Vestibulares ITA - Geo Espacial

Distribuicao das 1.048 Questoes do I T A

Algebra 17 (1,62%)

Analise Combinatoria 36 (3,44%)

Binomio de Newton 21 (2,00%)

Conjuntos 31 (2,96%)

Equacoes Exponenciais 23 (2,19%)

Equacoes Irracionais 09 (0,86%)

69 (6,58%)

94 (8,97%)104 (9,92%)

101 (9,64%)

22 (2,10%)

36 (3,44%)

77 (7,35%)

78 (7,44%)

103 (9,83%)Probabilidade 10 (0,95%)

63 (6,01%)

39 (3,72%)

115 (10,97%)

Funcoes

Geo. AnalticaGeo. Espacial

Geo. Plana

Inequacoes

Logaritmos

Matrizes

No Complexos

Polinomios

Progressoes

Sistemas

Trigonometria

Questes de vestibulares - ITA - Geometria Espacial

01)(ITA) Quando a projeo de um ngulo sobre um plano paralelo a um de seus lados e umngulo reto, podemos afirmar que:

A) 90 < < 180 B) < 90 C) = 90 D) = 2piRd E) n. r. a.

02)(ITA) Seja p um plano. Sejam A, B, C e D pontos de p e M um ponto qualquer nopertencente a p. Ento:

A) se C dividir o segmento AB em partes iguais a MA=MB, ento o segmento MC perpendicular a p.

B) se ABC for um tringulo equiltero e D for equidistante de A, B e C, ento o segmento MD perpendicular a p.

C) se ABC for um tringulo equiltero e D for equidistante de A, B e C, ento

MA=MB=MC implica que o segmento MD perpendicular a p.

D) se ABC for um tringulo equiltero e o segmento MD for perpendicular a p, ento D equidistante de A, B e C.

E) Nenhuma das respostas anteriores.

03)(ITA) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura igualao menor lado de um tringulo ABC inscritvel num crculo de raio x cm. Sabendo-se que o tringuloABC semelhante ao tringulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm3 :

A)

2

3x3 B)

2

25

x3 C)3

310

x3 D)

3

10x3 E) n. r. a.

04)(ITA) Consideremos uma pirmide regular cuja base quadrada tem rea que mede 64 cm2. Numaseo paralela a base que dista 30 mm desta, inscreve-se um crculo. Se a rea deste crculo mede4pi cm2, ento a altura desta pirmide mede:

A) 1 cm B) 2 cm C) 4 cm D) 6 cm E) 60 cm

05)(ITA) Considere uma pirmide qualquer de altura h e de base B. Traando-se um plano paralelo base B, cuja distncia ao vrtice da pirmide

57h cm, obtm-se uma seco plana de rea

7 cm2.

Ento a rea da base B da pirmide vale:

A)

35 cm2 B)2

53

cm2 C)7

75

cm2 D)7

75

cm2 E)75cm2

06)(ITA) As arestas laterais de uma pirmide regular de 12 faces laterais tem comprimento `. O raiodo crculo circunscrito ao polgono da base desta pirmide mede

2

2 `. Ento o volume desta pirmidevale:

A) 3

2 `3 B) 2 `3 C)

3

2`3 D)

2 `3 E)

2

4`3

07)(ITA) Seja V o vrtice de uma pirmide com base triangular ABC. O segmento AV , de com-primento unitrio, e perpendicular base. Os ngulos das faces laterais, no vrtice V , so todos de 45

graus. Deste modo, o volume da pirmide ser igual a:

A)16

2

2 2 B) 16

2 2 C) 1

3

2 2 D) 1

6

2

2 1 E) n. r. a.

08)(ITA) As arestas da base de uma pirmide triangular regular medem ` cm e as faces laterais sotringulos retngulos. O volume desta pirmide :

A)

3

6`3cm3 B)

3

12`3cm3 C)

3

24`3cm3 D)

2

12`3cm3 E) n. r. a.

09)(ITA) Dado um cilindro de revoluo de raio, e altura h, sabe-se que a mdia harmnica entre oraio r e a altura 4 e que sua rea total 2pi u.a. O raio , deve satisfazer a relao:

A) r3 r + 2 = 0B) r3 4r2 + 5r 2 = 0C) r3 r2 r + 1 = 0D) r3 3r + 2 = 0E) nenhuma das respostas anteriores.

