Vektorprodukte und analytische Geometrie - tu-freiberg.de · 14 Vektorprodukte und analytische Geometrie 14.1Vektorprodukte 14.1.1Skalarprodukt im R3 Deﬁnition 14.1 Das Skalarprodukt~a

KAPITEL 14

Vektorprodukte und analytischeGeometrie

14.1 Vektorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.2 Skalarprodukt für Vektoren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

14.3 Anwendung des Skalarprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

14.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

14.5 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

14.6 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

14.7 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Lernziele 14• Skalarprodukt, orthogonale Vektoren, orthogonale Projektion, Gram-Schmidtsches

Orthonormierungsverfahren,

• Vektorprodukt, Flächeninhalt,

• Spatprodukt, Rechtssystem, Volumen,

• Geraden,

• Ebenen.

279

14 Vektorprodukte und analytische Geometrie

14.1 Vektorprodukte

14.1.1 Skalarprodukt im R3

Definition 14.1Das Skalarprodukt ~a · ~b = 〈~a, ~b〉 der Vektoren ~a und ~b ist definiert durch

~a · ~b = 〈~a, ~b〉 :=

{|~a||~b| cos^(~a,~b), falls ~a 6= ~0 und ~b 6= 0,

0, falls ~a = ~0 oder ~b = 0.

Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt, ist eine Zahl (Skalar).

Folgerung 14.2Für ~a, ~b ∈ R3 gilt

|~a · ~b| ≤ |~a| |~b|,

dabei gilt die Gleichheit wenn ~a ein Vielfaches des Vektors ~b ist, d.h. ~a = α~b, α ∈ R. Dies liegtdaran, dass | cos^(~a,~b)| ≤ 1 und die Gleichheit gilt, wenn der Winkel ein Vielfaches von π ist.

Beispiel 14.3

Wegen |~ei | = 1 gilt für einen beliebigen Vektor~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 stets

~a·~ei = |~a||~ei | cos^(~a, ~ei ) = |~a| cos^(~a, ~ei ) = ai ,

i = 1, 2, 3. Da sich aus den Beziehungen amrechtwinkligen Dreieck

cos^(~a, ~e1) =a1

|~a|und cos^(~a, ~e2) =

a2

|~a|

ablesen lässt. Im R3 ergibt sich a3 analog.

Damit erhält man~a = (~a · ~e1)~e1 + (~a · ~e2)~e2 + (~a · ~e3)~e3.

Die Faktoren cos^(~a, ~ei ) nennt man Richtungskosinus von ~a.

280

14.1 Vektorprodukte

Rechenregeln für das Skalarprodukt:

• ~a · ~b = ~b · ~a,

gilt weil der Winkel zwischen ~a und ~b der gleiche Winkel wiezwischen ~b und ~a ist.

• (α~a) · ~b = ~a · (α~b) = α(~a · ~b), α ∈ R.

Es gilt (α~a) · ~b = |α~a| |~b| cos^(α~a, ~b) = |α| |~a| |~b| cos^(α~a, ~b).Für α ≥ 0 gilt |α| = α und der Winkel zwischen α~a und ~b istgleich dem Winkel zwischen ~a und ~b.

Ist dagegen α < 0, wie in der Skizze gezeigt, so ist |α| = −αund der Winkel zwischen α~a und ~b, also β = π − γ, wobei γ derWinkel zwischen ~a und ~b ist, d.h. cos^(α~a, ~b) = − cos^(~a, ~b).Damit ist die Gleichheit auch in diesem Fall gezeigt.

• (~a + ~b) ·~c = ~a ·~c + ~b ·~c.

Für den Beweis legen wir die x-Achse bzw. den Einheitsvektor ~e1 in die Richtung desVektors ~c, dann ist ~c = |~c|~e1 = c1~e1. Damit gilt ~a · ~c + ~b · ~c = ~a · (c1~e1) + ~b · (c1~e1) =c1(~a · ~e1) + c1(~b · ~e1) = c1(a1 + b1) = c1(~a + ~b) · ~e1 = (~a + ~b) ·~c.

• Orthogonalitätstest: ~a · ~b = 0 ⇐⇒ der Vektor ~a orthogonal zum Vektor ~b ist.

Falls die Vektoren orthogonal zu einander sind, ist der von den Vektoren eingeschlosseneWinkel gleich π

2 und damit der Kosinus des eingeschlossenen Winkels gleich Null. Istumgekeht ~a · ~b = 0, dann ist entweder einer der Vektoren der Nullvektor oder derKosinus des eingeschlossenen Winkels gleich Null. Der Nullvektor ist zu allen Vektorenorthogonal. Der Kosinus ist Null für Winkel der Größe (2l+1)π

2 , l ∈ Z, in diesen Fällenist der von den Vektoren eingeschlossenen Winkel gerade π

2 und die Vektoren stehensenkrecht aufeinander, sind also orthogonal.

Bemerkung 14.4Die Koordinatendarstellung ~a =

3∑i=1

ai~ei =

a1

a2

a3

, ~b =3∑

i=1bi~ei =

b1

b2

b3

bezüglich einer

kartesischen Basis (~e1, ~e2, ~e3) ermöglicht eine einfache Berechnung des Skalarprodukts unddes Richtungskosinus:

~a · ~b = a1b1 + a2b2 + a3b3, |~a| =√

a21 + a2

2 + a23,

cos^(~a,~b) =~a · ~b|~a||~b|

=a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23

√b2

1 + b22 + b2

3

, falls ~a,~b 6= 0,

281


und für den Richtungskosinus cos^(~a,~ei ) =ai√

a21 + a2

2 + a23

, i = 1, 2, 3,

mit den Basisvektoren ~e1

100

, ~e2 =

010

, ~e3 =

001

.

