VI CONGRESO NACIONAL DEL COLEGIO DE … VI_Libro.pdf · Comité Cientíﬁco Internacional Eduardo González-Olivares (Pontiﬁcia Universidad Católica de Valparaiso) Graciela Canziani

Colegio de Matemáticos del Perú

VI CONGRESO NACIONAL DEL COLEGIODE MATEMÁTICOS DEL PERÚ

RESÚMENES

Universidad Nacional de Piura

Piura 2015

Comité Científico InternacionalEduardo González-Olivares (Pontificia Universidad Católica de Valparaiso)Graciela Canziani (Universidad Nacional del Centro de la provincia de Buenos Aires, Argentina)Roxana López Cruz (Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Perú)

Comité Científico NacionalRoxana López Cruz (Universidad Nacional Mayor de San Marcos)Fidel Jara (Universidad Nacional de Ingeniería)Gustavo Solis (Universidad Nacional de Ingeniería)Hugo Vega (UNMSM)Mirtha Trejo (Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión)Alejandro Ortiz (Pontificia Universidad Católica del Perú)Julio Peralta (Universidad Nacional de Trujillo)Jesús Espinola (UNASAM)

Comité OrganizadorGuido Alvarez Jauregui (Colegio de Matemáticos del Perú)Yesenia Saavedra (Colegio de Matemáticos del Perú, Región Piura)Roxana López Cruz (Universidad Nacional Mayor de San Marcos)Robert Ipanaque (Universidad Nacional de Piura)

VI CONMAT

ÍndicePresentación 5

Plenarias 6

Esptiben Rojas Bernilla 7

Lidia Angulo Meza 9

Eduardo González Olivares 11

Fernando Córdova-Lepe 13

Cursos Taller 15

Edgar Vera Saravia 16

Moisés Toledo 17

Sergio Martín Chupa Almanza 18

Miguel Gonzaga, Edwin Villogas, Julia Soto, Carlos Vera, Wilson Diaz, Jaime Chau 19

Conferencias 20

Manuel Hernan García Saba 21

Mariano Martín Rengifo Santander 22

J. Montealegre Scott 24

Jenny Carbajal Licas 26

David Andrés Sumire QQuenta 27

Segundo Basilio Correa Erazo 28

Jorge Enrique Mayta Guillermo 29

COMAP 3 Piura 2015

VI CONMAT

Mariano González Ulloa 30

Yolanda Santiago Ayala 31

Paul E. Luque Ccama 32

Leonardo Damian Sandoval 33

Hernán Neciosup Puican 35

Liliana Jurado Cerrón 37

Norberto Jaime Chau Pérez 38

Nancy Saravia Molina 39

Gilberto Alva Castillo 41

Nora La Serna Palomino 42

Lenin Araujo Castillo 44

Luis Purizaca 45

Lenin Quiñones Huatangari 46

Posters 47

Juan Arturo Vásquez Velásquez 48

Miguel Angel Huaylla Salomé 49

Fernando Córdova Lepe 50

Miguel Angel Huaylla Salomé 51

Comunicación 52

Helmuth Villavicencio Fernández 53

COMAP 4 Piura 2015

VI CONMAT

Presentation

It is extremely pleasant to introduce you the abstracts of the Conferences, Short CourseS and Com-munications of the Sixth National Congress of the Peruvian Professional School of Mathematicians(VI CONMAT), which in this opportunity is realized in the wonderful city of Piura since 03 to 05August 2015. These abstracts fulfill a preliminary intention, which is to keep the participant in-formed about the subject- matters of all the papers, with the purpose that each participant realizeshis own schedule of participation to the conferences, choosing the subjects of its preference. Onthe other hand, any participant of the Congress will have the opportunity to exchange informationwith the invited lecturers and establishing possibilities of developing joint investigation, pressingthe academic, friendly and international bonds necessary to any institution that realizes scientificinvestigation. We are grateful to the lecturers, who with their participation heighten our event, pla-cing it between the better of Mathematics events. Finally, our deep gratitude to all the institutionsthat have supported our event and whose logos, can be distinguished in the material given to allparticipant. Also we express our gratitude to the anonymous contingent of professors and studentswho, disinterestedly and without leading emulations, are collaborating for the success of the VICONMAT.

THE ORGANIZING COMMITTEE

Es sumamente grato presentarles los resúmenes de las Conferencias, Minicurso y Comunica-ciones que se expondrán en el Sexto Congreso Nacional del Colegio de Matemáticos (VI CON-MAT), que se realizará en la ciudad de Piura del 03 al 05 de Agosto del 2015. Estos resúmenescumplen con el propósito preliminar de mantener informado a los participantes sobre las diver-sas temáticas de cada una de las ponencias, facilitando la elaboración de sus respectivos horariosde asistencia a las conferencias de su preferencia. En cada una de las Conferencias los partici-pantes podrán intercambiar sus inquietudes con todos los Conferencistas invitados, a fin de lograrintercambio de experiencias y establecer posibilidades de desarrollar investigación conjunta, es-trechando los vínculos académicos, amistosos e internacionales, necesarios a toda institución querealiza investigación científica. Agradecemos a los Conferencistas, quienes con su participaciónenaltecen nuestro evento, situándolo entre los mejores de la especialidad de Biomatemática. Final-mente, nuestro profundo agradecimiento a todas las instituciones que nos honran con su auspicio ycuyos logos, se pueden distinguir en el material entregado a cada uno de ustedes. También expre-samos nuestra gratitud al contingente anónimo de docentes y alumnos quienes desinteresadamenteestán colaborando para el éxito del VI CONMAT.

COMISIÓN ORGANIZADORA

COMAP 5 Piura 2015

VI CONMAT

Plenarias

COMAP 6 Piura 2015

VI CONMAT

La Topología Geométrica y la Conjetura de Poincaré

Esptiben Rojas [email protected]

Universidad de Magallanes, Chile

Resumen

La conferencia está dirigido a un amplio público, interesado en entender el significado y latrascendencia matemática de la Conjetura de Poincaré y algunos de los Problemas Topológi-cos más relevantes del último tiempo. La Conjetura de Poincaré, es parte de un programa másambicioso propuesto por W. Thruston en los años 70 sobre Clasificación de Variedades Tridi-mensionales. Para entender este importante avance matemático es necesario introducirnos enla llamada Topología Geométrica o Topología de Bajas Dimensiones, el cual combina técnicasde la Topología Algebraica y Diferencial, para resolver problemas geométricos que surgen delestudio de variedades de dimensiones menores que 5. Una de los problemas más importantesde esta rama (recién resuelta por Gregory Perelman el año 2006) es la célebre Conjetura dePoincaré, así como la Conjetura de Geometrización de Thruston.

Referencias[1] Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu : A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Con-

jecture - Aplication of the Hamilton - Perelman Theory of the Ricci Flow, ASIAN J. MATH.Amer. Math. Vol.10, N a2, pp.165-492, June 2006.

[2] Willian Trurston : Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry,Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), pp. 357-381.

[3] Willian Trurston: Hyperbolic structures on 3-manifolds, Ann. of Math.(2) 124 (1986), No.2,pp. 203 246.

[4] Willian Trurston: On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer.Math. Soc. 19 (1988), pp. 417 - 431.

[5] Willian Trurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Princenton University -1980.

[6] Andrew H. Wallace: Differential Topology, W.A. Benjamin, Inc. - 1968.

[7] Charles Nash, Siddhartha Seen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publications,Inc. - 2011.

COMAP 7 Piura 2015

VI CONMAT

[8] Victor Guillemin, Alan Pollack: Differential Topology,Prentice - Hall, Inc - 1974.

[9] Edwin H. Spanier: Algebraic Topology, Mc Graw - Hill. Book Company, Inc- 1966.

[10] Theodor Bröcker, Klauss Jänich: Introducción a la Topología Diferencias, Editorial AC,Madrid- 1968.

