Т.Г. Балюк

Міні – збірникКвадратні рівняння

8

Балюк Тетяна Григорівна, вчитель математики, Криворізька загальноосвітня школа І– ІІІ ступенів № 99

Міні-збірник. Квадратні рівняння (13 стор)

Збірник містить завдання, які дають змогу ефективно здійснювати повний контроль за засвоєнням учнями теми «Квадратні рівняння». Крім того, збірник може використовуватися школярами для самостійної роботи.

Розраховано на учнів загальноосвітніх навчальних закладів та вчителів математики.

PAGE \* MERGEFORMAT 2

Рівняння виду ах2 +bх +с = 0, де х – змінна, а, b, с – числа, причому а ≠0, називається квадратним.

Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.

Квадратне рівняння, в якому хоча б один із коефіцієнтів ( b або с ) дорівнює нулю, називають неповним квадратним рівнянням.

PAGE \* MERGEFORMAT 2

Неповні квадратні

рівняння

ах2 +вх = 0,

х(ах + в) = 0,

х1= 0, х2= -ва

ах2 = 0,

х = 0

ах2 + с = 0,

х2 = -са

при ас ¿ 0 при ас ¿ 0

х = ±√−са

коренів немає

ах2 +bх = 0,

х(ах + b) = 0,

х1= 0, х2= -bа

ах2 = 0,

х = 0

1.Доберіть до кожного квадратного рівняння його розв’язок.

А) 5х2 = 0 ; 1) 0; 1

Б) х2 - х = 0 ; 2) 7 ; - 7;

В) 25х2 = 121; 3) 0 ;

Г) х2- 49 = 0 ; 4) 0 ; 2,5 ;

Д) 2х2 - 5х = 0; 5) –2 ; 0 ;

Е) х2 + 2х = 0 ; 6) ± 2,2 ;

2. Розв’яжіть рівняння:

1) 7х2 = 0 ; 2) 33х2 = 0 ; 3)4х2 + 7х = 0 ;

4) 11х2 =0,5х ; 5) 0,04х2 + 5х = 0 ; 6) 13х = 0,26 х2 ;

7) 7,5х = 13х2; 8) х2 - 144 = 0 ; 9) 64х2 = 169 ;

10) 7х2 = 1575 ; 11) 11х2 =704 ; 12) 0,09х2 - 100 = 0 ;

13) 625х2 - 0,0324 = 0 ; 14) 100361

х2 - 441 = 0 ;

15) 9х2 + 282= 1972 ; 16) 225х2+ 522 = 6772 ;

17) 4х2+ 6х = 9х2 - 15х ; 18) 13х +7х2 = 5х2 + 8х;

19) 12х2 - 5х = 9х2 +7х ; 20) 8,5х - 3х2 = 3,5х + 2х2;

21) х( х−15 ) = 3(108−5х ); 22) 47 - х(3 х+4 ) = 2(17−2х ) - 62;

23)( х−7 ) ( х+3 ) + ( х−1 ) ( х+5 ) = 102 ;

24) 10( х−2 ) + 19 = (5 х−1 ) (1+5 х );

25) (2 х−7 )2 + (3 х−5 )2 – (4 х−9 ) (4 х+9 ) = 2(64−29 х );

26)5х2+96

- 4 x2−95

=3; 27)3х2−118

+ 74−2x2

12 =10;

28)8 х2−35

+ 9 x2−54

=2; 29)13х2−412

– 20−3 x2

18 =35

9 ;

PAGE \* MERGEFORMAT 2

А

Б

В

Г

Д

Е

PAGE \* MERGEFORMAT 2

Повні квадратні

рівняння

ах2 +bх +с = 0

універсальна формула

х = −b±√Д2а ,

де Д = b2- 4ас

якщо b = 2к, тобто

b – парне число, то

х = −к ±√Д 1

а ,

деД 1= к 2 - ас,

к = b2

Дослідження кількості коренів квадратного рівняння

Д¿0 2 різні корені: х1,2 = −b±√Д2а ;

Д = 0 2 рівні корені: х1 = х2= −b2а ;

Д¿0 коренів немає

3.Доберіть до кожного квадратного рівняння його числові коефіцієнти.

