Embed Size (px)
Citation preview
Úvod do teórie hromadnej obsluhy
(THO) s praktickými príkladmi
Prednáška 5
20.10.2015
Ing. Marek Kvet, PhD.
Knihy, učebnice:
K. Janková, S. Kilianová, P. Brunovský, P. Bokes:
Markovove reťazce a ich aplikácie.
epos, 2014, ISBN 978-80-562-0075-9
J. Jablonský: Operační výzkum: Kvantitativní modely
pro ekonomické rozhodování.
Profesional Publishing, Praha 2002, ISBN 80-86419-23-1
Skriptá a učebné texty dostupné online:
http://frcatel.fri.uniza.sk/users/pesko/OA2/oa2m.pdf
Všetky uvedené zdroje môžu byť chápané aj ako
doporučená literatúra k štúdiu teórie hromadnej obsluhy.
Použité zdroje & užitočné odkazy
Teória hromadnej obsluhy (THO)
= matematická disciplína, ktorá analyzuje a rieši procesy, v ktorých toky požiadaviek
prechádzajú určitými zariadeniami, od ktorých vyžadujú obsluhu.
Priekopníkom THO bol dánsky inžinier Agner K. Erlang,
ktorý pracoval v kodanskej telefónnej ústredni a potreboval
vymyslieť postup, ako v jednom okamihu umožniť hovor čo
najväčšiemu počtu účastníkov. Na začiatku 20. storočia
odvodil unikátne vzorce pre pravdepodobnosti stavov
stabilizovaného Markovovho systému so stratami.
Ďalšími významnými osobnosťami, ktoré prispeli k rozvoju
teórie hromadnej obsluhy, boli:
A.J. Chinčin, A.N. Kolmogorov, D.G. Kendall, C. Palm a ďalší.
Úvod do teórie hromadnej obsluhy (THO)
Teória hromadnej obsluhy má veľké uplatnenie v rôznych odvetviach:
- navrhovanie železničných staníc, koľajísk
- riadenie systémov križovatiek ciest a iných dopravných uzlov
- určovanie kapacity letísk, navrhovanie pristávacích plôch
- dimenzovanie obslužných kapacít pôšt, bánk, úradov
- navrhovanie zariadení prístavov, čerpacích staníc
- navrhovanie počítačových sietí
- telekomunikácie
- mnohé ďalšie aplikácie
Využitie teórie hromadnej obsluhy v praxi
Základná myšlienka:
- ak nie je možné okamžité uspokojenie požiadavky (t.j. obsluha), požiadavka buď
odchádza zo systému ako nevybavená alebo čaká v rade na obsluhu.
Nie je možné vytvoriť toľko zdrojov obsluhy, koľko sa vygeneruje požiadaviek...
Dve protichodné požiadavky:
1. Aby sa nevytvárali pred obslužnými linkami príliš dlhé rady
2. Aby boli obslužné linky (zariadenia, personál) dostatočne využité
Úlohy teórie hromadnej obsluhy:
1. Analýza existujúcich systémov hromadnej obsluhy
2. Návrh a optimalizácia systémov hromadnej obsluhy
Teória hromadnej obsluhy využíva najčastejšie tieto nástroje:
- teóriu pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, náhodné funkcie
Ciele teórie hromadnej obsluhy
Systémy hromadnej obsluhy (SHO)
= predstavujú systémy (fyzické, spoločenské) slúžiace na uspokojenie potrieb jedincov,
zákazníkov, požiadaviek vstupujúcich do systému práve za účelom ich uspokojenia
= všetko, čo je medzi príchodom požiadavky do systému a jej odchodom zo systému
Systémy hromadnej obsluhy
Do systému, v ktorom sa nachádzajú linky obsluhy (obslužné kanály), prichádza
vstupný tok zákazníkov požadujúci obsluhu svojich požiadaviek. Obsluha zákazníka
trvá istý čas, počas ktorého je linka obsluhy blokovaná (nemôže poskytnúť obsluhu inému
zákazníkovi). Zákazníci po ukončení obsluhy uvoľňujú linku a vytvárajú výstupný tok
zákazníkov.
