgt Pepper kommer ut 65-75 Intresset för indisk religion, mystik och TM växer i
västvärlden . Genom tre engelska ”entusiasters” försorg spreds VM till lärarkretsar och till folk med intresse för matematik.
Ken Williams1946 -
Andrew Nicholas1946 -
Jeremy Pickles1946 - 2006
Urdhva multiplikation 2 siffror3 4
x 5 2
4 x 2 = 83 x 2 + 5 x 4 = 2 6 ; skriv 6 ; 2 i minne3 x 5 = 1 5 ; 2 + 1 5 = 1 7
861 7
3 4
x 5 23 x 5 = 1 5 ; skriv 1 ; 5 i minne3 x 2 + 5 x 4 = 2 6 ; 2 + 5 = 7 Skriv! 6 i minne4 x 2 = 0 8; 0 8 + 60 = 6 8 skriv 6 8
861 7
By one more than the one before.
All from 9 and the last from 10.
Vertically and Cross-wise
Transpose and Apply
If the Samuccaya is the Same it is Zero
If One is in Ratio the Other is Zero
By Addition and by Subtraction
By the Completion or Non-Completion
Differential Calculus
By the Deficiency
Specific and General
The Remainders by the Last Digit
The Ultimate and Twice the Penultimate
By One Less than the One Before
The Product of the Sum
All the Multipliers
Proportionately
The Remainder Remains Constant
The First by the First and the Last by the Last
For 7 the Multiplicand is 143
By Osculation
Lessen by the Deficiency
Whatever the Deficiency lessen by that amount andset up the Square of the Deficiency
Last Totalling 10
Only the Last Terms
The Sum of the Products
By Alternative Elimination and Retention
By Mere Observation
The Product of the Sum is the Sum of the Products
On the Flag
Sutra-lista Sub-sutra-lista
Merk Monstret ! 3 2 4 3 2 4 x 5 1 3 x 5 1 3 1
12 11 2
3 2 4 3 2 4 x 5 1 31 x 5 1 33
32 1 2 16 2 7 2
3 2 4 x 5 1 3 1
1 5 6 2 7 2
OPPGAVER:A) 112·203 B) 123·131 C) 203 ·432D ) (x+3)(x+5) E) (2x-5)(4x+3)
SVAR: a) 22736 b) 1611 c) 878696 d) x² + 8x + 15 e) 8x² -14x - 125
Ekvationen foer en rak linie
(-5 , 3)
(-2 , 2)
…med Urdhva Sutra - 5 3
2 -2
(-5- 2) ·y - (3-(-2)) · x = (-5)·(-2) – 2·3
-7 y - 5x = 4
OPPGAVER: Søk ekv. For en rak linie mellan:A) (-3,7) og (6,-5) B) (-1,-6) og (6, 1) C) (a,b) og (c,d)SVAREN: A) 3y + 4x = 9 B) y – x = -5 C) (a-c)y– (b-d)x = ad - bc
Negativa siffror (!)
aa Talet 1 3 8 2 9 1 ska tolkes som 1·105+ (-3)·104+ (-8)·103+(-2)·102+ (-9)·101+ (-1)Detta kan omskrivas så här: 100 000 – (3 8 2 9 1) = 6 1 7 0 9 För att snabbt konvertera 1 3 8 2 9 1 till vanlig form kan man använda NIKHILAM SUTRA Vilket kan översättas med ”Alla från 9 & den sista från 10”. Att man ska minska siffran före en ”bar-siffra” med ett får man fatta själv. Alltså: 1-1=0, 9-3 = 6, 9-8=1, 9-2=7, 9-9=0, 10-1 = 9 Talet 61709 kan skrivas om på flera sätt: 6 2 2 1 1 är ett exempel Problem: a) skriv om 61709 på två sätt till.
b) på hur många sätt kan talet skrivas
Mer oppgaver• Konverter till Vanlig form.• a) 614 b) 423 c)222• d) 9283 e) 612 f) 706• g) 7333 i) 71031
• Berekna med urdhva sutra:• 423 x 612 • Merk att 3x2 = 6• Merk negative
minnessiffror!
