BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Vektor merupakan salah satu materi yang diajarkan pada siswa SMA, terutama

bagi siswa program IPA. Vektor disajikan dalam dua mata pelajaran yaitu Fisika dan

Matematika, dua mata pelajaran yang biasa dianggap sebagai mata pelajaran yang

dianggap sulit oleh siswa.

Bicara tentang fungsi vektor, ada baiknya jika kita tahu terlebih dahulu apa itu

vektor. Kita mengenal vektor sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.

Sedangkan dalam matematika, vektor adalah anggota dari ruang vektor. Secara

geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis

menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arah vektor.

Pada dasarnya, setiap bagian dari matematika memiliki fungsi masing-masing.

Baik fungsi matematisnya, penerapannya dalam kehidupan maupun kaitannya dengan

ilmu agama. Tidak terkecuali dengan vektor. Secara matematis, kita kadang-kadang

menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A (x,y,z) mendefinisikan suatu medan

vektor karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Sementara

dari aplikasi vector banyak diterapkan dalam Fisika.

Dalam makalah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai sejarah, pengertian,

penulisan, operasi, serta aplikasi yang berkaitan dengan kajian vektor.

1.2. Rumusan Masalah

1. Bagaimanakah sejarah munculnya vektor?2. Apakah pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor dan bagaimana notasi

penulisanya?3. Apakah yang disebut dengan kesamaan 2 vektor, vektor posisi, vektor satuan,

dan vektor basis?4. Bagaimana mengoperasikan penjumlahan, pengurangan dan selisih dalam

vektor?5. Apa yang dimaksud dengan tiga titik segaris dan letak pembagiannya dalam

vektor?6. Bagaimana persamaan garis yang melalui dua dan tiga titik di R2 dan R3?7. Bagaimanakah vektor yang bebas linear dan bergantung linear itu?8. Apa yang termasuk aplikasi vektor pada Fisika?

1

1.3. Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

1. Dapat mengetahui sejarah munculnya vektor.2. Dapat mengetahui pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor dan

bagaimana notasi penulisanya.3. Dapat mengetahui mengenai kesamaan 2 vektor, vektor posisi, vektor satuan, dan

vektor basis.4. Dapat mengoperasikan penjumlahan, pengurangan dan selisih dalam vector.5. Dapat mengetahui mengenai tiga titik segaris dan letak pembagiannya dalam

vector.6. Dapat mengetahui persamaan garis yang melalui dua dan tiga titik di R2 dan R3.7. Dapat mengetahui vektor yang bebas linear dan bergantung linear.8. Dapat mengetahui aplikasi vektor pada Fisika.

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. SEJARAH VEKTOR

Vektor mengalami perjalanan panjang sebelumnya akhirnya dikenal sebagai konsep

keilmuan. Konsep mengenai vektor sendiri sangat tertutup bahkan asal-usulnya pun tidak

banyak diketahui. Hal ini menjadi penyebab utama Isaac Newton menciptakan sebuah

karya yang berjudul “Principia Mathematica”. Dalam Principia, Newton mengemukakan

vektor secara luas dengan apa yang sekarang dianggap benar adanya (misalnya, kecepatan,

kekuatan), tetapi hal ini bukanlah konsep dari sebuah vektor.

Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari

bilangan kompleks. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl

Friedrich Gauss (1777-1855), dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan

bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai

vektor dua dimensi. Matematikawan dan ilmuwan bekerja sama lalu menerapkan bilangan-

bilangan baru dalam berbagai cara. Misalnya, pada 1799 Carl Friedrich Gauss

mengungkapkan pentingnya dari bilangan kompleks untuk membuktikan teorema dasar

aljabar.

Pada 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865)

menunjukkan bahwa bilangan kompleks dapat dianggap abstrak

sebagai pasangan terurut (a,b) bilangan real. Ide ini merupakan

bagian dari langkah matematikawan, termasuk Hamilton sendiri.

Mereka mencari cara untuk memperluas "bilangan" dua dimensi

atau tiga dimensi, tetapi dengan tetap mempertahankan sifat-

sifat aljabar dasar dan bilangan kompleks pada kenyataanya

tidak ada yang mampu mencapai hal ini.

Pada 1827, August Ferdinand Möbius menerbitkan sebuah

buku pendek dengan judul “The Barycentric Calculus”, dimana ia

memperkenalkan segmen garis yang diarahkan dan dilambangkan

dengan huruf abjad. Dalam studinya mengenai pusat gravitasi dan

3August Ferdinand Möbius

William Rowan Hamilton

geometri proyektif, Möbius mengembangkan aritmatika segmen garis ini dengan

mengarahkan, menambahkan dan menunjukkan bagaimana untuk melipatgandakan segmen

garis aritmatika dengan bilangan real. Karena pada kenyataannya tidak ada orang lain yang

peduli untuk memperhatikan betapa pentingnya perhitungan ini. Hingga akhirnya Hamilton

menyerah untuk mencari sistem "bilangan" tiga dimensi tersebut dan sebagai gantinya ia

menciptakan sebuah sistem empat dimensi yang ia sebut dengan quaternions.