Ak v okamihu príchodu zákazníka nie je voľná žiadna linka obsluhy, zákazník môže
(nemusí) čakať v rade (na ukončenie obsluhy niektorej linky obsluhy), ktorý nazývame
front.
Štruktúra systémov hromadnej obsluhy
Zákazníci, jednotky, požiadavky
– subjekty vyžadujúce obsluhu (ľudia, stroje, ...)
Zdroj jednotiek, vstupný tok
– množina jednotiek prichádzajúcich do SHO, časová postupnosť vstupov
Front
– množina jednotiek čakajúcich na obsluhu, tzv. čakací priestor
Linka obsluhy
– zariadenie alebo osoba realizujúca obsluhu požiadavky, v systéme ich môže
byť niekoľko a môžu na seba nadväzovať
Výstupný tok
– časová postupnosť výstupov zo SHO, môže byť vstupom do iného SHO
Štruktúra systému hromadnej obsluhy
Základné elementy SHO - príklady
Systém obslužné linky požiadavky
ambulancia lekára lekár pacienti
banka úradníci klienti
samoobsluha pokladne, nákupné vozíky zákazníci
výrobná linka v automobilke miesta na výrobnej linke výrobky
dopravný systém svetelná križovatka vozidlá
čerpacia stanica čerpacie stojany vozidlá
železničná stanica pokladne cestujúci
poisťovňa úradníci poistné prípady
telefónna centrála telefónne linky volajúci
lyžiarske stredisko vleky lyžiari
ÚLOHA
Pokúste sa vo svojom okolí nájsť 5 príkladov SHO (z reálneho života). Presne špecifikujte, čo (kto) je
zákazník, obslužná linka, obsluha a aké obmedzenia na front prichádzajú do úvahy.
Na modelovanie systémov hromadnej obsluhy potrebuje tieto základné informácie:
1. popis zákonitostí vzniku a príchodu požiadaviek do systému
= vstupný tok zákazníkov
2. popis správania sa zákazníkov, ktorí vstúpili do systému, v prípade, že
nemôžu byť obslúžení okamžite, obmedzenia na dĺžku frontu, priority
= režim frontu
3. počet obslužných liniek a popis priebehu vlastnej obsluhy
= organizácia obsluhy
Aké informácie o SHO potrebujeme?
Štandardné výstupné informácie (výsledky analýzy SHO):
- aký je priemerný počet zákazníkov (požiadaviek) vo fronte, resp. v systéme?
- koľko času v priemere strávi zákazník čakaním na obsluhu?
- aká je priemerná doba zotrvania požiadavky v systéme?
- aká je pravdepodobnosť, že zákazník zostane neobslúžený?
- stabilizuje sa systém alebo bude dĺžka jeho frontu narastať do nekonečna?
- aký je priemerný počet obsadených (voľných) liniek obsluhy?
- aká je pravdepodobnosť, že všetky obslužné linky budú obsadené
(pravdepodobnosť čakania vo fronte)?
- aké je optimálne množstvo liniek, ktoré má firma prevádzkovať, aby
minimalizovala svoje náklady alebo maximalizovala zisk?
- aká má byť efektivita (výkonnosť, rýchlosť) jednej obslužnej linky v systéme
s ohraničeným frontom, aby priemerné straty z odmietnutých zákazníkov
neprekročili určitú hodnotu?
