Embed Size (px)
Citation preview
- 1 -
Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om...
VEKTORER
Del 2
Frank Nasser
©2006-2007
- 2 -
Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teori om vektorer i planen og i rummet. Stoffet er præcis det samme som i andre lærebøger, men tilgangsvinklen er temmeligt forskellig, idet der er brugt meget mere enkle definitioner end den traditionelle, hvor en vektor defineres som en ækvivalensklasse af pile modulo translationer. Noterne indeholder kun det “tørre” stof, dvs. definitioner, sætninger og enkelte eksempler. Alle eksempler på praktiske anvendelser af vektorregning, herunder prikprodukt, krydsprodukt og skæringer mellem planer og linjer, er fortsat at finde andetsteds. Denne sidste halvdel af noterne indeholder teorien om punkter og vektorer i det tredimensionelle koordinatsystem, også kendt som “rummet”. Teksten indeholder to figurer der høfligt er lånt fra nogle undervisningsnotater, begået af Marie Dehnfeld, Mads Hansen og Daniel Schärfe fra Mat A-holdet 2005-2006.
- 3 -
Indhold Indhold _______________________________________________________________ 3
1. Tredimensionale punkter_______________________________________________ 4 2. Tredimensionale vektorer ______________________________________________ 7
3. Indtegning af vektorer _________________________________________________ 9 4. Længde af en vektor__________________________________________________ 10 5. Særlige vektorer, stedvektorer __________________________________________ 11
6. Regning med vektorer 1_______________________________________________ 13 7. Geometrisk tolkning 1 ________________________________________________ 15
8. Regning med vektorer 2_______________________________________________ 16 9. Geometrisk tolkning 2 ________________________________________________ 18
10. Regning med vektorer 3______________________________________________ 23 11. Rette linjer i rummet ________________________________________________ 29
13. Planer i rummet ____________________________________________________ 31
- 4 -
1. Tredimensionale punkter Vi benytter notationen:
!
R3 = (x,y,z) | x,y,z " R{ }
til at betegne det tredimensionale koordinatsystem. - Altså mængden af alle punkter (x,y,z), hvor x, y og z er reelle tal. De tre tal kaldes punktets koordinater. Bemærk det lille 3-tal foroven i “
!
R3”. Man læser
det som “R-tre”, og ikke som “R i tredje”. Når vi tænker på det tredimensionale koordinatsystem, starter vi med at tænkte på det specielle punkt (0,0,0), også kaldet origo. Derefter tænker vi på de tre akser, x-aksen (de punkter hvor y-koordinaten og z-koordinaten er nul), y-aksen og z-aksen. Vi forestiller os disse tre akser tegnet vinkelret på hinanden i det tredimensionale rum. Det ser ud som vist nedenfor, når man tegner det:
(Man forestiller sig venligst at x-aksen stritter udad, vinkelret på både y- og z-aksen.) Bemærk at man altid tegner de tre akser efter “højrehåndsreglen”, altså sådan at man kan lægge tommel-, pege- og langefinger på højre hånd langs med henholdsvis x-, y- og z-aksen. Desuden er det tradition at tegne z-aksen opad. Nu tænker vi på et generelt punkt (x,y,z) som det punkt i rummet, der ligger “x ude af x-aksen”, “y ude af y-aksen” og “z oppe af z-aksen”. Når man tegner et punkt i det tredimentionelle koordinatsystem, er det en god ide at tegne nogle hjælpelinjer, som er parallelle med enten x-, y- eller z-aksen. Dette er antydet på tegningen nedenfor, hvor punktet (5,-1,8) er aftegnet. (Dehnfeld, Hansen, Schärfe 2005).
- 5 -
Punkter i det tredimensionale koordinatsystem kaldes ofte P, Q, R eller andre store bogstaver. Man skriver for eksempel: P=(3,-1,8). Bemærk at nogle lærere af ukendte årsager undlader at skrive lighedstegnet. I det tredimensionelle rum er der yderligere tre interessante delmængder, nemlig de punkter, hvor x-koordinaten er nul, også kendt som yz-planen, de punkter, hvor y-koordinaten er nul, også kendt som xz-planen og de punkter, hvor z-koordinaten er nul, også kendt som xy-planen. Ligesom de to akser deler planen ind i fire kvadranter, således deler de tre koordinatplaner rummet ind i otte såkaldte oktanter. Der er vedtaget en måde at nummerere disse oktanter på, men da ingen alligevel kan huske dette, vil vi ikke snakke mere om det. :) Sætning 1 (afstandsformlen i rummet) Hvis
!
P = (x1,y1,z1) og
!
Q = (x2,y
2,z2) er to punkter i rummet, så er
afstanden mellem dem (altså længden af det rette linjestykke mellem dem) givet ved:
!
PQ = (x2" x
1)2
+ (y2" y
1)2
+ (z2" z
1)2
Bevis Betragt tegningen (Dehnfeld, Hansen, Schärfe 2005):
- 6 -
På denne tegning, har punkterne E og F begge z-koordinat nul, og samme x- og y-koordinater som henholdsvis P og Q. Derfor er afstanden mellem dem givet ved afstandsformlen i xy-planen:
!
EF = (x2" x
1)2
+ (y2" y
1)2
Dette er lig den ene katede, A, i den retvinklede trekant på figuren. Den anden katede, B er lig forskellen i z-koordinater på de to punkter:
!
B = z2" z
1
Pythagoras anvendt på den retvinklede trekant giver da:
!
PQ = A2
+ B2
= (x2" x
1)2
+ (y2" y
1)2
+ (z2" z
1)2
q.e.d.