10)(ITA) Se S a rea total de um cilindro reto de altura h, e se m a razo direta entre a realateral e a soma das reas das bases, ento o valor de h dado por:

A) h = m

S2pi (m + 1)

B) h = m

S4pi (m + 2)

C) h = m

S2pi (m + 2)

D) h = m

S4pi (m + 1)

E) n. r. a.

11)(ITA) Qual o volume de um cone circular reto, se a rea de sua superfcie lateral de 24pi cm2 eo raio de sua base mede 4 cm?

A)163

20 pi cm3 B)

244

pi cm3 C)

243

pi cm3 D)83

24 pi cm3 E)

13

20 pi cm3

12)(ITA) A geratriz de um cone circular reto forma com o eixo deste cone um ngulo de 45.Sabendo-se que o permetro de sua seco meridiana mede 1 cm, podemos afirmar que a rea totaldeste cone vale:

A)pi

3(2

2 2) cm2 B) pi(2 1) cm2 C) pi(3 1) cm2 D) pi2

(

2 1) cm2 E) pi(5 1) cm2

13)(ITA) Justapondo-se as bases de dois cones retos e idnticos de altura H, forma-se um slido de

1


volume v. Admitindo-se que a rea da superfcie deste slido igual rea da superfcie de uma esferade raio H e volume V , a razo

vV

vale:

A)

11 1

4B)

13 1

4C)

15 1

4D)

17 1

4E)

19 1

4

14)(ITA) Um cone de revoluo est circunscrito a uma esfera de raio R cm. Se a altura do cone forigual ao dobro do raio da base, ento a rea de sua superfcie lateral mede:

A)pi

4(1 +

5)2R2 cm2

B)pi

54

(1 +

5)2R2 cm2

C)pi

54

(1 +

5)R2 cm2

D) pi

5(1 +

5)R2 cm2

E) n. r. a.

15)(ITA) Dado um cone reto de geratriz g e altura h, calcular a que distncia do vrtice deveremospassar um plano paralelo base, a fim de que a seco obtida seja equivalente rea lateral do troncoformado.

A)g(g h) B)

g(g g2 h2) C) g2 g2 h2 D) h2 gg2 h2

E) nenhuma das respostas anteriores.

16)(ITA) Seja S uma semi-esfera de raio R dado. Sejam p e q dois planos paralelos e distantesentre si R2 e tais que interceptam S paralelamente a sua base. Seja T o tronco de cone com basesb e c, onde b e c so as interseces de p e q com S . Seja x o valor da menor das distnciasd e D, onde d a distncia entre p e a base de S , e D a distncia entre q e a base de S .

Seja K =[(R2 x2)

(R2

(x2 +

R2

)2 )]12Ento o volume de T , como funo de x, 0 6 x 6

R2

, vale:

A)piR6

(74R2 2x2 Rx + K

)B)

piR12

(74R2 2x2 Rx + K

)C)

piR12

(74R2 2x2 Rx K

)D)

piR6

(74R2 2x2 Rx K

)E) n. r. a.

17)(ITA) Uma seco plana que contm o eixo de um tronco de cilindro um trapzio cujas basesmenor e maior medem, respectivamente, h cm e H cm. Duplicando-se a base menor, o volume sofreum acrscimo de 13 em relao ao seu volume original. Deste modo:

A) 2H = 3 h B) H = 2 h C) H = 3 h D) 2H = 5 h E) n. r. a.

18)(ITA) Num cone de revoluo, o permetro da seo meridiana mede 18 cm e o ngulo do setorcircular mede 288. Considerando-se o tronco de cone cuja razo entre as reas das bases 49 , entosua rea total mede:

A) 16pi cm2 B)308pi

9cm2 C)

160pi3

cm2 D)100pi

9cm2 E) n. r. a.

19)(ITA) Um bloco de madeira tem a forma de um paraleleppedo reto, com base quadrada de lado5 cm e com altura 1 m. Tal bloco tem uma cavidade cilndrica, sendo que o eixo do cilindro que deter-mina a cavidade passa pelo centro do paraleleppedo e faz com o plano da base um ngulo de 45 graus.O cilindro corta ambas as faces do paraleleppedo segundo uma circunferncia de raio 1 m. Qual Ovolume do bloco?

