Vorlesung 13 Dr. Ralf Dörner · 6 Dr. Ralf Dörner Visualisierung – Vorlesung 13 11 WS 2002/2003 ˛ ˚ Datenerfassung und -konvertierung in geeignete Formate, Datenvervollständigung,

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Dr. Ralf Dörner

*RHWKH�8QLYHUVLWlW��)UDQNIXUW

*UDSKLVFKH�'DWHQYHUDUEHLWXQJ

��

Vorlesung 13

WS 2002/20032Visualisierung – Vorlesung 13Dr. Ralf Dörner

� ��

� Visualisierung von � Konnektivität� Multivariaten Daten� Raumbezogenen Daten� Zeitbezogenen Daten� Volumendaten� Strömungsdaten

2


� ��

1. Volumendaten: Grundlagen –Begriffsbestimmung

2. Visualisierungspipeline für Volumendaten3. Methoden der Volumenvisualisierung

� Dekompositionsmethoden� Extraktion von Flächen� Direkte Darstellung als semitransparente

Elemente


��

Visualisierung von Volumendaten = Volumenvisualisierung

Vergleichsweise häufiger Datenfall:Punkte in einem 3-dim. Bezugssystem mit skalaren Daten, u.a. � Computertomographie = CT� Magnetresonanztomographie = NMR� 3D Ultraschall� Laserraster- bzw. Elektronenraster-Mikroskope� Simulationen� Berechnungen, z.B. Finite Elemente FE

3


��

In der Literatur nicht einheitlich benutzt; doch oft:Ein skalarer Wert pro Beobachtungspunkt in einem 3-dimensionalen räumlichen Bezugssystem (oft mit lokalen Wirkungskreis)oft weiterhin: regelmäßiges 3D-Gitter: also eine Funktion f auf dem Gebiet


��

Eine Gitterzelle bezeichnen wir als Volumenelement = ��

Manche Autoren unterscheiden, je nachdem ob die Funktion f(x,y,z) als � kontinuierlich oder� stückweise konstant(= homogen) angenommen wird.

Oft besser als Abtastwert gemäß der Abtasttheorie betrachten!

Beobachtungspunkte können sein:� Zentrum einer Zelle: 1 Datenpunkt pro Zelle� Eckpunkt einer Zelle: 8 Datenpunkte pro Zelle

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��

� Achtung. Die Auswertung erfolgt an nx*ny*nz Punkten.


��

Die Werteverteilung innerhalb der Zelle wird oft durch eine trilineare Interpolation (selten durch eine höherer Ordnung) bestimmt.

C

G H

D

E F

A B

(0,1,0)

(0,1,1) (1,1,1)

(1,1,0)

(0,0,1) (1,0,1)

(0,0,0) (1,0,0)

P

nd.entspreche , yersetzt, x

durch xwird

liegen, ),,(x nKoordinate beliebigen auf H und A Wenn

))()(()1)()((

))()(1()1)()(1(

))(1)(()1)(1)((

))(1)(1()1)(1)(1(

(1,1,1) auf H (0,0,0), Position auf liegtA

HA,...,I I, Eckpunkt am Wertder sein

pp

p

a

S

DK

D

DD

SSS+SSS'

SSS*SSS&

SSS)SSS%

SSS(SSS$S

,

][[

[

]\

]\[:]\[:

]\[:]\[:

]\[:]\[:

]\[:]\[::

:

−−

+−

+−+−−

+−+−−

+−−+−−−=

=

5


��

Für diverse Aufgaben (z.B. Beleuchtungsrechnung) wird der Gradient der skalaren Funktion f(x,y,z) benötigt:

Eigenschaften: Gradienten stehen senkrecht zu den Isoflächenf(x,y,z)=const.

I.d.R abgeschätzt durch Zentraldifferenzen:

Richtung-z y-, x-,in ktorenEinheitsve die sind ,, .-,PLW

.]

I-

\

I,

[

IIJUDG

&&&

&&&

∂∂

∂∂

∂∂ ++=

]

]

\

\

[

[

V

]\[I]\[I*

V

]\[I]\[I*

V

]\[I]\[I*

2)1,,()1,,(

;2

),1,(),1,(

;2

),,1(),,1(

−−+=

−−+=

−−+= Gx, Gy, Gz sind die Komponenten desGradienten,sx, sy, sz sind die Schrittweiten des Gitters


��

Filtering Rendering

Mapping

Klassi-fikation

Flächen-extraktion

Volumen-daten Bild

�Datenumfang in der Regel sehr groß:

Datenwürfel von nur 64 x 64 x 64 Voxel entsprechen mit 4Byte/Voxel 1 MByte Daten512 x 512 x 512 Voxel entsprechend 512 MByte

6


��

� Datenerfassung und -konvertierung in geeignete Formate,

� Datenvervollständigung,� Datenreduktion und� Überführung von skalaren Daten in einem

räumlichen Bezugssystem auf ein regelmäßiges Gitter.


