VERİ, SAYMA ve OLASILIK . ÜNİTE 6 ... - pdfkitapindir.netpdfkitapindir.net/dosya/mat/9matunite6veri.pdf · Veri, Sayma ve Olasılık ESEN YAYINLARI 563 ÖRNEK 3 Kredi 4 3 2 2 Ders

VERİ, SAYMA ve OLASILIK

. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT

VERİ – SAYMA

1. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri

Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık

kavramları hatırlatılır.

Bir veri grubuna ait alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma tanımla-

nır.

2. Kazanım : Verilerin grafikle gösterilmesi

Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek

yorumlar.

Serpme grafiğini açıklar, iki nicelik arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile gösterir ve yo-

rumlar.

Kutu grafiğini açıklar, bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizerek yorumlar ve veri grupla-

rını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanır.

OLASILIK

3. Kazanım : Basit olayların olasılıkları

Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarını

açıklar.

4. Kazanım : Tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olaylar ile ilgili olasılıkları hesaplar.

562

VERİ

Yorumlamak ve sunmak amacı ile toplanmış, çözümlenmiş ve özetlenmiş gerçeklere veriler denir. Veriler ölçüm, sayım, deney, gözlem veya araştırma yoluyla elde edilirler.

Verileri iki ana grup altında toplayabiliriz.

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafiklerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yan-sıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları;

ortalama (aritmetik ortalama)

ortanca (medyan)

tepe değeri (mod)

olmak üzere üç grupta toplanabilir.

ORTALAMAMerkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamının veri sayı-

sına bölümüdür. x ile gösterilir.

Veri değerleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için, ...

xx x x

nn1 2+ + +

= dir.

ÖRNEK 1

7, 6, 7, 8, 10, 12, 6

veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 2

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5

veri gurbundaki sayıların ortalaması kaçtır?

Çözüm

VERİ ve SAYMA

Veri

Kategorik (‹simsel)Sayısal

Marka, kanal adı,

ders adı, ülke,

flehir v.b. gibiKesikli

Kardefl sayısı, yafl,

araç sat›fl adedi v.b. gibi

Sürekli

Boy, a¤›rl›k,

s›cakl›k v.b. gibi

Veri, Sayma ve Olasılık

ES

EN

YAY

INLA

RI

563

ÖRNEK 3

Kredi

4

3

2

2

Ders

Matematik

Fizik

Kimya

Biyoloji

Not

84

72

65

70

Furkan’ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları

ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo

halinde verilmiştir. Furkan’ın sayısal karnesinin not

ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 4

Ö¤renci say›s›

Kardefl say›s›

5

1

12

2

8

3

3

4

0

5

0

6

1

7

29 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yuka-rıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 5

a, a + 1, a + 3, a + 5, a + 7, a + 8

veri grubunun ortalaması 8 olduğuna göre, a kaçtır?

Çözüm

ORTANCA (Medyan)

Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar kü-çükten büyüğe doğru sıralanır.

Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim ortanca-

dır.

Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin

aritmetik ortalaması ortancadır.

Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde

n tek ise ortanca : xn2

1+

n çift ise ortanca : x x

2

n n2 2 1

++

dir.

ÖRNEK 6

3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4

verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 7

2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1

verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

564

TEPE DEĞERİ (Mod)

Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan de-ğere tepe değeri (mod) denir. Tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır.

ÖRNEK 8

5, 11, 4, 13, 7, 6, 11

verilerinin tepe değeri kaçtır?

Çözüm

Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun tepe değeri yoktur.

ÖRNEK 9

1, 2, 3, 4, 5, 6

veri grubunun tepe değeri yoktur.

3, 3, 3, 3, 3, 3


1, 1, 2, 2, 3, 3


Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, tepe değeri değeri de birden fazla olabilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa tepe değeri yoktur.

ÖRNEK 10

1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5

sayı dizisinin tepe değeri kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 11

7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19

verilerinin tepe değeri kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 12

Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15 şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşa-ğıdaki gibi tespit edilmiştir.

18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32

Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve tepe değerleri nelerdir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

565

ÖRNEK 13

Bazı özelliklerde Türkiye’nin dünya sıralamasındaki yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir.

Özellik Dünya Sıralamasında-ki Yeri

Nüfus sayısı 17

Yüzölçümünün büyüklüğü 36

Kentli nüfus oranı 13

Ekonomik büyüme 16

Kişi başına düşen milli gelir 21

Bor ve krom üretimi 1

Altın ve toryum üretimi 2

Cıva, mermer ve jeotermalenerji üretimi 7

Fındık, incir ve kiraz üretimi 1

Çelik üretimi 9

Çimento üretimi 2

Kömür üretimi 15

İlaç üretimi 18

Koyun, keçi sütü üretimi 1

Dış satım ( ihracat) 30

Tekstil ihracatı 3

Çimento ihracatı 2

Mermer ihracatı 8

En çok tatil yapılan ülkeler 3

Tablodan elde edilen verilerin tepe değeri, medyanı ve ortalamasını bulunuz.

Çözüm

MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ

Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında nasıl bir dağılım (yayılım) gösterdiklerini ifade etme-de yetersiz kalırlar. Örneğin;

VER‹LER

Y

2

25

30

31

32

X

22

23

24

25

26

Z

7

9

11

13

80

x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( )x y z 24= = = olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır.

Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi ara-larında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar,

Açıklık – Çeyrekler Açıklığı – Standart Sapma

olarak ifade edilirler.

AÇIKLIK (Aralık – Ranj)Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir.

R = En Büyük Değer – En Küçük Değer

ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q)Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğ-ru sıralandığında ilk terime en küçük, son terime en büyük, bunların ortasındaki terime de ortanca denir.

Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q1) denir.

Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q3) denir.

Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ortanca-sına da Q3 denir.

Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek

Q = Q3 – Q1

% 0 % 25 % 50 % 75 % 100

Çeyrekler açıklı¤›

Ortanca En büyükde¤er

En küçükde¤er

Q1 Q3


ES

EN

YAY

INLA

RI

566

ÖRNEK 14

7, 3, 4, 9, 2, 7, 5

veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 15

16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28

veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 16

1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20

veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.

