Vejledning til prøverne i faget matematik · PDF fileHjælpemidler og it ... i matematiske færdigheder vil rumme flest opgaver, ... kan med fordel løses ved hjælp uformelle metoder

Vejledning til prøverne

i faget matematik

Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen

Center for Prøver, Eksamen og Test

Marts 2014

Side 2 af 97

Indhold

Forord ................................................................................................................................................................ 4

1. Indledning ...................................................................................................................................................... 5

Prøvernes forskellige dele ......................................................................................................................... 5

2. FSA ................................................................................................................................................................. 9

2.1 Generelt om prøven ................................................................................................................................ 9

2.2 Matematiske færdigheder ..................................................................................................................... 10

2.2.1 Vurdering af besvarelser i matematiske færdigheder .................................................................... 11

2.2.2. Endelig karakterfastsættelse ......................................................................................................... 12

2.3 Matematisk problemløsning ................................................................................................................. 12

2.3.1 Prøveoplægget ............................................................................................................................... 12

2.3.2 Hjælpemidler .................................................................................................................................. 13

2.3.3 Formelsamling ................................................................................................................................ 14

2.3.4. Anvendelse af computer ............................................................................................................... 14

2.3.5. Kommunikation ............................................................................................................................. 15

2.3.6. Elevens aflevering af sin besvarelse .............................................................................................. 17

2.3.7. Vurdering af besvarelser i matematisk problemløsning ............................................................... 18

2.3.9. Karakterfastsættelse ..................................................................................................................... 24

2.4. Mundtlig gruppeprøve.......................................................................................................................... 25

2.4.1. Tekstopgivelser .............................................................................................................................. 26

2.4.2. Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg .......................................................................... 26

2.4.3. Prøveoplæg .................................................................................................................................... 28

2.4.4. Hjælpemidler og it ......................................................................................................................... 37

2.4.5. Prøvens forløb ............................................................................................................................... 38

2.4.6. Vurderingskriterier ........................................................................................................................ 38

2.4.7. Endelig karakterfastsættelse ......................................................................................................... 43

3. FS10 ............................................................................................................................................................. 45

3.1. Generelt om de to dele af prøven ........................................................................................................ 45

3.2. Den skriftlige prøve .............................................................................................................................. 46

3.2.1. Hvad adskiller prøven fra FSA ........................................................................................................ 46

3.2.2. Prøveoplægget .............................................................................................................................. 46

3.2.3. Hjælpemidler ................................................................................................................................ 47

Side 3 af 97

3.2.4. Formelsamling .............................................................................................................................. 47

3.2.5. Anvendelse af computer ............................................................................................................... 48

3.2.6. Kommunikation ............................................................................................................................. 48

3.2.7. Elevens aflevering af sin besvarelse .............................................................................................. 51

3.2.8. Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik .............................................................................. 52

3.2.9. Karakterfastsættelse ..................................................................................................................... 57

3.3. Den mundtlige gruppeprøve ................................................................................................................ 58

3.3.1. Generelt om den mundtlige prøve ............................................................................................... 58

3.3.2. Prøveform A ................................................................................................................................... 59

3.3.3. Prøveform B ................................................................................................................................... 79

4. Vejledning af eleverne før de skriftlige prøver ............................................................................................ 96

5. Lærernes forberedelse og undervisning ...................................................................................................... 97

Side 4 af 97

Forord

§ 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det enkelte fag.

Prøvebekendtgørelsen

Formålet med denne vejledning er at præcisere og uddybe de prøvekrav, der stilles i prøvebekendtgørel-sen, og at tydeliggøre den sammenhæng, der er mellem prøvebekendtgørelsen og folkeskolens formål, fagets formål, de centrale kundskabs- og færdighedsområder, slut- og trinmål samt den vejledende læse-plan.

Ifølge folkeskolelovens § 18, stk. 4, skal lærer og elev løbende samarbejde om fastlæggelse af målene for elevens arbejde, og undervisningsformer, metoder og stofvalg skal i videst muligt omfang foregå i samar-bejde mellem lærer og elever. Denne paragraf skal naturligvis ses i lyset af såvel den overordnede formåls-bestemmelse samt formålet for faget matematik, de centrale kundskabs- og færdighedsområder og trin- og slutmål.

Kravene i faget matematik, som de er beskrevet i Fælles Mål 2009 og prøvebekendtgørelsen, er grundlaget for tilrettelæggelsen af prøven i matematik. Ifølge folkeskolelovens § 18, stk. 3 skal undervisningens ind-hold fastlægges således, at kravene ved prøverne i de enkelte fag kan opfyldes.

Eleverne skal inden prøven orienteres om prøvekravene og vurderingskriterierne, og om hvordan prøver-nes enkelte dele foregår.

Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen

Center for Prøver, Eksamen og Test

Side 5 af 97

1. Indledning

Prøven efter 9. klasse (FSA) og prøven efter 10. klasse (FS10) består hver især af både en skriftlig og en mundtlig del.

Den mundtlige del af prøven er en gruppeprøve bl.a. fordi:

Gruppeprøver er en vigtig øvelse i samarbejde og faglig sparring, som afspejler den virkelighed, eleverne blandt andet vil møde i deres videre uddannelse og på arbejdsmarkedet. Evnen til at samarbejde og få det optimale ud af mødet mellem forskellige kompetencer er et naturligt krav i dagens virkelighed. Gruppear-bejde, dialog og idéudveksling er derfor væsentlige elementer i en virkelighedsnær undervisning.

Gruppeprøven giver eleverne mulighed for gennem diskussioner at behandle matematiske problemstillin-ger i en proces, hvor den enkelte elevs besiddelse af matematiske kompetencer og arbejdsmåder kan vur-deres.

Desuden er samarbejde nævnt i tre af trinmålene efter 9. klasse i matematiske arbejdsmåder:

arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i pro-jektorienterede forløb

arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde

give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.

Fælles Mål 2009

Selv om der i en del år ikke har været en mundtlig prøve i matematik efter 9. klasse, har det mundtlige ar-bejde i faget hele tiden været en del af både slut- og trinmål, og eleverne har hele tiden fået standpunkts-karakterer i mundtlig matematik i 8. og 9. klasse.

Gruppeprøven efter 9. klasse er i sin form som den tidligere gruppeprøve fra 1997, men indholdet er delvist anderledes, da prøverne skal evaluere elevernes opfyldelse af Fælles Mål 2009. Det er de matematiske kompetencer og matematiske arbejdsmåder, eleverne prøves i. De otte matematiske kompetencer blev beskrevet første gang i faghæftet i 2003 og blev i Fælles Mål 2009 et af de fire centrale kundskabs- og fær-dighedsområder (CKF) og dermed en central del af mål og indhold i matematikundervisningen.

Den mundtlige prøve efter 10. klasse er ligeledes en gruppeprøve, både prøveform A og B. Begge prøve-former skal ligesom i 9. klasse prøve eleverne i matematiske kompetencer og matematiske arbejdsmåder.

Prøvernes forskellige dele

Den skriftlige del af FSA er en obligatorisk og bunden prøve og består af to dele:

matematiske færdigheder af en times varighed og med en selvstændig karakter

matematisk problemløsning af tre timers varighed og med en selvstændig karakter.

Den mundtlige del af FSA er til udtræk i gruppen af naturfag sammen med geografi og biologi. Det betyder, at eleverne i cirka hver tredje 9. klasse skal aflægge prøve i mundtlig matematik.

FS10 prøven er frivillig og består af en skriftlig og en mundtlig del med hver sin karakter.

Side 6 af 97

Alle prøverne tager udgangspunkt i Fælles Mål 2009. De enkelte delprøver skal prøve eleverne i noget for-skelligt og knytter derfor an til forskellige elementer af Fælles Mål.

For at anskueliggøre, hvad de tre forskellige prøver i FSA skal kunne vurdere, kan der tages udgangspunkt i Jan de Langes Assessment Pyramide. Den vises herunder i oversat og bearbejdet form:

Vurderingspyramiden

Pyramiden illustrerer tre forskellige niveauer af matematisk tænkning, som kan bruges til at kategorisere de

mål, vi knytter til matematikundervisningen. Det laveste niveau vedrører viden om objekter, definitioner,

tekniske færdigheder og algoritmer. Det mellemste niveau sigter på sammenhængen mellem flere begre-

ber eller procedurer, og det højeste niveau sigter på komplekse former for matematik, fx problemløsning,

matematisk argumentation, modellering og generalisering. Inden for hvert niveau kan målene have forskel-

lige sværhedsgrader - se de følgende eksempler.

Det skal understreges, at pyramiden ikke skal forbindes med selve matematikundervisningen. Fx skal den ikke antyde en progression i elevernes udvikling af matematisk kunnen eller en fordeling af arbejdsmæng-den indenfor de tre forskellige niveauer af tækning. Pyramiden kan til gengæld bruges til at belyse relatio-nen mellem de tre dele af folkeskolens afgangsprøve i matematik.

FSA-prøven i matematiske færdigheder vil rumme flest opgaver, som er rettet mod niveau 1 og få opgaver, som er rettet mod niveau 2. Matematisk problemløsning har flest opgaver på niveau 2 med enkelte opga-ver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve skal vise elevernes viden og kunnen på niveau 3. Her er det de matematiske kompetencer og arbejdsmåder, der skal udgøre indholdet. De er temmelig vanskelige at prøve i de skriftlige prøver og passer bedst som hovedindhold i en mundtlig prøve.

Side 7 af 97

Ved FS10 vil den skriftlige prøve ligeledes have hovedparten af opgaverne på niveau 2 og et mindre antal opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve vil som ved FSA prøve eleverne på niveau 3, matematiske kompetencer og arbejdsmåder.

Eksempler fra FSA 2012

Niveau 1, reproduktion af viden og færdigheder

Eksemplerne er fra prøven i matematiske færdigheder.

Let

Middel

Svær

Niveau 2, sammenhænge mellem begreber eller procedurer

Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning.

Let

Side 8 af 97

Middel

Svær

Niveau 3, komplekse former for matematisk virksomhed

Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning.

Middel

Side 9 af 97

Svær

Der vil være to eksempler på mundtlige prøveoplæg på niveau 3 i afsnittet om den mundtlige prøve.

2. FSA

2.1 Generelt om prøven

Folkeskolens afgangsprøve indeholder en skriftlig del med to prøver og en mundtlig del med en prøve:

Matematiske færdigheder, der er skriftlig og bunden

Matematisk problemløsning, der er skriftlig og bunden

Mundtlig gruppeprøve til udtræk.

Side 10 af 97

De to skriftlige prøver afholdes i forlængelse af hinanden og varer henholdsvis en time og tre timer. Den mundtlige prøve varer to timer. I særlige tilfælde kan en elev undtages fra en eller flere af prøvens tre dele. Det sker efter reglerne i prøvebekendtgørelsen:

§ 14. Skolens leder skal tilbyde særlige prøvevilkår til elever med psykisk eller fysisk funktionsnedsættelse eller med andre specifikke vanskeligheder, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen. Det er en forudsætning, at der med tilbuddet ikke sker en ændring af prøvens faglige ni-veau. Stk. 2. Beslutningen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og forældrene. § 15. Elever, for hvem prøveaflæggelse på grund af betydelig funktionsnedsættelse eller utilstrækkelige danskkundskaber ikke skønnes hensigtsmæssig, kan fritages for at aflægge folkeskolens obligatoriske af-gangsprøver. Fritagelse kan omfatte en eller flere prøver eller delprøver. Stk. 2. Beslutningen om fritagelse forudsætter, at der er taget stilling til, om eleven vil kunne aflægge prøve på særlige vilkår, jf. § 14. Der skal samtidig tages stilling til, hvordan elevens udbytte af undervisningen eva-lueres på anden vis. Stk. 3. Beslutningen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og forældrene.


De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission beskikket af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne i prøveoplægget ud fra Fælles Mål 2009 og øvrige gældende regler. Prøveoplæggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere.

Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgiver ikke facitlister til de to skriftlige prøver. Det skyldes bl.a.:

at der i færdighedsprøven kan forekomme flere resultater, der kan anses for korrekte

at der i problemløsning skal bedømmes meget andet end facit.

Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne resultater, kan man deltage i et af de mange evalueringsmø-der, der afholdes over hele landet i ugerne efter prøven, eller man kan følge med i diskussionerne om af-gangsprøverne på SkoleKoms konference for matematiklærere.

Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års afgangsprøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på www.ktst.dk.

2.2 Matematiske færdigheder

2.3. Til besvarelsen af prøven i matematiske færdigheder gives der 1 time. 2.4. Der prøves i de matematiske emner: – Tal og algebra, – geometri, – statistik og sandsynlighed samt – enkel anvendelse af matematik. 2.5. Som hjælpemidler må der alene benyttes skrive- og tegneredskaber, dog ikke elektroniske. 2.6. Der gives én karakter.


Side 11 af 97

Prøven i matematiske færdigheder varer en time og indeholder 50 opgaver. Under prøven må eleven kun anvende skriveredskaber og tegneredskaber som for eksempel passer, lineal og vinkelmåler. Eleverne må selv vælge skriveværktøj.

Alle færdighedsområder fra Fælles Mål 2009’s slutmål og trinmål efter 9.klasse kan indgå i prøven. Der prø-ves i de matematiske emner: Tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed samt i enkel anvendelse af matematik, som tilsammen dækker de to centrale kundskabs- og færdighedsområder: Matematiske emner og matematik i anvendelse. De fleste opgaver er på vurderingspyramidens niveau 1 med forskellige svær-hedsgrader, og enkelte opgaver er på niveau 2.

De fleste opgaver vil være traditionelle opgavetyper inden for et bredt udvalg af matematiske færdigheder. Det er dog ikke alle faglige områder inden for matematiske færdigheder, der prøves hvert år.

