matematikafizikahome.files.wordpress.com€¦ · Web view2019. 2. 18. · Ако 1 бомбониера кошта како 3 чоколади, тогаш заклучуваме

ЗАДАЧИ_1

1. Марко и Петар им помогнале на соседите да го исчистат дворот. За награда Марко добил чоколадо и 30 денари, а Петар бомбониера и 20 денари. Нивните награди имаат еднаква вредност во денари. Колку изнесува во денари вредноста на наградата кој ја добил Марко, ако една бомбониера кошта колку три чоколади?

2. Колку има трицифрени броеви деливи со 4 на коишто збирот од цифрите на десетките и стотките е еднаков на 13? Испиши ги тие броеви.

3. Производот на природните броеви m и n, каде што m > n е еднаков на 2016 и НЗС(m,n)=504. Одреди ги броевите m и n.

4. Маринела во текот на декември во касата ставила 50 парички од по 2 денари и 32 парички од по 5 денари. На колку различни начини од тие парички може да направи точен износ од 207 денари со кој ќе го плати роденденскиот поклон на мајка е? Наведи ги сите можни варијанти на плаќање на поклонот.

5. Две прави се сечат и сочинуваат 4 агли, два остри агли и и два тапи агли γ и δ. Одреди ги големините на агли , , γ и δ, ако важи 3∙(+)=2∙(γ+δ)

РЕШЕНИЈА

1. Наградите од Петар и Марко се еднакви, односно 1 бомбониера и 20 денари вредат како 1 чоколада и 30 денари.

Тоа значи дека 1 бомбониера вреди колку 1 чоколада и 10 денари.

Ако 1 бомбониера кошта како 3 чоколади, тогаш заклучуваме дека 3 чоколади имаат еднаква вредност како 1 чоколада и 10 денари. Од тоа следува дека 2 чоколади коштаат 10 денари.

Значи, цената на 1 чоколада е 5 денари, а вредноста на 1 бомбониера е 15 денари.

Марко добил награда во вредност од 35 денари.

2. Ако бараниот број е , тогаш мора да важи a+b=13.

Сите можни барани цифри од a и b се:

За да бројот би бил делив со 4, тогаш неговиот двоцифрен завршеток мора да биде делив со 4

За a=9, b=4 бараните броеви се 940, 944, 948

За a=8, b=5 бараните броеви се 852, 856





Вкупно барани броеви има 15

3. Дадено е m∙n=2016, НЗС(m,n)=504

Од формулата НЗД(m,n)∙НЗС(m,n)=m∙n, следува НЗД(m,n)∙504=2016, односно НЗД(m,n)=4

Имајќи во предвид дека НЗС(m,n)=504=2∙2∙2∙3∙3∙7, НЗД(m,n)=4=2∙2 и m>n, следува дека постојат следните можности:

а). m=2∙2∙2∙3∙3∙7=504 и n=2∙2=4

б). m=2∙2∙3∙3∙7=252 и n=2∙2∙2=8

в). m=2∙2∙2∙7=56 и n=2∙2∙3∙3=36

г). m=2∙2∙2∙3∙3=72 и n=2∙2∙7=28

4. Како е 207 непарен број, а содржателите од бројот 2 парни, тогаш следува дека бројот на паричките од 5 денари мора да биде непарен.

Како е 207 – 50 ∙ 2 =207 – 100 = 107 и 21 ∙ 5 =105, тогаш бројот на паричките од 5 денари мора да биде поголем од 21, а помал од 32

ВКУПЕН ИЗНОС

Број на парички од 2 ден

Број на парички од 5 ден

Вкупно постојат 5 различни начини на плаќање на поклонот

5. Да го нацртаме цртежот

Важи = и γ=δ (накрсни агли)

Важи + γ = 1800 (соседни агли)

Следува = 720, γ = 1800 – 720 = 1080 и δ = 1080

ЗАДАЧИ_2

1. Маја тргнала од дома броејќи ги своите чекори. Најнапред направила 10 чекори нанапред па 3 чекори наназад, 10 чекори напред и 2 назад, 10 чекори напред и 1 чекор назада. Таа постапка Маја ја повторувала при чекорењето. Колку чекори мора Маја да направи за да од куќата се оддалечи 2014 чекори?