a)594 b)383 c)182d) 8877 e) 588 f)) 694g) 6667 h) 68971
4 2 36 1 2
2 3 15 12 1 6
Svaret konverterat till vanlig form: 2 2 4 2 0 4
NIKHILAM MULTIPLIKATIONBasen = 100; 88-100 = 1293-100 = 07
12 · 7 = 84
Korsvis: 88 + 7 = 81 Eller: 93 + 12 = 81
Basen=1000
1 1 2 3 1 2 3 1123-1000 9 9 2 0 0 8 992-1000
9 8 4 123·008 1 1 2 3 1 2 3 1123 + 008 =
1115 9 9 2 0 0 8 992 + 123 =
1115 1 1 1 5 9 8 4
Båda under basen En över och en under basen
1115984 = 1114016
Skriv om resultatet med enbart positiva siffror !
oppgaver
• 1) 97 · 98 2) 87 · 93 3) 106 · 114• 4) 106 ·116 5) 106·118 6) 988 · 985• 7) 1014 · 1030 8) 1015 · 988
• Facit: Kalkylatorn
KVIFOR FUNKAR NIKHILAM MULTIPLIKATION ?
1 2
4 5
Resonemanget er giltig for fallet ”båda faktorer er under basen”Det finns ju to fall mer. Resonemangen er analoga med detta
93 7
88
12
93 7
88
12
8800
93 7
88
12
8100
8484
93 7
88
12
8184
Den her må vi
komputera
93 7
88
12
700
3
By one more than
the one before
• Kvadrera tal som slutar på 5
• 65² =• 125² =• Samma tiotal, entalssiffrorna har summa 10
• 63·67 =• 192·198
7·6 ; 5·5
13·12 ; 5²
7·6 ; 3·7
20·19 ; 2·8
= 4225= 15625
= 4221= 38016
Litt å pille med kansje ?
A: 35² =B: 29·21= C: 29·31 =D: 65² - 35² =
Vi tar en ny tur med samme sutra
205,019
111
By one more than 1 alltså by 2
2 går i 1 (teljeren) 0 gånger
1 i minnet. Skriv ned!
2 går i 10 5 gånger. Skriv 5
2 går i 5 2 gånger ; 1 i minnet
2 går i 12 6 ganger etc. etc etc.
Nå må dere putte ner 1/19 i decimal form med 21 decimaler !
,019
1
0,019
11
05,019
11
0,105126311151718 914 71316 8 4 2 110 5121/19 =
9-punkts cirkeln1/19 = 0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0
90
1
2
4
3
7
6
5
8
11/19 = 0, 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5
Halva vegen ? Efter 9 decimaler.
0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1
0, 9 9 9 9 9 9 9 9 9
OPPGAVER
49
35
7
5
29
17
Integraler också !
dxuvvudxvuFormel
dxexI x
:
1 22
Med urdhva sutra att stole på kan vi lage det mer ratsjonellt:
x
x
x
x
e
e
ex
dxex
281
241
221
22
0
2
2
1
xxxx eexexdxex 2812
412
21222 2211
OPPGAVER
dxxx
dxxx
dxex x
)ln(
sin
33
2
5
Ja det var det• Detta var bara en del av det som idag kallas Vedisk
matematik.• Jag ser att jag har ”missat” flera intressanta delar• Jag rekommenderar Kenneth Williams böcker.• Titta på hemsidan för vedic mathematics academy:
www.vedicmaths.org• Där kan du beställa böcker • samt laera dig er om Vedisk matematik och se andra
intressanta tillempningar.
23-04-20 22
Tack för mig
T A K K F O R M E G
Bonusbild:Om samukajan er like så er den null
Ett speciellt sutra som kan brukes når forskellige symmetrier er til stedes
)(
)(
)(
)(
xD
xC
xB
xA
Om A(x) + C(x) = B(x) + D(x), så gäller:Rotterna till ekv: A(x) + C(x) = 0 är också rotter till: (om inte B(x) eller D(x) är noll för dessa x)Rotterna till A(x) – B(x) = 0 är också rotter tillSamma rationella ekvation, omBeloppet av A(x) - B(x) = Beloppet av C(x) – D(x).
162
9
4
32
x
x
x
x
En lösning: 3x – 12 = 0 alltså x = 4En annan lösning x – 7 = 0 alltså x = 7
Finn rotterne till ekv:
Villkoren är uppfyllda for ekvationenSamukajametoden kan brukes.