En stor del af opgaverne kan med fordel løses ved hjælp uformelle metoder fx hovedregning og noter frem for standardiserede algoritmer og metoder.

Kun løsninger på det udleverede ark vurderes. Der må kun være et svar på hver opgave, medmindre der kræves flere.

2.2.1 Vurdering af besvarelser i matematiske færdigheder

Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes ma-tematiklærer. I vurderingen af elevens besvarelse ses alene på det resultat, der er anført. Løsningsmetoder og eventuelle mellemregninger er derfor uden for bedømmelse med mindre, der spørges om dette. Har en elev givet to forskellige svar på samme opgave, skal opgaven vurderes som forkert, hvis det ene svar er korrekt.

Hver opgave, der er rigtigt besvaret, tildeles et point. Senest to uger efter prøvens afholdelse vil Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen offentliggøre en omsætningstabel, som angiver karakteren for de forskellige pointinter-valler. Der gives én karakter for prøven.

Opgaveløsningerne vil ofte være entydige, men en del opgaver vil have flere løsningsmuligheder. Entydige resultater kan tit skrives på flere måder, der alle må anerkendes som korrekte.

Eksempel: Reduktion af udtrykket: 6b + 3 ∙ (8a – 2b) – 2b. Følgende resultater skal alle betragtes som rigti-ge:

24 ∙ a – 2 ∙ b ; 24a – 2b ; -2 ∙ b + 24 ∙ a ; -2b + 24a ; -b ∙ 2 + a ∙ 24 ; a ∙ 24 – b ∙ 2

Opgaver af nedenstående type kræver et resultat med anvendelse af variable, som dog ikke kræves reduce-ret til korteste form:

Side 12 af 97

Medmindre der er stillet krav om en bestemt notationsform (for eksempel “skriv som decimaltal”), må det accepteres, at samme resultat kan angives på forskellige måder. Det betyder for eksempel, at brøker ikke nødvendigvis skal forkortes eller om muligt omregnes til blandet tal, og at resultatet kan opgives som brøk, decimaltal eller procenttal.

I forbindelse med tegning af geometriske figurer og lignende accepteres en vis usikkerhed. Ved måling på tegninger og aflæsning af grafer og diagrammer kan resultater inden for et passende interval godkendes.

Hjælp til vurderingen af elevbesvarelser kan hentes flere steder. Ud over de før nævnte evalueringsmøder og SkoleKom-konferencen, kan evalueringen af tidligere års afgangsprøver være anvendelige. Disse såkald-te PEU-publikationer, kan findes på www.ktst.dk.

2.2.2. Endelig karakterfastsættelse

Karakteren gives ud fra omsætningstabellen. Den endelige karakter gives efter en drøftelse mellem elever-nes faglærer og den beskikkede censor. Da faglærer og censor retter og bedømmer både matematiske fær-digheder og matematisk problemløsning, beskrives de nærmere regler i afsnit 2.3.8.

2.3 Matematisk problemløsning

2.7. Til besvarelsen af prøven i matematisk problemløsning gives der 3 timer. 2.8. Der prøves i – anvendelse af matematik til behandling af problemer fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og – behandling af matematiske problemstillinger. 2.9. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matemati-ske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, be-skrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. 2.10. Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling. 2.11. Der gives én karakter.


2.3.1 Prøveoplægget

Prøven i matematisk problemløsning varer tre timer, og der gives en karakter.

http://www.ktst.dk/

Side 13 af 97

Et prøveoplæg består et antal opgaver, der indeholder et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, mens et mindre antal er på niveau 1 og 3.

De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra dagligliv, samfundsliv og/eller naturforhold, mens et mindre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng. Der vil være både åbne og lukkede opgaver.

De kontekster, der vælges til de skriftlige afgangsprøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de er “i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold” (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle elever har et forhånds-kendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uaf-hængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden.

Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i afgangsprøven.

Et prøvesæt i matematisk problemløsning vil indeholde både tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at understøtte læsningen og forståelsen af opgaverne.

Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindel-se med matematiske begreber og problemstillinger, og efterfølgende kan anvendes i kommunikationen af problemløsningen.

Elever med særlige behov

For elever med særlige behov er der mulighed for at tage folkeskolens afsluttende prøver på særlige vilkår. Disse beskrives i prøvebekendtgørelsens bilag 5 og i ”Vejledning om fravigelse af bestemmelserne ved fol-keskolens afsluttende prøver”, som begge kan findes på www.ktst.dk. Der er også mulighed for at bestille specielt fremstillede prøvesæt hos Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. For elever, der af forskellige årsager ikke kan gennemføre en eller flere af folkeskolens obligatoriske prøver, er der mulighed for fritagelse, se prøve-bekendtgørelsens bilag 6.

2.3.2 Hjælpemidler

2.10. Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling.


Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, mobiltelefon, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen § 10: “Skolens leder skal sikre, at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet.” Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres mobiltelefon som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler osv.

http://www.ktst.dk/

Side 14 af 97

Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortro-lige med og vil have brug for og glæde af i en tretimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få.

2.3.3 Formelsamling

Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens formelsamling kan findes på www.ktst.dk.

Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens afsluttende prøver i mate-matik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at blive fortrolig med dens indhold og opbygning.

Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden ek-sempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål 2009, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de ma-tematiske emner.

I forordet til formelsamlingen står der til eleverne:

”På højresiderne kan du bl.a.:

skrive formlerne i den form, du er mest fortrolig med

skrive dine egne eksempler på, hvordan formlerne bruges

skrive andre formler, du mener, du kan få brug for.”

2.3.4. Anvendelse af computer

Eleverne må anvende computer ved prøven med den begrænsning, der fremgår af prøvebekendtgørelses § 11 Stk. 2. “Skolens leder kan beslutte at begrænse adgangen til at anvende elektroniske hjælpemidler, her-under medbragte elektroniske hjælpemidler, hvis det er nødvendigt af kapacitetsmæssige grunde.” Ligele-des skal skolen leder sikre, at den ovenfor citerede § 10 overholdes.

Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende, idet skolen sikrer, at der i det medbragte ikke findes programmer, der sætter eleven i stand til at kommunikere utilsig-tet.

Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpe-midler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysnin-ger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke un-der prøven benytte adgangen til e-mail, SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere eller tablets, mobiltelefoner eller smartphones.

Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne.

Side 15 af 97

Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens navn og nummer. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstæn-dige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet.

Implementeringen af Fælles Mål 2009 har bl.a. medført, at flere og flere af opgaverne i den skriftlige prøve, matematisk problemløsning med fordel kan løses ved hjælp af it. De skriftlige prøver i matematik giver des-uden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver, eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skriftlige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et dokument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveop-læggene, som fremsendes af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen.

Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram.

2.3.5. Kommunikation

2.9. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matemati-ske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, be-skrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken.


Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsenaf besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven Matematiske færdigheder. Opgaveløsningen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende

Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonneopstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunike-res mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, og der må meget gerne være en variation i kommunikationen.

Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA maj 2012:

Opgave 1.2

Simons timeløn er 55,35 kr. og han forventer at tjene 24 000 kr. i 2012. Hvor mange timer skal han arbejde i 2012?

Simon skal arbejde ca. 434 timer

Side 16 af 97

Opgave 1.4

Undersøgelse af Simons årsløn, hvis hans skattepligtige indkomst skal være 32200 kr., når beskæftigelses-fradraget er 4,4 % og arbejdsmarkedsbidraget er 8 %.

Jeg bruger målsøgning i et regneark:

Årsløn kr. 36.757,99

Beskæftigelsesfradrag kr. 1.617,35

Arbejdsmarkedsbidrag kr. 2.940,64

Skattepligtig indkomst kr. 32.200,00

Simons årsløn kan højst være ca. 36 758 kr.

Opgave 4.4

A og D er forkerte. A er forkert, fordi der er en parentes, som gør, at noget bliver regnet sammen, før end det er meningen. D er forkert, fordi de sidste 0,25 kommer med i brøken, hvor de ikke hører hjemme.

Opgave 6.3 - 6.5

Opgaven er løst i programmet GeoGebra.

Side 17 af 97

Det er ikke god kommunikation, hvis eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med.

2.3.6. Elevens aflevering af sin besvarelse

Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestemt farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afle-veret ark indeholder følgende oplysninger:

elevens navn

elevens nummer ifølge karakterlisten

skolens navn

prøvens og opgavens art

klasse eller hold

arknummer og det samlede antal ark.

Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Det er således ikke den enkelte side, der skal nummereres.

Eleven afgør selv, hvilke ark der skal indgå i besvarelsen, og som afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af:

håndskrevne ark

udskrevne ark fra computer

tegninger og grafer på specialpapir

udfyldte svarark.

Side 18 af 97

Det er vigtigt, at eleven sikrer sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Anvendes digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse.

Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere:

at alle identifikationsoplysninger er på besvarelsen

at antallet af ark svarer til det i felterne noterede

at arkene er fortløbende nummereret

at eleven har underskrevet første side af besvarelsen.

Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse.

2.3.7. Vurdering af besvarelser i matematisk problemløsning

Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes ma-tematiklærer.

Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hver delopgave i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på www.ktst.dk dagen efter prøvens afholdelse. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til ”svære” opgaver end til ”lette”.

Pointfordelingen skal hjælpe censor og faglærer til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse.

En del opgaver i matematisk problemløsning har ikke et resultat eller en bestemt metode, der skal bedøm-mes. Det kan fx være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder.

Der er i matematisk problemløsning i modsætning til matematiske færdigheder krav om en vis grad af for-klaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsme-toden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende.

Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder blandt andet i kommunikationen.

Eksempler:

Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster.I opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af reg-nearket.

Side 19 af 97

Fra FS10 maj 2010

Fra FS10 maj 2012

Lån 10.000,00 kr.

Rente 2,12% pr. måned

Ydelse 1.000,00 kr. pr. måned

Antal må-neder

Rente-tilskrivning Ydelse Saldo

0 10.000,00

1 212,00 1.000,00 9.212,00

2 195,29 1.000,00 8.407,29

3 178,23 1.000,00 7.585,53

4 160,81 1.000,00 6.746,34

5 143,02 1.000,00 5.889,36

6 124,85 1.000,00 5.014,22

Side 20 af 97

7 106,30 1.000,00 4.120,52

8 87,36 1.000,00 3.207,88

9 68,01 1.000,00 2.275,88

10 48,25 1.000,00 1.324,13

11 28,07 1.000,00 352,20

12 7,47 1.000,00 -640,33

Lånet er tilbagebetalt efter 11-12 måneder

Lån 7.348,48 kr.


Ydelse 700,00 kr. pr. måned

Antal må-neder


0 7.348,48

1 155,79 700,00 6.804,26

2 144,25 700,00 6.248,51

3 132,47 700,00 5.680,98

4 120,44 700,00 5.101,42

5 108,15 700,00 4.509,57

6 95,60 700,00 3.905,17

7 82,79 700,00 3.287,96

8 69,70 700,00 2.657,67

9 56,34 700,00 2.014,01

10 42,70 700,00 1.356,71

11 28,76 700,00 685,47

12 14,53 700,00 0,00

De kan låne 7348 kr.

Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram an-vendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning.

Side 21 af 97

Fra FSA maj 2012

Pointtildeling

Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat

beskriveren korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv.

bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogrameller et CAS-program til at finde løs-ningen på en stillet opgave.

har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og di-agrammer

gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder for eksempel ved beregning, at dette facit er en korrekt løsning

løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekteresultater fra en tidligere opga-ve.

Point kan tildeles, når eleven

har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter

Side 22 af 97

delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer

har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignen-de. Antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter

har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignendeud fra en vurdering af fej-lens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven.

Ingen point gives, når

opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer

eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mel-lem to eller tre mulige løsninger.

Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse

Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende aspekter af kommunikations- og symbolbehandlingskompetencen:

Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar?

Har eleven anvendt særligt gode løsningsmetoder?

Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn?

Er resultatet skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne?

Er der et passende antal decimaler?

Er der afrundet korrekt?

Er store tal skrevet på læsevenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller 27 300 000 000 kr. frem for 27300000000 kr.

Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at orientere sig i?

Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtals-separator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +, - , ∙ og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i hånd-skrift og i print fra en computer. Det bør normalt ikke medføre fradrag i pointtildelingen. Ved anvendelse af mere avancerede programmer ser det ud til, at man uden stort besvær kan skrive, som det er almindeligt i Danmark, dog ikke i de fleste geometriprogrammer.

Karakterfastsættelse

Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen i den såkaldte rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter.

Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger point-tallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen og sym-bolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02.

Som en hjælp til den afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bringes de vejledende karakterbeskri-velser herunder.

Side 23 af 97

Karakter Betegnelse Vejledende beskrivelse

12 Fremragende Eleven vælger og anvender med sikkerhed hensigtsmæs-sige metoder til behandling af forelagte praktiske og ma-tematiske problemer.

Eleven demonstrerer sikker viden om fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger med ingen eller få uvæsentlige fejl.

Eleven anvender med sikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger på en hensigts-mæssig måde både inden for matematisk problemløsning og matematik i anvendelse.

Eleven anvender hjælpemidler på en sikker og hensigts-mæssig måde.

Eleven kan udforme en veldisponeret besvarelse med en sikker brug af faglige begrundelser, hvor tankegangen fremgår klart og overskueligt, og der veksles sikkert mel-lem hverdagssprog og matematikkens sprog.

7 Godt Eleven demonstrerer kendskab til og anvendelse af meto-der til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer.

Eleven demonstrerer god viden om mange af fagets be-greber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger på en del forelagte problemer.

Eleven anvender med nogen usikkerhed matematiske mo-deller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger.

Eleven anvender hjælpemidler på en god måde.