14.1.2 Orthogonale Projektion

Für Anwendungen in der Physik bzw. Mechanik, wo eine Arbeit bei konstanter Kraft berechnetwerden soll, ist es erforderlich die Projektion eines Vektors auf einen anderen zu berechnen.

�a

�a�b

�a⊥�b

�b

α

Wir wolen die Projektion des Vektors~a auf den Vektor ~b berechnen. Die Projektion werde mit~a~bbezeichnet. Der von ~a und ~b eingeschlossenen Winkel ist α. Aus geometrischen Überlegungenam rechtwinkligen Dreieck erhalten wir für die Länge der Projektion

|~a~b| = |~a| cosα.

Weiterhin ist die Projektion parallel zum Vektor ~b und hat deshalb die Richtung (Richtungsvek-toren haben immer die Länge 1):

~b

|~b|Damit ergibt sich aus Länge und Richtung für die Projektion:

~a~b = |~a|cosα~b

|~b|=〈~a, ~b〉|~a| |~b|

|~a||~b|~b =〈~a, ~b〉|~b|2

~b.

(Dabei bezeichnet 〈~a, ~b〉 das Skalarprodukt.) Aus der Skizze ergibt sich, dass diese Formeleigentlich bisher nur für spitze Winkel (0 ≤ α ≤ π

2 ) gilt. Für π2 ≤ α ≤ π ist cosα negativ unddie obige Formel ist auch in diesem Fall gültig.

14.2 Skalarprodukt für Vektoren im Rn

Im Rn ist unklar, was der Winkel zwischen 2 Vektoren sein soll, in diesem Fall definiert man invölliger Analogie zum Fall n = 3 deshalb:

282

14.2 Skalarprodukt für Vektoren im Rn

Definition 14.5Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~a = a1~e1 + a2~e2 + ... + an~en und ~b = b1~e1 + b2~e2 +... + bn~en ist definiert als

~a · ~b = 〈~a, ~b〉 = a1b1 + a2b2 + ... anbn

und der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist (per Definition)

cos^(~a, ~b) :=~a · ~b|~a| |~b|

=〈~a, ~b〉|~a| |~b|

.

Folglich sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

Wie man leicht nachrechnet gelten damit die folgenden

Satz 14.6 (Rechenregeln für das Skalarprodukt)Seien ~a, ~b, ~c ∈ Rn, dann gilt

• 〈~a, ~b〉 = 〈~b, ~a〉. (Kommutativität)

• 〈α~a, ~b〉 = 〈~a, α~b〉 = α〈~a, ~b〉 für alle α ∈ R.

• 〈~a + ~b, ~c〉 = 〈~a, ~c〉 + 〈~b, ~c〉. (Distributivität)

Bemerkung 14.7Das „dreifache“ Skalarprodukt dreier Vektoren ist nicht definiert, da das Skalarprodukt zweierVektoren eine Zahl ist und das Produkt einer Zahl mit einem Vektor wieder einen Vektor ergibt.

14.2.1 Eigenschaften orthogonaler Vektoren

Sowohl im R3 als auch im Rn gilt deshalb die folgende orthogonale Zerlegung von Vektoren:Orthogonale Zerlegung von ~a längs ~b, falls ~b 6= ~0.

~a = ~a~b + ~a⊥~b

mit den Komponenten

~a~b :=~a · ~b|~b|2

~b =〈~a, ~b〉|~b|2

~b

283


in Richtung ~b und

~a⊥~b = ~a− 〈~a, ~b〉|~b|2

~b

orthogonal zu ~b. Dies ergibt sich aus

〈~a~b, ~b〉 = 〈~a− 〈~a, ~b〉|~b|2

~b, ~b〉 = 〈~a, ~b〉 − 〈〈~a, ~b〉|~b|2

~b, ~b〉 = 〈~a, ~b〉 − 〈~a, ~b〉〈~b, ~b〉|~b|2

= 0.

Satz 14.8 (Satz des Pythagoras)Ist ~a ⊥ ~b, so folgt

|~a + ~b|2 = |~a|2 + |~b|2.

Beweis: |~a + ~b|2 = 〈~a + ~b, ~a + ~b〉 = 〈~a, ~a〉 + 〈~a, ~b〉 + 〈~b, ~a〉 + 〈~b, ~b〉 = |~a|2 + |~b|2.#

Folgerung 14.9Für die Länge der Projektion von ~a auf den Vektor ~b gilt:

|~a~b| ≤ |~a|.

Satz 14.10 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.)Für beliebige Vektoren ~a, ~b ∈ Rn gilt

|〈~a, ~b〉| ≤ |~a| |~b|,

dabei gilt die Gleicheit, wenn ~a und ~b parallel sind, d.h. wenn ~a = α~b, α ∈ R.

Beweis: Für die Projektion des Vektors ~a auf den Vektor ~b gilt:

∣∣~a~b∣∣ =

∣∣∣∣∣〈~a, ~b〉|~b|2

~b

∣∣∣∣∣ =|〈~a, ~b〉||~b|

und damit wegen des Satzes von Pythagoras:

∣∣~a~b∣∣ =|〈~a, ~b〉||~b|

≤ |~a| ⇐⇒ |〈~a, ~b〉| ≤ |~a| |~b|.

