Vježba

Relacije diferencijalno ponderiranih linearnih kombinacija i drugih

varijabli

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet

Odsjek za psihologiju

Vježbe iz psihometrije

UvodUvod

Kao što je ranije spomenuto zKao što je ranije spomenuto zbog višestruke bog višestruke detedeterrminiranosti kriterijskih varijabli (kompleksnostminiranosti kriterijskih varijabli (kompleksnostii kriterija) u svrhu njihove predikcije koristi se manje-kriterija) u svrhu njihove predikcije koristi se manje-više redovito baterija testova, a ne samo jedan mjerni više redovito baterija testova, a ne samo jedan mjerni instrument.instrument.

Jednostavna linearna kombinacija vrlo često nije Jednostavna linearna kombinacija vrlo često nije zadovoljavajući model za formiranje ukupnih zadovoljavajući model za formiranje ukupnih rezultata rezultata u skupovima prediktorskih varijabli. U u skupovima prediktorskih varijabli. U prediktivnim modelima neke varijable imaju redovito prediktivnim modelima neke varijable imaju redovito veću relevantnost za procjenu najvjerojatnijih veću relevantnost za procjenu najvjerojatnijih kriterijskih rezultata pa je, razumljivo takvim kriterijskih rezultata pa je, razumljivo takvim varijablama potrebno dati i odgovarajuću veću težinu varijablama potrebno dati i odgovarajuću veću težinu ili značaj, ili značaj,

Kao i kod JLK vKao i kod JLK varijable u linearnoj kombinaciji arijable u linearnoj kombinaciji gotovo uvijek nazivamo prediktorskim gotovo uvijek nazivamo prediktorskim (nezavisnim), a jednostavne varijable kriterijima (nezavisnim), a jednostavne varijable kriterijima ili kriterijskim varijablama (zavisnim).ili kriterijskim varijablama (zavisnim).

Stoga je katkada i teoretski i praktički opravdano, Stoga je katkada i teoretski i praktički opravdano, pa i nužno ukupne rezultate formirati po modelu pa i nužno ukupne rezultate formirati po modelu DPLK koji u općem formalnom obliku glasiDPLK koji u općem formalnom obliku glasi

UiUidpdp = X = Xi1i1ww11 + X + Xi2i2ww22 + ... + X + ... + Xikikwwkk

UiUidpdp = X = Xi1i1ww11 + X + Xi2i2ww22 + ... + X + ... + Xikikwwkk

gdje su:gdje su:

XX11 ... X ... Xk k - individualni rezultati u komponentama L.K. - individualni rezultati u komponentama L.K.

(prediktorima)(prediktorima)

ww11 ... w ... wk k - pripadajući ponderi, tj. koeficijenti važnosti - pripadajući ponderi, tj. koeficijenti važnosti

pojedinih komponentipojedinih komponenti

Kao što je već ranije pokazano, aritmetička sredina Kao što je već ranije pokazano, aritmetička sredina ovakve D.P.L.K. je:ovakve D.P.L.K. je:

MMu(dp) u(dp) = M= M1w11w1 + M + M2w22w2 + ... + M + ... + Mkwkkwk = M = Mjjwwjj , j = 1,...,k , j = 1,...,k

gdje su Mgdje su M11 do M do M

kk aritmetičke sredine komponenata. aritmetičke sredine komponenata.

Varijanca je jednaka slijedećem izrazu:Varijanca je jednaka slijedećem izrazu:

jijiijiu wwrwVV 22

  pri čemu i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < jpri čemu i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

Ovaj tip odnosa od velike je teorijske i praktične Ovaj tip odnosa od velike je teorijske i praktične važnosti jer omogućava nalaženje najpovoljnijeg važnosti jer omogućava nalaženje najpovoljnijeg skupa pondera skupa pondera za neki za neki skup prediktorskih varijabli skup prediktorskih varijabli uu svrhsvrhuu prognoze neke jednostavne kriterijske prognoze neke jednostavne kriterijske varijablevarijable..