- 7 -
2. Tredimensionale vektorer Nu indfører vi en ny notation:
!
V3
=
x
y
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' | x,y,z ( R
)
* +
, +
-
. +
/ +
Altså:
!
V3(læses: “V-3”) betegner mængden af alle talsæt (nu skrevet
oven på hinanden i en aflang parentes), hvor alle tre indgående tal er reelle. Elementerne i
!
V3 kaldes tredimensionelle vektorer, og de tre tal kaldes
vektorens koordinater. Vektorer kaldes ofte u, v, w eller andre små bogstaver. Mange lærere foretrækker desuden at sætte en pil over bogstaverne for at
understrege at det er en vektor. Man skriver f.eks.
!
r v =
3
"1
5
#
$
% % %
&
'
( ( ( .
Nu tænker den kvikke elev: “Er vektorer ikke præcis det samme som punkter?” Og svaret er: Jo! Det eneste vi har gjort er at skrive koordinaterne oven på hinanden i stedet for ved siden af hinanden med komma imellem sig. Lad os derfor allerede nu slå fast at:
!
V3"R
3 -Idet, man til enhver tid kan “oversætte” mellem vektorer og punkter: Hvis man har en vektor, kan man skrive dens koordinater ved siden af hinanden med kommaer imellem, og vupti, har man et punkt. –Og omvendt. Den store forskel kommer nu, nemlig i måden som vi tænker på
!
V3
på: En tredimensionel vektor, som for eksempel
!
3
1
5
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' , skal vi nemlig
ikke tænke på som en prik i en plan. En vektor tænker vi derimod på som en retningsangivelse. Således vil vi tænke på ovennævnte vektor
- 8 -
som “3 langs x-aksen (udad), 1 langs y-aksen (til højre) og 5 langs z-aksen (op)”. En vektor angiver en retning og en afstand, men ikke et startpunkt. Derfor at det stadig meget svært at “se” en vektor for sig. Det bliver nemmere lige om lidt...
- 9 -
3. Indtegning af vektorer Man kan indtegne en vektor ud fra et punkt, præcis lige som i planen (se eventuelt “del 1” af disse noter). Eksempel
Vi har her indtegnet vektoren
!
1,5
3
1,5
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ud fra punktet
!
3
2,0,3
2
"
# $
%
& ' . Den ender
således med at pege på punktet (3,3,3).
Øvelse 1
Indtegn vektoren
!
0
0
4
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ud fra punktet P=(-1,0,0).
(Gå ikke videre før du har lavet øvelsen!)
- 10 -
4. Længde af en vektor Definition
Lad
!
a
b
c
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' være en vektor. Vi definerer længden af
!
r v til at være:
!
r v = a
2+ b
2+ c
2
Bemærk at de to lodrette streger, som betyder længde af en vektor, ligner nummerisk-tegnet til forveksling. Der er dog ingen fare for forveksling, idet man bare kan holde øje med hvad der står i midten: Nummerisk-tegn har et reelt tal i midten, og længde-tegnet har en vektor. :) Øvelse 2
Beregn længden af følgende vektorer:
!
r n =
0
0
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
r i =
1
0
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
r k =
0
0
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
r v =
"3
2
3
#
$
% % %
&
'
( ( (
(Gå ikke videre før du har lavet øvelsen!) Vi skal lige sikre os at begrebet “længde af en vektor” passer med vores geometriske billede af vektorer. Det gør vi med følgende sætning: Sætning 2
Når man indtegner en vektor
!
r v =
a
b
c
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ud fra et punkt P=(x,y,z), så får
man en pil med længde
!
|r v |.
Bevis: Pilen man tegner går mellem punktet P=(x,y,z) og punktet Q = (x+a,y+b,z+c). Ifølge afstandsformlen er længden af linjestykket mellem disse to punkter:
!
PQ = ((x + a) " x)2
+ ((y + b) " y)2
+ ((z + c) " z)2
= a2
+ b2
+ c2
=r v
q.e.d.
- 11 -
5. Særlige vektorer, stedvektorer Vi skal nu se på nogle særlige vektorer, der optræder så ofte at de har deres egne navne:
• Allerførst er der nulvektoren,
!
r 0 =
0
0
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' .
• En vektor som ikke er nulvektor kaldes en egentlig vektor. • En vektor med længde 1 kaldes en enhedsvektor.
• De tre særlige enhedsvektorer
!
1
0
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
0
1
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
0
0
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' kaldes første
basisvektor, anden basisvektor og (guess what...) tredie basisvektor. De omtales sædvanligvis under navnene:
!
r i ,
!
r j
og
!
r k .
• Hvis man har to punkter P og Q i koordinatsystemet, så findes der præcis én vektor, som peger på Q, hvis man indtegner den fra P. Denne vektor kaldes den forbindende vektor og skrives som
!
PQ.
Det sidste punkt uddyber vi lige i en sætning: Sætning 3 (forbindende vektor) Hvis
!
P = (x1,y1,z1) og
!
Q = (x2,y
2,z2) er to punkter i koordinatsystemet, så
findes der netop en vektor,
!
PQ som opfylder, at når den indtegnes fra P, så peger den på Q. Denne vektor er givet ved:
!
PQ =
x2" x
1
y2" y
1
z2" z
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
Bevis: Beviset føres præcis lige som i det todimensionelle tilfælde.
q.e.d.
- 12 -
Øvelse 3 Givet punkterne P=(1,1,0) og Q=(0,-2,2). Beregn vektoren
!
PQ. Indtegn derefter P og Q i et koordinatsystem. Tegn til sidst vektoren
!