Vybrané ukazovatele efektivity práce SHO
1. Matematický aparát teórie pravdepodobnosti
- zostavenie matematického modelu a jeho analytické riešenie
- na základe získaných výsledkov sa potom získajú vzťahy pre výpočet
charakteristík systému
exaktný popis správania sa SHO
matematický aparát dostupný len pre úzku skupinu úloh
2. Počítačová simulácia
- vytvorenie softvérového nástroja na simuláciu skúmaného systému
postup je možné aplikovať na väčšinu skúmaných systémov
dajú sa zohľadniť špecifiká konkrétnej úlohy
časovo náročné, vyžaduje si odborné znalosti
získané výsledky sú postavené len na odhadoch a štatistickom spracovaní
Prístupy k modelovaniu SHO
1. Vstupný tok zákazníkov
- postupnosť príchodov zákazníkov, ktorí nasledujú jeden po druhom v nejakých
časových intervaloch
- zákazníci môžu prichádzať jednotlivo alebo v skupinách
- ich počet môže byť (ne)obmedzený
- medzery medzi príchodmi môžu byť pravidelné alebo náhodné (vtedy
vyžadujú pravdepodobnostné charakteristiky vstupného toku)
Zdroje požiadaviek:
- otvorené – obslúžená jednotka sa nevracia do zdroja (holičstvo, krematórium)
- uzavreté – obslúžená jednotka sa vracia do zdroja
- konečné – typické pre uzavreté systémy
- nekonečné - počet požiadaviek je veľký, značne prekračuje kapacitu systému
Charakteristika základných častí SHO
Podľa okamihov príchodu požiadaviek delíme vstupné toky na:
- deterministické
zákazníci prichádzajú k miestu obsluhy v presne stanovených a
vopred známych intervaloch (napr. výrobky na automatickej linke)
- náhodné
príchod požiadaviek je nepravidelný – okamihy príchodov predstavujú
náhodné veličiny popísané niektorým pravdepodobnostným rozdelením.
V THO sa najčastejšie riadi Poissonovým rozdelením, ktoré úzko
súvisí s exponenciálnym rozdelením. Poissonovo rozdelenie modeluje
počet udalostí v čase a exponenciálne sa používa na modelovanie doby
do výskytu ďalšej udalosti. (k uvedeným rozdeleniam sa ešte vrátime)
- zmiešané
niektoré požiadavky prichádzajú k miestu obsluhy v pevne daných intervaloch
a niektoré náhodne (napr. k lekárovi prichádzajú objednaní pacienti v presne
stanovenom čase, ostatní v premenlivých intervaloch)
Charakteristika základných častí SHO
2. Front
- miesto, kde čakajú zákazníci, ktoré nemohli byť obsluhovaní okamžite v čase
ich príchodu do systému
- je to teda čakací priestor medzi zdrojom zákazníkov a linkami obsluhy
Z hľadiska kapacity môže byť front:
- nulový - prvok, ktorý nemôže byť hneď obslúžený, je odmietnutý
(v takýchto systémoch front de facto neexistuje)
- nenulový
a, neobmedzený – prevádza systému dovoľuje čakací systém
akejkoľvek dĺžky
b, obmedzený – ak vstúpi zákazník v čase, kedy je naplnená
kapacita systému (frontu), je odmietnutý
Charakteristika základných častí SHO
Z pohľadu frontov delíme systémy hromadnej obsluhy na:
- SHO so stratami - systémy s tzv. odmietnutím, kde požiadavka musí opustiť
systém alebo doň vôbec nevstúpi, t.j. systémy s
obmedzenou dĺžkou frontu alebo s obmedzeným počtom
zákazníkov v systéme
- SHO bez strát - žiadna požiadavka nie je odmietnutá
Spôsob, ktorý určuje formu prechodu čakajúcich požiadaviek z frontu do niektorej
obslužnej linky, sa nazýva režim frontu. Najznámejšie formy sú:
- FIFO – first-in/first-out, príkladom sú pokladne v supermarkete
- LIFO – last in/first out, príkladom je ukladanie polotovarov na seba, výťah
