10.klase

Liepājas A.Puškina 2.vidusskolaOlga Maļkova

VIRKNESпоследовательности

ESF projekta. Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002

Vecums (gadi)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Augums (cm) 54 76 105 123 136 152 168 178 184

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

2261

2260

2259

2258

2257

2256

2256

2255

2254

2253

2251

2250

Latvijas iedzīvotāju skaits 2009.g., tūkst.

Bērna auguma dinamika

Skaitļu virkne - Числовая последовательность это

, функция заданная на множестве натуральных чисел.

an= f(n)

a1; a2; a3; … an; … n - arguments - indekss (norāda virknes locekļa kārtas

numuru)

virknes locekļi – funkcijas vērtības f(1); f(2); f(3); ... f(n); ...

an – virknes vispārīgais loceklis jeb n –tais loceklis

NedēļasNedēļasdienasdienas

MēnešuMēnešunosaukuminosaukumi

KlasesKlasesskolāskolā

BankasBankasrēķinurēķinunumurinumuri

EksperimentuEksperimenturezultātirezultāti

Virknes sastāda tādus dabas elementus, kurus var sanumurēt.

No vēsturesSkaitļu virknes jēdziens radās un attīstījās ilgi

pirms jēdziena funkcijas rašanās. Bezgalīgu skaitļu virkņu piemēri, kuri pazīstami jau senatnē:

1, 2, 3, 4, 5 ... - naturālo skaitļu virkne;2, 4, 6, 8, 10 ... - pāru skaitļu virkne;1, 3, 5, 7, 9 ... - nepāru skaitļu virkne;1, 4, 9, 16, 25 ... – naturālo skaitļu kvadrātu virkne;2, 3, 5, 7, 11 ... - pirmskaitļu virkne

- skaitļu, kas apgriezti naturāliem, virkne

Virknes uzdošanas veidi

Aprakstoši, t.i. ar vārdiem.Ar tabulas palīdzību.Grafiski.Analītiski ar vispārīgā (jeb n-tā) locekļa

formulu.Rekurenti ar rekurences formulu (no vārda

recursio – atgriezties) – formula, kura izsaka jebkuru virknes locekli, sākot no kāda konkrēta, ar iepriekšējiem.

Piemērs (yn): naturālie skaitļi, kuri dalās ar 3.

(yn): 3; 6; 9; 12; 15 ...

yn = 3n

yn = yn-1 + 3 y1 = 3

n 1 2 3 4 5 6

(yn) 3 6 9 12 15 16

Fibonači skaitļu virkne

« »Задача из Книги абака (1202.g.)

Некто поместил пару кроликов в новом, месте огороженном со всех сторон

, , стеной чтобы узнать сколько пар кроликов родится при этом втечение

, , года если природа кроликовтакова что через месяц пара кроликов производит

, на свет другую пару а рождают кролики со второго месяца после своего

.рождения

Fibonači virkneSkaitļu virkni, kura veidojas pierakstot trušu pāru skaitu katrā paaudzē,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Katrs nākamais virknes loceklis ir divu iepriekšējo virknes locekļu summa.

dēvē par Fibonači virkni.

Leonardo Fibonači ( Leonardo Pizano 1170-1250)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Fibonači skaitļu virkne

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

F1=1, F2=1, Fn+1= Fn+ Fn-1

Fibonači spirāle

Винтовое расположение

атомов вкристаллах

Молекулы ДНК -

скручены вспираль

По спирали происходит

рост тканей в стволах

деревьев Спирально

закручиваютс я усики

растений

По спирали расположены

семечки вподсолнухе

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Сосноваяшишка

8 13и13 21и

Ракушка21

Подсолнух34 55и55 89и

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Гигантскаяморскаячерепаха

5 пластин в центре8 – по краям

21 – на периферийнойкайме

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . .и т д1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . .и т д

55 роговых пластин

Крокодил

Гадюка

55 темныхпятен144 позвонка

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Комар

3 парыног5 усиков

8 сегментов( )брюшко

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Стрекоза

3 части корпуса( , , голова грудь

)брюшко5 сегментов

( )брюшко8 частей хвоста

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

13 – число паррёбер

21 – пара зубов

34 парызубов233 парызубов

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

55 – число позвонков

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

1 – , , . .туловище голова сердце и т д

2 – , , , руки ноги глаза почки

3 , , Из частей состоят ноги руки пальцырук

5 пальцев на руках и ногах

8 состав руки вместе с пальцами

12 пар рёбер

≈ 32 – число зубов

34 - позвонка

≈ 233 – общее число костей скелета

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

« », « », Прощанье Предчувствие« …», « …»Пью за здравиеМери Заклинанье

88 8,5 3,5 ,53

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

« …»В крови горит огоньжеланий« , , …»Я вас любил любовь ещё быть может« , , ! Пора мой друг пора Покоя сердце

…»просит« »Сонет« »Поэту« »Мадонна« »Няне« , »Храни меня мой талисман« »Во глубине сибирских руд« Я памятник себе воздвиг

…»нерукотворный« »Зимний вечер« »Анчар

8, 13, 21, 34 строки

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Virkņu monotonitāte

Virkni sauc par augošu (dilstošu), ja katrs nākamais tās loceklis ir lielāks (mazāks) par iepriekšējo, t.i.

an+1 > an katram

( an+1 < an )

Augošās un dilstošās virknes sauc arī par monotonām virknēm.

Virkni, kuras visi locekļi ir vienādi, sauc par nemainīgu jeb konstantu.

an = c (c - konstanta)

Virkni, kuras katri divi locekļi ir ar dažādām zīmēm, sauc par maiņzīmju virkni.

Galīgas un bezgalīgas virknes

Virkni, kuras locekļu skaits ir ierobežots, sauc par galīgu.

Piem.: Divciparu pirmskaitļu virkne.

Virkni, kuras locekļu skaits ir neierobežots, sauc par bezgalīgu.

Piem.: Nepāru skaitļu virkne.