A) (75 pi)m3 B) (25 2pi)m3 C)25 22 pi

m3 D) 25 + 22 pi m3

E) nenhum dos resultados acima valido

20)(ITA) Seja L o comprimento do eixo de uma caldeira cilndrica terminada por duas semi-esferas.Sabe-se que a rea da superfcie total da caldeira 4pi k2, com 0 < k < L2 . As dimenses da partecilndrica da caldeira valem:

A)k2

Le L +

3k2

L

B)k2

Le k +

(34

)L

C)2k2

Le L 4k

2

L

D)k2

2Le L +

(43

)k2

E) n. r. a.

21)(ITA) Consideremos um cone de revoluo de altura h, e um cilindro nele inscrito. Seja d adistncia do vrtice do cone base superior do cilindro. A altura H de um segundo cilindro inscritoneste cone (diferente do primeiro) e de mesmo volume do primeiro dada por:

A) H =(h h d)

3

B) H =(h h2 d2)

3

2


C) H =(h d + hh2 d2)

2

D) H =(h + d (h d) (h + 3d) )

2

E) n. r. a.

22)(ITA) Um octaedro regular inscrito num cubo, que est inscrito numa esfera, e que est inscritanum tetraedro regular. Se o comprimento da aresta do tetraedro 1, qual o comprimento da aresta dooctaedro?

A)

2

27B)

34

C)

24

D)16

E) n. d. a

23)(ITA) Se numa esfera de raio R, circunscrevermos um cone reto cuja geratriz igual ao dimetroda base, ento a expresso do volume deste cone em funo do raio da esfera dada por:

A) 3 R3 B) 3

32

piR3 C) 3

3 piR3 D)4

33

piR3 E) n. r. a.

24)(ITA) Considere uma esfera inscrita num cone circular reto tal que a rea da superfcie total docone n vezes a rea da superfcie da esfera, n > 1. Se o volume da esfera r cm3 e se a rea dabase do cone s cm2, o comprimento em centmetro da altura do cone dado por:

A)rs

B)(nr)s

C)(2nr)s

D)(3nr)s

E)(4nr)s

25)(ITA) Um tronco de cone reto com bases paralelas est inscrito em uma esfera cujo raio mede 2 m.Se os raios das bases do tronco de cone medirem, respectivamente, rm e 2rm, ento o seu volumemedir:

A)23pi r2(

4 r2 1 r2 )

B)32pi r2(

4 r2 + 1 r2 )

C)73pi r2(

4 r2 21 r2 )

D)73pi r2(

4 r2 + 21 r2 )

E)32pi r2(

4 r2 + 21 r2 )

26)(ITA) Uma esfera de raio r =

3 cm est inscrita num prisma hexagonal regular que, por suavez, est inscrito numa esfera de raio R. Pode-se afirmar que a medida do raio R vale:

A)

7 cm B)

73

cm C) 2

3 cm D)

7

2cm E) 4

3 cm

27)(ITA) Os lados congruentes de um tringulo issceles formam um ngulo de 30 graus e o lado

oposto a este ngulo mede x cm. Este tringulo a base de uma pirmide de altura H em, que estinscrita em um cilindro de revoluo. Deste modo, o volume V , em centmetros cbicos, deste cilindro igual a:

A) 2pi x2 H B)13pi x2 H C)

23pi x2 H D) 3pi x2 H E) pi x2 H

28)(ITA) Um cone e um cilindro, ambos retos, possuem o mesmo volume e bases idnticas. Sabendo-se que ambos so inscritveis em uma esfera de raio R, ento a altura H do cone ser igual a:

A)65R B)

32R C)

43R D)

23R E)

75R

29)(ITA)Seja BC a projeo do dimetro BC de um crculo deraio r sobre a reta tangente t por um ponto M deste cr-culo. Seja 2 k a razo da rea total do tronco do cone geradopela rotao do trapzio BC BC ao redor da reta tangentet e rea do crculo dado. Qual o valor de k para que amedida do segmento MB seja igual a metade do raio r?

A) k =113

B)

k =154

C) k = 2 D) k =12

E) nenhuma das respostas anteriores.

30)(ITA) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita nestecone mede, em centmetros:

A)103

B)74

C)125

D) 3 E) 2

31)(ITA) As medidas dos catetos de um tringulo retngulo so (sen x) cm e (cos x) cm. Um estu-dante calculou o volume do slido gerado pela rotao deste tringulo em torno da hipotenusa, e obtevecomo resultado pi cm3.Considerando este resultado como certo, podemos afirmar que:

A) x =pi

6B) x =

pi

3C) x =

pi

4D) x =

pi

5E) n. r. a.

