SAMPLING DARI DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT
Pertemuan 1
VEKTOR DAN MATRIKSVektor
Sebelum kita lanjutkan pembahasan mengenai analisis multivariat,
ada baiknya kita tinjau kembali konsep vektor dan matriks.Vektor
adalah m tupel bilangan nyata yang disusun berdasarkan baris dan
kolom
Vektor baris :
Vektor kolom :
1. Misalakan , adalah 2 buah vektor dan adalah skalar
sembarang
jika hanya jika untuk setiap i=1,2,...,m adalah perkalian skalar
dengan vektor
merupakan perjumlahan 2 vektor dengan , i=1,2,...,m
Ruang (space) dari semua m tupel dengan perkalian skalar dan
perjumlahan vektor disebut ruang vektor.2. adalah kombinasi linier
dari vektor-vektor . Himpunan semua kombinasi linier dari disebut
perkalian linier dari .3. Himpunan vektor disebut dependen linier
(bebas linier) bila terdapat m bilangan tidak semuanya sama dengan
nol. Apabila k bilangan semuanya sama dengan nol maka vektor
disebut independen linier ( tidak bebas linier).4. Setiap m vektor
yang independen linier disebut dengan basis untuk ruang vektor
berdimensi m.5. Panjang vektor adalah
6. Sudut antara 2 vektor dan adalah
7. Perkalian titik (Dot Product) antara 2 vektor dan adalah
8. Vektor dan dikatakan saling tegak lurus () apabila
9. Proyeksi terhadap adalah
Contoh 1:
Misalkan , dan ,
a. ,
b.
c.
d. sudut antara dan
e. apakah , dan independen
Penyelesaian 1:
a. ,
b.
c.
d.
e.
nilai yang mungkin hanya maka , dan adalah independen linier
Matriks
dikatakan matriks yang bertipe atau berdimensi mxk yang
elemen-elemennya berupa bilangan riil dengan m baris dan k kolom,
yaitu :
1. Jika m=k maka matriks dikatakan matriks bujursangkar
berdimensi m.
2. Misalkan matriks adalah matriks bujursangkar berdimensi
m,
jika elemen-elemen diagonalnya = 1 dan elemen-elemen lainnya = 0
maka matriks dikatakan matriks identitas berdimensi m yang
dinotasikan dengan matriks . jika maka matriks dikatakan matriks
simetris, dimana matriks transpose dari
3. Misalkan matriks dan : , jika hanya jika untuk i=1,2,...,m
dan j=1,2,...k
, dimana elemen-elemen dari , untuk i=1,2,...,m dan
j=1,2,...k
transpose matriks adalah , 4. Misalkan matriks dan ,
i=1,2,...,m; j=1,2,...,n; l=1,2,...,k maka
hasil kali matriks dan adalah , dimana . Hasil kali ada bila
banyak kolom pada matriks sama dengan banyak baris pada matriks
.
5. Determinan matriks bujursangkar adalah
6. Rank baris matriks dari matriks adalah banyak maksimum vektor
baris dari matriks yang independen linier dan rank kolom dari
matriks adalah banyak maksimum vektor kolom dari matriks yang
independen linier
7. Matriks dikatakan matriks non-sigular, apabila terdapat
tunggal matriks sedemikian sehingga . Matriks disebut dengan invers
dari matriks , yang dinotasikan dengan . Matriks ada bila .
8. trace dari matriks adalah
9. Matriks dikatakan ortogonal, jika semua vektor baris dari
matriks saling tegak lurus dan mempunyai panjang sama dengan 1 ().
Hal ini menunjukkan bahwa matriks ortogonal bila dan hanya bila
10. Matriks , dan skalar yang memenuhi persamaan disebut nilai
eigen dari matriks . Persamaan disebut persamaan karakteristik.
11. Bila adalah vektor yang bukan vektor nol sedemikian sehingga
maka disebut vektor eigen dari matriks yang bersesuaian dengan
nilai eigen .
12. Bentuk kuadratik dalam variabel-variabel adalah , dimana dan
matriks adalah matriks simetris.Contoh 2 :
, , dan
a. ,
b. ,
c. ,
d. ,, apakah matriks , matriks singular ?
e. apakah , ortogonal ?
f. tentukan nilai eigen dan vektor eigen satuan dari matriks
.