Dalam quaternions Hamilton menulis, q = w + ix + jy +kz dimana w, x, y, dan

z adalah bilangan real. Hamilton menyadari bahwa quaternions miliknya terdiri dari dua

bagian yang berbeda. Istilah pertama, ia disebut skalar dan x, y, z  untuk tiga komponen

persegi panjang, ia merasa dirinya telah terdorong untuk menyatakan lambang trinomial

serta baris yang mewakili sebuah vektor. Untuk mengembangkan quaternions miliknya

Hamilton menggunakan rumus dasarnya dimana: i2 = j2 = k 2 = – i j k = –1, ia pun

mengetahui bahwa produk miliknya, q1q2 = – q2q1 tidak komutatif.

Quaternions (1866), secara terperinci bukan hanya aljabar

quaternions tetapi juga bagaimana formula ini dapat

digunakan dalam geometri. Pada suatu kesempatan, Hamilton

menulis, “Saya harus menegaskan bahwa penemuan ini

tampaknya menjadi sama pentingnya pada pertengahan

abad kesembilan belas serta sebagai penutupan pada abad ketujuh

belas. Ini juga merupakan penemuan yang akan mengalami

perubahan secara terus menerus.” Dia juga  memiliki seorang

murid yang bernama Peter Guthrie Tait (1831-1901) yang pada

tahun 1850-an mulai menerapkan quaternions untuk masalah listrik dan magnet dan

masalah lain dalam fisika. Sampai akhirnya pada pertengahan abad ke-19, quaternions

mendapatkan reaksi keras baik positif maupun negatif dari komunitas ilmiah lain.

Pada waktu yang bersamaan saat dimana Hamilton menemukan

Quaternions, Hermann Grassmann (1809-1877) juga telah menyusun

The Calculus of Extension (1844) yang sekarang dikenal dengan judul

Jermannya yakni Ausdehnungslehre. Pada 1832, Grassmann mulai

mengembangkan “Kalkulus Geometris Baru" sebagai bagian dari studi

tentang teori pasang surut, dan ia kemudian menggunakan alat ini

untukmenyederhanakan bagian dari dua karya klasik yakni Mekanika

Analitik dari Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Mekanika

Celestial dari Pierre Simon Laplace (1749-1827).

4

Hermann Grassmann

Dalam Ausdehnungslehre, pertama, Grassmann memperluas dari konsep vektor

yang telah dikenal yaitu dua atau tiga dimensi, n-dimensi, ini sangat memperluas ruang

daya pikir. Kedua bahkan lebih umum, Grassmann mengembangkan banyak matriks

modern, linear aljabar, vektor dan analisis tensor. Sayangnya, Ausdehnungslehre memiliki

dua kelemahan akan hal itu. Pertama, teorinya sangat abstrak, kurang jelas dalam contoh

dan ditulis dalam gaya notasi yang terlalu rumit. Bahkan setelah ia memberikan studi yang

serius, Möbius tidak dapat memahami sepenuhnya. Kedua, Grassmann adalah seorang guru

sekolah menengah tanpa reputasi ilmiah besar (dibandingkan dengan

Hamilton). Meskipun karyanya diabaikan, Grassmann mempromosikan karyanya pada

1840-an dan 1850-an dengan aplikasi untuk elektrodinamika dan geometri kurva dan

permukaan, tetapi tanpa banyak mendapatkan pengakuan dari publik. Pada tahun 1862,

Grassmann menerbitkan edisi revisi kedua dari Ausdehnungslehre, tapi itu terlalu samar-

samar tertulis dan terlalu abstrak untuk matematika pada waktu itu, hingga mengalami

nasib yang serupa seperti edisi pertama. Dalam tahun-tahun terakhir hidupnya, Grassmann

berpaling dari matematika dan meluncurkan karier penelitian kedua hingga meraih sukses

dalam ilmu fonetik dan linguistik komparatif. Akhirnya, pada akhir 1860-an dan 1870-an,

Ausdehnungslehre perlahan mulai dipahami dan dihargai, sehingga Grassmann mulai

menerima beberapa pengakuan yang menguntungkan untuk matematika visioner. Edisi

ketiga dari Ausdehnungslehre diterbitkan pada tahun 1878, setahun setelah itu Grassmann

pun meninggal dunia.

