VorlesungFunktionalanalysis IISommersemester 2007

Dietmar Vogt

1 Banachalgebren

Erinnerung: Eine C-Algebra ist ein C-Vektorraum mit einer Multiplikation,so daß (A,+, ·) ein Ring mit Einselement ist und λ(ab) = (λa)b = a(λb) furalle a, b ∈ A, λ ∈ C.

A heißt kommutativ, falls ab = ba fur alle a, b ∈ A. B ⊂ A heißt Unteralge-bra, falls e ∈ B,B ein Untervektorraum ist und B abgeschlossen ist gegenMultiplikation.

Definition Eine normierte Algebra ist eine C-Algebra mit einer Norm ∥ · ∥,so daß

1. ∥ab∥ ≤ ∥a∥∥b∥ fur alle a, b ∈ A

2. ∥e∥ = 1

Eine Banachalgebra ist eine vollstandige normierte Algebra.

Beispiele

1. Sei E ein Banachraum uber C, A = L(E). L(E) ist eine Banachalgebra.Fur dimE > 1 ist L(E) nicht kommutativ.

1

2. X kompakt. A = C(X) = komplexwertige stetige Funktionen aufXmit ∥f∥ = supx∈X |f(x)|. C(X) ist eine kommutative Banachalgebra.

Lemma 1.1 In einer normierten Algebra ist die Multiplikation (a, b) 7−→ abstetig.

Generalvoraussetzung: Sei A von nun an eine Banachalgebra.

Definition a ∈ A heißt invertierbar, falls ein b ∈ A mit ab = ba = eexistiert.

Bezeichnung: GA := a ∈ A : a invertierbar

Lemma 1.2 Fur a ∈ GA ist die Inverse eindeutig bestimmt. Sie wird mita−1 bezeichnet.

Lemma 1.3 GA ist eine multiplikative Gruppe. Fur a, b ∈ GA ist (a, b)−1 =b−1a−1.

Beispiel Ist E ein Banachraum, so ist GL(E) die Gruppe der stetigen Au-tomorphismen.

Lemma 1.4 (Neumannsche Reihe) Fur x ∈ A mit ∥x∥ < 1 gilt

1. e− x ∈ GA

2. ∥(e− x)−1∥ ≤ 11−∥x∥

3. ∥e− (e− x)−1∥ ≤ ∥x∥1−∥x∥ .

Satz 1.5 GA ist offen in A und x 7−→ x−1 ist stetig auf GA.

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Definition Sei a ∈ A.

1. ϱ(a) = z ∈ C : ze− a ∈ GA heißt Resolventenmenge von a.

2. Die Funktion R(·, a) : ϱ(a) −→ A, wo R(z, a) = (ze − a)−1 heißtResolvente von a.

3. σ(a) = C\ϱ(a) heißt Spektrum von a.

Beispiel Ist A =Mσ(n, n) = L(Cn) die Algebra der komplexwertigen n×n-Matrizen, so ist σ(a) die Menge der Eigenwerte von a.

Lemma 1.6 ϱ(a) ist offen, σ(a) ist abgeschlossen und beschrankt, also kom-pakt, σ(a) ⊂ z ∈ C : |z| ≤ ∥a∥. Die Resolvente R(·, a) : ϱ(a) −→ A iststetig.

Lemma 1.7 Sei a ∈ A, z, ζ ∈ ϱ(a). Dann gilt:

1. R(z, a)−R(ζ, a) = (ζ − z)R(z, a)R(ζ, a) (”Resolventengleichung“)

2. limζ→z1

z−ζ(R(z, a)−R(ζ, a)) = −R(z, a)2.

Korollar 1.8 Sei a ∈ A, y ∈ A′. Dann ist die durch f(z) = y(R(z, a))definierte Funktion f : ϱ(a) −→ C holomorph auf ϱ(a).

Satz 1.9 Sei a ∈ A, dann ist σ(a) kompakt und nicht leer.

Satz 1.10 (von Gelfand-Mazur) Sei GA = A\0 (d.h. A ist ein Schiefkorper).Dann ist A = C · e = ze : z ∈ C.

Definition Seien A,B C-Algebren, φ : A −→ B heißt Algebrenhomomor-phismus, falls

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1. φ linear

2. φ(ab) = φ(a)φ(b) fur alle a, b ∈ A

3. φ(e) = e.

Definition Sei p(z) =∑m

k=0 ckzk ∈ C[z], a ∈ A. Wir setzen p(a) =∑m

k=0 ckak.

Lemma 1.11 Die Abbildung p 7−→ p(a) ist ein Algebrenhomomorphismusvon C[z] nach A.

Lemma 1.12 (Spektralabbildungslemma) Fur p ∈ C[z] und a ∈ A gilt:

σ(p(a)) = p(σ(a)) = p(z) : z ∈ σ(a).

Definition Fur a ∈ A sei

r(a) = sup|z| : z ∈ σ(a).

r(a) heißt Spektralradius von a.

Satz 1.13 (Spektralradiusformel) r(a) = limn→∞ ∥an∥ 1n .

Definition Sei A eine C-Algebra, I ⊂ A heißt Ideal, falls

1. I linearer Unterraum

2. aI ⊂ I und Ia ⊂ I fur alle a ∈ A

3. I = A.

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I heißt maximales Ideal, falls kein echt großeres Ideal existiert.

Bemerkung Ist I ⊂ A ein Ideal, so ist A/I eine Algebra.

Sei jetzt A wieder eine Banachalgebra.

Lemma 1.14 Fur jedes Ideal I ⊂ A gilt:

1. dist(e, I) = 1.

2. Ist I abgeschlossen, so ist A/I eine Banachalgebra.

3. Die abgeschlossene Hulle I ist wieder ein Ideal.

4. Ist I maximal, so ist I abgeschlossen.

5. Jedes Ideal ist in einem maximalen Ideal enthalten.

Lemma 1.15 Ist φ : A −→ C ein Algebrenhomomorphismus, dann gilt:

1. φ(a) ∈ σ(a) fur jedes a ∈ A.

2. φ ist stetig und ∥φ∥ = 1.

Bemerkung Genauer: Es gilt |φ(a)| ≤ r(a) fur alle a ∈ A.

Definition SpA = φ ∈ A′ : φ Algebrenhomomorphismus .

Bemerkung Ist φ ∈ SpA, so ist kerφ ein maximales Ideal.

Lemma 1.16 Sei A eine kommutative Banachalgebra, dann gilt: M ⊂ A istein maximales Ideal genau dann, wenn ein φ ∈ SpA existiert mit M = kerφ.

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Satz 1.17 Sei A eine kommutative Banachalgebra, dann gilt fur jedes a ∈ A:

1. a ∈ GA genau dann, wenn φ(a) = 0 fur alle φ ∈ SpA.

2. σ(a) = φ(a) : φ ∈ SpA.

Beispiel Fur die nicht kommutative Banachalgebra A = L(C2) = M(2 ×2,C) ist SpA = ∅, denn nehmen wir an, daß φ ∈ SpA. Sei b =

(0100

), c =

(0010

).

Dann wurde gelten φ(b) ∈ σ(b) = 0, φ(c) ∈ σ(c) = 0 aber φ(b + c) ∈σ(b+ c) = 1,−1.

Lemma 1.18 Sei A eine kommutative Banachalgebra. Dann gibt es genaueine Topologie auf SpA, so daß

1. SpA kompakt ist,

2. fur jedes a ∈ A die Funktion a : φ 7−→ φ(a) stetig ist auf SpA.

Definition Diese Topologie heißt Gelfand-Topologie. Die Abbildung ∧ :a 7−→ a von A nach C(SpA) heißt Gelfand-Darstellung von A.

Satz 1.19 Sei A eine kommutative Banachalgebra. Dann gilt:

1. a(SpA) = σ(a),

2. ∥a∥ = r(a) ≤ ∥a∥.

Korollar 1.20 Die Gelfand-Darstellung ist ein stetiger Algebrenhomomor-phismus. Ihr Bild ist eine punktetrennende Unteralgebra von A.

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Bemerkung Ist A eine kommutative Banachalgebra, so ist r(a) eine Halb-norm auf A. Es gilt r(ab) ≤ r(a)r(b) fur alle a, b ∈ A.

Fur die nicht kommutative Banachalgebra A = L(C2) = M(2 × 2,C) istdies nicht der Fall, wie obiges Beispiel zeigt. Auch fur eine kommutativeBanachalgebra braucht r(a) keine Norm zu sein. Ein Beispiel ist N =

(0100

)in

der kommutativen Banachalgebra A =(

αβ0α

): α, β ⊂ C

.

Sei jetzt K kompakt. Wir betrachten die kommutative Banachalgebra C(K).

Lemma 1.21 Zu jedem φ ∈ SpC(K) gibt es ein x0 ∈ K, so daß φ(f) =f(x0) fur alle f ∈ C(K).

Bezeichnung Fur x ∈ K sei δxf = f(x) fur alle f ∈ C(K).

Offensichtlich ist δx ∈ SpC(K).

Satz 1.22 SpC(K) = δx : x ∈ K.

Sei ∆ : K −→ SpC(K) definiert durch ∆(x) = δx, dann ist ∆ bijektiv und

es gilt f ∆ = f fur alle f ∈ C(K), denn f(δx) = δx(f) = f(x).

Satz 1.23 ∆ ist ein Homoomorphismus.

Wir konnen also SpC(K) mit der Gelfand-Topologie mittels ∆ mit K iden-

tifizieren. Nach dieser Identifikation ist f = f .