Penyelesaian :
, dan
a. ,
b. ,
,
c. , tidak dapat didefinisikan karena banyak kolom pada matriks
tidak sama dengan banyak baris pada matriks
d. , tidak ada karena ,
matriks matriks non-singular. Matriks matriks singular, karena
tidak mempunyai invers.e. , jadi matriks tidak ortogonal
jadi matriks tidak ortogonalf.
untuk maka
diperoleh
, untuk
vektor eigen adalah :
, untuk
vektor eigen satuan untuk adalah :
untuk maka
diperoleh
, untuk
vektor eigen adalah :
, untuk
vektor eigen satuan untuk adalah :
PAGE 5
_1158410315.unknown
_1158412553.unknown
_1158480077.unknown
_1158483428.unknown
_1159079626.unknown
_1159597416.unknown
_1361645044.unknown
_1361645361.unknown
_1361645375.unknown
_1361645057.unknown
_1361645102.unknown
_1361645004.unknown
_1361645026.unknown
_1361644830.unknown
_1159597175.unknown
_1159597234.unknown
_1159086790.unknown
_1158483517.unknown
_1158483759.unknown
_1158483809.unknown
_1158483989.unknown
_1158483741.unknown
_1158483439.unknown
_1158482891.unknown
_1158483409.unknown
_1158483421.unknown
_1158483212.unknown
_1158483374.unknown
_1158483054.unknown
_1158480600.unknown
_1158480887.unknown
_1158481031.unknown
_1158481471.unknown
_1158481004.unknown
_1158480763.unknown
_1158480549.unknown
_1158478615.unknown
_1158478882.unknown
_1158479265.unknown
_1158479502.unknown
_1158479136.unknown
_1158478983.unknown
_1158479124.unknown
_1158478760.unknown
_1158478856.unknown
_1158478694.unknown
_1158413152.unknown
_1158413266.unknown
_1158413294.unknown
_1158413179.unknown
_1158413178.unknown
_1158412987.unknown
_1158413040.unknown
_1158413087.unknown
_1158413103.unknown
_1158413069.unknown
_1158413024.unknown
_1158412817.unknown
_1158412874.unknown
_1158412621.unknown
_1158411887.unknown
_1158412359.unknown
_1158412433.unknown
_1158412468.unknown
_1158412046.unknown
_1158412163.unknown
_1158412240.unknown
_1158412108.unknown
_1158411980.unknown
_1158411373.unknown
_1158411712.unknown
_1158411821.unknown
_1158411522.unknown
_1158411139.unknown
_1158411272.unknown
_1158411099.unknown
_1158410372.unknown
_1158411082.unknown
_1158401042.unknown
_1158408842.unknown
_1158409523.unknown
_1158409791.unknown
_1158410131.unknown
_1158409754.unknown
_1158409765.unknown
_1158409563.unknown
_1158409188.unknown
_1158409308.unknown
_1158408908.unknown
_1158408979.unknown
_1158408667.unknown
_1158408705.unknown
_1158408778.unknown
_1158407922.unknown
_1158408062.unknown
_1158408647.unknown
_1158407243.unknown
_1158407523.unknown
_1158407759.unknown
_1158401280.unknown
_1158398679.unknown
_1158399398.unknown
_1158399692.unknown
_1158400941.unknown
_1158401005.unknown
_1158400826.unknown
_1158399496.unknown
_1158399538.unknown
_1158399457.unknown
_1158398954.unknown
_1158399163.unknown
_1158399227.unknown
_1158398968.unknown
_1158398810.unknown
_1158398853.unknown
_1158398785.unknown
_1158397614.unknown
_1158397701.unknown
_1158398550.unknown
_1158398617.unknown
_1158398407.unknown
_1158398309.unknown
_1158398322.unknown
_1158398160.unknown
_1158397635.unknown
_1158397675.unknown
_1158397622.unknown
_1158397629.unknown
_1158396971.unknown
_1158397049.unknown
_1158397604.unknown
_1158397586.unknown
_1158396992.unknown
_1158396883.unknown
_1158396890.unknown
_1158396842.unknown
_1158396851.unknown
_1158396432.unknown
_1158396534.unknown
_1158396080.unknown