��

Abbildung der Datenwerte auf graphische (visuelle) Attribute��

Datenklassen werden Grauwert, Farbwerte oder Transparenzwerte zugeordnet z.B. mit LUTs

Sehr sensibler Schritt: Potentiell fehlerinduzierend!

[Drebbin, Levoy] schlagen deshalb �� vor:

Datenwert wird eine Zugehörwahrscheinlichkeit zu einem Attributwert zugeordnet, nicht der Attributwert selbst.

Ergebnis kann gerendert werden � direkte Darstellung oder � Flächenextraktion (Ermittlung von Isoflächen)

7


�� !��

� Dekomposition der Datenmenge in Punkte, Volumenelemente oder Schichten und Darstellung dieser Elemente

� Flächenextraktion, i.d.R Isoflächen und Darstellung dieser Flächen

� Darstellung als semitransparente Objekte („Wolken“)


��

� Einfachste Variante: Darstellung der Gitterpunkte als farbige, ggf. transparente Pixel

Pro: Einfach, schnellCon: durch die Winzigkeit der Primitive ist die

Interpretation schwierig und die Interpretation eingeschränkt

� Quadermethode

8


"��

� Für jedes Volumenelement wird ein kleiner Quader bestimmt.

� Zwischen diesen Quadern wird ein Abstand M belassen, um ins innere des Volumen schauen zu können.

� Die Abmaße und Positionen (untere linke Ecke) der Quader bestimmen sich zu:

��

��

��

]

]

\

\

[

[

−+−=∆

−+−=∆

−+−=∆

)1(

)1(

)1(

minmax

minmax

minmax

]]N

\M

[[L

��

��

��

,...,1 und )1(

,...,1 und )1(

,...,1und)1(

0

y0

0

=+∆+=

=+∆+==+∆+=

),,(]\[

∆∆∆


"��

� Jedem Eckpunkt ist ein Farbwertb zugeordnet. Die Quaderflächen werden Gouraud-schattiert ausgegeben.

� Anstelle von Quadern lassen sich auch andere Primitive für die Zellen nutzen: Kugeln, Tetraeder

9


"��#��

Großes M Kleineres M� Kleine Quader, hohe Transparenz � größere Quader, geringere Transp.


"��#��

Achtung Kleine Quader sind sehr anfällig für Aliasingartifakte!

10


$��

Tetraeder als Primitive Kugeln als PrimitiveCon: Induzieren Richtungen


��%��"��

��

� Quader werden mit transparenten Seiten gerendert: Aus je vier Gitterpunkte werden semitransparente Polygone

� Probleme mit z-Buffer Sichtbarkeitsbestimmung� Back-to-Front-Order Ausgabe nötig!

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%��"��

��

Geringe Transparenz Höhere Transparenz


�� !��

Anstelle der trivariaten Funktion f(x,y,z) werden bivariate Funktionen der Form

dargestellt. Die Schnittebenen können i.d.R. interaktiv ausgewählt (verschoben) werden. Man nennt sie manchmal auch �� Wird sehr häufig genutzt. Haben in vielen Anwendungsfeldern lange Tradition.

)1(,...,0 mit),,(),(

)1(,...,0 mit ),,(),(

)1(,...,0 mit ),,(),(

+==

+==+==

]NN

\MM

[LL

��

��

��

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��!��


�� !��

Anordnung der Schnitt-ebenen geändert.

Zusätzlich werden dieDaten in einem Höhen-feld kodiert.(indirekter Raumbezug)

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�&��!��'��

� Typischerweise werden Isoflächen (Positionen eines bestimmten Datenwertes (Schwellwertes)) extrahiert.

� Topologische und geometrische Eigenschaften werden offensichtlich

� Flächeninhalte oder Volumina können einfach abgeschätzt werden.

� Wahl des Schwellwertes (und damit die Segmentierung) beeinflusst das Ergebnis sehr stark! Ist kritisch!

� Sehr leicht können u.U. auch falsche Interpretationen suggeriert werden!


