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Vídeo DigitalSolución al examen de Junio de 2001
1.- Queremos convertir un reportaje televisivo digitalizado según la norma ITU-601 para 525líneas y 30 imágenes por segundo, al formato de 625 líneas y 25 imágenes por segundo.Esta conversión implica varios procesos de cambio de la frecuencia de muestreo. Parasimplificar el problema, nos vamos a centrar únicamente en las imágenes de luminancia,y en el proceso concreto de la conversión de la secuencia de 30 a 25 imágenes por segundo.
a)- Los cambios de velocidad de muestreo llevan asociados, en general, procesos dediezmado e interpolación. Razonar la conveniencia de realizar primero el diezmadoo la interpolación en una tarea de este tipo. (0,5p)
Es conveniente realizar en primer lugar la interpolación. El diezmado eliminamuestras de la secuencia, pudiendo provocar solapamiento espectral. Dichosolapamiento puede evitarse añadiendo al principio de la cadena un filtropaso bajo que limite la banda de paso de la secuencia de entrada, a la mitadde la frecuencia de muestreo de salida del diezmador, con la consiguientepérdida de información en las frecuencias altas. El interpolador, en cambio,introduce más muestras a la secuencia haciendo menos gravosa la pérdidade muestras en el proceso de diezmado posterior.
b)- Dibujar el diagrama de bloques que se debe utilizar para convertir una secuenciade muestras tomadas a 30 muestras por segundo en otra secuencia que representea la misma señal original, pero muestreada a 25 muestras por segundo. (0,3p)
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Figura 1
c)- Calcular los factores de diezmado e interpolación a utilizar para ello, así como losparámetros significativos de los filtros necesarios en este proceso. (0,5p)
Los factores de diezmado e interpolación pueden calcularse a partir de larelación entre periodos de muestreo a la entrada y a la salida:
T T· ML
T· 3025
T· 65
Así pues el valor de M es 6 y el valor de L es 5.
El filtro que se debe utilizar entre los dos bloques interpolador y diezmadorcorresponde a el filtro paso bajo de salida del interpolador, más el filtroantisolapamiento del diezmador. Por lo tanto, la ganancia de dicho filtro esG = L = 5, y la frecuencia de corte de dicho filtro es el mínimo entre lasfrecuencias de corte en cada caso.
fc min[ 0,55
, 0,56
] 0,5
max[5, 6]
0,56
112
2)- En una determinada aplicación se necesita digitalizar unaseñal bidimensional cuyo espectro frecuencial abarca lazona de la figura 1, con anchos de banda Bx = 4KHz, yBy = 6kHz.
a)- Suponiendo muestreo ortogonal, calcular la matriz demuestreo P más eficiente posible. (1p)
b)- Suponiendo muestreo no ortogonal, calcular la matrizde muestreo P más eficiente posible. (1p)
c)- Calcular las densidades de muestreo en cada uno de los casos anteriores. (0,5p)
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a)- MUESTREO ORTOGONAL: Según la estructura de muestreo ortogonal laforma del espectro de la señal muestreada es la de la figura siguiente.
Para calcular la matriz de pulsaciones U hemos de tener en cuenta que elespectro del problema nos viene en términos de frecuencia. Así, la matriz depulsaciones será
U U U= =
( , ) •1 2 2 1000
8 00 12
π
quedando la matriz de muestreo así
P U T= ⋅ =
−2
11000
1 8 00 1 12
1π ( )/
/
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U U U= =−
( , ) •1 2 2 1000
4 46 6
π
1T
1
|Det [P]|
11
106· 196
96 · 106
P U T= =−
−2
11000
1 8 1 81 12 1 12
1π ( )/ // /
b)- MUESTREO NO ORTOGONAL: Según laestructura de muestreo no ortogonal, laforma del espectro de la señal muestreadaes la figura del margen. Así la matriz depulsaciones será la siguiente.