Beispiel Sei A = C1[0, 1] mit der Norm ∥f∥1 = ∥f∥ + ∥f ′∥, wo ∥f∥ =supx∈[0,1] |f(x)|. Dann ist A eine kommutative Banachalgebra. Es gilt SpA =δx : x ∈ [0, 1]. Wir konnen wieder SpA mit [0, 1] identifizieren. Es gilt

dann wieder f = f und nach dieser Identifikation ist die Gelfand-Darstellunggerade die Einbettungsabbildung C1[0, 1] → C(0, 1). Insbesondere ist ∥f∥ =∥f∥C[0,1] ≡ ∥f∥1 und r(f) ≡ ∥f∥1.

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Definition Sei A eine C-Algebra, M ⊂ A und M = ∅. Dann heißt M ′ =a ∈ A : ma = am fur alle m ∈ M Kommutant von M . M ′′ := (M ′)′ heißtBikommutant von M .

Lemma 1.24 Sei A eine Banachalgebra. Dann gilt:

1. M ′ ist eine abgeschlossene Unteralgebra von A.

2. Gilt m1m2 = m2m1 fur alle m1,m2 ∈M , so istM ′′ eine abgeschlossenekommutative Unteralgebra von A mit M ⊂M ′′.

Lemma 1.25 Sei A eine Banachalgebra und es gelte m1m2 = m2m1 fur allem1,m2 ∈M . Sei B =M ′′. Dann gilt fur jedes b ∈ B : σA(b) = σB(b).

Sei A eine Banachalgebra, a ∈ A, r(a) der Spektralradius von a, f(z) :=∑∞k=0 ckz

k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > r(a).

Lemma 1.26 Die Reihe f(a) :=∑∞

k=0 ckak konvergiert.

Satz 1.27 Es gilt σ(f(a)) = f(σ(a)) = f(z) : z ∈ σ(a).

Sei H(C) die C-Algebra der ganzen holomorphen Funktionen auf C.

Satz 1.28 Sei A eine Banachalgebra, a ∈ A. Die Abbildung f 7−→ f(a) istein Algebrenhomomorphismus von H(C) nach A mit z 7−→ a.

Es gilt sogar mehr: Dazu setzen wir fur kompaktes K ⊂ C

H(K) = (U, f) : U offene Umgebung von K, f holomorph auf U

und definieren (U1, f1) = (U2, f2) falls eine offene Umgebung W von K exis-tiert, so daß W ⊂ U1 ∩ U2, und f1|W = f2|W . H(K) ist eine C-Algebra.

H(K) ist die C-Algebra der Keime holomorpher Funktionen auf K.

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Satz 1.29 (analytischer Funktionalkalkul) Sei A eine Banachalgebra,a ∈ A. Es gibt einen eindeutig bestimmten Algebrenhomomorphismus Φ :H(σ(a)) −→ A mit folgenden Eigenschaften

1. Φ(z) = a

2. Φ|H∞(U) ist stetig fur alle offenen Umgebungen U von σ(a).

Hierbei ist H∞(U) die Banachalgebra aller beschrankten holomorphen Funk-tionen auf U , mit ∥f∥ = supz∈U |f(z)|.

Anwendungen hiervon: 1. Sei a ∈ L(E), wobei E ein Banachraum uber

C ist. Fur das Spektrum von a gelte σ(a) = K1

∪K2, wo K1, K2 kompakte,

disjunkte Mengen sind. Dann gibt es eine Zerlegung E = E1 ⊕ E2, so daßa(Ej) ⊂ Ej, j = 1, 2 und fur aj : Ej −→ Ej gilt σ(aj) = Kj, j = 1, 2.

2. sei A eine Banachalgebra, a ∈ A mit σ(a)∩ (−∞, 0] = ∅. Dann ist log z ∈H(σ(a)) und fur b = Φ(log z) gilt eb = a. Fur c = e

1nb gilt cn = b.

2 C∗-Algebren

Definition Sei A eine C-Algebra. Eine Involution in A ist eine Abbildung∗ : A −→ A mit folgenden Eigenschaften:

(a+ b)∗ = a∗ + b∗, (λa)∗ = λa∗,(ab)∗ = b∗a∗, (a∗)∗ = a

fur alle a, b ∈ A, λ ∈ C.

Definition Eine C∗-Algebra ist eine Banachalgebra mit einer Involution, sodaß ∥a∗a∥ = ∥a∥2 fur alle a ∈ A.

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Beispiele

1. K kompakt, C(K) mit der Involution f ∗ := f ,

2. E Hilbertraum uber C. L(E) mit der Adjunktion als Involution.

Lemma 2.1 Sei A eine C∗-Algebra. Dann gilt:

(1) ∥a∗∥ = ∥a∥, (2) e∗ = e,

(3) fur a ∈ GA ist auch a∗ ∈ GA und (a∗)−1 = (a−1)∗.

Definition Sei A eine C∗-Algebra. a ∈ A heißt

1. selbstadjungiert, falls a∗ = a,

2. unitar, falls aa∗ = a∗a = e,

3. normal, falls a∗a = aa∗.

Bemerkung Ist a selbstadjungiert oder unitar, so ist a normal.

Lemma 2.2 Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A. Dann gilt:

1. Ist a selbstadjungiert, so ist σ(a) ⊂ R.

2. Ist a unitar, so ist σ(a) ⊂ z ∈ C : |z| = 1.

Korollar 2.3 Sei A eine kommutative C∗-Algebra und φ ∈ SpA. Dann giltφ(a∗) = φ(a) fur alle a ∈ A.

Lemma 2.4 Sei A eine C∗-Algebra und a ∈ A normal. Dann ist r(a) = ∥a∥.

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Beispiel A = C1[0, 1] ist eine Banachalgebra mit der Involution f ∗ = f .Fur diese gilt nicht ∥f ∗f∥1 = ∥f∥21 fur alle A ∈ C1[0, 1]. Da r(f) ≡ ∥f∥1kann es keine Involution geben, die C1(0, 1] zur C∗-Algebra macht.

Definition Seien A,B C∗-Algebren. Ein ∗-Homomorphismus Φ : A −→ Bist ein Algebrenhomomorphismus mit Φ(a∗) = Φ(a)∗ fur alle a ∈ A.

Satz 2.5 Sei A eine kommutative C∗-Algebra, B eine C∗-Algebra,Φ : A −→ B ein ∗-Homomorphismus. Dann ist Φ stetig und ∥Φ∥ = 1.

Satz 2.6 (von Gelfand-Neumark) Sei A eine kommutative C∗-Algebra.Dann ist die Gelfand-Darstellung ein isometrischer ∗-Isomorphismus von Aauf C(SpA).

Lemma 2.7 Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A normal. Dann ist B = a, a∗′′eine kommutative C∗-Unteralgebra von A.

Satz 2.8 Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A normal. Dann existiert genau ein∗-Homomorphismus Φ : C(σ(a)) −→ A fur welchen Φ(z) = a gilt. Φ ist eineIsometrie.

Satz 2.9 (Spektralabbildungssatz) Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A nor-mal. Fur den ∗-Homomorphismus Φ : C(σ(a)) −→ A mit Φ(z) = a giltσ(Φ(f)) = f(σ(a)) fur alle f ∈ C(σ(a)).

Bezeichnung: Fur f ∈ C(σ(a)) setzen wir f(a) := Φ(f). Dann lautet derSpektralabbildungssatz: σ(f(a)) = f(σ(a)) fur alle f ∈ C(σ(a)).

Satz 2.10 Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A normal. Dann gilt:

1. a ist selbstadjungiert genau dann, wenn σ(a) ⊂ R.

2. a ist unitar genau dann, wenn σ(a) ⊂ z ∈ C : |z| = 1.

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Lemma 2.11 Sei A eine Banachalgebra, a, b ∈ A, ab = ba und f, g ∈ H(C).Dann gilt f(a)g(b) = g(b)f(a) und ea+b = eaeb.

Satz 2.12 (Satz von Fuglede) Sei A eine C∗-Algebra, a, b ∈ A, a normal,ab = ba. Dann gilt auch a∗b = ba∗.

Korollar 2.13 Unter denselben Voraussetzungen gilt f(a)b = bf(a) fur allef ∈ C(σ(a)).

Andere Folgerungen aus dem Satz von Gelfand-Neumark:

Sei X ein topologischer Raum. Wir setzen

Cb(X) := C(X) ∩ ℓ∞(X)

= stetige, komplexwertige, beschrankte Funktionen auf X

mit der Norm ∥f∥ = supx∈X |f(x)|. Dann ist Cb(X) eine C∗-Algebra.

Definition β(X) := Sp(Cb(X)) heißt Stone-Cech-Kompaktifizierung vonX.

Sie hat folgende Eigenschaften:

1. x 7−→ δx bettet X homoomorph in β(X) ein.

2. X ist dicht in β(X).

3. Ist K kompakt und ψ : X −→ K stetig, so existiert genau ein stetigesψ : β(X) −→ K mit ψ|X = ψ.

Beispiel ℓ∞ = Cb(N),N diskrete Topologie. Wir setzen L = 0, 1N ⊂ ℓ∞.Dann gilt: spanL = ℓ∞.

Ist φ = ψ ∈ β(N), so existiert f ∈ L mit f(φ) = f(ψ). Da f 2 = f2 = f

sind K1 = x : f(x) = 1, K0 = x : f(x) = 0 offene und abgeschlossene

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Mengen, die φ und ψ trennen. K ist ”total unzusammenhangend”. Wahrendn fur n ∈ N offen und abgeschlossen ist, enthalt jede Umgebung von φ ∈β(N)\N ein n ∈ N (insbesondere n = φ).