32)(ITA) Considere um tringulo retngulo inscrito em uma circunferncia de raio R tal que a proje-o de um dos catetos sobre a hipotenusa vale Rm (m > 1). Considere a esfera gerada pela rotao destacircunferncia em torno de um de seus dimetros. O volume da parte desta esfera, que no pertence aoslido gerado pela rotao do tringulo em torno da hipotenusa, dado por:

3


A)23piR3

(m 1m

)2B)

23piR3

1 (m 1m)2

C)23piR3

(m + 1m

)2D)

23piR3

1 + (m 1m)2

E) nenhuma das alternativas anteriores.

33)(ITA) A figura sombreada abaixo a seco transversal de um slido de revoluo em torno doeixo x. A parte sombreada formada por um setor circular de raio igual a 1 e ngulo igual a 60. Osegmento de reta AS e paralelo ao eixo x. A rea da superfcie total do slido mede:

A)(

3 12

)pi B)

(3 +

12

)pi C)

(3 +

52

)pi D)

(3 5

2

)pi E)

5pi2

34)(ITA) Ao girarmos o grfico da funox ; x [0; 1]2x x2 ; x (0; 2]em torno do eixo das abscissas (eixo dos x), obtemos uma superfcie de revoluo cujo volume :

A)pi

3B)

pi

2C) pi D) 2pi E) 3pi

35)(ITA) Considere a regio do plano cartesiano xOy definida pelas desigualdades

x y 6 1; x + y > 1; e (x 1)2 + y2 6 2

o volume do slido gerado pela rotao desta regio em torno do eixo x igual a:

A)43pi B)

83pi C)

43

(2 2)pi D) 83

(

2 1)pi E) n. r. a.

36)(ITA) Considere a regio do plano cartesiano xy definido pela desigualdade

x2 + y2 2x + 4y + 4 6 0

Quando esta regio rodar um ngulo de pi3 radianos em torno da reta x + y + 1 = 0, ela ir gerar umslido cujo volume igual a:

A)4pi3

B)2pi3

C)pi

3D)

4pi9

E) n. r. a.

37)(ITA) Num cone de revoluo, o permetro da seco meridiana mede 18 cm e o ngulo do setorcircular mede 288. Considerando-se o tronco de cone cuja razo entre as reas das bases 49 , entosua rea total mede:

A) 16pi cm2 B)308pi

9cm2 C)

160pi9

cm2 D)100pi

9cm2 E) n. r. a.

38)(ITA) Um cone de revoluo est circunscrito a uma esfera de raio R cm. Se a altura do cone forigual ao dobro do raio da base, ento a rea de sua superfcie lateral mede:

A)pi

4(1 +

5)2 R2cm2

B)pi

54

(1 +

5)2 R2cm2

C)pi

54

(1 +

5)R2cm2

D) pi

5 (1 +

5)R2cm2

E) n. r. a.

39)(ITA) Uma pirmide regular tem por base um quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces for-mam com a base ngulos de 45. Ento, a razo entre a rea da base e a rea lateral igual a:

A)

2 B)13

C)

6 D)

2

2E)

3

3

40)(ITA) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede

5 cm e o dimetro da base mede2 cm. Traam-se n planos paralelos a base do cone, que o seccionam determinando n + 1 cones,incluindo o original, de modo que a razo entre os volumes do cone maior e do cone menor 2. Osvolumes destes cones formam uma progresso aritmtica crescente cuja soma igual a 2pi. Ento, ovolume, em cm3, do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos igual a:

A)pi

33B)

2pi33

C)pi

9D)

2pi5

E) pi

41)(ITA) A razo entre a rea da base de uma pirmide regular de base quadrada e a rea de uma dasfaces 2. Sabendo que o volume da pirmide de 12m3, temos que a altura da pirmide mede (em

4


metros):

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

42)(ITA) Seja uma pirmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distncia do vrticedevemos cort-la por um plano paralelo base de forma que o volume da pirmide obtida seja 18 dovolume da pirmide original?