А) х2- 2х - 2 = 0; 1) а = 2, в = -5, с =2;

Б) 6 х2- 7х + 2 = 0; 2) а = 1, в = -2, с = -2;

В) 8 х2+ 10х - 3 = 0; 3) а = 6, в = -7, с =2;

Г) - х2- 6х +5 = 0; 4) а = 8, в = 10, с = -3;

Д) 2 х2- 5х+ 2 = 0; 5) а = -1, в = -6, с =5.

4.Ідентифікуйте парами рівняння і його дискримінант.

А) 25 х2- 10х +1 = 0; 1)Д = 121;

Б) 2 х2- х - 6 = 0; 2)Д = 0;

В) 10 х2- 7х - 3 = 0; 3)Д = 169;

Г) -3 х2+7х +6 = 0; 4)Д = 16;

Д) х2+ 2х - 3 = 0; 5) Д = 49.

5.Знайдіть корені рівняння:

1) 2х2+ 3х + 1 = 0; 2) 2х2- 3х + 1 = 0;

3) 2х2+ 5х +2 = 0; 4) 2х2- 7х + 3= 0;

5) 3х2+ 11х + 6 = 0; 6) 4х2- 11х + 6 = 0;

7) 9х2- 6х + 1 = 0; 8) 16х2- 8х + 1 = 0;

9) 49х2+ 28х + 4 = 0; 10)36х2+ 12х + 1 = 0;

11) 2х2+ х + 1 = 0; 12) 3х2- х + 2 = 0;

13) 5х2+ 2х + 3 = 0; 14) х2- 2х + 10 = 0;

15) 7х2- 6х + 2 = 0; 16) 3х2- 5х + 4= 0;

17) 9х2+ 12х + 4 = 0; 18) 4х2- 20х + 25 = 0;

19) 4х2+ 12х + 9 = 0; 20) х2- 3х –4 = 0;

21) 6х2= 5х + 1 ; 22) 5х2+1 = 6х;

23) х( х−1 ) = 72; 24) х( х+1 ) = 56;

25) 2х( х+2 ) = 8х – 3; 26) 3х( х−2 ) - 1 = х – 0,5(8+х )2;

27) х2- 3√2х + 4 = 0; 28) х2+ 2(1+√8 )х + 8√2 = 0; PAGE \* MERGEFORMAT 2

Д = b2- 4ас

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

29) х2- 3х – 5 -√7 = 0;

30) х2−3х

7+ х = 11; 31) х

2+3 х2

= х+74 ;

32) 2х2+х3 - 2−3 х

4 = х2−66 ; 33) х

2+х4 - 3−7 х

20 = 0,3 ;

34) (3 х−8 ) (7 х+5 ) = (3 х−8 )2;

35) 3(5 х+3 ) ( 4 х2−1 ) = 8( 4 х2−1 )2;

36)(2 х+1 ) ( х+2 ) – ( х−1 ) (3 х+1 ) = 1 ;

37) (3 у−1 ) ( у−2 ) + ( у+1 ) ( у+2 ) = 12;

38) ( х−1 ) ( х−2 ) ( х−3 ) = х3- 14х – 2;

39) ( х+7 ) ( х−3 ) – (2 х+1 ) ( х−4 ) + 18 = 0;

40) ( 12х−2) (х+6 ) – (1−х ) (3−х ) + 16 = 0;

41) (2 х−3 ) (2х+3 ) - 2(1−х )2 – (3 х+1 )2 = 0;

42) (5−4 х )2 – (6+3 х )2 – (3 х−4 ) (3 х+4 ) = 0;

43) (2 х−1 )2 ( х+5 ) = ( х+1 )2 ( 4 х+5 );

44) (3х−4 )2

5 + (2х−5 ) ( х−1 )