Y la matriz de periodicidad queda así
c)- La densidad de muestreo para el caso ortogonal sería
Y para el caso no ortogonal
1T
1
1106
· 148
48 · 106
Solución al examen de Junio de 2001
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Figura 2
3)- Se pretende implementar un sistema de digitalización de calidad, para señales de vídeoanalógico según la norma ITU-R BT.601. Este problema, va a tratar únicamente de ladigitalización de la señal de luminancia. Para ello se piensa en un esquema como el de lafigura 2.La señal x(t) es la señal de luminancia analógica a digitalizar con un ancho de banda de 5,5MHz. El conversor de continuo a discreto se supone ideal. x[n] es la secuencia digital querepresenta a la señal x(t) muestreada con frecuencia de muestreo 13,5 MHz.
a)- Calcula el periodo de muestreo TCD que debe utilizarse en el sistema de la figura paraconseguir lo que se propone. ¿Cual sería el periodo a utilizar en un hipotéticoconversor D / C para recuperar x(t) a partir de x[n]?. (0,5p)
El único elemento del sistema que varía la frecuencia de muestreo es eldiezmador que tiene un factor de diezmado de 2. Si queremos obtener a lasalida una secuencia x[n] muestreada a 13,5MHz. el periodo de muestreo delsistema será
TCD 1fs
1
M fs´
12· 13,5 ·106
1
27µs 37,037 ns
Puesto que la secuencia x[n] representa a la señal x(t) muestreada a 13,5MHz,
TDC 1fs´
1
13,5µs 74,074 ns
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Figura 3
b)- Suponiendo que se consigue un filtro H1(Ω) con una característica de ganancia comola de la figura, donde se observa una banda de paso plana entre las frecuencias 0 yf1 y una transición suave hasta la frecuencia f2 donde se llega a un valor deatenuación adecuado. Indicar los valores de las frecuencias f1 y f2 más apropiados.(0,5).
Sería deseable que la señal x(t) no sufriera ninguna modificación dentro desu ancho de banda. Por ello, la frecuencia f1 debe tener el valor del ancho debanda de la señal analógica.
f1 5,5MHz.
Asimismo, la frecuencia f2 debe estar situada como máximo antes delcomienzo de la primera repetición del espectro muestreado.
f2 fs B 27 5,5 21,5MHz.
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Figura 4. Máscara de la característica de pérdida de inserción en función de la frecuencia.
c)- En la recomendación ITU-R BT.601, se imponen unas características de filtrado muyexigentes para el muestreo de la señal. En la figura 4 aparece dicha característica.
Calcular los valores digitales de las frecuencias f1, f2, y f3, (fd1, fd2, y fd3) suponiendoque hemos de aplicarla al filtro H2(ejw). (0,5p).
Teniendo en cuenta que la frecuencia de muestreo es 27 MHz.,
fd15,7527
; fd26,7527
; fd3827
d)- Calcular la pendiente mínima en dB / octava entre los puntos fd1 y fd2 y entre los puntosfd2 y fd3. (Suponer en el punto f1 = 5,75 MHz. una atenuación de 0 dB.). (0,5p)
La relación en octavas entre dos frecuencias viene dada por la siguienteexpresión
n log2
f2
f1
log10
f2
f1
log10 2
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Así para el primer tramo
n1 log26.755.75
0,23 octavas
Y para el segundo tramo
n2 log28
6.75 0,25 octavas
Quedando las relaciones de la siguiente manera
x1 Atenuación1 (dB)
n1
51.9 dB / octava
y
x2 Atenuación2 (dB)
n2
114.2 dB / octava
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e)- Calcular el espectro X(ejw) de x[n] a partir del espectro X(fa) de x(t). (2p).
Dado el esquema del que partimos identificamos las señales y secuenciasintermedias.
Según este esquema, a la salida del filtro H1()
X1(fa) X(fa) · H1(Ω2π
)
A la salida del conversor C/D
X2(ej2πfd)
1T
kX1(fa
kT
)
X2(ej2πfd)
1T
kX(fa
kT
) · H1(Ω2π
kT
)
A la salida del filtro H(ejw)
X3(ejw) X2(e
jw) · H2(ejw)
X3(ej2πfd)
1T
kX(
fd kT
) · H1(fa kT
) · H2(ej2πfd)
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Y a la salida del diezmador
X(e jw) 12
1
p0X3(e
j2πfdp
2 )
Arreglando un poco la expresión de X3(ejw), pongo la función de transferenciadel filtro H1 en función de fd.
X3(ej2πfd)
1T
kX(
fd kT
) · H1(fd k
T) · H2(e
j2πfd)
Así, el espectro de frecuencias de la salida quedaría
X(e j2πfd) 12
1
p0
1T
kX(
fdp2
k
T)·H1(
fdp2
k
T)·H2(e
j2πfdp
2 )
X(e j2πfd) 12
1
p0
1T
kX(
fd(p2k)2T
)·H1(fd(p2k)
2T)·H2(e
j2πfdp
2 )
Realizando el cambio de variable s = p + 2k con p = 0,1; k [-, ], ys [-, ]. y teniendo en cuenta que la función de transferencia H2 esperiódica en fd de periodo 1.
