ProjektTema:Vijat e gradës së dytë

Punoi:Redion Ballaj

Objektivat:

- Të sjellim histori mbi vijat e gradës

së dytë ose matematicienët që i

studiuan

- Të bëjmë një përmbledhje të

parametrave dhe vetive

- Të parashtrojmë situata

problemore dhe ti zgjidhim ato

- Të zgjidhim situata problemore

ndryshe nga ato të librit

RrethiBashkesia e pikave qe kane largese te njejte nga nje pike fikse qe quhet qender.

MQ=const

Ekuacioni i pergjithshem (X-X0)2+(Y-Y0)2=R2

Q=(X0;Y0)

R-rrezja

Rrethi me qender (0;0) X2+Y2=R2

Rrethi tagent me OX (X-X0)2+(Y-R)2=R2

Rrethi tagent me OY (X-R)2+(Y-Y)2=R2

Rrethi tagent me OX dhe OY (X-R)2+(Y-R)2=R2

Kushti i tagences (k2+1)R2=t2

Ekuacioni i drejtezes tagente ne nje pike te rrethit XX1+YY1=R2

Ekuacioni i pingules ne nje pike te dhene te rrethit Y= Y 1X1

X

1.Te shkruhet ekuacioni i rrethit me qender  dhe rreze  .

2.Ekuacioni  te shkruhet ne forme normale.

3.Ekuacioni  te shkruhet ne forme normale.

4.Ekuacioni  te shkruhet ne forme normale.

5.Te shkruhet ekuacioni i rrethit qe kalon neper pikat  .

6.Te shkruhet ekuacioni i rrethit me rreze  qendra e te cilit ndodhet ne

drejtezen   dhe takon drejtezen 

7.Te gjendet ekuacioni i rrethit me qender ne drejtezen   dhe qe takon drejtezat   dhe  .

8.Te shkruhet ekuacioni i rrethit i cili takon te dy boshtet kordinative dhe ka qender ne drejtezen 

9.Te shkruhet ekuacioni i rrethit te jashtashkruar te trekendeshit me brinje qe ju takojne drejtezave  .

10.Shkruani ekuacionin e rrethit me rreze  qe kalon neper piken  dhe takon drejtezen  .

ElipsiBashkesia e pikave qe kane shumen e largesave nga dy pika fikse te quajtura vatra konstante.

MF1+MF2=2a

Ekuacioni i pergjithshem X2

a2 + Y 2

b2=1

Parametrat e elipsit Boshti i madh 2a

Boshti i vogel 2b

Largesa mes vatrave 2c

c2=a2-b2

Jashteqendersia e=ca

<1

Ekuacioni i tagentes ne nje pike te dhene XX1a2

+ YY 1b2

=1

Kushti i tagences a2k2+b2=t2

A2a2+B2b2=C2

Rrezet vatrore r1=a+eX

r2=a-eX

1.Te shkruhet ekuacioni i elipses nese kalon neper pikat  dhe 

2.Te gjendet ekcentriciteti i elipses ,nese largesa gjysmevatrore eshte e barabarte me mesin aritmetik te dy gjysmeboshteve.

3.Pikat  plotesojne ekuacionin  .Te gjendet ekuacioni i lakores .

Keto ishin problema kur qendra e elipses eshte pika 

4.Te tregohet se ekuacioni i elipses me qender piken  me gjysmeboshte  dhe   

eshte 

5.Te caktohet pozita reciproke e drejtezes   dhe elipses 

6.Te shkruhet ekuacioni i tangjentes se elipses  ne piken e saj 

7.Te shkruhen ekuacionet e tangjentave te elipses   qe kaloje neper

piken 

8.Te llogaritet masa e kendit qe formojne tangjentete e elipses   qe kalojne neper piken e saj me abshise  .

9.Te tregohet se elipsa eshte bashkesia e pikave te rrafshit ,largesa te te cilave prej dy pikave te fiksuara eshte madhesi konstante.

10.Nese P i takon vise se elipses ,  gjeni ekuacionin e tangjentes

11.Le te jete   kur paraqet ky ekuacion elips.

12.Tregoni se   nuk eshte ekuacion i elipses.

13.Te shkruhet ekuacioni i elipses me kordinata polare.

14.Eshte dhene ekuacioni kanonik i elipses   .GJeni ekuacionin polar te saj.

15.Te shkruhet ekuacioni kanonik i elipses   me kordinata karteziane kenddrejta

16.Shkruani ekuacionin kanonik te elipses 

17Gjeni kendin qe ai diameter i elipses formon me boshtin fokal:  gjatesia e te cilit eshte 10 njesi.

Hiperbola

Bashkesia e pikave qe kane ndryshesen mes largesave nga dy pika fikse te quajtura vatra konstante.