2. Природните броеви од 1 до 2014 се напишани еден после друг во низа:

123456789101112 ... 20132014. Кои цифри се наоѓаат точно во средината на таа низа?

3. Одреди го трицифрениот број за кој важи: .

4. Од градот А кон градот В тргнал автомобил кој за 10 минути поминува 12 километри. Истовремено од градот В кон градот А тргнува камион кој за 12 минути поминува 10 километри. Колку километри ќе биде оддалечени автомобилот и камионот по 2 сати и 30 минути возење, ако растојанието меѓу градовите А и В е 300km?

РЕШЕНИЈА

1. Кога Мака ќе направи 10 + 3 + 10 + 2 + 10 + 1 = 36 чекори, ќе се оддалечи:

10 – 3 + 10 – 2 + 10 – 1 = 24 чекори од куќата.

Како е 2014 = 83 ∙ 24 + 22, тогаш за да се оддалечи 2014 чекори од куќата, мора 83 пати да ја повтори постапката и уште да се оддалечи 22 чекори од куќата.

Преостанатите 22 чекори ќе ги изоди така што ќе направи 10 чекори напред, 3 назад, 10 напред, 2 назад и 7 напред.

Така Маја направила 83 ∙ 36 + 10 + 3 + 10 + 2 + 7 = 3020 чекори.

2. Да пресметаме колку има цифри во низата.

За 9 едноцифрени броеви користиме 9 цифри, за 90 двоцифрени броеви се користат 180 цифри, за 900 троцифрени броеви се користат 2700 цифри и за 1015 четирицифрени броеви се користат 4060 цифри.

Во низата има вкупно 6949 цифри.

Како е 6949 = 3474 ∙ 2 + 1, тогаш бараме 3475 цифри.

За едноцифрени, двоцифрени и троцифрени броеви коирстиме 2889 цифри.

За четирицифрени броеви ни преостануваат 3475 – 2889 = 586 цифри.

Како е 586 = 146 ∙ 4 + 2, бараната цифра е 2 цифра во 147 четирицифрен број.

Тоа е бројот 1146, а бараната цифра е 1

3. Важи,

Ако од двете страни поделиме со , ќе добиеме

Бројот 1001 разложен на прости делители е: 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13

На крај, или

Значи, или

4. Автомобилот за 1 сат (60 минути) ќе помине 12 ∙ (60 : 10) = 72km

Автомобилот за 30 минути ќе помине 72 : 2 = 36km

Автомобилот за 2 сати и 30 минути ќе помине 2 ∙ 72 + 36 = 144 + 36 = 180km

Камионот за 1 сат ќе помине 10 ∙ (60 : 12) = 50km

Камионот за 30 минути ќе помине 50 : 2 = 25km

Камионот за 2 сати и 30 минути ќе помине 2 ∙ 50 + 25 = 100 + 25 = 125km

Имајќи во предвид дека 180 + 125 = 305 > 300 (растојанието помеѓу градовите), автомобилот и камионот ќе се сретнат и ќе го продолжат патот до целта.

Нивната оддалеченост по 2 сати и 30 минути ќе биде: 180 + 125 – 300 = 5km

ЗАДАЧИ_3

1. Производот на шест броеви поголеми од 10, а помали од 20 изнесува 7539840. Кои се тие броеви?

2. На светско првенство во фудбал учествуваат 32 репрезентации, поделени во 8 групи. Откако сите репрезентации во групата ќе одиграат меѓусебно по еден натпревар, тогаш во понатамошното натпреварување одат по две најдобри репрезентации од секоја група. Потоа, меѓусебно играат по две репрезентации така што победникот оди понатаму, поразениот отпаѓа, и на тој начин се игра до финале. Во колку градови може да се организира светското првенство, ако во секој град мора да се одиграат еднаков број на натпревари? Условот е да во секој град се одиграат барем пет, но, не повеќе од десет натпревари.

