1 Kairoflisen1.1Nedenstående forudsætter at vi i teorien folder papiret præcist. I praksis vil der være en vis upræcision i foldningen af papiret hvilket kan gøre det konkrete eksempel upræcist. Her behandler vi dog det praktiske eksempel teoretisk.

Den stiplede linje er en vinkelhalveringslinje, da definitionen af en vinkelhalveringslinje er, at den deler en vinkel i to lige store dele. Ved at folde de to ben i vinklen i mod hinanden deler vi vinklen i to lige store dele. Ved en vinkelhalveringslinje vil den vinkelrette afstand til de to vinkelben også være lig hinanden. At dette gælder for denne specifikke linje i vinklen kan eftermåle på følgende måde:

Den stiplede linje er en midtnormal til linjen AB, da en midtnormal står vinkelret på et linjestykkes midtpunkt. Ved at folde punkt A mod punkt B deler vi linjen AB i to lige store stykker. Punktet hvor den stiplede linje skærer linjen AB må derfor være midtpunkt for linjen AB. Samtidig laver vi foldningen så linjestykket AB er kollineær med sig selv, den stiplede linje må derfor være derfor være vinkelret på AB.

1.2

1.3 Konstruktionsbeskrivelse1. Konstruer et kvadrat ved hjælp af kommandoen ”regulær polygon”.

Størrelsen på kvadratet er ligegyldigt. Dette er det kvadratiske papir som vi tager udgangspunkt i ved foldningen af kairoflisen.

2. Tegn en trekant gennem 3 af kvadratets hjørnepunkter. Denne trekant

repræsenterer det foldede papir efter det er foldet langs dets ene diagonal. Her er det trekanten AEC.

3. Tegn vinkelhalveringslinjen for ∠ A. Denne linje repræsentere den anden foldelinje.

4. Indsæt skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjen for vinklen ∠A og linjen EC (her punkt B) og tegn midtnormalen til linjen ABDenne linje repræsenterer den tredje foldelinje

5. Indsæt skæringspunktet mellem midtnormalen h og linjestykket AC (her punkt G) og tegn midtnormalen til linjestykket CGDenne linje repræsenterer den sidste foldelinje.

6. Indsæt skæringspunktet mellem midtnormalen i og linjen AC (her punkt H)Indsæt skæringspunktet mellem midtnormalen h og linjen AE (her punkt D)Tegn polygonet der udspændes af de 4 skæringspunkter og trekantens rette vinkel.Polygonet repræsenterer den færdige foldede kairoflise.

1.4 Redegørelse for at flisen har 4 ens sider

Da vi kan se, at kairoflisen (DEBHG) ikke har 5 ens vinkler ved vi, at der er tale om et irregulært polygon, der heller ikke har 5 ens sider. Mindst en af sidernes længde må altså være forskellige fra de andre.

Vi ved: ∠ E og ∠H er vinkelrette. ∠E fordi den er del af et kvadrat. ∠H fordi linjen

i er midtnormal til linjen CG. Linjerne k og l er har samme længde da linjen h er midtnormal til linjen

AB.

Heraf kan vi udlede at de to røde trekanter i polygonet er kongruente og derfor må de 4 sider DE, EB, BH og HG også have samme længde. Disse 4 sider er også sider i vores irregulære kairoflise.

E = 90°H = 90°

1.5 beregning af de resterende vinklerVi tager udgangspunkt i optegningen af de to kongruente trekanter i kairoflisen. Ud fra denne optegning kan vi hurtigt beregne de resterende vinkler.

De to røde kongruente trekanter er ligebenede (de er retvinklede og de to af siderne er lige lange).De resterende 2 vinkler i trekanterne må derfor være ens og 45°, da vinkelsummen i en trekant er 180°.

Den blå trekant GDB er kongruent til den grønne trekant GAD. Det kan konkluderes ud fra at linjen GD er midtnormal til linjen AB. ∠DBG i den blå trekant må derfor også være lig med vinklen ∠A i den grønne trekant GAD. ∠ A i den grønne trekant må nødvendigvis være 45°, da denne opstår, når vi deler kvadratets rette vinkel i to lige store dele.