Çözüm

STANDART SAPMA

Standart sapma, verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. n tane verinin aritmetik ortalaması x olmak üzere, bu veri grubunun standart sapması (s)

s = ( ( ) … ( ))

n

x x x x x x

1–

– – –n1 22 22 + ++

dir.

ÖRNEK 17

5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 18

Yıl

1 – 5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

21

15

19

6

Frekans

Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 61 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu yukarıda verilmiştir. Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapması nedir?Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

567

ÖRNEK 19

Gün Alper Burak

1 4 3

2 2 3

3 5 4

4 3 5

5 4 5

6 6 4

Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki

elemandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda

işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük satışları yuka-

rıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha istikrarlı bir

eleman almak için Alper ve Burak’tan hangisini tercih

etmesini gerektiğini bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 20

A B C

12 18 24

13 21 14

12 15 14

14 13 22

11 16 25

20 18 16

16 18 11

A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket sayıları yukarıdaki tabloda verilmiştir.

a. Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine aitmerkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz.

b. Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusu-nuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde ka-zanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız ele-necek. A, B ve C oyuncularından birini seçerekmaça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyiseçersiniz?

Çözüm


568

ETKİNLİK 1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL

Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri arasında ödenen hesaplar yukarıdaki gibi olsun.

Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebilece-ğini inceleyelim.

Ortalama: 7 8 9 10 13 501x7

14+ + + + + += =

Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir.

Tepe Değeri: Tepe değeri bulunmadığından incelemeye katkısı yoktur.

Ortanca: 1, 7, 8, , 10, 13,9 50a k

Aşırı uç değerlerden (1 ve 50) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir.

Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir.

Standart Sapma:

s = 7 1(1 14) (7 14) (8 14) (9 14) (10 14) (13 14) (50 14)

–– – – – – – –2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + ≅ 265 ≅ 16

x – s = 14 – 16 = –2 , x + s = 14 – 16 = 30

Yeni gelecek bir müşterinin –2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne ala-rak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır.

Şimdi de 1 TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL

Ortalama: x = .5

7 8 9 10 13547 9 2,

+ + + + =

Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir.

Ortanca: Ortanca 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır.

Standart Sapma:

s = 5 1(7 9) (8 9) (9 9) (10 9) (13 9)

,422 5 5–

– – – – –2 2 2 2 2+ + + += = ≅ 2,3

x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 , x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5

Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.

Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde yanılma payı daha azdır.


ES

EN

YAY

INLA

RI

569

STANDART PUANLAR

z puanı: z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart

sapma kadar uzakta olduğunu gösterir. Verilen puan-

ları; ortalaması 0, standart sapması 1 olan puanlara

dönüştürür.

z puanı = darttan sapma

Ham puan Aritmetik ortalama–S

= s

X x–

formülü ile hesaplanır. Herhangi bir kişinin almış oldu-

ğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın

standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında

veya üstünde kaldığı belirlenebilir.

z puanının (–) veya sıfır (0) çıkması mümkündür.

T puanı: T puanı verilen puanları ortalaması 50,

standart sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z pu-

anlarından T punlarına geçiş T = 50 + 10.z formülü

ile elde edilir.

ÖRNEK 21

3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken;

I. Her öğrenciye 100 taban puan verilmektedir.

II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 e çe-

kilerek diğer puanların dağılımı buna göre yapıl-

maktadır.

III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan geti-

risi eşit kabul edilmektidir.

Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ın pu-

anını hesaplayalım.

Ö¤renci

Ecem

Aybars

Gizem

28

34

39

MatematikNeti

32

36

36

FenNeti

30

30

35

TürkçeNeti

24

26

30

SosyalNeti

Çözüm

ÖRNEK 22

Öğrenci Puanı

Melis 30

Zeynep 50

Burcu 90

Ezgi 70

Efe 40

Mesut 80

Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından

aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir.

Melis ve Ezgi’nin bu sınav için aldıkları kimya notları-

nın z ve T puanlarını bulalım.

Çözüm

570

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 12, 12, 13, 14, 14, 15 (saniye)

6 kişilik bir sporcu grubunun 100 metreyi koşma

süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu spor-

cuların 100 metreyi koşma süreleri ortalama kaç

saniyedir?

2. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2

II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3

Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin

ortancalarının toplamı kaçtır?

3. 8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4

Yukarıda verilen sayı dizisinin tepe değeri ile

ortancasının toplamı kaçtır?

4. 14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24

verilenlerin açıklığı kaçtır?

5. 4, 5, 8, 12, x, x + 1

sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna

göre, tepe değeri kaçtır?

6. 10 öğrencinin matematik dersinden aldıkları

notlar,

25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85

şeklindedir. Bu veri grubunun,

a. Ortancasını b. Tepe değerini

c. En küçük değerini d. En büyük değerini

e. Alt çeyrek değerini f. Üst çeyrek değerini

g. Çeyrek açıklığını h. Açıklığını

bulunuz.

7. 50, 54, 58, 60, 66, 72

Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğ-

rencinin geometri sınavından aldıkları puanlar

verilmiştir. Bu puanların standart sapmasını

bulunuz.

8. Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan

bir sınavda 40 alan Ali ile 100 alan Barış’ın z

puanlarını bulunuz.

9. Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olan

bir sınavda 60 alan Fatma’nın T standart puanı

kaçtır?

ALIŞTIRMALAR - 1

571

GRAFİKLER

Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar;

Çizgi grafiği Sütun grafiği Daire grafiği

Serpilme grafiği Kutu grafiği

başlıkları altında ifade edilebilir.

ÇİZGİ GRAFİĞİ

Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) ince-lemek için kullanılan en uygun grafiktir.

ÖRNEK 23

Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu1

2

3

4

5

100

150

175

175

200

Zaman (dk) Yol (m)

gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hare-ketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir.

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Yol (m)

Zaman (dk)1 2 3 54 76

Hareketin toplam süresi 5 dakikadır.

Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.

1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir.

2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol 175 – 150 = 25 metredir.

3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur.