A) 2 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) 8 m

43)(ITA) Considere o tringulo issceles OAB, com lados OA e OB de comprimento

2R e ladoAB de comprimento 2R. O volume do slido, obtido pela rotao deste tringulo em torno da reta quepassa por O e paralela ao lado AB, igual a:

A)pi

2R3 B) piR3 C)

4pi3

R3 D)

2 piR3 E)

3 piR3

44)(ITA) Considere uma pirmide regular de altura igual a 5 cm e cuja base formada por um qua-drado de rea igual a 8 cm2. A distncia de cada face desta pirmide ao centro de sua base, em cm, igual a:

A)

153

B)5

69

C)4

35

D)75

E)

3

45)(ITA) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360 picm3, e uma pirmide regularcuja base hexagonal est inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirmide o dobro daaltura do cilindro e que a rea da base da pirmide de 54

3 cm2, ento, a rea lateral da pirmide

mede, em cm2:

A) 18

427 B) 27

427 C) 36

427 D) 108

3 E) 45

427

46)(ITA) A rea total da superfcie de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, igual tera parte da rea de um crculo de dimetro igual ao permetro da seo meridiana do cone. O volumedeste cone, em cm3, igual a:

A) piR3 B) pi

2R3 C)pi2R3 D) pi

3R3 E)

pi3R3

47)(ITA) Um cilindro circular reto seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A seco fica a5 cm do eixo e separa na base um arco de 120. Sendo de 30

3 cm2 a rea da seco plana retangular,

ento o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm3:

A) 30 pi 103 B) 30 pi 203 C) 20 pi 103 D) 50 pi 253 E) 100 pi 753

48)(ITA) Considere uma pirmide regular com altura639 cm. Aplique a esta pirmide

dois cortes planos e paralelos base de tal maneira que a nova pirmide e os dois troncos obtidos te-nham, os trs, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base a base da pirmide original igual a:

A) 2( 3

9 36) cm B) 2( 36 32) cm C) 2( 36 33) cm D) 2( 33 32) cm E) 2( 39 33) cm

49)(ITA) Uma esfera de raio r seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivascunhas esfricas contidas em uma semi-esfera formam uma progresso aritmtica de razo pi r

3

45 . Se ovolume da menor cunha for igual a pi r

3

18 , ento n igual a:

A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 7

50)(ITA) Em relao a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, trs vrtices de um tetrae-dro regular so dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C = (1 3, 1 + 3). O volume do tetraedro:

A)83

B) 3 C)3

32

D)5

32

E) 8

51)(ITA) Considere uma pirmide regular de base hexagonal, cujo aptema da base mede

3 cm.Secciona-se a pirmide por um plano paralelo base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3 euma nova pirmide. Dado que a razo entre as alturas das pirmides 1

2a altura do tronco, em

centmetros, igual a:

A)(

6 2)4

B)(

6 3)3

C)(3

3 6)21

D)(3

2 23)6

E)(2

6 2)22

52)(ITA) Os quatro vrtices de um tetraedro regular, de volume 83 cm3, encontram-se nos vrtices de

um cubo. Cada vrtice do cubo centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte docubo exterior s esferas.

53)(ITA) Seja C uma circunferncia de raio r e centro O e AB um dimetro de C. Considereo tringulo equiltero BDE inscrito em C. Traa-se a reta s passando pelos pontos O e E atinterceptar em F a reta t tangente circunferncia C no ponto A. Determine o volume do slidode revoluo gerado pela rotao da regio limitada pelo arco AE e pelos segmentos AF e EF emtorno do dimetro AB.

54)(ITA) Uma esfera colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60 dengulo de vrtice. Os pontos de contato da esfera com a superfcie lateral do cone definem uma circun-ferncia e distam 2

3 cm do vrtice do cone. O volume do cone no ocupado pela esfera, em cm3,

igual a:

A)4169

pi B)4809

pi C)5009

pi D)5129

pi E)542

9pi

5


55)(ITA) A razo entre a rea lateral e a rea da base octogonal de uma pirmide regular igual a5. Exprima o volume desta pirmide em termos da medida a do aptema da base.

56)(ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua rea lateral o dobro da rea de sua base. O volume desse prisma, em centmetros cbicos, :

A) 27

3 B) 13

2 C) 12 D) 54

3 E) 17

3

57)(ITA) Considere o tringulo issceles OAB, com lados OA e OB de comprimento

2R elado AB de comprimento 2R. O volume do slido, obtido pela rotao desse tringulo em torno dareta que passa por O e paralela ao lado AB, igual a:

A)pi

2R3 B) piR3 C)

4pi3

R3 D)

2 piR3 E)

3 piR3

58)(ITA) Quais as sentenas falsas nos itens abaixo?

I Se dois planos so secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano.II Sejam dois planos. Se em um deles existem duas retas distintas, paralelas ao outro plano, os planosso sempre paralelos.III Em dois planos paralelos, todas as retas de um so paralelas ao outro plano.IV Se uma reta paralela a um plano, neste existe uma infinidade de retas paralelas quela reta.V Se uma reta paralela a um plano, ser paralela a todas as retas do plano.