COMAP 8 Piura 2015

VI CONMAT

Análisis Envolvente de Datos y sus aplicaciones

Lidia Angulo [email protected]

Universidade Federal Fluminense, Brasil

Resumen

El Análisis Envolvente de Datos (DEA) es una técnica no paramétrica que permite el cálcu-lo de la eficiencia relativa de cada unidad de toma de decisiones estudiada, llamadas de DMUs(Decision Making Units), considerando múltiples inputs (entradas, recursos e factores de pro-ducción) y múltiples outputs (salidas o productos). Esta técnica fue propuesta por Charnes etal. en 1978 [1] en un estudio sobre la eficiencia de escuelas. La eficiencia de cada DMU se de-fine como el cociente entre las sumas ponderadas de sus outputs e inputs, siendo que las DMUseficientes son aquellas cuyos índices corresponden a 1 (o 100 %) y las ineficientes índices me-nores que 1. Para la determinación de la eficiencia se utilizan modelos de programación linear,un para cada DMU, en que se maximiza la eficiencia de la DMU que está siendo evaluadade forma comparativa. De esta forma, la DMU se presenta de la forma, más positiva posible.Además de los índices de eficiencia, se establecen metas y unidades con las mejores prácti-cas (benchmarks) para las DMUs ineficientes se establecen para conseguir ser más eficiente.De esta manera, DEA se muestra una herramienta de planificación y gestión para mejorar laeficiencia [2]. Existen dos modelos clásicos CCR [1] y BCC [3]. Debido a sus característicasDEA se ha vuelto popular y las publicaciones científicas se multiplican cada año, tal como semuestra en [4-6]. Del punto de vista teórico, múltiples modelos han sido desarrollados siendolos enfoques más modernos los que consideran varias etapas en la evaluación con modelos Net-work DEA [7] y otros modelos muchas veces no lineales. También existe mucha interaccióncon otros abordajes como el Análisis del Ciclo de Vida (Life Cycle Assessment ? LCA) [8-10].En esta presentación se abordaran los conceptos básicos de DEA, sus modelos de programa-ción lineal e interpretación de resultados para planificación y gestión, así como los principalesy más actuales modelos teóricos y aplicaciones prácticas principalmente en sustentabilidad yaplicaciones en el Brasil y América Latina.

Referencias[1] A. CHARNES, W. W. COOPER, AND E. RHODES, Measuring the efficiency of decision-

making units, European Journal of Operational Research, vol. 2, pp. 429-444, 1978.

[2] W. W. COOPER, L. M. SEIFORD, AND K. TONE, Data Envelopment Analysis: A Com-prehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software. New York:Springer, 2007.

COMAP 9 Piura 2015

VI CONMAT

[3] R. D. BANKER, A. CHARNES, AND W. W. COOPER, , Some models for estimating technicalscale inefficiencies in data envelopment analysis, Management Science, vol. 30, pp. 1078-1092, 1984.

[4] J. S. LIU, L. Y. Y. LU, W.-M. LU, AND B. J. Y. LIN, Data Envelopment Analysis 1978-2010:A citation-based literature survey Omega, vol. 41, pp. 3-15, 2013.

[5] J. S. LIU, L. Y. Y. LU, W. M. LU, AND B. J. Y. LIN, A survey of DEA applications, Omega,vol. 41, pp. 893-902, 2013.

[6] A. EMROUZNEJAD, B. R. PARKER, AND G. TAVARES, Evaluation of research in efficiencyand productivity: A survey and analysis of the first 30 years of scholarly literature in DEASocio-Economic Planning Sciences, vol. 42, pp. 151-157, 2008.

[7] C. KAO, Network data envelopment analysis: A review European Journal of Operational Re-search, vol. 239, pp. 1-16, 2014.

[8] S. LOZANO, I. IRIBARREN, M. MOREIRA, AND G. FEIJOO, he link between operationalefficiency and environmental impacts. A joint application of Life Cycle Assessment and DataEnvelopment Analysis, Science of the Total Environment, vol. 407, pp. 1744-1754, 2009.

[9] I. VÁZQUEZ-ROWE, P. VILLANUEVA-REY, D. IRIBARREN, M. TERESA MOREIRA, AND

G. FEIJOO, Joint life cycle assessment and data envelopment analysis of grape production forvinification in the Rías Baixas appellation (NW Spain) Journal of Cleaner Production, vol. 27,pp. 92-102, 5// 2012.

[10] I. VÁZQUEZ-ROWE AND D. IRIBARREN, Review of Life-Cycle Approaches Coupled withData Envelopment Analysis: Launching the CFP + DEA Method for Energy Policy MakingThe Scientific World Journal, vol. 2015, p. 10., 2015.

COMAP 10 Piura 2015

VI CONMAT

Bifurcaciones, estabilidad y periodicidad en modelos de depredación del tipoLeslie-Gower

Eduardo González [email protected]

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

ResumenEn esta presentación mostraremos algunos conceptos matemáticos, que son esenciales en

el estudio de modelos de depredador-presa tiempo continuo [10] descritos por sistemas bidi-mensionales de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) [5].

Considerando modelos depredador-presa del tipo Leslie-Gower [6], ejemplos tomado dela Dinámica Poblacional, y haciendo uso de la Teoría Cualitativa de las EDO [4], daremosénfasis a:

i) La existencia de regiones de invarianza y acotamiento de las soluciones,ii) los tipos de bifurcaciones que se presentan (Bifurcaciones silla-nodo, de Hopf, Bogdanov-

Takens, Homoclínicas, Heteroclínicas, de Hopf múltiple),iii) la estabilidad (estructural, local, global, de puntos críticos, orbital)iv) Existencia de ciclos límites (infinitesimales y no-infinitesimales) y órbitas periódicas.El sistema básico fue propuesto por el ecólogo inglés P. H. Leslie en 1948 [8], y a partir de

este modelo se han propuesto diversas modificaciones [2], siendo el más conocido el modelode Holling-Tanner [3, 9].

Este tipo de modelos tiene bastante interés matemático, pues es usual encontrar el fenó-meno de multiestabilidad (particularmente biestabilidad), lo cual implica que para un mismojuego de parámetros, existen más de un ω-limite [4].

Esto significa que existen soluciones con condiciones iniciales muy cercanas, las cualespueden tener ω-limites muy alejados, es decir, las trayectorias pueden ser altamente depen-dientes de las condiciones iniciales [1].

Referencias[1] P. Aguirre, E. González-Olivares and E. Sáez, Three limit cycles in a Leslie-Gower predator-

prey model with additive Allee effect, SIAM Journal on Applied Mathematics 69 (2009) 1244-1262.

[2] C. Arancibia-Ibarra and E. González-Olivares, A modified Leslie-Gower predator-prey modelwith hyperbolic functional response and Allee effect on prey, In R. Mondaini (Ed.) BIOMAT2010 International Symposium on Mathematical and Computational Biology, World ScientificCo. Pte. Ltd., Singapore, 2011 146-162.

COMAP 11 Piura 2015

VI CONMAT

[3] D. K. Arrowsmith and C. M. Place, Dynamical Systems. Differential equations, maps andchaotic behaviour, Chapman and Hall (1992).

[4] C. Chicone, Ordinary differential equations with applications, Texts in Applied Mathematics34, Springer (2nd edition) 2006.

[5] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Model in Population Ecology, Marcel Dekker,1980.

[6] E.González-Olivares, J. Mena-Lorca, A. Rojas-Palma, J. D. Flores, Dynamical complexitiesin the Leslie-Gower predator-prey model as consequences of the Allee effect on prey, AppliedMathematical Modelling 35 (2011) 366-381.

[7] E. González-Olivares, P. Tintinago-Ruiz and A. Rojas-Palma, A Leslie-Gower type predator-prey model with sigmoid funcional response, International Journal of Computer Mathematics93(9) (2015) 1895-1909.

[8] P. H. Leslie, Some further notes on the use of matrices in Population Mathematics, Biometrika35 (1948) 213-245.

[9] E. Sáez and E. González-Olivares, Dynamics on a predator-prey model, SIAM Journal ofApplied Mathematics 59 (1999) 1867-1878.

[10] P. Turchin, Complex Population Dynamics: A Theoretical/Empirical Synthesis, PrincetonUniversity Press, Princeton, New Jersey, 2003.

COMAP 12 Piura 2015

VI CONMAT

Sobre Tipos de Ecuaciones Diferenciales con Impulsos y sus Aplicaciones alControl de Sistemas Biológicos

Fernando Có[email protected]

Universidad Católica del Maule

Universidad Metropolitana de Cs. de la Educ., Chile

Resumen

Estamos en el campo de las Ecuaciones Diferenciales Impulsiva (EDI) cuando tenemos unsistema en que la evolución del vector de estados x(t) sigue una ley diferencial x′ = f(t, x),casi todo el tiempo, salvo en una sucesión creciente de instantes tk en que tal vector cam-bia abruptamente según una segunda ley complementaria. De acuerdo a cómo estos instantesde impulso son determinados aparecen diferentes tipos de EDI que implican particularidadesmetodológicas, conceptuales y de comportamiento que sustentan una subclasificación.

Las EDI en que la sucesión de tiempos de impulso es conocida previamente al desarrollode la dinámica se les llama EDI a Tiempos Fijos (EDI-TF) y tienen una teoría suficientementedesarrollada y paralela a la de las Ecuacianos Diferenciales Ordinarias.

Si en el espacio-tiempo existen condiciones funcionales tipo t = τk(x), alguna sucesiónde funciones τk(·), que determinan los tiempos de impulso, se consigue una mayor (compara-tivamente con las EDI-TF) variedad conceptual relativa, por ejemplo, a las ideas de equilibrio,estabilidad y/o reversibilidad. En este tipo de ecuaciones conocer los momentos de impulsonecesitan el desarrollo de la dinámica hasta el momento en que se satisface la condición y sedenominan EDI en Tiempos Variables (EDI-TV).