3 Spektralsatz fur normale Operatoren

im Hilbertraum

Sei E ein Hilbertraum uber C. Dann ist L(E) eine C∗-Algebra. Ist A ∈ L(E),so ist A normal, wenn A∗A = AA∗. Wir haben im vorhergehenden Abschnittbewiesen:

Satz 3.1 Es existiert genau ein ∗-Algebrenhomomorphismus Φ : C(σ(A)) −→L(E) mit Φ(z) = A. Φ ist eine Isometrie und es gilt σ(Φ(f)) = f(σ(A)) furalle f ∈ C(σ(A)).

Φ soll auf eine großere Menge von Funktionen erweitert werden. Dazu dienendie folgenden Begriffsbildungen.

Sei K kompakt. Dann ist C(K) ⊂ ℓ∞(K) eine C∗-Unteralgebra.

Definition Sei (fn)n eine Folge in ℓ∞(K), f ∈ ℓ∞(K). fn −→ f beschranktpunktweise genau dann, wenn

1. fn(t) → f(t) fur alle t ∈ K,

2. supn ∥fn∥ < +∞.

Definition M∞(K) ist die kleinste Menge beschrankter Funktionen, dieabgeschlossen ist gegen beschrankt punktweise Konvergenz von Folgen undC(K) enthalt. M∞(K) heißt die Menge der beschrankten Borel-meßbarenFunktionen.

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Lemma 3.2 M∞(K) ist eine C∗-Unteralgebra von ℓ∞(K).

Satz 3.3 (Satz von Riesz) Zu jedem µ ∈ C(K)′ existiert genau ein µ ∈M∞(K)′ mit den folgenden Eigenschaften:

1. µ|C(K) = µ.

2. Aus fn −→ f beschrankt punktweise folgt µfn −→ f .

Es gilt ∥µ∥ = ∥µ∥.

Bezeichnung Ein µ ∈ M∞(K)′ mit 2. heißt w-stetig.

Fur den normalen Operator A ∈ L(E) und x, y ∈ E setzen wir im folgenden

µx,y(f) = ⟨Φ(f)x, y⟩

fur f ∈ C(σ(A)). Dann ist µx,y ∈ C(σ(A))′ und ∥µx,y∥ ≤ ∥x∥ · ∥y∥. Mitµx,y ∈ M∞(σ(A)) bezeichnen wir die w-stetige Fortsetzung von µ.

Lemma 3.4 Sei f ∈ M∞(σ(A)) fest. Dann gilt:

1. x 7−→ µx,y(f) ist linear.

2. y 7−→ µx,y(f) ist linear.

Definition Sei E ein linearer Raum uber C. S : E ×E −→ C heißt sesqui-linear, falls

1. x 7−→ S(x, y) linear ist fur alle y ∈ E,

2. y 7−→ S(x, y) linear ist fur alle x ∈ E.

Ist E ein normierter Raum, so ist die Sesquilinearform S genau dann stetig,wenn ein C existiert mit |S(x, y)| ≤ C∥x∥ · ∥y∥. Wir setzen

∥S∥ = sup|S(x, y)| : ∥x∥ ≤ 1 ∥y∥ ≤ 1= infC : |S(x, y)| ≤ C∥x∥ · ∥y∥ fur alle x, y ∈ E.

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Lemma 3.5 Ist E ein Hilbertraum und S eine stetige Sesquilinearform aufE, so existiert genau ein B ∈ L(E) mit S(x, y) = ⟨Bx, y⟩ fur alle x, y ∈ E.Es gilt ∥B∥ = ∥S∥.

Korollar 3.6 Zu jedem f ∈ M∞(σ(A)) existiert genau ein Ψ(f) ∈ L(E),so daß µx,y(f) = ⟨Ψ(f)x, y⟩ fur alle x, y ∈ E. Es gilt ∥Ψ(f)∥ ≤ ∥f∥∞.

Satz 3.7 Ψ ist ein ∗-Homomorphismus von M∞(σ(A)) nach L(E) mit Ψ(z) =A, ∥Ψ∥ = 1. Es gilt: Fur jede beschrankt punktweise konvergente Folge fn −→f in M∞(σ(A)) und fur jedes x, y ∈ E ist

limn−→∞

⟨Ψ(fn)x, y⟩ = ⟨Ψ(f)x, y⟩.

Satz 3.8 Sei A ∈ L(E) normal. Dann gibt es genau einen ∗-HomomorphismusΨ : M∞(σ(A)) −→ L(E) mit den eben beschriebenen Eigenschaften.

Satz 3.9 Seien A,B ∈ L(E), A normal und AB = BA. Dann gilt Ψ(f)B =BΨ(f) fur alle f ∈ M∞(σ(A)).

Satz 3.10 Sei A ∈ L(E) normal. Dann gilt

1. Ψ(f)Ψ(g) = Ψ(g)Ψ(f) fur alle f, g ∈ M∞(σ(A)),

2. Ψ(f) ist normal fur alle f ∈ M∞(σ(A)),

3. Ist f ∈ M(σ(A)) reellwertig, so ist Ψ(f) selbstadjungiert,

4. Ist f ∈ M(σ(A)) und |f(z)| = 1 fur alle z ∈ σ(A), so ist Ψ(f) unitar.

Satz 3.11 Ist A ∈ L(E) normal, f ∈ M∞(σ(A)), so gilt σ(Ψ(f)) ⊂ f(σ(A)).

Beispiel Sei E = L2[0, 1], A ∈ L(E) definiert durch Aφ(t) = tφ(t) furalle φ ∈ L2[0, 1], t ∈ [0, 1]. Dann gilt σ(A) = [0, 1]. Fur f ∈ M∞(σ(A)) istΨ(f)φ(t) = f(t)φ(t). Sei f(t) = tχQ∩[0,1](t). Dann gilt Ψ(f) = 0 in L(E) also

σ(Ψ(f)) = 0 = f(σ(A)) = [0, 1].

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Satz 3.12 Sei A ∈ L(E) normal. Dann gilt: A ist genau dann invertierbar,wenn ein B ∈ L(E) existiert mit A = eB.

Satz 3.13 A ∈ L(E) ist genau dann unitar, wenn ein ein selbstadjungiertesB ∈ L(E) existiert mit A = eiB.

Lemma 3.14 Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A normal, g ∈ C(σ(a)) und b =g(a). Dann ist b normal, σ(b) = g(σ(a)) und fur f ∈ C(σ(b)) gilt f(b) =(f g)(a).

Lemma 3.15 Sei A eine C∗-Algebra, a ∈ A selbstadjungiert und σ(a) ⊂[0,+∞). Dann existiert genau ein selbstadjungiertes b ∈ A mit σ(b) ⊂[0,+∞) und b2 = a.

Satz 3.16 Sei E ein Hilbertraum. Fur A ∈ L(E) sind aquivalent:

1. ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 fur alle x ∈ E.

2. A ist selbstadjungiert und σ(A) ⊂ [0,+∞).

3. Es existiert ein selbstadjungiertes B ∈ L(E) mit B2 = A.

Definition A ∈ L(E) heißt positiv, falls ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 fur alle x ∈ E.

Satz 3.17 Ein positives A ∈ L(E) besitzt genau eine positive Quadratwurzel.

Beispiel Fur jedes A ∈ L(E) ist A∗A positiv.

Definition Fur A ∈ L(E) sei |A| =+

√A∗A.

Definition Sei E ein Hilbertraum. U ∈ L(E) heißt partielle Isometrie, fallsU : N(U)⊥ −→ R(U) eine Isometrie ist.

Bezeichnung Ist E1 = N(U)⊥, E2 = R(U), so sagt man: U ist eine partielleIsometrie von E1 nach E2.

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Lemma 3.18 Ist U eine partielle Isometrie, so ist U∗ eine partielle Isome-trie von R(U) nach N(U)⊥. U∗U ist die orthogonale Projektion auf N(U)⊥,UU∗ die orthogonale Projektion auf R(U).

Beispiel S ∈ L(ℓ2), definiert durch S(x1x2, . . .) = (0, x2, x2, . . .) ist partielleIsometrie von ℓ2 auf x ∈ ℓ2 : x1 = 0. S∗(x1, x2, . . .) = (x2, x3, . . .) istpartielle Isometrie von x ∈ ℓ2 : x1 = 0 auf ℓ2.

Lemma 3.19 Ist A ∈ L(E), so hat A eine Darstellung A = U · |A|, wo Ueine partielle Isometrie von R(|A|) nach R(A) ist.

Satz 3.20 (Polarzerlegung) Zu jedem A ∈ L(E) existiert eine eindeutigbestimmte Darstellung A = UB, wo B ∈ L(E) positiv ist und U eine partielleIsometrie von R(B) nach R(A). Es gilt B = |A| = U∗A.

Korollar 3.21 Ist A ∈ L(E) invertierbar, so existiert eine eindeutig be-stimmte Darstellung A = UB, wo B ∈ L(E) positiv ist und U unitar. A hatalso eine Darstellung A = eiTB, wo B positiv ist und T selbstadjungiert.

Lemma 3.22 Sei J ⊂ L(E) ein abgeschlossenes Ideal. Dann gilt:

1. K(E) ⊂ J

2. Ist E separabel und P ∈ J eine Projektion, so ist R(P ) endlichdimen-sional.

Satz 3.23 (Satz von Calkin) Ist E ein separabler Hilbertraum, so istK(E)das einzige abgeschlossene Ideal in L(E).

