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7/24/2019 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS.docx
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1.1 VIBRACIONES
1. VIBRACIN LIBRENO
AMORTIGUADA
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Se denomina vibracin a la propagacin de ondas elsticas
produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio
continuo (o posicin de equilibrio). En su forma ms sencilla,
una vibracin se puede considerar como un movimiento
repetitivo alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin deequilibrio es a la que llegar cuando la fuer!a que act"a sobre
#l sea cero. $lgunas vibraciones son deseables, como por
e%emplo el movimiento pendular que controla el movimiento de
un relo%, o la vibracin de una cuerda de un instrumento
musical. En cambio en muc&as aplicaciones mecnicas no se
desea la presencia de las vibraciones. $s' por e%emplo la
vibracin ecesiva de mquinas y estructuras puede ocasionar
que se ao%en las uniones y las coneiones llegando en algunos
casos a producir el colapso de la estructura, tambi#n tenemos alas vibraciones generadas por un sismo, generando distintos
tipos de ondas que ocasionan colapso a trav#s del terreno que
atraviesa, unas ms que otras (ver imagen 1.a).
1.2 VIBRACIN LIBRE NO AMORTIGUADA
*magen (1.a). Vibracin libre no aor!i"#a$a%este tipo de vibraciones
son ideales y no presentan fuer!as de friccin alguna y deeste modo permite que la vibracin perdure a trav#s deltiempo sin la intervencin de fuer!as algunas claro est.(E%emplo+ p#ndulo)
Vibracin libre aor!i"#a$a% este tipo de vibraciones lasencontramos ms a menudo, ya que tiene variables ms
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*niciaremos el estudio de la inmica Estructural con el
anlisis de los Sistemas de un -rado de Libertad, en el cual
despreciaremos las fuer!as de friccin o de amortiguamiento.
$dems, consideraremos que el Sistema, durante el movimiento
o vibracin, no est# ba%o la accin de fuer!as ecitadoras.ebido a esto, el movimiento del Sistema es gobernado solo por
la inuencia de las condiciones iniciales, esto es, dando
despla!amiento y velocidad para un tiempo t/ cuando se
inicia el estudio del fenmeno.$ un Sistema que cumple con estas condiciones, se le
denomina S*S0E$ E 23 S4L4 -5$4 E L*6E50$ E3
7*65$8*43ES L*65ES 34 $450*-2$$S.La ecuacin fundamental de la inmica Estructural para
los Sistemas de un grado de libertad sin amortiguamiento, sededucen a continuacin y est dada por la ecuacin (1.b)
m X''+kX=F( t)(1.b)
9ero en el caso d los sistemas su%eto a vibraciones libres, la
fuer!a ecitadora F( t)=0 : sustituyendo este valor en la
*magen (;.a). iagrama fundamental para deducirla ecuacin fundamental de la inmica
*magen (
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ecuacin (1.b), obtenemos la ecuacin que gobierna el
movimiento del sistema.
m X''+kX=0(2.b)
1.2.1&roblea $e 'alore( iniciale( )ara el o'iien!oen 'ibracione( libre( $e Si(!ea( $e #n (olo "ra$o$e liber!a$.
El ob%etivo de esta seccin es encontrar la solucin
de la ecuacin diferencial (;.b), para las condiciones
iniciales de despla!amiento y velocidad, com"nmente
denominado >9546E$ E 7$L45ES *3*8*$LE?, el cual
queda de@nido por el siguiente modelo matemtico+
m X''+kX=0
X(t=0)=X0 (
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X1=Acos (pt)
X '1=Ap sen (pt) (6.b )
X ' '1=A p2cos (pt)
X2=B sen (pt)
X '2=Bp cos (pt) (7.b )
X ' '2=B p2
sen (pt)
D sustituyendo los valores de las ecs. (.b) en la ec. (;.b)
(pt)
A p2
cosm
(m p2+k)Acos (pt)=0
e la misma manera puede veri@carse que las ecs. (F.b)
satisfacen la ec. (;.b) para p2
de@nido por la ecuacin
(G.b). La ra'! positiva de la ecuacin (G.b) es conocida
como la frecuencia natural circular del Sistema. $s',tenemos+
p= km (9.b)8omo ya se demostr, las funciones de@nidas en las
ecuaciones (B.b) y (C.b) son soluciones de las ec. (;.b), y
como esta es lineal, la suma de las dic&as funciones
tambi#n es solucin, es decir
X=Acos (pt)+Bsen (pt)(10.b)
ebido a que la ecuacin (1/.b) consta de dos
constantes de integracin A y B , es en realidad la
solucin general de la ecuacin diferencial de ;A orden
(;.b).Las ecuaciones de la velocidad y la aceleracin se
obtienen derivando dos veces la ec. (1/.b) respecto a t .
