Vibraciones Forzadas Opta 2010

FISICA IIVIBRACIONES FORZADASPRESENTADO POROPTACIANO VSQUEZ GARCADocente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM2010

OBJETIVOSDespus de finalizada esta unidad el alumno ser capaz deResolver ejercicios y problemas de vibraciones forzadasAplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones forzadas con y sin amortiguamientoComprender el efecto de resonancia

II.INTRODUCCINHemos visto que la energa de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa.Es posible compensar la prdida de energa aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema.En cualquier instante, se puede agregar energa al sistema aplicando una fuerza que acte en la direccin del movimiento del oscilador.Por ejemplo un nio, en un columpio puede mantenerse e movimiento por medio de impulsos sincronizados de manera apropiada.La amplitud del movimiento permanecer constante si la energa de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energa que pierde por la friccin

II.INTRODUCCINExisten varios tipos de vibraciones forzadas, destacando las siguientes:(a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Aquellas vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningn tipo pero son producidas por fuerzas externas (b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento. Aquellas vibraciones producidas o fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin. Consideremos una partcula de masa m unida a un resorte ideal de rigidez k y a la cual se aplica una fuerza externa F = Fo Sen(t) tal como se muestra en la figura. Donde Fo es la amplitud de la vibracin armnica y es la frecuencia de la vibracin externa

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin. Aplicando las segunda ley de Newton se tiene

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin. La ecuacin es una ecuacin diferencial de segundo orden no homognea con coeficientes constantes. Su solucin est compuesta por: i) una solucin complementaria; y ii) una solucin particular.La solucin complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo trmino de la ecuacin y resolviendo la ecuacin homognea, es decir.

La solucin de esta ecuacin es de la forma

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin. Como el movimiento es peridico la solucin particular es de la forma

Determinando dos veces esta ecuacin y remplazando en la ecuacin (1) se tiene

Despejando el valor de la constante B resulta

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin. Remplazando (5) en (4) resulta

La solucin general ser

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFuerza armnica de excitacin. De la ecuacin (7) se observa que la oscilacin total est compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibracin libre de frecuencia n figura a, y una vibracin forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibracin libre se extingue quedando la vibracin permanente o particular como lo muestra la figura c.

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTOFactor de amplificacinEn la ecuacin (6) se observa que la amplitud de la vibracin particular depende de la razn entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplificacin al cociente entre la amplitud de la vibracin estable y la deflexin esttica.

De esta ecuacin puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es /n =1 . El fenmeno de resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTODesplazamiento excitador peridicoLas vibraciones forzadas tambin pueden surgir a parir de la excitacin peridica de la cimentacin de un sistema. El modelo indicado en la figura, representa la vibracin peridica de un bloque que es originada por el movimiento armnico = 0sent.

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTODesplazamiento excitador peridicoEn la figura, se muestra el DCL y cintico del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento general del resorte ser (x 0sent)

III.VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTODesplazamiento excitador peridicoAplicando la ecuacin de movimiento segn la direccin horizontal se tiene

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOPara determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza peridica externa P =P0sen, tal como se muestra en la figura.

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOLa ecuacin diferencial (1)* es una ecuacin diferencial lineal, de segundo orden, no homognea y con coeficientes constantes. Su solucin se obtiene sumando una solucin complementaria y una solucin particular. La solucin complementaria satisface a la ecuacin homognea y la solucin particular es una funcin cualquiera que satisface la ecuacin diferencial. Por lo tanto, la solucin total se escribe

La solucin complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. As si el movimiento es subamortiguado

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOLa solucin complementaria estudiada anteriormente, se extingue rpidamente segn el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solucin particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carcter armnico y viene expresada por

Derivando esta ecuacin se obtiene

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSORemplazando (4), (5) y (6), resulta

Haciendo (t-) sucesivamente igual a cero y /2, resulta

Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores y sumndolos, resulta

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSODe la ecuacin se obtiene la amplitud la misma que est dada por

El desfasaje est dado por

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOBajo estas circunstancias la solucin particular se escribe

Pero la frecuencia natural est dada por, = k/m , y el valor del coeficiente crtico de amortiguamiento es ccr = 2mn, el factor de amplificacin ser

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOEn la figura, se muestra el factor de amplificacin en funcin de la razn de frecuencias para distintos valores de la razn de amortiguamiento.

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

IV.VIBRACIONES FORZADAS PARA MOVIMIENTO DE ROTORES DESEQUILIBRADOS

IV.VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: Resonancia

V. EJEMPLOS DE APLICACINUn bloque que tiene un peso W = 20 lb es unido a un resorte de constante k = 20 lb/pie. Si una fuerza F = Fo Cost es aplicada al bloque, determine la mxima velocidad del bloque para oscilaciones pequeas. Desprecie la friccin si Fo = 6 lb y = 2 rad/s y g = 32,2 pies/s

V. EJEMPLOS DE APLICACINUn bloque que tiene una masa m es unido a un resorte de constante k. Si una fuerza F = Fo Cost es aplicada al bloque, determine la ecuacin diferencial de las vibraciones. Cul ser la solucin general de esta ecuacin

V. EJEMPLOS DE APLICACINUn bloque de 5 kg est suspendido de un resorte de constante k = 400 N/m. Si el resorte se somete a una fuerza vertical dada por F = [5 sen8t] N, donde t se mide en segundos. Determine la ecuacin que describe el movimiento del bloque cuando este se jala hacia abajo 100 mm a partir de la posicin de equilibrio y se suelta desde el reposo en t = 0

V. EJEMPLOS DE APLICACINUna esfera de 25 lb de peso est fija a una barra que pesa 50 lb. La barra se encuentra sometida a la accin de una fuerza peridica F = [100 sen15t] lb como se muestra en la figura. Determine la amplitud de la vibracin de estado estacionario de la esfera. Desprecie el tamao de la esfera.

