1

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARI

• Üstel Dağılım

• Sürekli Üniform Dağılım

• Normal Dağılım

2

• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır.Örnek:• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen süre,• Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre,• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre,• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre).

Üstel Dağılım

3

• Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına uygundur.

• Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları arasındaki geçen sürenin dağılımı da Üstel Dağılıma uyacaktır.

• Üstel Dağılımın parametresi olmak üzere Üstel ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında şu şekilde bir ilişki vardır.

1

4

Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama süre yada ölçülebilir uzaklık.

x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya çıkması gereken süre yada uzaklık.

S = { x / 0 < x < ∞ }

durumlardadiger

xexf

x

0

0,1

5

Üstel Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Beklenen Değer

Varyans

xE

2xVar

80706050403020100

200

100

0

X

Fre

kans

= 10 parametreli bir populasyondan alınan n = 1000 hacimlik bir örnek için oluşturulan histogram.

6

Örnek: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen taksilerin geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekilde gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika beklemesi olasılığı nedir?

Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa,

1 dakikada 24/60 adet taksi gelir. 1 adet taksi gelmesi için gereken süre = 2,5 dk olur. P ( x ≤ 5 ) = ?

durumlardadiger

xexf

x

0

0,5,2

1 5,2

25,2

5

5

5,2

15

0

5,2

1

115,2

11

5,2

1)5(

eedxedxexP

xx

a

a

x

edxeaxP

1

)(

HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!

7

Sürekli Üniform Dağılımı • a ve b gibi iki nokta arasından bir sayı seçmek istediğimizde herhangi bir değeri alabilecek x şans değişkeni uniform dağılışı göstermektedir.• Sürekli üniform dağılımı ilgilenilen şans değişkeninin olasılık fonksiyonu hakkında bir bilgiye sahip olunmadığında ve verilen aralık içerisinde tanımlanan olayın eşit olasılıklarla ortaya çıkacağı varsayımı yapıldığında kullanışlıdır.

8

Sürekli Uniform Dağılımının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

dd

bxaabxf0

1

Beklenen Değer ve Varyans

2

baxE

12

2abxVar

ab

cddxcP

)(

HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!

9

1098765

250

200

150

100

50

0

X

Fre

kans

b = 10 ve a = 5 parametreli sürekli üniform dağılımı gösteren bir populasyondan n = 10000 hacimlik örnek için oluşturulan histogram.

10

Örnek: Bir demir-çelik fabrikasında üretilen çelik levhaların kalınlıklarının 150 ile 200 mm arasında değiştiği ve bunların sürekli uniform şans değişkenine uygun olduğu bilinmektedir. Levha kalınlıkları 155 mm altında çıktığı zaman tekrar üretime gönderildiğine göre bu dağılımın beklenen değerini ve varyansını bulunuz ve üretim sürecinde tekrar üretime gönderilen levhaların oranını bulunuz.

a) Bu dağılışın ortalama ve varyansı;E(x)=(150+200)/2 =175 mmVar(x)=(200-150)2/12 = 208.33 mm2 bulunur.

b) Üretime geri döndürülen ürünlerin oranı ise;P(150 < x < 155 )= (155-150) / (200-150) = 0,1Ürünlerin %10’u üretime geri gönderilmektedir.

11

NORMAL DAĞILIM

12

• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım Normal dağılımdır.

• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte yerini almıştır.

13

• Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.

• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza çıkmaktadır.

• Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılışa yaklaşım göstermesidir.

14

Normal Dağılımın Özellikleri • Çan eğrisi şeklindedir. • Simetrik bir dağılıştır. • Normal Dağılımın parametreleri,

)(xE 2)( xVar

f(x )

x Ortalama=Mod=Medyan

15

Normal Dağılımın Olasılık Yoğunluk fonksiyonu

...

e = 2,71828 = populasyon standart sapması

= populasyon ortalaması

yerlerdediger

xexf

x

,0

,2

1)(

2

2

1

16

Parametre Değişikliklerinin Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi

f(x )

x

A

B

C

222CBA CBA

17

Normal Dağılımda Olasılık Hesabı

f(x )

x c d

?)()( d

c

dxxfdxcP

Olasılık eğri altında kalan alana eşittir!!!!

1)()(

dxxfxPÖNEMLİ!!!

18

Normal dağılım ortalama ve standart sapma parametrelerinin değişimi sonucu birbirinden farklı yapılar gösterir.

f(x )

x

A

B

C

• Her dağılımın için olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak olasılık hesaplama güçlüğü olasılık değerlerini içeren tablolar kullanma zorunluluğunu ortaya çıkarmıştır .

• Birbirinden farklı sonsuz sayıda normal dağılış olabileceği için olasılık hesaplamasında kullanmak üzere sonsuz sayıda tablo gereklidir.

19

Standart Normal Dağılım

• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal dağılış gösteren şans değişkeni standart normal dönüştürülür.

• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.

• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans ise 1 değerini alır.

• Standart normal değişken z ile gösterilir.

20

Standart Normal Şans Değişkeni

x

z

f(x )

x

f(z )

z

• X ~ N ( , 2 )

• Z ~ N ( 0 , 1)

21

22

Standart Normal Dağılım Tablosunu Kullanarak Olasılık Hesaplama

?)10( zP

f(z )

z0 1

3413,0)10( zP

23

?)1( zP

f(z )

z0 1

1587,03413,01)10(1 zP

24

)0()0( zaPazP

f(z )

z-a a0

SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ BİRBİRİNE EŞİTTİR.