Selama pertengahan abad kesembilan belas, Benjamin

Peirce (1809-1880), seorang matematikawan yang paling

menonjol di Amerika Serikat, bahkan ia disebut sebagai titisan

Hamilton. Peirce adalah seorang guru besar matematika dan

astronomi di Harvard pada 1833-1880, dan ia menulis sebuah

sistem besar Mekanika Analitik pada 1855 hingga edisi kedua

ditulis pada 1872, secara mengejutkan temuannya ini tidak

termasuk dalam quaternions. Sebaliknya, Peirce memperluas

pada apa yang ia sebut "Keindahan Ruang Aljabar" dalam

menyusun Linear Associative Algebra (1870), karya aljabarnya benar-benar abstrak.

Padahal kabarnya, quaternions telah menjadi subjek favorit Peirce

. James Clerk Maxwell (1831-1879) adalah pendukung cerdas dan kritis pada

quaternions. Maxwell dan Peter Guthri Tait’s adalah warga Negara Skotlandia dan pernah

belajar bersama di Edinburgh dan di Cambridge University, mereka berbagi pengetahuan

5

Benjamin Peirce

dalam fisika matematika. Dalam apa yang disebut "klasifikasi matematika dari kuantitas

fisik", Maxwell membagi variabel fisika ke dalam dua kategori, skalar dan vektor.

Kemudian, dalam hal stratifikasi ini, ia menunjukkan bahwa menggunakan quaternions

dibuat transparan analogi matematika dalam fisika yang telah ditemukan oleh Lord Kelvin

(William ThomsonSir, 1824-1907) antara aliran panas dan distribusi gaya

elektrostatik. Namun dalam catatan-catatannya dan terutama dalam Treatise on Electricity

and Magnetism (1873) Maxwell menekankan pentingnya apa yang ia sebut sebagai “Ide

quaternions atau doktrin vektor” sebagai metode matematika sebuah metode berpikir. Pada

saat yang sama, dia menunjukkan sifat homogen dari produk quaternions, dan ia

mengingatkan para ilmuwan dari menggunakan "metode quaternions" dengan rincian yang

melibatkan tiga komponen vektor. Pada dasarnya, Maxwell menunjukkan analisis murni

vektor.

William Kingdon Clifford (1845-1879) menyatakan kekaguman yang mendalam

pada Ausdehnungslehre milik Grassmann yang ia sebut sebagai langkah

lebih dari quaternions. Dalam Elements of Dinamis (1878), Clifford membagi produk

dari dua quaternions menjadi dua produk vektor yang sangat berbeda, yang disebut produk

skalar (sekarang dikenal sebagai dot product) dan produk vektor (hari ini kita menyebutnya

cross product). Untuk analisis vektor, ia menegaskan "keyakinan prinsip-prinsip yang akan

memberikan pengaruh besar terhadap masa depan ilmu Matematika”. Meskipun elemen

dinamis berada pada urutan pertama dari catatan-catatannya, Clifford tidak pernah memiliki

kesempatan untuk mengejar ide-ide ini karena ia meninggal pada usia muda.

Perkembangan aljabar vektor dan analisis vektor seperti

yang kita kenal sekarang ini pertama kali terungkap pada sebuah

catatan luar biasa yang ditulis oleh J. Willard Gibbs. Gibbs

mendapatkan prestasi ilmiah utamanya berada dalam fisika, yaitu

termodinamika. Maxwell sangat mendukung pekerjaan Gibbs

dalam termodinamika, terutama presentasi geometris hasil Gibbs

itu. Gibbs diperkenalkan ke quaternions ketika ia membaca risalah

Maxwell tentang Listrik dan Magnet, dan Gibbs juga belajar

Grassmann Ausdehnungslehre. Dia menyimpulkan bahwa vektor akan memberikan alat

yang lebih efisien untuk karyanya dalam fisika. Jadi, mulai tahun 1881, Gibbs mencetak

catatan pribadinya mengenai analisis vektor untuk murid-muridnya, yang didistribusikan

secara luas bagi para sarjana di Amerika Serikat, Inggris, dan Eropa. Buku pertama pada

analisis vektor modern di Inggris adalah Analisis Vektor (1901), catatan Gibbs disusun

6

kembali oleh salah satu mahasiswa pascasarjana terakhirnya, Edwin B.Wilson (1879-1964).

Ironisnya, Wilson menerima pendidikan sarjananya di Harvard tempat ia belajar tentang

quaternions dari dosennya, James Mills Peirce (1834-1906), salah satu putra dari Benjamin

Peirce. Buku Gibbs dan Wilson ini dicetak ulang dalam edisi singkat pada tahun 1960.

Kontribusi lain dengan pemahaman modern dan penggunaan vektor dibuat oleh Jean Frenet

(1816-1990).