A) I, II, III B) I, II, V C) I, III, IV D) II, III, IV E) n. r. a.

59)(ITA) Consideremos um plano e uma reta r que encontra esse plano num ponto P, e que no perpendicular a . Assinale a afirmao verdadeira.

A) Existem infinitas retas de perpendiculares a r pelo ponto P.

B) Existe uma e somente uma reta de perpendicular a r por P.

C) No existe reta de , perpendicular a r, por P.

D) Existem duas retas de perpendiculares a r passando por P.

E) Nenhuma das afirmaes acima verdadeira.

60)(ITA) Sejam e dois planos no paralelos, interceptados ortogonalmente pelo plano .Sejam ainda r, s e t, respectivamente, as interseces de e , e e e . Qual dasafirmaes abaixo sempre correta?

A) r, s e t formam oito triedros trirretngulos.

B) Existe um ponto P de r tal que qualquer reta de que passa por P ortogonal a r.

C) r pode no interceptar .

D) t perpendicular a .

E) Nenhuma dessas afirmaes correta.

61)(ITA) Considere o plano de uma mesa e um ponto dado deste plano. Voc dispe de uma folha depapel que possui um s bordo reto. Dobrando esta folha de papel, conduza uma perpendicular ao planoda mesa, pelo ponto dado. A justificativa de tal construo est em um dos teoremas abaixo.

A) Se uma reta perpendicular a um plano, todo plano que passa por ela perpendicular ao primeiro.

B) Se dois planos so perpendiculares, toda reta de um deles for perpendicular interseco, ser perpendicular ao outro.

C) Se uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, ela perpendicular ao plano.

D) por um ponto exterior a um plano passa uma e somente uma reta perpendicular ao plano.

E) Todas as perpendiculares a uma reta, traadas por um de seus pontos, pertencem a um plano.

62)(ITA) Dadas duas retas concorrentes a e b e dados um ponto M, fora do plano determinado pora e b, consideremos os pontos E e F, simtricos de M em relao s retas a e b, respectivamente.A reta que une os pontos E e F :

A) perpendicular ao plano determinado por a e b.

B) paralelo ao plano determinado por a e b.

C) oblquo ao plano determinado por a e b.

D) pertencente ao plano determinado por a e b.

E) n. r. a

63)(ITA) Dado um paraleleppedo retngulo de volume V , cujas arestas esto em progresso geom-trica de razo q, podemos garantir que sua rea total dada por:

A)2V

23

q(q2 + q + 1)

B)V

23

q(q2 + q + 1)

C)V

23

q + 1(q2 + q + 1)

D)V2

q3(q + 1)

E) n. r. a.

64)(ITA) As dimenses de um paraleleppedo retngulo so proporcionais aos nmerosloget, loget2 e loget3, e a rea total 792 cm2. Sabendo que a soma das dimenses vale 12 vezes arazo de proporcionalidade, quais so os valores destas dimenses?

A) 6, 12 e 18 B) 5, 10 e 15 C) 2, 3 e 4 D) 2, 4 e 8 E) n. r. a.

6


65)(ITA) O volume de um tetraedro regular de aresta ` :

A) `

2 B)`2

32

C)`2

23

D)`3

32

E) n. r. a

66)(ITA) Consideremos um tetraedro regular de aresta a, cujo volume V pode ser calculado emfuno de a. Qual das afirmaes abaixo verdadeira.

A) 12

2V = 2 a3

B) 2

2V = 2 a3

3

C) 12V 2 = a3 2D) 5V 3V = 2 3 a3E) n. r. a.

67)(ITA) Cortando-se um determinado prisma triangular reto por um plano , que forma um ngulode 45 com o plano da base ABC, observamos que a reta r, interseco de com o plano da base,dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de C. Se a rea da base for 21 cm2, o volume do tronco de prismacompreendido entre a base ABC e o plano ser:

A) 105 cm3 B) 294 cm3 C) 98 cm3 D) 98

2 cm3 E)98

2cm3

68)(ITA) Qual a relao entre as alturas de um cilindro de revoluo e uma pirmide equivalentes seas bases tambm so equivalentes?

69)(ITA) Sabe-se que a mdia harmnica entre o raio e a altura de um cilindro de revoluo vale 4.Quanto valer a relao do volume para a rea total deste cilindro?