Heraf får vi at:

∠B = 45°+ 45°+∠A = 135°

E = 90°H = 90°B = 135°G = 112,5°D = 112,5°

Den blå trekant GDB er ligebenet da dets grundlinje GD er midtnormal til linjen AB, som samtidig er vinkelhalveringslinje til vinklen DBG.Herudaf kan vi konkludere at de to vinkler GDB og BGD i den blå trekant er lige store og dermed også at ∠G = ∠D .Da vi ved at vinkelsummen i en femkant er 540° kan vi nu beregne de to vinkler ved følgende:

540° = ∠E + ∠B + ∠H + ∠G + ∠D⇕540°= 90°+135°+ 90°+2(∠G)⇕540°= 315°+2(∠G) ⇕225°=2(∠G)⇕112,5° = ∠G

1.6 Begrundelse for flisens anvendelse til tesselleringDefinitionen på tesselering er at det er en heldækkende opdeling af en plan i mindre polygoner. Hvis vi anvender flisen til tesselering skal planen altså være dækket af figuren uden mellemrum. Samtidig skal mønsteret af figuren kunne fortsættes i det uendelige. Man laver en tesselering ved

Dette kræver at polygonet kan parallelforskydes eller drejes

1.7 Faglig begrundelse for at arbejde med KairoflisenGør rede for de faglige begrundelser, læreren kan have for dette. Redegørelsen skal omfatte mål såvel som arbejdsmetoder.

Igennem foldningen af Kairoflisen kan eleverne opøve færdigheder i repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen. Især i kombination med andre repræsentationer som eksempelvis konstruktion efter en beskrivelse af Kairoflisen i GeoGebra, vil der være stor mulighed for at udvikle repræsentationskompetencen. Det foldede papir udgør en repræsentation af Kairoflisen. Det samme gør konstruktionen i GeoGebra. At sætte de to repræsentationer op mod hinanden kan deres forskellighed i anvendelse tydeliggøres. De forskellige repræsentationer kan samtidig understøtte læringen. Man kan sige at det foldede papir er en konkret repræsentation imens den konstruerede er en mere symbolsk repræsentation.

Ved at konstruere Kairoflisen i GeoGebra kan de forskellige foldelinjers geometriske forhold også synliggøres. Dette vil dog nok kræve en opfølgende samtale på klassen.Et fokus på repræsentationkompetencen leder også op til at have fokus på hjælpemiddelskompetencen. Dette skyldes at de to repræsentationer samtidig skabes ved hjælp af forskellige hjælpemidler, såsom saks og papir samt et geometrisk tegneprogram.

Til et sådant forløb kunne læringsmålene være:

Eleverne kan folde Kairoflisen efter den givne instruktionEleverne kan genkende de stumme, spidse og rette vinklerEleverne kan navngive polygonet

Eleverne kan tegne figuren op efter en beskrivelse i GeoGebraEleverne kender begreberne vinkelret, parallel, midtnormal og vinkelhalveringslinjeEleverne kender til at undersøge figurers egenskaber i GeoGebra

Det vil kun være anbefalingsværdigt at have fokus på 1-3 læringsmål ad gangen. Læringsmålene skal samtidigt kunne differentieres så, der tages højde for den enkelte elevs forudsætninger. Vi har taget udgangspunkt i de læringsmålene for 4.-6. klasse (emu.dk, 2014).

1 Problembehandlingskompetencen1.1 Forskellige repræsentationsformer som eleverne benytter i opgaven med problemstillingen.

1.1 Beskriv med eksempler fra videoen (undertekster til videoen) forskellige repræsentationsformer, som eleverne benytter i arbejdet med problemstillingen.   

For at elever skal kunne tilegne sig kompetencer i matematik, er det vigtig at de får mulighed for at stifte bekendtskab med forskellige

repræsentationsformer og relationen imellem dem. Det hjælper dem bl.a. til at danne konkrete, mentale billeder og i sidste ende muliggøre matematisk tænkning.

Mundtlig repræsentationsform:

Tid 2.44Elev 5: Vi tager to til hver først, og så kan vi tage denne her på andenplads.IS:     Ja, netop. Der har vi en måde. Og nu kan vi tænke os, at det der er mig, og det er dig, Ole, og                det er Peter. Hvem er så heldigst?

Her kommer der ord på matematikken.

Tabelrepræsentationsform:

Tid 4.29IS:    Nu er det en fordeling, og hvordan vil i skrive det, hvis i skulle skrive det ind i skemaet?Elev 4:  Tre, et, nej, to, to, tre.

Her bliver det systematiseret i et skema for at skabe overblik.

1.2 Andre kompetencer end problembehandlingskompetencen?                    1.2 Gør rede for, hvordan der i målbeskrivelsen for og gennemførelsen af aktiviteten lægges op til, at der arbejdes med andre kompetencer end problembehandlingskompetencen.