��(��&��

��:Ein Schwellwert oder SchwellwertintervallErmittlung von drei Klassen

innen - auf - außen

Alle „auf“ Voxel repräsentieren eine grobe Approximation der Isofläche.

Ermittlung von nur zwei Klassen (numerisch stabiler)innen – außen

Seitenflächen, die einen „innen“ und einen „außen“ Nachbarn haben, approximieren die Isofläche.

�� Voxelstruktur (Blockstruktur) bleibt deutlich sichtbar!

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�&��!��'��

Isoflächen verlaufen beliebig innerhalb einer Zelle

�� Contouring & Connecting� Marching Cube� Dividing Cube� Marching Tetraeder


)�� *�)��

��(1) Auf parallelen Schnitten eines Daten-würfels werden 2D-Isolinien extrahiert (Verfahren hierzu siehe 7. Gestaltregeln, ...).

(2) Benachbarte Ebenen werden durch Dreiecksnetze verbunden.

��Bei verschiedenen Kontur-Topologien auf benachbarten Ebenen ist eine eindeutige Verbindung nicht möglich!

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+�� )�� *�)��

� Interaktive Nutzereingabe zur Spezifikation von Konturen, die miteinander verknüpft werden sollen

� Unterteilung der Bereiche mit Mehrdeutigkeiten und Versuch der Problemlösung in abgegrenzten Gebieten

� Verwendung von Kostenfunktionen als Entscheidungsgrundlage

� Einbeziehung weiterer Eigenschaften der Konturen wie Form, Konvexität oder Orientierung.

� Eine gute Übersicht und Details hierzu finden sich bei [Müller und Klingert]


+��)� ��"�� #$

�� Ein Würfel (Quader) wandert im Datenwürfel von Zelle zu Zelle. Die Eckpunkte der Zellen werden gemäß der Schwelle klassifiziert (innen – außen). Die Schnittpunkte Isofläche/Würfelkante werden durch lineare Interpolation ermittelt und zu Flächen verbunden.

innen

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

0 0 1 0 0 0 0 0

V1 V2

V3V4

V5 V6

V7V8

außen

außen

außenaußen

außen

außen

außen

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,�� +��)� �

Die Bitbelegung im Klassifizierungsvektor bestimmt das Flächenbild:

die 256 möglichen Belegungen repräsentieren 15 verschiedene Topologien

Theoretisch nicht ausreichend:

Fälle 3, 6, 7, 10, 12, 13 sind nicht eindeutig

Trotzdem: Für visuelle Auswertungen bei großen Datensätzen ausreichend!


+��

Fall 3: zwei Möglichkeiten für die Konstruktion der Kanten

Lösung: Ein weiterer Datenpunkt in der Mitte der Fläche wird durch Interpolation ermittelt und auch klassifiziert.

� Lage der Flächen werden eindeutig.

?

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-�� +��)� � . (��

Bei großvolumigen Daten entstehen sehr viele Dreiecke � hoher Speicherbedarf, große Render-ZeitenVerbesserungen: Triangle Strips können Render-Zeiten reduzieren.Reduzierung der Anzahl der Dreiecke durch Zusammenfassungen (Simplification) , z.B. anhand der Größe der Dreiecke, des Unterschiedes der Flächennormalen, etc.Viele verschiedene Algorithmen bekannt:� z.B. [Klein, et.al], [Shekar et.al.]


��!�� )� ��/�!�0

��: Anstelle von Dreiecken werden Oberflächenpunkte erzeugt.

1. Schritt: Klassifizierung von Zellen in:� Innen-Zelle: Alle in der Zelle präsenten Datenwerte sind kleiner

als der gegebene Schwellwert;� Außen-Zelle: Alle in der Zelle präsenten Datenwerte sind größer

als der gegebene Schwellwert und� Oberflächenzelle: die durch den Schwellwert spezifizierte

Isofläche schneidet die Zelle.2. Alle Oberflächenzellen werden rekursiv unterteilt und und erneut

klassifiziert. Datenpunkte werden durch trilineare Interpolation ermittelt.