PQ ud fra P. (Gæt engang... Gå ikke videre før du har lavet øvelsen!) Hvis man kun har et enkelt punkt, P=(x,y,z), kan man altid lave en forbindende vektor som peger fra origo, O=(0,0,0), til P. Ifølge ovenstående sætning får denne vektor koordinaterne:
!
OP =
x " 0
y " 0
z " 0
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
x
y
z
#
$
% % %
&
'
( ( (
Denne vektor kaldes P’s stedvektor. Vi ser altså nu, at den sammenhæng mellem punkter og vektorer, som vi opdagede tidligere:
!
V3"R
3, består i at et punkt “oversættes” til sin stedvektor.
- 13 -
6. Regning med vektorer 1 Addition og skalering af tredimensionelle vektorer foregår præcis lige som med todimensionelle: To vektorer lægges sammen ved at man lægger hver af deres koordinater sammen. En vektor skaleres med et reelt tal ved at gange det reelle tal på hver af koordinaterne. Øvelse 4
Beregn følgende vektor:
!
5
2
"1
#
$
% % %
&
'
( ( (
+ 7 )
1
"1
3
#
$
% % %
&
'
( ( ( .
De nye regneoperationer opfører sig igen helt som vi er vant til: Sætning 4 (regneregler for basale vektoroperationer) Vektoraddition og skalering opfylder følgende regneregler: Den kommutative lov: Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, så er
!
r v +
r w =
r w +
r v
Den associative lov: Hvis
!
r u ,
!
r v og
!
r w er vektorer, så er
!
(r u +
r v ) +
r w =
r u + (
r v +
r w )
De distributive love: Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, og
!
r og
!
s er skalarer, så er
!
r " (r v +
r w ) = r "
r v + r "
r w
!
(r + s) "r v = r "
r v + s "
r v
En homogenitetslov: Hvis
!
r v er en vektor, og
!
r og
!
s er skalarer, så er
!
(r " s) "r v = r " (s "
r v ) = s " (r "
r v )
Indskudsreglen for forbindende vektorer: Hvis A, B og C er punkter i koordinatsystemet, så er
!
AB + BC = AC .
- 14 -
Længde af skalering: Hvis
!
r v er en vektor og
!
r er en skalar, så er
!
r "r v = r " v
Trekantsuligheden: Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, så er
!
r v +
r w "
r v +
r w
Lidt snik-snak, som godt kan springes over: Lidt ordforklaring. Ordene “kommutativitet”, “distributivitet”, “associativitet” og “homogenitet” kan virke lidt voldsomme første gang man ser dem. Men de giver god mening, når man får dem forklaret: Kommutativ: Tænk på engelsk: “to commute”, altså noget med at bevæge sig. –Det er jo det de to vektorer gør, når de bytter plads. Distributiv: Tænk på “at distribuere” = “at bringe ud”. –Det er jo det man gør med skalaren, når man sætter den ind på alle leddene i en parentes. Homogen: (Tænk på mælk) “Homogen” betyder “ensformig” eller “jævn”. I vores tilfælde er det de forskellige produkter, som er så “ensformige” at man kan “blande dem sammen”. Associativ: Har noget med “at associere” = “at tilknytte” at gøre. Man vælger jo hvilke vektorer der skal lægges sammen først (hvilket man jo godt kan kalde at knytte dem til hinanden), idet man vælger en måde at sætte parenteser på. Den associative lov siger at man kan associere som man vil.
- 15 -
7. Geometrisk tolkning 1 Den geometriske tolking af vektoraddition og –skalering er præcis den samme af vektorer i rummet, som i planen. Summen af to vektorer opfylder, at hvis man tegner de to vektorer i forlængelse af hinanden, så peger de tilsammen på det samme punkt som summen af dem. (Man lægger vektorer sammen “ved at tegne dem i forlængelse af hinanden”.) Skalering fungere igen ved at man “strækker pilen”. Hvis man skalerer med en n egativ skalar, vendes retningen af vektoren. Vi definerer igen: Definition To vektorer,
!
r v og
!
r w , kaldes parallelle hvis den ene kan skrives som en
skalering af den anden. –Altså hvis der findes et reelt tal,
!
r " R, sådan at enten
!
r v = r "
r w eller
!
r w = r "
r v .
Bemærk at nulvektoren pr. definition er parallel med alle andre vektorer. Øvelse 5 Definitionen på parallelle vektorer ser ved første øjekast mere besværlig ud end nødvendigt. Hvorfor giver det ikke den samme definition, hvis man bare siger at
!
r v
og
!
r w er parallelle såfremt der findes et reelt tal
!
r " R sådan at
!
r v = r "
r w ?
(Hjælp: Tænk på nulvektoren!) (Denne øvelse er lidt underlig. Hvis ikke du forstår den, så gå bare videre uden at lave den.)
- 16 -
8. Regning med vektorer 2 I dette afsnit definerer vi et produkt af tredimensionelle vektorer. –Altså et produkt, hvor det er to vektorer der ganges sammen. Definition (prikprodukt)
Givet to vektorer,
!
r v =
a1
b1
c1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
r w =
a2
b2
c2
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' , definerer vi prikproduktet af de to
vektorer som:
!
r v •
r w = a
1" a
2+ b
1" b
2+ c
1" c
2
Man “prikker” altså to vektorer med hinanden ved at gange deres førstekoordinater med hinanden, gange deres andenkoordinater med hinanden og lægge de to resultater sammen. Bemærk (!!) at prikproduktet af to vektorer ikke giver en ny vektor, men en skalar. Af denne grund kaldes prikproduktet også nogle gange “skalarproduktet”, men vi vil undlade det her, da det i nogle ører kan lyde som om det er et produkt af skalarer. Observationen er dog så vigtig at vi lige rammer den ind:
Prikproduktet af to vektorer giver en skalar. Øvelse 6 Beregn følgende prikprodukter. (Tegn de indgående vektorer først!)
a)
!