Falls ~a = α~b ist, ergibt sich sofort |〈~a, ~b〉| = |~a| |~b|. Aus der Überlegung, dass die Projektiondes Vektors ~a auf den Vektor ~b nur dann in Richtung (oder entgegen) von ~a zeigt, wenn der

284

14.3 Anwendung des Skalarprodukts

Vektor ~a parallel zum Vektor ~b ist und die Länge der Projektion maximal wird, da der Kosinusdes eingeschlossenen Winkels gerade 1 ist, ergibt sich die Umkehrung.


14.3.1 Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

Satz 14.11 (Gram-Schmidtsches Orthonormierungsverfahren.)Es seien ~b1, ... , ~bk ∈ Rn (k ≤ n) linear unabhängige Vektoren des Rn. Hieraus werdendie orthogonalen ~c1, ... , ~ck ∈ Rn (k ≤ n) der linearen Hülle Lin (~b1, ... , ~bk ) wie folgtkonstruiert:

1. Man setzt~c1 =

1

|~b1|~b1.

2. Der zweite Vektor soll nun zu ~c1 bzw. ~b1 orthogonal sein. Deshalb zerlegt manden Vektor ~b2 in die zu ~c1 parallele Komponente = Projektion von ~b2 auf ~c1 undden dazu orthogonalen Vektor:

~c ′2 = ~b2 − (~b2 ·~c1)~c1

und normiert

~c2 =~c ′2|~c ′2 |

.

3. Nun wird der Vektor ~c3 aus ~b3 so konstruiert, dass ~c3 orthogonal zu ~c1 und ~c2

ist, d.h. wir bilden zunächst die Projektionen von ~b3 auf ~c1 und ~c2 und berechnendann

~c ′3 = ~b3 − (~b3 ·~c1)~c1 − (~b3 ·~c2)~c2

und normieren

~c3 =~c ′3|~c ′3 |

.

4. Man fährt so fort bis

~c ′k = ~bk −k−1∑i=1

(~bk ·~ci )~ci

und normiert

~ck =~c ′k|~c ′k |

.

285


Bemerkung 14.12In jedem Schritt ist ein Element ~ci konstruierbar. Wäre dem nicht so, so wäre der Vektor ~bi

linear abhängig von ~c1, ... ,~ci−1 und damit ~b1, ... ,~bi−1. Das ist aber nach Voraussetzungausgeschlossen!

Bemerkung 14.13Verzichtet man auf den Normierungsschritt erhält man eine Menge orthogonaler Vektoren, dieanschliessend normiert werden können.

u

v

vu

vu┴

Sind nur 2 linear unabhängige Vektoren ~u, ~v zu orthogonalisieren, so entsteht das orthogao-nale System durch ~u1 = ~u und ~u2 = ~v⊥~u der orthogonale Vektor zur Projektion von ~v auf ~u.Durch Normieren der Vektoren erhält man orthonormale Vektoren.

E

u1

u2

u3

w

wu1

wu2

w┴

Im Fall von 3 Vektoren ~u, ~v , ~w gewinnt man zunächst 2 orthogonale bzw. orthonormale Vek-toren von ~u, ~v wie bereits beschrieben. Der dritte Vektor ~w lässt sich in einen Anteil, der inder von ~u und ~v aufgespannten Ebene liegt, und einen dazu orthogonalen Anteil aufspalten.Dieser orthogonale Anteil ist die gesuchte dritte Richtung, durch Normieren erhält man den 3.normierten Vektor.

286


Beispiel 14.14Es seien die folgenden 3 Vektoren gegeben:

~v1 =

1203

, ~v2 =

4058

, ~v3 =

8156

.

Man benutze das Gram-Schmidtsche-Orthonormierungsverfahren, um eine Basis für Lin (~v1, ~v2, ~v3)zu konstruieren.

1. ~u1 := 1|~v1|~v1 = 1√

14

1203

.

2. ~u′2 := ~v2 − (~v2)~u1= ~v2 − (~v2 · ~u1)~u1 = ~v2 − 1√

142 · 28

1203

=

4− 20− 45− 08− 6

=

2−452

und wir erhalten ~u2 = 1|~u′

2|~u′2 = 1

7

2−452

.

3. ~u′3 := ~v3− (~v3)~u1− (~v3)~u2

= ~v3− (~v3 ·~u1)~u1− (~v3 ·~u2)~u2 =

8156

− 1√14

2 · 28

1203

−

172 · 49

2−452

=

8− 2− 21− 4 + 45 + 0− 56− 6− 2

=

410−2

und wir erhalten ~u3 = 1|~u′

3|~u′3 =

1√21

410−2

.

Das Schmidtsche-Orthonormierungsverfahren ist nicht nur auf Vektoren im Rn anwendbar,sondern allgemein in Vektorräumen, also insbesondere auch auf Funktionenräume. Dazubenötigt man aber ein Skalarprodukt für Funktionen.

287


14.3.2 Vektorraum-basierte Informationssuche

Die Idee der besten Approximation kann man z.B. auch bei der Dokumentensuche verwenden.Nehmen wir an, wir wollen eine Suchmaschine konstruieren, die auf Webprogrammierungspezialisiert ist. Sie durchsucht die Webseiten nach einigen wenigen Stichworten wie

Einführung, Schnellkurs, Referenz, HTML, XML, PHP, Java,und erstellt für jedes Dokument einen Vektor, dessen j-te Komponente angibt, ob und wo dasDokument das j-te Stichwort enthält. Zum Beispiel:3 ... Stichwort kommt im Titel vor,2 ... Stichwort ist im Dokument hervorgehoben (Fettdruck, Überschrift, ...),1 ... Stichwort kommt im Text vor,0 ... Stichwort kommt nicht vor.Die Vektoren einiger Webseiten könnten dann wie folgt aussehen:

~a1 = (3, 0, 0, 3, 2, 0, 1)

~a2 = (0, 0, 3, 1, 0, 3, 2)

~a3 = (0, 3, 0, 0, 0, 0, 3)...