- SIRO – selection in random order, nástup cestujúcich do autobusu MHD
- PRI – priority, HVF – high value first, úrazy u lekára, dopravné nehody
(triedenie pacientov podľa dôležitosti)
Charakteristika základných častí SHO
Z pohľadu disciplíny delíme fronty na:
- absolútne netrpezlivé zákazník do systému, v ktorom sú všetky obslužné
linky obsadené, nevstúpi a rezignuje na obsluhu
- bez netrpezlivosti zákazníci čakajú na obsluhu bez ohľadu na dobu
čakania tak dlho, kým sa neuvoľní linka obsluhy
- kombinované (čiastočne netrpezlivé)
zákazníci čakajú vo fronte len určitý čas, potom
rezignujú (ak sa nezačala ich obsluha) a systém
opustia
Charakteristika základných častí SHO
3. Počet liniek obsluhy a ich usporiadanie
Linka obsluhy
- poskytuje obsluhu realizáciou požiadaviek zákazníkov
- samotná obsluha môže byť poskytovaná jednou alebo viacerými linkami,
pričom niektoré linky môžu byť špecializované
- Doba obsluhy (čas trvania obsluhy) môže byť rovnaká pre všetky linky a pre
všetkých zákazníkov alebo závislá od typu zákazníka, prípadne náhodná
(vtedy si vyžaduje pravdepodobnostné rozdelenie).
Počet liniek obsluhy:
- obmedzený (pokladne v supermarkete)
- neobmedzený
Charakteristika základných častí SHO
Systémy hromadnej obsluhy podľa počtu obslužných liniek:
- jednokanálový
- viackanálový (sériový / paralelný)
- jednofázový
(iba jeden uzol obsluhy, t.j. jeden
alebo niekoľko paralelných kanálov)
- viacfázový
niekoľko uzlov usporiadaných
sériovo alebo v sieťovej štruktúre
Doba obsluhy
- deterministická
- náhodná
Charakteristika základných častí SHO
4. Výstupný tok zákazníkov
- postupnosť okamihov odchodov zákazníkov zo systému
- vlastnosti výstupného toku sú obvykle závislé od vstupného toku, režimu
frontu a doby obsluhy
- výstupným tokom sa treba zaoberať najmä vtedy, ak je vstupným tokom do
ďalšieho SHO.
Charakteristika základných častí SHO
Teória hromadnej obsluhy sa zaoberá predovšetkým štúdiom takých
prípadov, kde jednotky (zákazníci) vstupujú do systému nepravidelne
a dĺžky obsluhy jednotlivých požiadaviek nie sú rovnaké.
Vo väčšine prípadov, ktorými sa budeme zaoberať aj my, spôsobuje čakanie
zákazníkov vo fronte na obsluhu dodatočné náklady, resp. straty.
Študované systémy hromadnej obsluhy
Podľa možností vytvorenia frontu
- s odmietnutím - bez čakania zákazníka v rade
- s konečným frontom - s obmedzeným počtom miest v rade
- s nekonečným frontom
- s obmedzeným čakaním
Podľa typu modelov
- Markovove - nezávislé exponenciálne medzery medzi príchodmi a odchodmi
zákazníkov
- semimarkovove - s Erlangovými medzerami prichádzajúcich zákazníkov
- nemarkovove - so všeobecným vstupným tokom zákazníkov a ich dobou
obsluhy
Klasifikácia SHO – súhrn
Podľa zdroja vstupného toku zákazníkov
- otvorené systémy - s neobmedzeným počtom zákazníkov
- uzavreté systémy - s konečným počtom cirkulujúcich zákazníkov
- zmiešané systémy - kombinácia otvorených a uzavretých
- siete - zložené z viacerých prepojených elementárnych systémov hromadnej
obsluhy, pričom výstupný tok z jedného systému môže byť vstupným
tokom druhého systému.
Poznámka:
Uvedené delenie systémov nie je úplné. Špecifickými kritériami sú napr. usporiadanie
liniek v obsluhe - sériové systémy alebo rôzne druhy priorít liniek alebo zákazníkov -
prioritné systémy.