2
3
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
•
(1
0
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
b)
!
3
"1
7
#
$
% % %
&
'
( ( ( •
"2
8
2
#
$
% % %
&
'
( ( (
c)
!
r i •
r k
- 17 -
(Hey! - Gå ikke videre før du har lavet øvelsen!) Naturligvis skal vi også se på regneregler for prikproduktet. Det viser sig heldigvis igen, at det nye produkt opfører sig præcis som vi er vant til at et produkt opfører sig. Sætning 5 (regneregler for prikproduktet) Prikproduktet opfylder følgende regneregler: Den kommutative lov: Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, så er
!
r v •
r w =
r w •
r v
Den distributive lov: Hvis
!
r u ,
!
r v og
!
r w er vektorer, så er
!
r u • (
r v +
r w ) =
r u •
r v +
r u •
r w
En homogenitetslov: Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, og
!
r er en skalar, så er
!
r " (r v •
r w ) = (r "
r v )•
r w =
r v • (r "
r w )
- 18 -
9. Geometrisk tolkning 2 Vi starter med at indse at prikproduktet har noget med længden af en vektor at gøre. Der gælder nemlig helt præcist følgende: Sætning 6 (prikprodukt og længde) Hvis
!
r v er en vektor, så er:
!
r v 2
=r v •
r v .
-Altså: kvadratet på vektorens længde er lig vektorens prikprodukt med sig selv. Bevis Sætningen bevis lige som i det todimensionale tilfælde. For at forstå den geometriske betydning af prikproduktet dybere, indfører vi et par nye begreber: Definition (vinkel mellem egentlige vektorer) Hvis
!
r v og
!
r w er to egentlige vektorer, definerer vi vinklen mellem dem
til at være vinklen mellem de to pile, som opstår hvis
!
r v og
!
r w tegnes
ud fra samme punkt. Man vælger pr. definition altid den vinkel som er mellem 0° og 180°. Læg mærke til at man ikke definerer vinklen mellem nulvektor og en anden vektor. Definition (ortogonale vektorer) To egentlige vektorer
!
r v og
!
r w kaldes ortogonale (eller: vinkelrette) hvis
vinklen mellem dem er 90° (eller
!
"
2 om man vil.) Nulvektoren siges af
praktiske årsager at være vinkelret på alle vektorer. Bemærk at vi igen (med vilje!) har defineret at nulvektoren både er parallel og vinkelret på alle vektorer. Lige som i det todimensionale tilfælde har vi en sammenhæng mellem prikproduktet og vinklen mellem vektorer:
- 19 -
Sætning 7 (vinkel mellem egentlige vektorer) Hvis
!
r v og
!
r w er to egentlige vektorer, og
!
" er vinklen mellem dem, så gælder der at:
!
r v "
r w " cos(#) =
r v •
r w
Da
!
" pr. definition er mellem 0° og 180° bestemmer denne ligning
!
":
!
" = cos#1
r v •
r w
r v $
r w
%
& '
(
) *
Bevis Beviset er sjovt nok præcis det samme som i det todimensionale tilfælde. Da det er en passende lejlighed til at repetere dette halvsvære bevis, gør vi det lige: Betragt den trekant som dannes (i rummet), hvis
!
r v og
!
r w tegnes ud fra
samme punkt, og deres endepunkter forbindes:
Cosinusrelationen for denne trekant siger:
!
r v 2
+r w
2=
r w "
r v 2
+ 2 #r v #
r w # cos($)
Fra sætning 6 har vi at:
!
r w "
r v 2
= (r w "
r v )• (
r w "
r v ). Dette prikprodukt
udregner vi ved at bruge den distributive lov to gange:
!
(r w "
r v )• (
r w "
r v ) = ((
r w "
r v )•
r w ) " ((
r w "
r v )•
r v ) =
r w •
r w "
r v •
r w "
r w •
r v +
r v •
r v
- 20 -
Dvs. at
!
(r w "
r v )• (
r w "
r v ) =
r w
2+
r v 2" 2 #
r v •
r w . (Hvis nogen synes at det
minder om en af kvadratsætningerne, så gør det ikke noget! - Vi har jo bare et andet produkt på spil.) Benyttes dette i cosinusrelationen ovenover, får man:
!
r v 2
+r w
2=
r w
2+
r v 2" 2 # (
r v •
r w ) + 2 #
r v #
r w # cos($)
Hvilket hurtigt kan omskrives til:
!
r v "
r w " cos(#) =
r v •
r w
q.e.d.
Øvelse 7
Tegn vektorerne
!
r v =
"1
0
3
#
$
% % %
&
'
( ( ( og
!
r w =
0
2
2
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ud fra samme punkt (f.eks. origo).
Beregn derefter vinklen mellem dem, og få det til at passe med din rumlige intuition. (Hov! Skulle du lige til at læse videre uden at regne øvelsen først?) En nyttig konsekvens af sætning 7 er, at man meget let kan se om to vektorer er vinkelrette eller ej: Corollar 8 (vinkelrette vektorer) To vektorer
!
r v og
!
r w er vinkelrette hvis og kun hvis
!
r v •
r w = 0.
