Vektor

Vektor memiliki besaran dan arah.Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.

Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi,massa dan waktu.

Susunan Koordinat Ruang-n

a. Ruang dimensi satu (R1)

R O P E ATitik O mewakili bilangan nol ditulis O(0), titik E

mewakili bilangan 1 ditulis E(1).P(2/5) artinya P mewakili bilangan 2/5 dan P diletakkan

ke arah E (arah positip) sehingga OP = 2/5 satuan.

b. Ruang dimensi dua (R2)

Setiap pasangan bilangan riel (koordinat titik) dapat

diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata,

yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang

dimensi dua, ditulis R2.

c. Ruang dimensi tiga (R3)

d. Ruang dimensi n (Rn)

Secara umum untuk Rn adalah pengembangan lebih

lanjut dari R3 dengan n adalah bilangan bulat

positip, maka suatu titik di dalam Rn dinyatakan

sebagai n-urutan bilangan riel.

Contoh : Titik X (x1, x2, ……….xn)

Geometri dan Aljabar VektorGeometri dan Aljabar Vektor

Vektor dalam Bidang (R2)Bidang Kartesian : x, yDefinisi : garis yang memiliki arah, yang menyatakan perpindahan satu titik (A) ke titik yang lain (B). Notasi : Titik A : titik awal atau ekor Titik B : titik akhir atau kepala

Y

B

A

x

AB

Kumpulan titik-titik dalam bidang merupakan kumpulan vektor yang berpangkal pada titik awal di titik asal O.

Pada umumnya untuk menyatakan vektor dengan menggunakan koordinat.Contoh : titik A=(3,2), maka penulisan vektor a = =(3,2) vektor b = =(-1,3) vektor c = =(2,-1)

OA

OB

OCA

B

C

O

Penjumlahan vektor

s a b

Mengikuti hukum :

• Komutatif :

a b b a

Assosiatif :

( ) ( )a b c a b c

Vektor adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :

b

( ) ( ) 0b b

b

Komponen vektor• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem

koordinat

Komponen vektor : a

cos dan sinx ya a a a

disebut komponen skalar atau komponen

Penjumlahan vektor dengan komponen

, setiap komponen sama dengan

komponen

s a b

s

a b

x x x

y y y

z z z

s a b

s a b

s a b

Besar vektor :

Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus :

Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus :

Dalil sinus :

a 2 2 dan tan x

x yy

aa a a

a

s

2 2 2 coss a b ab

dan a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

sin sin sin

a b c

a

b

c

α

β

γ

Vektor satuan:

Koordinat KartesiusVektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, dan i j k

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :a

b

disebut komponen vektor

ˆ ˆx ya a i a j

ˆ ˆx yb b i b j

Perkalian vektor :

• Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan

menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.

• Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar ProductDikenal sebagai : Dot product

a

a

a

a

Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor satuan dalam koordinat kartesius :

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = I . k = 0

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k ; j x i = - k

i x k = - j ; k x i = j

k x j = - i ; j x k = i

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :

. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b

Scalar product berlaku hukum komutatif

Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :

Diperoleh hasil akhir sebagai berikut : . .a b b a

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ).( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k

. x x y y z za b a b a b a b

Menghasilkan vektor :

Dengan besar c adalah :

sinc ab

x a b c

Besaran x a b

ditulis x 0a b

jika //a b

dan maksimum jika a b

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor

c

dan a b

dikenal sebagai hukum tangan kanan.

x ( x )b a a b

Penulisan dalam vektor satuan :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k

ˆ ˆ ˆ ˆ x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i

ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k

Hasil akhir :

ˆˆ ˆ x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k

Cara mudah untuk perkalian silang dengan mengunakan metode determinan

x y z

x y y

i j k

a x b = a a a

b b b

Cara lain : reduksi matrix 3x3 2x2

Vektor dalam ruang (R3)

Penjumlahan vektor dengan komponen vektor satuan

Contoh :Diketahui ujung vektor A terletak pada titik (2,2,2), vektor B pada

titik (1,2,3) dan masing-masing berpangkal di titik (0,0,0) pada ruang kartesius 3 dimensi di bawah ini :

Jawab : Vektor a dan b diuraikan pada sumbu x, y dan z

Perkalian titik (dot product)

Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2 vektor tak nol. Dan θ adalah sudut antara v dan w, maka hukum cosinus menghasilkan :

Perkalian silang (cross product) Definisi : Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2

vektor di R3 maka hasil kali silangnya adalah :

v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1)

Atau dalam notasi matrik

Contoh : Carilah u x v dengan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1)Jawab :

1 2 -2

3 0 1

2 -2 1 -2 1 2u x v , ,

0 1 3 1 3 0

2, 7, 6

Vektor di ruang dimensi n (Rn)

Contoh soal :

1 Dua buah vektor bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor

dua kali vektor dan , hitung !Jawab :

dan a b

a

b

3a b a b 2 2

2 2

2 cos

2 cos

a b a b ab

a b a b ab

2 2 2 22 cos 3 2 cosa b ab a b ab

2 216 cos 10 b b

051,32

2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama.

Jawab :

Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus

Dalil Cosinus :

Dalil Sinus :

2 2 01 2 1 22 cos 45

458,7

21,4 satuan

r v v v v

r

r

2 2 22 1 1

0

2 cos

297,7 342,4 cos =29,6

v v r v r

20

0

sin sin 13515(0,707)

sin =29,721,4

v r

v1

r

v2

450

v2

r

v1 v2

r

v1

1350

3 Diketahui 3 buah vektor

Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu zjika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :

Sudut antara dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan arah sumbu z.

Sudut antara diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.

ˆˆ ˆ1 3 4

ˆˆ ˆ1 2 2

ˆˆ ˆ3 1 3

a i j k

b i j k

c i j k

r

2r a b c

dan a b

2 2 2ˆˆ ˆ( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuanr i j k r

r

dan a b

0

. 1.( 1) ( 3).( 2) 4.(2)

13 cos 13 cos = =31,8

26 9

a b

a b

0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ. ( 2) . ( 7) . (13) .

13 cos 13 cos = =29.3

14.9

r k i k j k k k

r k

4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b

mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut.

Jawab :Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:

Sehingga diperoleh :

0252

0 0 0252 90 162

0 . cos (5)(4)cos162 19 satuana b ab

0 x sin (5)(4) sin162 6,18 satuana b ab

Soal Latihan :