Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 3ตวแบบการโปรแกรมเชงเสน (Linear Programming
Models)ตวแบบการโปรแกรมเชงเสน ไดถกนำามาใชในการแกปญหาทอย
ภายใตขอจำากดทมอยเพอทจะใหกจกรรมสามารถดำาเนนการได โดยใชแนวคดทางคณตศาสตรเขามาชวยดวยการนำาเอาเงอนไขขอกำาหนดตางๆ ทงดานของจำานวนคน จำานวนวตถดบ เปนตนนำามาสรางเปนสมการหรออสมการ จากนนนำาตวแบบทไดไปแกปญหาดวยวธทางคณตศาสตรเพอใหไดคำาตอบทสอดคลองกบเปาหมายทตองการและเงอนไขขอจำากดตางๆ
ตวแบบคณตศาสตรโปรแกรมเชงเสนการจดสรรทรพยากรดวยตวแบบคณตศาสตรโปรแกรมเชงเสน ได
ถกสรางขนมาเพอมงหวงจะใหไดผลประโยชนมากทสด (Optimum) ภายใตขอจำากดตางๆ ทมอยขณะนน เชนการทำากำาไรใหไดมากทสด การทำาใหคาใชจายในการทำางานนอยทสด โดยมตวแปรในการสรางตวแบบคณตศาสตรมความสมพนธกนในลกษณะเชงเสน
เปาหมายทเราตองการเราเรยกวาฟงกชนเปาหมาย (Objective function) ซงจะประกอบไปดวย 2 รปแบบไดแก เปาหมายในการหาคาตำาสด (Minimization) และเปาหมายในการหาคาสงสด (Maximization) โดยอยภายใตขอกำาหนดตางๆ (Constraint functions) ของทรพยากรหรอขอจำากดทมอยในขณะนน
ขนตอนของ Linear Programming จะมขนตอนโดยสรปดงน 1 สรางสมการหรออสมการ ซงจะประกอบดวย สมการเปาหมาย, สมการขอจำากดเงอนไขตางๆ
2. การหาผลลพธ มอย สองวธ คอ 2.1 การใชกราฟ (ใชไดกบกรณทมตวแปรเพยง 2 ตวแปร) 2.2 วธซมเพลกซ (Simplex)
ตวอยาง 1 บรษทแหงหนงผลตกระเปา 2 ชนดคอกระเปาสะพายซง มกำาไร 2,000 บาทตอชน กบกระเปาเงน มกำาไร 1,500 บาทตอชน โดยกระเปาสะพาย หนงใบจะใชเวลาในการผลต 5 ชวโมง ใชวตถดบในการผลต 18 หนวย สวนกระเปาเงน หนงใบใชเวลาในการผลต 3 ชวโมง และใชวตถดบชนดเดยวกนกบการผลตกระเปาสะพาย 14 หนวย ถาบรษทมเวลาอย 1,000 ชวโมง และมวตถดบอย 2,500 หนวย และอาทตยนมลกคาสงซอสนคาทงสองชนดเขามาเปนจำานวนมาก บรษทแหงนควรจะวางแผนการผลตสนคาทงสองชนดอยางไร จงจะไดรบกำาไรสงสดวธทำา
จากโจทยความตองการคอการไดรบกำาไรสงสดจากการผลตและขายสนคาทงสองชนดภายใตเงอนไขทจำากด ดงนนเราจะทำาการกำาหนดตวแปรใหกบสนคาทงสองชนดโดยกำาหนดใหกระเปาสะพาย X1 และกระเปาเงน X2 แลวพยายามเขยนความสมพนธตางๆ ทเกยวของใหอยในรปของสมการ
สมการเปาหมาย (Objective Function)
Max Z = 2,000X1 + 1,500X2
ขอจำากดทมอยในการผลตกระเปาสะพาย และกระเปาเงนสามารถพจารณาไดคอกระเปาสะพาย และกระเปาเงนใชเวลาในการผลต 5 และ 3 ชวโมงตอใบ และบรษทมเวลาในการผลตทงหมดในชวงน 1,000 ชวโมง และวตถดบทใชสำาหรบการผลตกระเปาสะพายและกระเปาเงนเปน 18 และ 14 หนวย
และมวตถดบ 2,500 หนวย เราสามารถเขยน constraint functions ไดดงน
5X1 + 3X2 ≤ 1,00018X1 + 14X2 ≤ 2,500X1, X2 ≥ 0
โปรแกรมเชงเสนทไดคอMax Z = 2,000X1 + 1,500X2
S.t5X1 + 3X2 ≤ 1,00018X1 + 14X2 ≤ 2,500X1, X2 ≥ 0
ตวอยาง 2 นายกำาแพงมเงนอยจำานวน 4,000,000 บาท ตองการนำาเงนไปลงทน 3 ประเภทโดยผลตอบแทนจากการลงทนในแตละประเภทมจำานวน รอยละ 5 ตอป 15% ตอป และ 7% ตอป นายกำาแพงตองการกระจายความเสยงในการลงทนดงน เขาลงทนในประเภทท 2 จำานวน ¼ ของจำานวนเงนทมอย และลงทนในประเภทท 1 เปนจำานวนสองเทาของการลงทนประเภทท 2 และเงนทเหลอทงหมดเคาจะนำาไปลงทนในประเภทท 3 จากขอมลดงกลาวใหสรางสมการเชงเสนสำาหรบการลงทนในครงนวธทำา
