Embed Size (px)
Citation preview
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Vértesy GáspárMatematika BSc
Alkalmazott matematikus szakirány
Az Okamoto-függvények
Szakdolgozat
Témavezető: Keleti Tamás, tanszékvezető egyetemi tanárAnalízis Tanszék
Budapest, 2015.
Köszönetnyilvánítás
Köszönöm témavezetőmnek, Dr. Keleti Tamásnak a szakdolgozat megírása soránnyújtott számos tanácsot és észrevételt, melyekkel munkámat segítette.
3
Tartalomjegyzék
Bevezetés 5
1. Gyakori jelölések 6
2. Fraktálelméleti alapok 72.1. Dimenziófogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Önaffin halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. A Bourbaki-függvény 123.1. Lokális tulajdonságok és a nem-deriválhatóság . . . . . . . . . . . . 143.2. A grafikon tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Szinthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Az Okamoto-függvények 264.1. Folytonossági tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. A deriválhatóság, vagy ennek hiánya . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3. A grafikon tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4. Lokális tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Hivatkozások 35
4
Bevezetés
Arra, hogy létezik olyan h : R → R folytonos függvény, amely sehol sem differen-ciálható, sokáig nem jöttek rá a matematikusok, sőt szinte általánosan elfogadottvolt, hogy nincs ilyen leképezés. Ez jelentős részben arra vezethető vissza, hogybár már a XVII. században eredményesen alkalmazták a differenciálszámítást azfizikában, az analízis precíz megalapozása csak a XIX. században ment végbe. Ígyválik érthetővé, hogy Ampére 1806-ban miért vélte bizonyítani azt, hogy ilyen h
függvény nem létezhet. Ő a folytonos függvények halmazát sokkal szűkebben ér-telmezte, mint ami a folytonosság ma elfogadott, precíz definíciójából következik(bár egyébként sem volt hibátlan a gondolatmenete).
Elsőként Bolzano írt le egy ilyen függvényt 1830 körül, de mivel ekkoribanaz osztrák cenzúra nem engedte publikálni a cseh matematikus műveit, eredmé-nye csak évtizedekkel később vált széles körben ismertté. Emiatt a matematikafejlődésére gyakorolt hatás szempontjából Weierstrass körülbelül 30 évvel későbbnyilvánosságra hozott példája a legjelentősebb.
Jelen dolgozatban a folytonos függvények egy olyan osztályát vizsgáljuk meg,melyek – egy kivételével – értelmezési tartományuknak egy sűrű részhalmazán nemdifferenciálhatóak. Egy rövid fraktálelméleti bevezetés után egy konkrét leképezéstulajdonságaival foglalkozunk, majd az egész függvénycsaládot elemezzük. A márismert tények mellett bemutatunk néhány saját eredményt is (3.10. tétel, 3.3.fejezet, 4.4. tétel, 4.4. fejezet).
5
1. Gyakori jelölések
Mivel – ahogyan azt majd látni fogjuk – az Okamoto-függvények tárgyalása hármasszámrendszerben a legkönnyebb, ezért ehhez be kell vezetnünk néhány jelölést.
Legyen a továbbiakban a ∈ [0, 1] tetszőleges – ha nem teszünk más kikötést.Jelölje a0, a1a2 . . . az a szám hármas számrendszerbeli alakját. Emellett:
• bi :=
0, ha ai = 0
1, ha ai = 2
2, ha ai = 1
• αi := a0, a1 . . . ai (azaz αi az a szám melyet úgy kapunk, hogy „levágjuk”a-ból az i-edik triadikus jegy után következő számjegyeket), ha i ∈ Z+, ésα0 := a0,
• Ai := |{ak : 0 < k ≤ i− 1 és ak = 1}|, tehát Ai az 1-es számjegyek száma aelső i− 1 triadikus jegye között.
Nevezzük a N := {n : n ∈ Z, n ≥ 0} halmazt a természetes számok halmazá-nak. Ezen kívül:
• T := { p3k
: p, k ∈ N, p3k≤ 1} = {a : ∃k ∈ Z+ melyre a = αk}, vagyis T azon
[0, 1]-beli számok halmaza, melyeknek hármas számrendszerbeli alakjukbanvéges sok nem nulla jegy van (a továbbiakban véges triadikusok),
• tetszőleges n ∈ N-re Tn := {a : a = αn, an 6= 0}, azaz T -be azok a [0,1]-beliszámok tartoznak, melyeknek az n-edik triadikus jegyük nem 0, de utána azösszes többi az.
6
2. Fraktálelméleti alapok
Mivel a az Okamoto-függvények grafikonja tulajdonképpen egy fraktál, ezért bi-zonyos tulajdonságok vizsgálatához szükségünk lesz alapvető fraktálgeometriai fo-galmakra. Az ebben a fejezetben tárgyalt definíciókat és állításokat [3]-ból vettem(ezért utóbbiakat most nem is bizonyítom).
2.1. Dimenziófogalmak
Mindenki számára nyilvánvaló szemléletesen is, hogy egy szakasz dimenziója 1, egynégyzeté 2, és egy kockáé 3, és ha valaki egyetemi szinten tanul matematikát, azsem esik nehezére, hogy tetszőleges n ∈ N-re elképzeljen – ha nem is vizuálisan, delegalább halmazként – egy n-dimenziós kockát. Azonban vannak olyan alakzatok,melyekről nem mond eleget az, ha a dimenziót egész számként adjuk meg. Fel-merülhet az olvasóban, hogy akkor hogyan terjesszük ki ezt a fogalmat az összesnem-negatív valós számra. A kérdésre nincs egzakt válasz, mert ezt a kiterjesztésttöbbféleképpen is megtehetjük. Az, hogy milyen dimenziófogalmat használunk, ál-talában a vizsgálni kívánt tulajdonságtól függ.
Nekünk most két fogalomra lesz ehhez szükségünk: a Hausdorff- és a box-dimenzióra. Kezdjük az utóbbival.
2.1. Definíció: Legyen δ > 0 valós szám, n ∈ Z+, z1, . . . , zn ∈ Z. Ekkor a[z1δ, (z1 + 1)δ]× . . .× [znδ, (zn + 1)δ] halmazt (Rn-beli) δ-háló kockának nevezzük.
A továbbiakban tetszőleges F ⊂ Rn és δ > 0 esetén jelölje Nδ(F ) az F -bebelemetsző δ-háló kockák számát.
2.2. Definíció: Legyen F ⊂ Rn korlátos. Ekkor azt mondjuk, hogy F
• alsó box-dimenziója dimB F = lim infδ→0
logNδ(F )
− log δ,
• felső box-dimenziója dimB F = lim supδ→0
logNδ(F )
− log δ,
• box-dimenziója dimB F = limδ→0
logNδ(F )
− log δ(ha létezik ez a határérték).
7
A gyakorlatban nem mindig egyszerű a definíció szerint számolni. Ebben nyújtsegítséget a következő állítás.
2.3. Állítás: Ha (δn)∞n=1 egy olyan pozitív, 0-hoz tartó sorozat, melyhez létezikc ∈ R, hogy 0 < c < 1, és δk+1 > cδk minden k ∈ Z+-ra, akkor:
• dimB F = lim infn→∞
logNδn(F )
− log δn,
• dimB F = lim supn→∞
logNδn(F )
− log δn,
• dimB F = limn→∞
logNδn(F )
− log δn(ha dimB F létezik).
Az alábbiakban vizsgáljuk meg a box-dimenzió néhány fontos tulajdonságát.