Sucht ein Benutzer nun nach den Stichworten HTML Referenz , so ordnen wir dieser Suchan-frage den Vektor

~q = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0)

zu und berechnen den Winkel zwischen dem Dokumentenvektoren und dem Suchvektor

cosφj =〈~aj , ~q〉|~a| |~q|

, j = 1, ... , 7.

Die Übereinstimmung ist umso besser, je näher der Winkel bei Null liegt und damit je größercosφj ist.

Bemerkung 14.15Dieses Verfahren ist noch viel allgemeiner anwendbar. Da die Cauchy-Schwarzsche Unglei-chung in einem beliebigem Vektorraum mit Skalarprodukt gilt und die Gleichheit genau beiparallelen Vektoren eintritt, brauchen wir nur nach dem Maximum von

|〈~aj , ~q〉||~a| |~q|

zu suchen. So kann man z.B. auf dem Vektorraum der reellen Funktionen ein Skalarproduktmit Hilfe des Integrals erklären und diese Idee verwenden, um in einem Audiosignal nacheinem bestimmten Teilstück zu suchen. Oder man kann damit ein vorgegebenes Objekt ineinem Bild suchen. Dieses Verfahren ist als Matched-Filter bekannt.

288

14.4 Vektorprodukt

14.4 Vektorprodukt

Das Vektorprodukt ist wiederum nur für Vektoren des R3 erklärt.

Definition 14.16Das Vektorprodukt ~a× ~b zweier Vektoren ~a, ~b ∈ R3 ist der Vektormit den Eigenschaften: ~a× ~b = ~0, falls ~a = ~0 oder ~b = ~0 oder ~a parallel zu ~b ist.In allen anderen Fällen ist ~a× ~b derjenige Vektor, der

1. der senkrecht auf ~a und ~b steht,2. mit dem (~a, ~b, ~a× ~b) ein Rechtssystem darstellt und3. dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt F des von ~a und ~b aufgespannten

Parallelogramms ist.|~a× ~b| = |~a||~b| sin^(~a, ~b).

Ein rechtshändiges System bzw. Rechtssystem ergibt sich aus der

a

b

a x b

„Rechte-Hand-Regel“

Beispiel 14.17Für die Vektoren ~e1, ~e2, ~e3 einer kartesischen Basis gilt

~ei × ~ei = ~0, ~e1 × ~e2 = ~e3 = −~e2 × ~e1, ~e2 × ~e3 = ~e1 = −~e3 × ~e2, ~e3 × ~e1 = ~e2 = −~e1 × ~e3.

Die Multiplitation ist folglich nicht kommutativ, sie ist aber auch nicht assoziativ, da

−~e2 = ~e1 × ~e3 = ~e1 × (~e1 × ~e2) 6= (~e1 × ~e1)× ~e2 = ~0!

289


Satz 14.18 (Rechenregeln)Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3, dann gilt

1. ~a× ~a = ~0,

2. ~a× ~b = −~b × ~a (nicht kommutativ),

3. Die Multiplikation ist nicht assoziativ,

4. ~a× (~b +~c) = ~a× ~b + ~a× ~b,(~a + ~b)×~c = ~a×~c + ~b ×~c. (Distributivgesetze),

5. Parallelitätstest: ~a× ~b = ~0 ⇐⇒ falls ~a = ~0 oder ~b = ~0 oder ~a parallel zu ~b.

6. |~a× ~b|2 = |~a|2|~b|2 − (~a · ~b)2.

Bemerkung 14.19Man muss zwei Distributivgesetze formulieren, da das Vektorprodukt nicht kommutativ ist.

Aufgrund der Distributivität lassen sich Produkte in gewohnter Weise ausmultiplizieren. Ins-besondere erhält man in einer kartesischen Basis ~e1, ~e2, ~e3 für ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 und~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 :

~a× ~b = (a2b3 − a3b3)~e1 + (a3b1 − a1b3)~e2 + (a1b2 − a2b1)~e3.

In anderer Schreibweise a1

a2

a3

× b1

b2

b3

=

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a2b1 − a1b3

.

Das Vektorprodukt zweier Vektoren kann man deshalb auch als formale Determinante auf-schreiben: a1

a2

a3

× b1

b2

b3

=

∣∣∣∣∣∣∣~e1 a1 b1

~e2 a2 b2

~e3 a3 b3

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ .Hieraus ergeben sich auch die Rechenregeln für das Vektorprodukt.

Bemerkung 14.20Zwei nützliche Beziehungen sind

~a× (~b ×~c) = (~a ·~c)~b − (~a · ~b)~c (Grassmann)

(~a× ~b) · (~c × ~d) = (~a ·~c)(~b · ~d)− (~b ·~c)(~a · ~d) (Lagrange)

290

14.4 Vektorprodukt

Insbesondere erhält man, dass

a

ab

b

ab

T

~a⊥~b = ~a− (~a · ~b)

|~b|2~b =

1

|~b|2~b × (~a× ~b).

Man kann dies umschreiben zu:

~a⊥~b = ~a− (~a · ~b)

|~b|2~b =

1

|~b|2~b× (~a×~b) =

~b

|~b|×

(~a×

~b

|~b|

).