Klasifikácia SHO – súhrn
Vzhľadom k rozmanitosti systémov hromadnej obsluhy bola vypracovaná Kendallova
úsporná notácia (systém zápisu), ktorá kompaktne zachytáva a klasifikuje štandardné typy
modelov hromadnej obsluhy. Spravidla obsahuje tri znaky, v rozšírenej verzii 5 alebo 6.
Kendallova klasifikácia: A / B / N
A typ pravdepodobnostného rozdelenia popisujúci intervaly medzi príchodmi
zákazníkov (arrivals) do systému
B typ pravdepodobnostného rozdelenia popisujúci dobu trvania obsluhy
N počet liniek obsluhy
Rozšírená Kendallova klasifikácia: A / B / N / K / (S) / Y
K maximálny počet požiadaviek v systéme (obmedzenie dĺžky frontu), obvykle ∞
S počet zdrojov požiadaviek (obmedzenie vstupného toku)
Y režim frontu (FIFO, LIFO, SIRO, PRI), ak sa tento člen vynechá, myslí sa FIFO
Kendallova klasifikácia SHO
Typ vstupu určuje pravdepodobnostné rozdelenie doby medzi príchodmi dvoch po sebe
nasledujúcich zákazníkov. Typ obsluhy určuje rozdelenie pre trvanie obsluhy.
D Deterministický vstup alebo obsluha (konštantný interval)
M Exponenciálne rozdelenie (my ho budeme najčastejšie používať)
Ek Erlangovo rozdelenie k-teho rádu
N Normálne rozdelenie
U Rovnomerné rozdelenie
G Všeobecné rozdelenie popísané strednou hodnotou, smerodajnou odchýlkou, ...
Príklady:
M / D / 1 / 0 = systém s exponenciálnym rozdelením intervalov medzi príchodmi,
konštantnou dobou obsluhy, jednou linkou bez frontu (počet čakajúcich je 0)
M / M / 1 = najjednoduchší elementárny systém s Poissonovým vstupným tokom
Kendallova klasifikácia SHO
JEDNOKANÁLOVÝ SYSTÉM
HROMADNEJ OBSLUHY
M / M / 1
Matematické okienko
Najčastejšie využívaným spôsobom matematického popisu vstupného toku
je zadanie distribučnej funkcie pravdepodobnostného rozdelenia.
Najčastejšie využívaným typom vstupného toku je
tzv. Poissonov vstupný tok,
v ktorom má interval medzi príchodmi požiadaviek do systému
exponenciálne rozdelenie.
Elementárne SHO s Poissonovým tokom
- Patrí medzi diskrétne náhodné premenné
- Pravdepodobnostné rozdelenie je definované jedným parametrom λ > 0,
ktorý udáva stredný počet udalostí za jednotku času.
- Poissonova náhodná premenná môže
nadobúdať hodnoty 0, 1, 2, ...
predstavovať počet zákazníkov prichádzajúcich do systému za jednotku času
- Pravdepodobnostná funkcia je definovaná nasledovne:
pre λ > 0, k = 0, 1, 2, ...
Inak Stredná hodnota a rozptyl
E(X) = D(X) = λ
Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti
Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti
- Patrí medzi spojité náhodné premenné
- Pravdepodobnostné rozdelenie je definované jedným parametrom λ > 0
- Exponenciálna náhodná premenná predstavuje obvykle dobu trvania činnosti (napríklad
obsluhy zákazníka v SHO), prípadne dobu medzi udalosťami (príchodmi zákazníka).
- Ak sa počet prichádzajúcich zákazníkov za jednotku času riadi Poissonovým rozdelením,
potom dĺžky medzier medzi príchodmi zákazníkov sa riadia exponenciálnym rozdelením.