2.4. Állítás: Legyenek E,F,G1, G2 . . . ⊂ Rn korlátosak. Ekkor:
(i) minden k-dimenziós részsokaság box-dimenziója k (ahol k ≤ n természetesszám),
(ii) dimB végesen stabil: dimB(E∪F ) = max{dimBE, dimB F} (ez a tulajdonságdimB-ra nem igaz),
(iii) dimB(E ∪ F ) ≥ max{dimBE, dimB F},
(iv) dimB és dimB monoton: ha E ⊂ F , akkor
dimB(E) ≤ dimB(F ), és dimB(E) ≤ dimB(F ),
(v) dimB és dimB affin invariáns: ha f : Rn → Rn affin transzformáció, akkordimB(E) = dimB f(E), és dimB(E) = dimB f(E).
(vi) dimB F = dimB F és dimB F = dimB F (ahol F az F halmaz lezártját jelöli).
Azonban a box-dimenzió nem megszámlálhatóan stabil, azaz léteznek olyanG1, G2, . . . ⊂ Rn halmazok, hogy dimB (
⋃∞i=0Gi) 6= sup
{dimBGi : i ∈ N
}, vagy
dimB (⋃∞i=0Gi) 6= sup
{dimBGi : i ∈ N
}. Vegyük erre az alábbi példát: Egy pont
box-dimenziója 0, viszont a [0, 1] intervallumé 1, és mivel minden δ-haló kocka
8
tartalmaz racionális számot, ezért a dimBQ ∩ [0, 1] = dimB[0, 1] = 1. Ennél talánmég meglepőbb, hogy megmutatható: dimBH = 1
2, ahol H =
{1n
: n ∈ N}∪ {0},
pedig H megszámlálható és zárt.Térjünk át a Hausdorff-dimenzióra. Mivel ennek definiálásához további fogal-
makra lesz szükségünk, vezessünk be néhány jelölést (legyen F ⊂ Rn tetszőleges):
• Bármely U ⊂ Rn esetén jelölje diamU az U halmaz átmérőjét.
• Legyen {Ui}∞i=1 egy Rn-beli halmazsorozat. Ha F ⊂⋃∞i=1 Ui, és minden i ∈
Z+-ra diamUi ≤ δ (ahol δ > 0), akkor{Ui}-t F egy δ-fedésének nevezzük.
• Ha δ > 0, és s ≥ 0, akkor
Hsδ(F ) := inf
{∞∑i=1
(diamUi)s : {Ui} egy δ-fedése F -nek
}.
2.5. Definíció: Tetszőleges F ⊂ Rn esetén az Hs(F ) = limδ→0
Hsδ(F ) számot az F
halmaz s-dimenziós Hausdorff-mértékének nevezzük.
Fontos megjegyezni, hogy a fenti definíció értelmes, mert a benne szereplő ha-tárérték mindig létezik, hiszen 0 < δ1 < δ2 esetén Hs
δ1(F ) ≥ Hs
δ2(F ), ugyanis ha
{Ui} egy δ1-fedése F -nek, akkor δ2-fedése is. Emellett a következő tulajdonságavan:
2.6. Állítás: Tetszőleges F ⊂ Rn esetén létezik d ≥ 0, hogy Hs(F ) = ∞, ha0 ≤ s < d, és Hs(F ) = 0, ha d < s.
Így már definiálhatjuk magát a Hausdorff-dimenziót.
2.7. Definíció: Tetszőleges F ⊂ Rn halmazra a
dimH = sup {s : s ≥ 0 és Hs(F ) =∞}
számot F Hausdorff-dimenziójának nevezzük.
A 2.6. állításból következően a fenti definíció értelmes (azaz dimH(F ) mindenRn-beli F halmazra létezik). A Hausdorff-dimenzió abból a szempontból is jobb,mint a box-dimenzió, hogy több olyan tulajdonságot teljesít, melyeket elvárnánkegy dimenziófogalomtól:
9
2.8. Állítás: A Hausdorff-dimenzióra igazak az alábbiak:
(i) minden k-dimenziós részsokaság box-dimenziója k,
(ii) monoton,
(iii) megszámlálhatóan stabil,
(iv) affin invariáns.
Másrészt viszont a Hausdorff-dimenziót sokszor eléggé nehéz kiszámolni, ellen-tétben a box-dimenzióval. Ebben lehet segítségünkre az alábbi állítás, mely a kétfogalom kapcsolatáról szól.
2.9. Állítás: Ha F ⊂ Rn korlátos, akkor dimH(F ) ≤ dimB(F ).
2.2. Önaffin halmazok
A dolgozatban vizsgált függvények grafikonjainak egy fontos tulajdonsága az ön-affinitás. Ennek az alfejezetnek a célja ezen fogalom bevezetése.
2.10. Definíció: Egy T : Rn → Rn, T (x) = S(x)+ b alakú függvényt affin transz-formációnak nevezünk, ahol b ∈ Rn, és S : Rn → Rn lineáris leképezés.
2.11. Definíció: Legyen D ⊂ Rn zárt. Egy S : D → D függvényt kontrakciónaknevezünk, ha létezik olyan 0 < c < 1 szám, melyre ||S(x) − S(y)|| ≤ c||x − y||tetszőleges x, y ∈ D esetén.
2.12. Definíció: Ha m ∈ N, m > 1, és S1, . . . , Sm : D → D kontrakció, aholD ⊂ Rn zárt, és D 6= ∅, akkor az {S1, . . . , Sm} halmazt iterált függvényrendszernek(vagy röviden IFR-nek) nevezzük. Ha A egy nem üres, kompakt részhalmaza D-nek, és A =
⋃mi=1 Si(A), akkor A-t az IFR attraktorának nevezzük.
2.13. Állítás: Egy IFR-nek pontosan egy attraktora van.
2.14. Definíció: Ha egy {S1, . . . , Sm} IFR minden eleme affin transzformáció, ésA a rendszer attraktora, akkor azt mondjuk, hogy A önaffin halmaz.
10
Egy egyszerű példa önaffin halmazra az úgynevezett Cantor-halmaz: LegyenS1, S2 : [0, 1]→ R olyan, hogy
• S1(x) =1
3x,
• S2(x) =1
3x+
2
3.
Az {S1, S2} IFR attraktorát nevezzük Cantor-halmaznak. Megmutatható, hogy
ennek box- és Hausdorff-dimenziója egyarántlog 2
log 3.
11
3. A Bourbaki-függvény
Bár Perkins [8] már 1927-ben konstruált egy olyan sehol sem differenciálható foly-tonos függvényt, amely az Okamoto-függvények közé tartozik, de a [2]-ben meg-adott Bourbaki-függvény természetesebben adódik, és – ahogyan később látni fog-juk – egy „határt” képez a függvénycsaládban. Érdemes megjegyezni, hogy sokanKatsuura-függvényként említik a szakirodalomban, mivel Hidefumi Katsuura [4]1991-ben – [2]-re való hivatkozás nélkül – szintén leírta.
0 1/3 2/3 1 0
1/3
2/3
1
0 1/3 2/3 1 0
1/3
2/3
1
0 1/3 2/3 1 0
1/3
2/3
1
0 1/3 2/3 1 0
1/3
2/3
1
1. ábra. f grafikonja az első 4 iterációs lépés után
A függvényt definiáljuk először T -n, azaz a [0, 1]-beli véges triadikusok halma-zán (ld.: 1. ábra):
• f : T → R
12
• f(0) = 0 és f(1) = 1, a többi pontban rekurzívan definiáljuk (k = 1, 2, . . .):
f( p
3k
)=
f(
q3k−1
)+ 2
f(q+13k−1
)− f
(q
3k−1
)3
ha p ≡ 1 mod 3
f(
q3k−1
)+f(q+13k−1
)− f
(q
3k−1
)3
ha p ≡ 2 mod 3
(1)
ahol p, q ∈ N, (p, 3k) = 1 és q3k−1 <
p3k< q+1
3k−1 < 1 (ld.: 3. ábra).
