Veza primala i duala Osnovni teoremiEkonomska interpretacija duala

Standardni problem maksimuma i njegov dualPrimalmax cxAx A0 x 0Dualmin A0 yAy cy 0

Kanonski oblik primala i dualamax cxAx+u = A0x 0, u 0min A0 yAy-v = cy 0, v 0

Teorem1Ako je x mogue rjeenje primala i y mogue rjeenje duala onda je cx A0 y

Teorem 2-kriterij optimalnostiAko je x mogue rjeenje primala i y mogue rjeenje duala te cx =A0 y onda je x optimalno rjeenje primala i y optimalno rjeenje duala.

Osnovni teorem dualnostiAko primal i dual imaju mogue rjeenje, onda oba problema imaju optimalno rjeenje i jednake optimalne vrijednosti funkcije cilja.Ako primal nema mogue rjeenje, onda dual nema optimalno rjeenje.Ako dual nema mogue rjeenje, onda primal nema optimalno rjeenje.

Princip oslabljene komplementarnostiAko je x mogue rjeenje primala, u odgovarajue vrijednosti dodatnih varijabli, y mogue rjeenje duala, v odgovarajue vrijednosti dodatnih varijabli, onda je x optimalno rjeenje primala i y optimalno rjeenje duala ako i samo ako je xv+uy=0.

Primjedba xj vj =0, j=1,,n xj=0 ili vj=0, j=1,,n

ui yi =0, i=1,,m ui=0 ili yi=0, i=1,,m

Ekonomska interpretacija dualaU problemu proizvodnje

Problem proizvodnje -fosfatiVarijabla odluke x ima dvije komponente te je razina proizvodnje ova dva proizvoda:x1 mjesena razina (u tonama) proizvodnje fosfata1x2 mjesena razina (u tonama) proizvodnje fosfata2

max(15x1+10x2 )

2x1+ x2 1500 x1+ x2 1200 x1 500 x1 0, x2 0

Ekonomska interpretacija duala problema proizvodnjeNeka je y1 interna cijena jedinice (1t) prve sirovine y2 interna cijena jedinice (1t) druge sirovine y3 interna cijena jedinice (1t) tree sirovine.Onda je2y1+y2+y3 vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone fosfata1y1+y2 vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone fosfata2

Kako je x*=(300,900) optimalna razina proizvodnje, u*=(0,0,200) neutroeni resursi tada je Vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone Fosfata1=15$, vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone Fosfat2=10$.

Princip oslabljene komplementarnosti -ravnoteaAko je xj >0 onda je vj=0.Ako je ui >0 onda je yi=0.Ako je vrijednost pripisana sirovini j pozitivna onda je ona u potpunosti iskoritena, odnosno ako je yi >0 onda je ui=0.Ako je vrijednost pripisana proizvodnji proizvoda j vea od dobiti onda se taj proizvod nee proizvoditi, odnosno ako je vj >0 onda je xj =0.

Kako je x1=300>0 onda je vrijednost pripisana proizvodnji 1t F1 2y1+y2+y3 =15Kako je x2=900 > 0 onda je y1+y2 =10Kako je u3=200>0 onda je y3=0. Trea sirovina nije u potpunosti iskoritena, vrijednost pripisana dodatnom angamanu 1t tree sirovine je 0.

Rijeimo sustav 2y1+y2 = 15 y1+y2 = 10 dobivamo y1 =5, y2 =5 i y3=0 optimalno rjeenje duala. Cijena u sjeni prve sirovine je 5 jer dodatni angaman 1t prve sirovine poveava profit za 5$. Cijena u sjeni druge sirovine je 5 jer dodatni angaman 1t prve sirovine poveava profit za 5$.

InterpretacijaDualna varijabla se moe interpretirati kao vrijednost dodatnog angamana odgovarajueg resursa.

Aktivnosti u problemu proizvodnje su proizvodnja n proizvodaBazine aktivnosti u periodu planiranja su proizvodi koji e se proizvoditi. Nebazine aktivnosti u periodu planiranja su proizvodi koji e se nee proizvoditi.Usko grlo proizvodnje su resursi koji e se u potpunosti iskoristiti.

Optimalan raspored resursa na aktivnosti yi dualna cijena, interna cijena jedinice resursa i, obraunska cijena jedinice resursa i, cijena u sjeni jedinice resursa i, oportunitetni troak uporabe resursa jedinice resursa i. Pokazuje isplati li se poveati utroak resursa i. Ako oportunitetni troak proizvodnje jedinice proizvoda j premauje dobit tada raspored resursa nije optimalan ako je aktivnost bazina (xj >0), jer se utroeni resursi na proizvodnju proizvoda j mogu bolje upotrijebiti.