Hız = zaman

yol olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0-1 dakika aralığıdır.

Bu aralıktaki hızı V = 1 0

100 0 100–

– = m/dk dır.

En çok yol aldığı aralık 0-1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır.

2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m).

Aynı süre içinde (1 dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir.

VERİLERİN GRAFİKLE GÖSTERİLMESİ


ES

EN

YAY

INLA

RI

572

ÖRNEK 24

10

8

6

4

2

0

Ö¤renci Say›s›

Notlar1 2 3 54

Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin ma-

tematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre,

aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır?

I. 3 alan 9 kişi vardır.

II. En düşük geçme notu 2 ise matematik dersinden

kalan öğrenci yoktur.

III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir.

IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir.

V. 1 ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın ya-

rısından azdır.

VI. Sınıfın 31 ünün notu 3 tür.

Çözüm

ÖRNEK 25

Alınan yol (km)0 600

Yakıt miktarı (litre)

60

Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre,

a. Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?

b. Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğine

göre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaç

km yol alabilir?

c. Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıt

kaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposun-

da kaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar?

Çözüm


573

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÖRNEK 26

876543210

Ö¤renci sayısı

Notlar1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik

dersinin 1. yazılısından aldıkları notları göstermekte-

dir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır?

Çözüm

ÖRNEK 27

Ülke Üretim Miktarı ( ton)İspanya 3.500.000

İtalya 2.700.000

Yunanistan 2.100.000

Türkiye 1.800.000

Tunus 1.000.000

Yukarıdaki tablo ile verilmiş olan verilere ilişkin çubuk grafiğini oluşturunuz.

Çözüm

ÖRNEK 28

Göl Yüzölçümü (km2)

Eğirdir 470

İznik 300

Manyas 170

Tuz 1500

Van 3700

Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri (yakla-şık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini çizelim.

Çözüm

SÜTUN GRAFİĞİ

Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur.


ES

EN

YAY

INLA

RI

574

ÖRNEK 29

Ülke Sınır Uzunluğu (km)

Brezilya 15.000

Rusya Federasyonu 20.000

Çin 22.000

Hindistan 14.000

A.B.D. 12.000

Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili

bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere

ilişkin çubuk grafiği çizelim.

Çözüm

Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar

takip edilir.

Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır.

Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en bü-

yük veri ile en küçük verinin farkıdır.

Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar veri-

lir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek

alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı

ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir.

Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısı-

nı bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile

değiştirebiliriz.

ÖRNEK 30

20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersin-

deki I. yazılı sınav sonuçları;

24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64,

70, 78, 82, 86, 92, 94

olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile göste-

relim.

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

575

DAİRE GRAFİĞİEldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de de-nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.

ÖRNEK 31

Ülke Üretim Miktarı (Bin ton)

Hindistan 870

Çin 650

Kenya 300

Sri Lanka (Seylan) 280

Endonezya 150

Türkiye 135

Toplam 2385

Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir.

Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz.

Çözüm

ÖRNEK 32

Bir önceki örnekteki tabloya karşılık gelen daire gra-

fiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz.

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

576

ÖRNEK 33

Ezgi, sınıfındaki 20 arka-

% 40TRT 1

% 15Show TV

ATV

% 20

Kanal D% 25

daşına TRT 1, Kanal D, Show TV, ATV kanalların-dan hangisini daha çok iz-lediğini sormuş ve sonuç-ları aşağıdaki daire grafi-ğinde göstermiştir.

Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu dol-durunuz.

TVkanalı

İzleyicisayısı

Daire dilimin-deki merkez

açının ölçüsü

TRT 1

Kanal D

Show TV

ATV

Toplam 20 360°

Çözüm

SERPİLME GRAFİĞİİki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen gra-fiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir.

ÖRNEK 34

Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir.Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80Bu verilere ait grafiği oluşturalım.

20 40 60 80

80

60

40

20

0Matematik

Notu (X)100

Fizik Notu (Y)

Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yük-sek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonu-cunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz.

ÖRNEK 35

Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve izlenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki serpilme grafiğinde verilmiştir.

10

8

6

4

2

0

B dizisinin izlenme oranı

A dizisinin izlenmeoranı

2 4 6 108 12

Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz.

A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin izlenme oranı azalmıştır.

İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır. Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisi-

ni izleyenlerin oranı daha fazladır. B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır.


577

60

40

25

125

MarkaYıllar

A

B

C

Toplam

2007

45

20

20

85

2008

55

30

25

110

2009

50

40

30

120

2010Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları

yandaki tablo ile verilmiştir.

Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki

grafikler oluşturulabilir.

Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz.

Bu grafikler aşağıda çizilmiştir.

Satıfllar (Adet)

Yıllar2007 2008 2009 2010

70

60

50

40

30

20

10

0

A: B: C:

A CB70

60

50

40

30

20

10

0

Satıfllar (Adet)

2007Yıllar

2008 2009 2010

Sadece A markasının yıllara göre satış adet-lerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çi-zilmiştir.

B markasının satışlarını, toplam satış adetle-

ri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yarar-lanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir.

60

40

20

0

Satıfllar (Adet)

2007Yıllar

2008 2009 2010 2007

150

100

50

0

Sat›fllar (Adet)

Y›llar

ToplamB

2008 2009 2010

2010 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi

oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek

için daire grafiğinden yararlanabiliriz.

Bu grafik yanda çizilmiştir.

A% 41,7

C% 25

B% 33,3

ETKİNLİK


578

ÖRNEK 36

Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi

içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm

sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tablo-

ya aktarılmıştır.

56

60

En KüçükDe¤er

Erkek

Kız

60

68

AltÇeyrek

66

74

Ortanca

76

80

ÜstÇeyrek

96

110

En BüyükDe¤er

Tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir.

85657060

Erkek

Kız

Nabız Sayısı80756555 11010090 10595

Cinsiyet

Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayıla-

rını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük

değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz.

ÖRNEK 37

1, 2, 5, 10, 5, 6, 7, 12, 6, 4, 7, 9, 1, 8, 3, 3, 4, 7

veri grubu için en küçük değeri, alt çeyrek, ortanca,

üst çeyrek ve en büyük değeri bularak kutu grafiği

ile gösteriniz.