For at kunne redegøre for hvilke kompetencer, der i opgaven lægges op til, og hvad disse kompetencer indebærer, skal vi se på trinmålene i fællesmål.    I opgaven tages der udgangspunkt i en 4. kl., derfor skal vi se på hvilke færdigheder og kundskaber eleverne skal tilegne sig ifølge trinmålene for 6. kl.Det betyder samtidig, at elever ikke nødvendigvis skal have tilegnet sig alle kompetencerne efter 4. kl., men at de skal arbejde sig hen imod at tilegne sig kompetencerne løbende i 4., 5. og 6. klasse.

I aktiviteten i opgaven, er der i målbeskrivelsen og gennemførelsen lagt op til følgende kompetencer, udover problembehandlingskompetencen:

Tankegangskompetence - formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes.

o Eksempel:    Tid 5.42

103 IS    Og hvis i nu ser på den fordeling: en, fem, en, der er altså to enere og en femmer, hvor     mange forskellige måder kan vi have de samme tal på? Men fordelt på andre måder?

Modelleringskompetence - opstille, behandle, afkode og analysere enkle modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegninger, diagrammer.

o Eksempel:    Tid 4.2970 IS    Nu er det en fordeling, og hvordan vil i skrive det, hvis i skulle skrive det ind i skemaet?

Ræsonnementskompetence - udtænke og gennemføre uformelle og enkle formelle matematiske ræsonnementer og følge mundtlige og enkle skriftlige argumenter.

o Eksempel:    Tid 2.4445 IS    Ja, netop. Der har vi en måde. Og nu kan vi tænke os, at det der er mig, og det er dig,     Ole, og det er Peter. Hvem er så heldigst?

Repræsentationskompetence - bruge uformelle og formelle repræsentationsformer og forstå deres indbyrdes forbindelser.

o Eksempel:    S. 17 af 22 sider - Problemløsning del 1Linie 11: Elevene jobber tre og tre for å løse oppgaven, og dokumenterer arbeidet i form av en

tabell, tekst eller tegninger. Deretter samles alle i lyttekrok hvor de får presentere

løsningene sine. Lærer stiller nye og relevante spørgsmål, og hjelper elevene å oppdage

generelle matematiske sammenhenger som kan brukes på lignende problemstillinger.

Kommunikationskompetence - sætte sig ind i og udtrykke sig såvel mundtligt som skriftligt om fremgangsmåder og løsninger i forbindelse med matematiske problemstillinger.

o Eksempel:    Tid 7.34135 IS    Hvordan kan det være, at der er mange flere forskellige måder, når der er en ener, en     toer og en firer?

1.3 Strategier læreren anvender1.3 Beskriv de strategier læreren anvender i denne dialog for at “eleverne skal trænes i at systematisere deres tanker”, som det er formuleret i målet for aktiviteten.

I en dialog mellem lærer og elever, kan der være anvendt mange forskellige strategier, alt sammen metoder til at øge elevernes læring eller simplificere

en problemstilling, for i sidste ende at øge elevernes forståelse for problemstillingen.Læreren i denne opgave anvender i høj grad strategien “learning by talking”. Hun stiller åbne spørgsmål til eleverne, spørgsmål der har mere end et svar. Disse spørgsmål giver anledning til at eleverne skal sprogliggøre hvad de tænker. De skal argumentere og være aktivt involverende for netop at skabe system i deres tanker omkring problemstillingen.Eks.:Tid 2.4447 Elev 5:     Det er mig.48 IS         Hvorfor det?49 Elev 5:     For jeg har fået en mere end jer.

Samtidig anvender læreren en strategi om at eleverne skal starte med at gætte og prøve sig frem. Dette gøres for at øge forståelsen af problemet. Herefter bliver eleverne hjulpet i retning af se mønstre og systemer på baggrund af hvad de har gættet sig frem til. Der er altså progression i opgaven og det der først kunne ses som tilfældig, prøven sig frem, bliver erstattet af mere direkte løsningsstrategier.Eks. Tid 10.31181 IS    Og nu ved i, at hvis i får sådan en opgave en anden gang, så har i fundet en regel:     Hvis der er to ens og en forskellig, så er der tre måder, og hvis der er tre forskellige, så findes    der seks måder.    Det kan være, man får brug for det i andre opgaver.

Læreren fører også dialog om resultatet.Eks.Tid 5.42100 IS    Nu er jeg vældig spændt på, om der er nogen, som har har fundet alle måderne.

Her lægger læreren op til dialog omkring resultatet. Der er altså ikke kun et svar på opgaven, rigtig eller forkert, men flere svar afhængig af hvilke tanker eleverne har gjort sig.