Glavni cilj bilo kakvog prediktivnog postupka sastoji Glavni cilj bilo kakvog prediktivnog postupka sastoji se u maksimaliziranju efikasnosti prognoze i prema se u maksimaliziranju efikasnosti prognoze i prema tome, nalaženju tome, nalaženju sustava pondera prediktorskih sustava pondera prediktorskih varijabli koji će omogućiti maksimalno efikasnu varijabli koji će omogućiti maksimalno efikasnu prognozu zadanog kriterija.prognozu zadanog kriterija.

1. Korelacija između diferencijalno 1. Korelacija između diferencijalno ponderirane linearne kombinacije i ponderirane linearne kombinacije i jednostavne vanjske varijablejednostavne vanjske varijable

Pokušat ćemo provjeriti o kojim faktorima Pokušat ćemo provjeriti o kojim faktorima ovisi korelacija između ovisi korelacija između diferencijalno diferencijalno ponderirane ponderirane linearne kombinacije sačinjene linearne kombinacije sačinjene od od k članicak članica i neke i neke jednostavne vanjske jednostavne vanjske varijable Y.varijable Y.

Da bismo izjednačili udio svake varijable, Da bismo izjednačili udio svake varijable, transformirat ćemo sve varijable u z-transformirat ćemo sve varijable u z-vrijednosti. vrijednosti.

Neka je zadan neki skup prediktorskih Neka je zadan neki skup prediktorskih varijabli koje su standardizirane varijabli koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-(transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti).vrijednosti).

    Skup članica J.L.K.: Skup članica J.L.K.:

0iM 1 iiV

    Neka je zadana neka kriterijska Neka je zadana neka kriterijska varijabla Y, koja ne pripada prethodnom varijabla Y, koja ne pripada prethodnom skupu, a za koju vrijedi: skupu, a za koju vrijedi:

0yM 1 yyV

Definirajmo korelaciju između linearne Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od kombinacije koja se sastoji od 22 članice članice izražene u z-vrijednostima i kriterijske izražene u z-vrijednostima i kriterijske varijable Y kao produkt-moment koeficijent varijable Y kao produkt-moment koeficijent korelacije:korelacije:

2211)( wzwzU dpi yz

Neka je zadana D.P.L.K. od dvije varijablNeka je zadana D.P.L.K. od dvije varijablee koje koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti),metriku, ili z-vrijednosti),

yuuyr N

)d(d iyu

yu

iyyu

N

MzMU

))((

Možemo pisati:Možemo pisati:

yuuyr N

)z(U iy

0 yu MM

Budući da kod standardiziranih varijabli Budući da kod standardiziranih varijabli vrijedi:vrijedi:

MM(dp)(dp) = w = w1M11M1 + w + w

2M22M2 = 0= 0

yu

iww

N)zz(z y21

21

Za standardne devijacije vrijedi:Za standardne devijacije vrijedi:

1y

ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te uvrstimo izraze za standardne devijacijeuvrstimo izraze za standardne devijacije možemo pisatimožemo pisati::

211222

21

22y11

2

)zzw(z

wwrwwN

zwr yuy

211222

21 2 wwrwwu

Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo pojedinpojedinačneačne korelacije između članica i vanjske korelacije između članica i vanjske varijable (kriterija).varijable (kriterija).

211222

21

221

2 wwrww

wrwr yuy

1yr

U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj kombinaciji, korelacija između kombinaciji, korelacija između diferencijalno diferencijalno ponderirane ponderirane linearne kombinacije z-vrijednosti i neke linearne kombinacije z-vrijednosti i neke kriterijske varijable koja nije njezinkriterijske varijable koja nije njezinaa član članicaica jednaka jednaka jeje::

jiiji

k

iiiy

uywwrw

wrr

22

1

jikji ;,...,1,

Iz posljednje formule jasno je da će korelacija između Iz posljednje formule jasno je da će korelacija između neke D.P.L.K. i jedostavne vanjske varijable ovisiti o neke D.P.L.K. i jedostavne vanjske varijable ovisiti o pojedinačnim korelacijama pojedinačnim korelacijama članicačlanica linearne linearne kombinacijekombinacije i kriterija, njihovoj međusobnoj i kriterija, njihovoj međusobnoj povezanosti, ali i o strukturi pondera pridruženih povezanosti, ali i o strukturi pondera pridruženih pojedinimpojedinim članicama članicama..