Çözüm

ES

EN

YAY

INLA

RI

KUTU GRAFİĞİ

Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve de-ğişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için;

En küçük değer, alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve en büyük değer bulunur.

Kutu gösteriminde;

Kutunun uç noktaları Q1 ve Q3 tedir.

Kutunun uzunluğu Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür.

Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir.

Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır.

Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür.

En KüçükDe¤er

AltÇeyrek Ortanca

ÜstÇeyrek

En BüyükDe¤er


579

ÖRNEK 38

70

80

11 – K

11 – L

40

20

50

40

50

30

80

50

60

70

40

40

90

50

60

80

Bir okulun 11–K ve 11–L şubelerindeki öğrencilerin, fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda aldıkları puanlar yanda verilmiştir.

Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım.

Çözüm

Çizgi Grafiği

Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür.• Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir.

Sütun Grafiği

• Görselliği kuvvetlidir.• 2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir.• Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek değeri ko-

laylıkla görülebilir.

Daire Grafiği

Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür.• Göze hoş gelen bir sunumu vardır.

• Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır.

Kutu Grafiği

Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür.• Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır.• Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir.• Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar.

Serpilme Grafiği

İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.• Veriler arasındaki ilişkiyi (doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok uygundur.• Verilerin gerçek değerleri göz önündedir.

Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları

580

ES

EN

YAY

INLA

RI

1.

1 2 3 4 5

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Ö¤renci sayısı

Alınan Not

Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih

dersinin sınavından aldıkları notları göstermek-

tedir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna

göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden

başarılıdır?

2.

25

20

15

10

5

0

Benzin (L)

Zaman (gün)1 2 3 54 6

Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini

göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi

günler arasında benzin tüketim hızı en fazladır?

3. 3, 4, 4, 6, 6, 7, 9

veri grubuna ait kutu grafiğini çiziniz.

4. Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların mes-

leklerine göre dağılımını göstermektedir.

Ö¤r

etm

en

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Kifli sayısı

Meslek

Mem

ur

Esn

af

‹flçi

a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire

grafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösteren

daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç dere-

ce olur?

b. Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sa-

yıda yolcu binerse otobüste her meslek grubun-

dan eşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az

kaçtır?

c. Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi ol-

mayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı,

tüm yolcuların sayısının % 25’i oluyor. Buna gö-

re, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır?

ALIŞTIRMALAR - 2


ES

EN

YAY

INLA

RI

581

5. a, a + 2, a + 6, a + 8, a + 9, a + 10, a + 12

veri grubunun alt çeyreği ile üst çeyreğinin

toplamı 24 olduğuna göre,

a. Bu veri grubunun ortancasını bulunuz.

b. Bu veri grubunun çeyrekler açıklığını bulu-

nuz.

6.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Mat 35 80 70 50 60 80 90 100 65 70

Kimya 40 75 70 55 50 90 70 100 60 80

Bir sınıfdaki 10 öğrencinin matematik ve kimya

notları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu verilere

uygun serpilme grafiğini çiziniz.

7.

10 10020 30 40 50 60 70 80 90

Ders

Kimya

Fizik

Puan

Şekilde bir sınıftaki kimya ve fizik derslerinin

puanlarından oluşan veri grubunun kutu gra-

fikleri verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki soruları

cevaplandırınız.

a. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun

ortancası kaçtır?

b. Kimya dersinden elde edilen veri grubunun

açıklığı kaçtır?

c. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun

çeyrekler açıklığı kaçtır?

8.

Di¤er% 45

Kira% 30

Yiyecek

Şekilde verilen grafik birailenin aylık harcama-

larını göstermektedir. Bu ailenin aylık kira gideri

450 TL olduğuna göre, aylık yiyecek gideri kaç

TL dir?

9.

60 62 64 66 68 70 72 74 76

Sınıf

B

A

A¤ırlık

(kg)

Bir okulun A ve B sınıflarındaki öğrencilerin

ağırlıkları ile ilgili kutu grafiği verilmiştir. Buna

göre,

a. A sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının or-

tancası kaçtır?

b. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının or-

tancası kaçtır?

c. A sınıfındaki öğrencilerinin ağırlıklarının

çeyrek açıklığı kaçtır?

d. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının çey-

rek açıklığı kaçtır?

582

OLASILIK

Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade

eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının

yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler,

meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma

gibi pek çok uygulama alanında kullanılmaktadır.

Deney ve Çıktı

Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek

için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir

deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı

verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması

bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu

deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının

atılması bir deneydir. 1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi,

4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin

çıktılarıdır.

Örnek (Örneklem) Uzayı

Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların küme-

sine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın

her bir elemanına ise örnek nokta denir.

Olay

Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E

örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız

( imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın

ara kesitleri (kesişimleri ) boş küme ise bu iki olaya

ayrık (bağımsız) olaylar denir.

ÖRNEK 39

Bir madeni paranın atılması deneyinin;

çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır.

Örnek uzayı: E = { Y, T } dir.

Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı

veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay

denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır.

ÖRNEK 40

Bir madeni paranın arka arkaya 2 kez (veya iki made-

ni paranın birlikte) atılması deneyinde örnek uzayını

bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 41

Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını

yazınız.

Çözüm

Art arda yapılan madeni para atma deneyinde,

para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı

s(E) = 2n olur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

OLASILIK


ES

EN

YAY

INLA

RI

583

ÖRNEK 42

Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dir.

Üste gelen sayının;

tek gelmesi olayı, {1, 3, 5}

çift gelmesi olayı {2, 4, 6}

asal sayı gelmesi olayı {2, 3, 5}

en az dört gelmesi olayı {4, 5, 6}

en çok üç gelmesi olayı {1, 2, 3} dir.

ÖRNEK 43

İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız.