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X'=Ap sen (pt)+Bpcos (pt)(11.b)
X' '=A p2cos (pt)B p2 sen (pt)(12.b)
Los valores de las constantes
A
y
B
se determinan apartir de las condiciones iniciales de despla!amiento y
velocidad+X(t=0)=Xo ; X '(t=0)=X 'o
Sustituyendo estos valores en las ecs. (1/.b) y (11.b), se
obtiene+
A=Xo
B=X 'o
p
Hinalmente, al sustituir los valores de A y B en las
ecs. (1/.b), (11.b) y (1;.b) obtenemos las ecuaciones dedespla!amiento, velocidad y aceleracin para vibracioneslibres de los Sistemas de un grado de libertad noamortiguados.
X(t)=Xo cos (pt)+X 'o
p sen (pt)(13.b)
X '(t)=p Xosen (pt)+X 'ocos (pt)(14.b)
X ' '(t)=p2Xo cos (pt)p X 'o sen (pt)(15.b)
1.2.2Re)re(en!acin "r*+ca $e la( 'ibracione( libre(.$l representar gr@camente, para distintas
condiciones iniciales de despla!amiento y velocidad, la
variacin en el tiempo del despla!amiento, velocidad y
aceleracin se tomarn como base las ecs. (10 , X 'o=0 .
Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecs.
del movimiento (1
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ii, Xo=0 , X 'o>0 .
Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecs.
del movimiento (1
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iii, Ca(o "eneral- Xo 0 , X 'o 0 .
9ara obtener la representacin gr@ca del
movimiento para el caso general, es decir, condiciones
iniciales distintas de cero, es necesario &acer el siguiente
planteamiento.$nali!ando la ecuacin de despla!amiento (1
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(.a.b). El despla!amiento total de X para cualquier
pt se obtiene sumando las coordenadas de las dos
curvas para esept
como se muestra en la imagen
(.a.c).8omo puede observarse, la mima ordenada de la
curva de la imagen (.a.c) esta despla!ada con respecto a
la mima ordenada de la curva de la imagen (.a.a) por
la cantidad . En este caso puede decirse que el
despla!amiento total, representado por la curva de la
imagen (.a.c), se retrasa respecto a la componente del
despla!amiento dad por la curva de la imagen (.a.a).El mismo ro!amiento puede &acerse con las
ecuaciones de velocidad y aceleracin, (1B.b) y (1C.b),
obteni#ndose de las gr@cas de la imagen (.a.d) y
(.a.e).
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1.2.Gr*+ca al!erna!i'a a$ien(ional.9ara su determinacin basta con despe%ar la funcin
seno o coseno de la ecuacin de movimiento. 9ara el
caso ii de la seccin 1.;.< por e%emplo, la gr@ca
adimensional del despla!amiento, dada por la siguiente
ecuacin, se muestra en la siguiente imagen (F.a).
X(t)=
X 'o
p sen (pt)
*magen (.a). 5epresentacin gr@ca del movimiento para las condiciones
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1.2./0rec#encia &erio$o.2n eamen de la ec. (1
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circular p es 2 veces la frecuencia natural f . La
frecuencia natural circular p se epresa en
radianesIseg.
1.2.A)li!#$ $e $e()la3aien!o- 'eloci$a$-
aceleracin *n"#lo $e 4a(e.La ec. (1
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sin=X 'o
p A(20.b)
cos=Xo
A(21.b)
tan= X 'o
p Xo(22.b)
Sustituyendo (;/.b) y (;1.b) en la ec. (1G.b)
X(t)=A[(cospt) (cos)+ ( sen pt) (sen)](23.b)
y aplicando la identidad trigonom#trica+cos(AB)=(cosA ) (cos B )+( sen A ) (sen B )
$ la ec. (;
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Si la gr@ca de la imagen (K.a) la despla!amos &acia la
derec&a una cantidad se obtiene el despla!amiento
en funcin de
pt
, el cual se muestra gr@camente enla imagen (1/.a).
9or "ltimo, para epresar el despla!amiento en
funcin del tiempo t debe dividirse cada valor
representado en el e%e de las abscisas de la imagen
(1/.a) por p , obteni#ndose as', la gr@ca de la @gura
(11.a). e la misma forma que se obtuvo la gr@ca del
despla!amiento en funcin del tiempo, dadas por las
imgenes (1/.a.b) y (1/.a.c) respectivamente.
*magen (1/.a). 5epresentacin gr@ca del despla!amiento de un oscilador
simple en funcin pt
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1. &ROBLEMA 5&RACTICA,
En el Sistema de vibracin libre, gra@car (t), ngulo de fase
MI
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Solucin
Ecuacin diferencial que la gobierna+
Seg"n lo eplicado en el marco terico la respuesta a esta
interrogante seria la ecuacin (;.b)+
m X''+kX=0
La solucin general+
La solucin general est dada por la ecuacin (;B.b)+
X(t)=Acos (pt+) onde p es la velocidad circular
5eempla!amos los valores iniciales para encontrar la gr@ca
adimensional dndole distintos valores para 0t 44 +
-r@ca adimensional en funcin del tiempo