Az 1. fejezetbeli jelölésekkel:
f(αk) = f(αk−1) + bk(f(αk−1 + 3−(k−1))− f(αk−1)
).
Belátjuk f -ről, hogy folytonos az értelmezési tartományára szorítkozva. Ehhezszükségünk lesz a következő állításra.
3.1. Állítás: Ha a ∈(p3l, p+1
3l
)∩ T (ahol p, l ∈ N, l > 0 és p+1
3l≤ 1), akkor
min{f(p3l
), f(p+13l
)}≤ f(a) ≤ max
{f(p3l
), f(p+13l
)}, azaz
min{f(αl), f(αl + 3−l)
}≤ f(a) ≤ max
{f(αl), f(αl + 3−l)
}.
Bizonyítás: A definícióból l-re vonatkozó indukcióval adódik. �
3.2. Állítás: Ha a ∈ [0, 1], akkor tetszőleges a-hoz tartó T -beli (xn)∞n=1 sorozat-ra lim
xn→af(xn) létezik és véges (ekkor nyilván lim
xn→af(xn) minden ilyen sorozatra
ugyanaz).
Bizonyítás: Legyen l ∈ N tetszőleges, és p ∈ N olyan, hogy p3l∈ [0, 1). Ekkor l-re
vonatkozó teljes indukcióval, könnyen belátható, hogy
0 <
∣∣∣∣f ( p3l)− f(p+ 1
3l
)∣∣∣∣ ≤ (2
3
)l. (2)
Eszerint T minden pontjában létezik a limesz. Mivel bármely a ∈ [0, 1] \ T -hezlétezik tetszőlegesen nagy k ∈ N, hogy megfelelő p-re p
3k< a < p+1
3k−1 , ezért a 3.1.állítást és (2)-t használva a Cauchy-kritérium szerint létezik a limesz. �
Legyen g : [0, 1] → R függvény, melyre g(x) = limyn→x
f(yn) (ahol (yn)∞i=1 x-hez
tartó T -beli sorozat). Az így definiált g függvényt nevezzük Bourbaki-függvénynek(ld.: 2. ábra).
13
0 1/3 2/3 1 0
1/3
2/3
1
2. ábra. A Bourbaki-függvény grafikonja
3.3. Állítás: A g Bourbaki-függvény egyenletesen folytonos a [0, 1] intervallumon.
Bizonyítás: A 3.1. állításból és (2)-ből következik. �
3.4. Következmény: A g Bourbaki-függvény folytonos.
3.1. Lokális tulajdonságok és a nem-deriválhatóság
Először kimondunk egy állítást, amely soralakban adja meg g függvényértékeit, ésa későbbiekben több bizonyításnál is hasznos segédeszköz lesz (bi és Ai jelentésétlásd az 1. fejezetben).
3.5. Állítás: A g Bourbaki-függvényre tetszőleges a ∈ [0, 1] esetén igaz, hogy
g(a) =∞∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai/3i.
14
Bizonyítás: Nézzük először azt az esetet, mikor a ∈ T . Ekkor ∃ k ∈ N, melyrea = αk (ak 6= 0, ha k > 0). A k = 0 esetben a fenti állítás triviális. Tegyük fel,hogy minden k < n-re (n > 1) igaz az állítás. Legyen a ∈ Tn, és
j := max{i : 0 ≤ i ≤ n− 1, ai 6= 2},
azaz αn−1 + 1/3n−1 = 0, a1 . . . (aj + 1) vagy αn−1 + 1/3n−1 = 1. Ekkor
(2− aj − bj)(−1)Aj2j−1−Aj = (−1)Aj+12j−Aj+1 ,
ésn−1∑i=j+1
2i−j−1
3i=
1
3j− 2n−j−1
3n−1.
Így az indukciós feltevés szerint (1)-be behelyettesítve
g(a) = g(αn−1) + bng(αn−1 + 1/3n−1)− g(αn−1)
3=
=n−1∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai/3i+
+ bn
((2− aj − bj)(−1)Aj2j−1−Aj
3j−
n−1∑i=j+1
(−1)Aj+12i−1−Aj+1
3i
)/3 =
=n−1∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai
3i+ bn
1
3j−(
1
3j− 2n−j−1
3n−1
)3
(−1)Aj+12j−Aj+1 =
=n−1∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai
3i+ bn
2n−Aj+1−1(−1)Aj+1
3n=
n∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai
3i.
(3)
A folytonosság miatt ha a /∈ T , akkor
g(a) = limn→∞
g(αn) =∞∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai/3i.
�
3.6. Következmény: Legyen n ∈ N tetszőleges. Ekkor ha a ∈ T , akkor a ∈ Tn ⇔g(a) ∈ Tn.
15
A függvény lokális tulajdonságainak vizsgálatához szükségünk lesz az alábbikét állításra:
3.7. Állítás: Ha a ∈(p3l, p+1
3l
)(ahol p, l ∈ N, l > 0 és p+1
3l≤ 1), akkor
min
{g( p
3l
), g
(p+ 1
3l
)}≤ g(a) ≤ max
{g( p
3l
), g
(p+ 1
3l
)}.
Bizonyítás: Az a ∈ T eset következik a 3.1. állításból, és innen a folytonosságmiatt a /∈ T esetén is igaz. �
3.8. Állítás: Az előző állítás szigorú egyenlőtlenségekkel is igaz.
Bizonyítás: Ha a ∈ T , akkor l-re vonatkozó indukcióval triviális az állítás. Legyen
a /∈ T . Ekkor létezik olyan q ∈ N, melyreq
3l+1,q + 1
3l+1∈(p
3l,p+ 1
3l
), és
q
3l+1≤
a ≤ q + 1
3l+1. Az előző állítást alkalmazva
min
{g( p
3l
), g
(p+ 1
3l
)}< min
{g( q
3l+1
), g
(q + 1
3l+1
)}≤
≤ g(a) ≤ max
{g( q
3l+1
), g
(q + 1
3l+1
)}< max
{g( p
3l
), g
(p+ 1
3l
)}.
�
A 3.6. és a 3.8. állításokból valamint (1)-ből könnyen levezethető:
3.9. Következmény: Legyen a = αk (k ∈ N). Ekkor:
(i) ha a = 0, a szigorú globális minimumhelye g-nek.
(ii) ha a = 1, a szigorú globális maximumhelye g-nek.
(iii) ha Ak+1 ≡ 0 mod 2, a szigorú lokális minimumhelye g-nek.
(iv) ha Ak+1 ≡ 1 mod 2, a szigorú lokális maximumhelye g-nek.
3.10. Tétel: Tetszőleges a ∈ (0, 1)-re igaz, hogy:
(i) g a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan,
16
(ii) ha a /∈ T , akkor g-nek a-ban nincs szélsőértékhelye
Bizonyítás: Ha a ∈ T , akkor a 3.9. következményből adódik (i).Legyen a /∈ T , ε > 0 rögzített, l ∈ N olyan, hogy 1
3l−1 < ε, és k := inf{n : n >
l, an = 1} (az üres halmaz infimumát végtelennek definiáljuk). Feltehető, hogyg(αl) < g(a) (a g(αl) > g(a) esetben analóg módon bizonyítható az állítás). Ekkorelég megmutatni, hogy léteznek olyan x1, x2 ∈ [a − ε, a + ε] számok, melyekreg(x1) < g(a) < g(x2), és x1, x2 > a vagy x1, x2 < a.