Çözüm

ÖRNEK 44

İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;

a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?

b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının

eleman sayısı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 45

3 kız, 4 erkek öğrencinin bir sıraya yan yana oturma deneyindeki;

a. Örnek uzayının eleman sayısı kaçtır?

b. Kızların bir arada olması olayının eleman sayısıkaçtır?

c. Erkeklerin bir arada olması olayının elemansayısı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

584

AYRIK – AYRIK OLMAYAN OLAYLAR

Birlikte ortaya çıkmayan iki olaya ayrık olay denir.

Başka bir deyişle A ve B ayrık olaylar ise

A ∩ B = ∅ dir.

ÖRNEK 46

Bir zarın atılması deneyinde meydana gelebilecek üç

olay aşağıda verilmiştir.

A = Tek sayı gelmesi = {1, 3, 5}

B = Çift sayı gelmesi = {2, 4, 6}

C = Asal sayı gelmesi = {2, 3, 5}

A, B ve C olaylarının ayrık olaylar olup olmadığını

tespit ediniz.

Çözüm

OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzuyanın iki alt kümesi A ve B olmak

üzere, tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K ise

P : K → [0, 1] fonksiyonuna olasılık fonksiyonu P(A)

görüntüsüne de A olayının olasılığı denir.

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(E) = 1

P(∅) = 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) dir.

A′ = E – A olmak üzere P(A) + P(A′) = 1 dir.

ÖRNEK 47

E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A′) = 31

P(B) = 41 ve P(A ∩ B)

61 ise P(A ∪ B) kaçtır?

Çözüm

P(A) + P(A′) = 1 ⇒ P(A) + 31 1= ⇒ P(A) = 1 –

ÖRNEK 48

E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 31

P(B) = 53 ve P(A ∩ B) =

41 olduğuna göre aşağı-

daki olasılıkları hesaplayınız.

a. P(A ∪ B) b. P(A′ ∩ B′)

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

585

Eş Olumlu Örnek Uzay

Örnek uzayı E = {a1, a2, ...., an} olan P olasılık fonk-

siyonu için,

P(a1) = P(a2) = .... = P(an)

ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.

( )( )( )

ıP A

s Bs A

T m durumlar n say sstenen durumlar n say s

ü › ›‹ › › ›

= = dır.

ÖRNEK 49

E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise

P(2) + P(5) toplamı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 50

Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-yinde, yazı (Y ) ve tura (T) olmak üzere,

E = { Y, T } olup s(E) = 2 dir. Buna göre,

P(Y) = ( )( )

s Es Y

21= ve P(T) =

( )( )

s Es T

21= olur.

P(Y) = P(T) = 21 olduğundan bu deneydeki örnek

uzay, eş olumlu örnek uzaydır.

ÖRNEK 51

İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonu-

cu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 52

Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonu-

cu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 53

Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonu-

cu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 54

Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayı-

nın asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

586

ÖRNEK 55

Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 56

Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze

gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 57

Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.

Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı

olma olasılığı nedir?

Çözüm

ÖRNEK 58

Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?Çözüm

ÖRNEK 59

Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilye-nin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?Çözüm

ÖRNEK 60

Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır?Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

587

ÖRNEK 61

7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kız-

ların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele

seçilen iki öğrencinin,

a. İkisinin de kız olma olasılığı,

b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı,

c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı,

d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı,

e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma ola-

sılığını hesaplayınız.

Çözüm

ÖRNEK 62

5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 63

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kulla-nılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

588

BAĞIMSIZ OLAYLAR

İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-

mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa

bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı

olaylar denir.

A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı

P(A ∩ B) demektir.

A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı

P(A ∪ B) demektir.

ÖRNEK 64

A ve B bağımsız olaylardır.

P(A) = 32 ve P(B) =

61

ise P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?

Çözüm

A ve B bağımsız olaylar olduğundan,

ÖRNEK 65

Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 66

Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın

tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?Çözüm

ÖRNEK 67

Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

ÖRNEK 68

Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 53 ve

Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı 31 tür. Buna göre,

a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?

b. Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?

Çözüm

589

1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş

kutulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.

Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek uzayı 16 elemanlı olur.

Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 216 elemanlı olur.

5 para atıldığında örnek uzayı 25 ele-manlı olur.

Bir A olayının olasılığı P(A) ise

–1 ≤ P(A) ≤ 1 dir.

A kesin olay ise P(A) = 1 dir.

2. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı

gelmesi olasılığı kaçtır?

3. Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kez

yazı 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır?

4. Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kez

yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur?

5. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların

a. Aynı olma olasılığını

b. Farklı olma olasılığını

c. Toplamlarının 9 olma olasılığını

d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını

e. Toplamlarının 13 olma olasılığını

f. Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulu-

nuz.

6. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çek-

tireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı

kaçtır?

ES

EN

YAY

INLA

RI

ALIŞTIRMALAR - 3


590

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin

bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekili-

yor. Çekilen bilyelerin,

a. Üçünün de beyaz olma olasılığını

b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını

c. Üçünün de aynı renk olma olasılığını

d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını

e. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz.

8. 4321132 sayısının rakamları yer değiştirilerek

oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele

alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir

sayı olma olasılığı kaçtır?

9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve

5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak

koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin

sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz

olma olasılığı kaç olur?

10. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden her-

hangi 2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3

elemanlı olma olasılığı kaç olur?

11. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak

üzere, P(A) = 41 , P(B′ ) =

87 ve

P(A ∩ B) = 161 ise P(A ∪ B) kaçtır?

12. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 12 si

erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü

olduğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir

öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı

kaç olur?

13. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.

Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift

sayı gelme olasılığı kaç olur?

ES

EN

YAY

INLA

RI

591

Yazılıya Hazırlık Soruları

1. İçinde 3 mavi, 4 sarı, 2 beyaz bilye bulunan

bir torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden sadece

ikisinin sarı olma olasılığı kaçtır?

2. 6 noktadan 2 tanesi A ve B dir. Bu noktaların

herhangi üçü doğrusal değildir. Bu noktalarla

oluşturulan tüm üçgenlerden iki tanesi rastgele

seçilirse ikisinin de bir tabanının [AB] olma

olasılığı kaçtır?