Bevis Vektorerne
!
r v og
!
r w er vinkelrette præcis hvis en af dem er nul (pr.
definition) eller hvis
!
cos(") = 0. Dermed følger påstanden af sætning 7. (Ordet “corollar” betyder “gave” på græsk, og benyttes om sætninger, der følger af andre sætninger som en direkte, men meget nyttig, konsekvens.)
- 21 -
Bemærk at dette corollar er den tekniske grund til at man siger at nulvektoren er vinkelret på alle vektorer. På den måde bliver påstanden nemlig også rigtig hvis en eller begge vektorerne er nulvektor. Øvelse 8
Er følgende to vektorer vinkelrette?
!
r v =
1
1
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
r w =
"1
"1
1
#
$
% % %
&
'
( ( ( .
Til sidst i dette afsnit skal vi se på et meget vigtigt begreb i fysik, nemlig projektion af vektorer på hinanden. Definition (projektion af vektor på vektor) Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer som tegnes ud fra samme punkt P, så
defineres projektionen af
!
r v på
!
r w som den vektor
!
r v r
w som, når den
tegnes ud fra P, giver den vinkelrette projektion af pilen for
!
r v på den
linje som pilen for
!
r w ligger på.
Situationen ser ud som på tegningen:
- 22 -
Sætning 9 (projektion af vektor på vektor) Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, kan projektionen af
!
r v på
!
r w beregnes som:
!
r v r
w =
r v •
r w
r w
2
"
# $ $
%
& ' ' (
r w
Bevis Beviset foregår lige som i det todimensionale tilfælde. Man ser bare de to vektorer “ovenfra”, og deler igen ind i de to tilfælde, hvor
!
r v r
w peger henholdsvis samme vej og modsatte vej som
!
r w .
Øvelse 9
Beregn projektionen af
!
r v =
2
1
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' på
!
r w =
1
0
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' . Indtegn alle tre vektorer fra
origo.
- 23 -
10. Regning med vektorer 3 Dette er første gang vi skal lave noget, som ikke ligner det todimensionale tilfælde på en prik. I det todimensionale tilfælde definerede vi begreberne “tværvektor til en vektor” og “determinant af to vektorer”. Den dårlige nyhed er, at ingen af disse to begreber findes for tredimensionelle vektorer. Lidt snik-snak, som kan springes over: “Tredimensionel tværvektor?” I planen har man præcis to oplagte muligheder, hvis man til en given vektor vil lave en vinkelret vektor, hvis man (meget naturligt) bestemmer at den vinkelrette vektor skal have samme længde som den oprindelige. Så det er blot et spørgsmål om at vælge en “omløbsretning” for at definere præcist hvilken at de to muligheder der skal være den “rigtige”. I rummet har man mange flere muligheder. F.eks. er enhedsvektorerne
!
r i ,
!
r j og
!
"r i allesamen gode valg af “tværvektor” til
!
r k . Faktisk er enhver enhedsvektor med z-koodinat nul lige “oplagt”. Som vi skal se kræves der mere information for at reducere antallet af oplagte muligheder, således at man kan vælge en bestemt af dem. Lidt anderledes forholder det sig med determinanten. Der findes en determinant i rummet. Men det viser sig at den “rigtige” måde at generalisere dette begreb på er, at man tager determinanten af tre vektorer. På samme måde som determinanten af to todimensionelle vektorer viser som de to vektorer ligger på samme linje eller ej, viser determinanten af tre tredimensionelle vektorer, om de ligger i samme plan eller ej. Det ser vi på i en anden af disse kasser senere. Til gengæld har man i rummet en slags erstatning af begge dele, som på samme tid er et slags “tværvektorbegreb” og samtidigt måler om to vektorer er parallelle eller ej. Det drejer sig om et helt nyt og spændende produkt af vektorer.
- 24 -
Definition (krydsprodukt)
Hvis
!
r v =
x1
y1
z1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
r w =
x2
y2
z2
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' er to vektorer i rummet, definerer vi
krydsproduktet af de to vektorer som:
!
r v "
r w =
x1
y1
z1
#
$
% % %
&
'
( ( ( "
x2
y2
z2
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
y1
y2
z1
z2
z1
z2
x1
x2
x1
x2
y1
y2
#
$
% % % % % % %
&
'
( ( ( ( ( ( (
=
y1z2) y
2z1
z1x2) z
2x1
x1y2) x
2y1
#
$
% % %
&
'
( ( (
Denne definition lærer man aldrig, hvis man bare sætter sig ned og stirrer på bogstaverne. I stedet skal man se lidt hen over bogstaverne og mærke hvad der foregår i stedet. Vi tager det skridt for skridt, uden at nævne bogstaverne: Bemærk først at krydsproduktet af to vektorer er en vektor. Det rammer vi lige ind for en god ordens skyld:
Krydsproduktet af to vektorer giver en ny vektor! (Af denne grund kaldes krydsproduktet også nogle gange for “vektorproduktet”.) Bemærk derefter at hver af koordinaterne i den nye vektor er defineret ved hjælp af en determinant af to todimensionelle vektorer. (Husk derfor på, hvordan determinanten blev defineret, og se, at dette stemmer overens med hvad der sker i det sidste lighedstegn.) Find til sidst en regel for hvordan indholdet af de tre determinanter findes ud fra de oprindelige vektorer. Jeg plejer at huske det som følger: Hvis man vil have en bestemt koordinat i vektorproduktet, finder man de tilsvarende koordinater i de to indgående vektorer. Man tager så de koordinater der står under disse i begge vektorer. –Med den regel at hvis man ryger ned igennem bunden, så starter man forfra i toppen. (“Woppawound”-reglen). –Prøv selv!
- 25 -
Øvelse 10
Udregn følgende krydsprodukter:
!
