Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Vjeºbe - Statistika
II. dio
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Optimalnost u procjeni
Procjenitelja ima puno, pa treba imati kriterije za usporedbu izme�unjih.
Radi jednostavnosti promatramo samo jednodimenzionalneparametre θ ∈ Θ ⊆ RFunkcija gubitka (loss function)
L(θ, θ) = L : Θ×Θ→ [0,+∞)
pokazuje koli£inu odstupanja procjenitelja θ od parametra θ. Npr.
L(a, b) = (a− b)2,
L1(a, b) = |a− b|,
L2(a, b) =ba− 1− ln(
ba
).
Uvijek koristimo L(a, b) = (a− b)2, osim ako nije druga£ijenazna£eno.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Funkcija rizika (risc function) je
R(θ, θ) = EθL(θ, θ), θ ∈ Θ.
To je o£ekivano odstupanje u procesu procjenjivanja parametra θ.
Za L(a, b) = (a− b)2 dobijemo srednju kvadratnu gre²ku (MSE)
R(θ, θ) = Eθ(θ − θ)2,
De�nicija 1.
Za danu funkciju gubitka L, procjenitelj θ je nedopustiv za θ ako postojiprocjenitelj θ1 tako da je
R(θ1; θ) ≤ R(θ; θ), ∀θ ∈ Θ
iR(θ1; θ0) < R(θ; θ0) za neki θ ∈ Θ.
U suprotnom je procjenitelj dopustiv.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Nepristranost procjenitelja
�elimo onaj procjenitelj koji ima najmanji rizik - optimalan usrednjekvadratnom smislu.
De�nicija 2.
Procjenitelj θ nepoznatog parametra θ iz statisti£kog modela {Fθ; θ ∈ Θ}je nepristran ako je
Eθ θ = θ, ∀θ ∈ Θ.
Ako procjenitelj nije nepristran, onda kaºemo da je pristran.Pristranost procjenitelja θ de�niramo kao razliku
bθ(θ) = Eθ θ − θ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Napomena 1.
Nepristranost ima veze s optimalno²¢u u srednje kvadratnom smislu.Naime, moºe se pokazati da vrijedi
R(θ, θ) = Var(θ) +(bθ(θ)
)2,
odakle se vidi da nepristran procjenitelj ima najmanji rizik me�u svimprocjeniteljima s istom varijancom.Osim toga, vidimo i da je rizik nepristranog procjenitelja jednak njegovojvarijanci.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadaci
Zadatak 1.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz familije{Fµ, µ = EXi ∈ R}. Ispitajte je li Xn nepristran procjenitelj za µ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 2.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz distribucije svarijancom σ2. Pokaºite da S2
n = 1
n
∑n
i=1(Xi − Xn)2 nije nepristran
procjenitelj za σ2, no da je procjenitelj S2
n = 1
n−1∑n
i=1(Xi − Xn)2
nepristran za σ2. Nazivamo ga "popravljena uzora£ka varijanca".
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 3.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz U [0, θ].
(a) Odredite a tako da statistika θ = aX(n) bude nepristran procjeniteljparametra θ, pri £emu je X(n) maksimalna statistika poretka.
(b) Izra£unajte kvadratnu funkciju rizika za dobiveni θ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 4.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz U [0, θ].Provjerite je li θ = 2Xn nepristran procjenitelj za θ, te na�ite funkcijurizika tog procjenitelja.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 5.
Neka su θ1, θ2 nepristrani procjenitelji za θ1 i θ2, redom.
(a) Je li aθ1 + bθ2 nepristran procjenitelj za aθ1 + bθ2?
(b) Je li θ21nepristran procjenitelj za θ2
1?
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 6.
Neka su S2
1i S2
2nepristrani procjenitelji varijance neke distribucije
dobiveni iz jednostavnih slu£ajnih uzoraka (X1, . . . ,Xn1) i (X1, . . . ,Xn2).Dokaºite da je statistika
S2 =(n1 − 1)S2
1+ (n2 − 1)S2
2
n1 + n2 − 2
tako�er nepristran procjenitelj varijance te distribucije.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 7.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz binomne B(n, p)distribucije. Pokaºite da je statistika
θ =Xi (n − Xi )
n − 1, i = 1, . . . , n,
nepristran procjenitelj varijance VarXi = npq.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 8.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz eksponencijalneE(λ), λ > 0 distribucije s pripadnom funkcijom gusto¢e
f (x ;λ) = λe−λx1(0,∞)(x).