X(e j2πfd) 1
2T
sX(
fds2T
) · H1(fds2T
) · H2(fds2T
)
Así pues el espectro a la salida es periódico en fd de periodo 1/2T.
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4)- En una aplicación concreta de transmisión de datos digitales, se estudia estadísticamentela probabilidad de aparición de cada símbolo. Los resultados de dicho estudio estadísticoson los que aparecen en la tabla siguiente.
Simbolo Probabilidad Simbolo Probabilidad Simbolo Probabilidad
ABC
16%12%7%
DEF
9%46%2%
GH
7%1%
Según esta tabla se decide aplicar una codificación Huffman para comprimir el tren dedatos resultante.
a)- Encontrar un código Huffman apropiado para esta codificación según las probabilidadesde aparición de la tabla. (0,5p)
En la figura izquierda aparece el árbol de relaciones entre variables, y a laderecha la tabla de códigos que corresponde a dicho árbol
Símbolo CódigoHuffman
ABCDEFGH
111101
110011010
100011001
10000
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b)- Calcular el factor de compresión conseguido con esta codificación. (0,5p)
Mediante un código binario, para la codificación de estos ocho símbolosnecesitaría tres bits. Así, cien símbolos de esta naturaleza ocuparían:
NB 3 · 100 300 bits
Mediante la codificación Huffman expuesta, el tamaño del tren de datos enbits sería:
Símbolo Cantidad bits / código Total bits
ABCDEFGH
161279
46271
33441545
483628364610285
Tamaño del tren de bits con 100 símbolos (NH) 237 bits
Así el factor de compresión es:
Fc NB
NH
300237
1,3 : 1
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5.- En los sistemas de compresión MPEG-2 mono-programa se utiliza un subsistema llamado“bucle de control de flujo binario”. Indica su necesidad, explica su funcionamiento, eindica sobre que otros subsistemas actúa. (1,2p)
Necesidad: La compresión MPEG-2 realizada en base a la DCT de bloques8x8, produce para cada bloque una compresión diferente. Esto haceimpredecible la velocidad binaria necesaria para transmitir o almacenar lasimágenes comprimidas. La velocidad binaria, en ambas aplicaciones debe serconstante, ya que la frecuencia del reloj que se utiliza, lo es.
Funcionamiento: A la salida del sistema compresor, se dispone un buffer paraabsorber las variaciones de flujo de datos. Si estas variaciones del flujo dedatos son tales que el buffer de salida comienza a llenarse demasiado, elbucle de control de flujo binario provoca un aumento en la compresión, através de modificar los escalones de cuantificación que se aplican a loscoeficientes de la DCT. Este aumento de la compresión equivale a unadisminución del flujo de datos hacia la salida. Por contra, si este buffer tiendea vaciarse, el bucle ordena una disminución de la compresión de la mismamanera, provocando una llegada de datos mayor.
Subsistema sobre el que actúa: Actúa sobre el sistema que fija losescalones de cuantificación. Cuando debe aumentarse la compresión losescalones de cuantificación serán más grandes, mientras que para disminuirla compresión se deberán utilizar escalones también más pequeños.
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Figura 10. Conversión D/A real sin interpolación.
Figura 11. Espectro de la señal de entrada.
fd1 5,513,5
Hz fd2 13,55,5
13,5
813,5
Hz
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1.- En este problema se pretenden estudiar las ventajas de la utilización de la interpolaciónpara la conversión D/A (Total 4,5p). Para ello, partimos del sistema real sin interpolaciónde la figura 1.
La secuencia y[n] de entrada representa una señal de video, con un ancho de banda de 5,5MHz y muestreada a 13,5 MHz
a)- Indicar los valores de las frecuencias fd1 y fd2 que aparecen en el espectro Y(ejw) dey[n] en la figura 2 (0,2p).
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Figura 3. Respuesta al impulso del bloque P.
Espectro de la señal ys(t).