3. Oberflächenzellen nach dem letzten Unterteilungsschritt werden als Oberflächenpunkte aufgefaßt. Hierfür werden Normalen berechnet (z.B. durch Zentraldifferenzen)

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�� Anstelle eines Würfels wandert ein Tetraeder durch den Datensatz:

Pro: Nur drei Fälle müssen unterschieden werden max. zwei Dreiecke/Tetraeder keine Mehrdeutigkeiten

Con: Resampling auf Tetraedergitter nötigManchmal, z.B. bei Berechnungen/Simulationen lassen sich

die Beobachtungspunkte frei wählen

+��%��


��'��&��

� Unterstützt insbesondere die Analyse geometrischer und topologischer Eigenschaften

� Isoflächen lassen sich mit Standard-Graphikbibliotheken effektiv unterstützen

� Isoflächen lassen sich mit an-deren Objekten gemeinsam darstellen

� Extraktion ist ein vergleichs-weise aufwendiger Prozess

� Festlegung der Schwelle sehr sensible Entscheidung

Zellkern

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��

�� %��Man erhält eine kontinuierliche Darstellung der Datenwerte, einschließlich verschwommener

Grenzen

Bildebene mit x*y Pixeln

Datenwürfel mit N*N*N Volumenelementen

Volumenelement V(i, j, k)

Strahl

Pixel (x, y)mit Farbe Cx,y

%LOGUDXPYHUIDKUHQ �9ROXPH�5D\�&DVWLQJ�

FOR each pixel on image plane DOFOR each sampling point on associated ray DO

compute contribution to pixel;

2EMHNWUDXPYHUIDKUHQ

FOR each volume element DOFOR each pixel projected onto DO

compute contribution to pixel;


-�� 1�� #23

�� Datenwürfel und Darstellungsraum sind im allgemeinen nicht in einem einheitlichen Bezugssystem definiert. �Transformationen, die die Lage des Datenwürfels im Darstellungsraum festlegen � Transformation des gesamten Datenwürfels in den

Darstellungsraum mit anschließendem Resampling oder � Transformation der einzelnen Volumenelemente in den

Darstellungsraum.

��!��Hier erfolgt eine Klassifikation der Datenwerte. Jeder Klasse werden entsprechende Farb- und Transparenz-eigenschaften zugeordnet.

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-�� 1�� #43

"��#��$��%��&��'��#��Je nach Lage und Ausrichtung des Datenwürfels im Darstellungsraum tragen die Volumenelemente zu einer bestimmten Anzahl der Pixel des Endbildes bei. Entsprechend des Vorgehens in Bild-oder Objektraumordnung werden diese Beiträge ermittelt.

(��)��$��%��'��$��*��!��: Da auf ein Pixel mehrere Volumenelemente und damit auch mehrere Datenwerte abgebildet werden, müssen die einzelnen Beiträge entsprechend verknüpft werden. Dies geschieht in der Regel mit einem einfachen Alpha-Blending. Ggf. aber auch andere Operatoren aus dem Kompositionsschema von Porter und Duff

(vgl. [Porter 84])


��!��%�!��

Parallelprojektion Zentralprojektion

Für jedes Pixel wird ein Strahl konstruiert, der im Pixelzentrumbeginnend in Blickrichtung verläuft (Raycasting).

Strahlen und Datenwürfel müssen in ein einheitliches Bezugssystem transformiert werden.

Bildebene Bildebene

Blickpunkt

Datenwürfel Datenwürfel

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$��( ��

äquidistant explizite Berechnung von Schnitten

Pro: schnell Con: größerer Rechenaufwand

Con: sensibel gegen Schrittweite Pro: ggf. bessere Bildqualität< halbe Ausdehnung einesVolumenelementes (NyquistGrenze!)

Bildebene Bildebene



,��

� An den Abtastpunkten werden die Datenwerte, ggf. durch Interpolation ermittelt und entsprechende Farb- und Transparenzwerte zugewiesen. Diese müssen verknüpft werden:

� +��,��,$��-,)��Hierbei werden die Farb- und Transparenzeigenschaften von vorn nach hinten (vom Blickpunkt aus gesehen) summiert.

��: Ein Strahl muß nur so weit verfolgt werden, wie ein gewisser Transparenzgrad nicht überschritten wird (zum Beispiel 96% Undurchsichtigkeit).

� $��-,��,+��,)��. Zunächst werden die am weitesten entfernt liegenden Datenwerte dargestellt und nach und nach mit vorderen Werten überschrieben.