También hay una riqueza de comportamiento de las trayectorias que requiere revisar, ajus-tar y ampliar los conceptos, en el caso de añadir (a la ley diferencial y a la de pulso) una terceraley del tipo recursivo tk+1 = tk + τ(x). Esto es, la información del estado en un k-ésimo ins-tante determina el próximo momento en que actuará la ley de impulso. Hemos introducido estetipo EDI que podemos llamar EDI en Tiempos Dinámicos (EDI-TD), ver [1].

Los mundos de las EDI-TV y EDI-TD tienen una zona común, pero no está contenido unoen el otro. En la actualidad, realizamos esfuerzos para avanzar en la construcción de una teoríade EDI-TD, como también en la justificación de la misma a través de contextualización haciaáres de la Ecología y sus aplicaciones. En particular, las EDI han mostrado ser muy útiles comoestrategia de control (impulsivo) de sistemas, ver [2, 3, 4, 5].

COMAP 13 Piura 2015

VI CONMAT

Referencias[1] F Córdova-Lepe, M Pinto, E González-Olivares. A new class of differential equations with

impulses at instants dependent on preceding pulses. Applications to management of renewableresources. Nonlinear Analysis: Real World Applications 13 (5), 2313-2322, 2012.

[2] F Córdova-Lepe, G Robledo, M Pinto, E González-Olivares. Modeling pulse infectious eventsirrupting into a controlled context: a SIS disease with almost periodic parameters. AppliedMathematical Modelling 36 (3), 1323-1337, 2012.

[3] F Córdova-Lepe, R Del Valle, G Robledo. A pulse fishery model with closures as function ofthe catch: Conditions for sustainability. Mathematical biosciences 239 (1), 169-177, 2012.

[4] F Córdova-Lepe, R Del Valle, G Robledo. Stability analysis of a self-cycling fermentationmodel with state-dependent impulse times. Mathematical Methods in the Applied Sciences 37(10), 1460-1475, 2014.

[5] F Córdova-Lepe, G Robledo, J Cabrera-Villegas. Population growth modeling with boom andbust patterns.The Impulsive Diferential Equation formalism. Sometido.

COMAP 14 Piura 2015

VI CONMAT

Cursos Taller

COMAP 15 Piura 2015

VI CONMAT

Una introducción al álgebra geométrica bidimensional AG(2)

Edgar Vera [email protected]

Universidad Nacional mayor de San Marcos

ResumenEn 1988 la revista Mathematical Intelligencer publicó que un selecto grupo de matemáticos

había opinado que la identidad,eπı + 1 = 0

era el resultado más hermoso de toda la matemática.Esta identidad, conocida desde antes de 1748, es un caso particular de la ecuación estable-

cida por el matemático suizo Leonhard Euler

exp(θı) ≡ eθı = cosθ + (sin θ)ı ; θ ∈ R (1)

Establecer esta ecuación permitió explicitar una relación entreel álgebra (de los complejos) y el análisis (real y complejo).

La ecuación de Euler (1) cobró pleno sentido matemÃ¡tico en 1835, después que Hamiltonestableció el ahora familiar álgebra de los números complejos C.

Para explicitar el aspecto geométrico se requiere de un álgebra que amplíe el álgebra de loscomplejos y permita multiplicar vectores del R2 de tal modo que es posible demostrar:

Si u, v ∈ R2 \ 0 y θ ≡ µ(^(u, v)) ∈]− π, π]es la medida del ángulo orientado de u a v, entoncesse cumple la ecuación generalizada de Euler

uv = |u||v|eθı = |u||v|cosθ + |u||v|(sin θ)ıEl álgebra requerida es precisamente el álgebra geométrica AG(2).

Debemos decir que en 1886 Gibbs presentó su álgebra vectorial como alternativa al álge-bra geométrica, creada por Clifford entre los años 1873 y 1879, pero esto no fué suficiente.En efecto, cuando Einstein presenta sus primeros trabajos, en 1905, se inicia una nueva etapaen la ciencia y se vuelve la mirada al álgebra geométrica.

En las notas de este curso, mencionadas en la referencia, se incluirá bibliografía sobre eltema.

Referencias[1] VERA, E., Una introducción al álgebra geométrica bidimensional AG(2)

Notas del curso, 2015.

COMAP 16 Piura 2015

VI CONMAT

INTRODUCCIÓN A ARCHIVOS DE ESTILO Y CLASE EN LATEX

Moisés Samuel Toledo Juliá[email protected]

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Perú

Resumen

El presente minicurso irá a desarrollar los aspectos básicos para la creación de archivos deestilo (.sty) y archivos de clase (.cls) las cuales servirían como plantilla para la elaboración dediversos documentos en LATEX bajo un formato uniforme y personalizado. El minicurso estaenfocado a desarrollarse en 4 sesiones (3 horas cada sesión) y un laboratorio de computo conproyector multimedia.

CONTENIDO:CLASE 1

1. Definición de comandos en TEX y LATEX

2. Definición de entornos en LATEX

3. Definición y manipulación de contadores

CLASE 2

1. Definición simultanea de un comando y unentorno

CLASE 3

1. Condicionales: forma que tomanlos condicionales en TEX, y algu-nos de los condicionales

CLASE 4

1. Realizar copias de comandos

2. Ejemplo aplicativo: paqueteFANCYPAR

Referencias[1] MEDINA ARELLANO, GONZALO., Desarrollo de herramientas LATEX 2e para composición

avanzada de textos científicos, Tesis de Maestría, UNAL, 2012.

[2] EIJKHOUT, VICTOR, TEX by Topic; A TEXnician’s reference Addison-Wesley Publishing,1992.

COMAP 17 Piura 2015

VI CONMAT

Aplicaciones de TIC en las Matemáticas (Uso del Matlab)

Sergio Martín Chupa [email protected]

Universidad Peruana Unión, sede Juliaca Perú

Resumen

Dentro de la didactica de las matematicas, ha sido un gran escollo en la transmición deconocimientos, por lo cual compartire mis experiencias de 5 años en Perú. en la UnivesidadPeruana Union y 2 años en Paraguay (Universidad Tecnologica Intercontinental y UniversidadTecnica Comercialización y Desarrollo) de como utlizar esta medologias en las enseñanzas delas matematicas en las universidades, haciendo las aplicaciones y simulaciones en MatematicaBásica, Algebra Lineal, Calculo I, II y III. Lo cual hariamos un taller sobre el manejo de deeste software y las didacticas

Referencias[1] DOMINGUEZ BAGUENA VICTOR. , Matlab en 5 lecciones de nuemrico, Universidad Navarra,

2006.

[2] BAEZ LOPEZ DAVID, Matlab con apliciaone apra ingenieria, fisica y finanzas. EditorialAlfaomega, Mexico, 2009.

[3] Dominguez Xavier Perez, Apuntes de Matlab; Fundamentos Matematicos de Ingenieria, Co-ruña 2006

COMAP 18 Piura 2015

VI CONMAT

Diplomatura de Especialización en Matemáticas para la Educación Secundaria

Miguel Gonzaga, Edwin Villogas, Julia Soto, Carlos Vera, Wilson Diaz, Jaime Chau

Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú

Resumen

Se propone desarrollar una réplica de algunos de los capítulos de los dos cursos desarrolla-dos en el primer ciclo de la DIPLOMATURA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICASPARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA (DIMES) de la Pontificia Universidad Católica delPerú. La réplica se ejecutará en un curso taller, aplicando la metodología utilizada en la etapapresencial del DIMES, la cual consiste en una hora y media de desarrollo de contenidos teó-ricos, quince minutos de intermedio, y, hora y media de resolución de problemas (aplicandotrabajo en grupo, uso de laboratorio de cómputo y/o trabajo individual). En todo momento sepromoverá la participación activa de los asistentes.La ejecución de la DIMES es la implementación de una propuesta de capacitación del docentede matemáticas en servicio, diferente a la ejecutada en las últimas década en el Perú. Esta pro-puesta es una adecuación del Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemáticado Ensino Médio promovido por el Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas de Brasil.La Diplomatura tiene como objetivo desarrollar competencias matemáticas en los profesoresde matemáticas del nivel secundario, fortaleciendo la comprensión y el manejo de los con-tenidos conceptuales y procedimentales de las matemáticas, necesarios para conceptualizar,manipular y contextualizar los temas incluidos en el Diseño Curricular Nacional.

COMAP 19 Piura 2015

VI CONMAT

Conferencias

COMAP 20 Piura 2015

VI CONMAT

Reconstrucción de Funciones reales de variable real usando Wavelets

Manuel Hernan García Saba, Vanessa Humbertina Silupu [email protected]

Universidad Nacional de Piura, Perú

Resumen

Habiéndose estudiado las funciones de cuadrado integrable, estas han sido sometidas areconstrucción mediante waveletes, para ello se ha elaborado un algoritmo apropiado y se hausado como herramienta el software Mathematica.