Definition Sei E separabel. L(E)/K(E) heißt Calkin-Algebra.

Satz 3.24 Die Calkin-Algebra ist eine C∗-Algebra, die keine abgeschlossenenIdeale besitzt.

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Borel Meßbarkeit

Sei X ein metrischer Raum.

Definition 1. M(X) ist die kleinste Menge komplexwertiger Funktionen,die C(X) enthalt und abgeschlossen ist gegen punktweise Konvergenz vonFolgen.

2. B(X) = M ⊂ X : χM ∈ M(X)

Die Funktionen in M(X) heißen Borel-meßbar, die Mengen in B(X) heißenBorelmengen.

Bemerkung Ist X kompakt, so ist M∞(X) = M(X)∩ ℓ∞(X) und B(X) =M ⊂ X : χM ∈ M∞(X).

Satz 3.25 M(X) ist eine Algebra uber C. Mit f sind auch |f | und f inM(X).

Satz 3.26 B(X) ist eine Mengen-σ-Algebra, d.h. es gilt:

1. ∅, X ∈ B(X).

2. Ist (Mn)n eine Folge in B(X), so sind∪

nMn und∩

nMn in B(X).

3. Mit M ist auch X\M in B(X).

Satz 3.27 Alle abgeschlossenen und offenen Mengen in X sind Borel-meßbar.

Satz 3.28 Ist f eine reellwertige Funktion auf X, so sind aquivalent:

1. f ∈ M(X).

2. Fur jedes Intervall I ⊂ R ist f−1(I) ∈ B(X).

Definition T (X) := spanχM : M ∈ B(X). Die Funktionen in T (X)heißen Treppenfunktionen.

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Lemma 3.29 Ist X kompakt, so ist T (X) ein dichter Unterraum vonM∞(X).

Spektralmaße

Definition Sei A ∈ L(E) normiert. Dann setzen wir E(M) := Ψ(χM) furalle M ∈ B(σ(A)). E(·) heißt dann Spektralmaß von A.

Satz 3.30 Sei A ∈ L(E) normal und E(·) sein Spektralmaß. Dann gilt:

1. E(M) ist eine orthogonale Projektion fur jedes M ∈ B(σ(A)).

2. E(∅) = 0, E(σ(A) = I.

3. E(M1 ∩M2) = E(M1)E(M2) fur alle M1,M2 ∈ B(σ(A)).

4. E(M1 ∪M2) = E(M1) + E(M2) fur alle M1,M2 ∈ B(σ(A)) mit M1 ∩M2 = ∅.

5. Ist (Mn) eine Folge in B(σ(A)) mitMn ⊃Mn+1 fur alle n und∩

nMn =∅, so ist limn−→∞⟨E(Mn)x, x⟩ = 0 fur alle x ∈ E.

Sei M ∈ B(σ(A)),M c = σ(A)\M . Dann ist R(E(M))⊥ = R(E(M c)).

Lemma 3.31 Sei M ∈ B(σ(A)). Dann gilt:

1. E(M)A = AE(M).

2. AM := A|R(E(M)) bildet R(E(M)) in sich ab.

3. σ(AM) ⊂M .

Satz 3.32 Sei A ∈ L(E) normal. Dann sind aquivalent:

(1) E(λ) = 0

(2) λ ist Eigenwert von A.

In obigem Falle ist E(λ) die orthogonale Projektion auf den Eigenraumvon λ.

Korollar 3.33 Sei A ∈ L(E) normal, λ ein isolierter Punkt von σ(A). Dannist λ ein Eigenwert.

19

4 Unbeschrankte Operatoren zwischen

Hilbertraumen

Seien E,F Hilbertraume.

Definition Ein Operator A von E nach F ist eine auf einem linearen Un-terraum D(A) von E definierte lineare Abbildung nach F .

D(A) heißt Definitionsbereich von A, R(A) = Ax : x ∈ D(A) heißt Wer-tebereich von A.

A heißt dicht definiert, fallsD(A) dicht in E.G(A) = (x,Ax) : x ∈ D(A) ⊂E × F heißt Graph des Operators A.

Sind A,B Operatoren von E nach F , so heißt B eine Erweiterung von A (Aeine Einschrankung von B) falls G(A) ⊂ G(B). Man sagt auch, A sei in Benthalten: A ⊂ B.

Lemma 4.1 L ⊂ E × F ist Graph eines Operators genau dann, wenn

1. L ein linearer Unterraum ist,

2. (x, y) ∈ L : x = 0 = (0, 0).

Definition Ist A dicht definiert, so setzen wir

D(A∗) = y ∈ F : x 7−→ ⟨Ax, y⟩ ist stetig auf D(A).

Lemma 4.2 Ist A dicht definiert, so gilt:

1. D(A∗) ist ein linearer Unterraum von F .

2. Zu jedem y ∈ D(A∗) gibt es genau ein A∗y ∈ E, so daß ⟨Ax, y⟩ =⟨x,Ay⟩ fur alle x ∈ D(A).

3. A∗ : D(A∗) −→ E ist linear.

20

Definition Ist A ein dicht definierter Operator von E nach F , so heißt A∗

mit Definitionsbereich D(A∗) der zu A adjungierte Operator.

Bemerkung Aus A ⊂ B folgt B∗ ⊂ A∗.

Frage: Wann ist A∗ wieder dicht definiert?

Definition A heißt abgeschlossen, falls G(A) abgeschlossen ist. A heißtabschließbar, falls G(A) Graph eines Operators ist. Diesen nennen wir dieAbschließung von A und bezeichnen ihn mit A.

Wir verwenden jetzt die Methode der Graphen von J. von Neumann.

Definition Fur zwei Hilbertraume E und F sei U : E × F −→ F × Edefiniert durch U(x, y) = (y,−x).

Lemma 4.3 U ist unitar. U∗ = U−1 : (y, x) −→ (−x, y).

Lemma 4.4 Sei A ein dicht definierter Operator von E nach F . Dann gilt:G(A∗) = U(G(A)⊥) = (UG(A))⊥.

Satz 4.5 Sei A ein dicht definierter Operator von E nach F . Dann gilt:

1. A∗ ist abgeschlossen, N(A∗) = R(A)⊥.

2. A∗ ist dicht definiert genau dann, wenn A abschließbar ist.

3. Ist A abschließbar, so gilt A = A∗∗.

Korollar 4.6 Ist A abgeschlossen und dicht definiert, so ist A = A∗∗.

21

Beispiele

1. Sei E = L2(RN), f meßbar auf RN . Wir setzen:

D(Af ) = φ ∈ L2(RN) : fφ ∈ L2(RN)

und fur φ ∈ D(Af ) setzen wir Afφ = fφ.

Dann ist Af abgeschlossen und dicht definiert. A∗f = Af mit D(A∗

f ) =D(Af ) = D(Af ).

2. Sei E = L2(RN). Wir setzen: D(A) = D(R) und fur φ ∈ D(A) setzenwir Aφ = Dφ = 1

if ′. Dann ist A dicht definiert. Es gilt D(A∗) = H1(R)

und fur φ ∈ H1(R) ist A∗φ = Dφ. Also ist A ⊂ A∗. Insbesondere istA abschließbar und A = A∗∗ ⊂ A∗. Ferner ist D(A∗∗) = H1(R), alsoA ⊂ A = A∗∗ = A∗.

Definition Ein dicht definierter Operator A in E heißt selbstadjungiert,falls A = A∗. Er heißt wesentlich selbstadjungiert, falls er abschließbar istund A = A∗.

Bemerkung A ist wesentlich selbstadjungiert, falls A abschließbar und Aselbstadjungiert ist.

Beispiel D mit Definitionsbereich D(R) ist wesentlich selbstadjungiert.

Definition Seien A,B Operatoren von E nach F . Dann sei D(A + B) =D(A) ∩D(B) und (A+B)x = Ax+Bx fur x ∈ D(A+B).

Lemma 4.7 Sind A,B Operatoren von E nach F , B ∈ L(E,F ), so istD(A+B) = D(A). Ist dann A abgeschlossen, so auch A+B.

22

Definition Sei A ein Operator in E. Wir setzen

ϱ(A) = z ∈ C : zI − A ist injektiv und R(zI − A) = E.

ϱ(A) heißt Resolventenmenge von A. σ(A) = C\ϱ(A) heißt Spektrum von A.R(z, A) = (zI − A)−1 heißt Resolvente von A.

Beispiele

1. Sei E = L2(R). Fur f(t) = t sei M = Af , d.h. (Mφ)(t) = φ(t). Dannist σ(M) = R.

2. Sei E = L2(R). Fur D mit Definitionsbereich H1(R) ist D = F−1MFund daher σ(D) = R.

Definition Fur einen injektiven Operator A sei D(A−1) = R(A), A−1 dieUmkehrabbildung mit R(A−1) = D(A).

Lemma 4.8 Ist A ein abgeschlossener Operator, so auch A−1.

Lemma 4.9 Ist A ein abgeschlossener Operator in E, so ist R(z, A) ∈ L(E)fur alle z ∈ ϱ(A).

Satz 4.10 Ist A ein abgeschlossener Operator in E, so ist σ(A) abgeschlos-sen.

Beispiel Sei E = L2[0, 1]. Wir setzen D(A) = f ∈ H1[0, 1] : f(0) = 0und fur φ ∈ D(A) setzen wir Aφ = Dφ.

Dann ist A ein abgeschlossener, dicht definierter Operator in E, dessen Spek-trum leer ist.

