Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
math.e
Hrvatski matematički elektronički časopis
Materijali sa stare verzije stranice e.math Upute za čitatelje Uredništvo časopisa Upute za autore Kalendar događanja Linkovi
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike(1.dio)
Odavna se smatra da su najljepši, najelegantniji i najuvjerljiviji dokazi u matematici oni koje možemoprikazati jednom razumljivom slikom (uz možda po koju riječ) ili nekom kratkom rečenicom/formulom.Slikovni ili vizualni dokazi se još kolokvijalno nazivaju dokazi bez riječi. Učenici, studenti, nastavnici,znanstvenici i drugi često mogu s lakoćom razumijeti upečatljive jednostavne slike i/ili kratke pričice i moždaih trajno usvojiti i zapamtiti. Uostalom, kaže se dobra slika vrijedi tisuću riječi, dobra slika pola zadatka ilikratka priča-sve jasno. S takvom slikom ili kratkim opisom dokaza možemo unaprijediti i poboljšati kretivnunastavu matematike, konkretno pridonijeti njenom kurikularnom unaprijeđenju i učiniti nastavu dinamičnijom,zanimljivijom i zabavnijom. U ovom članku prikazat ćemo neke od takvih dokaza.
Darko Veljan,[email protected]
Ivana Marušić,
Uvod
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
1 Nekorigirana kopija
Članak posvećujemo našim dragim profesorima, prijateljima, kolegama i koautorima akademiku SibiMardešiću ( ) i prof.dr.sc. Borisu Pavkoviću ( ) ( Slika 16 na kraju članka).
Pitagorin poučak jedan je od najistaknutijih, najcitiranijih i najpoznatijih poučaka u matematici uopće.Poznato je oko različitih dokaza tog jednostavno veličanstvenog poučka.
. Hrvatski rečeno, u pravokutnom je trokutu četvorina (kvadrat) nad najvećom stranicom jednakazbroju četvorina nad ostale dvije stranice (vidjeti Sliku 1).
Slika 1: Geometrijski dokaz Pitagorina poučka 1
Odnosno formulom
1 Pitagorin poučak
1
(1)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
2 Nekorigirana kopija
. Četvorina nad zbrojem dviju manjih stranica je četvorina nad najvećom stranicom uvećana za četiripovršine tog pravokutnog trokuta (vidjeti Sliku 2.).
Slika 2: Geometrijski dokaz Pitagorina poučka 2
Odnosno formulom
tj.
Neka je trokut s kutom ( ili , za bilo koji cijeli broj . Neka su stranice uz taj kut i ,
te stranica nasuprot tome kutu. Označimo s površinu pravilnog - terokuta stranice , a s
površinu takvog trokuta. Površina pravilnog -terokuta nad zbrojem stranica trokuta uz kut (ili
) je površina pravilnog -terokuta nad stranicom trokuta uvećana za površina tog trokuta [6].
Dakle,
(2)
(3)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
3 Nekorigirana kopija
Pogledajmo za i dokaz bez riječi (vidjeti Sliku 3.). Za , to je Pitagorin poučak.
\
Slika 3: Geometrijski dokaz poopćenog Pitagorina poučka 3
Za pozitivne (realne) brojeve , vrijedi . Jednakost vrijedi ako i samo ako je . Algebarski
dokaz je doslovce trivijalan
Pogledajmo naše geometrijske dokaze
(4)
2 Aritmetičko-geometrijska (A-G) nejednakost
(5)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
4 Nekorigirana kopija
Slika 4: ˝Astronomski dokaz˝
Slika 4: ˝Satelitski dokaz˝
Slika 4: Geometrijski dokazi A-G nejednakosti
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
5 Nekorigirana kopija
Dakle, u prvom dokazu (Slika 4) vidimo da se radi o elipsi za koju vrijedi
gdje je velika poluos, a mala poluos i vrijedi da je , jer je , a (gdje je linearniekscentricitet) pa stoga .
U drugom dokazu (Slika 4) je udaljenost satelita do središta Zemlje , a udaljenost dohorizonta. Zaključujemo
Opća A-G nejednakost za pozitivne brojeve je
Kombinatorni dokaz provodimo tako da tvrdnju prvo dokažemo za pozitivne cijele brojeve .Neka su i konačni disjunktni skupovi, gdje je i vrijedi
Konstruirajmo injekciju čime dokazujemo da je
Prvo, za , promatramo dva skupa i , pri čemo je i neka je . Zbog postoji injekcija .
Definirajmo injekciju
formulom
Ovo je, zapravo, kombinatorni dokaz nejednakosti
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
6 Nekorigirana kopija
Ako su svi jednaki u (8) dobivamo jednakost. Provjerimo što se događa ako nisu svi jednaki. Postoje , takvi da je i . Odaberimo , i premjestimo ga u te konstruirajmo injekciju
Pomoću nje dobivamo injekciju
gdje je , za ,
i s novim produktom nastavimo na isti način s injekcijom
itd. sve dok ne dostignemo takav da je za sve , i bijekciju
Kompozicija funkcija
tražena je injekcija.Ukoliko su bilo koji realni brojevi, onda se prethodno rezoniranje primijeni na sve A-Gnejednakosti primijenjene na sve ˝podove˝ i ˝stropove˝ svih brojeva, pa zbog konveksnosti ineprekidnosti tvrdnja vrijedi i za njih.Topološki dokaz.