COMAP 21 Piura 2015

VI CONMAT

El axioma de elección y sus equivalencias 1

Mariano Martín Rengifo [email protected]

Universidad Nacional de Ingeniería, Perú

Resumen

En el lenguaje apropiado para enunciar los axiomas de la teoría de conjuntos se obtienen losprincipios, postulados y operaciones que caracterizan a los conjuntos y colecciones. Despuésse definen las funciones, relaciones, familias de conjuntos y funciones de elección. Entoncesse prueba que son equivalentes las diferentes versiones que toma el axioma de elección en lateoría de conjuntos. Además, se prueba que el axioma de elección implica el principio maximalde Hausdorff, que éste implica el lema de Zorn y que éste último implica el axioma de elección.Por lo tanto, el axioma de elección, el principio maximal de Hausdorff y el lema de Zorn sonequivalentes. En 1904, Zemerlo probó que el axioma de elección implica el postulado de buenorden de Cantor, se verifica el teorema de Zermelo al mostrar que el lema de Zorn implicael postulado de buen orden de Cantor. También, se prueba que el postulado de buen ordende Cantor implica el axioma de elección. Así, se demuestra que el axioma de elección esequivalente a tres principios de la teoría del orden: El principio maximal de Hausdorff, el lemade Zorn y el postulado de buen orden de Cantor.

Referencias[1] CLIMENT JUAN , El teorema de Cantor-Bernstein y la comparabilidad para los conjuntos

bien ordenados, 2008. Recuperado de

http://www.uv.es/ jkliment/Documentos/CantorBernsteinWO.pc.pdf

[2] DUGUNDJI JA. Topology . Allyn and Bacon, Inc.,1966.

[3] HALMOS P. R. , Teoría intuitiva de los conjuntos , CECSA ,1972.

[4] HRBACEK KA. & JECH TH., Introduction to set theory , Marcel Dekker, Inc., 3ra. ed.,1999.

[5] HEWITT ED. & STROMBERG KA., Real and abstract analysis, Springer-Verlag, 1975.

[6] JECH TH., Set theory , Springer, 3ra. ed., 2002.

1Este trabajo se ha desarrollado bajo la asesoría del profesor Alejandro Hidalgo Gordillo de la Facultad de Ciencias- UNI

COMAP 22 Piura 2015

VI CONMAT

[7] OUBIÑA, LÍA , Introducción a la teoría de conjuntos,EUDEBA, 1969.

[8] SUPPES PA., Teorá axiomática de conjuntos , Editorial Norma, 1968.

COMAP 23 Piura 2015

VI CONMAT

PROBLEMA DE CAUCHY PARA UNA ECUACIÓN DE TIPO KORTEWEG-DEVRIES BURGERS

J. Montealegre [email protected]

Pontificia Universidad Católica Perú

Resumen

En esta conferencia será considerado el problema de Cauchy∂tu−Dα∂xu+ ∂xF (u)− µ∂2xu = 0 x ∈ R, t > 0u (0) = ϕ,

(P)

asociado con la ecuación de tipo Korteweg-de Vries Burgers, en donde u = u (x, t) es unafunción real de las variables (x, t) ∈ R2, D =

(−∂2x

)1/2, α ≥ 1, F (u) = ak+1u

k+1 cona ∈ R, k ∈ Z+ y µ > 0.

Demostraremos que cualesquiera sean los valores particulares de α ≥ 1 y de k ∈ N,el problema (P) es localmente bien formulado siempre que el dato inicial ϕ ∈ Hs cuandos > 3/2.

Para obtener el resultado, notemos que si µ > 0 es fijo, toda solución u del problema (P)es solución de la ecuación integral

u (t) = Wα,µ (t)ϕ−∫ t

0Wα,µ (t− τ) ∂xF (u (τ)) dτ . (EI)

El objetivo es demostrar que cualquier solución de (EI) es solución de (P), por ello, la primeracuestión que aparece es saber si (EI) tiene solución. Para responder a esta pregunta tenemosel siguiente lema, en cuya demostración se utiliza el teorema del punto fijo de Banach paramostrar la existencia de una solución de la ecuación integral y el argumento de Kato y Fujita[3] para mostrar la unicidad.

Si µ > 0 y ϕ ∈ Hs, s > 32 , existen Tµ = Tµ (‖ϕ‖Hs , s, µ) > 0 y una función

uµ ∈ C ([0, Tµ] : Hs)

única solución real de la ecuación integral (EI).Probaremos que la función uµ solución única de la ecuación (EI) encontrada en el lema es

la solución única del problema (P) en Hs. La demostración se basa en los trabajos de Iório [1]y [2].

Sean µ > 0 y ϕ ∈ Hs, s > 32 , entonces la función uµ del lema es la solución única del

problema (P) y satisface

uµ ∈ C ([0, Tµ] : Hs) ∩ C1([0, Tµ] : Hs−α−1) .

COMAP 24 Piura 2015

VI CONMAT

Además, para todo r ≥ 0

uµ ∈ C(]0, Tµ] : Hs+r

)∩ C1

([0, Tµ] : Hs−α−1+r) .

Terminamos la conferencia mostrando que uµ depende continuamente de ϕ ∈ Hs, s > 32 ,

en el sentido que la aplicación ϕ ∈ Hs 7→ uµ ∈ C ([0, T ] : Hs) es continua, tal como loestablece el siguiente teorema.

Sean µ > 0, ϕ ∈ Hs con s > 32 y uµ ∈ C ([0, T ] : Hs) la solución del problema de

valor inicial (P). Si ϕnn≥1 es una sucesión en Hs convergente a ϕ en Hs y uµ,nn≥1 esla sucesión de soluciones de (P) con uµ,n ∈ C ([0, Tn] : Hs) y uµ,n (0) = ϕn, entonces paracada T ∈ ]0, T [ existe N0 ∈ N tal que n ≥ N0 implica que uµ,n está definida en

[0, T

]y

sup[0,T ]‖uµ,n (t)− uµ (t)‖Hs ≤ Cµ ‖ϕn − ϕ‖Hs .

Referencias[1] R. IORIO. On the Cauchy problem for the Benjamin-Ono equation. Comm. PDE, 11, (1986),

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[2] R. IORIO. KdV, BO and friends in weighted Sobolev spaces. Functional Analytical Methodsfor PDE. Lect. Notes in Math., 1450, (1990).

[3] T. KATO, H. FUJITA. On the non-stationary Navier-Stokes system. Red. Sem. Mat. Uni.Padova, 32, 243-260, (1962).

[4] A. MENDOZA, J. MONTEALEGRE. Ecuación de Korteweg - De Vries. Pro Mathematica Vol.XVII, No. 34, 105 - 120, (2003).

[5] A. MENDOZA, J. MONTEALEGRE. Ecuación de Korteweg -De Vries II. Pro MathematicaVol. XVIII, No. 35 - 36, 5 - 20, (2004).

[6] M. DOS SANTOS. A versão de Kato-Lai de Galerkin e a equação de Korteweg-de Vries. Tesisde Maestría. IMPA, Rio de Janeiro (1987).

COMAP 25 Piura 2015

VI CONMAT

Operadores de potencias fraccionarias y su aplicación

Jenny Carbajal [email protected]


Resumen

En este trabajo se estudia los espacios de las potencias fraccionarias Xα, con 0 ≤ α ≤ 1y generadores de semigrupos analíticos. La aplicación de estos espacios permite encontrar so-lución clásica para algunos problemas no-homogéneos, lineal y semilineal, con datos inicialesen Xα, con relación a un operador −A, siendo esta un generador de un semigrupo analítico,tales espacios son menos regulares que el domidio del operador, esto es D(A)

Referencias[1] BUTZER PAUL L., BERENS H. , Semigroups of Operators and Applications, 2nd ed., Springer

1967

[2] MOREIRA A. , Semigrupos de Operadores Lineales, Instituto de Matemática -UFRJ, 1985.

[3] ALVES DE MELO, R. 2006, A Teoria de Semigrupo Aplicada às Equações Diferencias Par-ciais. Tesis Mestre em Matemática. Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciên-cias e Tecnologia. Programa de Pós-Graduação.

[4] CLAR DE FRANÇA, S. 2007, Existência de Solução para algumas Equações de evolução viaTeoria de semigrupo analítico Tesis Mestre em Matemática. Universidade Federal de CampinaGrande Centro de Ciências e Tecnologia. Programa de Pós-Graduação.

[5] LEAL CLAUDIO. 2013, Existencia de soluciones fuertes para una clase de ecuaciones deevolución semilineales con condición inicial no local . Tesis Magister en Ciencias en la Espe-cialidad de Matemática Universidade de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia, Departamentode Matemática y Ciencia de la Computación.