Pada 1890-an dan dekade pertama abad kedua puluh, Tait dan beberapa orang

lainnya mencemooh vektor dan membela quaternions sementara banyak ilmuwan lain dan

matematikawan merancang metode vektor mereka sendiri. Oliver Heaviside (1850-1925),

seorang ahli fisika otodidak yang sangat dipengaruhi oleh Maxwell. Dalam makalah dan

teori elektromagnetik (tiga jilid, 1893, 1899, 1912) ia menyerang quaternions dan

mengembangkan analisis vektor sendiri. Heaviside telah menerima salinan catatan Gibbs

dan ia berbicara sangat berlebihan dalam memperkenalkan teori Maxwell tentang listrik dan

magnet ke Jerman (1894), metode vektor dan beberapa buku tentang analisis vektor dalam

bahasa Jerman yang menganjurkan untuk diikuti. Hingga pada akhirnya metode vektor ini

mulai disebarluaskan pada beberapa negara misalnya diperkenalkan ke Italia pada

1887, 1888, 1897, Rusia pada 1907, dan Belanda (1903).

2.2. PENGERTIAN VEKTOR DAN SKALAR

a. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang atau nilai) saja

atau besaran yang tidak memiliki arah. Misalnya: waktu, suhu, panjang, luas,

volum, massa, dan sebagainya.

b. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) juga

memiliki arah. Misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,

medan listrik, dan sebagainya.

Pada besaran skalar berlaku operasi-operasi aljabar, tetapi pada besaran vektor,

operasi-operasi aljabar tidak berlaku.

7

2.3. PENULISAN DAN NOTASI VEKTOR

Penulisan besaran vektor secara internasional disepakati dengan Vektor dinyatakan

dengan huruf latin, misalnya u, u, u (huruf yang ditebalkan) atau u (huruf yang

dimiringkan). Sedangkan untuk besaran skalar dicetak biasa.

Disamping hal ini, besaran vektor digambarkan dengan anak panah. Panjang anak

panah menyatakan nilai besar vektor, sedangkan arah mata panah menyatakan arah vektor.

Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor dan ujung panah disebut titik ujung vektor.

Jika v menyatakan ruas

garis berarah dari A ke B, maka

ditulis dengan lambang v = AB.

Dalam aplikasinya vektor selalu menempati ruang. Untuk menjelaskan fenomena

vektor di dalam ruang dapat digunakan bantuan sistem koordinat untuk menjelaskan besar

dan arah vektor.

Vektor u dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan, misalnya u = (ab), atau u =

(a,b) dengan a = komponen mendatar dan b = komponen vertikal.

Panjang Vektor

Vektor di R 2

Misalkan u = (ab), maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:

Vektor di R 3

Misalkan u = ( abC), maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:

8

| u | = √a2+b2

| u | = √a2+b2+c2

2.4. KESAMAAN VEKTOR

Vektor di R 2

Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama.

Misalkan u = (ab) dan v = (c

d)Jika u = v, maka | u | = | v | dan arah u = arah v, sehingga a = c dan b = d.

Vektor di R 3

Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama.

Misalkan u = (abc) dan v = (c

de )

Jika u = v, maka | u | = | v | dan arah u = arah v, sehingga a = c, b = d, dan c = e

2.5. OPERASI JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR

Vektor Di R 2

A. Penjumlahan Vektor

a. Penjumlahan Vektor secara Geometri

Jika dua vektor a dan b dijumlahkan hasilnya vektor c ditulis a+ b = c.

Vektor c sebagai vektor resultan dari vektor a dan b .

Secara geometris , penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan

aturan segitiga atau dengan aturan jajaran genjang.

1. Menentukan Jumlah Dua Vektor Dengan Aturan Segitiga

Jika diketahui dua buah vektor , misalnya vektor u dan vektor v,

maka akan didapatkan penjumlahan dari kedua vektor tersebut.

Jumlah dua vektor udan v atau u + v = w dapat ditentukan dengan

memindahkan vektor (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga pangkal

vektor v berimpit dengan ujung vektor u. Vektor w = u + v diperoleh dengan

menghubungkan titik pangkal vektor u dengan ujung vektor v yang telah

dipindahkan tadi. Perhatikan visualisasi berikut ini!

9

10

2. Menentukan Jumlah Dua Vektor Dengan Aturan Jajaran Genjang

Pada aturan jajargenjang, Jumlah dua vektor udan v atau u + v = w

dapat ditentukan dengan memindahkan vektor (tanpa mengubah besar dan

arah) sehingga pangkal vektor v berimpit dengan ujung vektor u. Kemudian

dibuat jajargenjang yang kedua sisi berimpit dengan kedua vektor udan v.

Vektor w = u + v adalah vektor yang berhimpit dengan diagonal

jajargenjang yang terbentuk dengan pangkal berhimpit dengan pangkal

kedua vektor terakhir, sedang ujungnya terletak pada titik pojok yang

berhadapan dengan titik pangkal. Perhatikan visualisai berikut ini!