MF1-MF2=2a

Ekuacioni i pergjithshem X2

a2 - Y 2

b2=1

Parametrat e hiperboles Boshti real 2a

Boshti imagjinar 2b

Largesa mes vatrave 2c

c2=a2 + b2

Jashteqendersia e=ca

>1

Ekuacioni i tagentes ne nje pike te dhene XX1a2

+ YY 1b2

=1

Kushti i tagences a2k2-b2=t2

A2a2-B2b2=C2

Rrezet vatrore r1=a+eX

r2=eX-a

1.Te gjendet ekscentricitetin i hiperboles  .

2.Shkruani ekuacionin e hiperboles me vatra pikat  dhe per kulme pikat  .

3.Shqyrtoni poziten reciproke ndermjet drejtezes   dhe hiperboles 

4.Te tregohet se ekuacioni i tangjentes sehiperboles 

ne piken e saj  eshte 

5.Shqyrtoni poziten reciproke te pikes  ndaj hiperboles  ,dhe nese nuk eshte pike e brenshme te shkruhet ekuacioni i saj.

6.Shqyrtoni poziten reciproke te pikes  ndaj hiperboles  ,dhe nese nuk

eshte pike e brenshme te shkruhet ekuacioni i saj.

7.Te tregohet se   eshte vlere konstante nese  eshte pike e paraboles vatra   ndersa

direktrise drejtezen   e   projeksioni normal i pikes  ne direktrise.

8.Shkruani ekuacionin e hiperboles qe per asimptota ka drejtezat   dhe drejteza   eshte tangjente e saj.

9.Te tregohet se hiperbola eshte bashkesia e pikave te rrafshit ,ndryshimi i largesave te te cilave prej dy pikave te fiksuara eshte madhesi konstante.

10.Nese P i takon vise se hiperboles ,  gjeni ekuacionin e tangjentes

11.Le te jete   kur paraqet ky ekuacion hiperbol.

12.Tregoni se   eshte ekuacion i hiperboles .

13.Neper piken   terheqni tangjentat e hiperboles ,nese ky ekuacion eshte i hiperboles.

14.Te shkruhet ekuacioni i hiperboles me kordinata polare.

15.Eshte dhene ekuacioni kanonik i hiperboles   .GJeni ekuacionin polar te saj.

16.Nese ekuacioni   paraqet hiperbol,cfar vlerash duhet te kene koeficientet qe hiperbola te jete barabrinjese

17.Tregoni se ekuacioni   paraqet hiperbol.

18.Caktoni qendren e hiperboles 

19.Caktoni ekuacionet e boshteve te hiperboles 

20.Caktoni gjatesite e boshteve te hiperboles 

21.Gjeni ekuacionet e asimtotave te hiperboles 

22.Per cilat vlera te m-se ekuacioni   paraqet hiperbole barabrinjese

23.Per cfar vlere te   ekuacioni   paraqet hiperbol.

24.Te tregohet se qendrat e hiperbolave   ku m numer

real i takojne nje drejteze.Cilat nga keto hiperbola ka qender piken 

25.Gjeni asimptotat e hiperboles   ku m numer real dhe

qender 

26.Te shkruhet ekuacioni i polares se hiperboles 

27.Gjeni gjatesite e boshteve te hiperboles 

28.Nese ekuacioni   eshte ekuacion i hiperboles.Gjeni asimptotat e kesaj hiperboleje 

29.Gjeni asimptotat e hiperboles  .

ParabolaBashkesia e pikave qe kane largesine nga vatra te barabarte me largesine nga drejtuesja

MF=MH

Ekuacioni i paraboles Simetrike sipas OY Y2=2pX

Simetrike sipas OX X2=2pY

Parametrat e paraboles Parametri i paraboles p=FD

Vatra F=p2

Drejtuesja X=-p2

Y=-p2

Kushti i tagences Simetrike sipas OY p=2kt

Simetrike sipas OX p=2t

k2

Ekuacioni i tagentes ne nje pike te dhene Simetrike sipas OY YY1=p(X+X1)

Simetrike sipas OX XX1=p(Y+Y1)

1.Shkruani ekuacionin e paraboles ,kulmi i se ciles eshte origjina  ndersa vatra 

2.Shqyrtoni poziten reciproke te dejtezes  dhe paraboles   

3.Shqyrtoni poziten reciproke te dejtezes   dhe paraboles

4.Shqyrtoni poziten reciproke te dejtezes  dhe paraboles

5.Eshte dhene parabola   te tregohet se kusht i nevojshem dhe i mjaftueshem qe

drejteza te jete tangjente e paraboles se dhene eshte qe 

6.Shkruajeni ekuacionin e paraboles me kordinata polare.

7.Kur paraqet ekuacioni   parabole.

8.Nese pika   i takon paraboles   te shkruhet ekuacioni i tangjentes neper ate pike.

9.Nese pika   nuk i takon paraboles   te shkruhet ekuacionin e polares neper ate pike.

10.Caktoni poziten e paraboles   ndaj sistemit fillestar te kordinatave kendderjta.