Ha k <∞, akkor g(αl) < g(a), és g(αk) > g(a), amiből adódik a tétel.Amennyiben k = ∞, ∃m ∈ N,m > l, melyre am = 2, am+1 = 0 (mert a /∈ T ).
Ekkor g(0, a1 . . . am−11) > g(a), vagy g(0, a1 . . . am2) < g(a) a 3.5. állítás szerint.Mivel g(αm) < a < g(0, a1 . . . am1), ebből már következik a tétel. �
A következő tétel bizonyításában alapvetően azt a gondolatmenetet követem,melyet Katsuura alkalmazott [4]-ban.
3.11. Tétel: Tetszőleges a ∈ (0, 1)-re igaz, hogy nem létezik limx→a
g(x)−g(a)x−a , azaz
g-nek egyetlen (0, 1)-beli pontban sem létezik véges vagy végtelen deriváltja.
Bizonyítás: Vegyük először azt az esetet, amikor a /∈ T . A k, l és m számokatdefiniáljuk úgy, mint a 3.10. tétel bizonyításában. Feltehető, hogy g(αl) < g(a) (ag(αl) > g(a) esetben analóg módon bizonyítható az állítás). Tetszőleges p, r ∈ N(p+1
3r≤ 1) számokra ∣∣∣∣∣g
(p3r
)− g
(p+13r
)3r
∣∣∣∣∣ ≥ 1
(ez r-re történő teljes indukcióból adódik), ezért
max
{g(a)− g(αl)
a− αl,g(a)− g
(αl + 1
3l
)a− αl − 1
3l
}≥ 1.
Eszerint – felhasználva a 3.5. állítást – ha a-nak végtelen sok triadikus jegye 1,akkor
lim infj∈N
min
{g(a)− g(αj)
a− αj,g(a)− g
(αj + 1
3j
)a− αj − 1
3j
}≤ −1,
tehát sup
{g(a)− g(x)
a− x: |a− x| < ε
}− inf
{g(a)− g(x)
a− x: |a− x| < ε
}≥ 2.
17
Ha a-nak csak véges sok triadikus jegye 1, akkor l választható olyannak, hogyk =∞. Ekkor
g(a)− g(αm−1 + 13m−1 )
a− αm−1 − 13m−1
>g(0, a1 . . . am1)− g(αm−1 + 1
3m−1 )
αm − αm−1 − 13m−1
=
=g(0, a1 . . . am1)− g(αm−1 + 1
3m−1 )
−3−m=
= −3m(g(αm−1) +
7
9d− g(αm−1)− d
)= 3m
2
9
2m−1−Al+1
3m−1=
1
32m−Al+1 ,
ahol d = −g(αm−1) + g(αm−1 + 1
3m−1
)=
2m−1−Al+1
3m−1(ld.: (3)). Tehát g a-beli
jobb felső deriváltja végtelen. Ha g(a) > g(αm−1 + 13m
) = g(αm−1) + 23d, akkor
g(a)− g(αm−1 + 83m+1 )
a− αm−1 − 83m+1
< 0, hiszen
g
(αm−1 +
1
3m
)= g(αm−1) +
2
3d > g(αm−1) +
5
9d = g
(αm−1 +
8
3m+1
).
Különben g(a) ≤ g(αm−1 + 13m
), tehátg(a)− g(αm−1 + 1
3m−1 )
a− αm−1 − 13m−1
≤ 0. Így nem létezik
limx→a
g(x)−g(a)x−a .
Legyen a ∈ T . Létezik h ∈ N, melyre a = αh. Tegyük fel, hogy a lokálisminimumhely. Legyen l ∈ N, l > h. Ekkor a 3.5. állításból adódóan tetszőlegesb ∈ [(g(a) + 3l+1, g(a) + 3l]-re
g(b)− g(a)
b− a≥(g
(a+
2
3l+1
)− g(a)
)/3−l ≥ 2l+1−1−Ah
3l+1/3−l =
2l−Ah
3.
Eszerint g a-beli jobb oldali deriváltja ∞. Hasonlóan adódik, hogy a bal oldaliderivált −∞. Nyilván ha lokális maximumhely, akkor g a-beli jobb oldali deriváltja−∞, bal oldali deriváltja ∞. �
3.2. A grafikon tulajdonságai
3.12. Állítás: g grafikonja szimmetrikus az(12, 12
)pontra, azaz
g(a) = 1− g(1− a) (4)
minden a ∈ [0, 1]-re.
18
Bizonyítás: Ha a = 0 vagy a = 1, akkor (4) nyilván igaz, így f definíciójábólteljes indukcióval tetszőleges T -belire teljesül, tehát a g folytonossága miatt mindena ∈ [0, 1]-re is. �
Amint említettük korábban, a Bourbaki-függvény grafikonja egy önaffin hal-maz. Ennek első ismert leírását Katsuura [4] adta meg (ő eleve a grafikon önaffinelőállításával definiálta a függvényt).
Tekintsük az alábbi IFR-t: Legyen wi : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]× [0, 1] (i = 1, 2, 3),ahol tetszőleges x, y ∈ [0, 1]-re:
• w1(x, y) =
(1
3x,
2
3y
),
• w2(x, y) =
(−1
3x+
2
3,1
3y +
1
3
),
• w2(x, y) =
(1
3x+
2
3,2
3y +
1
3
).
A 3.5. állításból adódik a következő állítás.
3.13. Állítás: A Bourbaki-függvény grafikonja a W = {w1, w2, w3} IFR attrakto-ra.
3.3. Szinthalmazok
3.14. Definíció: Tetszőleges y ∈ R esetén Sy = {x : x ∈ [0, 1], g(x) = y} halmazta g függvény szinthalmazának nevezzük.
A Bourbaki-függvény szinthalmazainak leírásához szükségünk lesz egy általá-nosabb érvényű lemmára.
3.15. Lemma: Legyen h ∈ C(R). Ha x0 ∈ R pont h-nak nem szélsőértékhelye, dex0-ban h nem lokálisan növő, és nem lokálisan csökkenő, akkor x0 torlódási pontjaSh(x0)-nak.
Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges. Elég megmutatnunk, hogy léteznek olyanx1, x2, x3 valós számok, hogy max {|x1 − x|, |x2 − x|, |x3 − x|} < ε, és az (x0, h(x0))
19
ponton átmenő, a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek által meghatáro-zott négy nyílt negyedsík egyikébe sem esik egynél több pont az
{(x1, h(x1)) , (x2, h(x2)) , (x3, h(x3))}
halmazból (hiszen ekkor a Bolzano-tétel szerint létezik t1, t2 ∈ {x1, x2, x3}, hogyh(t1) < h(t) < h(t2), és vagy t1, t2 ∈ (x0 − ε, x0), vagy t1, t2 ∈ (x0, x0 + ε), tehátvan olyan x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), melyre h(x) = h(x0)). Emiatt feltehetjük, hogy azegyik ilyen negyedsíkra (jelöljük N -nel) igaz, hogy
N ∩ ((x0 − ε, x0 + ε)× h ((x0 − ε, x0 + ε))) = ∅
(ha nincs ilyen negyedsík, akkor készen vagyunk), azaz például ∀x ∈ (x0 − ε, x0)h(x) > h(x0) (a többi esetre analóg módon bizonyítható). Legyen x1 ∈ (x0−ε, x0).Mivel x0 nem maximumhely, ezért létezik x2 ∈ (x0, x0 + ε), hogy h(x2) < h(x0).Emellett x0-ban h nem csökken lokálisan, így van olyan x3 ∈ (x0, x0 + ε), melyreh(x3) > h(x0). Az x1, x2, x3 számok megfelelnek a kívánt feltételeknek, tehát abizonyítás kész. �
3.16. Definíció: Egy P ⊂ Rn (n ∈ N) halmazt perfektnek nevezünk, ha zárt, ésminden pontja torlódási pont.
3.17. Tétel: Legyen y ∈ [0, 1] tetszőleges. Ekkor:
(i) ha y = 0, vagy y = 1, akkor |Sy| = 1,
(ii) ha Sy ∩ T = ∅ (azaz ha az y-hoz tartozó szinthalmaz nem tartalmaz végestriadikust), akkor Sy perfekt és nem üres,
(iii) ha Sy ∩ T ∩ (0, 1) 6= ∅ (azaz ha az y-hoz tartozó szinthalmaz tartalmaz végestriadikust), akkor Sy \ T perfekt és nem üres, valamint |Sy ∩ T | <∞.