จากเนอหาทกลาวมาโจทยไมไดกำาหนดความตองการแตเปนสวนของการลงทนกตองการผลตอบแทนสงสด ดงนนสมการเปาหมายเขยนไดดงน
Max Z = 0.05X1 + 0.15X2 + 0.07X3
ขอจำากดหรอเงอนไขในการลงทนสามารถเขยน constraint functions ไดดงน
X2 ≤ (1/4)*4,000,000X1 = 2X2X3 = 4,000,000 – (X1 + X2)
โปรแกรมเชงเสนทไดคอMax Z = 0.05X1 + 0.15X2 + 0.07X3
S.tX2 ≤ (1/4)*4,000,000X1 = 2X2X3 = 4,000,000 – (X1 + X2)X1 + X2 + X3 = 4,000,000X1, X2, X3 ≥ 0
ตวอยาง 3 บรษทผลตขนมขบเคยวแหงหนง ตองการผลตถวรวมมตร บรรจถงขาย โดยจะบรรจขายในถงละ ½ กโลกรม โดยจะมถวตางๆ ในสดสวนตอไปน ถวลสงมากทสดคอ ไมตำากวา 50 % ของถวทงหมด อลมอนต ไมเกน 20% ของถวลสงกบถวปากอารวมกน เมดมะมวงหมพานต ไมเกน 50 กรม ถวปากอาไมเกน 300 กรม อลมอนตและมะมวงหมพานตรวมกนตองไมเกน 400 กรม ตนทนของถวชนดตาง ๆ มดงตอไปน ถวลสง กโลกรมละ 50 บาท อลมอนต กโลกรมละ 500 บาท มะมวงหมพานตกโลกรมละ 200 บาท ถวปากอากโลกรมละ 120 บาท จากขอมลดงกลาวจงสรางตวแบบเชงเสน
กำาหนดตวแปร X1 แทนจำานวนถวลสงทใช (หนวย :กโลกรม) X2 แทนจำานวนอลมอนต (หนวย :กโลกรม)
X3 แทนจำานวนเมดมะมวงหมพานต (หนวย :กโลกรม) X4 แทนจำานวนถวปากอา (หนวย :กโลกรม)
เปาหมายขอนไมบอกอะไรมาเลย แตขอมลทมอยเปนราคาทนของวตถดบแตละชนด แสดงวานาจะเปนเรองเกยวกบตนทน ดงนนถาเปนเรองเกยวกบตนทน กตองสรางโปรแกรมเชงเสนททำาใหไดตนทนตำาสด
สมการเปาหมายMin Z = 50X1 + 500X2 + 200X3 + 120X4
S.T X1 + X2 + X3 + X4 = 0.5X1 ¿ 0.25X2 ¿ 0.2( X1 + X4)X3 ¿ 0.05X4 ¿ 0.3X2 + X3 ¿ 0.4X1, X2 , X3 , X4 ¿ 0
ตวอยางท 4 บรษทขายเครองไฟฟาแหงหนง กำาลงจะจดงานสงเสรมการขาย ในอก 1 เดอนขางหนา ณ หางสรรพสนคา บรษทนตงงบสำาหรบใชในการประชาสมพนธ 2 ลานบาทเพอประชาสมพนธเกยวกบงานใหคนทวไปไดรบร โดยรายละเอยดชองทางทใชในการประชาสมพนธมดงตอไปน
ชองทางทใชในการประชาสมพนธหนงสอพมพ วทย โทรทศน
จำานวนผรบสอ(คน/ครง)
500,000 50,000 200,000
คาใชจายตอ(บาท/ครง)
100,000 5,000 50,00
เงอนไขของการใชสอตางมดงตอไปน หนงสอพมพ ตองลงโฆษณา ขนตำาอยางนอย 3 วน แตมหนาวางใหไมเกน 10 วน สอวทย ลงโฆษณาไดวนละ 5 ครง ไดเวลาไมเกน 20 วน สอทวตองโฆษณา ขนตำา 2 นาท โดยแบงออกเปนครง ครงละ 15 วนาท ซงมเวลาใหโฆษณา 10 นาท จงสรางตวแบบเชงเสนจากขอมลขางตนวธทำา
เรองนเปนเรองเกยวกบการเลอกใชสอโฆษณา ซงมงบอยแลว 2 ลานบาท ดงนนตวแบบเชงเสนตองเปนตวแบบเพอใชประโยชน ในการหาคำาตอบใหไดวา จะนำาเงน 2 ลานบาทไปใชอยางไรเพอใหคนไดรบรขอมลขาวสารของบรษทมากทสดกำาหนด X1 แทนจำานวนครงทใช หนงสอพมพ (หนวย : ครง)
X2 แทนจำานวนครงทวทย (หนวย: ครง)X3 แทนจำานวนครงทใชโทรทศน (หนวย : ครง)
เปาหมายคอ ตองการใหจำานวนคนไดรบสอมากทสดในการโฆษณาสมการเปาหมาย Max Z = 500,000X1 + 50,000X2 + 200,000X3 S.T. X1 ¿ 3
X1 ¿ 10 X2 ¿ 100 X3 ¿ 8 X3 ¿ 40
