Vibraciones Libres No Amortiguadas Con Dos

Grados De Libertad

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental Politécnica

“Antonio José de Sucre”Vicerrectorado Barquisimeto

Departamento de Ingeniería Mecánica Sección de Diseño

IntegrantesGabriela Moreno

Hecmel RivasJorge Montilla

Alejandro Pichardo

INTRODUCCIONO Se dice, que un sistema tiene dos

grados de libertad cuando se requieren dos coordenadas independientes para describir su movimiento. El estudio de estos sistemas sirve de paso previo para entender el funcionamiento de los sistemas de varios grados de libertad.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

O Consideremos el sistema de la figura:

O Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas:

O Ecuaciones diferenciales que no son independientes y constituyen un sistema ya que ambas incognitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos y pueden expresarse matricialmente

O Las matrices M, C y K, llamadas respectivamente matriz de Inercia, matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez son simétricas como se puede observar

La resolución de problemas de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la determinación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de libertad: Sus dos frecuencias naturales y sus modos naturales de vibraciónSuponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a (k11= k1 + k2, k22= k2 + k3)

O La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento armónico síncrono (tiene lugar en un sistema constituido por dos o más masas y caracterizado por que todas ellas vibran, en fase, con la misma frecuencia), se supondrán, análogamente como se hacía con sistemas de 1 gdl; soluciones de la forma

O Derivándolas con respecto al tiempo:

O Sustituyendo, se obtendrán las siguientes ecuaciones:

O Lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y X2. Para que dicho sistema tenga solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación bicuadrática cuyas raíces son:

O Entonces la solución se puede expresar de esta forma:

Dos péndulos de igual masa y longitud están acoplados longitudinalmente tal como se muestra en la figura. Encontrar las

frecuencias propias del sistema y los modos principales de oscilación, para:

t=0, , , mg=2kgf, L=1m, a=0.25m, k=10kgf/m, Solución:

DCL m1 (sentido antihorario positivo)

DCLm2

Las dos ecuaciones tienen solución de la forma:

Sustituyendo:

Analogamente para la otra ecuación, tenemos el sistema:

Así:

 Desarrollando y simplificando:

Ahora:

Finalmente el movimiento del péndulo es:

Para las condiciones de frontera

t=0,

Pero:

t=0, , al derivar: 

 Finalmente:

Determine la ecuación de movimiento y las frecuencias naturales del sistema resorte-masa.

Solución:

Para m1 

 Para m2

 

Tienen solución:

Sustituyendo:

 

 

 

 

  

 

Finalmente la ecuación de desplazamiento es: