UVOD

UVOD1. Strelac gaa u cilj sve dok ga ne pogodi 2 puta ili promai 3 puta. Opisati skup ishoda i dogaaje A u prvom gaanju postignut je pogodak, B bilo je 2 gaanja i C bilo je 3 promaaja. Opisati meusobne odnose dogaaja 1) A i B, 2) B i C.2. Novi se baca sve dok ista strana ne padne 2 puta za redom. Registruje se niz dobijenih pisama (P) i glava (G). Opisati skup ishoda i dogaaje A u 4. bacanju registrovana je G, B u 1. bacanju je P, C broj G je vei od broja P, D P je palo 3 puta i E P je palo 3 puta od ega jednom u prvom bacanju. Izraziti dogaaj E pomou dogaaja B i D.

3. Na sluajan nain se biraju 2 broja iz intervala [0,1]. Kolka je verovatnoa da je njihov zbir manji od 1, a proizvod vei od 2/9?

4. Dve osobe treba da se nau na nekom mestu izmeu 9h i 10h. Dogovorile su se da svaka doe bilo kad izmeu 9h i 10h, eka 20min, a zatim odlazi ako se druga osoba nije pojavila. Nai verovatnou da e se ove dve osobe sresti.5. ta je verovatnije: da se u 4 bacanja jedne kockice pojavi bar jednom estica ili da se u 24 bacanja dve kockice bar jednom pojave 2 estice?

6. Iz pila od 52 karte se na sluajan nain izvlae 4: 1) sa vraanjem, 2) bez vraanja. Kolika je verovatnoa da su sve 4 karte razliitih boja?

7. Deset proizvoda treba zapakovati u 4 kutije. Nai verovatnou da e tano 2 kutije ostati prazne.

8. Primljen je sluajan bajt tj. niz od 8 bitova. Pretpostavlja se da su svi mogui nizovi jednakoverovatni. Kolika je verovatnoa: 1) da je primljen bajt 11111111, 2) da je , 3) da su u nizu bar dve jedinice? 9. Iz kutije sa n belih i m crnih kuglica izvlai se na sluajan nain k kuglica. 1) Nai

verovatnou da se meu k izvuenih kuglica nalazi tano r belih. 2) Koristei 1)

izraunati sumu

10. Dokazati: 1) , 2) .

USLOVNA VEROVATNOA, NEZAVISNOST DOGAAJA

1. Iz pila od 32 karte se na sluajan nain bira jedna karta. Neka je A dogaaj da je izvuena karta kec, a B dogaaj da je izvuena karta herc. Da li su ovi dogaaji nezavisni?2. Iz pila od 32 karte se na sluajan nain biraju dve karte. Neka je A dogaaj da je

od izvuenih karata bar jedan kec, a B dogaaj da je od izvuena karata bar jedan herc. Da li su ovi dogaaji nezavisni? (Zadatak uraditi za sluajeve kad je biranje karata sa vraanjem i bez vraanja.) 3. Neka je A dogaaj da je prilikom bacanja dve kockice na prvoj pala etvorka, B dogaaj da je na drugoj kockici pala petica, a C dogaaj da je zbir dobijenih brojeva 7. Da li su ovi dogaaji nezavisni po parovima? A u celini?4. Strelci A, B i C gaaju po jednom u cilj. Poznato je da je verovatnoa pogotka za strelca A 4/5, za strelca B 3/4, a za strelca C 2/3. Ako su ukupno postigli jedan pogodak, nai verovatnou da je strelac C promaio.5. Tri kutije sadre po 10 proizvoda. U prvoj ima 4 neispravna, u drugoj 2, a u treoj

5. Prvo se na sluajan nain bira kutija, a zatim se iz nje uzima sluajan uzorak od 3 proizvoda. Odrediti verovatnou da uzorak sadri 2 neispravna proizvoda. 6. Na stovaritu je 30% televizora iz fabrike A, 30% iz fabrike B i 40% iz fabrike C. Fabrike A, B i C prave proseno po 5%, 2% i 1% karta. 1) Ako je na sluajan

nain izabran jedan televizor sa stovarita, nai verovatnou da je on neispravan. 2) Ako je izabrani televizor neispravan, nai verovatnou da je proizveden u fabrici A.

7. Verovatnoa da e student A reiti jedan zadatak iznosi 0,7, a da e ga reiti student B 0,9. 1) Nai verovatnou da e zadatak biti reen, ako ga reavaju oba studenta, nezavisno jedan od drugog. 2) Ako je zadatak reen, nai verovatnou da ga je reio student B.