Samtidig anerkender hun elevernes svar, det giver lysten til at bidrage fra elevernes side og det fremmer den gensidige forståelse.Eks. Tid 5.42110 IS    Ja. Så det du gør, det er at ordne det, så hver af de tre får fem hver sin gang. Er der så flere    måder at fordele en, en og fem?Elev 8    Nej.IS    Hvorfor ikke det?

Elev 8    Fordi vi har brugt dem.IS    Rigtig godt!

1.4 Analyse efter ICM-modellen1.4 Analyser dialogen mellem læreren og eleverne ud fra ICM-modellen fra artiklen af Helle Alrø i forberedelsesmaterialet.

Læreren udfører helt klart dialogen udfra ICM-modellen. Hun berører alle punkterne, som er:

Kontakte - tune ind - samklang og resonans Eks.

    1 IS    Ja, i dag skal vi arbejde lidt med et par forskellige problemløsningsopgaver. Og        der er vigtigt at i kan samarbejde, så i skal arbejde sammen tre og tre.

Hun skaber kontakt, hun gør klart hvad eleverne skal og hvad hun forventer. Problemløsningsopgaver og samarbejde.

Opdage - spørge ind til tankerne om opgaven. Eks.

7 IS    Seksten stykker, som er her i dag. Kan vi så dele i tre og tre?

Hun starter med et spørgsmål inden opgaven, som alligevel har noget med problem-

        løsningen at gøre. Et hjælpespørgsmål, som sætter tankerne igang hos eleverne og giver         dem en indledning til hvad de skal i gang med, uden at de ved det.

Identificere - spørge ind - aktiv lytning. Eks.

        20 IS    For den opgave i får, handler om tre børn, som skal dele bolsjer.            Hvor mange bolsjer er der her?            Sig du det, Peter!        Elev 4    Syv.        IS    Måtte du tælle det nøjagtigt, eller så du det bare?        Elev 4    Ja. Der lå bare fire og tre.        IS    Det, opgaven går ud på, det er at prøve at fordele de syv bolsjer.

Læreren forklare opgaven, samtidig fører hun en dialog med eleverne for at involvere

        dem og lytter på hvad de svarer. De identificere opgaven sammen. Tænke højt - afklarende spørgsmål.

Eks.    98 IS    Nu skal vi samles i lyttekrogen, og så skal jeg høre, hvad i har fundet ud af.

Her invitere læreren eleverne ned i lyttekrogen, så de kan italesætte hvad de har tænkt.

Reformulere - sprogliggøre - erkendelse

Eks.    108 Elev 8 Den ene gang er det sådan, og den anden gang er det sådan, og tredje gang         bliver det sådan.    IS    Ja. Så det du gør, det er at ordne det, så hver af de tre får fem hver sin gang.

Læreren reformulere hvad eleven siger, for at sprogliggøre over for eleven selv og de andre hvad der menes og for at skabe en erkendelse.

Udfordre - medspil og modspil der gør en forskel - refleksionsproces Eks.

120 IS    Hvordan vil i tænke videre efter det? Læreren udfordrer eleverne til at tænke videre i forløbet, hun udfordrer

til endnu mere        refleksion.

Forhandle - refleksion af meninger - forskellige perspektiver. Eks.

    132 IS    Er der nogen, som synes, at den der talkombination skiller sig ud fra dem,     vi allerede har kigget på?    elev 10     Den kan laves på seks forskellige måder.

Her lader læreren eleverne erfarer, at selv om de faktisk har fundet en regel for problemstillingen med to ens og en forskellig, er der en anden regel hvis der er tre forskellige. Der kommer altså et andet perspektiv i spil.

Evaluere - hvad har processen bibragt af nytænkning. Eks.

    181 IS    Og nu ved i, at hvis i får sådan en opgave en anden gang, så har i fundet en     regel: Hvis der er to ens og en forskellig, så er der tre måder, og hvis der er tre

forskellige, så findes der seks måder. Her tager lærer og elever op til revision, hvad processen har bibragt af

nytænkning.

At udfører en dialog efter ICM-modellen, gør at der sker en kommunikativ handling mellem lærer og elever. Det fremmer den gensidige forståelse for en problemstilling og det gør eleverne til aktivt involverende som skal tage ansva

3 3 1

313

4

2

1

2 1

2

1 4

4

3 Bolsjer3.1 Manglende muligheder

3-2 Vis systematisk fremgangsmådeVis en systematisk fremgangsmåde, der sikrer, at alle fordelinger bliver medtaget.

Tælletræet er en god og anerkendt metode til systematisk opstilling af kombinationer (John Schou, 2013, s. 147).

3.3 Fordeling af 7 bolsjer blandt 4 børnFremstil en tilsvarende tabel, der viser fordelingen af syv bolsjer blandt fire børn, når alle stadig skal have mindst et bolsje.