500,000X1 + 5,000X2 + 5,000X3 2,000,000
X1, X2 , X3 ¿ 0
การหาผลลพธจากตวแบบเชงเสนเพอหาคำาตอบทเหมาะสม1. ใชกราฟในการแกไขปญหา การใชกราฟจะเหมาะกบปญหาทม
ตวแปรแค 2 ตว การใชกราฟในการหาผลลพธ มหลกการโดยสรปดงตอไปน
1.เปลยนอสมการทงหลายใหสมการ2.หาจดตดแกนตง( 0 , X2 ) และจดตดแกนนอน( X1 , 0 )
ของสมการในขอหนง แลววาดกราฟ โดยทวไปจะให X1 อยแกนนอน และ X2 อยแกนตง
3. พจารณาหาพนทคำาตอบ โดยอาศยเสนกราฟ ในขอ 2 และเครองหมายของอสมการ (หรอสมการ) ในตวแบบเบองตน
4. สรางเสน Z1 และ Z2 จากสมการเปาหมาย Z จากนนเลอกจดยอดทเหมาะสม
5. พจารณาจดยอด แกสมการหาคำาตอบ
ตวอยาง 5 จงแกกำาหนดการเชงเสนตอไปน โดยใชกราฟสมการเปาหมาย Min Z = 3X1 + 5X2St. 2X1 + 5X2 ¿ 10
4X1 + X2 ¿ 123X1 + 6X2 ¿ 18
X2 ¿ 6 X1 , X2 ¿ 0
วธทำา 1. เปลยนอสมการตาง ๆ ใหเปนสมการ จะไดดงน
2X1 + 5X2 ¿ 10 จะได 2X1 + 5X2 = 10
4X1 + X2 ¿ 12 จะได 4X1 + X2 = 123X1 + 6X2 ¿ 18 จะได 3X1 + 6X2 = 18
X2 ¿ 6 จะได X2 = 6สำาหรบเครองหมายของสมการเดมจะใชในการพจารณาหาพนทคำาตอบ
จาก Min Z = 3X1 + 5X2 X1 = 0 และคา X2 = 3 ∴ Min Z = 3(0) + 5(2) = 15 Ans.
ตวอยาง 6 จงแกกำาหนดการเชงเสนตอไปน โดยใชกราฟสมการเปาหมาย Max Z = 300x1 + 200x2St. 2x1 + x2 ≤ 40
x1 + 3x2 ≤ 45
x1 ≤ 12x1, x2 ≥ 0
วธทำา……………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. การใชวธ ซมเพลกซ (Simplex) วธการนจะใชไดกบตวแปรทมากกวา 2 ตวและมเงอนไขทซบซอนกวา ความคดมลฐานของวธซมเพลกซคอการแกปญหาสมการซำาๆ กนเรมจากคำาตอบมลฐานเรมตนทเปนไปไดแลวคอยๆ ขยบไปตวแปรมลฐานใหมทละ 1 ตว
การแกปญหาโดยวธซมเพลกซ จะตองมการสรางรปแบบกำาหนดการเชงเสนใหอยในรปแบบมาตรฐาน คอ เปลยนขอจำากดทอยในรปอสมการใหเปนสมการทสมมลกน ตวอยางเชน
ตวอยางท 7 จงใชวธซมเพลกซหาคาสมการตอไปน (กรณการหาคา Maximum)สมการเปาหมาย Max Z = 300x1 + 250x2
St. 2x1 + x2 ≤ 40x1 + 3x2 ≤ 45x1 ≤ 12x1, x2 ≥ 0
เขยนขอจำากดใหอยในรปสมการขอจำากดทสมมลกนโดยใชตวแปรขาด (Slack Variable) ดงน ให S1 , S2 , S3 ≥ 0 เปนตวแปรขาด สมการขอจำากดทสมมลกบขอจำากด คอ
Max Z = 300x1 + 250x2 + 0S1 + 0S2 + 0S32x1 + x2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 40x1 + 3x2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 45x1 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 12
ตารางเรมตนของ Simplex
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua
ntitys1 0 2 1 1 0 0 40s2 0 1 3 0 1 0 45s3 0 1 0 0 0 1 12
Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 30
0250 0 0 0
ขนตอนท 1 ทำาการพจารณาคา Cj-Zj วาคอลมนไหนมคามากทสดจะทำาการพจารณาตวแปรนนเปนตวแปรแรก จากตารางเรมตนคอตวแปร x1
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua
ntitys1 0 2 1 1 0 0 40s2 0 1 3 0 1 0 45
s3 0 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 30
0250 0 0 0