Eleven kan udforme en opgavebesvarelse med god sam-menhæng inden for de enkelte spørgsmål og med brug af faglige begrundelser. Eleven kan veksle mellem hverdags-sprog og matematikkens sprog.

02

Tilstrækkeligt

Eleven demonstrerer nogen kendskab til fremgangsmåder i behandlingen af simple praktiske og matematiske pro-blemer. Eleven kan anvende simple formler og udføre enkle be-regninger.

Eleven udformer en noget usammenhængende besvarelse med få faglige begrundelser, og der veksles usikkert mel-lem hverdagssprog og matematikkens sprog.

Side 24 af 97

2.3.9. Karakterfastsættelse

Den endelige karakterfastsættelse sker ved en drøftelse mellem den statsligt beskikkede censor og faglære-ren. Dette foregår ved følgende procedure:

Umiddelbart efter prøvens afholdelse sender skolen elevbesvarelserne og karakterliste som anbe-falet post til den statsligt beskikkede censor, som retter og vurderer.

Censor sender som anbefalet post: elevbesvarelserne og kontaktoplysninger til skolen (faglæreren) samtkarakterlisten, som vedlægges i en lukket konvolut med oplysninger om holdets/klassens be-tegnelse uden på.

Skolens leder udleverer elevbesvarelserne og censors kontaktoplysninger til faglæreren, som retter og vurderer.Skolens leder opbevarer karakterlisten.

Faglæreren sender sin karakterliste til censor enten pr. brev eller i en mail. Herefter skal skolens le-der udlevere censors karakterliste til faglæreren.

Faglæreren kontakter censor, inden for de tidsrum statslig censor har angivet i sine kontaktoplys-ninger.

Censor og faglærer drøfter og fastsætter de endelige karakterer efter karakter-bekendtgørelsen:

§ 13. Bedømmelse af præstationer og standpunkter skal ske på grundlag af de faglige mål, der er opstillet for det pågældende fag eller flerfaglige forløb (absolut karaktergivning). Præstationen og standpunktet skal bedømmes ud fra såvel fagets eller forløbets formål som undervisningens beskrevne indhold. Der må ikke tilstræbes nogen bestemt fordeling af karaktererne (relativ karaktergivning).

§ 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem.

Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karak-teren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter.

Karakterbekendtgørelsen

Når bedømmelsen er afsluttet, underskriver censor og faglærer hver sin karakterliste med de ende-lige karakterer. Kun de endelige karakterer må fremgå af karakterlisten. Hvis der er rettet i karak-terlisten, skal tidligere afgivne karakterer være ulæselige.

Censor sender karakterlisten til skolens leder, og faglærer afleverer elevbesvarelserne og karakter-listen til skolens leder.

Skolens leder kontrollerer, at der er overensstemmelse mellem de to karakterlister. Skolens leder må først være bekendt med karaktererne, når de er endelig fastsat af statslig censor og faglærer.

Der er også en anden procedure, som kan anvendes, hvis der er to enslydende eksemplarer af elevbesva-

relserne. Denne procedure kan findes i ”Orientering om folkeskolens afsluttende prøver” på www.ktst.dk. Her kan man også hvert år finde de konkrete datoer, hvor der skal være fremsendt opgaver, karakterlister osv. Procedurerne for forsendelse og karakterfastsættelse samt andre forhold vedrørende censur er desu-den uddybet i censorvejledningen for de statsligt beskikkede censorer. Censorvejledningen kan læses af alle på Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside.

http://www.ktst.dk/

Side 25 af 97

2.4. Mundtlig gruppeprøve

10.1. Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen.

10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for sam-me tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne.

10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituatio-nen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof.

10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer.

10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige be-greber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale.

10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende mate-matiske kompetencer hos eleven:

- problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder.

10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev.


Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og især kunnen på niveau 3 i vurderingspy-ramiden. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Desuden indgår elevernes matematiske arbejdsmåder i bedømmelsen.

Prøven er til udtræk sammen med de digitale prøver i biologi og geografi. Det betyder, at hver tredje 9. klasse kommer til den mundtlige prøve i matematik.

Side 26 af 97

Prøven er en gruppeprøve, hvilket bl.a. har sin baggrund i tre af trinmålene efter 9. klasse i matematiske arbejdsmåder:



give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål 2009

2.4.1. Tekstopgivelser

10.1. Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdig-hedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen.


Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en samling af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal være eksempler på matematikholdige situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres mate-matiske kompetencer. Det kan fx være

Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehand-lings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen.

Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse.

Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det i tekstopgivelsen frem-gå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen.

De anvendte it- værktøjer med programnavne skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler.

Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på.

2.4.2. Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg

10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder sam-tidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedøm-melsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne.


§ 8. Stk. 2. Skolens leder kan i særlige tilfælde beslutte, at en prøve, som er tilrettelagt som gruppeprøve, i stedet tilret-telægges som en individuel prøve for en elev, når det er begrundet i hensyn vedrørende eleven.


Side 27 af 97

Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse – dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt.

I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve.

Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prø-vebekendtgørelsen § 14).

De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulig-hed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompe-tencer er i denne sammenhæng de otte matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål 2009.

Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse.

Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse.

§ 9. Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet fremgår af reglerne om de enkelte prøver, jf. nærmere herom bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækningen skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede.


Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer samtlige områder inden for det opgivne stof. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over store dele af det opgivne stof.

Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser.

Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved for-skellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe.

Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme runde.

Side 28 af 97

Antal elever

1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prø-veoplæg

12 3 grupper á 2 3 grupper á 2 6

13 1 gruppe á 2 1 gruppe á 3

2 grupper á 2 2 grupper á 2 6

14 2 grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á 2 6

15 2 grupper á 3 2 grupper á 2 1 elev alene

2 grupper á 2 7


17 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 elev alene

8



1 gruppe á 3 1 gruppe á 2


2 grupper á 2 7



2 gruppe á 2 1 elev alene


8

21 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2

8

22 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 9


9


25 2 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2

9

26 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á 2 10


10

28 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 gruppe á 2 1 elev alene


10


10


2.4.3. Prøveoplæg

10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveop-læg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof.


Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, som eleverne skal arbejde med i prøvetiden. Disse problemstillinger kan både være ”rene” matematiske problemer såvel som ”anvendte”, og de skal som regel være ”åbne” og ikke ”lukkede”. På www.ktst.dk ligger til inspiration og vejledning et antal ek-semplariske prøveoplæg, men de må ikke anvendes ved folkeskolens afsluttende prøver.

http://www.ktst.dk/

Side 29 af 97

Alle prøveoplæg skal give eleverne mulighed for på forskellige niveauer at arbejde med matematik og vise deres viden og kunnen.

Problemstillingerne bør så vidt muligt i alle prøveoplæg lægge op til problemløsning for eleverne. Et mate-matisk problem defineres ifølge rapporten ”Kompetencer og matematiklæring” 2002 (KOM-rapporten) som ”en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besva-relsen.” (KOM-rapporten side 49).

Problemstillingerne skal lægge op til aktiviteter, der kan skabe situationer, hvor eleverne kan vise deres matematiske kompetencer. Med matematiske kompetencer menes der i denne sammenhæng de otte ma-tematiske kompetencer, som er beskrevet i Fælles Mål 2009. De beskrives nærmere i afsnit 2.4.6. Desuden skal der være mulighed for, at eleverne kan benytte matematiske arbejdsmåder.

Som nævnt bør oplæggene så vidt muligt give alle elever mulighed for at arbejde med problemløsningsde-len af problembehandlingskompetencen. Det forventes også, at alle oplæg vil give eleverne mulighed for at vise kommunikations- og hjælpemiddelkompetence.

Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx modellerings- eller ræsonnementskompeten-cen, knytte an til flere kompetencer eller eventuelt dem alle. Et prøveoplæg med modelleringskompeten-cen i fokus kan have flere indgange fx

En fuldstændig modellering

En delvis modellering

Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model.

Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forven-tes, at spørgsmål som ”Find rumfanget af…”, ”Hvor meget koster…” vil udgøre reelle matematiske proble-mer for alle elever i en klasse. Der er i de vejledende prøveoplæg være eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning.

Det kan ofte være en hjælp for eleverne i arbejdet med deres prøveoplæg, at der medfølger fx bilagsmate-riale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider.

Udgangspunktet kan være en undersøgelse af fx en ukendt figur eller et ukendt mønster, der skal undersø-ges for at opnå større viden og for evt. at kunne generalisere.

Det samlede antal prøveoplæg skal dække det opgivne stofpå en alsidig mådeog dermed store dele af Fæl-les Mål.

Prøveoplæg må gerne have et lokalt islæt, som kan give eleverne et stærkere ejerskab til problemstillinger-ne. Det kan både være oplæg med problemstillinger fra lokalområdet og prøveoplæg, der knytter an til en skoles særlige profil. Prøveoplæggene skal indeholde så nye tal og andre oplysninger som muligt, lige som evt. link er opdaterede. Desuden kan et prøveoplæg indeholde filer til regneark, dynamiske geometripro-gram mv., som eleverne kan arbejde videre med under prøven.

Læreren kan vedlægge de enkelte prøveoplæg en kort vejledning til censor, hvor der for eksempel angives den eller de matematiske kompetencer, der er i fokus, og eventuelle idelister, der efter behov kan udleve-res under prøven.

Side 30 af 97

To eksempler på mundtlige prøveoplæg

Det ene er med en ”ren” matematisk problemstilling, det andet med en anvendelsesorienteret problemstil-

ling, hvor internet skal anvendes.

Læreren skal overveje, om idelisterne skal gives til grupperne i prøveoplægget eller om de skal udleveres

senere i prøveforløbet.

Tages kvadrat

Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved

1) at tegne et kvadrat,

2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og

3) tegne linjestykker som vist herunder.

I kan også se Tages kvadrat på bilag 1.

Tage Werner påstod bl.a., at

1) de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange

2) der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan beregnes

3) størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer kan findes ved beregninger.

Problemstilling

Side 31 af 97

Jeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet.

I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer.

Ideer:

Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10.

Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere

forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at

måle?

Læg mærke til nogle af figurerne, der ”gemmer” sig i Tages kvadrat:

Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede ”makkere”? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre på,

at figurerne er kongruente og/eller ligedannede?

Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer.

Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27 ? Kan I finde vinklens størrelse på fle-

re forskellige måder?

Kan I bruge resultatet fra før til at beregne størrelsen af flere vinkler i Tages kvadrat?

Side 32 af 97

Bilag 1 Tages kvadrat

Tages kvadrat - Lærervejledning

Forberedelse:

Eleverne skal have et geometriprogram til rådighed, fx ”GeoGebra” og flere kopier af bilag 1.

Faglige fokuspunkter:

Side 33 af 97

Oplægget giver eleverne gode muligheder for at beskæftige sig med næsten alle de trinmål,

som er knyttet til fagområdet geometri.

Fra et kompetenceperspektiv er det ræsonnementskompetencen, der er i fokus, men oplæg-

get giver også eleverne gode muligheder for at vise problemløsningskompetence og hjælpe-

middelkompetence.

I forbindelse med ”arbejdsmåder” er det især trinmålet: ”undersøge, systematisere og ræ-

sonnere med henblik på at generalisere”, der er i spil.

Ideer til udfordringer og støtte:

Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometri-

program. I den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da side-

længden vil have betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med op-

lægget. En mulighed er at vælge sidelængden 10. Dette tal giver ”rimelig runde tal” i bereg-

ningerne. Men eleverne kan også vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en til-

fældig sidelængde, som evt. justeres senere i forløbet.

Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsnin-

gerne. Men det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i

forbindelse med deres arbejde - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres

Side 34 af 97

viden og færdigheder i forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor

langt deres ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne.

For nogle elever kan det være en fordel at klippe ”delfigurer” ud af bilag 1 i forbindelse med

deres arbejde med påstand 2).

Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret un-

der ”ideer”), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser,

vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler.

Skolevejen

www.map.krak

Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg

”Hvor langt har du egentlig til skole?”

Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet

lige uden for skolen.

”Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg

gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved

jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu

sveder jeg,” griner Emil, ”Hvad med dig?”

Jernbaneoverskæring

Skolen

Emil

Agerkrogen 2

http://www.map.krak/

Side 35 af 97

”Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg”, svarer Maria.

”Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks”, siger Emil og kigger på uret på sin mobil.

Problemstilling

Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden.

I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre end 1 kilometer til skole.

I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid,

det tager.

I skal sammenligne rejsevejledninger på www.krak.dk og https://maps.google.com/

Ideer til oplægget

- I kan taste jeres egen skolevej ind i www.krak.dk og https://maps.google.com/ og kommen-

tere, hvordan foreslagene passer med jeres egen virkelighed.

- I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene ind i

et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj.

- På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der

kan foretages beregninger.

På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN.

En elev har målt, at hun har 650 meter til skole.

I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har fo-

retaget turen på forskellige måder.

[regnearket bør designes til den aktuelle prøvesituation]

http://www.krak.dk/

https://maps.google.com/

http://www.krak.dk/


Side 36 af 97

Kommentarer til SKOLEVEJEN

Materialer:

Eleverne skal have obligatorisk adgang til computer med adgang til internettet.

Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort.

Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både www.krak.dk og


Vurdering af elevernes matematiske kompetencer kan foregå på baggrund af følgende tre

spørgsmål:

a) Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen?

b) Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? c) Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed

i spil i sin gruppe? d) Kan eleven kommunikere med og om matematik?

Vedr. a)

I oplægget har eleverne mulighed for vise kendskab til modelleringskompetencen, som kan indeholde disse

proceselementer:

Kan eleverne definere og afgrænse problemet?

Kan eleverne opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med en problemstilling?

Kan eleverne udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen?

Kan eleverne analysere sine resultater i forhold til problemstillingen?

Kan eleverne anvende modellen i andre sammenhænge?