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,��

%DFN�WR�)URQW

C=FFor i=1, ....,n DOC=t C + F

0

i * i

F : Farbwert des Abtastpunktes auf dem Strahl mit dem größten Abstand zum BlickpunktF : Farbwert des i-ten Abtastpunktes auf dem StrahlF : Farbwert des Abstastpunktes auf dem Strahl mit dem kleinsten Abstand zum Blickpunktt : Transparenzgrad des i-ten Abtastpunktes auf dem StrahlC: Pixelfarbe

o

i

n

i

F1 F2 Fn... ...FiF0

t1 t2 ti tn

F1 F2 Fn... ...FiF0

t1 t2 ti tn

)URQW�WR�%DFN

C=F

=1FOR i=(n-1), ..., 0 DO

= t

C=C+ F

n

* i

* i

τ

τ τ τ

mit:


��

Anstelle der einfachen Komposition werden in [Drebbin 88] und [Levoy 88] die Benutzung von Beleuchtungsmodellen vorgeschlagen. Diese berücksichtigen:� Richtung� Stärke (Intensität) ggf. auch durch Dämpfung beeinflußt� Farbzusammensetzung

des an einem Voxel reflektierten Strahls.Hierzu benötigt man einen Gradienten als Schätzwert für

eine Oberflächennormale�� Mögliche Geometrien (Objekte) werden besser

erkennbar.Es sind diverse Methoden zur Aufwandsreduktion in den

verschiedenen Schritten bekannt. siehe [Schuhmann, Müller]

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5 6��!��-��6��!��

Bildraumverfahren Objektraumverfahren

Mögliche Traversierungen

Back-to-FrontFront-to-Back

��.��/

Bildebene Bildebene


1 2 3

.....

.....

3

12

4


��7$��!�� 89:

� Die Volumenelemente werden als Abtastwerte interpretiert.

� Die Voxelmittelpunkte werden auf die Bildebene projeziert.

� Hier erfolgt eine 0�-��-�� mit einer Gewichtung, z.B. kugelförmig (siehe Bild) oder elliptisch bei stark verschiedenen x-, y-, z-, Rasterweiten

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-��6��&��!��'��

Volumenelemente werden als transparente Quader betrachetund projeziert. Farbwerte werden durch bilineareInterpolation errechnet.

Es können die nebenstehenden 11 Projektionsvarianten auftreten:

��1��mit max. 7 drei- oder viereckigen Poligonenund der Eigenschaft, daß max. 2 Zellenflächen zu einem Polygon beitragen.


��Zur Beschleunigung sind diverse Varianten dieser Verfahren

vorgeschlagen worden, u.a. Shear-Warp-Faktorisierung[Lacronte 94]

Sehr interessant sind Verfahren, die die Texturunterstützung moderner Hardware nutzen

a) b) c)

d) e) f)

��*��&��: a) Definition paralleler Polygone senkrecht zur Blickrichtung, b) Texturierung der Polygone, c) Erhöhung der Polygonzahl, d) Ausblendung der Polygondarstellung und ausschließliche Darstellung der Textur, e) Visualisierung mit 50 Polygonen und f) Visualisierung mit 400 Polygonen

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�� !��

%�&��

a) b) c)

d) e) f)


�� ' ��

� Volumenvisualisierung über den Frequenzraum: Fouriertransformation

� Unregelmäßige Gitter:� Resampling auf regelmäßiges Gitter� Manche Verfahren lassen sich auch

übertragen, z.B. Raycasting

Details siehe z.B. [Schumann, Müller]

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��;��!��#23

��

��

Kompatibilitätmit CG-HW/SW

ja zum Teil nein ja

Rechenaufwand

Erzeugen derFlächen: hochAusgabe derFlächen: gering

interaktiv hoch

mittel (beiParallelprojektion und mittleremDatenwürfel)

Kombinationmit Geometrie-darstellung

ja, ohnezusätzlichenAufwand

nein möglich möglich


��;��!��#43

��

��

BinäreKlassifikation ja nein nein nein

Semitranspa-renteDarstellung

nein nein ja ja

Einbeziehungvon Beleuch-tungseffekten

ja nein möglich nein

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��

Viele Anwendungen liefern VolumendatenZiel: innere und äußere Strukturen deutlich zeigen und

relevante Eigenschaften vermittelnJe nach Analyseziel stehen verschiedene Verfahren bereit

� Beurteilung geometrischer und topologischer Zusammenhänge � Flächenextraktion

� Visuelle Gesamtanalyse � direkte Darstellungsmethoden

� Identifikation von Datenwerten � Slicing Methoden

Größe der Datensätze wirkten in der Vergangenheit oft prohibitiv. Heute zunehmend häufigerer Einsatz.


<��

� SM: Kap. 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 8.1

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��

� Diese Vorlesung basiert auf Material von� Prof. Dr. Detlef Krömker� Prof. Dr. Colin Ware

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