COMAP 26 Piura 2015

VI CONMAT

Problema de valor inicial para un sistema dispersivo no lineal de ondas largasregularizado

David Andrés Sumire [email protected]

Universidad Peruana Unión ? Lima, Perú

Resumen

Consideremos una familia de ecuaciones dispersivas bajo el efecto de disipación. Nuestropropósito es estudiar varias propiedades de las soluciones reales u = u(x, t) y v = v(x, t) delproblema de valores iniciales arriba mencionado, en el espacio de Sobolev del tipo HS(R) =?s(R)x?s(R)La propuesta es demostrar que el problema de valor inicial está bien formulado localmente,para lo cual usaremos el teorema de punto fijo de Banach, construiremos la ecuación integralasociada al sistema y tal solución es única, además se demostrará la buena formulación globalpara T = + ? por estimativas a priori. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones quea través de los efectos dispersivos y no lineales, recoge las características de la propagaciónen una dirección de las ondas a lo largo de interfaces separadas verticalmente en un fluídoestratificado, cuyas velocidades de fase difieren por una cantidad relativamente pequeña.

Referencias[1] PAZY, AN. , Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equa-

tions, 2nd ed., Springer, 1983.

[2] GOMEZ, A.M., Semigrupos de Operadores Lineares e Aplicaciones a las Equaciones deEvolución Textos de Métodos Matemáticos IM-UFRJ, 1985.

COMAP 27 Piura 2015

VI CONMAT

El Operador de Read-Bajraktarevic y su aplicación en laconstrucción de Funciones Fractales

Segundo Basilio Correa [email protected]

Universidad Nacional de Piura Perú

Resumen

El objetivo del presente trabajo es dar formalidad a la construcción de Funciones Fracta-les utilizando un operador contractivo denominado el Operador de Read-Bajraktarevic. Dichooperador tiene actuaciónsimilar a la del operador de Hutchinson y que se utiliza en la for-malización de conjuntos fractales clásicos. La justificación rigurosa de la existencia de talesfunciones estará dada en base a la teoría de ecuaciones funcionales y al teorema del punto fijode Banach, utilizando la métrica de Hausdorff, asimismo se presentarán algunos códigos quepermiten visualizar computacionalmente imágenes de tales funciones.

Referencias[1] BARNSLEY, M Y DEMKO, S. Iterated Function Systems And The Global Construction Of

Fractals Proc. Roy. Soc. London 1985.

[2] FALCONER, KENNETH Fractal Geometry , Mathematical foundations And Applications,Cambridge University Press 1989.

[3] FEDER, JENS Fractals Plenum Press Corporation, USA New York, 1998.

[4] HUTCHINSON, J. E. Fractal And Self - Similarity Math.J. Indiana Univ. USA 1981.

[5] MASSOPUST, PETER R. Fractal functions and Fractal Surfaces , Academies Press inc.USA, New York, 1994.

[6] PLAZA, SERGIO Fractales y Generación Computacional de Imágenes Monografías del IM-CA (Instituto de Matemática y ciencias afines), Lima- Perú 1990.

[7] CORREA, SEGUNDO. Sistemas de funciones iteradas en la Geometría Fractal y su aplica-ción en el modelamiento de imágenes naturales con programación determinística en Mathe-matica 8.0 Tesis de Maestría (Escuela de Pos Grado de la Universidad Nacional de Piura),Piura- Perú 2014.

COMAP 28 Piura 2015

VI CONMAT

Estabilidad de los sistemas lineales con saltos Markovianos

Jorge Enrique Mayta [email protected]

Pontificia Universidad Católica del Perú

Resumen

En este trabajo analizaremos la estabilidad de los sistemas lineales gobernados por una ca-dena de Markov, esta familia es conocida en la literatura especializada como sistemas linealescon saltos markovianos o por sus siglas en inglés MJLS como se denota en [1]. Los sistemaslineales gobernados por una cadena de Markov son sistemas dinámicos que presentan cambiosabruptos. Ejemplos de este tipo de sistemas los podemos encontrar, por ejemplo, sistemas decontrol aéreo [2], sistemas eléctricos [3],etc. Damos las definiciones de estabilidad para el sis-tema MJLS, donde estos tipos de estabilidad son equivalentes siempre y cuando el espacio deestados de la cadena de Markov es finito.

Por último presentamos un teorema que caracteriza la estabilidad estocástica mediante unaecuación del tipo Lyapunov. El resultado que se presenta es una generalización de un teoremaen la teoría clásica.

Referencias[1] COSTA, OSWALDO LUIZ DO VALLE. Discrete-time Markov jump linear systems Springer,

London, 2005.

[2] B. L. STEVENS AND F.L. LEWIS Aircraft Modeling, Dynamics and Control , New York, NY:Wiley (1991).

[3] R.W. NEWCOMB The Semistate Description of Nonlinear Time-Variable Circuits„ IEEETrans. Autom. Control Vol CAS-28 No.1, January (1981) pp.62-71.

[4] YUANDONG JI. CHIZECK HOWARD. Jump Linear Quadratic gaussian control: Steady-StateSolution and Testable Conditions, Control-Theory and Advanced Technology Vol 6. No.3,(1990) pp.289-319.

COMAP 29 Piura 2015

PIURA

La alternativa de Fredholm a través de sistemas duales

Mariano González [email protected]


Resumen

Al considerar la ecuación ϕ − Aϕ = f con A un operador lineal compacto A : X → Xdefinido sobre el espacio normadoX , podemos reescribir esta ecuación en la forma (I−A)ϕ =f , lo cual nos conduce a estudiar o-peradores de la forma T = I − A. La teoría de Riesz-Schauder [5] concentra su atención en estos operadores, afirmando que la ecuaciónϕ−Aϕ = ftiene una única solución para cada f ∈ Y si y solo si la ecuación homogénea ϕ−Aϕ = 0 tienela solución trivial. Si la ecuación homogénea ϕ−Aϕ = 0 tiene soluciones no triviales, la teoríade Riesz-Schauder no da respuesta a la solubilidad de la ecuación no homogénea ϕ−Aϕ = f .Esta cuestión queda resuelta por la alternativa de Fredholm [4]. En esta exposición se presentala alternativa de Fredholm para operadores compactos adjuntos a traves de sistemas dualesgenerados por formas bilineales no-degeneradas [5]. Esta versión de la alternativa de Fredhomes más apropiada para las aplicaciones a ecuaciones integrales, resultando la teoría de Riesz-Schauder como un caso especial.

Referencias[1] Groetsch, C.W. Inverse Problems in the Mathematical Sciences, Springer, Wiesbaden, Ger-

many. 1993.

[2] Kabanikhin, S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems. J. Inv. Ill-PosedProblems 16 (2008), 317-357.

[3] Kabanikhin, S. I. Inverse and ill-posed problems_theory and applications. De Gruyter, Ber-lin/Boston, 2012.

[4] Levedev, L.P., Vorovich, I.I., Gladwell, G.M.L., Functional Analysis, Kluwer Academic Pu-blishers, Netherlands, 2002.

[5] Kress, Rainer Linear Integral Equations. Third Edition, AMS, Springer New York (2014).

COMAP 30 Piura-Perú, 2015

PIURA

Operadores m-disipativos y perturbación

Yolanda Santiago [email protected]


Resumen

Hacemos un estudio de algunos resultados de operadores m-disipativos y perturbación desemigrupos. Damos también algunas aplicaciones al modelo de transporte de electrones, ecua-ción de la onda, etc.

Palabras claves.- operadores disipativos, perturbación de operadores, existencia de solu-ción, ecuación de la onda, transporte de electrones.


PIURA

Una Versión Didactica de la Representación de Weierstrass en el EspacioHiperbolico

Paul E. Luque [email protected]

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil, Universidad Nacional del Callao, Perú

ResumenUno de los problemas de mayor interés en el campo de la Geometría Diferencial de subva-

riedades, es el análisis, caracterización y obtención de superficies; en un determinado espacioambiente de, Curvatura de Gauss Constante (CGC), Curvatura Extrínseca Constante (CEC) oCurvatura Media Constante (CMC). En particular estudiamos aquellas superficies minimales,cuya curvatura media es idénticamente nula.El estudio de las superficies minimales y sobretodo aquellas superficies tipo (CMC), desa-rrollado sobre el espacio euclídeo, se inicia hacia el año 1762, cuando Lagrange establece laecuación diferencial de los grafos minimales y en 1776, Meusnier establece una interpretacióngeométrica de dicha ecuación; observando que el promedio de las curvaturas principales de lassuperficie, sea cero.En 1860 Karl Weierstrass realizó un importante aporte a la teoría de superficies minimalesobteniendo algunas fórmulas de representación para estas superficies. Poco tiempo después,Enneper en 1864, establece fórmulas similares, parametrizando la superficie de tal forma que,las curvas coordenadas sean líneas de curvatura. Posteriormente en 1950 Osserman, presentóuna nueva versión de las mismas, estableciendo que esta clase de superficies admite una re-presentación conforme, utilizando la teoría de funciones de variable compleja, permitiéndolerealizar estudios de su geometría global de una manera más precisa.En nuestro trabajo, exhibimos de manera didáctica una representación en datos holomorfos,para superfícies de curvatura media uno en análogo a la representación de Weierstrass en . Talrepresentación fue obtenida por Bryant en 1987, al mostrar que las superficies de curvaturamedia constante uno en son proyecciones de curvas nulas en SL(2,C) (espacio de las matri-ces complejas 2 × 2 con determinante uno), encontrando de esta manera una representaciónholomorfa de tales superficies.