3. Penjumlahan Vektor secara Aljabar

Secara analitik (aljabar), penjumlahan dua vektor u = ( xa

ya) dan v =

( xb

yb) dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponen- komponen vektor

yang seletak. Jika vektor w merupakan jumlah dua vektor u dan v atau w = u

+ v, maka vektor w ditentukan dengan:

w = u + v = ( xa

y a)+( xb

yb)=( xa+¿ xb

ya+¿ yb).

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dua vektor berikut :

p = (53) dan q = (49)

Jawab :

p = (53) dan q = (49)

p + q = (53) + (49) = (5+4

3+9) = ( 912)

11

b. Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor

Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi

penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat :

1. Sifat komutatif : u + v = v + u

2. Sifat asosiatif : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

3. Terdapat unsur identitas , yaitu vektor 0 sehingga u + 0 = 0 + u = u

4. Setiap vektor mempunyai invers jumlah. invers jumlah vektor uini adalah lawan

dari u , yakni –u, sehingga berlaku u + (-u) = (-u) + u = 0

B. Pengurangan Vektor

a. Pengurangan Vektor secara Geometri

1. Menentukan Hasil Pengurangan Vektor Dengan Aturan Segitiga

Sebelumnya, telah dibahas mengenai ‘dua vektor yang berlawanan’

yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama, tetapi arahnya berlawanan.

Sebagai contoh, vektor –u merupakan lawan dari vektor u dan vektor –v

merupakan lawan vektor v. Sementara itu, pada bilangan real berlaku

hubungan u – v = u + (-v), dengan v merupakan invers tambah dari v.

Berdasarkan pengertian diatas, jika diketahui dua buah vektor , misalnya

vektor u dan vektor v, maka u – v artinya sama dengan u+(−v ). Pengurangan

vektor u dan vektor v, atau u – v dapat ditentukan dengan cara :

a. Tentukan lawan vektor v yaitu −v

b. Pindahkan vektor −v (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga

pangkal vektor −v berhimpit dengan ujung vektor u. Vektor w = u + v

diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan ujung

vektor −v yang telah dipindahkan tadi. Perhatikan visualisasi berikut

ini!

12

2. Menentukan Pengurangan Vektor Dengan Aturan Jajargenjang

Pengurangan vektor u dan vektor v, atau u – v dapat ditentukan dengan cara

memindahkan vektor −v (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga pangkal vektor

−v berhimpit dengan ujung vektor u, kemudian dibuat jajargenjang yang kedua sisi

berhimpit dengan kedua vektor u dan vektor v. Vektor w = u + v adalah vektor

yang berhimpit dengan diagonal jajargenjang yang terbentuk dengan pangkal

berhimpit dengan pangkal kedua vektor u dan vektor −v, sedang ujungnya terletak

pada titik pojok yang berhadapan dengan titik pangkal. Perhatikan visualisasi

berikut ini!

3. Pengurangan Vektor secara Aljabar

Contoh : Tentukan hasil pengurangan vektor (u−v ¿ jika diketahui :

u = (53) dan v = (49)

Jawab :

u - v = (53) −(49) = (5−4

3−9) = ( 1−6)

Vektor di R 3

A. Penjumlahan Vektor

Jika diketahui dua buah vektor, misalnya vektor u = (a1

b1

c1), v = (a2

b2

c2) dan sebuah

skalar, misalnya m, maka penjumlahan danpengurangan dapat mengikuti persamaan

berikut:

1. PenjumlahanVektor, u + v=¿

Contoh :

13

Tentukan nilai dari persamaan berikut :

→ 9 – x = x - 1 → x = 5

→ 2y +12 = y -3 → y = -15

→ z – 6 = 6 – z → z = 6; Jadi, nilai x = 5, y = -15 dan z = 6

2. Pengurangan Vektor , u - v=¿

Contoh :

Tenukan hasil pengurangan vektor ¿ ) jika diketahui :

u = (−53

15 ) dan v = ( 4−98 )

Jawab :

u - v=¿

14

15

2.6. OPERASI PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN VEKTOR

Vektor di R 2

Perhatikan gambar berikut!

Vektor a dapat diperpanjang,

diperpendek dan dirubah arahnya.

Perubahan vkctor a menjadi -2a, 3a

dan 5a tersebut merupakan perkalian

vektor dengan bilangan real (skalar).