3. 24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulunduğu

bir sporcu grubunda futbolcuların 6 sı, bas-

ketbolcuların 4 ü yeşil gözlüdür. Bu gruptan

rastgele alınan birinin futbolcu veya yeşil gözlü

olma olasılığı kaçtır?

4. Düzgün bir madeni para 6 kez atıldığında en az

4 kez yazı gelme olasılığı kaç olur?

5. Duru, Ecem ve Gizem’in sınıflarını geçme olası-

lıkları sırasıyla , ve52

21

43 tür. Üçünden en az

birinin sınıfını geçme olasılığı kaçtır?

6. 5 elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinden

rastgele 2 tanesi seçildiğinde birinin 2 eleman-

lı diğerinin 3 elemanlı olma olasılığı kaçtır?


ES

EN

YAY

INLA

RI

592

7. Bir torbada eşit sayıda sarı ve mavi bilyeler

vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere, art

arda çekilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı

225 ise torbada kaç bilye vardır?

8.

Aritmetik Ort. ( x )

Mod

Medyan

Standart Sapma ( s )

77

75

80

2

Matematik

80

90

70

4

Edebiyat

60

70

70

6

Geometri

Bir sınıfa uygulanan üç dersle ilgili istatistikler

yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu sınıftaki bir

öğrenci matematikten 80, geometriden 72 ve

edebiyattan 84 aldığına göre, bu öğrencinin

standart z puanları arasındaki sıralama nedir?

9. Ortalaması 50 ve standart sapması 6 olan bir

öğrenci notu grubunda, notu 68 olan bir öğrenci-

nin standart z notu kaçtır?

10. Aşağıdaki grafik, bir şirketin 2008, 2009, 2010

ve 2011 yıllarında giyim ve gıda alanında yaptığı

ihracat tutarlarını göstermektedir.

2008

400

200

0

Bin TL

Yıl2009 2010 2011

Giyim Gıda

150

Buna göre, bu şirketin yıllara göre toplam ihraca-

tının daire grafiğiyle gösterimini yapınız.

ES

EN

YAY

INLA

RI

593

TEST - 1 Veri – Sayma

1. 2, 2, 3, 4, 5, 12, 1, 3

veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2. 10 sayının aritmetik ortalaması 12 dir. Bu sa-

yıların herbirinden 2 çıkarılırsa yeni aritmetik

ortalama kaç olur?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

3. 4, 3, 3, 2, 5, 6, 6, 5, 8

veri grubunun ortancası kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. 8, 4, 5, 10, 8, 3, 6

veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5.

Linyit

TaflkömürüKok

Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine

göre oranları yukarıdaki grafikte verilmiştir.

Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bil-

gilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir?

A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kö-mür koktur.

B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim miktarının yarısından azdır.

C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürü-nün maddi değeri en yüksektir.

D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı, linyit üretim miktarından azdır.

E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı bir süreçtir.

6.

12

10

8

6

4

2

0

Ö¤renci say›s›

A¤›rl›k (kg)50-55 56-61 62-67 68-73 74-79 80-85

Yukarıdaki grafikte 12–C sınıfındaki öğrencile-

rin ağırlıkları gösterilmiştir. 68-73 kg aralığında

kalan öğrenci sayısı, tüm sınıfın % 10 u olduğu-

na göre, sınıfın mevcudu kaç kişidir?

A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44


ES

EN

YAY

INLA

RI

594

7. Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye ayakkabı numa-

raları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş-

tir.

38 :

39 :

40 :

41 :

Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tepe değeri 41 dir.

B) Ortancası 40 tır.

C) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür.

D) Açıklığı 2 dir.

E) Alt çeyrek değeri 39 dur.

8.

14131211109876543210

Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağı-

dakilerden hangisi olabilir?

A) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14

B) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14

C) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14

D) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14

E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10

9. 6, 4, 8

veri grubunun standart sapması kaçtır?

A) 1 B) v2 C) 2 D) v5 E) 3

10.

1995 2000 2005 2010

40

30

20

10

0

Nüfus (milyon kifli)

Y›llar

ErkekKad›n

Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4

nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir.

I. 2000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki

sayıma göre artmamıştır.

II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 2000-

2005 yılları arasında olmuştur.

III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir.

IV. 2010 yılındaki kadın / erkek sayıları oranı

1995 yılındaki orana eşittir.

Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D) ve Yanlış (Y)

olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) D – D – D – Y B) D – Y – D – Y

C) D – Y – D – D D) Y – Y – D – Y

E) D – D – D – D

11. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gru-

ba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını

gösteren tablo aşağıda gösterilmiştir.

B grubu Maaş (TL)

Derya 1.400

Selma 1.800

Fatma 1.500

Soner 2.100

A grubu Maaş (TL)

Hülya 1.800

Ümit 1.600

İlhami 3.200

Turan 2.600

A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse

gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur?

A) İlhami ile Soner B) Turan ile Derya

C) Hülya ile Derya D) İlhami ile Selma

E) Turan ile Selma

ES

EN

YAY

INLA

RI

597

Veri – SaymaTEST - 3

1. Aşağıdakilerden kaç tanesi merkezi eğilim ölçü-

südür?

I. Açıklık

II. Aritmetik ortalama

III. Ortanca

IV. Standart sapma

V. Tepe değeri

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. 10 kişilik bir öğrenci grubundaki her bir öğrenci-

nin ağırlığı (kg)

72, 56, 68, 64, 54, 68, 55, 65, 62, 73

olarak belirlenmiştir. bu veri grubuna göre, aşa-

ğıdakilerden hangileri doğrudur?

I. Alt çeyrek değeri 56 dır.

II. Ortanca değeri 64,5 tir.

III. Açıklık 19 dur.

IV. Tepe değeri 73 tür.

A) Yalnız II B) I, II, IV C) I, II, III

D) II, III, IV E) I, II

3.

14

8

10

Hız (m/s)

Zaman (s)

4

AB

0

Şekilde A ve B araçlarına ait hız-zaman grafiği

verilmiştir. Kaçıncı saniyede hızları farkı 10 m/s

olur?