25

f(z )

z-1 10

?)11( zP

6826,0)3413,0(2)10(*2

)10()01()11(

zP

zPzPzP

26

f(z )

z-0,95 0-1,56

?)95,056,1( zP

1117,03289,04406,0

)056,0()056,1()95,056,1(

zPzPzP

27

Normal Dağılımın Standart Normal Dağılım Dönüşümü

?)( bXaP X ~ N ( , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1)

)(

)(

ba zzzP

bxaPbXaP

f(x )

x

f(z )

z

a b za zb

28

• Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.

)55,0(2

109,8)9,8(

zPx

PXP

?)9,8( XP X ~ N ( , )

f(z )

z-0,55 0

2912,0

2088,05,0)55,0(

zP

29

Binom Dağılımının Poisson Dağılımına Yakınsaması

30

• X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu ayrıca p başarı olasılığının küçük olduğu durumlarda ( tercihen np ≤ 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından Binom Dağılımı yerine Poisson Dağılımı kullanılır. • Her iki dağılımın beklenen değeri(ortalaması) birbirine eşitlenir ve buradan λ’nın tahmini elde edilir.

npxE )( )(xE•Binom Dağılımı •Poisson Dağılımı

np

31

• Örnek: Bir sigorta şirketinin müşterilerinin trafik kazası sonucunu hayatını kaybetme olasılığı 0,003’dür. Sigorta şirketinin müşterilerinden 1000 kişilik bir örnek alındığında,a) 4 müşterinin,b) En az iki müşterinin trafik kazasında hayatını kaybetme olasılığın hesaplayınız.

343

8

27

!4

3)4(

ee

XP

np = 1000(0,003)= 3

•n = 1000 p =0,003 np = 3 ≤ 5

•a) P ( X = 4 ) = ?

•b) P ( X ≥ 2 ) = ? •P ( X ≥ 2 ) = 1 – [ P ( X = 0) + P ( X = 1) ]

31303

41!1

3

!0

31)2(

eee

XP

32

Binom Dağılımının Normal Dağılımına Yakınsaması

33

• X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu ayrıca p başarı olasılığının 0,5 değerine yaklaşması sonucunda( tercihen np > 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.

• Normal Dağılımın parametreleri olan ve 2 tahmin edilirken Binom Dağılımının beklenen değer ve varyans formülleri dikkate alınır.

npxE )( )(xE•Binom Dağılımı

•Normal Dağılım

)1()( pnpxVar 2)( xVar

)1(2 pnp np

34

Süreklilik Düzeltmesi

5,05,0)( bXaPbXaP

5,0)( aXPaXP

• Binom Dağılımı kesikli, normal dağılım ise sürekli bir dağılım olduğundan dolayı, binom dağılımını normal dağılıma yakınsadığı durumlar için olasılık hesaplamalarında süreklilik düzeltmesi kullanılması zorunluluğu vardır.

• Kesikli bir şans değişkeni gösteren dağılım sürekli bir dağılıma yakınsadığında tamsayı değerleri sürekli bir eksende tanımlanır.

5,0)( aXPaXP

35

• Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % 20 si sigara içmektedir. Öğrencilerden 225 kişilik bir örnek alındığında, a) 40’dan fazla kişinin sigara içme olasılığını,b) 30 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız.

np = 225(0,20)= 45

•n = 225 p = 0,20 np = 45 > 5

•a) P ( X ≥ 40) =? → P ( X ≥ 39,5) = ?

6)80,0)(20,0(225)1( pnp

8212,03212,05,0)92,0(6

455,39)5,39(

zPzPXP

•b) P ( X = 30) =? → P ( 29,5 < X < 30,5) = ?

0027,04922,04949,0

)42,258,2(6

455,30

6

455,29)5,305,29(

zPzPXP

36

Poisson Dağılımının Normal Dağılımına Yakınsaması

37

• X şans değişkeni λ parametreli Poisson Dağılımı göstermek üzere, λ parametresinin büyük olduğu durumlarda ( tercihen λ ≥ 20 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından Poisson Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.

• Normal Dağılımın parametreleri olan ve 2 tahmin edilirken Poisson Dağılımının beklenen değer ve varyans formülleri dikkate alınır.

)(xE )(xE•Poisson Dağılımı

•Normal Dağılım

)(xVar 2)( xVar

2

38

• Örnek: Bir havaalanından 1 saatlik süre içerisinde ortalama olarak 49 adet uçak kalkmaktadır.1 saatlik süre içerisinde a) 60’dan fazla uçak kalkmasının olasılığını,b) 30 ile 40 adet arasında bir uçak kalkmasının olasılığını hesaplayınız.

= λ = 49

•λ = 49 ≥ 20

•a) P ( X > 60) = ? → P ( X > 59,5) = ?

749

0668,04332,05,0)5,1(7

495,59)5,59(

zPzPXP

•b) P ( 30 < X < 40) = ? → P (29,5 < X < 40,5) = ?

1105,03869,04974,0

)21,179,2(7

495,40

7

495,29)5,405,29(

zPzPXP