3. Учениците од пет шести одделенија од едно училиште отишле на театарска претстава заедно со одделенските раководители. Во 6_2 има еден ученик повеќе отколку во 6_1, во 6_3 има 2 ученика повеќе отколку во 6_2, во 6_4 има 3 ученици повеќе отколку во 6_3 и во 6_5 има 4 ученици повеќе отколку во 6_4. Во театарот има 12 редови, по 18 столици во секој ред. Колку ученици има во 6_1, 6_2, 6_3, 6_4 и 6_5, ако 96 места во театарот останале празни?

4. Испиши ги сите петоцифрени броеви деливи со 45 кои се од облик , пришто цифрата од позицијата на десетки е најголемиот едноцифрен прост број. (цифрите a, b, c и d се меѓусебно различни)

5. Листови од хартија во облик на правоаголник, се залепени еден на друг како на сликата. Секој помал правоаголник е залепен на растојание 2cm од сите 4 рабови на поголемиот правоаголник на којшто се лепи. Помалата страна на најголемиот правоаголник изнесува 18cm, а периметарот на најмалиот правоаголник е 100cm. Колку изнесува плоштината на потрошената хартија?

РЕШЕНИЈА

1. Да го разложиме бројот 7539840 на прости множители.

Од разложувањето на прости множители, одма ги воочуваме двата множители, броевите 11 и 17.

Бројот 7 може да се комбинира само со бројот 2, како би го задоволиле условот на задачата, па третиот баран број е 14.

Ни преостанува на пронајдеме уште три броеви поголеми од 10, а помали од 20 со комбинирање на преостанатите множители, т.е. шест двојки, две тројки и една петка.

Со множење на 5 и 2 добиваме премал број, а со множење на бројот 5 со двете двојки или со двојка и тројка, тогаш ќе добиеме преголем број. Значи бројот 5 мораме да го помножиме со бројот 3, па четвртиот баран број е 15.

Ни преостана да одредиме уште два броеви. Бројот 3 мора да се помножи со точно две двојки, за да добиениот број биде поголем од 10, а помал од 20. Значи, петтиот број е бројот 12.

Ни преостанаа уште четири двојки, па ако ги помножиме ќе го добиеме последниот број, а тоа е 16.

Да провериме:

2. Во една група ќе има четири репрезентации (A, B, C, D) и во таа група ќе се одиграат 6 натпревари (A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D)

Бидејќи има 8 групи, тогаш во групната фаза ќе се одиграат 48 натпревари.

Во понатамошното натпреварување ќе учествуваат 16 репрезентации кои ќе изиграат меѓусебно 8 натпревари. Осум победници повторно ќе изиграат меѓусебно нови 4 натпревари, четири победници уште 2 натпревари и на крајот 2 репрезентации ќе играат финале.

Во втората фаза ќе се одиграат 8 + 4 + 2 + 1 = 15 натпревари.

На светското првенство вкупно ќе се изиграат 63 натпревари.

Ако го разложиме бројот 63 на прости множители ќе добиеме 63 = 3 ∙ 3 ∙ 7. Следува дека бројот 63 може да се запише како 1 ∙ 63, 3 ∙ 21 или 7 ∙ 9. Само последниот производ ги задоволува условите на задачата кои ни кажуваат дека можат да се одиграат 5, но помалку од 10 натпревари во еден град.

Светското првенство може да се организира во 7 градови (во секој по 9 натпревари) или во 9 градови (во секој по 7 натпревари).

3. Во театарот има 12 ∙ 18 = 216 места. Од тоа 96 места останале празни, што значи дека во театарот дошле 216 – 96 = 120 луѓе.