Bizonyítás: (i) nyilvánvaló g definíciójából. Legyen y ∈ (0, 1) és a ∈ Sy. Haa /∈ T , akkor a 3.10. tételből és a 3.15. lemmából adódik, hogy a torlódási pontjaSy-nak, amiből következik (ii), mert egy folytonos függvény szinthalmazai zártak.
20
Amennyiben a ∈ T ∩ Sy, akkor ∃l ∈ N, melyre a = αl, és al 6= 0. Legyen c =
a+1
2 · 3l−1, ha al = 1, és c = a− 1
2 · 3l−1, ha al = 2 (tehát c = a0, a1 . . . al−12111 . . .
vagy c = a0, a1 . . . al−10111 . . .). Ekkor a 3.5. miatt
g(a) =l∑
i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai3−i =l−1∑i=0
bi(−1)Ai2i−1−Ai3−i+
+ (bl − 1)(−1)Al2l−1−Al3−l +∞∑
i=l+1
4(−1)Al+i−l−12l−1−Al3−i = g(c),
mert∞∑
i=l+1
4(−1)Al+i−l−12l−1−Al3−i = (−1)Al2l−1−Al3−l,
és1
2 · 3l−1=∞∑i=l
1
3i.
Eszerint c ∈ Sy \ T , tehát az első bekezdés alapján Sy \ T perfekt. Emellett a 3.6.állításból adódóan |Sy ∩ T | < ∞ (mert |Tl| < ∞). Ezekből pedig már következik(iii). �
A következőkben leírunk egy módszert, melynek segítségével – a 0 és az 1
értékek kivételével univerzális – alsó és felső becslést adhatunk Bourbaki-függvényszinthalmazainak box-dimenziójára. Ehhez szükségünk lesz a követező állításokra.
3.18. Állítás: Legyen n ∈ N. Ha y, z ∈ (0, 1) olyanok, hogy y < z, és
f−1([y, z]) ∩⋃n
i=0Ti = ∅,
akkor ugyanazok a 3−n-háló kockák metszenek bele Sy-ba, mint Sz-be.
Bizonyítás: Legyen p ∈ N, melyre p < 3n, és[p
3n,p+ 1
3n
]∩ Sy 6= ∅. Ekkor a 3.8.
állítás miatt
min
{g( p
3n
), g
(p+ 1
3n
)}< y, z < max
{g( p
3n
), g
(p+ 1
3n
)}.
Eszerint tetszőleges I ⊂ [0, 1] 3−n-haló kockára igaz, hogy ha belemetsz Sy-ba,akkor Sz-be is. Mivel a másik irány analóg módon igazolható, ezért az bizonyításkész. �
21
3.19. Állítás: Tetszőleges y ∈ (0, 1)-hez létezik y′ ∈(
1
3,1
2
], hogy dimB(Sy) =
dimB(Sy′), és dimB(Sy) = dimB(Sy′). Ha y /∈ g(T ), akkor y′ is választható úgy,hogy y′ /∈ g(T ).
Bizonyítás: Legyen y ∈ (0, 1) tetszőleges. A 3.12. állítás szerint Sy = 1− S1−y =
{1 − x : x ∈ S1−y}, tehát Sy egybevágó S1−y-nal, így a 2.4. állítás (v)-es pontja
alapján feltehető, hogy y ≤ 1
2. Ha y ∈
(1
3,1
2
], akkor az állítás triviális. A 3.2.
fejezetben leírt affin tulajdonság miatt mivel w1
(S1/2 × {0}
)∪(
2
3, 0
)= S1/3, ezért
– ugyancsak 2.4.-ból következően – dimB
(S1/2
)= dimB
(S1/3
), és dimB
(S1/2
)=
dimB
(S1/3
). Legyen y <
1
3. Ekkor Sy = w1
(S3/2·y × {0}
), azaz létezik z ∈ Z+,
melyre Sy = wz1 (Sy′ × {0}), ahol (3/2)zy = y′ ∈[
1
3,1
2
). Ha y /∈ g(T ), akkor
y′ /∈ g(T ), mert w1 T × {0}-beli pontot T × {0}-belibe visz. Innen már – szintén2.4. miatt – következik az állítás. �
3.20. Állítás: Legyen y ∈ g(T ) ∩ (0, 1). Ekkor létezik olyan y′ /∈ g(T ), hogydimB(Sy) ≥ dimB(Sy′), és dimB(Sy) = dimB(Sy′).
Bizonyítás: a 3.6. állítás szerint létezik n ∈ Z+, melyre Sy ∩ T ⊂ Tn. LegyenI = [c, d] egy Sy-ba belemetsző 3−n+1-háló kocka. Ha I ∩ Sy ∩ T = ∅, akkor – a
grafikon önaffin felépítése miatt – z :=y −min {g(c), g(d)}
d− c/∈ T , és Sz hasonló
az Sy ∩ I halmazhoz, így dimB(Sy ∩ I) = dimB(Sz), és dimB(Sy ∩ I) = dimB(Sz).Amennyiben I∩Sy∩T 6= ∅, akkor g definíciója szerint – a 3.6. állításból adódóan –
w =1
3vagy w =
2
3, ahol w :=
y −min {g(c), g(d)}d− c
. Ekkor Sw és Sy ∩ I hasonlóak,
ezért dimB(Sy ∩ I) = dimB(Sw) = dimB
(S1/2
), és dimB(Sy ∩ I) = dimB(Sw) =
dimB
(S1/2
), ugyanis Sw \ {1− w} = 1/3 · S1/3.
Ez alapján léteznek olyan y1, . . . , ym ∈ (0, 1) \ g(T ) számok (m ∈ Z+), hogySy előáll az Sy1 , . . . , Sym , K halmazok affin transzformáltjainak uniójaként (aholK ⊂ T véges). Tehát a box-dimenzió tulajdonságai miatt (ld.: 2.4. állítás),
dimB(Sy) ≥ max{dimB(Sy1), . . . dimB(Sym)},
22
ésdimB(Sy) = max{dimB(Sy1), . . . dimB(Sym)}.
Ezzel a bizonyítást befejeztük. �
Az egyszerűbb leírás érdekében bevezetünk egy új – csak ebben a dolgozatbanhasznált, tehát nem konvencionális – fogalmat.
3.21. Definíció: Ha n, k ∈ N, és 3k+ 3 ≤ 3n, akkor nevezzük a[
3k + 1
3n,3k + 2
3n
]intervallumot középső 3−n-háló kockának.
