7/28/2019 vezbe statistika

1/2

1 KOMBINATORIKA

FAKTORIJEL

n! = n (n 1) 2 1

0! = 1

n! = n (n 1)!

PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA Permutacija bez ponavljanja skupa od n elemenata je svakauredjena n-torka razlicitih elemenata tog skupa.

Pn = n!

VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA Varijacija bez ponavljanja r-tog reda skupa od n elemenata jesvaka uredjena r-torka razlicitih elemenata tog skupa.

Vrn =n!

(n r)!

KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA Kombinacija bez ponavljanja r-te klase skupa od n elemenata,r n, je svaki njegov podskup koji sadrzi k elemenata.

Crn =n!

r!(n r)!=

n

r

PERMUTACIJE SA PONAVLJANJEM Permutacijar-te klase sa ponavljanjem skupa S= {1, 2,...,n}nazivaju se takve, i samo takve varijacije sa ponavljanjem, u kojima je za svaki pojedini i S odredjen ri kojipokazuje koliko se puta pojavljuje element i S u svakoj pojedinoj varijaciji.

P(r1,r2,...,rk)n =n!

r1!r2! rk!

VARIJACIJE SA PONAVLJANJEM Varijacija r-te klase sa ponavljanjem skupa od n elemenata jesvaka uredjena r-torka (no obavezno razlicitih) elemenata tog skupa.

Vrn = nr

KOMBINACIJE SA PONAVLJANJEM Kombinacijar-te klase sa ponavljanjem skupa od n elemenataje svaka neuredjena n-torka (ne obavezno razlicitih) elemenata tog skupa. Dve neuredjene r-torke su jednakeako i samo ako sadrze iste elemente sa istim bro jem ponavljanja.

Crn =(n + r 1)!

r!(n 1)!=

n + r 1

r

BINOMNA FORMULA

(a + b)n =

n

0

an +

n 1

1

an1b +

n 2

2

an2b2 + +

n

n 1

abn1 +

n

n

bn

(a + b)n =n

k=0

n

k

ankbk

BINOMNI KOEFICIJENT n

k

=

n!

k!(n k)!

2

7/28/2019 vezbe statistika

2/2

ZADACI ZA VEZBU

1. Dat je skup A = {1, 2, 3, 4}. Koliko ima:

a) dvocifrenih brojeva sa razlicitim ciframa koje pripadaju skupu A?

b) trocifrenih bro jeva sa razlicitim ciframa koje pripadaju skupu A?

Resenje.

a) 12

a) 24

2. Dat je skup A = {1, 2, 3, 4}. Koliko ima:

a) dvocifrenih bro jeva cije cifre pripada ju skupu A?

b) trocifrenih brojeva cije cifre pripadaju skupu A?

Resenje.

a) 16

a) 64

3. Osam kandidata polaze usmeno (tj. jedan po jedan) ispit iz statistike. Prvog dana polaze pet kandidata.

Na koliko razlicitih nacina se moze napraviti raspored polaganja ispita prvog dana?

Resenje. 6720

4. Za sahovsku ekipu fakulteta prijavilo se 5 studenta. Koliko je moguce formirati troclanih ekipe odprijavljenih ucenika?

Resenje. 10

5. Koliko ima trocifrenih brojeva sa razlicitim ciframa koji se mogu obrazovati od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Resenje. 100

6. Koliko ima trocifrenih brojeva koji se mogu obrazovati od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Resenje. 180

7. U kutiji se nalazi 10 kuglica numerisanih brojevima 1, 2, 3, ...,10. Istovremeno izvlacimo 3 kuglice. Kolikorazlicitih rezultata izvlacenja?

Resenje. 120

8. Dat je skup A = {1, 2, 3}. Koliko ima sestocifrenih bro jeva u cijem se zapisu cifra 1 pojavljuje dva puta,cifra 2 tri puta, a cifra 3 jedanput?

Resenje. 60

9. Odrediti broj kominacija sa ponavljanjem treceg reda iz skupa od pet elemenata.

Resenje. 35

10. U bubnju se nalaze 10 kuglica sa brojevima 1 , 2, ...,10. Koliki je moguci broj kombinacija od 4 bro jevamozemo napraviti, ako se posle izvlacenja svakog broja kuglica vraca u bubanj?

Resenje. 715

11. Odrediti cetvrti binomni koeficijent u razvo ju izraza (a + b)10.

Resenje. 120

12. Odrediti dvanaesti binomni koeficijent u razvoju izraza (a + b)15.

Resenje. 1365

3