A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20

4.

32028024020016012080400

Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-

ği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi

yanlıştır?

A) En küçük değer 40 tır.

B) Ortanca 160 tır.

C) Açıklığı 280 dir.

D) Üst çeyrek değeri 280 dir.

E) Çeyrekler açıklığı 160 tır.

5.

100

80

60

40

20

0

Para (bin TL)

Y›llar2005 2006 2007 2008 2009 2010

Gelir

Gider

Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 2005-2010 yıl-

ları arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiş-

tir. Buna göre, bu işletme için aşağıda verilen bil-

gilerden hangisi yanlıştır?

A) 2008 yılında kâr etmemiştir.

B) En yüksek kârı 2010 yılında yapmıştır.

C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış fa-kat kârı artmıştır.

D) 2008-2009 arasında zarar etmiştir.

E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 140 bin TL dir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

598

6.

Or r2r 2r

C

B DA E

Şekilde BCD)

, O merkezli yarım çemberdir.

A noktasından harekete başlayarak,

A → B → C → D noktalarından E noktasına ge-

len hareketlinin, hareketi süresince O noktasına

uzaklığını gösteren grafik aşağıdakilerden han-

gisidir?

3r

2r

r

X

t

A)3r

2r

r

X

t

B)

3r

2r

r

X

t

C)3r

2r

r

X

t

D)

3r

2r

r

X

t

E)

7. 120 öğrencinin katıldığı 1. YGS deneme sına-vında öğrencilerin matematik netlerinden oluşantablo aşağıda verilmiştir.

Matematik Netleri Öğrenci Sayısı

0 – 10 10

11 – 20 20

21 – 30 60

31 – 40 30

Bu verilerle oluşturulan dairesel grafikte, 31-40 net yapan öğrenci sayısına karşılık gelen daire

diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 B) 36 C) 60 D) 90 E) 108

8. Sıcaklık (°C)

Günler

6

4

3

0

–21 2 3 75 64

ABCDE

Ankara’da Mart ayının ilk haftasına ait günlük hava sıcaklıkları grafikte gösterilmiştir. Bu haf-taya ait hava sıcaklığı ortalaması 3°C olduğuna göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?

A) A B) B C) C D) D E) E

9. Yandaki silindirik tankın

altta bulunan silindirinin

yarıçapı 2r, yüksekliği h

tır. Üstteki silindirinin ise

yarıçapı r, yüksekliği h tır.

Sabit debili A musluğu

açıldıktan sonra tanktaki

su seviyesini zamana kar-

şı gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?

2h

t

A)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

B)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

C)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

D)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

E)

h

2t 3t 4t 5t

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

h

h

A

r

2r

ES

EN

YAY

INLA

RI

599

OlasılıkTEST - 4

1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

kümesinin elemanlarından biri rastgele seçilirse

bunun asal sayı olma olasılığı kaç olur?

A) 75

B) 74 C)

73

D) 72 E)

71

2. Bir tavla zarı atıldığında üste gelen sayının 3 ten

büyük olma olasılığı kaçtır?

A) 65

B) 32 C)

21 D)

31 E)

61

3. Bir para iki kez üst üste atıldığında birinin yazı

diğerinin tura gelme olasılığı kaç olur?

A) 41 B)

31 C)

21 D)

43

E) 54

4. İçinde 2 kırmızı 3 beyaz bilye bulunan bir torba-

dan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyinde örnek

uzay kaç elemanlıdır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

5. 4 madeni para aynı anda atıldığında 3’ünün ya-

zı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E41

81

83

161

163

6. A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildi-

ğinde bu kümenin elemanları arasında "1" in bu-

lunma olasılığı kaç olur?

A) 321 B)

161 C)

81 D)

41 E)

21

7. ÖNDER sözcüğündeki harflerin yerleri değiştiri-

lerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rast-

gele seçildiğinde bu sözcüğün D harfiyle başla-

ma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E21

52

51

61

81

8. Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numaralar

bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçilecek üç

topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma

olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E32

21

31

41

51


ES

EN

YAY

INLA

RI

600

9. E örnek uzayında iki olay A ve B olsun.

P(A) = 41 , P′(B) =

31 ve P(A ∩ B) =

21 ise

P(A ∪ B) kaçtır?

A)31 B)

125

C) 21 D)

127 E)

32

10. 40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi

matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol-

muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de

kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren-

cinin matematik veya kimyadan başarılı olması


) ) ) ) )A B C D E103

107

54

53

52

11. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğ-

renci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisi-

nin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E51

61

71

101

111

12. Bir çember üzerinde bulunan 5 nokta ile oluş-

turulmuş, çokgenlerden biri rastgele seçildiğinde

bunun üçgen olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E21

85

43

54

87

13. Bir torbadaki özdeş bilyelerin 9 tanesi beyaz,

6 tanesi kırmızı, 7 tanesi mavi, 10 tanesi sarıdır.

Bu torbadan en az kaç bilye alınmalıdır ki kalan

bilyelerin renklerine göre çekilme olasılıkları eşit

olsun?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

14. 24 kişilik bir sınıfta 10 kız öğrenci vardır. Kızların

4 ü erkeklerin 6 sı gözlüklüdür. Bu sınıftan rast-

gele bir kişi seçildiğinde kız veya gözlüklü olma


) ) ) ) )A B C D E43

32

52

31

41

15. Bir yarışı A nın kazanma olasılığı52

B nin kazanmama olasılığı 31 tür.

A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç-

tır?

) ) ) ) )A B C D E52

157

158

53

32

16. Kız ve erkeklerden oluşan 7 kişilik bir grup yan-

yana bir sıraya oturduğunda kızların bir araya

gelme olasılığı 71 ise bu grupta kaç erkek var-

dır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

ES

EN

YAY

INLA

RI

603

OlasılıkTEST - 6

1. Üç madeni para atıldığında en çok ikisinin yazı

gelme olasılığı kaç olur?

A) 87 B)

21 C)

83

D) 41 E)

81

2. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların topla-

mının 8 olma olasılığı kaçtır?