Од кои 5 одделенски раководители и 115 ученици

Ученици по одделенија има:

6_1:х

6_2:х+1

6_3:х+1+2

6_4:х+1+2+3

6_5:х+1+2+3+4

Затоа ако ги собериме сите ќе важи, х+х+1+х+1+2+х+1+2+3+х+1+2+3+4=115

Следува:5 ∙ х + 20 = 115

5 ∙ х = 115 – 20

5 ∙ х = 95

х = 95 : 5

х = 19

Во 6_1 има 19 ученици, во 6_2 има 20 ученици, во 6_3 има 22 ученици, во 6_4 има 25 ученици и во 6_5 има 29 ученици

4. Природен број е делив со 45 ако е делив со 5 и 9

Бројот е делив со 5 ако неговата последната цифра 5 или 0. Бидејќи бројот започнува и завршува со иста цифра, следува дека цифрата а мора да биде 5.

Цифрата d е еднаква на 7 (најголем едноцифрен прост број) па збирот на цифрите во бараниот број е:

5 + b + c + 7 + 5 = 17 + b + c

За да овој број биде делив со 9, тогаш збирот 17 + b + c, мора да биде содржател на 9, т.е b + c може да биде 1 или 10

Бидејќи цифрите a, b, c и d се меѓусебно различни, можни комбинации се:

Па бараните броеви се:

5. Пократката страна на средниот по големина правоаголник изнесува:

18 – 2 ∙ 2 = 18 – 4 = 14cm.

Пократката страна на најмалиот правоаголник изнесува: 14 – 2 ∙ 2 = 14 – 4 = 10cm

Да ја означиме со а должината на подолгата страна на најмалиот правоаголник.

Следува:2a + 2 ∙ 10 = 100

2a = 100 – 20

2a = 80

a = 40cm

Подолгата страна на средниот триаголник е: 40 + 2 ∙ 2 = 44cm,

а подолгата страна на најголемиот триаголник е 44 + 2 ∙ 2 = 44 + 4 = 48cm

Вкупната плоштина на потрошената хартија е:

P = P1 + P2 + P3 = 18 ∙ 48 + 14 ∙ 44 + 10 ∙ 40 = 864 + 616 + 400 = 1880cm2

ЗАДАЧИ_НАТПРЕВАР_4

1. Во едно училиште за натпревар по математика и физика се пријавиле 200 ученици. Некои ученици се пријавиле на натпреварот и по математика и по физика. Колку имало ученици кои се натпреварувале само по математика, а колку само по физика, ако меѓу физичарите секој осми е и математичар, а меѓу математичарите секој тринаесетти е и физичар?

2. На конгрес имало 663 учесници. Предавачите се сместени во двокреветни соби, а останатите во трокреветни. Ако се користени 166 трокреветни соби повеќе од двокреветни, тогаш колку на конгресот имало предавачиа, а колку слушатели?

3. Одреди природен број кој е делив со 17, а при делење со 5, 6, 8 и 9 дава остаток 1 и е поголем од 3000 а помал од 4000.

4. Ако е р прост број, тогаш р + (р + 1) + ... + (р + 2012) + (р + 2013) е сложен број. Докажи

РЕШЕНИЈА

1. Нека со х го означиме бројот на натпреварувачи кои учествувале на двете натпреварувања.

Тогаш со 8х ќе го означиме бројот на натпреварувачи по физика, а со 13х бројот на натпреварувачи по математика.

Понатаму, 13х – х = 12х е бројот на оние кои се само математичари, а 8х – х = 7х е бројот на оние кои се само физичари.

Тогаш имаме, 12х + х + 7х = 200, па х = 10

Према тоа, оние кои се натпреварувале само по математика биле 12х=12∙10=120, а оние кои се натпреварувале само по физика биел 7х = 7 ∙ 10 = 70

2. Сите користени соби може да се поделат во две множества.

Во 1 множество се сите двокреветни соби и еднаков број на трокреветни соби, а

Во 2 множество се оние 166 трокреветни соби повеќе

Во собите од 2 множество се наоѓаат 166 ∙ 3 = 498 слушатели

Во собите од 1 множество се наоѓаат 663 – 498 = 165 учесници (и предавачи и слушатели)

Бидејќи бројот на двокреветни и трокреветни соби во 1 множество се еднакви, тогаш нивниот број е

165 : (2 + 3) = 33

Во нив се сместени 33 ∙ 2 = 66 предавачи и 33 ∙ 3 = 99 слушатели

Понатаму имаме 498 + 99 = 597, па на конгресот имало 66 предавачи и 597 слушатели.