Vedr. b)

Eleverne har mulighed for i oplægget at bringe sin faglige viden om måling af afstand, tid og hastighed og

målestok i spil. Desuden har eleverne mulighed for at demonstrere viden og kunnen i arbejdet med regne-

ark, enten på egen hånd eller med assistance af det bearbejdede regneark, der kan udleveres.

Vedr. c)

Eleverne har mulighed for at undersøge og eksperimentere, blandt andet vedhjælp af regneark. Eleverne

http://www.krak.dk/


Side 37 af 97

skal anvende dialogen i gruppen til at afgøre, hvordan afstande mellem destinationer kan måles, og hvor-

dan anvendelse af de forskellige transportmuligheder influerer på farten

Desuden skal der bedømmes om eleverne kan samarbejde fagligt med gruppen på punkter som disse:

Bliver der lavet en arbejdsplan, og er gruppen i stand til at arbejde bevidst i henhold til denne?

Tager de enkelte elever initiativer?

Er gruppen i stand til at konkludere på diskussioner?

Vedr. d)

I kommunikation vægtes det, om eleverne kan indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe,

og om eleven kan fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog og med vekslen mellem hverdags-

sprog og matematisk sprog.

2.4.4. Hjælpemidler og it



Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opga-ver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kom-pendier, ordbøger med videre.

Eleverne skal have mulighed for at anvende computer ved prøven. Det er mest praktisk, at grupperne har adgang til hver deres computer.

Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende.

Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpe-midler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysnin-ger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til e-mail, SMS eller sociale medier som fx Mes-senger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere eller tablets, mobil-telefoner eller smartphones.

Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af utilsigtet overtrædelse af bestemmelserne eller snyd under prøverne. Adgangen til in-ternettet forudsætter, at lærer og censor fører det nødvendige tilsyn med grupperne under prøven.

Side 38 af 97

2.4.5. Prøvens forløb

10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, meto-der, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samta-le.


Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve, er det en god ide at indlægge en pause på 10-15 mi-nutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum, dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden.

En runde varer 120 min., og der bør afsættes ca. ½ time til at:

Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca. 5-10 min.

Votering ca. 15-20 min.

Eleverne får deres karakterer – eventuelt med en kort begrundelse.

Der er hermed cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupperne og samtalerne mellem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således:

1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition.

2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt cen-sor

Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer.

Både censor og faglærer tager notater under samtalerne. Notaterne skal bruges under voteringen til at give en retvisende og fair karakter til den enkelte elev. Notaterne opbevares i et år efter prøven af censor og faglærer til bedømmernes egen brug - for eksempel ved en efterfølgende klagesag over en eksamination eller bedømmelse.

2.4.6. Vurderingskriterier

10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matema-tikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven:



Eleverne skal vurderes og bedømmes individuelt.

Side 39 af 97

Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de 8 matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål 2009. De har deres baggrund i ”Kompetencer og matematiklæring” udgivet af ministeriet i 2002 (kan findes på http://pub.uvm.dk/2002/kom/), også kaldet KOM-rapporten.

I KOM-rapporten defineres matematisk kompetence som det at “have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå”. Om den enkelte kompetence står der i rapporten: “En matematisk kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en be-stemt slags matematisk udfordring”.

Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål:

Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen?

Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen?

Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe?

Kan eleven kommunikere med og om matematik?

Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompeten-cerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer kan lægges på dem. Det drejer sig om modellerings- og ræsonnementskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der tre kompeten-cer, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg.

Elevens brug af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder indgår ved bedømmelsen af alle prøveoplæg med en vis vægt.

Problembehandlingskompetence

• erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål)

• opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurde-re løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse)

Kompetencen i prøvesammenhæng

Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter:

Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer?

Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet?

Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse?

Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem?

http://pub.uvm.dk/2002/kom/

Side 40 af 97

Modelleringskompetence

• udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (slutmål)

• opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkelighe-den, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse)


En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompeten-cer ofte kommer i spil, fx problembehandling, symbolbehandling og ræsonnement, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter:

Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen?

Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen?

Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen?

Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller?

Ræsonnementskompetence

• udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vur-dere andres matematiske ræsonnementer (slutmål)

• udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse)


En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i det faglige område geometri, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx symbolbehandling og hjælpemiddelkompetence, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter:

Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisser argumenter konklusion

Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer?

Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande?

Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis?

Kommunikationskompetence

• udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål)

• indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter 9. klasse)

Side 41 af 97


Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompeten-ce, som er central når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter:

Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe?

Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og ma-tematisk sprog?

Hjælpemiddelkompetence

• kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger (Slutmål)

• kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (trinmål efter 9. klasse)


Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en un-derliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. . Opmærksomhedsfelt:

Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde?

Tankegangskompetence

• stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan for-ventes (slutmål)

• skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (trinmål efter 9. klasse)


Tankegangskompetencen er ikke med i de kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Den vil indirek-te være med i de fleste prøveoplæg, da den nærmest afgør, om der er tale om matematisk virksomhed, og den kan derfor indgå ved bedømmelsen med en mindre vægt.

Side 42 af 97

Repræsentationskompetence

• danne, forstå og anvende forskellige repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer eller problemer (slutmål)

• afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (trinmål efter 9. klasse)


Kompetencen spiller ikke en central rolle ved den mundtlige prøve. I nogle prøveoplæg kan det blive en kompetence, der bør indgå i vurderingen. Opmærksomhedsfelt:

Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes for-bindelse?

Symbolbehandlingskompetence

• forstå og afkode symbolsprog og formler og oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog (slutmål)

• forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mel-lem dagligsprog og symbolsprog (trinmål efter 9. klasse)


Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den ikke er en af de kompetencer, som hoved-vægten kan lægges på, kan læreren godt hjælpe elever med for eksempel symbolsprog i en modellerings-proces, hvor hovedvægten lægges på denne kompetence. Det kan indgå i vurderingen, hvorvidt eleverne kan oversætte mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang. Opmærksomheds-felter:

Kan eleven afkode symboler?

Kan eleven bruge symboler?

Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.

Side 43 af 97

Anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder

De tre områder knytter an til det 4. CKF-område, Matematiske arbejdsmåder med følgende trinmål:

Faglige begreber: læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner

Metoder: deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner

Arbejdsmåder: undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger

arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger

Fælles Mål

I prøvesammenhæng vil de tre områder indgå ved bedømmelsen af de fleste elevpræstationer. Opmærk-somhedsfelter:

Bruger eleven faglige begreber hensigtsmæssigt og korrekt?

Kan eleven bruge forskellige metoder i arbejdet med problemstillingen?

Gennemfører eleven i sin gruppe matematiske undersøgelser?

Kan eleven bringe sin matematiske faglighed i spil i sin gruppe?

2.4.7. Endelig karakterfastsættelse

10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev.


Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede. Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder følgende regler:




Side 44 af 97


Som hjælp til bedømmelsen er her en vejledende karakterbeskrivelse.


12 Fremragende Eleven handler sikkert og indsigtsfuldt i arbejdet med de forelagte problemstillinger og viser bred dækning af en eller flere af de matematiske kompetencer: Modellerings-, ræsonnements- og problembehandlingskompetencen.

Eleven benytter sikkert og indsigtsfuldt sin viden om og færdigheder i matematik i forhold til de forlagte problem-stillinger.

Eleven viser sikkerhed i valg og anvendelse af hjælpe-midler, herunder computer, og foretager ved brug heraf hensigtsmæssige valg af programmer.

Eleven arbejder på en sikker måde undersøgende og systematisk med problemstillinger. Eleven viser initiativ og kan samarbejde fagligt med sin gruppe på en hen-sigtsmæssig måde.

Eleven fremlægger velstruktureret med sikker brug af faglige begrundelser og udtrykker sig klart med sikker anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematik-kens sprog. Eleven indgår på en sikker måde i dialog om forelagte problemer.

7 Godt Eleven handler hensigtsmæssig i arbejdet med de fore-lagte problemstillinger og viser delvis dækning af en eller flere af de matematiske kompetencer: Modellerings-, ræ-sonnements- og problembehandlingskompetencen.

Eleven benytter en del viden og færdigheder i forhold til de forlagte problemstillinger.

Eleven anvender hjælpemidler, herunder computer, på en hensigtsmæssig måde i flere sammenhænge.

Eleven arbejder undersøgende og delvist systematisk med problemstillinger. Eleven viser initiativ og kan sam-arbejde fagligt med sin gruppe.

Eleven fremlægger sammenhængende med en del fagli-ge begrundelser og udtrykker sig med anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog. Ele-ven indgår i dialog om forelagte problemer.

Side 45 af 97

02 Tilstrækkeligt Eleven handler usikkert i arbejdet med de forelagte pro-blemstillinger og viser svag dækning af en eller flere af de matematiske kompetencer: Modellerings-, ræsonne-ments- og problembehandlingskompetencen.

Eleven demonstrerer nogen viden og enkle færdigheder i forhold til de forlagte problemstillinger.

Eleven viser usikkerhed i valg og anvendelse af hjælpe-midler.

Eleven viser usikkerhed i undersøgende arbejde med problemstillinger. Eleven viser kun få initiativer og er usikker i det faglige samarbejde med sin gruppe.

Eleven fremlægger noget usammenhængende med få faglige begrundelser og med usikker anvendelse af hver-dagssprog i samspil med matematikkens sprog.

3. FS10

3.1. Generelt om de to dele af prøven

Prøven i matematik er i to dele, der kan aflægges hver for sig:

Skriftlig matematik, en 4 timers prøve

Mundtlig matematik, gruppeprøve med to prøveformer

Eleverne i 10. klasse kan selv sammensætte deres prøve, så de har mulighed for at gentage prøverne fra 9. klasse undtagen den mundtlige prøve, der er til udtræk og derfor ikke kan aflægges i 10. klasse. De har også mulighed for at kombinere prøverne fx kan en elev vælge at gå til 9. klasse prøven matematiske færdighe-der og FS10 mundtlig matematik prøveform B.

De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission nedsat af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne ud fra Fælles Mål 2009 og øvrige gældende regler. Prøveop-læggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere.

Kvalitets- og tilsynsstyrelsen udgiver ikke facitliste til den skriftlige prøve, da der er meget andet end facit, der skal bedømmes. Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne resultater, kan man deltage i et af de mange evalueringsmøder, der afholdes over hele landet i ugerne efter prøven, eller man kan følge med i diskussionerne af afgangsprøverne på Skolekoms konference for matematiklærere.

Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års afgangsprøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på www.ktst.dk.

http://www.ktst.dk/

Side 46 af 97

3.2. Den skriftlige prøve

2.1. Prøven består af en skriftlig og en mundtlig del, som kan afsluttes hver for sig. 2.2. Den skriftlige del af prøven består af et opgavesæt. Til besvarelsen gives 4 timer. Opgaverne stilles af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. 2.3. Der prøves i – anvendelse af matematik til behandling af problemer af rutinemæssig og af åben karakter fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og – behandling af matematiske problemstillinger i bredden og i dybden. 2.4. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens faglige begrundelser for de fundne resultater, herunder anven-delse af matematiske modeller. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvordan eleven har anvendt forklarende tekst samt benyttet algebraiske udtryk, tegninger og grafer m.v. ved opgavebesvarelsen. I de mere åbne opgaver vurderes det, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan formulere problemer, beskrive løsnings-strategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. 2.5. Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling. 2.6. Der gives én karakter.


3.2.1. Hvad adskiller prøven fra FSA

Der er ingen særskilt prøve i færdigheder ved FS10. Derfor vil der ved FS 10 prøven være flere opgaver på niveau 1 i vurderingspyramiden end i matematisk problemløsning ved FSA. Mange af opgaverne på niveau to er endvidere mere komplekse end i FSA. Der er generelt flere og mere arbejdskrævende opgaver.

3.2.2. Prøveoplægget

Prøven i skriftlig matematik varer fire timer, og der gives en karakter.

Et prøveoplæg består af et antal opgaver, hver med et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, med et mindre antal spørgsmål fra niveau 1 og 3.

De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold, mens et min-dre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng.Der vil være både åbne og lukkede opgaver.

De kontekster, der vælges til de skriftlige afgangsprøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de er “i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold” (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle elever har et forhånds-kendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uaf-hængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden.

Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i afgangsprøven.

Et prøvesæt i skriftlig matematik vil ofte indeholde en del tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at un-derstøtte læsningen og forståelsen af opgaverne.

Side 47 af 97

Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindel-se med matematiske begreber og problemstillinger og som efterfølgende kan anvendes i kommunikationen om problemløsningen.

Elever med særlige behov

For elever med særlige behov er der mulighed for at tage folkeskolens afsluttende prøver på særlige vilkår. Disse beskrives i prøvebekendtgørelsens bilag 5 og i ”Vejledning om fravigelse af bestemmelserne ved fol-keskolens afsluttende prøver”, som begge kan findes på www.ktst.dk. Der er også mulighed for at bestille specielt fremstillede prøvesæt hos Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. For elever, der af forskellige årsager ikke kan gennemføre en eller flere af folkeskolens obligatoriske prøver, er der mulighed for fritagelse, se prøve-bekendtgørelsens bilag 6.

3.2.3. Hjælpemidler

2.5. Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling.


Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, mobiltelefon, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen § 10: “Skolens leder skal sikre, at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet.” Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres mobiltelefon som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler osv.

Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortro-lige med og vil have brug for og glæde af i en tretimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få.

3.2.4. Formelsamling

Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens formelsamling kan findes på www.ktst.dk.

Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens afsluttende prøver i mate-matik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at sætte sig ind i indholdet. I 10. klasse kan det være en fordel at bygge videre på den enkelte elevs arbejde med formelsamlingen fra 7.-9. klasse.

Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden ek-sempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål 2009, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de ma-tematiske emner.

http://www.ktst.dk/

Side 48 af 97

I forordet til formelsamlingen står der til eleverne:

”På højresiderne kan du bl.a.:

skrive formlerne i den form, du er mest fortrolig med

skrive dine egne eksempler på, hvordan formlerne bruges

skrive andre formler, du mener, du kan få brug for.”

3.2.5. Anvendelse af computer

Eleverne må anvende computer ved prøven med den begrænsning, der fremgår af prøvebekendtgørelses § 11 Stk. 2. “Skolens leder kan beslutte at begrænse adgangen til at anvende elektroniske hjælpemidler, her-under medbragte elektroniske hjælpemidler, hvis det er nødvendigt af kapacitetsmæssige grunde.” Ligele-des skal skolen leder sikre, at den ovenfor citerede § 10 overholdes.

Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpe-midler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysnin-ger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke un-der prøven benytte adgangen til e-mail eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets, mobiltelefoner eller smartphones.

Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne.

Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens navn og nummer. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstæn-dige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet.

Implementeringen af Fælles Mål 2009 har bl.a. medført, at flere og flere af opgaverne i den skriftlige prøve med fordel kan løses ved hjælp af it. De skriftlige prøver i matematik giver desuden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver, eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skrift-lige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et do-kument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveoplæggene, som fremsendes af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen.

Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram.

3.2.6. Kommunikation

2.4. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens faglige begrundelser for de fundne resultater, herunder anven-delse af matematiske modeller. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvordan eleven har anvendt forklarende tekst

Side 49 af 97

samt benyttet algebraiske udtryk, tegninger og grafer m.v. ved opgavebesvarelsen. I de mere åbne opgaver vurderes det, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan formulere problemer, beskrive løsnings-strategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken.


Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsen af besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven Matematiske færdigheder. Opgaveløsnin-gen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et alge-braisk udtryk, en tegning eller lignende

Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonne opstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunike-res mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, der må meget gerne være en variation i kommunikationen.

Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA 2012:

Opgave 1.2-1.3

Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag

Gennemsnitligt salg pr. dag

Uge 27

Salg i kr. 3.300 4.300 4.600 6.000 9.500 11.200 10.800 7100

Summeret salg i kr. 3.300 7.600 12.200 18.200 27.700 38.900 49.700

Uge 28

Salg i kr. 4.400 4.000 5.500 6.300 6.250 9.500 12.000 6850

Summeret salg i kr. 4.400 8.400 13.900 20.200 26.450 35.950 47.950

Opgave 1.4

Side 50 af 97

Opgave 1.5

Det samlede issalg er størst i uge 27. I begge uger stiger issalget støt op mod weekenden. Det summerede salg er højst i uge 28 indtil uge 27’s summerede salg overhaler i løbet af torsdag.

Opgave 2.3

Rumfanget af Indlandsisen er:

Rumfanget af indlandsisen er ca. 2 700 000 km3

Opgave 3.5

Undersøgelse af lånets størrelse, når de kan betale 700 kr. i månedlig ydelse over 12 måneder.

Jeg bruger målsøgning i regnearket.

Lån 7.348,48 kr.


Ydelse 700,00 kr. pr. måned

Antal må-neder


0 7.348,48

1 155,79 700,00 6.804,26

2 144,25 700,00 6.248,51

3 132,47 700,00 5.680,98

4 120,44 700,00 5.101,42

5 108,15 700,00 4.509,57

6 95,60 700,00 3.905,17

7 82,79 700,00 3.287,96

8 69,70 700,00 2.657,67

9 56,34 700,00 2.014,01

10 42,70 700,00 1.356,71

11 28,76 700,00 685,47

12 14,53 700,00 0,00

De kan låne ca. 7 350 kr.

Opgave 4.1-4.6

Opgaverne er løst i ved hjælp af programmet GeoGebra.

Side 51 af 97

Det er ikke god kommunikation, at eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med.

3.2.7. Elevens aflevering af sin besvarelse

Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestem farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afleve-ret ark indeholder følgende oplysninger:

elevens navn

elevens nummer ifølge karakterlisten

skolens navn

prøvens og opgavens art

klasse eller hold

arknummer og det samlede antal ark.

Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Des er således ikke den enkelte side, der skal nummereres.

Eleven afgør selv, hvilke ark der indgår i besvarelsen, som skal afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af:

håndskrevne ark

udskrevne ark fra computer

tegninger og grafer på specialpapir

Side 52 af 97

udfyldte svarark.

Det er vigtigt, at eleven sikre sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud, eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse.

Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere:

at alle identifikationsoplysninger er på besvarelsen

at antallet af ark svarer til det i felterne noterede

at arkene er fortløbende nummereret

at eleven har underskrevet første side af besvarelsen.

Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse.

3.2.8. Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik

Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes ma-tematiklærer.

Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hvert delspørgsmål i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på www.ktst.dk dagen efter prøvens afvikling. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til ”svære” opgaver end til ”lette”.

Pointfordelingen skal hjælpe censor og faglærer til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse.

En del opgaver i skriftlig matematik har ikke et entydigt resultat eller en bestemt metode, der skal bedøm-mes. Det kan for eksempel være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder.

Der er i skriftlig matematik krav om en vis grad af forklaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et alge-braisk udtryk, en tegning eller lignende.

Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder bl.a. i kommunikationen.

Eksempler:

Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster. I opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af reg-nearket.

Side 53 af 97

Fra FS10 maj 2010

Fra FS10 maj 2012

Lån 10.000,00 kr.


Ydelse 1.000,00 kr. pr. måned

Antal må-neder


0 10.000,00

1 212,00 1.000,00 9.212,00

2 195,29 1.000,00 8.407,29

3 178,23 1.000,00 7.585,53

4 160,81 1.000,00 6.746,34

5 143,02 1.000,00 5.889,36

6 124,85 1.000,00 5.014,22

7 106,30 1.000,00 4.120,52

8 87,36 1.000,00 3.207,88

9 68,01 1.000,00 2.275,88

10 48,25 1.000,00 1.324,13

11 28,07 1.000,00 352,20

12 7,47 1.000,00 -640,33

Side 54 af 97

Lånet er tilbagebetalt efter 11-12 måneder

Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram an-vendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning.

Fra FSA maj 2012

Pointtildeling

Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat

beskriver en korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv.

Side 55 af 97

bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogrameller et CAS-program til at finde løs-ningen på en stillet opgave

har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og di-agrammer

gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder, for eksem-pel ved beregning, at dette facit er en korrekt løsning.

løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekte resultater fra en tidligere opga-ve.

Point kan tildeles, når eleven

har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter

delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer

har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignen-de, antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter

har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignende ud fra en vurdering af fej-lens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven.

Ingen point gives når

opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer

eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mel-lem to eller tre mulige løsninger.

Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse

Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende elementer af kommunikations- og symbolbehandlingskompetencen:

Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar?

Har eleven anvendt særlige gode løsningsmetoder?

Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn?

Er resultatet skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne?

Er der et passende antal decimaler?

Er der afrundet korrekt?

Er store tal skrevet på læservenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller 27 300 000 000 kr. frem for 27300000000 kr.

Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at finde rundt i?

Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtals separator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +, - , ∙ og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i hånd-skrift og i print fra en computer. Det bør normalt ikke medføre fradrag i pointtildelingen. Ved anvendelse af

Side 56 af 97

mere avancerede programmer ser det ud til, at man uden stort besvær kan skrive, som det er almindeligt i Danmark, dog ikke i de fleste geometriprogrammer.

Karakterfastsættelse

Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen i den såkaldte rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter.

Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger point-tallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen og sym-bolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02.

Som en hjælp til det afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bringes de vejledende karakterbeskri-velser herunder.


12 Fremragende Eleven vælger og anvender med sikkerhed hensigtsmæs-sige metoder til behandling af forelagte praktiske og ma-tematiske problemer.

Eleven demonstrerer sikker viden om fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger med ingen eller få uvæsentlige fejl.

Eleven anvender med sikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger på en hensigts-mæssig måde både inden for matematisk problemløsning og matematik i anvendelse.

Eleven anvender hjælpemidler på en sikker og hensigts-mæssig måde.

Eleven kan udforme en veldisponeret besvarelse med en sikker brug af faglige begrundelser, hvor tankegangen fremgår klart og overskueligt, og der veksles sikkert mel-lem hverdagssprog og matematikkens sprog.

7 Godt Eleven demonstrerer kendskab til og anvendelse af meto-der til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer.

Eleven demonstrerer god viden om mange af fagets be-greber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde

Side 57 af 97

løsninger på en del forelagte problemer.

Eleven anvender med nogen usikkerhed matematiske mo-deller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger.

Eleven anvender hjælpemidler på en god måde.

Eleven kan udforme en opgavebesvarelse med god sam-menhæng inden for de enkelte spørgsmål og med brug af faglige begrundelser. Eleven kan veksle mellem hverdags-sprog og matematikkens sprog.

02 Tilstrækkeligt Eleven demonstrerer nogen kendskab til fremgangsmåder i behandlingen af simple praktiske og matematiske pro-blemer.

Eleven kan anvende simple formler og udføre enkle be-regninger.

Eleven udformer en noget usammenhængende besvarelse med få faglige begrundelser, og der veksles usikkert mel-lem hverdagssprog og matematikkens sprog.

3.2.9. Karakterfastsættelse

Den endelige karakterfastsættelse sker ved en samtale mellem den statsligt beskikkede censor og faglære-

ren. Dette foregår ved følgende procedure:

Umiddelbart efter prøvens afholdelse sender skolen elevbesvarelserne og karakterliste som anbe-

falet post til den statsligt beskikkede censor, som retter og vurderer.

Censor sender som anbefalet post: elevbesvarelserne og kontaktoplysninger til skolen (faglæreren)

samt karakterlisten, som vedlægges i en lukket konvolut med oplysninger om holdets/klassens be-

tegnelse uden på.

Skolens leder udleverer elevbesvarelserne og censors kontaktoplysninger til faglæreren, som retter

og vurderer besvarelserne. Skolens leder opbevarer karakterlisten.

Faglæreren sender sin karakterliste til censor enten pr. brev eller i en mail. Herefter skal skolens le-

der udlevere censors karakterliste til faglæreren.

Faglæreren kontakter censor, inden for de tidsrum statslig censor har angivet i sine kontaktoplys-

ninger.

Censor og faglærer drøfter og fastsætter de endelige karakterer efter karakterbekendtgørelsen:



Side 58 af 97



Når bedømmelsen er afsluttet, underskriver censor og faglærer hver sin karakterliste med de ende-lige karakterer. Kun de endelige karakterer må fremgå af karakterlisten. Hvis der er rettet i karak-terlisten, skal tidligere afgivne karakterer være ulæselige.

Censor sender karakterlisten til skolens leder, og faglærer afleverer elevbesvarelserne og karakter-listen til skolens leder.

Skolens leder kontrollerer, at der er overensstemmelse mellem de to karakterlister. Skolens leder må først være bekendt med karaktererne, når de er endelig fastsat af censor og faglærer.

Der også en anden procedure, der kan anvendes, hvis der er to enslydende eksemplarer af elevbesvarelser-

ne. Denne procedure kan findes i ”Orientering om folkeskolens afsluttende prøver” på www.ktst.dk. Her kan man også hvert år finde de konkrete datoer, hvor der skal være fremsendt opgaver, karakterlister osv. Procedurerne for forsendelse og karakterfastsættelse samt andre forhold vedrørende censur er desuden uddybet i censorvejledningen for de statsligt beskikkede censorer. Censorvejledningen kan læses på Kvali-tets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside.

3.3. Den mundtlige gruppeprøve

3.3.1. Generelt om den mundtlige prøve

2.7. Ved afholdelse af den mundtlige prøve vælges der mellem enten prøveform A, jf. pkt. 2.9-2.15, eller prøveform B, jf. pkt. 2.16-2.24.

2.8. Den valgte prøveform er fælles for alle elever på samme hold. Ved skoleårets begyndelse træffer skolens leder bestemmelse om prøveformen.


Den mundtlige prøve afvikles som en gruppeprøve i begge prøveformer. Ovenstående har især betydning, hvis man ønsker at bruge prøveform B, der bygger på elevernes portfolio, som er samlet i løbet af skole-året. Kommer der nye elever til klassen i løbet af året, vil prøveformen ofte betyde, at der skal gøres særlige foranstaltninger . Der er flere muligheder for at løse en sådan situation:

de nye elever deltager i matematikundervisningen i en anden klasse, der har valgt prøveform A

de nye elever arbejder ekstra med at udbygge deres portfolio

de nye elever samles på et særligt hold, der går op i prøveform A.

Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og kunnen på niveau 3 i vurderingspyrami-den. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Desuden indgår elevernes matematiske arbejdsmåder i bedømmelsen.

Prøven er en gruppeprøve, hvilket bl.a. har sin baggrund i tre af trinmålene efter 10. klasse i matematiske arbejdsmåder:

http://www.ktst.dk/

Side 59 af 97



give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.

3.3.2. Prøveform A

2.9. Der opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives evt. temaer og projekter, klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i den daglige undervisning.

2.10. Prøven foregår i grupper af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gen-nemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne.


2.12. Ved prøven må eleverne anvende alle hjælpemidler. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende compu-ter.



- problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. Desuden bedømmes elevens faglige fordybelse og forståelse af større sammenhænge.

2.15. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter.


Prøven er i form og indhold identisk med den mundtlige prøve efter 9. klasse, men det forventes, at dæk-ningsgraden af de matematiske kompetencer er større i 10. klasse, og at slutmål, der er særlige for 10. klas-se, inddrages i prøveoplæggene.

Side 60 af 97

3.3.2.1. Tekstopgivelser

2.9. Der opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives evt. temaer og projekter, klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i den daglige undervisning.


Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en opremsning af de faglige områder, eleverne har været un-dervist i. Der skal også være eksempler på matematiske situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være



Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det I tekstopgivelsen frem-gå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen.

De anvendte it- værktøjer med programnavne skal fremgå.

Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbasere-de læremidler.

Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på.

3.3.2.2. Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg

2.10. Prøven foregår i grupper af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gen-nemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne.


§ 8. Stk. 2. Skolens leder kan i særlige tilfælde beslutte, at en prøve, som er tilrettelagt som gruppeprøve, i stedet tilret-telægges som en individuel prøve for en elev, når det er begrundet i hensyn vedrørende eleven


Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse – dog inden for reglen om, at højst seks elever er til prøve samtidigt.


Side 61 af 97


De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulig-hed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompe-tencer er i denne sammenhæng de otte matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål 2009.

Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse.

Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse.



Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer samtlige områder inden for det opgivne stof. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over store dele af det opgivne stof

Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser.

Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved for-skellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe.

Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme runde

Antal elever

1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prø-veoplæg

12 3 grupper á 2 3 grupper á 2 6


2 grupper á 2 2 grupper á 2 6


Side 62 af 97


2 grupper á 2 7



8





2 grupper á 2 7





8


8



9



9



10



10


10


3.3.2.3. Prøveoplæg



Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, som eleverne skal arbejde med i prøvetiden. Disse problemstillinger kan både være ”rene” matematiske problemer, såvel som ”anvendte”, og de skal som regel være ”åbne” og ikke ”lukkede”. På www.ktst.dk ligger til inspiration og vejledning et antal ek-semplariske prøveoplæg, men disse må ikke anvendes ved folkeskolens afsluttende prøver..

Alle prøveoplæg skal give eleverne mulighed for på forskellige niveauer at arbejde med matematik og vise deres viden og kunnen.

Problemstillingerne bør så vidt muligt i alle prøveoplæg lægge op til problemløsning for eleverne. Et mate-matisk problem defineres ifølge rapporten ”Kompetencer og matematiklæring” 2002 (KOM-rapporten) som ”en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besva-relsen.” (KOM-rapporten side 49).

http://www.ktst.dk/

Side 63 af 97

Problemstillingerne skal lægge op til aktiviteter, der kan skabe situationer, hvor eleverne kan vise deres matematiske kompetencer. Med matematiske kompetencer menes der i denne sammenhæng de matema-tiske kompetencer, som er beskrevet i Fælles Mål 2009. De beskrives nærmere i afsnit 3.3.2.6. Desuden skal der være mulighed for, at eleverne kan benytte matematiske arbejdsmåder.

Som nævnt bør oplæggene så vidt muligt give alle elever mulighed for at arbejde med problemløsningsde-len af problembehandlingskompetencen. Det forventes også, at alle oplæg vil give eleverne mulighed for at vise kommunikations- og hjælpemiddelkompetence.

Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence for eksempel modellerings- eller ræsonne-mentskompetencen, knytte an til flere kompetencer eller eventuelt dem alle. Et prøveoplæg med modelle-ringskompetencen i fokus kan have flere indgange for eksempel:

En fuldstændig modellering

En delvis modellering

Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model.

Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forven-tes, at spørgsmål som ”Find rumfanget af…”, ”Hvor meget koster…” vil udgøre reelle matematiske proble-mer for alle elever i en klasse. Der er i de vejledende prøveoplæg eksempler på problemstillinger, der læg-ger op til problemløsning.

Det kan ofte være en hjælp for eleverne i arbejdet med deres prøveoplæg, at der medfølger fx bilagsmate-riale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider.

Udgangspunktet kan være en undersøgelse af for eksempel en ukendt figur eller et ukendt mønster, der skal undersøges for at opnå større viden og for evt. at kunne generalisere.

Det samlede antal prøveoplæg skal dække det opgivne stof på en alsidig måde og dermed store dele af Fælles Mål.

Prøveoplæg må gerne have et lokalt islæt, som kan give eleverne et stærkere ejerskab til problemstillinger-ne. Det kan både være oplæg med problemstillinger fra lokalområdet og prøveoplæg, der knytter an til en skoles særlige profil. Prøveoplæggene skal indeholde så nye tal og andre oplysninger som muligt, lige som evt. link skal være opdaterede. Desuden kan et prøveoplæg indeholde filer til regneark, dynamiske geome-triprogrammer mv., som eleverne kan arbejde videre med under prøven.

Læreren kan vedlægge de enkelte prøveoplæg en kort vejledning til censor, hvor der for eksempel angives den eller de matematiske kompetencer, der er i fokus, og eventuelle idelister, der efter behov kan udleve-res under prøven.

To eksempler på mundtlige prøveoplæg.

Det ene er med en ”ren” matematisk problemstilling, det andet med en anvendelsesorienteret problemstil-

ling, hvor internet skal anvendes.

Læreren skal overveje, om idelisterne skal gives til grupperne i prøveoplægget eller om de skal udleveres

senere i prøveforløbet.

Side 64 af 97

Tages kvadrat

Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved

1) at tegne et kvadrat,

2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og

3) tegne linjestykker som vist herunder.

I kan også se Tages kvadrat på bilag 1.

Tage Werner påstod bl.a., at

1) de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange

2) der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan beregnes

3) størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer kan findes ved beregninger.

Problemstilling

Jeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet.

I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer.

Ideer:

Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10.

Side 65 af 97

Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere

forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at

måle?

Læg mærke til nogle af figurerne, der ”gemmer” sig i Tages kvadrat:

Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede ”makkere”? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre på,

at figurerne er kongruente og/eller ligedannede?

Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer.

Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27 ? Kan I finde vinklens størrelse på fle-

re forskellige måder?

Kan I bruge resultatet fra før til at beregne størrelsen af flere vinkler i Tages kvadrat?

Side 66 af 97

Bilag 1 Tages kvadrat

Tages kvadrat - Lærervejledning

Forberedelse:

Eleverne skal have et geometriprogram til rådighed, fx ”GeoGebra” og flere kopier af bilag 1.

Side 67 af 97

Faglige fokuspunkter:

Oplægget giver eleverne gode muligheder for at beskæftige sig med næsten alle de trinmål,

som er knyttet til fagområdet geometri.

Fra et kompetenceperspektiv er det ræsonnementskompetencen, der er i fokus, men oplæg-

get giver også eleverne gode muligheder for at vise problemløsningskompetence og hjælpe-

middelkompetence.

I forbindelse med ”arbejdsmåder” er det især trinmålet: ”undersøge, systematisere og ræ-

sonnere med henblik på at generalisere”, der er i spil.

Ideer til udfordringer og støtte:

Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometri-

program. I den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da side-

længden vil have betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med op-

lægget. En mulighed er at vælge sidelængden 10. Dette tal giver ”rimelig runde tal” i bereg-

ningerne. Men eleverne kan også vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en til-

fældig sidelængde, som evt. justeres senere i forløbet.

Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsnin-

gerne. Men det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i

forbindelse med udfordringerne - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres

Side 68 af 97

viden og færdigheder i forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor

langt deres ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne.

For nogle elever kan det være en fordel at klippe ”delfigurer” ud af bilag 1 i forbindelse med

deres arbejde med påstand 2).

Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret un-

der ”ideer”), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser,

vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler.

Skolevejen

www.map.krak

Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg

”Hvor langt har du egentlig til skole?”

Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet

lige uden for skolen.

”Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg

gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved

jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu

sveder jeg,” griner Emil, ”Hvad med dig?”

Emil

Agerkrogen 2

Jernbaneoverskæring

Skolen

http://www.map.krak/

Side 69 af 97

”Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg”, svarer Maria.

”Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks”, siger Emil og kigger på uret på sin mobil.

Problemstilling

Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden.

I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre end 1 kilometer til skole.

I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid,

det tager.

I skal sammenligne rejsevejledninger på www.krak.dk og https://maps.google.com/

Ideer til oplægget - I kan taste jeres egen skolevej ind i www.krak.dk og https://maps.google.com/ og kommen-tere, hvordan forslagene passer med jeres egen virkelighed. - I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene ind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj. - På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der kan foretages beregninger. På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN. En elev har målt, at hun har 650 meter til skole. I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har fo-retaget turen på forskellige måder.

[regnearket bør designes til den aktuelle prøvesituation]

http://www.krak.dk/


http://www.krak.dk/


Side 70 af 97

Kommentarer til SKOLEVEJEN

Materialer:

Eleverne skal have obligatorisk adgang til computer med adgang til internettet.

Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort.

Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både

www.krak.dkoghttps://maps.google.com/

Vurdering af elevernes matematiske kompetencer kan foregå på baggrund af følgende tre

spørgsmål:

e) Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen?

f) Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? g) Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed

i spil i sin gruppe? h) Kan eleven kommunikere med og om matematik?

Vedr. a)

I oplægget har eleverne mulighed for vise kendskab til modelleringskompetencen, som kan indeholde disse

proceselementer:

Kan eleverne definere og afgrænse problemet?

Kan eleverne opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med en problemstilling?

Kan eleverne udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen?

Kan eleverne analysere sine resultater i forhold til problemstillingen?

Kan eleverne anvende modellen i andre sammenhænge?

http://www.krak.dk/


Side 71 af 97

Vedr. b)

Eleverne har mulighed for i oplægget at bringe sin faglige viden om måling af afstand, tid og hastighed og

målestok i spil. Desuden har eleverne mulighed for at demonstrere viden og kunnen i arbejdet med regne-

ark, enten på egen hånd eller med assistance af det bearbejdede regneark, der kan udleveres.

Vedr. c)

Eleverne har mulighed for at undersøge og eksperimentere, blandt andet vedhjælp af regneark. Eleverne

skal anvende dialogen i gruppen til at afgøre, hvordan afstande mellem destinationer kan måles, og hvor-

dan anvendelse af de forskellige transportmuligheder influerer på farten

Desuden skal det bedømmes, om eleverne kan samarbejde fagligt med gruppen på punkter som disse:

Bliver der lavet en arbejdsplan, og er gruppen i stand til at arbejde bevidst i henhold til denne?

Tager de enkelte elever initiativer?

Er gruppen i stand til at konkludere på diskussioner?

Vedr. d)

I kommunikation vægtes det, om eleverne kan indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe,

og om eleven kan fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog og med vekslen mellemhverdags-

sprog og matematisk sprog.

3.3.2.4. Hjælpemidler og it

2.12. Ved prøven må eleverne anvende alle hjælpemidler. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende compu-ter.


Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opga-ver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kom-pendier, ordbøger med videre.



Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpe-midler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysnin-ger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til e-mail, SMS eller sociale medier som fx Mes-senger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets, mobiltele-foner eller smartphones.

Side 72 af 97


3.3.2.5. Prøvens forløb



Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve er det en god ide at indlægge en pause på 10-15 mi-nutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum, dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden.

En runde varer 120 min. Der bør afsættes ca. ½ time til, at:

Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca. 5-10 min.


Eleverne får deres karakterer - eventuelt med en kort begrundelse.

Der er hermed cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupperne og samtalerne mellem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således:


2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt cen-sor

Den afsluttende samtale som runder prøven af, og som bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer.


3.3.2.6. Vurderingskriterier



Desuden bedømmes elevens faglige fordybelse og forståelse af større sammenhænge.

Side 73 af 97


Eleverne skal vurderes og bedømmes individuelt.

Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål 2009. De har deres baggrund i ”Kompetencer og matematiklæring” udgivet af ministeriet i 2002 (kan findes på http://pub.uvm.dk/2002/kom/), også kaldet KOM-rapporten.


Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål, idet der lægges vægt på faglig fordybelse og forståelse af større sammenhænge:





Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompeten-cerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer kan lægges på dem. Det drejer sig om modellerings- og ræsonnementskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der tre kompeten-cer, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg.










Side 74 af 97





















Side 75 af 97





Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompeten-ce, som er central, når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter:







Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en un-derliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. Opmærksomhedsfelt:





Side 76 af 97



















Faglige begreber: Læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner

Side 77 af 97

Metoder: Deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner

Arbejdsmåder: Undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger

Arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger

Fælles Mål




Gennemfører eleven matematiske undersøgelser?


3.3.2.7. Endelig karakterfastsættelse



Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede. Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder flg. regler:





Som hjælp til bedømmelsen er her den vejledende karakterbeskrivelse.

Side 78 af 97






Eleven fremlægger velstruktureret med sikker brug af faglige begrundelser og udtrykker sig klart med sikker anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematik-kens sprog. Eleven indgår på en sikker måde i dialog om forelagte problemer.

Eleven viser i sit arbejde og i dialog faglig fordybelse og forståelse af større sammenhænge.






Eleven viser i sit arbejde og i dialog nogen faglig fordy-belse og kendskab til større sammenhænge.

Side 79 af 97




Eleven viser usikkerhed i sit undersøgende arbejde med problemstillinger. Eleven viser kun få initiativer og er usikker i det faglige samarbejde med sin gruppe.


3.3.3. Prøveform B

Prøveform B

2.16. Der opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets centrale kundskabs- og færdighedsområder. Af opgivel-serne skal desuden fremgå, hvilke it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen, kravene til de skriftlige redegørelser, jf. pkt. 2.19, og titlerne på de enkelte elevers opgivne skriftlige redegørelser.

2.17. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever og tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne.

2.18. Hver elev samler i årets løb en portfolio fra mindst fire undervisningsforløb, hvoraf et eller flere kan have bag-grund i den enkelte elevs brobygning eller praktik. Til hvert undervisningsforløb udarbejder eleven i samarbejde med andre elever eller individuelt en skriftlig redegørelse på 2-5 sider, som indeholder de problemstillinger og faglige områ-der, der er arbejdet med, eventuelle fotos af konkrete produkter eller situationer samt links og kilde- og litteraturhen-visninger. I starten af skoleåret udarbejder læreren i samarbejde med eleverne faglige og formmæssige krav til de skriftlige redegørelser, som opfylder fagets mål og indhold.