1
2
3
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' (
4
5
6
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
1
2
3
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' (
2
4
6
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
"1
3
"2
#
$
% % %
&
'
( ( ( )
2
"3
"1
#
$
% % %
&
'
( ( ( .
Beregn også:
!
r i "
r j ,
!
r j "
r i og
!
r k "
r k
Hvad giver
!
r v "
r v (uanset hvad
!
r v er) ?
(Gå ikke videre før du har lavet øvelsen!) Krydsproduktet er et mærkeligt produkt. Det opfylder ikke ret mange af de regneregler vi er vant til. Krydsproduktet er ikke kommutativt: F. eks. er
!
r i "
r j =
r k , men
!
r j "
r i = #
r k .
Faktisk er
!
r v "
r w = #
r w "
r v for alle vektorer
!
r v og
!
r w . Man kalder denne
egenskab at krydsproduktet er antikommutativt. Krydsproduktet er ikke associativt: F.eks. er
!
(r i "
r j ) "
r j =
r k "
r j = #
r i , men
!
r i " (
r j "
r j ) =
r i "
r 0 =
r 0 .
Lidt snik-snik, som kan springes over: Firefarveproblemet. Der er en meget interessant sammenhæng mellem krydsproduktets manglende associativitet og et stort matematisk resultat, kendt under navnet “firefarveproblemet”. Firefarveproblemet handler om den berømte påstand, fremført af den engelske kartograf Francis Guthrie i 1850, at man med blot 4 farver kan farvelægge ethvert landkort sådan at nabolande aldrig får samme farve. (To lande kaldes nabolande, hvis de støder op til hinanden langs en grænselinje, der er længere end bare et punkt.) Det viser sig at firefarveproblemet er ækvivalent med følgende mærkværdige påstand: Hver eneste gang man vælger to forskellige måder at sætte parenteser i udtrykket
!
r x 1"
r x 2"L"
r x
n på, sådan at det kan udregnes på en entydig
måde, da findes der en måde at indsætte basisvektorer,
!
r i ,
!
r j eller
!
r k
på pladserne
!
r x
i sådan at de to udregninger giver det samme resultat,
forskelligt fra nul.
- 26 -
Krydsproduktet opfylder følgende regneregler: Sætning 10 (regneregler for krydsproduktet) Homegenitet med skalering: Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, og
!
r " R er en skalar, så er:
!
r " (r v #
r w ) = (r "
r v ) #
r w =
r v # (r #
r w )
Den distributive lov: Hvis
!
r u ,
!
r v og
!
r w er vektorer, så er:
!
r u " (
r v +
r w ) =
r u "
r v +
r u "
r w
!
(r v +
r w ) "
r u =
r v "
r u +
r w "
r u
Bemærk at den distributive lov bliver lidt farligere at bruge, fordi den kommutative lov ikke gælder. Man skal derfor passe meget på med om man ganger ind i parentesen fra enten venstre eller højre. De to egenskaber bevises ved at navngive koodinaterne i alle vektorerne, og så udregne de givne udtryk og se at det giver samme resultat. Det vil vi ikke gøre her. I stedet vil vi se på en sidste regneregel, som er lidt spøjs: Sætning 11 (regneregler for krydsproduktet - fortsat) En slags homogenitet med prikproduktet: Hvis
!
r u ,
!
r v og
!
r w er vektorer,
så er:
!
r u • (
r v "
r w ) = (
r u "
r v )•
r w
Denne lov ligner en slags homogenitetslov. Dog er der byttet om på de to gangetegn, idet parentesen er flyttet. Bemærk at denne ombytning er nødvendig (se næste øvelse). Øvelse 11 Hvorfor giver følgende udtryk slet ikke mening?
“
!
(r u •
r v ) "
r w ”
- 27 -
For nu ikke at springe alle beviser over, tager vi lige: Bevis for sætning 11
Vi kalder koodinaterne i de tre vektorer:
!
r u =
x1
y1
z1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
r v =
x2
y2
z2
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
r w =
x3
y3
z3
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' .
Venstresiden giver så:
!
r u • (
r v "
r w ) =
x1
y1
z1
#
$
% % %
&
'
( ( (
•
y2z3) y
3z2
z2x3) z
3x2
x2y3) x
3y2
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x1(y
2z3) y
3z2) + y
1(z2x3) z
3x2) + z
1(x
2y3) x
3y2) =
x1y2z3
+ y1z2x3
+ z1x2y3) x
1y3z2) y
1z3x2) z
1x3y2
Højresiden giver:
!
(r u "
r v )•
r w =
y1z2# y
2z1
z1x2# z
2x1
x1y2# x
2y1
$
%
& & &
'
(
) ) )
•
x3
y3
z3
$
%
& & &
'
(
) ) )
= (y1z2# y
2z1)x
3+ (z
1x2# z
2x1)y
3+ (x
1y2# x
2y1)z3
=
y1z2x3
+ z1x2y3
+ x1y2z3# z
2x1y3# x
2y1z3# y
2z1x3
-Og det er jo det samme! q.e.d.
Den sidste regneregel kan bruges til at vise en meget nyttig egenskab ved krydsproduktet. Dette er grunden til at krydsproduktet kan ses som en slags tredimensionel erstatning af “tværvektor”-begrebet: Corollar 12 (retning af krydsprodukt) Hvis
!
r v og
!
r w er vektorer, så er krydsproduktet
!
r v "
r w vinkelret på både
!
r v og
!
r w .
Bevis Vi tester for ortogonalitet ved hjælp af corollar 8: (Bemærk at vi vælger at “prikke fra den smarte side”):
!