Iz posljednje formule je očito da se ova korelacija Iz posljednje formule je očito da se ova korelacija može izračunati iz korelacijske matrice koja sadrži može izračunati iz korelacijske matrice koja sadrži sve korelacije koje je moguće izračunati tretirajući sve korelacije koje je moguće izračunati tretirajući članice članice linearne kombinacije i kriterijsku varijablu kao linearne kombinacije i kriterijsku varijablu kao separatne mjere, te poznavajući pondere za separatne mjere, te poznavajući pondere za prediktorske varijableprediktorske varijable

Ukoliko je zadana kompletna korelacijska matrica Ukoliko je zadana kompletna korelacijska matrica definirana sa k prediktorskih varijabli i kriterijskom definirana sa k prediktorskih varijabli i kriterijskom varijablom Yvarijablom Y

z1 z2 z3 zy wi z1 1 r12 r13 r1y w1 z2 r21 1 r23 r2y w2 z3 r31 r32 1 r3y w3

1,...,1

,...,1

)(

kj

ki

rR ij

Matrica R se može Matrica R se može sadržajnosadržajno podijeliti u podijeliti u tritri dijela: dijela: matricu (vektor) korelacija matricu (vektor) korelacija članicačlanica linearne linearne kombinacije i vanjske varijablekombinacije i vanjske varijable,, matricu matricu intrakorelacija intrakorelacija članicačlanica linearne kombinacije, koja je linearne kombinacije, koja je očito kompletna korelaciočito kompletna korelacijskajska matrica matrica, te vektor s , te vektor s ponderima pridruženim svakoj od članica.ponderima pridruženim svakoj od članica.

Razmotrimo ovaj odnos na jednom primjeru:Razmotrimo ovaj odnos na jednom primjeru:

Neka je zadana kompletna korelaciNeka je zadana kompletna korelacijskajska matrica matrica definirana sa dva definirana sa dva standardizirana standardizirana prediktora i prediktora i jednim kriterijem K:jednim kriterijem K:

    Neka je zadana neka kriterijska Neka je zadana neka kriterijska varijabla varijabla KK, koja ne pripada prethodnom , koja ne pripada prethodnom skupu, a za koju vrijedi: skupu, a za koju vrijedi:

z1 z2 K z1 1 0.2 0.3 z2 0.2 1 0.6

a) Izračunajte korelaciju između J.L.K. a) Izračunajte korelaciju između J.L.K. zz11 i i zz22 s s

kriterijem Kkriterijem K

b) Izračunajte korelacije između D.P.L.K. i b) Izračunajte korelacije između D.P.L.K. i kriterija K upotrebljavajući sljedeće kriterija K upotrebljavajući sljedeće vrijednostivrijednosti pondera: pondera:

wz1 wz2 rUk 1. -2 1 2. -1 1 3. 0 1 4. 0.5 1 5. 1 1 6. 2 1 7. 3 1 8. 4 1

Nacrtajte grafički prikaz odnosa između pondera za Nacrtajte grafički prikaz odnosa između pondera za zz11

i korelacije između D.P.L.K., te komentirajte crtež:i korelacije između D.P.L.K., te komentirajte crtež:

Ukoliko u nekoj prediktorskoj bateriji Ukoliko u nekoj prediktorskoj bateriji koristimo nestandardizirane varijable, tj. koristimo nestandardizirane varijable, tj. varijable s različitim standardnim varijable s različitim standardnim devijacijama, onda njihove st.devijacije imaju devijacijama, onda njihove st.devijacije imaju ulogu pondera. Stoga za računanje korelacije ulogu pondera. Stoga za računanje korelacije između takve diferencijalno ponderirane između takve diferencijalno ponderirane linearne kombinacije i vanjske varijable linearne kombinacije i vanjske varijable možemo koristiti prethodnu formulu, pri čemu možemo koristiti prethodnu formulu, pri čemu umjesto pondera (w) umjesto pondera (w) možemo uvrstitimožemo uvrstiti standardne devijacije varijablistandardne devijacije varijabli, tj. , tj. (koje u (koje u ovom slučaju imaju ulogu pondera).ovom slučaju imaju ulogu pondera).