Beispiel 14.21Man berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren ~a =

351

und ~b =

418

aufge-

spannten Paralellogramms. Es gilt

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3

3 5 14 1 8

∣∣∣∣∣∣∣ = (5·8−1·1)~ex+(1·4−8·3)~ey +(1·3−4·5)~ez =

39−20−17

.

Damit beträgt der Flächeninhalt |~a × ~b| =√

392 + (−20)2 + (−17)2 =√

1521 + 400 + 289 =√2210 ≈ 47, 11.

Beispiel 14.22Gesucht ist ein Vektor ~a = (ax , ay , az )T mit 3

45

× ax

ay

az

=

91−8

.

Da das Vektorprodukt zweier Vektoren auf jedem der Vektoren senkrecht steht, gibt es

keine Lösung, da der Vektor

345

nicht senkrecht auf dem Vektor

91−8

steht, wie man

mit Hilfe des Skalarprodukts leicht ausrechnet:

345

· 9

1−8

= 3 · 9 + 4 · 1 − 5 · 8 =

27 + 4− 40 = −9 6= 0!

291


Wir modifizieren nun die Aufgabe. Gesucht ist ein Vektor ~a = (ax , ay , az )T mit 345

× ax

ay

az

=

47−8

.

In diesem Fall ist

345

· 4

7−8

= 3 · 4 + 4 · 7 + 5 · (−8) = 12 + 28 − 40 = 0, d.h. die

Vektoren stehen senktrecht aufeinander. Wir berechnen nun das Vektorprodukt: 345

× ax

ay

az

=

~ex ~ey ~ez

3 4 5ax ay az

4az − 5ay

5ax − 3az

3ay − 4ax

.

Gleichsetzen mit dem gegebenen Vektor 4az − 5ay

5ax − 3az

3ay − 4ax

=

47−8

ergibt das lineare Gleichungssystem

4az − 5ay = 45ax − 3az = 7

3ay − 4ax = −8

und damit 0 −5 4 45 0 −3 7−4 3 0 −8

∼ 5 0 −3 7−4 3 0 −80 −5 4 4

∼5 0 −3 7

0 15 −12 −120 −5 4 4

∼5 0 −3 7

0 −5 4 40 0 0 0

mit der Lösung ax

ay

az

=

75

−45

0

+ t∗

3545

1

=

75

−45

0

+ t

345

, t ∈ R.

Da ~a × ~b = ~0 für ~a parallel zu ~b ist, kann

ax

ay

az

nur bis auf einen zu

345

parallelen

Vektor bestimmt werden.

Das wollen wir am folgenden (eher trivialen) Beispiel veranschaulichen. Gesucht ist ein Vektor

292

14.4 Vektorprodukt

~a = (ax , ay , az )T mit 310

× ax

ay

az

=

001

.

Offensichtlich steht der Vektor

310

senkrecht auf dem Vektor

001

. Wir berechnen nun

das Vektorprodukt: 310

× ax

ay

az

=

~ex ~ey ~ez

3 1 0ax ay az

az

−3az

3ay − ax

.

Gleichsetzen mit dem gegebenen Vektor az

−3az

3ay − ax

=

001

mit der Lösung ax

ay

az

=

−100

+ t

310

, t ∈ R.

Da ~a × ~b = ~0 für ~a parallel zu ~b ist, kann

ax

ay

az

nur bis auf einen zu

310

parallelen

Vektor bestimmt werden.

Da alle Lösungsvektoren in der x-y -Ebene liegen sind sie offensichtlich orthogonal zum Vektor 001

. In der folgenden Skizze soll außerdem veranschaulicht werden, dass auch der

Flächeninhalt

F =

∣∣∣∣∣∣∣ 3

10

× ax

ay

az

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣ 3

10

× −1

00

+ t

310

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣ 3

10

× −1

00

+

310

× t

310

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣ 3

10

× −1

00

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣ 0

01

∣∣∣∣∣∣∣ = 1

erhalten bleibt.

293


14.5 Spatprodukt

Eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt ist das aus je drei Vektoren gebildete

Definition 14.23 (Spatprodukt)Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3, dann ist Spatprodukt definiert als

[~a, ~b, ~c] := ~a · (~b ×~c).

Satz 14.24Der von den Vektoren~a, ~b, ~c ∈ R3 aufgespannte Spat (Parallelflach oder Parallelepipedgenannt) hat das Volumen:

V = |[~a, ~b, ~c]|.

Beweis: Das Volumen ist „Grundfläche mal Höhe“. Die Grundfläche hat den Flächenin-halt

F = |~b ×~c|

und die Höhe ist die Projektion von ~a auf ~b ×~c :

h =

∣∣∣∣∣~a · (~b ×~c)

|~b ×~c|2(~b ×~c)

∣∣∣∣∣ .Unter Berücksichtigung Regeln |α~a| = |α||~a| und das

~a · (~b ×~c) ∈ R

ist, erhält man für das Volumen:

V = h · F =

∣∣∣∣∣~a · (~b ×~c)

|~b ×~c|2(~b ×~c)

∣∣∣∣∣ · |~b ×~c| = |~a · (~b ×~c)||~b ×~c|2

|~b ×~c|2 = |~a · (~b ×~c)|

#

294

14.5 Spatprodukt

b

c

a

b x c

Das Volumen des Spats ist gerade |[a, b, c]|.

Folgerungen:Das Volumen des Tetraeders mit dem Kanten ~a, ~b, ~c beträgt

VTetr =16

VSpat =16|[~a, ~b, ~c]|.

Test auf lineare Unabhängigkeit

Die Vektoren ~a, ~b, ~c sind linear unabhängig, d.h. sie sind nicht parallel zu einer Ebene (siespannen tatsächlich einen Spat auf)

⇐⇒ [~a, ~b, ~c] 6= 0.