Izra£unajte EX1,VarX1, te na�ite funkciju rizika procjenitelja λ = X(1)
nepoznatog parametra λ, pri £emu je X(1) minimalna statistika poretka.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 9.
Na osnovi danih mjerenja stranice kvadrata a u milimetrima dobiveni supodaci 321, 323, 318, 327, 324, ²to su realizacije nezavisnih, jednakodistribuiranih slu£ajnih varijabli X1, . . . ,X5. Odredite nepristranprocjenitelj povr²ine a2.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 10.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak. Neka jeθ = K
∑n−1k=1
(Xk+1 − Xk)2 procjenitelj za VarX1. Koji uvjet mora bitiispunjen da bi θ bio nepristran procjenitelj za VarX1 ?
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 11 (DZ).Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz U [a, b], gdje jepoznata duljina h = b − a, ali nije poznato sredi²te intervalac = (a + b)/2. Za procjenitelja od c uzima se
c =X(1) + X(n)
2.
Provjerite njegovu nepristranost.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 12 (DZ).Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz distribucije sgusto¢om
f (x ;λ) =1
2λ√xe−√x
λ 1(0,∞(x).
Provjerite je li
λ =1n
n∑i=1
√Xi
nepristran procjenitelj za λ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Nepristran procjenitelj minimalne varijance
U klasi svih procjenitelja htjeli bi prona¢i onaj koji ima najmanjusrednju kvadratnu gre²ku.
Pokazuje se da je takav pristup nemogu¢ u klasi svih procjenitelja(θ = 12?!), traºimo takav procjenitelj me�u svim nepristranimprocjeniteljima nepoznatog parametra.
To ¢e onda biti nepristrani procjenitelj minimalne varijance - jo² gazovemo i najbolji nepristrani procjenitelj ili UMVU procjenitelj(unifomly minimum variance unbiased)
Postoji nekoliko pristupa traºenju UMVU procjenitelja.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Rao-Blackwell pristup
Sljede¢i teorem ukazuje na put kojim moºemo i¢i u smanjenjuvarijance procjenitelja, ali jo² uvijek ne kaºe kako posti¢i minimalnuvarijancu u klasi nepristranih procjenitelja.
Teorem 1 (Rao-Blackwell).
Neka je X = (X1, . . . ,Xn) slu£ajan uzorak iz parametarskog statisti£kogmodela {Fθ(x) : θ ∈ Θ} i neka je T = t(X) dovoljna statistika za θ.Neka je S = S(X) nepristran procjenitelj za g(θ), g : Θ→ R kona£nevarijance za sve θ ∈ Θ. De�niramo li S∗ = Eθ(S |T ) onda je
(i) S∗ nepristran procjenitelj za g(θ)
(ii) VarθS∗ < VarθS osim ako Pθ(S∗ = S) = 1.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Napomena 2.
Ovaj teorem sugerira da svaki nepristran procjenitelj treba biti funkcijadovoljne statistike (onda ¢e biti S∗ = S). Ako nije, moºemo konstruiratiprocjenitelj manje varijance njegovim uvjetovanjem na dovoljnu satistiku.
Napomena 3.
Uo£imo da S∗ = Eθ(S |T ) ne ovisi o θ jer je T dovoljna statistika.Pobolj²ani procjenitelj S∗ naziva se Rao-Blackwellov procjenitelj, apostupak njegova dobivanja se ponekad naziva Rao-Blackwellizacija.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadaci
Zadatak 13.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz B(20, p) populacije.
(a) Na�ite nepristran procjenitelj za parametar g(p) = 4p(1− p)19 ufunkciji od X1.
(b) Popravite dobiveni procjenitelj teoremom Rao-Blackwell.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 14.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz Poissonovedistribucije s parametrom θ > 0, tj. Xi ∼ P(θ).
(a) Na�ite procjenitelj S u funkciji od X1 za g(θ) = θ2e−θ.
(b) Popravite S teoremom Rao-Blackwell.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 15.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz Poissonovedistribucije s parametrom λ > 0, tj. Xi ∼ P(λ).