2.19. I passende tid inden den skriftlige prøve sammensættes de grupper, som eleverne aflægger prøve i. Inden de skriftlige prøver udvælger gruppen de fire undervisningsforløb, der skal trækkes lod indenfor. Har gruppen forskellige redegørelser fra et undervisningsforløb, skal den beslutte, om redegørelserne skal sammenskrives til én, eller om hver elev fremlægger sin individuelle redegørelse under prøven. Grupper, som vælger at sammenskrive deres redegørelser, skal gives tid til dette arbejde i undervisningen. Inden den skriftlige prøve trækker gruppen lod mellem de valgte un-dervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Resultatet af lodtrækningen afsløres først ved prøvens begyndelse.

2.20. Læreren udarbejder et kort prøveoplæg til hver gruppe med en problemformulering, der tager udgangspunkt i det lodtrukne undervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Prøveoplæggene sendes til censor sammen med de til-hørende elevredegørelser.

Side 80 af 97


2.22. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, meto-der, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. I samtalen indgår en kort fremlæggelse af den skriftlige redegørelse. Prøven afsluttes med en uddybende samtale.



Desuden bedømmes elevens faglige fordybelse og forståelse af større sammenhænge samt elevens fremlæggelse af sin skriftlige redegørelse.



Prøveform B adskiller sig fra prøveform A ved at bygge på en redegørelse fra elevens portfolio, der er op-bygget gennem 10. klasse. Men prøveform B indeholder også et prøveoplæg med en problemstilling, der dog er mindre i omfang end oplæggene i prøveform A . Elevernes arbejde med oplægget indgår i vurderin-gen sammen med elevens fremlæggelse af sin redegørelse.

3.3.3.1. Tekstopgivelser

2.16. Der opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets centrale kundskabs- og færdighedsområder. Af opgivel-serne skal desuden fremgå, hvilke it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen, kravene til de skriftlige redegørelser, jf. pkt. 2.19, og titlerne på de enkelte elevers opgivne skriftlige redegørelser.


Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en opremsning af de faglige områder, eleverne har været un-dervist i. Det skal beskrives, hvordan der er skabt matematiske situationer, hvor eleverne har kunnet udvik-le deres matematiske kompetencer. Det kan fx være



Disse kan indgå i elevens portfolio og danne grundlag for udarbejdelsen af de fire redegørelser, der skal bruges ved prøven.

Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det I tekstopgivelsen frem-gå, om eleverne kender de otte matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om ele-

Side 81 af 97

verne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedøm-melsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen.

De anvendte it- værktøjer med programnavne skal fremgå.

Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbasere-de læremidler.

Endelig skal arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på.

3.3.3.2. Regler for gruppestørrelse

2.17. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever og tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne.


§ 8. Stk. 2. Skolens leder kan i særlige tilfælde beslutte, at en prøve, som er tilrettelagt som gruppeprøve, i stedet tilrettelægges som en individuel prøve for en elev, når det er begrundet i hensyn vedrørende eleven


Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse – dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt.



De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulig-hed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompe-tencer er i denne sammenhæng de matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål 2009.

Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive: Eleverne får at vide, hvilken redegørelser de skal prøves i, og får deres prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne med en kort begrundelse.

Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer.


Side 82 af 97


Denne paragraf overholdes ved, at eleverne trækker lod mellem deres fire redegørelser lige før den skriftli-ge prøve, men de får først resultatet at vide, når prøven starter. Da prøveoplægget knytter an til den lod-trukne redegørelser, skal der kun fremstilles et prøveoplæg til hver gruppe.

Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper og gruppestørrelse. Det skal understreges, at det er eksem-pler, og at der kan udmærket være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe.

Antal elever

1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde

12 3 grupper á 2 3 grupper á 2


2 grupper á 2 2 grupper á 2

14 2 grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á 2


2 grupper á 2







2 grupper á 2






22 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2


24 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2


26 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á 2





30 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2

Side 83 af 97

3.3.3.3. Arbejdet med portfolio

2.18. Hver elev samler i årets løb en portfolio fra mindst fire undervisningsforløb, hvoraf et eller flere kan have bag-grund i den enkelte elevs brobygning eller praktik. Til hvert undervisningsforløb udarbejder eleven i samarbejde med andre elever eller individuelt en skriftlig redegørelse på 2-5 sider, som indeholder de problemstillinger og faglige områ-der, der er arbejdet med, eventuelle fotos af konkrete produkter eller situationer samt links og kilde- og litteraturhen-visninger. I starten af skoleåret udarbejder læreren i samarbejde med eleverne faglige og formmæssige krav til de skriftlige redegørelser, som opfylder fagets mål og indhold.

2.19. I passende tid inden den skriftlige prøve sammensættes de grupper, som eleverne aflægger prøve i. Inden de skriftlige prøver udvælger gruppen de fire undervisningsforløb, der skal trækkes lod indenfor. Har gruppen forskellige redegørelser fra et undervisningsforløb, skal den beslutte, om redegørelserne skal sammenskrives til én, eller om hver elev fremlægger sin individuelle redegørelse under prøven. Grupper, som vælger at sammenskrive deres redegørelser, skal gives tid til dette arbejde i undervisningen. Inden den skriftlige prøve trækker gruppen lod mellem de valgte un-dervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Resultatet af lodtrækningen afsløres først ved prøvens begyndelse.


Eleverne samler individuelt i årets løb en portfolio fra mindst 4 undervisningsforløb, hvoraf et eller flere kan have baggrund i den enkelte elevs brobygning eller praktik. Til hvert undervisningsforløb udarbejder eleven, gerne i samarbejde med andre elever, en skriftlig redegørelse på 2-5 A4 sider, der indeholder de problem-stillinger og de faglige områder, der er arbejdet med. Læreren skal fra skoleårets start afgøre, om eleverne skal kende de 8 matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. I redegørelserne skal indgå eventuelle fotos af konkrete produkter eller situationer samt kildehenvisninger.

Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve. Prøvegrupperne sammensættes først, når den mundtlige prøve nærmer sig. Det behøver ikke at være de samme som arbejdsgrupperne i årets undervisningsforløb, se senere.

I starten af skoleåret udarbejder læreren i samarbejde med eleverne en række krav til de skriftlige redegø-relser både fagligt og formmæssigt, således at fagets mål og indhold tilgodeses. Ud over de områder, der er nævnt ovenover, kan det fx være:

at redegørelserne afleveres elektronisk

at eleverne fremstiller en plakat i A3 størrelse med det vigtigste fra undervisningsforløbet

at der i et eller flere forløb indgår konkrete produkter som fx en rumlig model, en digital præsenta-tion, en planche eller en rapport.

Et eksempel på krav til redegørelser

Overskrift.

Problemstillinger der er arbejdet med. Problemstillingerne bruges som afsæt til at komme i gang med en opgave. Hvad er det, I skal undersøge? Der skal redegøres for, hvordan de enkelte fagom-råder kan anvendes, og hvordan man bruger matematikken til at beskrive natur- eller samfundsfor-hold.

En redegørelse, der indeholder de faglige områder og evt. de matematiske kompetencer, der er ar-bejdet med. Redegørelsen skal indeholde de tegninger og matematiske beregninger, der er brugt.

Formler og begreber. Det skal fremgå tydeligt, hvilken faglig viden I har gjort brug af.

Egne noter, for eksempel kommentarer til formler, egne observationer og huskeliste.

Side 84 af 97

Litteratur, der er brugt i forløbet.

Hjemmesider og links, og evt. fotos.

Værktøjer der er brugt.

Hver elev i gruppen afleverer en redegørelse. Redegørelserne behøver ikke at være helt ens i grup-pen.

Undervisningsforløbene kan tage udgangspunkt i praktiske problemstillinger, som eleverne arbejder med matematisk, for eksempel:

I har startet en fyrfadslysfabrik. I skal produktudvikle forskellige størrelser og former for lys, opstille budget og overveje emballage og transport.

Ud fra din største fritidsinteresse skal du vælge en eller flere praktiske problemer, du kan bearbejde matematisk.

Undersøg hvilken matematik, der anvendes på den virksomhed eller uddannelse, du tilbragte din brobygningsperiode på.

Udgangspunktet kan også være et fagligt emne, der arbejdes med på forskellig vis fx:

Undersøg anvendelsen af lineære funktioner i forskellige praktiske situationer.

Undersøg forskellige former for vækst, deres anvendelse og forskelle.

Undersøg i et dynamisk geometriprogram linjerne ved trekanten, deres skæringspunkter og skæ-ringspunkternes indbyrdes placering.

Læreren bør fremstille et oplæg til hvert undervisningsforløb, der kan sætte eleverne i gang med arbejdet.

Ofte vil det være en fordel, at klassen arbejder under den samme overskrift, men læreren og klassen kan også beslutte, at et eller flere forløb er ud fra elevernes individuelle valg.

Det er en fordel, hvis eleverne har mulighed for efter et forløb at få respons på deres arbejde, for eksempel i forbindelse med en mundtlig fremlæggelse for klassen. Det vil dels styrke det mundtlige arbejde, dels give læreren et indtryk af, om eleven kan forstå og fremlægge sin redegørelse. Eleverne må gerne arbejde sam-men i de forskellige forløb, men skal aflevere individuelle redegørelser. Det er ikke nødvendigt, at eleverne arbejder i de samme grupper hele skoleåret, man kan sagtens skifte gruppe flere gange. Det er baggrunden for, at redegørelserne skal udarbejdes af hver elev til portfolioen. Først når den mundtlige prøve nærmer sig, dannes de grupper, som eleverne skal være i til prøven. Disse grupper kan være af en anden sammen-sætning end grupperne i årets løb.Derfor har den enkelte elev brug for sin egen portfolio med sine egne redegørelser til arbejdet i prøvegruppen.

10 eksempler på undervisningsforløb, der kan danne grundlag for elevens portfolio.

1) Sport (a) Indhold: Tal og algebra (fx klubøkonomi), geometri (fx tegning og beregning af baner),

statistik (medlemstal). (b) Kompetencer: Modellering. (c) Arbejdsmåder: Faglig læsning. (d) Kommentarer: Emnet er et traditionelt folkeskoleemne. Det har optrådt i mange

mundtlige prøveoplæg og været temaet i mange skriftlige prøvesæt. Der er derfor mu-lighed for at arbejde både mundtligt og skriftligt med temaet.

2) Matematikmorgener

Side 85 af 97

(a) Indhold: Find matematikken i dit liv, fra du vågner, til du er i skolen. Alle faglige emner kan komme i brug.

(b) Kompetencer: Modellering. (c) Arbejdsmåder: Undersøgelser. (d) Kommentarer: udgangspunktet kan være et andet end morgenen.

3) Statistik i medierne (a) Indhold: Statistik og sandsynlighed. Udgangspunkt i mediernes brug. Gennemførelse af

egne undersøgelser med statistisk bearbejdning. Bearbejdning af data fra for eksempel. Danmarks Statistik.

(b) Kompetencer: Modellering. (c) Arbejdsmåder: Faglig læsning. (d) Kommentarer: Knytter an til et lidt overset trinmål for 10. klasse og fagets formålspara-

graf stk. 3. 4) Flytte hjemmefra

(a) Indhold: Økonomi omkring emnet. Opsparing, gæld, budgetlægning mv. (b) Kompetencer: Hjælpemiddelkompetencen. (c) Arbejdsmåder: Faglig læsning og undersøgelser. (d) Kommentarer: Klassisk tema brugt i mange undervisningsforløb.

5) Astronomi (a) Indhold: Tal og algebra, geometri. (b) Kompetencer: Modellering, symbolbehandling. (c) Arbejdsmåder: Faglig læsning. (d) Kommentarer: Et tema, der kan arbejdes på mange niveauer.

6) Kost og motion (a) Indhold: Tal og algebra. (b) Kompetencer: Modellering. (c) Arbejdsmåder: Undersøgelse. (d) Kommentarer: Et tema som altid er aktuelt og evt. kan indgå i samarbejde med andre

fag eller de timeløse emner. 7) Naturen

(a) Indhold: Fibonacci talrækken, model for population og føde (b) Kompetencer: Modellering (c) Arbejdsmåder: Den undersøgende arbejdsform. (d) Kommentarer: Den første del er velbeskrevet i mange lærebøger.

8) Funktioner i forskellige repræsentationer. (a) Indhold: Tal og algebra, koordinatsystem. (b) Kompetencer: Repræsentations- og modelleringskompetencen. (c) Arbejdsmåder: Undersøgende arbejdsmåder ved hjælp af it. (d) Kommentarer: Et klassisk tema beskrevet i flere lærebøger.

9) Mønstre (a) Indhold: Talfølger og talmønstre, algebra med udgangspunkt i geometriske figurer.

Geometri. (b) Kompetencer: Modellering og symbolbehandling. (c) Arbejdsmåder: Undersøgelser. (d) Kommentarer: Et lidt overset trinmål.

10) Vækstfunktioner (a) Indhold: Tal og algebra, koordinatsystem. (b) Kompetencer: Modellering. (c) Arbejdsmåder. Undersøgelser. (d) Kommentarer: Med i flere lærebøger og i formelsamlingen.

Side 86 af 97

Før den skriftlige prøve sammensættes prøvegrupperne, og det er op til læreren at finde et passende tids-punkt. Grupperne udvælger fire undervisningsforløb, der skal være ens for hele gruppen.