Referencias[1] R. BRYANT, Surfaces of mean curvature one in hyperbolic space, Asterisque 154-155 p.321-

347, Soc. Math de France, 1987.

[2] R. OSSERMAN, A Survey of Minimal Surfaces Dover Publicatios, 2002.

[3] S. CHERN, An Elementary Proof of the Existence of Isotermal Parameters on a Surface Proc.Amer. Math. Soc., 6: 771-782, 1985.


PIURA

Funciones Subarmónicas

Leonardo Damian [email protected]

Universidad Nacional de Jaén, Perú

Resumen

Una función ϕ : I = [a, b]→ R es convexa si su gráfico está por debajo de la recta que unelos puntos ϕ(a) y ϕ(b). En un proceso de generalización de estas funciones, hacia funcionesdefinidas en el plano complejo C, entre las cosas que se harían será reemplazar el intervalocerrado [a, b] por un región Ω en C, los extremos a, b del intervalo [a, b] por la frontera deΩ y tendría que buscarse alguna condición que reemplaze la condición de convexidad. En elestudio de estas nuevas funciones, que son llamadas funciones subarmónicas, resulta que lasfunciones armónicas (definición 1.1) son un caso particular de ellas. Pues una caracterizaciónde las funciones convexas se da por medio de la segunda derivada. Es decir en cada puntodel domino de esta función la segunda derivada debe ser no negativa. En el contexto de lasfunciones definidas en regiones de C esta segunda derivada es reemplazada por el laplaciano.Obviamente al generalizar las funciones convexas la condición de la segunda derivada seráreemplazada por la condición de que el laplaciano tenga que ser mayor o igual a cero. Comolas funciones armónicas tienen laplaciano cero, entonces estas están inmersas dentro de esteproceso de generalización. Es decir, resulta ser que las conocidas funciones armónicas son uncaso particular de las funciones que resultan al generalizar la funciones convexas. Cabe indicarque una función tan sencilla como ϕ(z) = x2 + y2 definida en la bola cerrada de centro elorigen y radio 1 no es función armónica (pues 4ϕ = 4 6= 0) y sin embargo es una funciónsubarmónica. Esto justifica el hecho de que la clase de las funciones subarmónicas es masamplia que la clase de las funciones armónicas. Dentro de las propiedades de las funcionesarmónicas que se generalizan para las funciones subarmónicas está por ejemplo el principiodel máximo (se presentan dos versiones) en correspondencia con los respectivos dados para lasfunciones armónicas. Se generaliza también la propiedad del valor medio y se da una caracteri-zación de las funciones subarmónicas en términos del laplaciano (caracterización diferencial).Ello permite a su vez una comprobación mas sencilla de la subarmonicidad de alguna funciónpropuesta. Finalmente, se presentan las funciones plurisubarmónicas no como una generali-zación de las funciones subarmónicas si no mas bien como un tipo de funciones que puedenser estudiadas en términos de las funciones subarmónicas. Esta funciones plurisubarmónicasestán ahora definida en subconjuntos del espacio Cn pero cuando son restringidas a rectas deeste espacio ellas se convierten en funciones subarmónicas.


PIURA

Referencias[1] PAZY, AN. , Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equa-

tions, 2nd ed., Springer, 1983.

[2] GOMEZ, A.M., Semigrupos de Operadores Lineares e Aplicaciones a las Equaciones deEvolución Textos de Métodos Matemáticos IM-UFRJ, 1985.


PIURA

Foliaciones cupidales casi homogéneas en (Cn,0)

Hernán Neciosup [email protected]


Resumen

Se presentará una construcción de la forma pre-normal para gérmenes de foliaciones ho-lomorfas singulares de codimensión uno de tipo hipersuperficie generalizada y que admitancomo separatriz una hipersuperficie de ecuación z2 + f(x1, x2, ..., xn) = 0, [FMN2].

En dimensión tres, existe una reducción de singularidades para foliaciones de codimensiónuno debido a F. Cano [C2], en este contexto presentamos, a modo de aplicación del resultadoanterior, el estudio de la clasificación analítica de este tipo de foliaciones, vía la "holonomíaesencial", en el caso en el que la separatriz sea casi homogénea de tipo admisible [FMN3].

Referencias[CLS] C. CAMACHO, A. LINS NETO, AND P. SAD. Topological invariants and equidesingulari-

zation for holomorphic vector fields. J. Differential Geom., 20 (1984), no. 1, 143-174

[C2] F. CANO. Reduction of the singularities of codimension one holomorphic foliations in di-mension three. Annals of Math. 160(2004), 907–1011.

[CC] F. CANO AND D. CERVEAU. Desingularization of non-dicritical holomorphic foliationsand existence of separatrices., Acta Math., 169 (1992), p. 1-103.

[CMa] F. CANO AND J.-F. MATTEI. Hypersurfaces Intégrales des feuilletages holomorphes.Ann. Inst. Fourier 42, (1992), p.49-72.

[CMo] D. CERVEAU AND J. MOZO FERNÁNDEZ. Classification analytique des feuilletages sin-guliers réduits de codimension 1 en dimension n ≥ 3, Ergod. Th. Dynam. Sys. (2002), 22,1041-1060.

[FM] P. FERNÁNDEZ AND J. MOZO. Quasi ordinary cuspidal foliations in (C3, 0). Journal ofDifferential Equations 226 (2006), 250–268.

[FM2] P. FERNÁNDEZ AND J. MOZO. On generalized surfaces in (C3, 0). Astérisque 323 (2009),261–268.


PIURA

[FMN] P. FERNÁNDEZ, J. MOZO, AND H. NECIOSUP. Hipersuperficies generalizadas en(Cn,0). Pro Mathematica (2013) 71-82.

[FMN2] P. FERNÁNDEZ, J. MOZO, AND H. NECIOSUP. On codimension one foliations withprescribed cuspidal separatriz. J. Differential Equations 256 (2014) 1702-1717.

[FMN3] P. FERNÁNDEZ, J. MOZO, AND H. NECIOSUP. Analytic Classification of one type ofcuspidal foliations. J. Differential Equations(2015).

[Lo2] F. LORAY. A preparation theorem for codimensión one foliations, Ann. of Math. 163(2006), 709–722.


PIURA

Foliaciones de dimensión uno y codimensión uno en el espacio proyectivo

Liliana Olga Jurado [email protected]

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

Resumen

El objetivo es caracterizar las foliaciones por curvas (de dimensión uno) y las foliaciones decodimensión uno en el espacio proyectivo complejo CPn. Para ello necesitamos conocimientossobre los temas:

Espacio proyectivo complejo CPn.

Foliaciones en espacios proyectivos complejos.

Concepto de grado de una foliación.

Foliaciones de codimensión uno.

Específicamente se probará que toda foliación holomorfa por curvas en CPn es la compacti-ficación de un campo polinomial y que toda foliación de codimensión uno, proviene de una1-forma holomorfa con coeficientes polinomios homogéneos del mismo grado.

Referencias[1] LINS-NETO, A. AND SCARDUA, B., Folheações Algebraicas Complexas. 21 Coloquio Bra-

sileiro de Matemática.,1983.

[2] GUNNING, R. AND ROSSI, H., Analytic funtions of several complex variables Prentice Hall,Englewood Cliffs, NJ. 1965.

[3] FULTON, W., Curvas Algebraicas, Reverte, 1972.

[4] VAINSENCHER, I., Introdução às Curvas Algébricas Planas, Colóquios Brasileiros de Mate-mática, 1979.


PIURA

Introducción al Álgebra homológica en Ind-módulo

Norberto Jaime Chau Pé[email protected]

PUCP, Lima, Perú

Resumen

El estudio de los Ind-módulos es una buena introducción para empezar un álgebra homo-lógica.Los ind-objetos de una categoría dadas son clases de equivalencias de sistemas inversosen dicha categoría.Constituyen una categoría con morfismos dados por clases de equivalenciasde flechas.La Ind-categoría asociada a C es una categoría, denotada por Ind-C ,cuya estruc-tura:objeto y flecha.Equivalencia de flechas.Definimos la relación de equivalencia.Morfismode A en B es una clase [f ].Composición de morfismos.Esta categoría hereda muchas pro-piedades de la categorá de la cual proviene, tales como poseer límites, colímites, ser aditi-va y abeliana.En la categoría de módulos se tiene resultados importantes como ind-módulosinyectivos.Ind-módulos proyectivos.Todo este proceso, que hace originalmente en la catego-ría de módulos, se puede repetir en la categoría de ind-módulos, una vez que se garantice laexistencia de resoluciones proyectivas e inyectivas. A continuación se construyen estas resolu-ciones.