2 = 1 + ( х+2 )2

5 ;

45) ( х+3 )2

5 + 1 – (3х−1 )2

5 = х (2 х−3 )

2 ;

46) 5х− х2

3 – (5х−11)2

4 = 6 – (7−х )2

2 ;

47) ( х−12 )2

6 - х9 + х ( х−9 )

18 = ( х−14 )2

2 + 5 ;

48) 6х + (3+5 х )2

2 = 8−2 х

5 – ( х+3 ) ( х+7 )2 ;

49) х – 7 + ( х−6 )2

3 = ( х+4 )2

2 – ( х+2 ) ( х+6 )

4 ;

6. Знайдіть при якому значенні b рівняння має один корінь.

1) 5х2- bх + 5 = 0; 2) 3х2- bх + 3 = 0;

3)2х2+ 4х - b = 0; 4)6х2- 18х + b = 0;

PAGE \* MERGEFORMAT 2

Д¿0

−b±√b2−4 ac2a

5) 3х2- bх + 12 = 0; 6) 8х2+ bх + 2 = 0;

7) (b+5 ) х2– (b+6 )х + 3 = 0;

8)(b−4 ) х2+ (2b−8 )х + 15 = 0;

7.Розв’яжіть рівняння враховуючи парність другого коефіцієнта:

1) 8 х2- 30х +27 = 0; 2)4 х2+ 4х +1 = 0; 3) х2+ 8х - 33 = 0;

4) х2+ 12х +35 = 0; 5)х2- 4х -45 = 0; 6) х2- 2х + 1 = 0;

7) х2+ 14х +24 = 0; 8)3 х2- 14х +16 = 0; 9)7х2- 20х + 14 = 0;

10) х2+ 12х - 64 = 0; 11)х2- 10х - 25 = 0; 12)5х2+ 26х -24 = 0;

13) х2+ 6х -19 = 0; 14)36 х2- 12х +1 = 0; 15)8х2- 14х + 5 = 0;

8.При якому значенні а рівняння 3 х2- 2х - а = 0

1) має два різні корені;

2) не має жодного кореня;

3) має два рівні корені.

9. Розв’яжіть рівняння відносно х:

1) 8 х2– 13ах +36а2 = 0; 2)х2– 3ах - 40а2= 0;

3) х2+ 2bх +b2-1 = 0; 4) х2– (2а−4 )х -8а = 0;

5) х2+(3а−2 )х - 6а = 0; 6) х2+ 5ах +4а2= 0;

7¿ (а+4 ) х ¿2– (7а+5 )х +10а - 6 = 0;

PAGE \* MERGEFORMAT 2

Увага! Параметр!

Зведені квадратні рівняння – це рівняння виду х2+ рх + q = 0.

Якщо х1 , х2 – корені зведеного квадратного рівняння

х2+ рх + q = 0 , то { х1 х2=q ,х1+х2=−р .

10.Знайдіть « підбором» корені рівняння:

1) х2+ 3х +2 = 0; 2)х2- 6х +5 = 0; 3) х2- 2х + 1 = 0;

4) х2+ 2х - 35 = 0; 5)х2- 3х + 2= 0; 6) х2+ 6х + 8 = 0;

7) х2- 3х - 4 = 0; 8)х2+ 6х -16 = 0; 9) х2- 6х + 9 = 0;

10) у2+ 8у +7 = 0; 11)х2- 5х +4 = 0; 12) у2–7у + 12 = 0;

13) х2+ 2х -3 = 0; 14)у2–2у- 3 = 0; 15) х2- 4х - 12 = 0;

16) х2+ 4х - 5 = 0; 17)х2- х - 2 = 0; 18) х2+7х - 18 = 0;

19) у2-5у- 6 = 0; 20)х2+5х + 6 = 0; 21) у2–7у + 10 = 0;

22) х2-8х +12 = 0; 23)х2- х -12 = 0; 24) х2+ х -6 = 0;