(r v "
r w ) •
r w =
r v • (
r w "
r w ) =
r v •
r 0 = 0.
-Altså er
!
r v "
r w vinkelret på
!
r w .
- 28 -
!
r v • (
r v "
r w ) = (
r v "
r v ) •
r w =
r 0 •
r w = 0.
-Altså er
!
r v "
r w vinkelret på
!
r w .
q.e.d. Øvelse 12
Beregn en vektor som er vinkelret på både
!
1
4
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
"1
"3
2
#
$
% % %
&
'
( ( ( .
Corollar 12 sagde noget om den geometriske betydning af krydsproduktets retning. Man kan også spørge hvad krydsproduktets længde betyder. Dette viser sig denne opfører sig omtrent lige som determinanten gjorde i planen: Sætning 13 (længde af krydsprodukt) Hvis
!
r v og
!
r w er egentlige vektorer, og
!
" er vinklen mellem dem, så er længden af krydsproduktet
!
r v "
r w givet ved:
!
r v "
r w =
r v #
r w # sin($)
Vi beviser ikke denne sætning, men jeg henviser de interesserede til beviset på s. 220 i den grå bog. I stedet vil vi slutte dette afsnit med et nyttigt corollar til sætning 13: Corollar 14 (parallelle vektorer) To vektorer
!
r v og
!
r w er parallelle hvis og kun hvis krydsproduktet
!
r v "
r w
er lig nulvektor. Bevis Da nulvektor er parallel med alle vektorer, er sætningen rigtig hvis en af de to vektorer er nulvektor. Hvis begge vektorer er egentlige, er de parallelle præcis hvis
!
sin(") = 0, hvilket ifølge sætning 13 gælder præcis hvis
!
r v "
r w = 0. Da nulvektor er
den eneste vektor med længde nul, er det det samme som at
!
r v "
r w =
r 0 .
q.e.d.
- 29 -
11. Rette linjer i rummet I planen har vi flere forskellige måder at beskrive en ret linje på. Det viser sig desværre at det ikke kan lade sig gøre at beskrive en ret linje i rummet ved hjælp af en ligning. Lidt snik-snak som godt kan springes over: (Hvorfor det?) Problemet er, at vi har for mange koordinater til at en enkelt ligning kan begrænse antallet af punkter nok. Generelt vil en ligning om x, y og z kunne løses uanset hvilken værdi x og y måtte have. Dermed vil ligningen være opfyldt for mindst 1 punkt over hvert eneste punkt i xy-planen. –Det lyder ikke som en linje! Hvad det i stedet lyder som skal vi se på i næste afsnit. Det er heller ikke muligt at definere et brugbart “hældningsbegreb” for linjer i rummet. (Hvad skulle man måle hældning i forhold til? Og hvordan skulle det beskrive linjen?) Til gengæld er den rigtige måde at beskrive linjer i rummet parameterformen. Vi gentager lige definitionerne fra første del af noterne: Definition (retningsvektor for linje) En egentlig vektor
!
r v siges at være retningsvektor for en linje, hvis
den, når den indtegnes fra et punkt på linjen, peger på et andet punkt på linjen. (Altså hvis den indtegnede pil er parallel med linjen.) Og der gælder så: Sætning 14 (konstruktion af en retningsvektor) Hvis
!
P = (x1,y1,z1) og
!
Q = (x2,y
2,z2) er punkter på linjen L, så er den
forbindende vektor
!
PQ =
x2" x
1
y2" y
1
z2" z
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
retningsvektor for linjen.
- 30 -
Og derfor: Sætning 15 (linje på parameterform)
Hvis L er en linje,
!
P = (x0,y
0,z0) er et punkt på L, og
!
r v =
a
b
c
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' er en
retningsvektor for L, så er alle punkter (x,y,z) på linjen givet ved:
!
x
y
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
x0
y0
z0
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
+ t (
a
b
c
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
t " R
Da der ikke er så mange måder at beskrive linjer i rummet på, er oversigten over de vigtige omskrivninger også ganske kompakt:
Øvelse 13 Giv en parameterfremstilling af den linje som indeholder punkterne:
!
(1,5,"2) og
!
(2,"1,4) Øvelse 14 Find 3 punkter på linjen med parameterfremstillingen:
!
x
y
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
1
5
(2
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
+ t )
(2
12
(12
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
t " R
-Og tegn den.
- 31 -
(Øvelserne først! :) 13. Planer i rummet Vi slutter af med at anvende vektorregning til at beskrive nogle andre, spændende delmængder af rummet, nemlig planer. Definition En delmængde A af rummet, som hverken er et punkt, en linje eller hele rummet kaldes en plan hvis den opfylder følgende krav: Hver gang man har to punkter i A, så er linjen mellem de to punkter indeholdt i A. Hvor man ved linjer taler om at punkter ligger “på linjen”, taler man ved planer om, at punkter ligger “i planen”. Lidt snik-snik som godt kan springes over: Ordkløveri. Det hedder EN plan. Basta! Mange irriterende elever har gennem tiden hævdet at det burde hedde “et plan”, fordi man jo i daglig tale bruger ordet “et skråplan”, mens “en plan” er sådan noget som Egon fra Olsen-banden har. Dertil kan jeg bare sige: Nej! Ordet “skråplan” er en sproglig misforståelse, som desværre har bredt sig voldsomt i befolkningen, takket være ordblinde journalister, som tror at navneord lyder klogere hvis de er intetkøn. “En plan” er både en form for strategi, ofte i nedskrevet form, samt et fladt (plant) område i rummet. –De to ord kommer nemlig af præcis det samme: Således betyder “planlægning” jo at man “lægger noget plant”, altså nedfælder det på papir, der jo som regel er ... plant! En plan er, som navnet antyder, et helt fladt, uendeligt stort område i rummet. Vi har allerede set tre planer, nemlig koordinatplanerne! Hvis man har 3 punkter i rummet, som ikke ligger på samme linje (man siger at de tre punkter er uafhængige), så er der præcis en plan som indeholder dem alle tre. Vi vil nu finde en måde at beskrive denne plan. Dertil skal vi bruge et nyt begreb:
- 32 -
Definition (retningsvektor for en plan) En egentlig vektor
!