23

Fur D und M mit Definitionsbereich D(R) sind sowohl DM als auch MDdefiniert und es gilt DM−MD = 1

iid . Es gibt jedoch keine zwei Operatoren

in L(E) mit diesen Vertauschungseigenschaften. Es gilt sogar:

Satz 4.11 Sei λ ∈ C, λ = 0, A eine Banachalgebra. Dann gibt es keineElemente a, b ∈ A mit ab− ba = λe.

5 Selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum

Sei E ein Hilbertraum.

Definition Ein dicht definierter Operator A in E heißt symmetrisch, fallsA ⊂ A∗, er heißt selbstadjungiert, falls A = A∗.

Lemma 5.1 Ist A symmetrisch, so ist A abschließbar und A ist symme-trisch.

Lemma 5.2 Ist A symmetrisch und abgeschlossen, so gilt fur jedes z ∈C\R : zI − A ist injektiv und R(zI − A) ist abgeschlossen.

Satz 5.3 Ist A selbstadjungiert, so ist σ(A) ⊂ R.

Satz 5.4 Sei A ein dicht definierter Operator in E. Dann sind aquivalent:

1. A ist selbstadjungiert.

2. A ist symmetrisch und σ(A) ⊂ R.

3. A ist symmetrisch und es existiert z ∈ C\R, so daß z, z ⊂ ϱ(A).

Korollar 5.5 Sei A ein symmetrischer Operator in E. Dann gilt: A istselbstadjungiert genau dann, wenn i,−i ⊂ ϱ(A).

24

Ist A symmetrisch und abgeschlossen, dann ist −iI −A injektiv und (−iI −A)−1 bildet den abgeschlossenen Unterraum R(−iI − A) bijektiv auf D(A)ab. Also macht die folgende Definition Sinn:

Definition Sei A symmetrisch und abgeschlossen. Dann heißt

U = U(A) = (iI − A)(−iI − A)−1

mit D(U) := R(−iI − A) die Cayley-Transformierte von A.

Bemerkung Die Cayley-Transformierte bildet den abgeschlossenen Un-terraum D(U) = R(−iI − A) bijektiv auf den abgeschlossenen UnterraumR(U) = R(iI − A) ab.

Lemma 5.6 Ist A symmetrisch und abgeschlossen, so ist U(A) eine unitareAbbildung von R(−iI − A) auf R(iI − A).

Satz 5.7 Sei A selbstadjungiert. Dann gilt fur U = U(A):

1. U ist unitar in L(E) und I − U ist injektiv.

2. D(A) = R(I − U) und A = i(I + U)(I − U)−1.

Satz 5.8 Sei U ∈ L(E) unitar und I−U injektiv. Sei A = i(I+U)(I−U)−1

mit D(A) = R(I − U). Dann ist der Operator A selbstadjungiert und seineCayley-Transformierte ist U .

Bemerkung Die Funktion f(t) = i−t−i−t

bildet R bijektiv auf z ∈ C : |z| =1, z = 1 ab und ihre Umkehrabbildung ist f−1(u) = i1+u

1−u.

Fur s ∈ ]0, 2π[ ist eis ∈ z ∈ C : |z| = 1, z = 1 und es gilt f−1(eis) = −ctg s2.

25

Sei jetzt A selbstadjungiert und U = U(A). Dann ist U ∈ L(E) unitar,es existiert also ein selbstadjungiertes B ∈ L(E) mit σ(B) ⊂ [0, 2π] undU = eiB.

Sei ΨB : M∞([0, 2π]) −→ L(E) der Funktionalkalkul vonB,EB auf B([0, 2π])das Spektralmaß von B. Es gilt U = ΨB(e

is).

Lemma 5.9 Sei 0 < ε < π und ∆ε =]ε, 2π − ε]. Dann gilt fur jedes x ∈ E

1. limε−→0EB(∆ε)x = x

2. EB(∆ε)x ∈ D(A)

3. AEB(∆ε)x = ΨB(−ctg s2· χ∆ε)

4. Ist x ∈ D(A), dann ist AEB(∆ε)x = EB(∆ε)Ax.

Lemma 5.10 x ∈ D(A) genau dann, wenn limε→0+ ΨB(−ctg s2· χ∆ε)x exis-

tiert. In diesem Falle ist Ax = limε→0+ ΨB(−ctg s2· χ∆ε)x.

Lemma 5.11 limε→0+ ΨB(−ctg s2· χ∆ε)x existiert genau dann, wenn

supε>0

⟨ΨB(ctg2 s

2· χ∆ε)x, x⟩ < +∞.

Also gilt:

Korollar 5.12 x ∈ D(A) genau dann, wenn supε>0⟨ΨB(ctg2 s2· χ∆ε)x, x⟩ <

+∞.

Definition Fur eine beschrankte Borel-meßbare Funktion f auf R setzenwir Ψ(f) = ΨB(f((−ctg s

2)). Fur eine Borel-meßbare Menge M ⊂ M setzen

wir E(M) = Ψ(χM).

Definition Fur λ ∈ R sei Eλ = E((−∞, λ]).

26

Satz 5.13 (Eλ)λ∈R hat folgende Eigenschaften:

1. Eλ ist orthogonale Projektion fur alle λ ∈ R,

2. EλEµ = EµEλ = Eλ fur alle λ ≤ µ,

3. limµ−→λ+Eµx = Eλx fur alle x ∈ E, λ ∈ R,

4. limλ→+∞Eλx = x, limλ→−∞Eλx = 0 fur alle x ∈ E.

Definition Eine Familie (Eλ)λ∈R mit den Eigenschaften 1., . . . , 4. aus Satz5.13 heißt Spektralschar.

Die eben definierte Familie (Eλ)λ∈R ist also die zu dem selbstadjungiertenOperator A gehorende Spektralschar.

Lemma 5.14 Sei (Eλ)λ∈E eine Spektralschar, x ∈ E und F (λ) = ⟨Eλx, x⟩.Dann gilt:

1. F ist monoton wachsend,

2. F ist rechtsseitig stetig,

3. limλ→−∞ F (λ) = 0, limx→+∞ F (λ) = ∥x∥2.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

Sei F eine reellwertige Funktion auf R mit folgenden Eigenschaften:

1. F ist monoton wachsend.

2. F ist rechtsseitig stetig.

Fur reellwertige Treppenfunktionen der Form

φ =m∑j=0

aj χ]tj−1,tj ]

27

(” Intervalltreppenfunktionen”) setzen wir

∫φdF =

m∑j=1

ai(F (tj)− F (tj−1))

Wir fahren nun fort, wie bei der Konstruktion des Lebesgue-Integrals (sie-he Analysis II). Wir erhalten Raume L1(dF ), bzw Lp(dF ), 1 ≤ p ≤ +∞.Die Satze von Beppo-Levi, Lebesgue usw. gelten. Wir erhalten dF -meßbareFunktionen und bemerken, daß alle Borel-meßbaren Funktionen und MengendF -meßbar sind.

Ist F beschrankt, so ist 1 ∈ L1(dF ) und damit M∞(R) ⊂ L1(dF ).

M∞(R) bezeichnet, analog zu fruher, den Raum der beschrankten Borel-meßbaren Funktionen auf R.

Dies gilt also insbesondere fur unser von einer Spektralschar heruhrendes F .

Lemma 5.15 Ist f ∈ M∞(R) und x ∈ E, so gilt

⟨Ψ(f)x, x⟩ =∫ ∞

−∞f(λ)d⟨Eλx, x⟩.

Satz 5.16 Ist A ein selbstadjungierter Operator und (Eλ)λ∈R eine Spektral-schar, so ist x ∈ D(A) genau dann, wenn

∫ ∞

−∞λ2d⟨Eλx, x⟩ < +∞.

Ist f ∈ M∞(R), so gilt

Ψ(f) = limn→∞

+∞∑k=−∞

k

nE

(t :

k − 1

n< f(t) ≤ k

n

)

in L(E).

In diesem Sinne schreiben wir

28

Ψ(f) =

∫f(λ)dEλ

.

Dann gilt:

Satz 5.17 Ist x ∈ D(A), so gilt Ax = limR→+∞∫ R

−RλdEλx.

Falls existent, setzen wir

∫ ∞

−∞λdEλx = lim

R→+∞

∫ R

−R

λdEλx.

Dann gilt:

Satz 5.18 (Spektralsatz fur selbstadjungierte Operatoren) Ist A einselbstadjungierter Operator und (Eλ)λ∈R seine Spektralschar, so gilt:

1. x ∈ D(A) genau dann, wenn∫∞−∞ λ2d⟨Eλx, x⟩ < +∞.

2. In diesem Fall ist Ax =∫∞−∞ λdEλx.

Spektralschar und Spektrum

Lemma 5.19 Sei f ∈ M∞(R). Dann ist fur x ∈ D(A) auch Ψ(f)x ∈ D(A)und es gilt:

AΨ(f)x = Ψ(f)Ax = limR→+∞

Ψ(tf(t)χ]−R,R](t))x.

Definition Fur eine Spektralschar (Eλ)λ∈R sei ihr Trager supp(Eλ) definiertdurch λ0 ⊂ supp(Eλ) genau dann, wenn existieren Zahlen λ1 < λ0 < λ2 mitEλ1 = Eλ2 .

29

Satz 5.20 Ist A ein selbstadjungierter Operator und (Eλ)λ∈R seine Spektral-schar, so gilt σ(A) = supp(Eλ).