P(Ω)
P(t) · e jΩt dt
T2
T2
1T
e jΩt dt 1T
e jΩt
jΩ
T2
T2
P(Ω) e
jΩ T2 e
jΩ T2
jΩT
2j· sen Ω· T2
jΩT
sen π·f·Tπ f T
sinc f·T
b)- Dibujar aproximadamente el espectro de Ys(fa) a la salida del conversor de muestrasa deltas, indicando en este dibujo los valores de las frecuencias fa1 y fa2 querepresentan a fd1 y fd2 (0,2p).
c)- Dada la respuesta al impulso del bloque P, que aparece en la figura 3, donde T esel periodo de muestreo utilizado, calcular, mediante la transformada de Fourier, laexpresión de la respuesta en frecuencia P(fa.) de dicho bloque (0,6p).
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Figura 4. Respuesta en frecuencia del filtro paso bajo.
Espectro de la señal yp(t).
fc15,5MHz fc28MHz
P(Ω) |fa1 sinc fa1·T
sen π·fa1·Tπ·fa1·T
0,75
P(Ω) |fa2 sinc fa2·T
sen π·fa2·Tπ·fa2·T
0,51
d)- Calcular, a partir de la respuesta en frecuencia del bloque P del apartado anterior,la ganancia en amplitud de este bloque en los puntos del espectro cuya frecuenciaes fa1 y fa2 calculados en el apartado b, con el fin de conocer el efecto que tienedicho bloque sobre la amplitud de la señal ys(t) (0,4p).
e)- Dibujar el espectro aproximado de la señal yp(t) a la salida del bloque P, entre lafrecuencia 0 y la frecuencia de muestreo partiendo de los datos de Ys(Ω) vistos enel apartado b (0,3p).
f)- Suponiendo que podemos conseguir un filtro paso bajo de recuperación con unarespuesta en frecuencia como la de la figura 4, indica los valores que deben tenerlas frecuencias de corte fc1 y fc2 (0,3p).
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Figura 5. Conversión D/A mejorada con interpolación.
Espectro de la señal yi[n].
El sistema mejorado se presenta en la figura 5. Los siguientes apartados se referirán a esteesquema.
g)- Explicar que efecto produce el bloque “4" (el primero de la cadena) sobre lasmuestras de la secuencia y[n] (0,4p).
El bloque primero forma parte del interpolador y, en este caso coloca3 muestras de valor 0 entre cada muestra de y[n].
h)- Dibuja el espectro Yi(ejw’) de yi[n], a la entrada del filtro interpolador, entre lasfrecuencias digitales 0 y 1 Hz. e indica los valores de las frecuencias intermediassignificativas (0,5p).
Los valores de las frecuencias significativas son:
A 5,5
13,5 · 4
5,554
B 854
C 13,554
14
D 13,5 5,5
54
1954
E 13,5 8
54
21,554
F 2754
12
G 27 5,5
54
32,554
H 27 8
54
3554
I 40,554
34
Solución al examen Septiembre 2001
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Espectro de la señal yf[n].
Espectro de la señal ys[n].
A 5,5
13,5 · 4
5,554
K 40,5 8
54
48,554
J 40,5 5,5
54
4654
K 40,5 8
54
48,554
i)- Dibuja el espectro Yf(ejw’) de yf[n], a la salida del filtro interpolador, entre lasfrecuencias digitales 0 y 1 Hz. e indica los valores de las frecuencias intermediassignificativas (0,3p).
j)- ¿Qué frecuencia de muestreo Fs2 hemos de poner al conversor de muestras a deltas,para que este sistema mejorado funcione correctamente, y se obtenga a la salida laseñal recuperada que se desea? (0,3p)
Al interpolar por 4, estamos aumentando la frecuencia de muestreo dela secuencia a 13,5 MHz. · 4 = 54 MHz. Así el valor de Fs2 será Fs2 = 54 MHz.
k)- Dibujar el espectro de ys(t) a la salida del conversor de muestras a deltas, entre lafrecuencia 0 y la frecuencia de muestreo Fs2, indicando los valores de frecuenciamás significativos (0,3p).
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Figura 6. Respuesta al impulso del bloque P’.
fc15,5MHz fc248,5MHz
P(Ω) |f´a1 sinc f´a1·Ts2
sen π·f´a1·Ts2
π·f´a1·Ts2
0,98
P(Ω) |f´a2 sinc f´a2·Ts2
sen π·f´a2·Ts2
π·f´a2·Ts2
0,11
l)- Considerando la respuesta impulsional del bloque P’ según la figura 6, calcular, apartir de su respuesta en frecuencia, la ganancia en amplitud de este bloque en lospuntos del espectro cuyas frecuencias son el límite superior de la banda base, y ellímite inferior de la primera repetición (0,4p).
m)- Suponiendo que podemos conseguir un filtro paso bajo de recuperación con unarespuesta en frecuencia como la de la figura 4, indica los valores que deben tenerlas frecuencias fc1 y fc2 en el caso mejorado (0,3p).