- Pre hustotu pravdepodobnosti platí: Stredná hodnota
f(x) = λe-λx pre λ > 0, x > 0 E(X) = 1 / λ
f(x) = 0 inak
- Pre distribučnú funkciu platí: Rozptyl
F(x) = 1 - e-λx pre λ > 0, x > 0 D(X) = 1 / λ2
F(x) = 0 inak
Exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti
Hustota pravdepodobnosti Distribučná funkcia
Exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti
Homogénnym Poissonovým procesom s parametrom λ, λ > 0, rozumieme homogénny
Markovov proces s množinou stavov S = {0, 1, 2, ...} s počiatočným rozdelením
p(0) = (1; 0; 0; ...) a s nasledujúcim prechodovým grafom
�Ďalej budeme v názve vynechávať slovo „homogénny” a skracovať len na Poissonov proces.
So všeobecnejšími nehomogénnymi Poissonovými procesmi sa nebudeme zaoberať.
Pre Poissonov proces s parametrom λ, λ > 0, a množinu stavov S = {0, 1, 2, ...} platí
Homogénny Poissonov proces
Pre Poissonov proces s parametrom λ, λ > 0, a množinu stavov S = {0, 1, 2, ...} platí
Parameter λ možno interpretovať ako stredný počet udalostí (zmien stavu) za jednotku času
a nazvať intenzitou Poissonovho procesu.
Homogénny Poissonov proces - vlastnosti
Elementárny vstupný tok je taký tok, ktorý spĺňa tieto 3 základné vlastnosti:
1. Stacionárnosť - nemennosť stochastického režimu: Počet zákazníkov, ktorí
prichádzajú do SHO za čas t, závisí jedine na dĺžke tohto
časového intervalu a nezávisí na jeho polohe na časovej osi.
2. Beznáslednosť - neexistencia následných účinkov: Počet zákazníkov, ktorí
prichádzajú do SHO za čas t, nezávisí na počte zákazníkov,
ktorí do SHO prišli pred začiatkom tohto časového intervalu.
3. Ordinárnosť - Zákazníci prichádzajú do SHO jednotlivo.
Pre elementárny vstupný tok platí: Pravdepodobnosť pj(t), teda že za čas t príde práve j
zákazníkov, je rovná:
Elementárny vstupný tok v SHO
Elementárny vstupný tok udalostí
so stredným počtom udalostí za jednotku času λ
je Poissonovým procesom s parametrom λ.
Ak z pozorovania nejakého toku udalostí zistíme,
že je stacionárny, beznásledný a ordinárny,
vieme, že sa jedná o Poissonov proces.
Elementárny vstupný tok v SHO
Za krátky časový okamih Δt→0 sú prípustné len tieto prechody:
1. Príchod jedného zákazníka nastane s intenzitou prechodu λ (intenzita
príchodov zákazníkov nezávisí od počtu zákazníkov nachádzajúcich sa
v systéme).
2. Odchod jedného z k obsluhovaných zákazníkov, kde k = 1, 2, ..., n
nastane s intenzitou kμ (intenzita odchodu zákazníka závisí na počte
zákazníkov, ktorí sú v obsluhe).
Intenzity prechodov v SHO
Majiteľ potravín zistil, že v rannej špičke prichádza do potravín priemerne 20 zákazníkov za
5 minút. Majiteľova manželka sa domnieva, že v priebehu 10 minút môžu očakávať príchod
30 zákazníkov. Optimistický majiteľ však v priebehu 10 minút očakáva 40 zákazníkov. Kto z
manželov má presnejší odhad?
Riešenie:
Budeme predpokladať, že príchody zákazníkov sú náhodné udalosti a tok zákazníkov je
elementárny tok. Zodpovedajúci Poissonov proces má intenzitu λ = 20 / 5 = 4 zák. / min.
Pravdepodobnosť j = 30-tich príchodov za t = 10 minút je rovná
Pravdepodobnosť j = 40-tich príchodov za t = 10 minút je rovná
Manžel má presnejší odhad.
Jednoduchý príklad
ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ!
priestor pre Vaše otázky – viac na cvičení
