Volumen de un sólido de revolución. Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie

plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.

 Método de los cilindros. Primer caso: Cuando el eje de giro está adyacente al area que se va a hacer girar.

 

Consideremos un rectángulo de altura r , anchura  y hagámosla

girar alrededor de un eje de revolución, tal como  lo indica la figura:

 Puede observarse que al hacer girar repetidas veces el rectángulo alrededor del

eje de revolución se genera un cilindro cuyo volumen es:

 

                                                           

 Tomemos ahora una superficie plana y un eje de giro adyacente a ella, tal como lo

muestra la figura anterior, dicha superficie plana está formada por n rectángulos

cuya base es  y altura 

, entonces al hacer girar la superficie

alrededor del eje de revolución, se verá que cada uno de ellos forma un cilindro

cuyo volumen será:

                                                           

 y el volumen del sólido cuando   será:

                        

                         

                                                                                        

 cuando el eje de giro  es horizontal. De  manera análoga, si el eje de revolución es vertical, entonces :

            

Ejemplo 1: 

Hallar el volumen generado al hacer girar alrededor del eje

 la superficie plana formada por  ;

 ;  .

 Solución: El rectángulo representativo de la superficie plana que servirá de muestra para

encontrar el volumen buscado siempre es perpendicular al eje de giro, así que el

volumen de este rectángulo representativo, que denotaremos por

 estará dado por:

                                   

 y la suma de los volúmenes de todos los cilindros que se obtienen al hacer girar

todos los rectángulos representativos desde  hasta

:

    

   

   

 

Ejemplo 2: Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje

 la superficie limitada por  ;

 .

 Solución:  Empezaremos por hacer la gráfica del problema y trazar un rectángulo

representativo perpendicular  al eje de giro.

 

En este caso,   y

 , por lo tanto el volumen representativo

está dado por

Y la suma de todos los cilindros desde , hasta

:

   

   

   

 Segundo caso: Cuando el eje de giro no es adyacente a la superficie que se va a girar. Si  se hace girar dicha superficie alrededor del eje x, se obtiene la siguiente figura Observa que se genera un sólido con una región hueca.

Si se toma un rectángulo perpendicular al eje de revolución y se hace girar

repetidamente alrededor de éste, apreciaremos que se genera un cilindro circular

hueco.

Dado que el volumen de un cilindro circular hueco se representa geométricamente así: 

                                               

 entonces el que genera nuestro rectángulo en cuestión podrá expresarse así;

                                               

con

           

Procediendo de manera análoga como en el primer caso, el volumen del sólido estará dado por

                                               

Ejemplo 3: 

Calcula el sólido que se genera al girar alrededor del eje

 la  superficie formada por las gráficas de  y

 Solución: Graficando primeramente:

 

 

Luego, como los puntos de intersección de ambas gráficas son

, entonces               

   

   

 Método de láminas cilíndricas. En oportunidades para calcular un volumen es necesario tomar los rectángulos paralelos al eje de rotación en lugar de perpendiculares como se hizo en los métodos anteriores, tal como se muestra en la siguientes figuras. 

  Cuando se gira uno de los rectángulos alrededor del eje de rotación forma una

lámina cilíndrica o casquillo de altura  y grosor

 , misma que si la cortáramos la veriamos así:                                                 figura 

El volumen de esta lámina estaría dada por :

                                                y el volumen del sólido se obtendría sumando los volúmenes de todas las láminas contenidas en dicha región y que se puede expresar así; 

                                               

 Ejemplo 4: Encuentra el volumen generado al hacer girar la superficie formada por

 y  

alredededor del eje . Solución:

  En este caso como x rerpesenta todas las posiciones que van tomando las

láminas dentro de la región sólida y  la altura de cada una de ellas, entonces:   

   

   

 Problemas Propuestos: Encuentra el vlumen del sólido que se genera al girar la superficie indicada alrededor del eje X. 

 Calcula  el volumen del sólido que se  genera al  rotar la superficie que se te indica alrededor del eje Y.