V. EJEMPLOS DE APLICACINLa barra uniforme de masa m y longitud L tiene un eje de oscilacin en su centro. El resorte de constante k de la izquierda est sujeto a una superficie inmvil, pero el de la derecha tambin de constante k, lo est a un soporte sometido a un movimiento armnico dado por yB = b Sen t. Determine la pulsacin excitadora de resonancia

V. EJEMPLOS DE APLICACINDos barras uniformes iguales cada una de masa m estn soldadas formando un ngulo recto y estn suspendidas, tal como se muestra, de un eje horizontal que pasa por O: hallar la pulsacin excitadora crtica C del bloque B capaz de producir en el sistema unas oscilaciones de amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es m.

V. EJEMPLOS DE APLICACINDos esferas de 2 kg de masa cada una estn soldadas a una barra ligera que est articulada en el punto B. Una segunda barra ligera AC est soldada a la anterior. Se aplica una perturbacin en el punto A igual a F=F0 Sent. En el otro extremo C, se encuentra un muelle que cuando AC est horizontal no presenta deformacin. Si la amplitud de la rotacin estacionaria del sistema se mantiene por debajo de 20.10-3 rad, Qu rango de frecuencias est permitido?. Utilizar los siguientes datos: L= 300 mm; K = 7000N/m; F0 = 10 N; a = 100 mm.

SolucinEn la figura se muestra el DCL para un

VII. EJEMPLOS DE APLICACINHallar la amplitud X del movimiento estacionario de la masa de 10 kg si (a) c = 500 N.s/m y (b) c = 0.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINEL elemento de fijacin B recibe un movimiento horizontal xB = b cos t. Deducir la Ecuacin diferencial del movimiento de la masa m y definir la pulsacin crtica C para la cual las oscilaciones de la masa se hacen excesivamente amplias.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINEl bloque de 20 kg est sometido a la fuerza armnica F = (90 Cos6t) N. Escriba la ecuacin diferencial que describe el movimiento del bloque. Considere que k = 400 N/m y c = 125 N.s/m

VII. EJEMPLOS DE APLICACINLos dos bloques mostrados en la figura pende, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que est horizontal en la posicin de equilibrio. Si se aplica al punto D de la barra una fuerza P(t) = 20 sen(t), determine la mxima amplitud de la oscilacin estacionaria del bloque de 50 N.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINEl bloque que pesa 12 N se desliza por una superficie sin friccin tal como se indica en la figura. El resorte tiene una longitud natural cuando la barra AB est vertical y BC horizontal. Las masas de las barras son despreciables. Suponiendo pequeas oscilaciones, determine: (a) El dominio de pulsaciones para el cual el movimiento angular estacionario de la barra AB es inferior a 5o (b) La posicin del bloque en funcin del tiempo si se desplaza 5 cm hacia la derecha y se suelta a partir del reposo cuando t = 0 y = 25 rad/s.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINEl motor de 3 kg descansa sobre un resorte (k = 150 kN/m) y un amortiguador (c = 120 N. s/m) segn se indica en la figura. En el borde de la polea del motor (e = 25 cm) est fija una pequea masa (m = 0,5 kg). Determine la mxima amplitud de la vibracin forzada resultante del motor.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINLas dos masas de la figura se deslizan por superficies horizontales lisas. La barra ABC es de masa despreciable y est vertical en la posicin de equilibrio. Si al punto D de la barra se aplica una fuerza P(t) = [50 sent] N, determine la mxima amplitud de la oscilacin estacionaria del bloque de 10 kg.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIN El sistema representado en la figura se ajusta para que se encuentre en equilibrio cuando AB est horizontal y xE sea igual a cero. La masa del cuerpo B es 25 kg, la constante del resorte es 1200 N/m y el valor del coeficiente de amortiguamiento es c = 300 N.s/m. La posicin del punto E vara de acuerdo con la ecuacin xE =0,125 sen 5t, donde xE y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la amplitud del movimiento de B y su velocidad mxima.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINLos dos bloques de la figura penden, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que est horizontal en la posicin de equilibrio. Si a = 15 cm y se suponen oscilaciones de pequea amplitud, determine: (a) La ecuacin diferencial del movimiento; (b) La razn de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El perodo de la vibracin resultante (si procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento crtico

VII. EJEMPLOS DE APLICACINEl movimiento del bloque E de la figura es armnico y lo define la ecuacin yE =0,15 sen10t, donde yE y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. La constante de R1 es 150 N/m y la constante de R2 es 250 N/m. Se considera despreciable la masa de las barras que soportan al cuerpo W de 15 kg. Halle la solucin estable que describe el movimiento del sistema.

VII. EJEMPLOS DE APLICACINLa polea cilndrica maciza y homognea tiene una masa m1 y un radio r. Si el punto de fijacin B est sometido al desplazamiento armnico indicado, escribir la ecuacin diferencial del movimiento del sistema en funcin de la variable x. La cuerda que enlaza la masa m2 al resorte superior no resbala en la polea.

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