Lemma 5.21 Eλ− := limµ→λ−Eµ existiert fur alle λ ∈ R und ist eine or-thogonale Projektion. Es gilt: Eλ− = E((−∞, λ[).

Satz 5.22 λ ist Eigenwert von A genau dann, wenn Eλ− = Eλ. In diesemFalle ist Eλ − Eλ− die orthogonale Projektion auf den Eigenraum zum Ei-genwert λ.

6 Selbstadjungierte Erweiterungen

symmetrischer Operatoren

Sei A ein symmetrischer Operator in E, d.h. A ⊂ A∗.

Beispiele

1. M ⊂ R offenes Intervall, E = L2(M), D(A) := D(M), Af = 1if ′ fur

f ∈ D(A). Es gilt:

⟨Af, g⟩ =∫

1

if ′g =

∫f

(1

ig′)

= ⟨f, Ag⟩

fur f, g ∈ D(A). Also ist A symmetrisch.

2. Ω ⊂ RN offen, E = L2(Ω), D(A) = D(Ω), Af = −∆f fur f ∈ D(A).Es gilt:

⟨Af, g⟩ = −N∑j=0

∫∂2f

∂x2jg = −

N∑j=0

∫f∂2g

∂x2j

= ⟨f, Ag⟩

fur f, g ∈ D(A). Also ist auch hier A symmetrisch.

30

Frage: Ist A = A∗, d.h. A selbstadjungiert? Wenn nicht: existiert ein selbst-adjungiertes B mit A ⊂ B, d.h. A ⊂ B = B∗ ⊂ A∗?

Erinnerung: A heißt wesentlich selbstadjungiert, falls A selbstadjungiertist.

Satz 6.1 A ist wesentlich selbstadjungiert genau dann, wenn N(−iI−A∗) =N(iI − A∗) = 0, d.h. wenn ±i keine Eigenwerte von A∗ sind.

Definition n+(A) = dimN(−iI−A∗) und n−(A) = dimN(iI−A∗) heißenDefektindizes des symmetrischen Operators A.

Hierbei bezeichnet dim die Hilbertraumdimension, d.h. die Machtigkeit ei-ner/jeder Orthonormalbasis.

Ist E ein separabler Hilbertraum, so ist dim ∈ N0 ∪ ∞.

Fur uns ist im Weiteren nur von Bedeutung, ob n+(A) = n−(A). Diesesbedeutet: es existiert eine unitare Abbildung vonN(−iI−A∗) auf N(iI−A∗).

Wir konnen nun Satz 6.1 auch so formulieren: A ist genau dann wesentlichselbstadjungiert, wenn n+(A) = n−(A) = 0.

Lemma 6.2 Seien A,B symmetrische abgeschlossene Operatoren. Dann gilt:A ⊂ B genau dann, wenn U(A) ⊂ U(B).

Korollar 6.3 Der symmetrische abgeschlossene Operator A besitzt genaudann eine selbstadjungierte Erweiterung, wenn U(A) eine unitare Erweite-rung besitzt, fur welche 1 kein Eigenwert ist.

Satz 6.4 Der symmetrische Operator A besitzt genau dann eine selbstadjun-gierte Erweiterung, wenn n+(A) = n−(A).

31

Beispiel M offenes Intervall, D(A) = D(M)Af = 1if ′. Dann ist D(A∗) =

H1(M), A∗f = 1if ′.

Wir erhalten:

N(−iI − A∗) = H1(M) ∩ CetN(iI − A∗) = H1(M) ∩ Ce−t

Also ist fur

M = (a, b) : n+(A) = n−(A) = 1M = (a,+∞) : n+(A) = 0, n−(A) = 1M = (−∞, b) : n+(A) = 1, n−(A) = 0M = R : n+(A) = n−(A) = 0.

Nach Satz 6.1 und Satz 6.4 ist also im 1. Fall A nicht wesentlich selbstadjun-giert, besitzt aber selbstadjungierte Erweiterung. Im 2. und 3. Fall besitzt Akeine selbstadjungierte Erweiterung. Im 3. Fall ist A wesentlich selbstadjun-giert.

Definition Ein symmetrischer Operator heißt halbbeschrankt nach unten(oben) falls ein γ ∈ R existiert mit ⟨Ax, x⟩ ≥ γ∥x∥2 (bzw. ⟨Ax, x⟩ ≤ γ∥x∥2)fur alle x ∈ D(A).

Beispiel Ein symmetrischer Operator heißt positiv, falls ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 furalle x ∈ D(A). Er ist halbbeschrankt nach unten mit γ = 0.

Sei Ω ⊂ RN offen D(A) = D(Ω), Af = −∆f fur f ∈ D(A). Dann gilt:

⟨Af, f⟩ = −N∑j=1

∫∂2f

∂xjf =

N∑j=1

∫ ∣∣∣∣ ∂f∂xj∣∣∣∣2

=

∫|gradf |2 ≥ 0.

Also ist A positiv.

32

Sei jetzt A nach unten halbbeschrankt. Fur x, y ∈ D(A) setzen wir

(x, y) = (1− γ)⟨x, y⟩+ ⟨Ax, y⟩

und |x|2 = (x, x).

Lemma 6.5 (1) (·, ·) ist ein Skalarprodukt auf D(A) mit | · | ≥ ∥ · ∥.

(2) Ist (xn)n eine | · |–Cauchyfolge in D(A) und limn ∥xn∥ = 0, dann giltlimn−→∞ |xn| = 0.

Sei ab jetzt H := (D(A), | · |∧).

Lemma 6.6 Die identische Einbettung D(A) → E setzt sich zu einer steti-gen Einbettung j : H → E fest.

Wir fassen ab jetzt H als Unterraum von E auf.

Lemma 6.7 Fur x ∈ D(A) und y ∈ H ist (x, y) = (1− γ)⟨x, y⟩+ ⟨Ax, y⟩.

Lemma 6.8 Sei y ∈ H, y∗ ∈ E. Dann sind aquivalent:

1. (x, y) = ⟨x, y∗⟩ fur alle x ∈ D(A),

2. (x, y) = ⟨x, y∗⟩ fur alle x ∈ H,

3. y ∈ H ∩D(A∗) und y∗ = (1− γ)y + A∗y.

Satz 6.9 (Friedrichsfortsetzung) Sei D(B) = H ∩ D(A∗), B = A∗ aufD(B). Dann ist B eine selbstadjungierte Erweiterung von A. B ist halbbe-schrankt mit derselben Schranke γ.

Beispiel Ω ⊂ RN offen, D(A) = D(Ω), Af = −∆f fur f ∈ D(A). Dannbesitzt A eine positive selbstadjungierte Erweiterung.

33

7 Unitare Einparametergruppen

Sei E ein Hilbertraum uber C.

Definition Eine stark stetige unitare Einparametergruppe ist eine Familie(U(t))t∈R unitarer Operatoren in E mit folgenden Eigenschaften:

1. U(t+ s) = U(t)U(s) fur alle t, s ∈ R

2. limt→t0 U(t)x = U(t0)x fur alle t0 ∈ R und x ∈ E.

Bemerkung (1) U(0) = I, U(−t) = U(t)−1, U(t)U(s) = U(s)U(t) fur allet, s ∈ R

(2) Fur 2. in der Definition ist hinreichend limt→0 U(t)x = x fur alle x ∈ E.

Beispiel E = L2(R), U(t)f = f(·+ t) fur t ∈ R.

Sei A ein selbstadungierter Operator auf E,Ψ : M∞(R) −→ L(E) seinFunktionalkalkul, (Eλ)λ∈R seine Spektralschar.

Definition eitA = Ψ(eitλ) =∫∞−∞ eitλdEλ.

Satz 7.1 (1) Sei A selbstadjungiert, U(t) := eitA Dann ist (U(t))t∈R einestark stetige unitare Einparametergruppe.

(2) Fur x ∈ D(A) gilt limt→01t(U(t)x− x) = iAx.

(3) Existiert limt→01t(U(t)x− x), so ist x ∈ D(A).

Satz 7.2 (von Stone) Sei (U(t))t∈R eine stark stetige unitare Einparame-tergruppe. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator A in E, so daßU(t) = eitA fur alle t ∈ R.

34

Beispiel Sei E = L2(R), U(t)f = f(·+ t). Dann ist U(t) = eiAt, wo D(A) =H1(R) und Af = 1

if ′ = Df fur f ∈ H1(R).

Definition Gilt sogar limt−→t0 ∥U(t) − U(t0)∥ = 0 fur alle t0 ∈ E so heißtdie unitare Einparametergruppe normstetig.

Satz 7.3 Die unitare Einparametergruppe (U(t))t∈R ist normstetig genaudann, wenn ein A ∈ L(E) existiert mit U(t) = eitA fur alle t ∈ R.

8 Lokalkonvexe Vektorraume

Sei E ein Vektorraum uber K = R oder C.

Definition Ein topologischer Vektorraum ist ein K-Vektorraum, versehenmit einer Topologie, bzgl. deren die Addition E × E −→ E und die skalareMultiplikation K× E −→ E stetig sind.

Bemerkung Ist U die Menge der Umgebungen von 0, so ist x+U = x+U :U ∈ U die Menge der Umgebungen von x.

Definition (1) Eine Menge M ⊂ E heißt absorbant, falls∪

t>0 tM = E.

(2) Eine Menge M ⊂ E heißt kreisformig, falls M = λm : |λ| ≤ 1,m ∈M.

Lemma 8.1 1. Jede Nullumgebung ist absorbant.