Fordeling Antal muligheder1114 41123 121222 4

1

1 52 43 34 25 1

2

1 42 33 24 1

31 32 23 1

41 22 1

5 1 1

3.4 Forklar hvorfor argumentation ikke er gyldigHvis otte bolsjer skal fordeles mellem tre børn, kunne man forestillende sig følgende beregningsmetode:Vi har i forvejen fordelt syv af bolsjerne, og det gav 15 fordelinger. For hver af disse 15 fordelinger kan det ekstra bolsje gives til Petter, Margreta eller Magnus, så der er i alt 3*15 = 45 muligheder.

Forklar, hvorfor denne argumentation ikke er gyldig.

Argumentationen er ikke gyldig, da vi tæller nogle af de samme kombinationer flere gange. Eksempelvis bliver kombinationen: 124 til 224, hvis vi giver det ekstra bolsje til det første barn og kombinationen 214 bliver også til 224, hvis vi giver det ekstra bolsje til det barn nr. 2.

3.5 Gennemfør og begrund gyldighedEn anden argumentation, der benytter de 15 fordelinger, der allerede er fundet, er:I hver af de 15 fordelinger giver vi det ekstra bolsje til Petter, så han får mindst to. Nu mangler vi blot at tilføje de fordelinger, hvor Petter kun får et bolsje. Det giver alle de mulige fordelinger af otte bolsjer.Gennemfør beregningen, og begrund, at denne argumentation er gyldig.

1

1

1 42 33 24 1

21 32 23 1

31 22 1

4 1 1

2

11 32 23 1

21 22 1

3 1 1

31

1 22 1

2 1 14 1 1 1

Antal kombinationer hvor Petter får ét bolsje:

Antal kombinationer i alt: 15+6=21Denne argumentation holder, da antallet af kombinationer, hvor Petter får 2 i situationen med 8 bolsjer svarer til antallet af kombinationer, hvor Petter får 1 i situationen med 8.

Fordi vi har et bolsje mere har vi også en kombinationsmulighed mere hver gang Petter får 1,2,3,4,5 og 6 bolsjer.

3.6Skitser situationen, og begrund, at antallet af måder at fordele otte bolsjer mellem tre børn, kan beregnes ved K(7,2).

I denne situation skal vi udtrække to bunker ud af 7 bolsjer. Vi trækker kun to bunker, da den sidste bunke bliver givet af de første to bunker. Vi har mulighed for at lave vores to bunker ud af 7 bolsjer, da der minimum skal være et bolsje i den sidste bunke. En sådan situation kaldes en uordnet stikprøve uden tilbagelægning (samfundslitteratur.dk, s. 15).

Hvis vi placerer vores bolsjer på en række, hvor vi skal placere to skillevægge i mellem dem, kan vi se at trækningerne af vores bunker symboliseres af delelinjerne – vi deler rækken to gange. Samtidig viser antallet af mellemrum imellem bolsjerne, hvor delelinjerne kan placeres – det giver 7 mellemrum. Ved kun at placere vores delelinjer i mellemrummene sørger vi igen for, at der altid er mindst ét bolsje i hver bunke.

1

1 62 53 44 35 26 1

Vi kan finde antallet af kombinationer ved en uordnet stikprøve på følgende måde:

K (n , r )= n!(n−r )!∗r !

Hvor n er antallet af muligheder vi trække vores bunke af og r er antallet af bunker vi trækker.Dette giver følgende:

K (7,2 )= 7 !(7−2 )!∗2 !

K (7,2 )=5040240

K (7,2 )=21 kombinationer

Litteraturlisteemu.dk. (2014). Geometri og måling 4.-6. klasse. Hentet fra Geometri og

måling 4.-6. klasse: http://www.emu.dk/omraade/gsk-l%C3%A6rer/ffm/matematik/4-6-klasse/geometri-og-m%C3%A5ling

emu.dk. (2014). Vejledning for faget matematik. Hentet fra Vejledning for faget matematik: http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik#afsnit-4-kompetenceomraader-i-matematik

John Schou, K. J. (2013). Matematik for lærerstuderende - Stokastik 1.-10. klasse. Frederiksberg: Samfundlitteratur.

samfundslitteratur.dk. (u.d.). Stokastik 1.-10. klasse Supplerende materialer - Kombinatorik-kapitel. Hentet fra Stokastik 1.-10. klasse Supplerende materialer - Kombinatorik-kapitel: http://samfundslitteratur.dk/files/samfundslitteratur.dk/95059_kombinatorik_3k.pdf