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Figura 8. Banda de paso delfiltro
Figura 7. Espectro de laseñal a digitalizar
Figura S.6. Restricciones del sistema
P 2π(U t)1 1 / 75 0
0 1 / 925
2.- Necesitamos digitalizar una señal bidimensional cuyo espectro frecuencial abarca la zonade la figura 7 con anchos de banda Bx = 50Hz, y By = 625Hz. Pero no toda la informaciónes útil; sólo nos interesa quedarnos con las frecuencias del eje y por debajo de 300Hz y deleje x por debajo de 25 Hz. Así, después de digitalizar filtraremos mediante un filtrobidimensional ideal cuya banda de paso se representa en la figura 8.
a)- Considerando muestreo ortogonal y el filtrado posterior, calcular la matriz de muestreoP más eficiente posible. (1p)
El espectro de la señal muestreada debecumplir las restricciones de la figura S.6.De esta manera, y teniendo en cuentaque los datos de anchos de banda yfrecuencias de corte vienen en términosde frecuencia, la matriz de pulsaciones Uquedará como la siguiente:
U (U1,U2) 2π·75 00 925
La matriz de muestreo quedará así:
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b)- Indica lo que ocurre con las frecuencias altas de la señal original, entre 25Hz y 50Hzen el eje x y entre 300Hz y 625Hz en el eje y, a lo largo de este sistema de muestreo yfiltrado (0,5p).
En dichas frecuencias, durante el muestreo se produce solapamientoespectral; pero este solapamiento desaparece por la acción del filtro, deforma que a la salida del sistema se obtienen de forma limpia y sinsolapamiento los márgenes de frecuencia entre 0 y 25Hz en el eje x, y entre0 y 300Hz en el eje y.
c)- Calcular la densidad de muestreo para este caso. (0,5p)
1T
1
|Det[P]|
1175
· 1925
69375 Hz
3.- Explica por qué se utiliza, y en que consiste, la técnica de “compensación de movimiento”en compresión MPEG-2 intercuadro. (2p)
La técnica de compensación de movimiento compara pequeñas áreas de laimagen llamadas macrobloques de 256 píxeles. Esta técnica está motivadapor la existencia de movimiento en las secuencias de imágenes. En estassecuencias, es habitual que algunas zonas de la imagen se desplacen conrespecto al fotograma anterior. El sistema de compensación de movimiento,buscará el nuevo emplazamiento de estos macrobloques y codificará losvectores de desplazamiento.
El proceso de codificación del desplazamiento comienza por comparar elmacrobloque actual con el homólogo del fotograma anterior. Si estos no soniguales, buscará un macrobloque idéntico en la llamada zona de búsqueda. Silo encuentra, codificará los vectores de desplazamiento, y si no lo encuentrarealizará la comparación con el más parecido, codificando la diferencia y losvectores de movimiento. Si la diferencia es mayor de la establecida,abandonará la búsqueda presumiendo que el bloque no se encuentra ya en laimagen, y codificará el mismo con codificación intracuadro.
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4.- Explica las propiedades de la transformada discreta del coseno (DCT) bidimensional, quela hacen apropiada para la compresión de imágenes (1,5p).
- En la mayoría de las imágenes, al calcular su DCT se produce una grancompactación de la energía en los coeficientes de menor orden. Loscoeficientes de ordenes superiores son casi siempre nulos, y puedendespreciarse, salvo en imágenes que presentan una variación espacialanormal.- Si en la transformación de una imagen se suprimen los coeficientes demayor orden, al volver a calcular la transformada inversa se obtiene una muybuena aproximación a la imagen inicial.- Los coeficientes resultado de la DCT presentan entre sí una correlación muypequeña. Esto facilita que los coeficientes puedan tratarse aisladamente sinafectarse unos a otros.- Por la propiedad de separabilidad, la DCT bidimensional se puede calcularmediante DCTs unidimensionales, lo que la hacen fácil de manejar.- La DCT es una trasformada real, y por lo tanto, también más simple demanejar.
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