2. Die abgeschlossenen, kreisformigen Nullumgebungen bilden eine Basis derUmgebungen von 0.

Definition Ein lokalkonvexer Raum ist ein topologischer Vektorraum, indem 0 (und damit jeder Punkt) eine Basis aus konvexen Umgebungen besitzt.

35

Lemma 8.2 Aquivalent sind:

1. E ist lokalkonvex

2. 0 besitzt eine Basis aus absolutkonvexen Umgebungen.

Erinnerung: Sei X ein Vektorraum uber K. M ⊂ X heißt konvex, falls mitx, y ∈ M gilt [x, y] = (1 − t)x + ty : 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ M . M ⊂ X heißtabsolutkonvex, falls mit x, y ∈ U auch λx+ µy : |λ|+ |µ| ≤ 1 ⊂M .

Bemerkung M ist absolutkonvex genau dann, wennM konvex und kreisformigist.

Definition Sei X ein linearer Raum uber K, U ⊂ X absolutkonvex undabsorbant. Dann setzten wir fur x ∈ X

∥x∥U = inft > 0 : x ∈ tU,

∥ · ∥U heißt Minkowski-Funktional von U .

Lemma 8.3 ∥ · ∥U ist eine Halbnorm. Es gilt:

x : ∥x∥U < 1 ⊂ U ⊂ x : ∥x∥U ≤ 1.

Lemma 8.4 Sei E lokalkonvex, U eine absolutkonvexe Nullumgebung. Danngilt:

1. ∥ · ∥U ist eine stetige Halbnorm.

2.U = x ∈ E : ∥x∥U < 1 ⊂ U ⊂ x : ∥x∥U ≤ 1 = U .

3. 12U ⊂

U .

36

Definition Eine Familie (∥ · ∥α)α∈A stetiger Halbnormen heißt Fundamen-talsystem von Halbnormen, falls zu jeder Nullumgebung U ein α ∈ A undε > 0 existiert mit x : ∥x∥α ≤ ε ⊂ U .

Lemma 8.5 Eine Familie (∥·∥α)α∈A stetiger Halbnormen ist ein Fundamen-talsystem von Halbnormen genau dann, wenn zu jeder stetigen Halbnorm pauf E ein α ∈ A und C > 0 existiert mit p(x) ≤ C pα(x) fur alle x ∈ E.

Satz 8.6 Jeder lokalkonvexe Raum besitzt ein Fundamentalsystem von Halb-normen.

Satz 8.7 Sei E ein linearer Raum uber K und (pα)α∈A eine Familie vonHalbnormen mit folgenden Eigenschaften:

1. Zu jedem x ∈ E existiert ein α ∈ A mit pα(x) = 0.

2. Zu α, β ∈ A existieren γ ∈ A und C > 0 mit max(pα(x), pβ(x)) ≤Cpγ(x) fur alle x ∈ E.

Dann gibt es genau eine lokalkonvexe Topologie auf E, fur die (pα)α∈A eineFundamentalsystem stetiger Halbnormen ist.

Satz 8.8 Seien E,F lokalkonvexe Raume mit den Fundamentalsystemen ste-tiger Halbnormen (pα)α∈A in E und (qβ)β∈B in F und sei A : E −→ F linear.Dann sind aquivalent:

1. A ist stetig.

2. A ist stetig in 0.

3. Zu jedem β ∈ B existieren α ∈ A und C > 0 so daß qβ(Ax) ≤ Cpα(x)fur alle x ∈ E.

4. qβ A ist stetig fur alle β.

37

BezeichnungenMit L(E,F ) bezeichnen wir den linearen Raum der stetigenlinearen Abbildungen von E nach F . Wir setzen E ′ = L(E,K).

Diese Raume tragen zunachst keine Topologie.

Satz 8.9 (von Hahn-Banach) Sei E lokalkonvex, F ⊂ E ein linearer Un-terraum und y ∈ F ′. Dann existiert ein Y ∈ E ′ mit Y |F = y.

Korollar 8.10 Zu jedem x ∈ E, x = 0 existiert ein y ∈ E ′ mit y(x) = 0.

Korollar 8.11 Zu x1 = x2 aus E existiert y ∈ E ′ mit y(x1) = y(x2), d.h.E ′ trennt Punkte.

Lemma 8.12 Sei U offen und absolutkonvex, x0 ∈ U . Dann existiert y ∈ E ′

mit |y(x)| < 1 fur alle x ∈ U und |y(x0)| > 1.

Lemma 8.13 Ist M ⊂ E absolutkonvex und abgeschlossen, x0 ∈ M . Dannexistiert y ∈ E ′ mit |y(x)| ≤ 1 also x ∈M und |y(x0)| > 1.

Definition Sei E lokalkonvex und M ⊂ E,N ⊂ E ′. Wir setzen

M = y ∈ E ′ : |y(x)| ≤ 1 fur alle x ∈MN = x ∈ E : |y(x)| ≤ 1 fur alle y ∈ N .

Mit ΓM bezeichnen wir die absolutkonvexe Hulle einer Teilmenge eines linea-ren Raumes uber K, d. h. die kleinste absolutkonvexe Menge, die M enthalt.

Satz 8.14 (Bipolarensatz) Sei E lokalkonvex undM ⊂ E. Dann istM =ΓM .

Korollar 8.15 Ist M ⊂ E absolutkonvex, so hangt die abgeschlossene Hullevon M nur von E ′, nicht von der speziellen Topologie ab.

38

Frage: Ist U eine abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebung, so gilt nachdem Bipolarensatz U = (U). Welche Eigenschaften zeichnen U aus? Damithangt eng zusammen die Frage: gibt es andere lokalkonvexe Toplogien, diedenselben Dualraum erzeugen und welche sind das?

Definition 1. Die schwache Topologie σ(E,E ′) auf E wird gegeben durchdas Fundamentalsystem von Halbnormen pe(x) = maxy∈e |y(x)|, e ⊂ E ′ end-lich.

2. Die schwache Topologie σ(E ′, E) auf E ′ (”schwach∗-Topologie“) wird gege-

ben durch das Fundamentalsystem von Halbnormen qe(y) = maxx∈e |y(x)|, e ⊂E endlich.

Satz 8.16 Sei E lokalkonvex, dann gilt

(E, σ(E,E ′))′ = E ′, (E ′, σ(E ′, E))′ = E.

Definition Seien Xj, j ∈ J , topologische Raume. Die Produkttopologieauf ΠjXj wird gegeben durch die folgende Umgebungsbasis eines Punktesx = (xj)j∈J : ξ = (ξj)j∈J : ξj ∈ Uj, j ∈ e, wobei e die endlichen Teilmengenvon J durchlauft und Uj alle Umgebungen (bzw. eine Umgebungsbasis) vonxj, j ∈ e.

Satz 8.17 (von Tychonoff) Sind die Xj, j ∈ J , kompakte topologische Raume,so ist ΠjXj kompakt.

Bemerkung IstM eine Menge, so ist KM , versehen mit der Produkttopolo-gie, ein lokalkonvexer Raum mit dem Fundamentalsystem stetiger Halbnor-men pe(x) = supm∈e |x(m)|, wo e die endlichen Teilmengen vonM durchlauft.

Lemma 8.18 Sei E lokalkonvex, E∗ = Hom(E,K) der lineare Raum allerLinearformen auf E. Dann gilt:

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1. E∗ ist ein abgeschlossener Unterraum von KE.

2. (E ′, σ(E ′, E)) ist ein lokalkonvexer Unterraum von KE.

Lemma 8.19 Sei E ein K-Vektorraum, F ⊂ E∗ ein linearer Unterraum, derdie Punkte von E trennt. Dann wird durch pe(x) = supy∈e |y(x)|, e ⊂ F end-lich, eine lokalkonvexe Topologie σ(E,F ) definiert, fur die gilt (E, σ(E,F ))′ =F .

Satz 8.20 (Alaoglu-Bourbaki) Ist U eine Nullumgebung im lokalkonve-xen Raum E, so ist U σ(E ′, E)-kompakt.

Lemma 8.21 1. Durch das Halbnormensystem pM(x) = supy∈M |y(x)|, woM die absolutkonvexen, σ(E ′, E)-kompakten Teilmengen von E ′ durchlauft,wird eine lokalkonvexe Topologie τ(E,E ′) auf E definiert.

2. (E, τ(E,E ′))′ = E ′.

3. τ(E,E ′) hangt nur von E ′ ab.

Definition τ(E,E ′) heißt Mackeysche Topologie.

Definition Sei E lokalkonvex. Eine lokalkonvexe Topologie t auf E heißtzulassig, falls (E, t)′ = E ′.

Satz 8.22 Sei E lokalkonvex, t0 seine Topologie, dann gilt:

1. σ(E,E ′) ≺ t0 ≺ τ(E,E ′).

2. σ(E,E ′) und τ(E,E ′) sind zulassig.

3. Eine lokalkonvexe Topologie t auf E ist genau dann zulassig, wennσ(E,E ′) ≺ t ≺ τ(E,E ′).

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Reflexivitat in Banachraumen

Satz 8.23 Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn seine abgeschlos-sene Einheitskugel schwach kompakt ist.

Korollar 8.24 Die Einheitskugel im Hilbertraum ist schwach kompakt.

Im folgenden sei wieder E∗ = Hom(E,K) der lineare Raum aller Linearfor-men auf E. Ist A eine lineare Abbildung von E nach F , so sei At : F ∗ −→ E∗

die transponierte Abbildung, definiert durch Aty := y A.