En límites contables, veremos la definición formal del límite directo y del límite inver-so.Veremos una definición de los ind-morfismos usando estos límites y analizamos la relaciónque existe con la definición elemental que dimos, relación que ya estaba presente tacitamenteen lo que construíamos. Luego caracterizamos los límites de modo que podamos demostrar laexactitud del límite directo y encontrar en lım1 el funtor derivado del límite inverso.


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Teorema de Merle para Foliación con separatriz irreducible (C2,0)

Nancy Saravia [email protected]


Resumen

La polar de una curva es importante porque nos da información de la topología de la curva,en algunos casos lo caracterizan como es el caso de curvas irreducibles, trabajo realizado porMerle.

Este concepto se generaliza para foliaciones cuando se aborda el problema de equisingula-ridad para las separatrices de ciertas1-formas holomorfas, trabajo realizado por Rouillé parafoliaciones con separatriz irreducible y es lo que contaremos en nuestra charla.

Referencias[KL] T.C. KUO;Y.C.LU. On Analytic Function Germs of Two Complex Variables., Topology 16,

(1977), pp. 299-310.

[M] M. MERLE. Invariants polaires des courbes planes. Invent.math,41(1977) p.103-111.

[P] P. ROUILLE. Courbes polaires et courbure. Thèse, Université de Bourgogne, Dijon, 1996.


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Estabilidad de la Temperatura Atmosférica en Mesoescala Usando el Método delas Diferencias Finitas Forward Upstream

Mayckol Jiménez [email protected]

Universidad Nacional de Trujillo

Resumen

En la actualidad para modelar los fenómenos meteorológicos y la circulación atmosféricaresulta esencial la fiel descripción matemática de los procesos que ocurren en la capa limiteatmosférica, en su aplicación se especifican condiciones iniciales y de contorno además detécnicas de estabilidad de Von - Neumann que determina el orden de convergencia de lassoluciones aproximadas a las exactas.Un procedimiento de cálculo que permite discretizar y resolver numéricamente la ecuación dela temperatura atmosférica en mesoescala es el esquema de las diferencias finitas regresiva paracalcular la derivada espacial y se conoce como el esquema forward upstream y resulta cuandose usa la formulación serie de Taylor; la principal propiedad de la ecuación de la temperaturaatmosferica en mesoescala discretizada resultante, es que la solución obtenida satisface a laecuación, independientemente del tamaño de la malla definida.Por lo tanto el método de las diferencias finitas es estable, si existe continua dependencia entrelas variables espacio temporal es decir satisfece la condición de Von Neumann.

Referencias[1] ROGER A.PIELKE, SR. , Mesoscale Meteorological Modeling, Colorado state Universidad,

Department of Atmospheric Science. Segunda edición,1984

[2] GARY A SOUD., NUMERICAL METHODS IN FLUID DYNAMICS, volumen I,1985

[3] John C. Strikwerda. Finite Difference Schemas and Partial Diferential Equations ,second edi-tions (1989)


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Campos Vectoriales: Aplicaciones a la Física

Gilberto Alva [email protected]

Universidad Nacional de Trujillo,

Universidad Privada Antenor Orrego, Perú

Resumen

La aplicación de los campos vectoriales a la física lo iniciamos partiendo del producto denúmeros complejos para obtener el campo U(2,R), dado por matrices ortogonales que permitenrotar en sentido positivo a los vectores y a la vez preservar magnitudes. Las matrices unitariasU(2,C) permiten trasladar estas mismas propiedades al universo de los complejos. La nece-sidad de tener movimientos rotacionales en el espacio nos lleva a ingresar al universo de loscuaterniones, identificarlos como subconjunto de R4 y a la vez como subconjuntos de C2. Laasociación de los cuaterniones puros con el producto vectorial es un indicador de la aplicaciónrotacional de ellos. Identificada esta aplicación rotacional se realiza las rotaciones alrededorde los ejes y de cualquier vector unitario. La representación de los cuaterniones mediante ma-trices unitarias, nos permiten tener las matrices de Pauli y la del espin 1

2 . La representación delos cuaterniones mediante matrices 4 × 4 nos permite una manera de obtener las matrices deDirac de la mecánica cuántica relativista. El hecho de asociar un fenómeno en dos sistemas dereferencia preservando la métrica de Minkosky permite obtener la trasnformación de Lorentzde la teoría de la relatividad especial.

Referencias[1] ALVA CASTILLO GILBERTO , SEl Paraiso de los duendecillos matemáticos, 2015.

[2] J.LÓPEZ-BONILLA, A. RANGEL-MERINO, ABACUT SEBASTIÁN-PÉREZ , Matrices de Di-rac, transformaciones de Lorentz y rotaciones espaciales vía cuaterniones ESIME. InstitutoPolitécnico Nacional, México, 2009.

[3] G.F. TORRES DEL CASTILLO , La Representación de Rotaciones Mediante CuaternionesMiscelanea Matemática 29 (1990) 43-50. Instituto de Ciencias, Universidad Autónoma dePuebla, México, 1999.


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Reconocimiento facial automático de imágenes con Análisis de ComponentesPrincipales

Nora La Serna Palomino, Emma Cambillo Moyano, Victor Ruiz [email protected]


Resumen

El trabajo que se presenta en este artículo se desarrolla en el marco de los Sistemas de Re-conocimiento Facial automático de imágenes utilizando Análisis de Componentes Principales(PCA). Básicamente, se revisa la teoría del PCA según karhunen-loeve, y luego se implementasu algoritmo con MatLab para reconocimiento facial, para ello se usa la base de datos de imá-genes faciales MUCT de la Universidad de Cape Town en Sudáfrica, el objetivo es obtener elporcentaje de reconocimiento teniendo en cuenta las variaciones de luz, edad, y origen étnicoque permite la colección de imágenes. Se conoce que desde hace más de dos décadas se vienedesarrollando con gran interés estos tipos de sistemas, debido a que tienen múltiples aplicacio-nes principalmente en temas de seguridad.

Palabras claves: Reconocimiento Facial Automático, Análisis de Componentes Principa-les, Procesamiento de imágenes, Reconocimiento de patrones

Referencias[1] HJELMAS E., Y KEE LOW B. , Face detection: A survey, Computer vision and Image Unders-

tanding 83, 236-274 (2001).

[2] LI STAN, JAIN ANIL, Handbook of Face Recognition, 2011.

[3] PAJARES G., DE LA CRUZ J. , Ejercicios resueltos de visión por computador, AlfaomegaRa-Ma. 2008.

[4] CABELLO E. , Técnicas de reconocimiento facial mediante redes neuronales,Tesis Doctoral,Universidad Politécnica de Madrid, 2004.

[5] LA SERNA N., PRO CONCEPCIÓN L. , Diseño de un sistema de recuperación de imágenes deindividuos malhechores para seguridad ciudadana, . RISI 10 (1) , 25-32 (2013).

[6] GAIDHANE V., HOTE Y., SINGH V., An efficient approach for face recognition based oncommon eigenvalues,Pattern Recognition 47 (2014) 1869-1879.


PIURA

[7] BELHUMEUR P., KRIEGMAN D. , Eigenfaces vs Fisherfaces: recognition using class specificlinear projection, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 19-71997, 711-720.

[8] SIROVICH L., KIRBY M., Low-dimensional Procedure for the Characterisation of HumanFace, Journal of the Optical Society of America Vol. 4 1987.


PIURA

Study of the Dynamics of the solid with embedded components in CivilEngineering with Maplesoft

Lenin Araujo [email protected]

Universidad César Vallejo, Perú

Resumen

In this paper of presents under a totally modern sound environment dynamics; using em-bedded components that gives us the Cybernet Company through its product Maple 2015.Using classical techniques vector equations describe the particle, particle system and solid bo-dies; We note that the solutions offered by this software motivate students civil and mechanicalengineering to find optimal answers. Integrating algorithms own programming language andsolid mechanics using buttons we relate the movement of translation and rotation with referen-ce to its center of mass. Choosing envelopes graphical methods, functional programming andmathematical computer display modeling reached alternatives to achieve the next generation ofengineers. Therefore this work show that the use of embedded components allow us to mergethe traditional and the computer; It means that all these equations using physical and proposeviable criteria we perform in a dynamic sheet; which they have a number of components; thengenerate simulations with real objects.

Referencias[1] FRANK R. GIORDANO. WILLIAM P. FOX., A First Course in Mathematical Modeling, 5nd

ed., Cencage Learning, 2014.