(a) Na�ite nepristrani procjenitelj S za g(λ) = e−λ(1 + λ) u funkciji odX1
(b) Popravite S teoremom Rao-Blackwell.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Lehmann-Sche�e pristup
Ve¢ smo rekli da dovoljnih statistika ima puno. S kojom od njihtreba uvjetovati procjenitelj u teoremu Rao-Blackwell da bi se dobio²to bolji procjenitelj?
Teorem 2 (Lehmann-Sche�e).
Neka je T potpuna dovoljna statistika za θ i neka je S nepristranprocjenitelj za g(θ), g : Θ→ R kona£ne varijance za sve θ ∈ Θ. Tada
S∗ = Eθ(S |T )
ima najmanju varijancu me�u svim nepristranim procjeniteljima kona£nevarijance za g(θ) i jedinstven je Pθ-g.s. za sve θ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Ovaj fantasti£an rezultat ima nekoliko posljedica u modelima u kojimapostoji potpuna dovoljna statistika:
(i) Ako postoji bilo koji nepristran procjenitelj kona£ne varijance ondamoºemo na¢i UMVU procjenitelj.
(ii) Ako postoji UMVU procjenitelj on je funkcija potpune dovoljnestatistike i jedinstven je (Pθ-g.s.).
(iii) Ako je neki nepristran procjenitelj kona£ne varijance funkcijapotpune dovoljne statistike on je jedinstveni UMVU procjenitelj.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadaci
Zadatak 16.
Jesu li Rao-Blackwell procjenitelji iz prethodnih zadataka UMVUprocjenitelji?
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 17.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz N (µ, σ2).
(a) Je li Xn UMVU procjenitelj za µ?
(b) Je li S2
n UMVU procjenitelj za σ2?
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 18.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz P(λ). Na�iteUMVU procjenitelj za λ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 19.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz distribucije sgusto¢om
f (x ; θ) =1θx
1−θθ 1(0,1)(x), θ > 0.
Na�ite UMVU procjenitelj za θ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 20.
Na�ite UMVU procjenitelj za parametar θ na osnovu jednostavnogslu£ajnog uzorka iz U(0, θ) distribucije.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Cramer-Rao donja granica - e�kasnost
Ovdje su opisani rezultati koji se mogu iskoristiti u potrazi zanepristranim procjeniteljima minimalne varijance.
Zbog jednostavnosti pretpostavljamo da je parametarski prostorΘ ⊆ R.
Ovi rezultati odnose se na tzv. regularne modele.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
De�nicija 3.
Neka je s {f (x ; θ) : θ ∈ Θ ⊆ R} dan statisti£ki model zaX = (X1, . . . ,Xn), gdje je f funkcija gusto¢e. Re¢i ¢emo da je modelregularan ako vrijedi
(i) skup A = {x : f (x ; θ) > 0} ne ovisi o θ
(ii) Θ je otvoreni interval
(iii) za svaki x funkcija θ 7→ f (x ; θ) je diferencijabilna na Θ
(iv) Fisherova informacija uzorka
I(θ) = Eθ
[(∂
∂θln f (X , θ)
)2]
zadovoljava 0 < I(θ) <∞(v)
∂
∂θ
∫Rn
f (x ; θ)dx =
∫Rn
∂
∂θf (x ; θ)dx .
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Fisherova informacija uzorka mjeri koli£inu informacija onepoznatom parametru sadrºanu u uzorku.
Ako je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak, Fisherovuinformaciju uzorka ra£unamo kao
I(θ) =
n∫R
(∂
∂θln f (x , θ)
)2
f (x , θ)dx , X neprekidna s.v.,
n∑j∈N
(∂
∂θlnPθ(X = ξj)
)2
Pθ(X = ξj), X diskretna s.v.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Primjer 1.
Izra£unajte Fisherovu informaciju jednostavnog slu£ajnog uzorka(X1, . . . ,Xn) koji dolazi iz populacije s funkcijom gusto¢e
fθ(x) = 2θ2x3e−θx2
1[0,∞)(x), θ > 0.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Teorem 3 (Cramer-Rao).
Neka je X = (X1, . . . ,Xn) slu£ajan uzorak iz regularnog modela{f (x ; θ) : θ ∈ Θ ⊆ R}. Ako statistika T = t(X ) zadovoljava uvjete
(i) Eθ|T | <∞, ∀θ ∈ Θ
(ii) g(θ) = EθT je diferencijabilna
(iii)g ′(θ) = Eθ[T Uθ(X )], ∀θ,
gdje je Uθ(x) = ∂∂θ ln f (x ; θ).
tada vrijedi
Var θT ≥(g ′(θ))
2
I(θ),
gdje je Iθ = Eθ(U2
θ ) Fisherova informacija uzorka.