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
7 Nekorigirana kopija
se dostiže u točki . To je zbog kompaktnosti simpleksa i neprekidnosti produkta.Stoga je
Geometrijska interpretacija A-G nejednakosti je
(21)
(22)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
8 Nekorigirana kopija
Slika 7: Kvadar B
Slika 7: Kocka C
Slika 7: Geometrijski dokaz A-G nejednakosti
Lijeva strana ukupan je zbroj duljina bridova kvadra (kutije) tj. to je opseg (perimetar) kutije , čiji
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
9 Nekorigirana kopija
su bridovi u jednom vrhu . Desna strana je također opseg kocke brida {x_{1}\cdot x_{2} \cdots x_{n}}\ (=y) istog volumena kao . Dakle, A-Gnejednakost je
i izriče izoperimetrijski poučak: Kocka ima među svim kvadrima istog volumena najmanji opseg (najmanježice treba za kocku istog volumena). Promotrimo opću izoperimetrijsku nejednakost
pri čemu je , , tj. je -dimenzionalni volumen -dimenzionalnogkonveksnog tijela (kompaktni, konveksni skup s nepraznom nutrinom), a je volumen
-dimenzionalnog ruba (˝površine˝ tijela ).
je volumen jedinične kugle . Poznato je da , gdje je
gama funkcija; , , , , . Jednakost se u izoperimetrijskoj nejednakosti
dostiže ako i samo ako je kugla. Od svih tijela jednake površine kugla ima najveći obujam. Standardnidokaz izoperimetrijske nejednakosti se (aproksimacijama) svodi na Brunn-Minkowskijevu nejednakost zaneprazne kompaktne skupove :
pri čemu je vektorski zbroj skupova. Ovo se pak (ponovnoaproksimacijama) svodi na kvadre (kutije) s bridovima i u jednom od vrhova nanejednakost
Zbog A-G nejednakosti to je ekvivalentno s
\sqrt[n]
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
10 Nekorigirana kopija
Osim standardnih dokaza indukcijom, ili rabeći konveksnost postoje i manje standardni: algebarski, topološki,fizikalni (termodinamički) i drugi dokazi A-G nejednakosti kao i mnogobrojne primjene i uz to vezani problemis eliptičkim integralima.Za dane realne brojeve , definirat ćemo aritmetičko-geometrijsku sredinu . Promatramo
dva niza i , , , , . Pri tom je padajući, a
rastući niz, dakle, omeđeni i monotoni, pa zaključujemo da su konvergentni. Neka je , .
Tada iz slijedi . Zajednički limes je . Označimo
potpuni eliptički integral 1. vrste. Zamjenom varijabli
dobivamo
Stoga je
jer je .
Dakle,
Vrijedi AGM profinjenje aritmetičko-geometrijske nejednakosti:
Znači AGM na prirodni način profinjuje aritmetičko-geometrijsku nejednakost. [7]
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
11 Nekorigirana kopija
Važan poučak s mnoštvom inačica glasi
Iznijet ćemo geometrijsko-kombinatorni dokaz. Prisjetimo se, ako su , konačni skupovi, onda označava skup svih funkcija i ako je broj elemenata i , onda je .Promatramo sva preslikavanja iz u disjunktnu uniju od i pri čemu je i .
Neka se elemenata preslika u , a u . Broj -članih podskupova u je .
Slika 10: Konceptualni prikaz
Binomni poučak neposredno slijedi primjenom načela umnoška i zbroja. Na isti se način dokazuju imultinomne formule:
Isti dokaz koristimo za injekcije. Prisjetimo se, za skup injekcija imamo:
3 Newtonov binomni poučak
(34)
(35)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
12 Nekorigirana kopija
Prema tome, s istim dokazom zaključujemo
Na isti način dobivamo i Vandermondevu konvoluciju
Ona broji sve injekcije , , iz u disjunktnu uniju .Prisjetimo se
Spomenimo još i Chu-Vandermondeov identitet
Postoji mnogo formula i identiteta koji su posljedica ili su ekvivalentni binomnom poučku.
Sinusov i kosinusov poučak jedni su od temeljnih poučaka iz geometrije trokuta. Sinusi kutova u trokutuodnose se kao duljine tim kutovima nasuprotnih stranica tog trokuta. Ekvivalentan mu je kosinusovpoučak\footnote {Kosinusov je poučak u današnjem obliku prvi iznio perzijski matematičar al Kashi 1427.godine, a kasnije 1565. godine, neovisno francuski matematičar F. Vi\`ete.}(a ekvivalentan Pitagorinompoučku) trokuta i glasi
Prikažimo dva dokaza. Dokaz 1.