Jika a sembarang vektor dan k

bilangan real (skalar), perkalian vektor a dengan k yang ditulis ka

adalah suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang vektor a dengan

arah:

1) Untuk k ¿ 0 maka ka searah vektor a

2) Untuk k ¿ 0 maka ka berlawanan arah vektor a

Secara aljabar, jika diketahui vektor a = ( xa

ya) dan k bilangan real

(skalar), perkalian vektor a dengan skalar k adalah ka = k ( xa

ya) = (kxa

kya)

Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar

Misalkan a, b adalah vektor-vektor sembarang dan p, q bilangan

real skalar), pada operasi perkalian vektor dengan skalar berlaku sifat-

sifat :

1) pa = ap

2) (pq) a = p (qa ) = a (pq)

3) p(− a) = −p a

4) (p + q)a = pa + qa

5) |p a| = |p||a|

6) p (a + b ) = pa + pb

16

Contoh :

Diketahui vektor a dan b seperti gambar berikut :

Gambarkan vektor-vektor

berikut :

1. 2 a

2. -2b

3. 2a + b

4. 2a - 2b

Jawab :

Vektor di R 3

Jika diketahui dua buah vektor, misalnya vektor a = (a1

b1

c1), b = (a2

b2

c2)

dan sebuah skalar, misalnya m, maka perkalian vektor dengan skalar m

dapat mengikuti persamaan berikut :

m . u=¿ (m a1

m b1

mc1)

Contoh :

Diketahui vektor a = (531) dan vektor b = ( 2−50 ). Tentukan 2a + 3b !

17

Jawab :

2a + 3b = 2 (531) + 3 ( 2−50 ) = (10

62 ) + ( 6

−150 ) = = ( 16

−92 )

2.7. HUKUM YANG BERLAKU PADA ALJABAR VEKTOR

Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar maka:

a. A + B = B + A (komutatif terhadap penjumlahan)

b. A + (B + C) = (A + B) +C  (asosiatif terhadap penjumlahan)

c. mA=Am (komutatif terhadap perkalian)

d. m(nA) = (mn)A (asosiatif terhadap perkalian)

e. (m+n)A=(mA)+(nA) (distributif terhadap perkalian) 

2.8. VEKTOR POSISI

Vektor di R 2

Vektor posisi dari suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya di

titik O (pangkal koordinat) dan titik ujungnya di titik yang bersangkutan.

Perhatikan gambar berikut :

Vektor di R 3

18

Soal Latihan :

1. Jika a = (−53 ) dan b = ( 4

−9), maka a + b = ...

2. Diketahui u = ( 2−4), v = ( 6

−8) dan w = (−11 ), tentukan :

a. 2u - v

b. 3(u - v)-(u + v)

3. Diketahui p = 3i + 6 j -3k dan q = 2i− j + k . Tentukan :

a. p + q

b. p - q

c. 5 p

d. 3q- 13

p

4. Jika (5−x2

y2−3z2 ) + ( 4 x

2 y−5−z ) = (2 x2−4 x+9

y−56 ), maka 2x + y –z = ...

2.9. VEKTOR SATUAN

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Vektor satuan u yang searah vektor

a dinyatakan dengan:

2.10. VEKTOR BASIS

Vektor di R 2

Vektor sebagai kombinasi vektor satuan. Vektor u dapat dibentuk menggunakan vektor

satuan i dan j, misalkan u = ai + bj

Vektor di R 3

19

u = a

¿a∨¿¿

z

2.11. TIGA TITIK SEGARIS

2.12. PEMBAGIAN LUAS GARIS DALAM VEKTOR

20

2.13. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK DAN TIGA TITIK

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik P (xo.yo.zo) dantitik Q(x,y,z)

dapat dilakukan dengan cara menarik garis lurus dari titik P ke Q. Vektor PQ dapat

dituliskan dalam komponennya,

PQ=(x- xo)i+ (y- yo) j+ (z- zo)k

Perhatikan gambar berikut!

21

A

P (xo.yo.zo)Q (x.y.z)r0

r

Vektor posisi r adalah vektor dari (0,0,0) ke titik Q(x,y,z) dan vektor posisi ro

adalah vektor dari (0,0,0) ke titik P (xo.yo.zo). Dengan menggunakam pengurangan vektor

diperoleh :

PQ=r−r o

PQ=¿ (x- xo)i+(y- yo) j+(z- zo)k

Jika garis PQ ini sejajar dengan sebuah vektor yang diketahui misalnya vektor

A=a i+b j+c k maka kita dapat mengatakan bahwa garis ini merupakan kelipatan dari

vektor A. Jadi dapat dituliskan :

PQ=t A , r−ro=t A

(x- xo)i+( x- xo) j+(z- zo)k = tai+tb j+tck Dengan t parameter

Jika dua buah vektor sama besar berarti komponen dari vektor satuan yang sejenis pada

kedua ruas persamaan akan sama besarnya, sehingga diperoleh persamaan

r−ro = t A → ro + A t

Atau

x- xo = ta, y- yo=tb, z-zo =tc

Persamaan ini disebut persamaan garis parametrik. Persamaan parametris ini dapat pula

dituliskan dalam bentuk lain, yaitu:

Persamaan garis yang baru ini disebut persamaan garis simetrik.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kita dapat membuat sebuah persamaan

garis jika kita mengetahui sebuah titik (xo.yo.zo) yang dilewati garis tersebut dan sebuah

vektor A=a i+b j+c k yang arahnya sejajar dengan garis tersebut.