jiiji

k

iiiy

uyr

rr

22

1

i,j = 1,...,k ; i < j

Ili još jednostavnije:

u

k

iiiy

uy

rr

1

Prethodni slučaj možemo razmatrati i kao model prema kojemu smo standardizirali članice linearne kombinacije i zatim ih ponderirali njihovim standardnim devijacijama:

UUii((dpdp)) = = zzi1i111 + + zzi2i222 + ... + + ... + zzikikkk

Primjer:Primjer:

Neka su zadana 2 prediktoraNeka su zadana 2 prediktora (P1 i P2) (P1 i P2) i kriterij i kriterij K K

P1 je dobar prediktor za KP1 je dobar prediktor za K

P2 je loš prediktor za KP2 je loš prediktor za K

P1 i P2 su nisko koreliraniP1 i P2 su nisko korelirani

P1 i P2 imaju različite stP1 i P2 imaju različite standardne andardne devdevijacijeijacije

P1 P2 K P1 1 0.20 0.96 1.2 P2 1 0.10 7.6 K 1.8

a) Izračunajte korelaciju J.L.K. P1 i P2 sa a) Izračunajte korelaciju J.L.K. P1 i P2 sa kriterijem K, uz pretpostavku da su prediktori kriterijem K, uz pretpostavku da su prediktori standardizirani:standardizirani:

b) Izračunajte korelaciju J.L.K. P1 i P2 sa b) Izračunajte korelaciju J.L.K. P1 i P2 sa kriterijem K uz originalne st.devkriterijem K uz originalne st.dev.. prediktorskih varijabli: prediktorskih varijabli:

c) Izračunajte korelaciju između D.P.L.K. P1 i c) Izračunajte korelaciju između D.P.L.K. P1 i P2 u slučaju kada bismo standardizirane P2 u slučaju kada bismo standardizirane varijable ponderirali na prikladniji način:varijable ponderirali na prikladniji način:

  Optimalni regresijski ponderi za ova 2 Optimalni regresijski ponderi za ova 2 prediktora iznose:prediktora iznose:

w w P1P1 = 0.98 = 0.98

w w P2P2 = -0.096 = -0.096

Elementi matrice X definirani su x = (xij), i=1,...,N ; j=1,...,k . zadaci z1 z2 z3 z4 z5 ... zk Ui Yi ______________________________________________________ 1 x11 x12 x13 x14 x15 ... x1k U1 Y1 2 x21 x22 x23 x24 x25 ... x2K U2 Y2 i 3 x31 x32 x33 x34 x35 ... x3K U3 Y3 s 4 x41 x42 x43 x44 x45 ... x4K U4 Y4 p 5 x51 x52 x53 x54 x55 ... x5K U5 Y5 i 6 x61 x62 x63 x64 x65 ... x6K U6 Y6 t 7 x71 x72 x73 x74 x75 ... x7K U7 Y7 ... ... … … … … … … N xN1 xN2 xN3 xN4 xN5 ... xNk UN YN _________________________________________________________ M M1 M2 M3 M4 M5 ... Mk Mu My V V1 V2 V3 V4 V5 ... Vk Vu Vy

Prilikom nekih praktičnih operacija Prilikom nekih praktičnih operacija pri pri konstrukciji i konstrukciji i validaciji testova (provalidaciji testova (proccjena diskriminativne valjanosti jena diskriminativne valjanosti čestica kompozitnih testova, faktorska validacija i sl.) čestica kompozitnih testova, faktorska validacija i sl.) susrećemo se s problemom izračunavanja korelacije susrećemo se s problemom izračunavanja korelacije između linearne kombinacije i neke varijable koja je između linearne kombinacije i neke varijable koja je uključena u tu linearnu kombinaciju.uključena u tu linearnu kombinaciju.

2. Korelacija između diferencijalno 2. Korelacija između diferencijalno ponderirane linearne kombinacije i neke ponderirane linearne kombinacije i neke njezine članice (spuriozna ili patvorena njezine članice (spuriozna ili patvorena korelacija)korelacija)

Ova situacija predstavlja samo poseban oblik Ova situacija predstavlja samo poseban oblik algoritma koji smo prethodno pokazali, no u algoritma koji smo prethodno pokazali, no u ovom slučaju kriterijska varijabla je bilo koja ovom slučaju kriterijska varijabla je bilo koja članica linearne kombinacije.članica linearne kombinacije.