3. Мора прво да најдеме НЗС за 5, 6, 8 и 9, па следува НЗС(5,6,8,9)=360

Бидејќи 3000 = 8 ∙ 360 + 120 и 4000 = 11 ∙ 360 + 40, тогаш броевите 9 ∙ 360, 10 ∙ 360 и 11 ∙ 360 се содржатели на бројот 360 кои се поголеми од 3000 и помали од 4000.

Сега на овие броеви ќе им додадеме 1, бидејќи во условот на задачата вели дека трева да даваат остаток 1.

Според тоа се добиваат броевите 9 ∙ 360 + 1 = 3241, 10 ∙ 360 + 1 = 3601 и 11 ∙ 360 + 1 = 3961 при делење со 5, 6, 8 и 9 даваат остаток 1 и се поголеми од 3000, но помали од 4000.

Но, сега да видиме кој од овие броеви е делив со 17 без остатотк.

Имаме, 3241 = 190 ∙ 17 + 11, 3601 = 211 ∙ 17 + 14 и 3961 = 233 ∙ 17

Според тоа, само последниот број нема остаток при делење со 17, па затоа тој е бараниот број (3961)

4. Даденото равенство можеме да го упростиме на следниот начин

Значи, збирот р + (р + 1) + ... + (р + 2012) + (р + 2013) е делив со 1007, значи е сложен број.

5. Нека е х должината на страната на квадратот

Плоштината за која ќе се намали правоаголникот е еднаква на Р1+Р2+Р3=80cm2 па спрема условот на задачата важи

5 ∙ х + 5 ∙ 2 + 2 ∙ х = 80, од каде следува х = 10

Значи, страните на квадрот се по 10cm, а страните на правоаголникот се 15cm и 12cm.

Периметарот на квадратот е Lk = 4 ∙ x = 4 ∙ 10 = 40cm, а периметарот на правоаголникот е LП = 2 ∙ 15 + 2 ∙ 12 = 54cm.


1. Ивица живее на улица Борис Кидрич број 36. На училиште оди по Борис Кидрич и тоа од онаа страна на која се наоѓаат парните броеви. Училиштето се наоѓа на истата улица на број 168. На патот до училиште Ивица се забавува собирајќи ги броевите од куќите. Колку изнесува вкупниот збир на сите куќни броеви од парната страна од неговата куќа до училиштето (Ивица ги собрал и бројот од неговата куќа и бројот од училиштето)

2. Во зоолошката градина мајмунот Муки за 5 дена изел вкупно 115 банани. Секој ден јадел по 6 банани повеќе од претходниот ден. Колку банани изел петтиот ден? Ако продолжи да јаде банани со тоа темпо, тогаш колку банани ќе изеде десеттиот ден?

3. Одреди ги непознатите цифри од броевите и , така што да важи .

4. Најди ги сите природни броеви m и n, за кои важи НЗД(m,n)=8, а НЗС(m,n)=168

5. Пресметај ја плоштината на сивите квадратни спирали од сликата (1cm е растојанието помеѓу краците)

РЕШЕНИЈА

1. Збирот на сите броеви од парната страна од дома до училиште е:

(се собираат двата редови)

Значи:

Вкупниот збир на сите броеви од куќите на парните страни од дома до училиште е 6834.

2. 1 ден: х банинани

2 ден: х+6 банани

3 ден: (х+6)+6=х+12 банани



х+х+6+х+12+х+18+х+24=115

5х=115-60

5х=55

х=55:5

х=11 банани

Петтиот ден Муки изел 11 банани

Десеттиот ден ќе изеде 11+(10-1)∙6=11+54=65 банани.