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
4 Sinusov i kosinusov poučak te Heronova formula
(41)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
13 Nekorigirana kopija
Slika 11: Trokut
Površina trokuta je (vidjeti Sliku 11)
Analogno,
(42)
(43)
(44)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
14 Nekorigirana kopija
Slika 12: Trokut
Iz trokuta (vidjeti Sliku 12) imamo
Dakle,
Iz sinusovog i kosinusovog (a zapravo Pitagorinog) poučka imamo
To je Heronova formula. Možemo je zapisati i ovako:
(45)
(46)
(47)
(48)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
15 Nekorigirana kopija
Odnosno
Neka su , , elementarne simetrične funkcije, tada imamo
Također,
gdje su težišnice, . Odnosno
gdje su visine, .
Ako je radijus opisane kružnice k trokutu (vidjeti Sliku 12) imamo
gdje je .
Jeste li uočili: Pitagora Heron? Čak što više, sinusov poučak kosinusov poučak Pitagorinpoučak Heronova formula.
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
16 Nekorigirana kopija
Slika 13:
Slika 13:
5 Sinus zbroja (adicijska formula za sinus)
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
17 Nekorigirana kopija
Slika 13: Geometrijski dokaz sinusa zbroja
Površina romba na slici 13 je . Usporedimo površinu na slici 13. Vidimo
Ekvivalentno (jer je )
Dijeljenjem se dobiva formula za i .
Pokazali smo kako možemo kombinirati različite tehnike, vizualne i formalne, kako bi došli do željenihrezultata, a ponekad će nam jedna skica dati i više različitih zaključaka ili otkriti i nešto novo.
(55)
(56)
Zaključak
Bibliografija
[1] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska knjiga, Zagreb, 2004.
[2] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 2, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995.
[3] I. N. Bronštejn, suradnici: Matematički priručnik, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.
[4] S. Mardešić: Sjećanje na profesora Borisa Pavkovića (1931.-2006.), Glasnik Matematički, 41 (61) (P)(2006.), 441-415.
[5] V. Volenec: Popis i opis znanstvenih radova prof. dr. sc. Borisa Pavkovića, Glasnik Matematički, 41 (61)(P) (2006.), 411-413.
[6] D. Veljan: The 2500-year -old-pythagorean theorem, Mathematics Magazine, 73 No. 4 (2000.), 259-272.
[7] D. Veljan: The AM-GM inequality from different viewpoints, Elem. Math. 72 (2017), 24-34.
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
18 Nekorigirana kopija
[8] D. Svrtan, D. Veljan: Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, ForumGeometricorum, 12 (2012.), 197-209.
[9] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities, 2nd. ed. , Cambridge University Press, Cambridge,1952.
[10] J. M. Steele: The Cauchy-Schwarz Master Class, MAA, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
[11] D. Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.
[12] D. Veljan: Čarobne četvorine (iliti magični kvadrati), Poučak,15 (57) (2014.), 12-23.
[13] C. A. Pickover: Wonders of Numbers, Oxford University Press, New York, 2002.
[14] C. A. Pickover: The Math Book, Sterling, New York, 2009.
[15] M. Fiedler: Matrices and graphs in geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2011.
[16] D. Veljan: The sine theorem and inequalities for volumes of simplices and determinants, Linear algebraand its applications, 219 (1995.), 79-91.
[17] A. Dujella: Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.
[18] T. Koshy: Pell and Pell–Lucas Numbers with Applications, Springer, New York, 2014.
[19] D. Veljan, J. Nash i L. Nirenberg: Abelovci za 2015. godinu, Matematičko fizički list, 66 (2015.), 31-36.
[20] M. Raussen, C. Skau : Interview with Abel Laureate John F. Nash Jr., Notices of the AMS, 63 (5),(2016.),486-491.
[21] D. Veljan : Matematičar i teorijski fizičar, akademik Vladimir Varićak, Prirodoslovlje 16(2016.), 125-152.
[22] D. Klobučar : Matematika naša svagdašnja I, II, Element , Zagreb, 2014.
[23] B. J. McCartin: Mysteries of the Equilateral Triangle, (javno dostupno na: http://www.m-hikari.com/mccartin-2.pdf, 7.2.2017.)
[24] J. Milnor : Topology through the centuries: Low dimensional manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (4)(2015.), 545-584.
[25] S. Mardešić : Kako sam postao i ostao matematičar, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 2016.
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
19 Nekorigirana kopija
Slika 16: akademik Sibe Mardešić
Slika 16: prof.dr.sc. Boris Pavković
Slika 16:
Prvi put evidentiran oko 500. g. pr. Kr., a bio je poznat i starokineskim dinastijama barem godina ranije.
ISSN 1334-6083© 2009 HMD
1
Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio) | math.e Vol 32.
20 Nekorigirana kopija