Ukupna vrijednost pripisana raspoloivim resursimaCilj: troak neiskoritene prilike ili oportunitetni troak je jednak najveoj dobiti.Ukupni profit mora biti alociran na resurse preko dualnih cijena.

Problem proizvodnje 2Tri proizvoda proizvode se na dva stroja. Utroak rada strojeva u satima za proizvodnju jedinice proizvoda, raspoloivi sati rada strojeva u planskom razdoblju i dobit po jedinici proizvoda dani su u tablici.Formulirajte matematiki model, rijeite problem, formulirajte njegov dual i interpretirajte dual.

Tablica

Matematiki modelx 0 je razina proizvodnje tri proizvoda.Funkcija cilja je ukupna dobit od razine proizvodnje x, z(x)=2x1+3x2+x3 .Ogranienja proizala iz raspoloivih kapaciteta rada strojeva, x1+x2+x3 20, x2+x3 14.

Optimalno rjeenje Optimalna razina proizvodnje je x*=(6,14,0), maksimalna dobit je z*=54 i kapaciteti strojeva u potpunosti su iskoriteni u*=(0,0).

Dualni problem min(20y1+14y2) y1 2 y1+y2 3 y1+y2 1 y1,y2 0

Interpretacija dualaKako su vrijednosti pripisane proizvodnji drugog i treeg proizvoda jednake, pripisujemo im veu dobit od njihove proizvodnje.Time je vrijednost proizvodnje treeg proizvoda vea od dobiti pa se taj proizvod nee proizvoditi.Optimalno rjeenje duala je y* =(2,1).Dodatni angaman od jednog sata rada prvog stroja poveat e dobit za 2 jedinice. Dodatni angaman od jednog sata rada drugog stroja poveat e dobit za 1 jedinicu.

Maksimalno koritenje sirovina

()Ovaj problem je ve formuliran i rijeen.Formulirajte dual, odredite njegovo optimalno rjeenje. Interpretirajte optimalno rjeenje duala.

Primjeri za vjebu1. Dva proizvoda treba proizvoditi na tri stroja. Raspoloivi kapaciteti strojeva (u satima) su: prvog stroja 140 sati, drugog 80 i treeg 180. Za proizvodnju jedinice prvog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 3 sata rada treeg stroja. Za proizvodnju jedinice drugog proizvoda potrebna su 2 sata rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 1 sat rada treeg stroja. Procijenjena dobit jedinice prvog proizvoda je 9 novanih jedinica, , a drugog 6. Odredite optimalnu razinu proizvodnje dva proizvoda . Formulirajte matematiki model, rijeite ga . Formulirajte dual, odredite optimalno rjeenje duala, interpretirajte ga. Interpretirajte princip oslabljene komplementarnosti.

2. Dva proizvoda treba proizvoditi na tri stroja. Raspoloivi kapaciteti strojeva (u satima) su: prvog stroja 150 sati, drugog 100 i treeg 220. Za proizvodnju jedinice prvog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja i 2 sata rada treeg stroja. Za proizvodnju jedinice drugog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 1 sat rada treeg stroja. Procijenjena dobit jedinice prvog proizvoda je 8 novanih jedinica a drugog 6. Odredite optimalnu razinu proizvodnje dva proizvoda. Formulirajte matematiki model i rijeite ga . Formulirajte dual, odredite optimalno rjeenje duala, interpretirajte ga. Interpretirajte princip oslabljene komplementarnosti.

3. Dva proizvoda treba proizvoditi na tri stroja. Raspoloivi kapaciteti strojeva (u satima) su: prvog stroja 90 sati, drugog 40 i treeg 70. Za proizvodnju jedinice prvog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 2 sata rada treeg stroja. Za proizvodnju jedinice drugog proizvoda potrebna su 3 sata rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 1 sat rada treeg stroja. Procijenjena dobit jedinice prvog proizvoda je 12 novanih jedinica , a drugog 18. Odredite optimalnu razinu proizvodnje dva proizvoda . Formulirajte matematiki model i rijeite ga . Formulirajte dual, odredite optimalno rjeenje duala, interpretirajte ga. Interpretirajte princip oslabljene komplementarnosti.