8. Na testu je na jedno pitanje ponueno 5 odgovora. Kandidat ili zna odgovor (sa verovatnoom p), ili sluajno bira jedan od 5 datih. Ako je kandidat tano odgovorio, nai verovatnou da je znao odgovor.9. U kutiji su 3 kuglice od kojih svaka moe biti bela ili crna. Sve mogue pretpostavke o sadraju kutije su jednakoverovatne. Iz kutije se 4 puta, sa vraanjem, bira kuglica. Ispostavlja se da je tri puta izabrana bela, a jednom crna kuglica. Koji sadraj kutije je najverovatniji?10. Test kontrole kvaliteta otkriva neispravan proizvod sa verovatnoom 0,99 i pogreno odbacuje ispravan proizvod sa verovatnoom 0,02. Ako je proseno 0,5% proizvoda neispravno, nai verovatnou da je proizvod koji je proao test u stvari neispravan i verovatnou da je proizvod koji je na testu odbaen, neispravan.

SLUAJNE PROMENLJIVE1. Novi sa osobinom da padne pismo u 1/3 sluajeva bacanja baca se n puta. Koji je najverovatniji broj pisama ako je: 1) n=500, 2) n=700?2. Iz kutije sa 3 crne i 5 belih kuglica izvlae se 2: 1) bez vraanja, 2) sa

vraanjem. Neka je sluajna promenljiva X broj izvuenih belih kuglica.

3. Nai zakon raspodele i funkciju raspodele sluajne promenljive X. 4. Iz kutije sa 4 kuglice numerisane sa 1, 2, 3 i 4 izvlae se jedna po jedna (na

sluajan nain, bez vraanja) sve dok se ne izvue kuglica sa neparnim brojem.

Neka je sluajna promenljiva X zbir izvuenih brojeva, a Y broj izvlaenja.

Definisati skup ishoda, pa nai zakone raspodele sluajnog vektora (X, Y) i

sluajnih promenljivih X i Y. Da li su X i Y nezavisne? 4. Iz skupa {1, 2, . . ., n} gde je n2, na sluajan nain biraju se 2 broja, X i Y. Neka je U=max {X, Y}, a V=|XY|. Nai zakone raspodele sluajnih promenljivih U i V. Nai i verovatnou da je 0,41,84.5. Dogaaj A se u eksperimentu realizuje sa verovatnoom p (00). Nai raspodelu sluajne promenljive X+Y. 14. Neka je X sluajna promenljiva sa Exp(), (,>0). Nai raspodelu sluajne promenljive Y=[X]. 15. Nai matematiko oekivanje i varijansu sluajne promenljive X, ako:

1) X~Unif(a,b), 2) X ima geometrijsku raspodelu sa verovatnoom uspeha p, 3) X ima negativnu binomnu raspodelu sa verovatnoom uspeha p. 16. Zajedniki zakon raspodele sluajnog vektora (X, Y) dat je sa:

Y

X 0 1 3

0 1/9 2/9 0

1 0 1/9 2/9

3 2/9 0 1/9

Nai: 1) EX, EY i E(XY), 2) (X, Y). Da li su X i Y nezavisne?17. Sluajna promenljiva X ima normalnu raspodelu . Nai .18. Neka sluajna promenljiva X ima raspodelu, a Y raspodelu.

Nai (X, X+Y ). 19. Neka su nezavisne sluajne promenljive sa Exp(),

raspodelom ( >0). Nai matematiko oekivanje druge po redu sluajne

promenljive u varijacionom nizu.20. Neka su nezavisne sluajne promenljive sa Unif(0,1) raspodelom. Neka je . Nai E(Y+Z).21. Broj poena koje student osvoji na ispitu je sluajna promnljiva sa oekivanjem . 1) Nai gornju granicu verovatnoe da e student dobiti vie od 85 poena. 2) Ako je VarX=25, nai ? 3) Koliko sudenata treba da izae na ispit da bi sa verovatnoom od bar 0,9 prosek poena bio u intervalu (70,80)? (VarX=25) 4) Da li se problem pod 3) moe reiti primenom centralne granine teoreme?22.Fer novi se baca 500 puta. Nai verovatnou da e se broj dobijenih pisama razlikovati od oekivane vrednosti za vie od 30?23. Homogena kockica se baca 30 puta. Odrediti broj k tako da smo sa verovatnoom od bar 0,96 sigurni da emo dobiti ne manje od k estica.24. Na raspolaganju nam je n komponenti. Svaka ima duinu ivota sa Exp(1/10) raspodelom. Ako se posle otkaza komponenta trenutno zamenjuje novom, koliko treba da bude najmanje n da bismo, sa verovatnoom bar 0,99, bili sigurni da e ukupnovreme ivota biti bar 1100?

_1239809104.unknown

_1239809969.unknown

_1240066184.unknown

_1240066375.unknown

_1240066592.unknown

_1240066699.unknown

_1240066429.unknown

_1240066210.unknown

_1240065306.unknown

_1239809547.unknown

_1239809843.unknown

_1239809968.unknown

_1239809198.unknown

_1239703011.unknown

_1239808920.unknown

_1239809032.unknown

_1239808894.unknown

_1239702011.unknown

_1239702988.unknown

_1239701862.unknown