3.22. Tétel: Legyenek k, n ∈ N olyanok, hogy1
3+k − 1
3n<
1
2<
1
3+
k
3n, és
∀i ∈ {1, . . . , k} 1
3+i− 1
3n< yi <
1
3+
i
3n, valamint yk ≤
1
2. Ekkor tetszőleges
y ∈ (0, 1)-re:
(i) dimB(Sy) ≥logmn
n, ahol
mn = mini∈{1,...,k}
∣∣{Syi-be belemetsző középső 3−n−1-haló kockák}∣∣ ,
(ii) dimB(Sy) ≤logMn
n, ahol
Mn = maxi∈{1,...,k}
∣∣{Syi-be belemetsző 3−n-haló kockák}∣∣ .
Bizonyítás: Először bizonyítsuk be a következő segédállítást:
3.23. Állítás: Tetszőleges l ∈ N és y ∈(
1
3,2
3
)\ g(T ) számokra legfeljebb M l
n
darab 3−ln-haló kocka és legalább mln darab középső 3−ln−1-haló kocka metsz bele
Sy-ba.
Bizonyítás: A grafikon szimmetriája miatt elég y ∈(
1
3,1
2
]\ g(T ) számokra
belátni az állítást.Alkalmazzunk l szerinti teljes indukciót.Az állítás l = 0 esetén triviális.Legyen l = 1. Mivel a 3.6. következményből adódóan g(Tj) ⊂ Tj (ahol j ∈ N,
és j ≤ n), ezért létezik i ∈ {1, . . . , k}, hogy g−1 (min{y, yi},max{y, yi}) ∩ Tj = ∅.
23
Emiatt a 3.18. állítás szerint Sy-ba legfeljebb Mn darab 3n-haló kocka és legalábbmn darab középső 3−n-háló kocka metsz bele.
Legyen most l > 1, és tegyük fel, hogy l− 1-re már tudjuk az állítást. Vegyünkegy tetszőleges olyan I = [c, d] 3−(l−1)n-háló kockát, melyre I ∩ Sy 6= ∅. Legyen
y′ =y −min {g(c), g(d)}
d− c.
A grafikon önaffin tulajdonsága miatt, az Sy∩I halmazba belemetsző 3−ln-hálókockák száma megegyezik az Sy′-be belemetsző 3−n-háló kockák számával, és mivelSy ∩T = ∅, ezért Sy ∩ I ∩T = ∅, tehát Sy′ ∩T = ∅, mert Sy ∩ I = 3−(l−1)n ·Sy′ + c.Eszerint az l = 1 esetet alkalmazva y′-re azt kapjuk, hogy az Sy ∩ I-beli 3−ln-háló
kockák száma legfeljebb Mn (ugyanis ha y′ /∈(
1
3,2
3
), akkor az Sy′-be belemetsző
3−n-háló kockák száma – szintén az önaffinitás következtében – nem nagyobb, mintMn).
Tegyük fel, hogy J ∩ Sy 6= ∅, ahol J = [c + 3−(l−1)n−1, d − 3−(l−1)n−1], azaz J
az I intervallum középső harmada. Ekkor1
3< y′ <
2
3. Az l = 1 eset szerint –
kihasználva a grafikon szimmetriáját – Sy′-be legalább mn darab középső 3−n−1-háló kocka metsz bele, ezért Sy ∩J-be legalább legalább mn darab középső 3−ln−1-háló kocka metsz bele.
Így az indukciós feltevés miatt az állítás igaz l-re is. �
A 3.22. tétel bizonyításának a befejezése: A fenti segédállítás szerint
tetszőleges y ∈(
1
3,1
2
]\ g(T ) számra:
lim supl→∞
logN3−ln(Sy)
log 3ln≤ logMn
n,
éslim infl→∞
logN3−ln(Sy)
log 3ln≥ logmn
n.
Ebből következően a 2.3. állítás szerint dimB(Sy) ≥logmn
n, és dimB(Sy) ≤
logMn
n.
Emiatt a 3.19. és a 3.20. állításokból adódóan ez minden y ∈ (0, 1) számra is igaz.�
A fenti tételben lényegében megadtunk egy algoritmust is. Ezt felhasználvaszámítógéppel kiszámolható, hogy a 3.22. tételbe n helyére 12-t írva a következőt
24
kapjuk (az algoritmus meglehetősen lassú, ezért nagyobb számra már nem futtat-tuk le):
3.24. Állítás: Tetszőleges y ∈ (0, 1) esetén a g Bourbaki-függvény Sy szinthalma-zára igaz, hogy:
(i) dimB Sy > 0, 4033,
(ii) dimB Sy < 0, 5402.
A szerző sejtése az, hogy (Mn − mn) → 0, ha n → ∞, és minden y ∈ (0, 1)-
re dimB Sy =log 5
3
log 3=
log 5
log 3− 1 ≈ 0, 46497, tehát Sy box-dimenziója 1-gyel ki-
sebb, mint a grafikoné (ahogyan azt a 4.3. fejezetben látni fogjuk, a grafikon box-dimenziója log 5/ log 3).
25
4. Az Okamoto-függvények
Hisashi Okamoto [7]-ben adott meg egy függvényosztályt, mely a Bourbaki-függ-vénynek is egy általánosítása. Legyen s ∈ (0, 1) tetszőleges. Definiáljuk (1)-hezhasonlóan a következő függvényt (T , Tk, αk−1, bk és ak jelentését lásd az 1. feje-zetben):
• fs : T → R
• fs(0) = 0 és fs(1) = 1, a többi pontban rekurzívan definiáljuk (k = 1, 2, . . .):
fs(a) = fs(αk−1) + sbk−1(1− s)ak−1(fs
(αk−1 +
1
3k−1
)− fs(αk−1)
), (5)
ahol a ∈ Tk.
0 1/3 2/3 1 0
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6 1
3. ábra. A Perkins-függvény grafikonja
26
Az 1. fejezetben látottakhoz hasonlóan megmutatható, hogy fs folytonos T -re szorítkozva, és a gs : [0, 1] → R függvény, melyre gs(x) = lim
yn→xf(yn), foly-
tonos a [0, 1] intervallumon. Az így definiált függvényeket nevezzük Okamoto-függvényeknek. Látható, hogy g2/3 éppen a Bourbaki-függvény. A g5/6 esetet ne-vezzük Perkins-függvénynek (3. ábra), g1/2-et pedig Cantor-függvénynek (4. ábra).
0 1/3 2/3 1 0
1/4
1/2
3/4
1
4. ábra. A Cantor-függvény grafikonja
4.1. Folytonossági tulajdonságok
A következő állítás 3.8. és 3.1. általánosítása. Mivel ezekkel analóg módon igazol-ható, ezért most bizonyítás nélkül közöljük.
4.1. Állítás: Legyen a ∈ Tn, a < 1. Ekkor tetszőleges x ∈ [a, a+ 3−n]-re
min{gs(a), gs(a+ 3−n)} ≤ gs(x) ≤ max{gs(a), gs(a+ 3−n)}.
Ha x ∈ (a, a+ 3−n), és s 6= 12, akkor fenti egyenlőtlenségek szigorúak.
27
A 3.5. állítást is általánosíthatjuk az összes Okamoto-függvényre:
4.2. Állítás: A gs Okamoto-függvényre igaz, hogy tetszőleges a ∈ [0, 1] számra
gs(a) =∞∑i=0
cisi−1−Ai(1− 2s)Ai, ahol ci =
0 ha ai = 0
s ha ai = 1
1− s ha ai = 2
.