PAGE \* MERGEFORMAT 2

ТеоремаВієта

ах2+ bх + с = 0

Якщо х1 , х2 - корені рівняння, то

{х1+х2=−bа

х1 х2=са

25) х2+ 5х -14 = 0; 26)х2- 11х +18 = 0; 27) х2+7х + 6 = 0;

28) х2+ 3х -18 = 0; 29)х2+ 4х + 4 = 0; 30) х2+5х + 4 = 0;

31) х2+ 2х +1 = 0; 32)х2+4х +3 = 0; 33) х2- 4х + 3 = 0;

34) х2+ 3х +2 = 0; 35)х2- 6х +5 = 0; 36) х2+ х -2 = 0;

37) х2- 8х +16 = 0; 38)2 х+120−х2= 0; 39) х2- х - 72 = 0;

40) х2+ 18х +81 = 0; 41)6 х+9+х2= 0; 42) х2- х - 42 = 0;

43)2 х -х2- 1 = 0; 44)х2- 2√3х -1= 0; 45) х2- 2√5х + 1 = 0;

46) х2+ √2х - 4 = 0;

11.Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють:

1) 2 і 9; 2) 4 і – 3; 3) 6 і 2;

4)- 2 і 6; 5) √3 і 2; 6) 2√5 і −√5 ;

PAGE \* MERGEFORMAT 2

12.Розв’яжіть біквадратне рівняння:

1¿ х4- 5х2+ 4 = 0; 2¿ х4-3х2- 4 = 0; 3¿ х4-10х2+ 9 = 0;

4 ¿9 х4+3х2-12 = 0; 5¿2х4+7х2+ 5 = 0; 6¿ х4-13х2+36 = 0;

7¿ х4-10х2+ 1 = 0; 8¿ х4-20х2+ 10 = 0; 9¿ х4-4х2-45 = 0;

10¿ х4+6х2-35 = 0; 11¿2 х4- 5х2+ 2 = 0; 12¿3х4-10х2+ 3 = 0;

13¿7 х4+23х2+ 3 = 0; 14¿9 х4+41х2+ 5 = 0; 15¿16 х4-24х2+ 9 = 0;

16¿25 х4-20х2+ 4 = 0; 17¿ х4-8х2-9 = 0; 18¿9 х4+23х2-12 = 0;

19¿16 х4-409х2+ 225 = 0; 20¿ х4- 50 х2+ 49 = 0; 21¿ х4-3х2-4 = 0;

13.Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

1¿ ( у+3 )4- 3( у+3 )2 -4 = 0; 2¿ ( х−4 )4+ 2( х−4 )2-8 = 0;

3¿ (х2+3 )2-28(х2+3 )+ 171 = 0; 4) (6 х−7 )4+4(6 х−7 )2+3 = 0;

5¿ (х2+1 )2= 15(х2+1 ) -50; 6) (2 х2+1 )2= 14(2 х2+1 ) -45;

7)(х2−3 х ) (х2−3х−14 ) = - 40; 8)(х2+2 х ) (х2+2х−11 ) = - 24;

PAGE \* MERGEFORMAT 2

Рівняння,що зводяться до квадратних

Біквадратні

ах4+bх2+с = 0Рівняння,що зводяться до добутку, який дорівнює 0

Рівняння,що розв’язуються способом введення нової змінної

Дробово-раціональні

9)(х2−2 х−4 ) (х2−2 х−3 ) = 2; 10)(х2+х+1 ) (х2+х+2 ) = 12;

11) х +√ х = 6; 12) х - √ х = 12; 13) х -3√ х +2 = 0;

14) 2х - 3√ х+1 = 0; 15)8х -10√ х+3= 0; 16) х +√ х−1 = 7;

18) у –√ у−3 = 5; 19) у +√ у−6 = 96;

14.Розв’яжіть рівняння:

1) хх+1 + х

х−1 = 2 23 ; 2) х

х+4 + хх−4 = 55

9 ;