Neka je zadan neki skup prediktorskih Neka je zadan neki skup prediktorskih varijabli koje su standardizirane varijabli koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-(transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti).vrijednosti).

    Skup članica J.L.K.: Skup članica J.L.K.:

0iM 1 iiV

Definirajmo korelaciju između linearne Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od 2 članice kombinacije koja se sastoji od 2 članice izražene u z-vrijednostima i npr. prve članice izražene u z-vrijednostima i npr. prve članice te linearne kombinacije kao produkt-moment te linearne kombinacije kao produkt-moment koeficijent korelacije:koeficijent korelacije:

Definirajmo korelaciju između linearne Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od kombinacije koja se sastoji od 22 članice članice izražene u z-vrijednostima i kriterijske izražene u z-vrijednostima i kriterijske varijable Y kao produkt-moment koeficijent varijable Y kao produkt-moment koeficijent korelacije:korelacije:

2211)( wzwzU dpi 1z

Neka je zadana D.P.L.K. od dvije varijablNeka je zadana D.P.L.K. od dvije varijablee koje koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti),metriku, ili z-vrijednosti),

11 uur N

)d(d i1u

1

11 ))((

u

iu

N

MzMU

Možemo pisati:Možemo pisati:

11 uur N

)z(U i1

01 MM u

Budući da kod standardiziranih varijabli Budući da kod standardiziranih varijabli vrijedi:vrijedi:

MM(dp)(dp) = w = w11MM11 + w + w

22MM22 = 0= 0

1

21

u

iww

N

)zz(z 121

Za standardne devijacije vrijedi:Za standardne devijacije vrijedi:

11

ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te uvrstimo izraze za standardne devijacijeuvrstimo izraze za standardne devijacije možemo pisatimožemo pisati::

211222

21

1221111

2

)zzw(z

wwrwwN

zwru

211222

21 2 wwrwwu

Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo pojedine korelacije između članica pojedine korelacije između članica linearne linearne kombinacije i prve članice:kombinacije i prve članice:

211222

21

21211

2 wwrww

wrwru

U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj kombinaciji, korelacija između kombinaciji, korelacija između diferencijalno diferencijalno ponderirane ponderirane linearne kombinacije z-vrijednosti i neke linearne kombinacije z-vrijednosti i neke njezine njezine člančlanice (ovdje je označena kao prva članica)ice (ovdje je označena kao prva članica) jednaka jejednaka je::

jiiji

k

jjj

uwwrw

wrw

r22

211

1

jikji ;,...,1,

Primjer: zadana je linearna kombinacija koja Primjer: zadana je linearna kombinacija koja se sastoji od dvije članice:se sastoji od dvije članice:

P1 P2 P1 1 0.20 1.2 P2 1 7.6

Ukupni rezultat u ovoj linearnoj kombinaciji izražen je Ukupni rezultat u ovoj linearnoj kombinaciji izražen je kao zbroj rezultata u dvije članice:kao zbroj rezultata u dvije članice:

UUdpdp = P = P11 + P + P

22

Važno ja uočiti da je to ekvivalentno modelu diferencijalno Važno ja uočiti da je to ekvivalentno modelu diferencijalno ponderirane linearne kombinacije u kojoj standardizirane ponderirane linearne kombinacije u kojoj standardizirane članice ponderiramo njihovim standardnim devijacijama:članice ponderiramo njihovim standardnim devijacijama:

UU((dpdp)) = = zzP1P111+ + zzP2P2 22

a) izračunajte korelaciju članice P1 i cijele linearne a) izračunajte korelaciju članice P1 i cijele linearne kombinacije Ukombinacije U

b) Izračunajte korelaciju članice P2 i cijele linearne b) Izračunajte korelaciju članice P2 i cijele linearne kombinacije Ukombinacije U

c) Provjerite za obje varijable koliko bi iznosile c) Provjerite za obje varijable koliko bi iznosile prethodne dvije korelacije kada bi prethodne dvije korelacije kada bi ukupni rezultat bio ukupni rezultat bio izražen prema modelu:izražen prema modelu:

UU((dpdp)) = = zzP1P1+ + zzP2P2

Kraj vježbeKraj vježbe