r v siges at være retningsvektor for en plan, hvis
den, når den indtegnes fra et punkt i planen, peger på et andet punkt på planen. Det ser ud som på tegningen: (Planen er tegnet som et endeligt område, da det er svært at indramme et uendeligt stort område. Man skal forestille sig at planen fortsætter uendeligt langt til alle sider.)
Det er ret nemt at finde en retningsvektor, hvis man har to punkter i planen: Sætning 15 (konstruktion af retningsvektorer) Hvis
!
P = (x1,y1,z1) og
!
Q = (x2,y
2,z2) er punkter i en plan A, så er den
forbindende vektor
!
PQ =
x2" x
1
y2" y
1
z2" z
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
retningsvektor for planen.
- 33 -
Øvelse 15 Find 3 forskellige retningsvektorer for yz-planen. (Gå ikke videre før du har lavet øvelsen!) Bemærk at hvis man har 3 punkter i en plan, kan man hurtigt lave 2 retningsvektorer. Hvis de tre punkter er uafhængige (d.v.s. de ligger ikke på den samme linje), kan man endda sørge for at lave to retningsvektorer som ikke er parallelle. Hvis man har to sådanne retningsvektorer og et punkt i en plan, så kan man beskrive alle de øvrige punkterne i planen: Sætning 16 (plan på parameterform)
Hvis A er en plan,
!
P = (x0,y
0,z0) er et punkt i A, og
!
r v =
a1
b1
c1
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' og
!
r w =
a2
b2
c2
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' er
to ikke-parallelle retningsvektorer for A, så er alle punkter (x,y,z) i planen givet ved:
!
x
y
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
x0
y0
z0
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
+ s (
a1
b1
c1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
+ t (
a2
b2
c2
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
s,t " R
De ubestemte tal, s og t, kaldes de frie parametre i beskrivelsen af planen. De kan, som skrevet, antage enhver værdi i de reelle tal, hver for sig. For hver eneste værdi af parametrene, kan man udregne et punkt i planen. (Eller rettere: En stedvektor til et punkt på planen.) Det er ret svært at tegne, men man bør have noget i retning af følgende tegning i hovedet:
- 34 -
Det fremgår ret klart af tegningen at sætningen er rigtig. Når man tager alle forskellige skaleringer af og lægger til stedvektoren for P, så får man stedvektorer til alle punkter på linjen. Øvelse 16 Planen A er givet på parameterform ved:
!
x
y
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
0
1
2
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
+ s (
1
1
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
+ t (
1
0
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ,
!
t " R
Bestem tre punkter på A, og tegn derefter A i et koordinatsystem. Afgør om punktet
!
(4,3,2) tilhører A. Ulempen ved parameterfremstillinger er, som bekendt, at det er svært at afgøre om et givet punkt ligger i mængden eller ej. Derfor vil vi nu opfinde en alternativ måde at beskrive en plan på. Vi lader os inspirere af nogle begreber fra beskrivelsen af linjer i det todimensionelle koodinatsystem.
- 35 -
Definition (normalvektor for plan) En egentlig vektor
!
r n siges at være være normalvektor for en plan A,
hvis den er vinkelret på enhver retningsvektor for planen. Hvis man indtegner en normalvektor fra et punkt på planen, ser det ud som på tegningen nedenfor:
Hvis man allerede har to retningsvektorer, som ikke er parallelle, er det meget nemt at konstruere sig en normalvektor: Sætning 17 (konstruktion af normalvektor) Hvis
!
r v og
!
r w er ikke-parallelle retningsvektorer for planen A, så er
!
r v "
r w
en normalvektor for L.
Ligesom med linjerne i det todimensionale koordinatsystem, kan man ved hjælp af et punkt og en normalvektor skrive en ligning op, som alle andre punkter i en given plan opfylder:
- 36 -
Sætning 18 (fra normalvektor til ligning)
Hvis
!
P = (x0,y
0,z0) er et punkt i planen A, og
!
r n =
a
b
c
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' er en normalvektor
til A, så er punkterne i A givet ved ligningen:
!
a " (x # x0) + b " (y # y
0) + c " (z # z
0) = 0
Bevis Det, som karakteriserer et punkt Q=(x,y,z) i planen er, at den forbindende vektor
!
PQ er en retningsvektor for planen (eller nulvektor, hvis Q skulle gå hen at være lig med P.) Men det er det samme som at sige, at
!
PQ er vinkelret på normalvektoren
!
r n . Ifølge corollar 8, er det
det samme som at:
!
r n • PQ = 0
Men hvis man kigger efter en ekstra gang, så står her jo lige præcis at:
!
a " (x # x0) + b " (y # y
0) + c " (z # z
0) = 0
q.e.d.
Vi har nu udviklet følgende omskrivningsteknikker mellem de forskellige præsentationer af en plan:
- 37 -
Øvelse 17 En plan indeholder punkterne
!
(1,2,3),
!
(4,5,6) og
!
(0,0,7) Find en ligning for denne plan.