[2] DIETMAR GROSS ·WERNER HAUGER JÖRG SCHRÖDER ·WOLFGANG A. WALL, Enginee-ring Mechanics 3 - Dynamics, 1nd ed., Springer, 2011.

[3] THOMAS WESTERMANN, Mathematische Probleme lösen mit Maple, 5st ed., Springer, 2014.

[4] STEPHEN LYNCH, Dynamical Systems with Applications using Maple TM, 2nd ed., Birkhau-ser, 2010.


PIURA

Condiciones necesarias y suficientes para requerimientos de capital regulatorio:Modelo Vasicek.

Luis Valentin Purizaca [email protected]

Universidad Nacional de Piura, Perú

Resumen

La crisis financiera y su efecto en la economía han hecho que durante los últimos años lamedición y gestión del riesgo por parte de los reguladores sea cada vez más estricta. En esesentido, los reguladores internos realizan requerimientos de capital con el fin de salvaguardarla solvencia tanto nivel individual como del sistema. Una de los métodos que propone Basileapara realizar el cálculo de estos requerimientos es en función al modelo de Vasicek. Dicho mo-delo se basa principalmente en la ecuación de BMS y asume que el riesgo de incumplimientode cierta contraparte ocurrirá cuando su nivel de activos se encuentre por debajo de determi-nado umbral. En el presente trabajo mostraremos los supuestos que se encuentran detrás delmodelo empleado por Basilea así como la deducción del mismo.

Referencias[1] BASEL, Basel Committee on Banking Supervision. The Internal Ratings Based Approach,

2006.

[2] SCHÖNBUCHER, P. J., Factor models for portfolio credit risk , 2000.

[3] VASICEK, O., Limiting loan loss probability distribution , 1991.

[4] SAUNDERS, A., Credit Risk: Measurement in and out of the financial crisis , 2010.


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Aplicación de la Teoría de Juegos a la Educación

Lenin Quiñones [email protected]

Universidad Nacional de Jaén, Perú

Resumen

La teoría de juegos es una rama de las matemáticas que pone de manifiesto que los acon-tecimientos de las ciencias sociales donde los agentes actúan a veces unos contra otros para laconsecución de sus objetivos, pueden ser descritos mediante modelos matemáticos, esta teoríase ha convertido en una herramienta analítica indispensable para la resolución de problemaseconómicos. En el presente trabajo se muestra dos ejemplos de aplicación de la Teoría de Jue-gos a la Educación. En el primer ejemplo mostramos que la estrategia óptima que debe utilizarun estudiante para aprobar cualquier curso es estudiar y finalmente en nuestro segundo ejem-plo mostramos que para obtener un mejor pago o ganancia es utilizar la estrategia de mostrarinterés ante los programas de alfabetización brindada por el Ministerio de Educación por partede las personas analfabetas.

Referencias[1] ALLEN, B. MACKENZIE AND LUIS A. DASILVA., Game theory for wireless engineers. Mor-

gan & Claypool Publisher’s First Edition, 2006.

[2] GIBBONS R., A primer in game theory. Harvester Wheatsheaf, 1992.

[3] OSBORNE M.S., An Introduction to game theory. Oxford, New York 2004.

[4] Página web de Teoría de Juegos. Accedido el 15 de Junio 2015. http://w.w.w.gametheory.com

[5] Página web de la Sociedad de la Teoría de Juegos. Accedido el 10 de Junio 2015. http://w.w.w.gametheorysociety.net


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EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN NO LINEAL EN UNPROBLEMA CONCRETO

Juan Arturo Vásquez Velá[email protected]

Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo, Perú

Resumen

El presente trabajo se hace con la finalidad de dar una aplicación de la programación nolineal en un problema de la realidad, es decir encontrar la importancia de aplicar la matemáticaen problemas concretos.

En este trabajo se nos plantea un problema acerca de una compañía petrolera que deseaconstruir una refinería que recibirá suministros de 3 puertos cercanos, donde se nos pide en-contrar la localización de dicha refinería de tal manera que la cantidad total de tubería necesariapara conectar a la refinería con los puertos sea mínima. El objetivo es equivalente a minimizarla suma de las distancias entre la refinería y los 3 puertos

Para desarrollar este problema haremos uso de la programación no lineal, eligiendo unpunto probable de ubicación de la refinería de coordenadas (x1, x2) y luego haciendo usodel método de descenso de máxima pendiente, con una tolerancia de 0.25km, nos iremosacercando al punto óptimo de ubicación para lograr así dar solución al problema.

La importancia de este trabajo radica en que haciendo uso de nuestros conocimientos mate-máticos y de un adecuado planteamiento podemos dar aplicación de la matemática a problemasconcretos de la realidad.

Palabras claves: Optimización no lineal, programación no lineal.

Referencias[1] BRONSON, R. , Investigación de Operaciones, ed. Mc Graw- Hill, 1999.

[2] LUENBERGER, D.G., Introducción a la programación lineal y no lineal, ed. Addison - Wes-ley, 1993.

[3] DIXON, L.C.W., Optimización no lineal, ed. Teup, 1992.


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Teorema de Baire y Aplicaciones al Análisis

Miguel Angel Huaylla Salomé[email protected]


Resumen

El Teorema de Baire es un teorema muy importante de la Topología General y apesar desu presentación sencilla él da resultados muy fuertes. Aquí se presentan algunas aplicacionesdel Teorema de Baire como también un resultado proporcionado en los cursos de AnálisisMatemático que es referido a la existencia de funciones continuas y no diferenciables en todosu dominio.

Referencias[1] BARTLE, R.G. , Introducción al análisis matemático, Limusa, México, D.F., 1992.

[2] CHAIM, S.H. , Aplicacoes da Topologia a Análise, 3o Coloquio Brasileiro de Matemática,Brasil, 1961.

[3] MUNKRES, J.R., Topología Prentice Hall., Madrid, 2002.

[4] STEPHEN, W., General Topology Addison-Wesley, Canadá, 1970.


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Some allometric relations between occupancy fractions of the carrying capacitiesin populations

Fernando Córdova Lepefcordova@ucm

Universidad Católica del Maule,Talca;

Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación, Santiago, Chile

Resumen

Although the allometric mathematical relations come from the physiological field (bodyrelative growth), in this work, we explore the oncept, but from an ecological level. the ideais to get some of these type of correlations to compare degree to which a population occu-pies theihabitat or the relationship between these grades for different populations living in acommunity.

Referencias[1] HUXLEY, J.S. AND TEISSER G., Terminology of relative growth, Nature, 137: .780 - 781,

1936.

[2] GAYON, J., History of the concept of Allometry, ZOOL, 40: 748 - 758 (2000).

[3] LE VARGE, S., Applications of Logarithmic Exponential Functions The Biology Project.(Online) Available: http://www.biology.arizona.edu/biomath/


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La Constante de Euler γ y la serie∑∞

n=0(−1)n

n+1 y algunas reordenaciones

Miguel Angel Huaylla Salomé[email protected]


Resumen

Probaremos la existencia y unicidad de la constante de Euler y usaremmos esta cons-tante para encontrar el valor de la serie

∑∞n=0

(−1)nn+1 dando paso a las siguientes preguntas:

Â¿Cualquier reordenamiento la serie seguirá siendo convergente?, Â¿Cómo tenemos que reor-denar la serie para que sea convergente?, Â¿Dichos reordenamientos converguen al mismolímite?

Referencias[1] EULER, L. , Inventio summae cuiusque serie ex dato termino generali, Commentarii acade-

miae scientiarum imperialis Petropolitanae (1736)http://math.dartmouth.edu/ euler/docs/originals/E047.pdf

[2] RUDIN, W. , Principios de Análisis MatemÃ¡tico, McGraw Hill, México, D.F., 1980.


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Una métrica para el Grassmaniano

Helmuth Villavicencio Ferná[email protected]

Universidad Nacional Mayor de San Marcos;

Instituto de Matemática y Ciencias Afines, Perú

Resumen

El presente trabajo muestra una métrica sobre el Grassmaniano de un espacio vectorialde dimensión finita, cuya topología inducida es compatible con la topología natural que lotorna una variedad topológica. Bajo dicha métrica resulta natural probar la compacidad delGrassmaniano. Además, se prueba la continuidad de las fibras de un fibrado vectorial y enparticular; la continuidad de los espacios tangentes en una variedad diferenciable.

Referencias[1] HIRSCH W., Differential Topology, Springer-Velag, Berlín, 1976.

[2] HOWES, M., Modern Analysis and Topology Springer-Velag, Berlín, 1995.

[3] MILNOR, J., Characteristic Classes Princeton, New Jersey, 1974.


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VI CONGRESO NACIONAL DEL COLEGIO DE … VI_Libro.pdf · Comité Cientíﬁco Internacional Eduardo González-Olivares (Pontiﬁcia Universidad Católica de Valparaiso) Graciela Canziani