Test auf Rechtssystem

(~a, ~b, ~c) ist ein Rechtssystem ⇐⇒ [~a, ~b, ~c] > 0.

Wie berechnet man das Spatprodukt in Koordinaten?

Wir erinnern daran wie man das Vektorprodukt ausrechnet, es gilt

~b ×~c =

~ex ~ey ~ez

b1 b2 b3

c1 c2 c3

=

b2c3 − b3c2

b3c1 − b1c3

b1c3 − b3c1

.

295


Folglich ist

~a · (~b ×~c) = a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c3 − b3c1)

= a1

∣∣∣∣∣ b2 c2

b3 c3

∣∣∣∣∣− a2

∣∣∣∣∣ b1 c1

b3 c3

∣∣∣∣∣ + a3

∣∣∣∣∣ b1 c1

b3 c3

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣ .

Beispiel 14.25Man überprüfe, ob die Vektoren ~a =

321

, ~b =

212

und ~c =

111

einen Spat

aufspannen. Falls ja, berechne man das Volumen und entscheide, ob die Vektoren ein Rechts-system bilden.

Alle 3 Fragen lassen sich durch die Berechnung des Spatprodukts beantworten, es ist

[~a, ~b, ~c] =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 12 1 21 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 3 + 4 + 2− 1− 6− 4 = −2

und damit ist das Volumen des Spats gleich |[~a, ~b, ~c]| = 2 und die Vektoren bilden einLinkssystem aufgrund des negativen Vorzeichens des Spatprodukts.

296

14.5 Spatprodukt

Zusa

mm

enfa

ssun

g:P

rodu

kte

von

Vekt

oren

imR

3

Ska

larp

rodu

ktVe

ktor

prod

ukt

Spa

tpro

dukt

~ a·~ b

~ a×~ b

[~ a,~

b,~ c

]=~ a·(~ b×~ c

)E

rgeb

nis

ist

eine

Zahl

ein

Vekt

orei

neZa

hlda

sP

rodu

ktis

tko

mm

utat

iv(d

ieR

eihe

nfol

gede

rFak

tore

nsp

ielt

kein

eR

olle

)

nich

tkom

mut

ativ

(die

Rei

henf

olge

der

Fakt

oren

ist

we-

sent

lich)

nich

tass

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tiv(m

anm

uss

Kla

mm

ern

setz

en)

dist

ribut

iv(m

anda

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tipliz

iere

n)di

strib

utiv

(man

darf

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geom

etris

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Inte

r-pr

etat

ion

|~ a×~ b|i

stde

rFlä

chen

inha

ltde

svo

n~ a

und~ b

aufg

espa

nnte

nPa

ralle

logr

amm

s|[~ a

,~b,~ c

]|is

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ende

svo

n~ a

,~b

und~ c

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espa

nnte

nS

pats

Test

auf

Ort

hogo

nalit

ätP

aral

lelit

ätlin

eare

Abh

ängi

gkei

t~ a·~ b

=0⇐⇒

~ a⊥~ b

~ a×~ b

=~ 0⇐⇒

~ a‖~ b

[~ a,~

b,~ c

]=0⇐⇒

~ a,~

b,~ c

linea

rabh

ängi

g(li

egen

inei

nerE

bene

)

insb

eson

dere

gilt

~ a×~ b⊥~ a

und~ a×~ b⊥~ b

Rec

htss

yste

m[~ a

,~b,~ c

]>0,

Link

ssys

tem

[~ a,~

b,~ c

]<0

Ber

echn

ung

inK

o-or

dina

ten

~ a·~ b

=a 1

b 1+

a 2b 2

+a 3

b 3~ a×~ b

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣~ ex~ e

y~ e

z

a 1a 2

a 3b 1

b 2b 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣[~ a

,~b,~ c

]=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a 1a 2

a 3b 1

b 2b 3

c 1c 2

c 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

297


14.6 Geraden

14.6.1 Parameterdarstellung einer Geraden

Eine Gerade g ist bestimmt durch eine Richtung, gegeben durcheinen Vektor ~c, ~c 6= ~0, und einen Punkt A, der auf der Geradenliegt. Man nennt A den Aufpunkt.

Ein Punkt X liegt genau dann auf der Geraden g durch A inRichtung ~c, ~c 6= ~0, wenn ~AX parallel zu ~c ist, d.h. wenn es eineZahl t ∈ R gibt mit ~AX = t~c. Man sagt dazu: g hat die Punkt-Richtungsgleichung

−→AX = t~c, t ∈ R.

Dabei nennt man t einen Parameter. Zu jedem Parameterwertt = t0 gehört genau ein Punkt X0 auf g mit

−−→AX0 = t~c und umgekehrt.

Wegen−→AX =

−→PX −−→PA läßt sich g in Bezug auf einen beliebigen

Punkt P darstellten als

−→PX =

−→PA + t ~c, t ∈ R.

A

X

P

cB

O

g

Ist nun im Raum ein kartesisches Koordinatensystem (O;~e1, ~e2, ~e3) gegeben und wird der Vek-tor ~c = c1~e1 +c2~e2 +c3~e3 durch 2 verschiedene Punkte A = (a1, a2, a3) und B = (b1, b2, b3) be-stimmt, d.h. ci = bi − ai , i = 1, 2, 3, dann geht (14.1) mit P = O über in

−→OX =

−→OA + t ~c =

−→OA + t

(−→OB −

−→OA)

, t ∈ R,

und ein Komponentenvergleich ergibt für die Geradenpunkte X = (x1, x2, x3) die drei Gleichun-gen

xi = ai + t ci , t ∈ R, (i = 1, 2, 3) Punkt-Richtungsgleichung (14.1)

bzw. xi = ai + t (bi − ai ), t ∈ R, (i = 1, 2, 3) Zwei-Punkte-Gleichung

Die Gleichungen (14.1) bis (14.2) sind Parameterdarstellungen der Geraden g.