3. Од еднаквоста , следува дека бројот е делив со 18

Бидејќи 18:2=9, тогаш и бројот е делив со 2 и 9

Поради деливоста со 2, следува: b={0,2,4,6,8}

Поради деливоста со 9, следува:

За b=0, a=6

За b=2, a=4

За b=4, a=2

За b=6, a={0,9}

За b=8, a=7

Бидејчи 646020:18=35890, 644022:18=35779, 642024:18=35668, 640026:18=35557, 649026:18=36057 и 647028:18=35946, тогаш a=0, b=6, c=5, d=7

4. Да претпоставиме дека m=8∙a и n=8∙b, пришто НЗД(а,b)=1

Бидејчи за секои два природни броеви m и n, важи: m∙n=НЗД(m,n)∙НЗС(m,n), тогаш следува еднаквоста:

m∙n=8∙168

Со замена на m=8∙a и n=8∙b се добива еднаквоста

8∙a∙8∙b=8∙8∙21, односно a∙b=21

Како е a∙b=21=1∙21=3∙7, следува дека броевите a и b можат да бидат само овие парови на броеви (1,21) и (3,7)

Конечно за m и n ги имаме овие решенија:

а). m=8∙a=8∙1=8 и n=8∙b=8∙21=168, па решението е (8,168) и

б). m=8∙a=8∙3=24 и n=8∙b=8∙7=56, па решението е (24,56)

5. Од сликата заклучуваме дека ширината на краковите од спиралата (сивите делови) е 1cm

Кавдратната спирала можеме да ја поделиме на правоаголници

Така барана плоштина на спиралата е еднаква на збирот од плоштините на правоаголниците


1. Одреди ги сите шестоцифрени броеви со облик така да збирот биде делив со 6?

Решение: 320118, 620118, 920118.

2. Maртина имала повеќе од 202 денари, а помалку од 303 денари и сумата која ја имала е делива со 15. Ако дневно би трошела или по 18 денари или по 24 денари, би и останало 12 денари. Колку пари имала Мартина?

РЕШЕНИЕ: 300 денари.

3. Четирицифрен природен број има цифра единци 4, а ако му ја изоставиме таа цифра од единици, тогаш бројот ќе се намали за 2011. Кој е тој четирицифрен број? РЕШЕНИЕ: 2234.

4. Размести ги сите природни броеви од 101 до 140 (со се него) во четири групи по десет броеви, така да збировите на броевите во сите групи да биде еднаков. Објасни ја постапката. Напиши едно решение.

РЕШЕНИЕ:

5. Зададен е квадрат ABCD на кој плоштината му е еднаква на 144cm2. На страните и се одберени точки M и N, така да и . Колку изнесува плоштината на триаголникот AMN?

РЕШЕНИЕ: P=60cm2.

6. Збирот на 40 последователни природни броеви е 1940. Кои се тие броеви? РЕШЕНИЕ: 29, 30, 31, 32, ... 68.

7. При делење на бројот 2010 со некој двоцифрен број се добива остаток 15. Колку има такви двоцифрени броеви? РЕШЕНИЕ: Има 5 такви двоцифрени броеви.

8. Постојат ли прости броеви p и q, такви што да е 3p+5q=67? РЕШЕНИЕ: Бараните прости броеви се: p=19, q=2.

9. Правоаголник е поделен на осум квадрати. Ако периметарот на најмалиот квадрат е 2cm, тогаш колку изнесува плоштината на правоаголникот? РЕШЕНИЕ: P=20cm2.

РЕШЕНИЈА

1. Собирокот 2010 е делив со бројот 6, па за да дадениот збир биде делив со 6, тогаш мора и собирокот да биде делив со 6.

Природен број е делив со 6 ако е делив и со 2 и со 3

Природниот број е делив со 2 ако последната цифра му е 0, 2, 4, 6 или 8

Значи, постојат 5 можности: b=0,2,4,6 или 8

1 можност. b=0

Aко бројот е од облик , тогаш збирот на цифрите а+4 поради условот да е делив со 3 следува дека а може да биде 2, 5 или 8

Броевите кои ги задволуваат наведените својства се: 220110, 520110 и 820110













2. Нека со n ја означиме сумата на пари која ја имала Мартина

Тогаш n=k∙НЗС(18,24)+2; kN

Бидејќи НЗС(18,24)= 72 и 220

Бидејќи 15=3∙5, тогаш сумата n треба да бидел делива и со бројот 3 и со бројот 5

Бројот 228 не е делив ни со бројот 3 ни со бројот 5, а бројот 300 е делив и со бројот 3 и со бројот 5.