22

x−xo

a=

y− yo

a=

z−zo

a

2.14. VEKTOR BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINEAR

Jika S = { v1, v2, …, vn} adalah sebuah himpunan vektor.  Vektor-vektor di S

dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan:

k1 s1 +k2 s3 +…+ kn sn =  0

hanya memiliki penyelesaian   k1 =  k2 =…= kn = 0

Jika ada penyelesaian lain untuk nilai k1, k2,  …,  kn selain  0 maka dikatakan vektor-vektor

di S bergantung linier (linearly dependent)

Contoh 1 :

Vektor-vektor i = (1, 0, 0),  j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) di dalam R3

Komponen-komponen persamaan vektor adalah :

k1 i +  k2 j + k3 k =  0

k1 (1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) +  k3 (0, 0, 1)  =  (0, 0, 0)

Jika diselesaikan, akan di dapatkan bahwa :   k1 =  0,  k2 =  0   dan k3 = 0

Kesimpulan : Himpunan S = {I, j, k} adalah bebas linier (linearly independent)

Contoh 2 :

Himpunan Vektor-vektor  S = { v1, v2, v3} dengan :

v1 = (-2, -1, 0, 3),  v2 = (1, 2, 5, -1) dan v3 = (7, -1, 5,8) di dalam R4

Komponen-komponen persamaan vektor adalah :

k1 v1 +  k2 v2 + k3 v3 =  0

k1 (-2, -1, 0, 3) + k2 (1, 2, 5, -1)  +  k3 (7, -1, 5,8) =  (0, 0, 0)

Jika diselesaikan, akan di dapatkan bahwa :   k1 =  3,  k2 =  1  dan  k3 = -1

Atau ditulis :  3v1+  v2- v3 =  0

Kesimpulan : Himpunan S = { v1, v2, v3} bergantung linier (linearly dependent)

23

Pemahaman :

1. Dua buah vektor di dalam R2 atau R3 tak bebas linier (bergantung linier) jika dan

hanya jika kedua vektor tersebut terletak pada garis yang sama yang melalui titik asal.

2. Tiga buah vektor v1, v2, v3 di R3 yang membentuk himpunan S = { v1, v2, v3} tak

bebas linier jika dan hanya jika ketiga vektor tersebut terletak di dalam bidang yang

sama yang melalui titik asal jika ketiga vektor tersebut ditempatkan dengan titik-titik

permulaannya di titik asal.

3. Tiga buah vektor v1, v2, v3 di R3 tak bebas linier jika dan hanya jika paling sedikit satu

di antara ketiga vektor tersebut adalah kombinasi linier dari vektor yang lain.

4. Tiga buah vektor v1, v2, v3 di R3 tak bebas linier jika dan hanya jika paling sedikit satu

di antara ketiga vektor tersebut berada di dalam ruang yang direntang oleh kedua

vektor yang lain. Tetapi ruang yang direntang oleh sebarang 2 vektor di dalam R3

adalah sebuah garis yang melalui titik asal, atau sebuah bidang yang melalui titik asal,

atau titik asal itu sendiri.

Teorema 6:

Misalkan S = { v1, v2, v3} Jika dari v1, v2, …, vn, adalah sebuah himpunan vektor-

vektor di dalam Rn Jika r > n maka S tak bebas linier atau bergantung linier.

Teorema ini mengatakan pada kita bahwa sebuah himpunan di dalam R2 dengan

lebih dari dua vektor adalah sebuah himpunan yang tak bebas linier.  Sebuah himpunan di

R3 dengan lebih dari 3 vektor adalah sebuah himpunan yang tak bebas linier.

Soal Latihan :

1. Polinomial-polinomial p1 = 1-x, p2 = 5+3x-2×2 dan p3 = 1+3x-x2. Tentukan apakah

himpunan vektor polinomial S = {p1, p2, p3} bebas linier atau bergantung linier.

2. v1 = {1, -2, 3},  v2 = {5, 6, -1} dan v3 = {3, 2, 1}. Tentukan apakah vektor-vektor

tersebut membentuk sebuah himpunan yang bebas linier atau himpunan yang tak

bebas linier?

24

2.15. PENERAPAN VEKTOR PADA FISIKA

Vektor dalam Persoalan Fisika

Berikut ini diberikan beberapa contoh sederhana penggunaan analisa vektor dalam

persoalan Fisika yang sering dijumpai.