Napomena 4.
�to je informacija o parametru ve¢a, to je granica za varijancunepristranog procjenitelja manja.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
De�nicija 4.
Nepristran procjenitelj T za g(θ) u regularnom modelu zovemo e�kasan
procjenitelj ako postiºe Cramer-Rao donju granicu, tj. ako vrijedi
VarθT =(g ′(θ))2
I(θ).
De�nicija 5.
Neka su θ1 i θ2 nepristrani procjenitelji za θ. Ako je Var θ1 < Var θ2kaºemo da je θ1 e�kasniji od θ2.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Cramer-Rao nam nudi jo² jedan na£in kako prona¢i UMVUprocjenitelj.
Ako je procjenitelj e�kasan, onda je on i UMVU.
Obratno ne mora vrijediti, tj. postoje modeli u kojima se ne moºeposti¢i Cramer-Rao granica. To je nedostatak ovog pristupa.
Ipak, u jednoparametarskim eksponencijalnim modelima CR granicase postiºe.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadaci
Zadatak 21.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz E(λ), λ > 0. Na�iteFisherovu informaciju eksponencijalne razdiobe za parametar 1
λ , teispitajte e�kasnost statistike Xn za taj parametar. Je li Xn UMVUprocjenitelj?
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 22.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz X ∼ P(λ), λ > 0.Na�ite Fisherovu informaciju danog uzorka, te ispitajte e�kasnoststatistike Xn za nepoznati parametar λ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 23.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz N(µ, σ2) gdje jevarijanca σ2 poznata. Koriste¢i CR nejednakost ispitajte je li uzora£kasredina Xn e�kasan procjenitelj nepoznatog parametra µ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 24.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz U [0, θ], θ > 0.Poznato je da je θn = n+1
nX(n) nepristrani procjenitelj parametra θ.
Ispitajte koji je od procjenitelja θ i 2Xn e�kasniji za nepoznati parametarθ.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 25.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz N(µ, 1). Za procjenunepoznatog parametra µ predloºeni su procjenitelji
θ1 = nX1 − (X2 + . . .+ Xn),
θ2 = (n − 1)X1 + X2
2− (X3 + . . .+ Xn).
Provjerite njihovu nepristranost. Koji je procjenitelj e�kasniji?
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Konzistentnost procjenitelja
De�nicija 6.
U ovisnosti o dimenziji uzorka n pratimo jednostavan slu£ajan uzorak(X1, . . . ,Xn). Niz procjenitelja (θn, n ∈ N) za parametar θ jekonzistentan (po vjerojatnosti) ako vrijedi da ∀ε > 0
limx→∞
Pθ(|θn − θ| > ε
)= 0, ∀θ ∈ Θ
De�nicija 7.
Niz procjenitelja (θn, n ∈ N) za parametar θ je konzistentan usrednjekvadratnom smislu ako
limx→∞
E (θn − θ)2 = limx→∞
R(θ) = 0, θ ∈ Θ
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Napomena 5.
Iz �ebi²evljeve nejednakosti
Pθ(|θn − θ| > ε
)≤ E (θn − θ)2
ε2
slijedi da konzistentnost u srednjekvadratnom smislu povla£ikonzistentnost po vjerojatnosti.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadaci
Zadatak 26.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz N (m,m). Tada suXn i S2
n nepristrani procjenitelji nepoznatog parametra m. Pokaºite da suti procjenitelji konzistentni te ispitajte koji je e�kasniji.
Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - e�kasnost Konzistentnost
Zadatak 27.
Neka je (X1, . . . ,Xn) niz nezavisnih slu£ajnih varijabli takvih da je
EXi = βti
VarXi = σ2
gdje su ti , i = 1 . . . n poznati realni brojevi, a β je nepoznati parametar.Ovo je model jednostavne linearne regresije tipa Xi = βti + εi , i = 1 . . . n.Pokaºite da je
βn =
∑n
i=1tiXi∑n
i=1t2i
nepristran procjenitelj za β, te ispitajte kada je on konzistentan.