Lemma 8.25 Seien E,F lokalkonvex und A eine lineare Abbildung von Enach F . Dann gilt :

1. A ∈ L(Eσ, Fσ) genau dann, wenn AtF ′ ⊂ E ′.

2. Ist A ∈ L(E,F ), so ist A ∈ L(Eσ, Fσ) und A ∈ L(Eτ , Fτ ).

Satz 8.26 Ist E ein reflexiver Banachraum, F ⊂ E ein abgeschlossenerUnterraum, so sind F und E/F reflexiv.

Beschrankte Mengen

Definition Sei E lokalkonvex. Eine Menge B ⊂ E heißt beschrankt, fallsfur jede stetige Halbnorm p auf E gilt supx∈B p(x) < +∞.

Bemerkung Ist (pα)a∈A ein Fundamentalsystem stetiger Halbnormen, soist aquivalent: supx∈B pα(x) < +∞ fur alle α ∈ A.

Bemerkung Sind B,B1, B2 beschrankt, so auch B1 ∪ B2, B1 + B2, λB furalle λ ∈ K, B, ΓB.

Lemma 8.27 Sei E lokalkonvex und B ⊂ E. Dann sind aquivalent:

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1. B ist beschrankt.

2. Fur jede Folge (xn)n in B und jede Nullfolge (λn)n in K konvergiertdie Folge (λnxn)n gegen 0.

Satz 8.28 Seien E1, E2 lokalkonvex, A : E1 −→ E2 folgenstetig, B ⊂ E1

beschrankt. Dann ist auch A(B) ⊂ E2 beschrankt.

Definition Sei X ein Vektorraum uber K. Eine absolutkonvexe MengeM ⊂ X heißt Banachkugel, falls XM := spanM , versehen mit dem Minkow-skifunktional ∥ · ∥M , ein Banachraum ist.

Lemma 8.29 Sei E lokalkonvex, M ⊂ E absolutkonvex und kompakt, dannist M eine Banachkugel.

Lemma 8.30 Ist E lokalkonvex und B ⊂ E σ(E,E ′)-beschrankt. Dann istB sogar τ(E,E ′)-beschrankt.

Satz 8.31 Sei E lokalkonvex. Dann gilt: die beschrankten Menge bzgl. allerzulassigen Topologien stimmen uberein.

Starke Topologie

Definition Durch das Fundamentalsystem von Halbnormen

pB(y) = supx∈B

|y(x)|

wird eine lokalkonvexe Topologie auf E ′ definiert. Sie heißt starke Topologieund wird mit b(E ′, E) bezeichnet. Wir setzen E ′

b = (E ′, b(E ′, E)).

Bezeichnung Ein Fundamentalsystem beschrankter Mengen ist eine MengeB beschrankter Mengen, so daß zu jeder beschrankten Menge M ⊂ E einB ∈ B und C > 0 existiert mit M ⊂ CB.

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Bemerkung Ist B ein Fundamentalsystem beschrankter Mengen, so bildendie pB(y) = supx∈B |y(x)|, B ∈ B, ein Fundamentalsystem stetiger Halbnor-men fur E ′

b.

Beispiel Sei E ein Bananchraum. B = U, U = x : ∥x∥ ≤ 1 bildetein Fundamentalsystem beschrankter Mengen in E. pU(y) = supx∈U |y(x)| =∥y∥. E ′

b ist also E′, versehen mit der Normtopologie.

Satz 8.32 b(E ′, E) ist gleich fur alle zulassigen Topologien.

Reflexivitat

Definition Der lokalkonvexe Raum E heißt reflexiv, wenn (E ′b)

′b = E. Er

heißt halbreflexiv, wenn (E ′b)

′ = E als Menge.

Beispiel Sei E ein reflexiver unendlichdimensionaler Banachraum. Dann ist(E, σ(E,E ′)) halbreflexiv, aber nicht reflexiv.

Satz 8.33 Der lokalkonvexe Raum E ist halbreflexiv genau dann, wenn jedebeschrankte Menge in E relativ schwach kompakt ist.

Bemerkung Jede relativ schwach kompakte Menge in E ist beschrankt,denn sie ist offenbar schwach beschrankt, da pe(x) = maxy∈e |y(x)| schwachstetig ist fur jede endliche Menge e ⊂ E ′.

Definition Der lokalkonvexe Raum E heißt tonneliert, falls jede absolut-konvexe, abgeschlossene und absorbante Menge (

”Tonne“) in E eine Nullum-

gebung ist.

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Lemma 8.34 U ⊂ E ist eine Tonne genau dann, wenn U = M, wo M ⊂E ′ schwach∗-beschrankt ist.

Bemerkung Die Tonnen bilden eine Nullumgebungsbasis einer lokalkon-vexen Topologie in E. Sie heißt

”starke Topologie“ b(E,E ′) und ist nicht

notwendig zulassig. Ein Fundamentalsystem stetiger Halbnormen sind diepM(x) = supy∈M |y(x)|, wo M ⊂ E ′ schwach∗-beschrankt ist.

Satz 8.35 Der lokalkonvexe Raum E ist reflexiv genau dann, wenn er halb-reflexiv und tonneliert ist.

Frechetraume

Definition Sei E lokalkonvex. Eine Cauchyfolge in E ist eine Folge, diebzgl. jeder stetigen Halbnorm eine Cauchyfolge ist.

Bemerkung Ist (pα)α∈A ein Fundamentalsystem von Halbnormen, so ist(xn)n eine Cauchyfolge, falls zu jedem α ∈ A und ε > 0 ein n0 existiert, sodaß pα(xn − xm) < ε fur alle n,m ≥ n0.

Definition Ein Frechetraum ist ein lokalkonvexer Raum, der ein abzahlbaresFundamentalsystem ∥ · ∥1 ≤ ∥ · ∥2 ≤ . . . stetiger Halbnormen besitzt und indem jede Cauchyfolge konvergiert.

Lemma 8.36 Ist E ein Frechetraum, ∥ · ∥1 ≤ ∥ · ∥2 ≤ . . . ein Fundamental-system stetiger Halbnormen, so ist

d(x, y) =∞∑n=1

2−n ∥x− y∥n1 + ∥x− y∥n

eine Metrik, die die Topologie gibt und bzgl. deren E vollstandig ist.

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Satz 8.37 Jeder Frechetraum ist tonneliert.

Satz 8.38 Ein Frechetraum ist reflexiv genau dann, wenn jede beschrankteMenge relativ schwach kompakt ist.

Definition Ein lokalkonvexer Raum heißt Schwartz-Raum, falls zu jederstetigen Halbnorm p eine stetige Halbnorm q ≥ p existiert, so daß jege bzgl.q beschrankte Folge in E eine Teilfolge hat, die eine Cauchyfolge bzgl. p ist.

Lemma 8.39 In einem Frechet-Schwartz-Raum ist jede beschrankte Mengerelativ kompakt.

Satz 8.40 Jeder Frechet-Schwartzraum ist reflexiv.

Beispiele

Die folgenden Raume sind Frechet-Schwartz Raume, insbesondere reflexiv:

1. Sei Ω ⊂ RN offen. C∞(Ω) versehen wir mit dem Fundamentalsystemvon Halbnormen

∥f∥k = sup|fα(x)| : x ∈ ωk, |α| ≤ k,

wo ω1 ⊂⊂ ω2 ⊂⊂ . . . eine Ausschopfung von Ω ist.

2. Sei Ω ⊂ CN offen. Den Raum H(Ω) aller holomorphen Funktionen aufΩ versehen wir mit den Halbnormen

∥f∥k = supz∈ωk

|f(z)|,

wo wieder ω1 ⊂⊂ ω2 ⊂⊂ . . . eine Ausschopfung von Ω ist.

3. S(RN) = f ∈ C∞(RN) : ∥f∥k = supx∈RN|α|≤k

(1 + |x|)k|f (x)(x)| < xα fur

alle k.

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Dualraum eines Frechetraumes

Sei E ein Frechetraum mit dem Fundamentalsystem ∥ · ∥1 ≤ ∥ · ∥2 ≤ . . . vonHalbnormen. Wir setzen Uk = x ∈ E : ∥x∥k ≤ 1 und Bk = U

k ⊂ E ′.

Satz 8.41 Die Bk bilden ein Fundamentalsystem beschrankter Mengen inE ′.

Wir setzen E∗k = spanBk versehen mit

∥y∥∗k = ∥y∥Bk= sup

x∈Uk

|y(x)|.

Dann gilt:

Satz 8.42 E∗k ist ein Banachraum fur jedes k;E∗

k ⊂ E∗k+1;E

∗k → E ′ ist

stetig; E ′ = ∪kE∗k.

Stetigkeit von Abbildungen zwischen Frechetraumen

Seien E,F Frechetraume mit Fundamentalsystemen ∥ · ∥1 ≤ ∥ · ∥2 ≤ . . .stetiger Halbnormen, A : E −→ F linear. Dann gilt: A ist stetig genau dann,wenn zu jedem k ein Ck und σ(k) existiert, so daß ∥Ax∥k ≤ Ck∥x∥σ(k) furalle k. Ist σ(k) minimal mit dieser Eigenschaft gewahlt, so heißt k 7−→ σ(k)Stetigkeitcharakteristik von A.

Beispiel Sei P ∈ C[xa, . . . , xN ] ein Polynom vom Grade m. Wir betrachtendie stetige lineare Abbildung P (D) =

∑|α|≤m cαD

α : C∞(Ω) −→ C∞(Ω).

Dann gilt ∥P (D)f∥k ≤ Ck∥f∥k+m und σ(k) = k +m.

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