Volumen:

método de la sección transversal

S : el sólido.

X

Y

[a, b] : intervalo en el eje X determinado por las secciones transversales del sólido.

ba

S

A(x) : área de la sección transversal en la posición x.

x

A(x)

b

a

A(x)dxV(S)Volumen del sólido S:

Volumen: método de la sección transversal

Ejercicio 1: La figura muestra un sólido con base circular de radio 1. Las secciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.

Volumen: método de la sección transversal

Volumen: método de la sección transversal

Solución: La base circular se muestra a la izquierda, en donde se indicado con rojo la base AB de la sección transversal ABC de la figura anterior a una distancia x del origen:

y

x

Y

X01-1

A

B

1 22 yxComo el círculo tiene por ecuación , tenemos que:

111 x ,xy 2

A B

C

60º 60ºyy

y3

Sección transversal ABC a una distancia x del origen, de la figura anterior.

Volumen: método de la sección transversal

Luego, el área de la sección transversal ABC es:

)x-(3y32y2

hb2

A(x) 2111

y el volumen del sólido, es:

334

)x3

(x32)dxx(32A(x)dx2V(S) 32

1

0

1

0

1

0

11

en donde se utilizó la simetría del sólido.

Ejercicio 2: De un cilindro circular de radio 4 se corta una cuña por medio de dos planos. Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El otro plano corta al primero en un ángulo de 30° a lo largo de un diámetro del cilindro. Halle el volumen de la cuña.

Volumen: método de la sección transversal

Volumen: método de la sección transversal

Solución: La base circular se muestra a la izquierda, en donde se indicado con rojo la base AB de la sección transversal ABC de la figura anterior a una distancia x del origen:

y

x

Y

X04-4

A

B

16 22 yxComo el círculo tiene por ecuación , tenemos que:

4416 x ,xy 2

Sección transversal ABC a una distancia x del origen, de la figura anterior.

A B

C

y30º

ytan30°

Volumen: método de la sección transversal

Luego, el área de la sección transversal ABC es:

32)x-(

ytan30y2

hb2

A(x)21611

y el volumen del sólido, es:

33128

)x3

6x(3

)dxx(3

A(x)dx2V(S) 32

4

0

4

0

4

0

11

116

1

en donde se utilizó la simetría del sólido.