3) х+3х−3 + х−3

х+3 = 313 ; 4) 5х+7

х−2 - 2х+21х+2 = 8 2

3 ;

5) 2х - 15 = 8х; 6) 1 - 15

х = 16х2 ; 7) х – 25 = 54

х ;

8) 1 - 25х2 = 24

х ; 9) х - 20х = 1; 10) 7 – 2х = 3

х ;

15)Розв’яжіть рівняння, розклавши ліву частину на множники:

1) х4+ х5 - 5х3 - 5х2 +4х + 4 = 0; 2) у3 - у2 - 4( у−1 )2 = 0;

3) 2х3 + 2х2= ( х+1 )2; 4) 6х3 - 31х2 - 31х + 6 = 0;

5) 5х3 - 19х2 - 38х + 40 = 0.

16) Завдання для самостійної роботи PAGE \* MERGEFORMAT 2

1 х² = 16 х² - х = 0 8х² + 5х = 0 х² - 2х -2 = 0 4у² = 4у - 15

2у² =

14

у² + 100у = 0-2х² +

18 = 0

х² + 3х+ 4= 0 2х² = 5х + 3

3 х² = 1 х² - 8х = 0 2у² -26у = 0 у² +6у = 5 -х²= 5х - 14

4 z² = 8 5у² + у = 0 у² + 6у = 0 х² - 2х + 2= 0 5х²- 9х – 2 = 0

5 х² = - 4 у – 4у² = 0 - 3х² + 21х = 0 х² -4х + 4 = 0 3х²- 2х + 1 = 0

6 - х² = - 0,2 2х² - 6х = 0 -х² + 10 = 1 х² + х – 2 = 0 -х²+ 5х -1 = 0

7- х² =

425

12 х² - 3х = 0

у² + 2у = 0 х²- 4х + 3 = 0 -у²- у + 12 = 0

8 - 2 t² = - 4 5z² + 2z = 03у² =

13

х² -2х – 1 = 0 х²+ 5х -1 = 0

9 1,2 х² = 1 3х² = 4х 2х² - 8х = 0 у² + 2у –1= 0 у²+8у +16 = 0

10 16у² - 1 = 3 23 х² = - 3х

х² - 5х = 0 у² +4у + 2= 0 х²- х – 6 = 0

11 4х² - 5 = 0 1,2х² - 6х = 0 0,1х² = -0,3х х² + 4х +3= 0 у²+ 11у+30= 0

12 3х² - 12 = 0 0,7х – 7х² = 0 6у² + 3у = 0 -у² +6у– 5= 0 х²- х – 2 = 0

13 - 3х² - 48 = 0 2у² - 0,6 у = 0-23 х² = 394

х²+3х – 4 = 0 4х²+ 3х –1 = 0

14 z² - 8 = 8 0,5х² = 4х 1,25 = у² - 5 х²+ х + 2 = 0 16у² +8у+1= 0

15 12 х² - 4 = 28 -0,8у² +

54 у = 0

0,4х²- 2х = 0 -х²+ 6х+5 = 0 х²-12х +32 = 0

16 0,4у² + 1,6 = 8 0,2х² - 6х = 0 - 8х² + 0,5х = 0 х²- 4х -3 = 0 у²- 8у – 8 = 0

17 0,5х² +14 = 16 65 х² - 0,2х = 0

1,3 х²- 16,9 = 0 у²+6у – 9 = 0 7х²-11х– 6 = 0

18 - 0,4х² +2 = 0 -0,3х² - 12х = 0 3х² = 4х х²- х + 90 = 0 3у²-10у +3 = 0

19 17 х² = -

79

4у² - 26у = 0 х² - 121 = 0 6у² -7у+2 = 0 х²+х + 4 = 0

20у² =

516

43 х² - 27х = 0

х² + 13х = 0 8х²+10х-3 =0 -х²+6х – 25 =0

PAGE \* MERGEFORMAT 2

PAGE \* MERGEFORMAT 2