I prøvegruppen kan eleverne vælge mellem flere muligheder:

at skrive en fælles redegørelse på baggrund af de individuelle. Eleverne skal sikre sig, at alle i grup-pen har ejerskab til den fælles redegørelse.

at skrive hver sin redegørelse om ud fra den læring, der er sket siden redegørelsen blev skrevet.

at aflevere de individuelle redegørelser, som de er i elevernes portfolio.

Det kan være en fordel for nogle elever at kunne tilrette redegørelsen inden afleveringen ud fra den læring, der måske er sket efter forløbet. Men på den anden side er det udtryk for en god dækningsgrad af de ma-tematiske kompetencer, når elever i deres fremlæggelse kan forholde sig kritisk til deres egen redegørelse og rette evt. fejl eller komme med forbedringer af problemløsningen.

Lige før den skriftlige prøve afleverer eleverne deres 4 redegørelser eller en disposition for deres redegørel-se, hvis de vælger at skrive redegørelserne om eller udarbejde en fælles redegørelse.

Eleverne trækker gruppevis lod mellem deres 4 redegørelser eller dispositioner, men får ikke resultatet før prøven starter. Herefter udarbejder læreren korte prøveoplæg til hver gruppe. Tekstopgivelserne, de ud-trukne redegørelser eller dispositioner samt prøveoplæg sendes til censor.

Elever, der har valgt at skrive deres redegørelser om, afleverer disse senest hverdagen før de mundtlige prøver starter.

To eksempler på disposition for elevredegørelser:

Titel: Flytte hjemmefra

Problemstilling. Hvad koster det at flytte hjemmefra, og hvordan får man pengene til at slå til?

Matematisk indhold: Sammenligning af priser på forskellige boligtyper. Undersøgelse af forskellige lån ved hjælp af regneark. Boligindretning med grundplans-tegning i geometriprogram. Budgetlæg-ning i regneark.

Disposition til en mundtlig fremlæggelse:

Mit budget i regneark med forklaring af formler.

Gennemgang af gældsannuitet i et regneark

Tegning af min bolig i programmet GeoGebra.

Produkter: GeoGebra-film af min konstruktion. Regneark med simpel fremskrivning af annuiteter. Budget.

Kilder: Den Danske Bank, Dankredit, Finansrådet

Titel: Vækst

Problemstilling. Hvordan kan man beskrive en vækst på forskellige måder, og hvordan finder man ud af, hvilken vækstfunktion, der er bedst?

Matematisk indhold: Lineær vækst, både sammenhængende, punktvis og stykkevis. Eksponentiel vækst

Disposition til en mundtlig fremlæggelse:

Side 87 af 97

Gennemgang af lineær vækst med et praktisk eksempel: Opsparing uden rente.

Gennemgang af eksponentiel vækst med to eksempler: Bakteriekoloni og opsparing med rente.

Produkt: GeoGebra-film og regneark med diagrammer

Kilder: Lærebogen og formelsamlingen.

Et ofte stillet spørgsmål er: Hvad gør man med elever, der er startet i klassen midt i skoleåret?

Der er flere muligheder for at løse sådanne problemer.

De nye elever deltager i matematikundervisningen i en anden klasse, der har valgt prøveform A.

De nye elever arbejder ekstra med at udbygge deres portfolio.

De nye elever samles på et særligt hold, der går op i prøveform A.

Et andet hyppigt stillet spørgsmål er: Hvad gør man med elever, der ikke afleverer 4 redegørelser?

Efter de gældende regler, kan de ikke gå til den mundtlige prøve. Prøven er ikke obligatorisk, så eleven kan undlade at melde sig til denne prøve. I særlige tilfælde kan skolens leder beslutte at anvende en af de oven-stående muligheder.

3.3.3.4. Prøveoplæg

2.20. Læreren udarbejder et kort prøveoplæg til hver gruppe med en problemformulering, der tager udgangspunkt i det lodtrukne undervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Prøveoplæggene sendes til censor sammen med de til-hørende elevredegørelser.


Forud for selve prøven udarbejder læreren et kort prøveoplæg med en problemformulering, der tager ud-gangspunkt i den lodtrukne redegørelse. Prøveoplægget sendes til censor sammen med elevens redegørel-se eller disposition.

Prøveoplægget kan have en praktisk eller en matematisk problemstilling, og der kan lægges op til en under-søgelse af et matematisk emne med udgangspunkt i elevernes redegørelse. Oplægget skal være meget kort og som regel uden bilag.

Da eleverne i vidt omfang har arbejdet med de samme emner og temaer, vil fremstillingen af de korte prø-veoplæg være relativt nemmere end i prøveform A, da der kan udarbejdes små variationer over den sam-me læst, som dog skal svare til den enkelte elevs redegørelse.

3.3.3.5. Hjælpemidler og it



Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opga-

Side 88 af 97

ver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kom-pendier, ordbøger med videre.



Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpe-midler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysnin-ger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til e-mail, SMS eller sociale medier som fx Mes-senger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets, mobiltele-foner eller smartphones.


3.3.3.6. Prøvens forløb

2.22. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, meto-der, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. I samtalen indgår en kort fremlæggelse af den skriftlige redegørelse. Prøven afsluttes med en uddybende samtale.


Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve, er det en god ide at indlægge en pause på 10-15 mi-nutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden.

En runde varer 120 min. Der bør afsættes ca. ½ time til:

Eleverne får resultatet af lodtrækningen at vide og finder den aktuelle redegørelse, ca. 5 min.


Eleverne får deres karakterer - eventuelt med en kort begrundelse.

Der er hermed 90 min. til elevernes arbejde i grupperne, fremlæggelse af redegørelsen og samtalerne mel-lem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således:


2. samtale: Elevernes fremlæggelse af redegørelsen. Der bør være lige meget tid til alle i gruppen.

Yderligere 1-2 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og evt. censor

Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer.

Side 89 af 97


3.3.3.7. Vurderingskriterier



Desuden bedømmes elevens faglige fordybelse og forståelse af større sammenhænge samt elevens fremlæggelse af sin skriftlige redegørelse.


Eleverne skal vurderes og bedømmes individuelt. Elevens fremlæggelse af sin/gruppens redegørelse indgår i bedømmelsen. Den skriftlige redegørelse indgår ikke i bedømmelsen.

Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål 2009. De har deres baggrund i ”Kompetencer og matematiklæring” udgivet af ministeriet 2002 (kan findes på http://pub.uvm.dk/2002/kom/), også kaldet KOM-rapporten.


Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål idet, der lægges vægt på faglig fordybelse og forståelse af større sammenhænge:





Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompeten-cerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer kan lægges på dem. Det drejer sig om modellerings- og ræsonnementskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der tre kompeten-


Side 90 af 97

cer, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg.




















Side 91 af 97














Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompeten-ce, som er central når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter:



Side 92 af 97





Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en un-derliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. . Opmærksomhedsfelt:












Side 93 af 97












Faglige begreber: læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner

Metoder: deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner

Arbejdsmåder: undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger

arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger

Fælles Mål




Gennemfører eleven matematiske undersøgelser?


Side 94 af 97

3.3.3.8. Endelig karakterfastsættelse



Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede. Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder flg. regler:





Som hjælp til bedømmelsen er her en vejledende karakterbeskrivelse:






Eleven fremlægger velstruktureret med sikker brug af

Side 95 af 97

faglige begrundelser og udtrykker sig klart med sikker anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematik-kens sprog. Eleven indgår på en sikker måde i dialog om forelagte problemer.

Eleven viser i sit arbejde og i dialog faglig fordybelse og forståelse af større sammenhænge.






Eleven viser i sit arbejde og i dialog nogen faglig fordy-belse og kendskab til større sammenhænge.




Eleven viser usikkerhed i undersøgende arbejde med problemstillinger. Eleven viser kun få initiativer og er usikker i det faglige samarbejde med sin gruppe.


Side 96 af 97

4. Vejledning af eleverne før de skriftlige prøver

I forbindelse med det daglige arbejde med mundtlig matematik og med skriftlige opgaver, skal læreren i god tid inden de afsluttende skriftlige og mundtlige prøver orientere eleverne om de retningslinjer og sær-lige forhold, der gælder for prøverne. Det er derfor væsentligt, at skolens ledelse og lærere følger med i eventuelle ændringer, som vil kunne læses på www.ktst.dk, samt i evalueringen af prøverne i de årlige PEU-publikationer. Følgende tekst kan udleveres til eleverne i forbindelse med orienteringen om de afsluttende prøver i faget:

FSA, prøven i matematiske færdigheder:

Du vælger selv skriveredskab, men tal og tekst skal kunne læses entydigt, for at du får point for op-gaven.

Du må kun skrive dine løsninger på det udleverede opgaveark.

Du må bruge praktiske hjælpemidler som lineal, vinkelmåler, passer.

Denne del af prøven varer 60 minutter, og du får én karakter.

FSA, matematisk problemløsning og FS10, skriftlig matematik:

Du må medbringe formelsamlingen med dine noter, dine egne optegnelser, din matematikbog, op-slagsbøger og andet du mener at få brug for.

Du må benytte de nødvendige praktiske hjælpemidler som lineal, vinkelmåler, passer, lommereg-ner mv.

Skolelederen afgør, om der må anvendes computer. Bruger du computer, må du bruge alle de pro-grammer, du kender. Du får adgang til en eller flere regnearksfiler, der kan bruges til at løse en eller flere opgaver med. Du må også anvende internet-baserede hjælpemidler, hvis skolen har givet til-ladelse.

Du må ikke snyde ved at give andre elever dine resultater eller selv modtage resultater. Hvis du har adgang til internettet, må du ikke gå på FaceBook, Twitter og lignende, og du må ikke sende eller modtage beskeder. Konsekvensen af snyd er bortvisning.

Du er selv ansvarlig for at samle de ark, du vil have bedømt. Ved ark forstås ikke sider, for eksempel er et foldet svarark eller foldet papir i A3-format ét ark. Du vælger selv, hvad der skal afleveres til bedømmelse. Du skal nummerere hvert afleveret ark, skrive det samlede antal ark og underskrive på forsiden. Du må i din besvarelse ikke henvise til bilag, du ikke afleverer. Du må ikke aflevere op-gaver i to versioner. De risikerer ikke at blive bedømt. Den tilsynsførende kontrollerer, at alt er kor-rekt, og underskriver.

Du må ikke kun skrive et facit, du skal også skrive tekst og regneudtryk i de fleste opgaver.

Prøven varer 3 timer, og du får én karakter.

Mundtlig gruppeprøve

Prøve er udtræk, men du skal være godt forberedt gennem undervisningen.

Du får at vide, om du skal til mundtlig prøve samtidig med de andre prøver, der er til udtræk.

Du skal være med til at vælge grupper på 2-3 elever, der går til prøve sammen.

I er højst 6 elever til prøve samtidig.

I får et prøveoplæg og måske nogle filer til computeren, bilag med oplysninger og konkrete mate-rialer.

I skal samarbejde om at løse nogle matematiske problemer.

Side 97 af 97

Din lærer og en censor kommer rundt og snakker med jer om det, I har fundet ud af. Derfor er det godt med nogle notater, men I skal ikke aflevere noget som til den skriftlige prøve.

Prøven varer 2 timer, og I får hver en karakter, og det behøver ikke at være den samme.

5. Lærernes forberedelse og undervisning

Som lærer i matematik i overbygningen er der en del tekster, der skal læses, fordi de er nødvendige i forbe-redelsen af undervisningen og forberedelse af eleverne til afgangsprøven. De vigtigste nævnes her:

Fælles Mål 2009 både slut- og trinmål, læseplan og dele af undervisningsvejledningen.

Formelsamlingen, som bl.a. angiver hvilket matematiske områder, der forventes arbejdet med.

Prøvebekendtgørelsen, som i vidt omfang er citeret i dette skrift.

Prøvevejledningen, som du læser nu.

Vejledende mundtlige prøveoplæg og eksempelprøver til arbejde med it ved de skriftlige prøver.

PEU-publikationen, som evaluerer årets prøver og giver gode råd til undervisningen.

Karakterbekendtgørelsen og de vejledende karakterbeskrivelser.

Orientering om folkeskolens afsluttende prøver, der udgives hvert år og bl.a. indeholder alt om reg-ler og procedurer.

På Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside, www.ktst.dk kan du finde alle teksterne eller links til dem. Da der sommetider sker ændringer, bør man regelmæssigt tjekke, om der er sket ændringer i nogle af tek-sterne.

Læreren skal forberede eleverne til prøven gennem det daglige arbejde med matematik.

Ofte vil det foregå ved, at eleverne løser gamle prøvesæt og får en karakter for deres besvarelser. Men også andre arbejdsformer har betydning for forberedelse af eleverne til afgangsprøven. I det skriftlige ar-bejde kan der også med fordel arbejdes med procesorienteret problemløsning. Læreren og/eller kammera-ter kan indgå som responsgivere. Endelig kan der også overvejes andre former for skriftligt arbejde for ek-sempel små faglige rapporter. Det mundtlige arbejde med matematik skal præge undervisningen, da det er en væsentlig del af Fælles Mål 2009, eleven skal have en standpunktskarakter i mundtlig matematik og

eleven kan komme til en mundtlig prøve. På Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside, www.ktst.dk, er der vejledende prøveoplæg til den mundtlige prøve.

Lærerne kan få meget information og hjælp på:

www.uvm.dk. Her kan man ud over Fælles Mål 2009, 7-trinsskalaen også finde publikationer og an-dre informationer, der kan have betydning for lærerens arbejde.

www.ktst.dk. Her kan man finde alt vedrørende prøverne.

Matematiklærernes konference på Skolekom.

http://www.ktst.dk/

http://www.ktst.dk/

http://www.uvm.dk/

http://www.ktst.dk/

Documents

Vejledning til prøverne i faget matematik · PDF fileHjælpemidler og it ... i matematiske færdigheder vil rumme flest opgaver, ... kan med fordel løses ved hjælp uformelle metoder