A) 365

B) 61 C)

92 D)

41 E)

185

3. 2 mavi, 3 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan

iki bilye alındığında ikisininde kırmızı olma olası-

lığı kaçtır?

A) 51 B)

103

C) 52 D)

21 E)

53

4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin alt kümelerinden biri rastgele alındı-

ğında bunun 3 elemanlı bir küme olma olasılığı

kaç olur?

A) 163

B) 41 C)

165

D) 83

E) 167

5. 36 kişilik bir sporcu grubunda 25 kişi futbol ve-

ya basketbol oynuyor. 20 kişi futbol, 4 kişi her iki

oyunu oynamaktadır. Rastgele seçilen bir spor-

cunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E51

41

31

21

32

6. 5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grupta

3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır. Grup-

larda kızların ve erkeklerin bir araya gelmeme


) ) ) ) )A B C D E421

211

4217

4231

4241

7. 112334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 ba-

samaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirse

bu sayının 1 ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaç

olur?

) ) ) ) )A B C D E52

103

51

101

151

8. A = {x : 0 < x < 100, x ∈ N} kümesinin eleman-

ları olan sayıların herbirinin rakamları tek tek ke-

silerek birer karta yazılıyor. Bu kartlardan rast-

gele biri alındığında kartın üstünde yazan sayı-

nın 5 olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E18914

18917

634

627

18920


ES

EN

YAY

INLA

RI

604

9. Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır.

Torbadan rastgele seçilen 4 bilyeden en az biri-

nin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E210139

210203

105103

105104

210209

10. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yal-

nız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sı-

rayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çok

ikinci denemede kapının açılması olasılığı kaç-

tır?

) ) ) ) )A B C D E259

254

53

52

51

11. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar.

Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali

atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılı-

ğı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E32

21

31

41

81

12. 1 den 100 e kadar (1 ve 100 dahil ) olan sayılar

arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki

katı olması olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E91

991

253

174

85

13. Bir atıcı hedefe arka arkaya üç atış yapacaktır.

I. atışında hedefi vurma olasılığı % 25

II. atışında hedefi vurma olasılığı % 40

III. atışında hedefi vurma olasılığı % x

Bu atıcının hedefi üçünde de vurmama olasılığı

259 olduğuna göre x kaçtır?

A) 10 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30

14.

K

L

M

A B C D E F

Şekildeki yarım çemberin çapı [AF] dir.

Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktanın

bir üçgenin köşeleri olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E4241

4237

1411

2116

4229

15.

A B

CD

1 1 1 1 1

1

1

1

Üsteki şekilde alanı 1 br2 olan 15 tane kare var-

dır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler için-

den rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdört-

genin kare olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E51

92

4511

154

4513

605

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1990 – ÖYS

A B C D E

Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ay-

rıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.

Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki nok-

tadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı

kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E32

52

53

65

107

2. 1992 – ÖYS

Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye

vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin be-

yaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E61

111

112

334

335

3. 1995 – ÖYS

Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.

Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin

beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E103

193

154

145

135

4. 1998 – ÖYS

Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var-

dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki

kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birin-

cisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme


) ) ) ) )A B C D E1270

4920

4510

2110

215

5. 1999 – ÖSS

Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar

üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yü-

zünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüz-

lü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve

yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görül-

me olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E21

31

32

41

43

6. 2007 – ÖSS

A = {–2, –1, 0, 1}

B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.

A x B kartezyen çarpımından alınan bir elema-

nın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E41

61

81

121

245

Üniversiteye Giriş Sınav Soruları


ES

EN

YAY

INLA

RI

606

7. 2008 – ÖSS

Yukarıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-

rinde bulunmaktadır.

Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın

bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden

hangisidir? (Aynı doğru üzerindeki üç noktanın

bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir. )

) ) ) ) )A B C D E3532

3527

3524

75

73

8. 2009 – ÖSS Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş

yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci

çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte ge-

len iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6

eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan

hediyeyi almaktadır.

II. çarkI. çark

ütü

ütüütü

çamafl›rmakinesi

kahvemakinesi

tostmakinesi

1 2

3 4

Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir

müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı

kaçtır?

A) 141 B)

161 C)

245 D)

283 E)

325

9. 2010 – YGS Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye

vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında tor-

bada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı

kaçtır?

A) 21 B)

32 C)

43 D)

52 E)

53

10. 2010 – LYS A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { –2, –1, 0 }

olmak üzere A x B kartezyen çarpım kümesin-

den alınan herhangi bir (a, b) elemanı için

a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır?

A) 41 B)

51 C)

61 D)

71 E)

72

11. 2011 – LYS 6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-

tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden

birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?

A) 43 B)

83 C)

132 D)

137 E)

139


ES

EN

YAY

INLA

RI

607

12. 2012 – YGS Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast-

gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en

uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı

kaçtır?

A) 21 B)

31 C)

41 D) 1

6 E)

121

13. 2012 – LYS

Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.

Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekil-

diğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma


A) 32 B)

43 C)

65 D)

87 E)

98

14. 2013 – YGS

Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır.

Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numaraları toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

A) 32 B)

52 C)

72 D)

21 E)

31

15. 2013 – YGS

Aşağıdaki grafikte, beş kişinin boyları ile ilgili bazı bilgiler verilmiştir.

Boy (cm)

Kifli

174

Bu kişilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.

• Ayşe ve Kemal aynı boydadır.

• Bora, Kemal'den 2 cm kısadır.

• Elif, Mehmet'ten 6 cm uzundur.

• Mehmet, Ayşe'den 3 cm uzundur.

Buna göre, bu kişilerin boy ortalaması kaç cm dir?

A) 164 B) 165 C) 166 D) 167 E) 168


608

ES

EN

YAY

INLA

RI

Documents

VERİ, SAYMA ve OLASILIK . ÜNİTE 6 ... - pdfkitapindir.netpdfkitapindir.net/dosya/mat/9matunite6veri.pdf · Veri, Sayma ve Olasılık ESEN YAYINLARI 563 ÖRNEK 3 Kredi 4 3 2 2 Ders