Bizonyítás: Nézzük először azt az esetet, mikor a ∈ T . Ekkor létezik k ∈ N,melyre a ∈ Tk. A k = 0 esetben a fenti állítás triviális. Tegyük fel, hogy mindenk < n-re (n > 0) igaz az állítás. Legyen a ∈ Tn, és
j := max{i : 0 ≤ i ≤ n− 1, ai 6= 2},
azaz αn−1 + 1/3n−1 = 0, a1 . . . (aj + 1) vagy αn−1 + 1/3n−1 = 1. Ekkor(s|aj−1|(1− s)aj − cj
)(1− 2s)Ajsj−1−Aj = (1− 2s)Aj+1sj−Aj+1 ,
ésn−1∑i=j+1
(1− s)(1− 2s)Aj+1si−1−Aj+1 = (1− s)(1− 2s)Aj+1sj−Aj+1
n−j−2∑i=0
si =
= (1− s)(1− 2s)Aj+1sj−Aj+11− sn−j−1
1− s= (1− 2s)Aj+1sj−Aj+1(1− sn−j−1).
Így az indukciós feltevés szerint (5)-be behelyettesítve
gs(a) = gs(αn−1) + sbn−1(1− s)an−1(gs(αn−1 + 1/3n−1)− gs(αn−1)
)=
=n−1∑i=0
cisi−1−Ai(1− 2s)Ai + sbn−1(1− s)an−1·
·
((s|aj−1|(1− s)aj − cj
)(1− 2s)Ajsj−1−Aj−
−n−1∑i=j+1
(1− s)(1− 2s)Aj+1si−1−Aj+1
)=
=n−1∑i=0
cisi−1−Ai(1− 2s)Ai + sbn−1(1− s)an−1−
−(1− (1− sn−j−1)
)(1− 2s)Aj+1sj−Aj+1 =
=n∑i=0
cisi−1−Ai(1− 2s)Ai .
(6)
28
A folytonosság miatt ha a /∈ T , akkor
gs(a) = limn→∞
gs(αn) =∞∑i=0
ci(1− 2s)Aisi−1−Ai .
�
4.3. Definíció: Legyen b, c, α ∈ R, α > 0, b < c, h : [b, c] → R. Azt mondjuk,hogy h α-Hölder-folytonos az [b, c] intervallumban, ha létezik C > 0, hogy mindenx, y ∈ [b, c]-re |h(x)− h(y)| ≤ C|x− y|α.
4.4. Tétel: A gs Okamoto-függvény akkor és csak akkor α-Hölder-folytonos, ha
α ≤ min{− log3 s,− log3 |1− 2s|}.
Bizonyítás: A 4.2. állítás szerint gs(3−n)− gs(0) = sn és gs(n−1∑i=1
3−i + 2 · 3−n)−
gs
(n∑i=1
3i)
= (1− 2s)n, tehát
limn→∞
gs(3−n)− gs(0)
(3−n − 0)α= lim
n→∞
sn
(3−α)n=∞,
ha α > − log3 s, és
limn→∞
gs
(n−1∑i=1
3−i + 2 · 3−n)− gs
(n∑i=1
3i)
(n−1∑i=1
3−i + 2 · 3−n −n∑i=1
3i)α = lim
n→∞
(1− 2s)n
(3−α)n=∞,
ha α > − log3 |(1 − 2s)|. Azaz α > min{− log3 s,− log3 |1 − 2s|} esetén gs nemα-Hölder-folytonos. Ezzel az egyik irányt beláttuk.
A másik irány bizonyításához szükségünk lesz két lemmára:
4.5. Lemma: Legyen a ∈ [0, 1) és n ∈ N. Ekkor
|gs(αn)− gs(αn + 3−n)| ≤ (max{s, |1− 2s|})n .
Bizonyítás: Könnyen belátható n-re történő teljes indukcióval gs definíciójából.�
29
4.6. Lemma: Legyen a ∈ [0, 1] és n ∈ N. Ekkor tetszőleges [a, a+ 3−n]∩ [0, 1]-beliy-ra |gs(y)− gs(a)| ≤ 2 (max{s, |1− 2s|})n
Bizonyítás: Mivel y ≤ αn + 2 · 3−n, ezért a 4.1. állítás és az előző lemma szerint
|gs(y)− gs(a)| ≤ |gs(y)− gs(αn + 3−n)|+ |gs(αn + 3−n)− gs(a)| ≤
≤ max{|gs(αn + 2 · 3−n)− gs(αn + 3−n)|, |gs(αn + 3−n)− gs(αn)|
}+
+|gs(αn + 3−n)− gs(αn)| ≤ 2 (max{s, |1− 2s|})n .
�
A 4.4. tétel bizonyításának befejezése: Vegyünk tetszőleges x, y ∈ [0, 1]
pontokat. Ekkor ∃n ∈ N, hogy 3−n−1 ≤ |x− y| < 3−n. A 4.6. lemma szerint
|gs(y)− gs(x)| ≤ 2 (max{s, |1− 2s|})n = 2 · 3−n·min{− log3 s,− log3 |1−2s|} =
= 2 · 3min{− log3 s,− log3 |1−2s|} · 3(−n−1)·min{− log3 s,− log3 |1−2s|} ≤
≤ 2 · 3min{− log3 s,− log3 |1−2s|} · |x− y|min{− log3 s,− log3 |1−2s|}.
Tehát gs α-Hölder-folytonos, ha α ≤ min{− log3 s,− log3 |1− 2s|}. �
4.2. A deriválhatóság, vagy ennek hiánya
Okamoto [7] alapvetően a függvényosztály deriválhatóságát vizsgálta, és a követ-kező eredményre jutott.
4.7. Tétel: Ha 1 > s ≥ 23, akkor gs-nek sehol sem létezik véges vagy végtelen
deriváltja.
Bizonyítás: A 3.11. tétel bizonyítása alkalmazható itt is – értelemszerű módosí-tásokkal. �
Ezen kívül Okamoto – szintén [7]-ben – a következő tételt is belátta.
4.8. Tétel: Jelölje p0 az 54p3 − 27p2 = 1 egyenlet – egyetlen –(12, 23
)-beli gyökét.
Ha 23> s > 0, és s 6= 1
3, akkor
(i) a gs Okamoto-függvény végtelen sok pontban deriválható, de végtelen sok pont-ban nem deriválható,
30
(ii) s < p0 esetén gs csak egy nullmértékű halmazon deriválható,
(iii) s ≥ p0 esetén majdnem mindenütt deriválható.
A fenti tétel s = p0 esetének bizonyítása Kenta Kobayashi eredménye ([5]).Érdemes megjegyezni, hogy a tétel (i) pontja viszonylag könnyen látható: Le-
gyen a ∈ T tetszőleges. Ekkor igazolható, hogy gs akkor és csak akkor deriválható
a-ban, ha1
3≥ s. Emellett megmutatható, hogy minden n ∈ N esetén igaz, hogy
gs akkor és csak akkor deriválható αn +1
2 · 3n-ben, ha
2
3> s ≥ 1
3(feltéve, hogy
a < 1).
4.3. A grafikon tulajdonságai
Ebben a részben általánosítjuk a 3.2. fejezetbeli állításokat, valamint a grafikonHausdorff- és box-dimenzióját vizsgáljuk meg. Jelölje Γs a gs Okamoto-függvénygrafikonját.
4.9. Állítás: A gs Okamoto-függvény grafikonja szimmetrikus az(12, 12
)pontra,
azazg(a) = 1− g(1− a) (7)
minden a ∈ [0, 1]-re.