1. Posisi suatu benda pada saat t = 0 dinyatakan dengan r0 = 2i−3j+k. Dalam selang

waktu ∆t = 3 s perpindahan yang dialami benda adalah ∆r = −3i + 4j + 2k, maka

posisi benda pada saat t = 3 s adalah....

Jawab:

r(t = 3) = r0 + ∆r

= (2i − 3j + k) + (−3i + 4j + 2k)

= −i + j + 3k

2. Sebuah gaya F = i + 3j bekerja pada benda sehingga benda bergerak lurus sejauh 2 m

sepanjang sumbu x. Besar usaha yang oleh gaya F terhadap benda adalah...

Jawab:

W = F · r

= (i + 3j) · (2i)

= 2 joule

Sudut antara gaya F dengan arah perpindahan adalah

cosθ= F . r|F||r|

¿ 2

(√12+32 )(√22)

¿ 2

2√10= 1

10√10

¿arccos( 110

√10)

3. Benda titik bermassa m = 2 kg bergerak sepanjang garis y = 2x + 3 dalam arah

kuadran satu pada bidang koordinat xy dengan laju v = 3 m/s. Arah gerak benda

dapat dinyatakan menggunakan gradien persamaan garis tersebut. Maka vektor

satuan dalam arah garis tersebut adalah:

v=1+2 j

√5

Vektor kecepatan benda tersebut adalah...

25

Jawab:

v=v v= 3

√5(i+2 j)

4. Momentum sudut terhadap suatu titik tertentu didefinisikan sebagai L = r × p

dengan p = mv adalah momentum linier benda dan rnadalah vektor posisi benda

dari titik acuan yang dimaksud. Misalkan posisi awal benda adalah r0 = 3j, maka

posisi benda tiap saat dapat dinyatakan sebagai

r ( t )= 3 t

√5i+( 6 t

√5+3) j

Sehingga momentum sudut terhadap titik pusat koordinat O adalah

l=r x p

¿( 3 t

√5i+( 6 t

√5+3) j) x (m 3

√5( i+2 j ))

¿( 18 tm5

−18 tm5

−9m

√5 )k

¿( 9 m

√5 )k

5. Sebuah benda bermassa m bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan dengan v =

v0xi + v0yj. Energy kinetik tersebut adalah....

Jawab: T=12

m (v . v )

¿ 12

m(v 0 x i+voy j)

¿ 12

m v2

6. Dalam persoalan kesetimbangan gaya seperti ditunjukkan dalam Gambar

1.15, kesetimbangan terjadi jika jumlah total gaya (ingat bahwa gaya merupakan

besaran vektor) sama dengan nol. Artinya, bila gaya-gaya yang ada diuraikan pada

sumbu-sumbu koordinat (misalnya sumbu x dan sumbu y), maka resultan gaya pada

arah sumbu x sama dengan nol dan demikian juga halnya dengan resultan gaya pada

arah sumbu y. Agar titik O berada dalam keadaan setimbang, maka haruslah F1 +F2

26

+ F3 = 0. Artinya jumlah gaya dalam arah sumbu x harus sama dengan nol, ini

memberikan: ∑ F x=F1 cosα−F2cos β=0

Demikian halnya dengan jumlah gaya dalam arah sumbu y juga harus sama dengan

0 yang berarti

∑ F x=F1 sin α−F2 sin β−F3=0

27

BAB III

PENUTUP

3.1. Simpulan

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah, sedangkan skalar

adalah besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Penulisan vektor dapat dengan

huruf kecil dan di garis bawah, atau huruf kecil tebal, huruf kecil dengan tanda

panah di atas dan juga huruf kapitak dengan tanda panah diatasnya. Konsep

kesamaan dua vektor adalah jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang

sama. Penjumlahan atau pengurangan dua vektor dapat dilakukan secara geometri

dan juga analitik.

3.2. Saran

Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah perlunya pengaplikasian

dari pengetahuan tentang vektor ini di masyarakat luas, untuk memudahkan

pekerjaan masyarakat pula tentunya, sehingga secara tidak langsung akan

meningkatkan taraf hidup bangsa

28

DAFTAR PUSTAKA

Kariadinata, Rahayu. 2011. Pengantar Aljabar Linier. Bandung: CV. Intan Mandiri.

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika SMA kelas XII. Jakarta: Erlangga.

http://klompokku.blogspot.com/2013/09/makalah.html

https://lovemathstory.wordpress.com/2012/03/03/analisis-vektor/

http://tomatalikuang.blogspot.com/2013/10/sejarah-vektor.html

https://www.scribd.com/doc/178697539/Makalah-Matematika-Vektor

http://alansileo.blogspot.com/2012/09/makalah-vektor.html

29