ขนตอนท 2 ทำาการนำาคาตวแปร x1 ไปหารตวแปร Quantity ในแถวของตวเองและทำาการเลอกเอาคาทนอยทสด
unit profit
x1 x2 s1 s2 s3 Quantity
s1 0 2 1 1 0 0 40 (40/2)=20
s2 0 1 3 0 1 0 45 (45/1)=45
s3 0 1 0 0 0 1 12 (12/1)=12
Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 30
0250 0 0 0
ขนตอนท 3 ทำาการแทนตวแปร s3 ดวยตวแปร x1 คา unit profit ของ s3 เปลยนจาก 0 เปน 300
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua
ntitys1 0 2 1 1 0 0 40s2 0 1 3 0 1 0 45
x1 300 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 300 0 0 0 0
Cj-Zj 0 250 0 0 0
ขนตอนท 4 คาในแถว s1 สามารหาไดดงน นำาคาตวแปร x1 ในคอลมนท 1 แถวท 1 คอเลข 2 มาทำาการคณกบคาตวแปรในแถว x1 จำาไดคา 2 0 0 0 2 24 จากนนนำาคาในแถว s1 ตงและลบดวยคาทหาไดจากกอนหนา
2 1 1 0 0 402 0 0 0 2 240 1 1 0 -2 16
นำาคาผลตางทไดไปแทนทในแถว s1
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua
ntitys1 0 0 1 1 0 -2 16s2 0 1 3 0 1 0 45x1 300 1 0 0 0 1 12
Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 300 0 0 0 0
Cj-Zj 0 250 0 0 0
ขนตอนท 5 ในแถว s2 กใหทำาเชนเดยวกนกบขนตอนท 41 3 0 1 0 451 0 0 0 1 120 3 0 1 -1 33
นำาคาผลตางทไดไปแทนทในแถว s2
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua
ntitys1 0 0 1 1 0 -2 16s2 0 0 3 0 1 -1 33x1 300 1 0 0 0 1 12
Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 300 0 0 0 0
Cj-Zj 0 250 0 0 0
เสรจสนกระบวนการรอบท 1 ของวธ Simplex
การหาคาในรอบท 2 unit
profit x1 x2 s1 s2 s3 Quantity
s1 0 0 1 1 0 -2 16 (16/1)=16
s2 0 0 3 0 1 -1 33 (33/3)=11
x1 300 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 300 0 0 0 0
Cj-Zj 0 250 0 0 0
x2 แทนคา s2 คา unit profit จาก 0 เปน 250 นำา 3 หารตวเลขในแถว s2 จะไดตวเลขตงตนดงตารางตอไป โดยทจะไมเขาไปยงกบแถว x1
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua
ntitys1 0 0 1 1 0 -2 16
x2 250 0 1 0 1/3
-1/3
11
x1 300 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 300
250 0 0 0
Cj-Zj 0 0 0 0 0
ทำาการพจารณาเพอปรบคาตวเลขในแถว s1 ทำาเชนเดยวกบขนตอนท 4 ในรอบท 1
0 1 1 0 -2 160 1 0 1/3 -1/3 15
0 0 1 -1/3 -5/3 5
unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Quan
titys1 0 0 0 1 -1/3 -5/3 5x2 250 0 1 0 1/3 -1/3 11x1 300 1 0 0 0 1 12
Coficient Max Cj 30
0250 0 0 0
unit*xi Zj 300
250 0 250/
3650/
3
Cj-Zj 0 0 0-
250/3
-650/
3
จากตาราง Simplex ทไดจะเหนวาคาของ Cj-Zj มคาเปน 0 และตดลบทงหมดจงหยดการทำางานดงนนคำาตอบทไดคอ
X1 = 12X2 = 11S1 = 5
แทนคาในสมการเปาหมาย Max Z = 300*12 + 250*11 = 6,350
ตวอยางท 8 จงใชวธซมเพลกซหาคาสมการตอไปน (กรณการหาคา Minimum)
Min Z = 45x1 + 12x2St.
x1 + x2 ≥ 3003x1 ≥ 250
วธทำา………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………