Bizonyítás: Ha a = 0 vagy a = 1, akkor (7) nyilván igaz, így fs definíciójából tel-jes indukcióval tetszőleges T -belire teljesül, tehát a gs folytonossága miatt mindena ∈ [0, 1]-re is. �
Az alábbiakban megadjuk az Okamoto-függvények önaffin előállítását.Tekintsük az alábbi IFR-t: Legyen ws,i : [0, 1]×[0, 1]→ [0, 1]×[0, 1] (i = 1, 2, 3),
ahol tetszőleges x, y ∈ [0, 1]-re:
• ws,1(x, y) =
(1
3x, sy
),
• ws,2(x, y) =
(−1
3x+
2
3, (2s− 1)y + (1− s)
),
• ws,3(x, y) =
(1
3x+
2
3, sy + (1− s)
).
31
A 4.2. állításból adódik a következő állítás.
4.10. Állítás: Γs a W = {ws,1, ws,2, ws,3} IFR attraktora.
Az alábbi, a grafikon box-dimenziójáról szóló tételek James McCollum cikkébőlszármaznak ([6]).
4.11. Tétel: Ha s ∈(0, 1
2
], akkor dimB Γs = 1.
4.12. Tétel: Ha s ∈(12, 1), akkor dimB Γs = log3(12s− 3).
McCollum a cikkben bizonyítani véli hogy a dimH Γs = dimB Γs minden s ∈(0, 1) esetén, azonban kétségek merültek fel a bizonyítás helyességét illetően (ld.:[1, 3. oldal]).
4.4. Lokális tulajdonságok
A 4.1. és a 4.2. állításokból valamint (5)-ből könnyen belátható a 3.9. következményáltalánosítása:
4.13. Állítás: Legyen a = αk (k ∈ N). Ha s > 12, akkor:
(i) ha a = 0, a szigorú globális minimumhelye gs-nek.
(ii) ha a = 1, a szigorú globális maximumhelye gs-nek.
(iii) ha Ak+1 ≡ 0 mod 2, a szigorú lokális minimumhelye gs-nek.
(iv) ha Ak+1 ≡ 1 mod 2, a szigorú lokális maximumhelye gs-nek.
Ahogyan a következő tételekből látni fogjuk a lokális monotonitás szempontjá-ból az aranymetszés arányszáma adja az egyik kritikus esetet.
4.14. Tétel: Legyen 1 > s >
√5− 1
2. Ekkor tetszőleges a ∈ (0, 1)-re igaz, hogy gs
a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan.
Bizonyítás: A 3.10. tétel bizonyítása alkalmazható azzal a változtatással, hogy ghelyére gs-t írunk. �
32
4.15. Tétel: Legyen s0 < s ≤√
5− 1
2, ahol s0 az s3 − s2 + 2s − 1 = 0 egyenlet
egyetlen valós gyöke. Legyen a ∈ (0, 1). Ekkor gs a-ban:
(i) lokálisan nő ⇔ ∃n ∈ N a = αn +1
4 · 3n, és An páros,
(ii) lokálisan csökken ⇔ ∃n ∈ N a = αn +1
4 · 3n, és An páratlan.
Bizonyítás: A jobbról balra irány igazolásához – mind az (i), mind a (ii) pontesetében – az önaffinitás miatt elég belátni, hogy 1
4-ben gs lokálisan növekszik.
Hármas számrendszerben 14
= 0, 020202 . . . és 34
= 0, 202020 . . ., tehát a 4.2. állításalapján
g
(3
4
)= g
(2 ·
∞∑i=1
3−2i+1
)=∞∑i=0
(1− s)s2i =1− s1− s2
=1
1 + s.
Mivel√
5− 1
2≥ s, ezért 0 ≥ s2 + s − 1, azaz
1
1 + s≥ s = gs
(1
3
). A 4.1. állítás
szerint (kihasználva, hogy s > 12)
∀x ∈[0,
2
3
]gs(x) ≤ gs
(1
3
)≤ gs
(3
4
). (8)
A grafikon szimmetriájának következtében
∀x ∈[
1
3, 1
]gs(x) ≥ gs
(1
4
). (9)
Ekkor (8)-ből és az önaffinitásból adódóan
∀x ∈[0,
2
9
]gs(x) ≤ gs
(1
4
). (10)
Eszerint∀x ∈
[0,
1
4
]gs(x) ≤ gs
(1
4
),
és∀x ∈
[1
4, 1
]gs(x) ≥ gs
(1
4
)
33
(9), (10) és az önaffinitás miatt, mert(
1
4−
z∑i=1
2 · 3−2i)/3−2z =
1
4, azaz az
1
4
az[
1
4−
∞∑i=z+1
2 · 3−2i, 1
4+
∞∑i=z+1
2 · 3−2i+1
]alakú 3−2z-háló kocka „negyedénél van”
tetszőleges z ∈ N-re. Ezzel ezt az irányt beláttuk.Amennyiben a ∈ T , akkor a 4.13. állításból triviálisan adódik a másik irány.
Legyen most a /∈ T olyan, hogy a 6= αn +1
4 · 3n, és I := {i ∈ N : ai = 1}.
Ha |I| =∞, akkor létezik (tj)∞j=1 ⊂ N szigorúan monoton növő sorozat, melyre(
atj)∞j=1
= I, tehát gs (αti) < gs(a), ha i páros, és gs (αti) > gs(a), ha i páratlan.Eszerint gs a-ban nem nő lokálisan és nem csökken lokálisan.
Legyen |I| <∞, és ε > 0. Ekkor létezik k ∈ N, hogy k − 2 > max I, és ak−1 6=ak = ak+1 (mert a feltétel szerint a nem lehet 0, a1 . . . aj202020 . . . alakú, aholj ∈ Z+), és 3−k+1 < ε. Feltehető, hogy ak = 0, valamint gs(a) > gs(αk−2) (a többiesetben analóg módon bizonyítható az állítás). Ekkor a = 0, a1 . . . ak−2200ak+2ak+3,tehát
gs(αk−2 + 3−k+1
)= gs(αk−2) + s(g
(αk−2 + 3−k+2
)− gs(αk−2)) >
> gs(αk−2)+
+(1− s+ (1− s)s2
) (gs(αk−2 + 3−k+2
)− gs(αk−2)
)=
= gs(αk−1 + 2 · 3−k−1
),
mert s0 < s. Ezek szerint
gs(a) > g(αk−1 + 2 · 3−k−1
), vagy gs(a) < gs
(αk−2 + 3k−1
),
tehát gs a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan, hiszen ε tetszőlegesvolt. �
34
Hivatkozások
[1] P. Allaart: The infinite derivatives of Okamoto’s self-affine functions: an app-lication of β-expansions, arXiv:1502.03374v1 (11 Feb 2015)
[2] N. Bourbaki: Functions of a real variable, Translated from the 1976 Frenchoriginal by Philip Spain, Springer, Berlin, 2004.
[3] K. J. Falconer: Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applica-tions, 2nd Edition, Wiley, 2003.
[4] H. Katsuura: Continuous nowhere-differentiable functions–an application ofcontraction mappings, Amer. Math. Monthly 98 (5), (1991) 411–416.
[5] K. Kobayashi: On the critical case of Okamoto’s continuous non-differentiablefunctions, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 85 (2009), no. 8, 101–104.
[6] J. McCollum: Further notes on a family of continuous, non differentiable func-tions, New York J. Math. 17 (2011), 569–577.
[7] H. Okamoto: A remark on continuous, nowhere differentiable functions, Proc.Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 81 (2005), no. 3, 47–50.
[8] F. W. Perkins: An Elementary Example of a Continuous Non-DifferentiableFunction, Amer. Math. Monthly 34, no. 9, (1927) 476–478.
35