298

14.6 Geraden

14.6.2 Abstand Punkt-Gerade

Der Lotvektor vom Punkt P auf die Gerade g durch den Punkt A in Richtung ~c ist

P

S

APA

c PS

gerade der Vektor−→PA minus der Projektion des Vektors−→

PA auf den Vektor ~c, d.h.

−→PS =

−→PA−

−→PA ·~c|~c|2

~c.

Mit Hilfe der Regeln für das Vektorprodukt ergibt sich

−→PS =

1|~c|2

((~c ·~c)

−→PA− (

−→PA ·~c)~c

)=

1|~c|2

(~c × (−→PA×~c))

und der Betrag gibt den Abstand d des Punktes P von der Geraden g an:

d =1|~c|2

(|~c×(−→PA×~c)|) =

1|~c|2

(|~c| |−→PA×~c| | sin^(~c;−→PA×~c)|) =

1|~c|

(|−→PA×~c|) = |−→PA| sin^(−→PA, ~c),

da ~c senkrecht auf−→PA×~c steht.

E1

E2

g

P

S

APA

c

PA x c

c x(PA x c)

PS

Der Abstand d des Punktes P von der Geraden g ist

d =|−→PA×~c||~c|

= |−→PA| sin^(−→PA, ~c) = |−→PA|

√√√√1−−→PA ·~c|−→PA| |~c|

. (14.2)

299


Beispiel 14.26Der Abstand des Punktes P =

15−26

von der Geraden

g :

x1

x2

x3

=

112

︸︷︷︸

+t

1−10

︸︷︷︸−→

OA ~c

Dann ist |~c| =√

2,−→PA =

−→OA−−→OP =

−143−4

und damit

−→PA×~c =

∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ez

−14 3 −41 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −4~ex − 4~ey + 11~ez

und |−→PA×~c| =√

153. Damit ist

d =1|~c|

(|−→PA×~c|) =

√1532≈ 8, 75.

14.7 Ebenen

14.7.1 Parameterdarstellung einer Ebene

Eine Ebene E ist gegeben durch zwei nichtparallele (von ~0 verschiedene) Vektoren~u und ~v und einem Punkt A, der in derEbene liegt.

Man sagt, die Vektoren ~u und ~v spannendie Ebene auf, der Punkt A wird auch „Auf-punkt“ genannt.

Ein Raumpunkt X liegt genau dann auf E ,wenn sich der Vektor

−→AX als Summe von

Vielfachen der Vektoren ~u und ~v darstellenlässt, d.h. man hat die Parameterdarstel-lung

−→AX = s~u + t ~v , t , s ∈ R.

E

X

x =a+ s u + t v

us u

v

t v

A

Wird ein kartesisches Koordinatensystem (O, ~e1, ~e2, ~e3) festgelegt, so dass A = (a1, a2, a3),

300

14.7 Ebenen

~u = u1~e1 +u2~e2 +u3~e3, und ~v = v1~e1 +v2~e2 +v3~e3, dann ist die Parameterdarstellung äquivalentzu den drei Gleichungen:

xi = ai + sui + tvi , i = 1, 2, 3, t , s ∈ R.

Werden ~u und ~v durch die drei verschiedenen Punkte A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) undC = (c1, c2, c3) bestimmt, also ~u =

−→AB und ~v =

−→AC dann geht die Parameterdarstellung über in

die Drei-Punkte-Gleichung der Ebene E :

xi = ai + s(bi − ai ) + t(ci − ai ), i = 1, 2, 3, t , s ∈ R,

mit A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3).

14.7.2 Parameterfreie Darstellung einer Ebene

Ein Punkt X liegt genau dann auf der Ebene E , wenn

−→AX = s~u + t~v = s

−→AB + t

−→AC,

das impliziert aber, dass

[−→AX ,−→AB,−→AC] = 0 (14.3)

sein muss. Ist umgekehrt (14.3) erfüllt, so bedeutet dies nach dem Test auf lineare Unabhängig-keit, dass die 3 Vektoren parallel zu einer Ebene sind, nämlich gerade E . Deshalb ist die para-meterfreie Drei-Punkte-Formel für E in Determinantenform gerade

[−→AX ,−→AB,−→AC] = 0.

Insbesondere zeigt das, dass der Vektor ~n =−→AB × −→AC = ~u × ~v senkrecht auf der Ebene E

steht. Man nennt deshalb ~n einen Normalenvektor von E und−→AX · ~n = 0, (A Aufpunkt, ~n

Normalenvektor von E).eine Normalengleichung von E . In kartesischen Koordinaten X = (x1, x2, x3), A = (a1, a2, a3)und~n = n1~e1+n2~e2+n3~e3 wird hieraus die Koordinatendarstellung von E

n1x1 + n2x2 + n3x3 = c mit c := a1n1 + a2n2 + a3n3 =−→OA · ~n.

Bemerkung 14.27Durch Berechnung des Normalenvektors gelangt man von der Parameterdarstellung zurparameterfreien Darstellung. Umgekehrt gelangt man von der parameterfreien Darstellungzur Parameterdarstellung durch Bestimmung von 3 Punkten, die auf der Geraden liegen, undbildet dann die 3-Punkt-Form einer Geraden.