A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) n. r. a.

70)(ITA) Cortando-se uma pirmide regular de altura h com plano paralelo base, resulta umasegunda pirmide. Se a razo entre as reas das superfcies laterais das pirmides for r, a que distnciado vrtice deve passar o plano?

A) h2r B) hr C) r

h D)

rh

E) n. r. a.

71)(ITA) O volume do slido gerado por um tringulo que gira em torno de sua hipotenusa cujoscatetos so 15 cm e 20 cm :

A) 1080pi cm3 B) 960pi cm3 C) 1400pi cm3 D) 1600pi cm3 E) n. r. a.

72)(ITA) No interior de um cubo regular de aresta a, existem nove esferas de mesmo raio r. Ocentro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo, e cada uma das demais esferas tangencia

a esfera do centro e trs faces do cubo. Exprimir a em funo de r.

73)(ITA) Uma esfera colocada no interior de um vaso cnico com

55 cm de geratriz e

30 cm dealtura. Sabendo que os pontos de tangncia esto a 3 cm do vrtice, o raio da esfera vale:

A) 2

30 cm B)

352

cm C)

302

cm D) 3 cm E) n. r. a

74)(ITA) Numa superfcie esfrica de rea A > 1, considere inscrito um cone, tal que a rea de suabase seja igual sua altura. Nestas condies, o volume do cone dado por:

A) V =13pi2A

23 B) V =

13piA2 C) V =

13

pi A 1pi

2 D) V = 13 pi (A 32 1) E) n. r. a.75)(ITA) Considere o tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio R, onde R mede 3 cm. Asoma das medidas de todas as arestas do tetraedro dada por:

A) 16

3 cm B) 13

6 cm C) 12

6 cm D) 8

3 cm E) 6

3 cm

76)(ITA) Dada uma pirmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm, em que a amedida da aresta de sua base. Ento, a rea total dessa pirmide, em cm2, vale:

A)a2

3274

B)a2

1092

C)a2

32

D)a2

3(2 +

33)2

E)a2

3(1 +

109)2

77)(ITA) O raio de um cilindro de revoluo mede 1,5 m. Sabe-se que a rea da base do cilindrocoincide com a rea da seco determinada por um plano que contm o eixo do cilindro. Ento, a reatotal do cilindro, em m2, vale:

A)3pi2

4B)

9pi(2 + pi)4

C) pi(2 + pi) D)pi2

2E)

3pi(pi + 1)2

78)(ITA)Seja c um quarto de circunferncia AB de raio R e centroO, e seja t a reta tangente a c em A. Traa-se pelo centroO de c uma reta que corta c num ponto M, e corta a retatangente num ponto N, distintos de A. Seja k o raio entreo volume gerado pelo setor OAM e o volume gerado pelotringulo OAN, ambos obtidos girando-se de 2pi em tornode AO. O comprimento do segmento AN igual ao raioR se:

A) 1 < k < 2, 5

B) 2, 5 6 k 6 3

C) 0 < k 6 2

7


D) 0 < k < 1, 5

E) n. r. a.

79)(ITA) As dimenses x, y e z de um paraleleppedo retngulo esto em progresso aritmtica.Sabendo que a soma dessas medidas igual a 33 cm e que a rea total do paraleleppedo igual a694 cm2, ento o volume deste paraleleppedo, em centmetros cbicos, igual a:

A) 1200 B) 936 C) 1155 D) 728 E) 834

80)(ITA) Considere um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio R. Designando porH, a, h e V , respectivamente, a altura, a aresta, a altura da base e o volume desse tetraedro, temos:

A) V =2

33

R3 e h =2

24

H B) V = 8

3R3 e a =

6

2H C) V =

4

23

R3 e H = 4R

D) V = 6

2R3 e H = 4R E) n. r. a.

81)(ITA) Possuo um laser de alta potncia como ferramenta de corte e uma pea plana de formaparablica que desejo cortar. Suponha que a pea definida por x2 y 1 6 1 esteja no plano x 0 y eque o laser , colocado no plano x 0 z, tem janela de sada da luz fixa no ponto (0, 0, 1), podendo oseu tubo girar no plano x 0 z. Apartir do incio do corte, na borda da pea, de quantos graus devo giraro laser para terminar o servio?