Wird die Ebene E durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor ~n gegeben, so ist derAbstand eines beliebigen Raumpunktes P zur Ebene E gleich der Länge des Vektors

−→PS,

301


wobei S der Fußpunkt des Lots von P auf E ist und damit gleich der Länge der Projektiondes Vektors

−→PA auf den Normalenvektor ~n, d.h. der Abstand des Punktes P von der Ebene E

ist

d = |−→PS| = |−→PA · ~n||~n|

.

P

S

A

n

n

E

.

E1

E2

n1

n2

φφ.

g

Ist |~n| = 1, so gibt bereits d = |−→PA · ~n| den Abstand des Punktes P von der Ebene E an. Mitunseren Kenntnissen ist es relativ einfach den Schnittwinkel zweier Ebenen zu bestimmen.Als Winkel zwischen zwei Ebenen ist immer der spitze Winkel (0 ≤ φ ≤ π

2 ) zu verstehen.Offensichtlich gilt:

cosφ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

.

14.7.3 Hesse-Normalform

Man nennt diese Darstellung Hesse-Normalform der Ebene E

n1x1 + n2x2 + n3x3 = c, wenn n21 + n2

2 + n23 = 1 und c ≥ 0.

Man gelangt von einer beliebigen Koordinatendarstellung von E zur Hesseschen Normalform

mittels Division durch ±|~n| = ±√

n21 + n2

2 + n23.

302

14.7 Ebenen

Satz 14.28 (Hesse-Normalform einer Ebene)Ist n1x1 + n2x2 + n3x3 = c ≥ 0 in Hesse-Normalform, so gilt:

1. Der Normalenvektor ~n = n1~e1 +n2~e2 +n3~e3 weist, wenn er in einem Punkt der Ebe-ne E angetragen wird, vom Ursprung weg, da ~n · ~x = |~n| |~x | cos^(~n,~x) = c ≥ 0und damit muss gelten −π

2 ≤ ^(~n,~x) ≤ π2 :

.

E

n .

E

n

2. Es ist c der Abstand der Ebene E vom Ursprung, da−→OL parallel zu ~n ist und in

dieselbe Richtung zeigt, gilt−→OL = k~n und k = |−→OL|, dann folgt aus der Hesse-

Normalform ~n · (k~n) = k~n · ~n = k = c.3. Ein beliebiger Punkt P hat von E den Abstand d = |c−

−→OP ·~n|. Der Abstand von

P zur Ebene ist die Länge |−→PS| =∣∣∣|−→OL| − |−→OT |

∣∣∣ , wobei |−→OL| = c der Abstand des

Ursprungs von der Ebene und−→OT die Projektion von

−→OP auf den Normalenvektor

~n ist.

.

.

E

P

S

L

T

n

.

E

P1

S1

L

T

n

S2

P2

4. Falls O 6∈ E , dann gilt

c −−→OP · ~n > 0 ⇐⇒ O, P liegen auf derselben Seite von E ,

c −−→OP · ~n < 0 ⇐⇒ E trennt O und P.

303


Beispiel 14.29Man bestimme den Abstand des Punktes P3 =

124

von der Ebene E , die durch die Punkte

P0 =

101

, P1 =

110

und P2 =

011

gegeben ist.Als erstes bestimmen wir als Parameterform die 3-Punkte-Gleichung der Ebene: x1

x2

x3

=

101

+s

1− 11− 00− 1

+t

0− 11− 01− 1

=

101

+s

01−1

+t

−110

, s, t ∈ R.

Die parameterfreie Form ergibt sich aus der Bestimmung des Normalenvektors

~n =

01−1

× −1

10

=

~ex ~ey ~ez

0 1 −1−1 1 0

= ~ey + ~ez + ~ex =

111

.

D.h. die Ebenengleichung lautet x + y + z = c, wobei c durch das Einsetzen eines Punktes derEbene berechnet wird, für P0 ergibt sich 1 + 0 + 1 = c = 2, folglich ist die parameterfreie Formder Ebenengleichung

x + y + z = 2.

Hieraus erhält man wegen |~n| =√

12 + 12 + 12 =√

3 den Einheitsnormalenvektor ~n0 = ~n|~n| und

die Hesse-Normalformx√3

+y√3

+z√3

=2√3

.

Wir zwei Möglichkeiten den Abstand des Punktes P3 von der Ebene zu berechnen. Als erstesbenutzen wir die Formel für den Abstand mit P0 als Aufpunkt der Ebene mit

−−→P3P0 =

−−→OP0 −

−−→OP3 =

0−2−3

durch d =

|−−→P3P0 · ~n||~n|

=|0− 2− 3|√

3=

5√3

.

Das gleiche Ergebnis kann man mit Hilfe der Hesse-Normalform erhalten:

d = |c −−−→OP3 · ~n0| =∣∣∣∣c − x√

3− y√

3− z√

3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 2√3− 1√

3− 2√

3− 4√

3

∣∣∣∣ =5√3

,

da c −−−→OP3 · ~n0 = c − x√3− y√

3− z√

3=

2√3− 1√

3− 2√

3− 4√

3= − 5√

3< 0

ist, die trennt die Ebene E den Ursprung und den Punkt P3.

304

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Vektorprodukte und analytische Geometrie - tu-freiberg.de · 14 Vektorprodukte und analytische Geometrie 14.1Vektorprodukte 14.1.1Skalarprodukt im R3 Deﬁnition 14.1 Das Skalarprodukt~a