A) pi B)pi

2C)

pi

4D)

3pi2

E)pi

3

82)(ITA)A figura ao lado a seco de dois cones retos cor-tados por um plano paralelo s bases. O volume daregio cinza :

A)65piD3

B)7

12piD3

C)13piD3

D) piD3

E) 2 piD3

83)(ITA) Considere um prisma hexagonal regular tal que a razo entre a aresta da base e a arestalateral `

3

3 . Sabendo-se que se a aresta da base for aumentada de 2 cm, o volume V do prismaficar aumentado de 108 cm3 considerando que a aresta lateral permanece a mesma, podemos afirmarque o volume do prisma :

A) 10 cm3 B) 12 cm3 C)32cm3 D) 36 cm3 E)

272

cm3

84)(ITA) Suponha que (I) um cubo, tal que a medida de sua diagonal a cm e admita que (II) um cubo, cujo volume o triplo do volume de (I).Designando por x a medida da diagonal do (II), conclumos que:

A) x = a

2 cm B) x = a (1 +

2) cm C) x = a 3

3 cm D) x = a

3 cm E) x = a 3

3a cm

85)(ITA) Seja (T ) um cubo com aresta de medida a. Considere (P) a pirmide que tem vrtice nocentro de uma face de (T ) e como base a face oposta de (T ).Sendo x a rea lateral de (P), temos:

A) x = a2 3 B) x = a2 5 C) x = (a + 1)2 5 D) x = (a + 1)2 3 E) x = (3 + 5) a2

86)(ITA) Seja (P) um paraleleppedo retngulo de dimenses dadas por trs nmeros consecutivos.Se a rea total de (P) 10m2, ento seu volume :

A)

3m3 B)

5m3 C)

7m3 D)

2m3 E) 2

3m3

87)(ITA) Considere (P) um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3 m e tem rea total de80m2.O lado dessa base quadrada mede:

A) 1m B) 8m C) 4m D) 6m E) 16m

88)(ITA) A rea lateral de um cilindro de revoluo, de x metros de altura, igual a rea de sua base.O volume deste cilindro :

A) 2 pix3m3 B) 4 pix3m3 C)

2 pix3m3 D)

3 pix3m3 E) 6 pix3m3

89)(ITA) O desenvolvimento da superfcie lateral de um cone reto um setor circular de raio a engulo central igual a 60.O volume deste cone :

A)a3

6pi B)

35 pia3 C)

13pia3 D)

( a6

)3pi E)

13

35

(a6

)3pi

90)(ITA) A razo entre o volume de uma esfera de raio R e o volume de um cubo nela inscrito :

A)3

22 pi

B)pi

2C) 2 pi D)

pi

23

E) pi

3

91)(ITA) Considere um trapzio issceles de altura igual base menor e de base maior igual ao triploda menor. Sendo ` a medida de cada um dos lados no paralelos, calcule o volume e a rea do slidogerado pela rotao completa desse trapzio em torno de sua base maior.

8


92)(ITA) So dados dois cubos I e II de reas totais S 1 e S 2 e de diagonais d1 e d2, respectiva-mente. Sabendo-se que S 1 S 2 = 54m2 e que d2 = 3m, ento o valor da razo d1d2 :A)

32

B)52

C) 2 D)73

E) 3

93)(ITA) Sabendo-se que um cone circular reto tem 3 dm de raio e 15 pi dm2 de rea lateral, o valorde seu volume em dm3 :

A) 9 pi B) 15 pi C) 36 pi D) 20 pi E) 12 pi

94)(ITA) Um prisma hexagonal regular tem como altura o dobro da aresta da base. A razo entre ovolume deste prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, igual a:

A)(6

2)pi

B)(9

2)pi

C)(3

6)pi

D)(6

3)pi

E)(9

3)pi

95)(ITA) Um tetraedro regular tem rea total igual a 6

3 cm2. Ento sua altura, em cm, igual a:

A) 2 B) 3 C) 2

2 D) 3

2 E) 2

3

96)(ITA) Num cilindro circular reto, sabe-se que a altura h e o raio da base r so tais que osnmeros pi, h, r formam, nesta ordem, uma progresso aritmtica de soma 6 pi. O valor da rea totaldeste cilindro :

A) pi3 B) 2 pi3 C) 15 pi3 D) 20 pi3 E) 30 pi3

97)(ITA) Um tronco de pirmide regular tem como bases tringulos equilteros, cujos lados medem,respectivamente, 2 cm e 4 cm. Se a aresta lateral do tronco mede 3 cm, ento o valor de sua altura h,em cm, tal que:

A)

7 < h

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