Значи Мартината имала 300 денари

3. Нека бараниот трицифрен број е од облик

Toгаш од условите на задачата следува

Бараното својство го има бројот 2234

4. Збирот на броевите во секоја група ќе биде

Како е:

Следува дека постојат 20 такви парови на броеви, за секоја од четирите групи треба да се одберат по 5 парови на броеви:

На пример:

1 група

2 група

3 група

4 група

5. Скица

Ако плоштината на квадратот е 144cm2, тогаш должината на страната е 12cm.

Според условите на задачата важи:

и

Плоштината Р на триаголникот AMN ќе го пресметаме така што од плоштината на квадратот ќе го одземеме збирот од плоштините на правоаголните триаголници ABM, MCN и AND, па ќе добиеме:

Конечно, плоштината на триаголникот е P=60cm2.

6. Нека најмалиот баран број е n. Така сите барани броеви можеме да ги запишеме како: n, n+1, n+2, n+3, … n+39

Нивниот збир е n+n+1+n+2+n+3+n+4+ … + n+39=1940

Бараните броеви се: 29, 30 , 31, 32, ..., 68

7. Бидејќи при делењето на бројот 2010 со некој двоцифрен број се добива остаток 15, тогаш бројот

2010-15=1995 е делив со тој двоцифрен број

Бидејќи 1995=3∙5∙7∙19

Бараните броеви се:

а). 3∙7=21

б). 3∙19=57

в). 5∙7=35

г). 5∙19=95

д). 19

Такви двоцифрени броеви има 5

8. Кога би биле и p и q парни броеви, тогаш и 3р и 5q би биле парни броеви, па и 3p+5q би бил парен број. Бидејќи 67 е непарен број , тога значи дека p и q имаат различна парност.

За р=2 вреди 3∙2+5q=67 односно 5q=61 па равенката нема решение

За q=2 вреди 3р+5∙2=67 односно35р=57 па р=19

Бараните броеви се р=19 и q=2

9. Периметарот на најмалиот квадрат е 2cm па должината на неговата страна е .

Тоа значи дека должината на страната на поголемиот квадрат е .

Збирот на должините од двете страни на најголемиот квадрат е еднаков на збирот од должините на стрите страни од средниот квадрат и една страна од најмалиот квадрат па изнесува 5cm.

Значи, должината на страната од најголемиот квадрат е .

Исто така, должината на правоаголникот е 5cm.

Ширината на правоаголникот е збир од должината на една страна од најголемиот квадрат и една страна од средниот квадрат, па изнесува 4cm.

Поради тоа плоштината на правоаголникот е 20cm2.

ЗАДАЧИ_7

1. Збирот на 31 последователни природни броеви е за 2010 поголем од средниот (16 по големина) од тие броеви. Кој од нив е најголем?

2. Најголемиот заеднички делител на три различни броеви е 12, а нивниот збир е 108. Одреди ги тие броеви (сите можни решенија)

3. Денес Марко, Аце и Виктор имаат вкупно 22 години. За неколку години, кога Аце ќе има години колку што денес има Марко, збирот на годините на сите тројца ќе биде 28. Повторно, после неколку години, кога Аце ќе има години колку Виктор денес, збирот на годините на сите тројца ќе биде 37. Колку години имаат Аце, Марко и Виктор денес?

4. Ако 1600 го поделиме со некој број, ќе добиеме остаток 1, а ако 1450 го поделиме со истиот број, ќе добиеме остаток 7. Кој количник го добиваме во првиот, а кој во вториот случај?

5. Марко и Кире имаат еднакви листови на хартија во облик на правоаголник. Секој од нив го исекол својот лист на два еднакви правоаголници. Марко добил два правоаголници со периметар 60cm, а Кире добил два правоаголници со периметар 75cm. Колку изнесува периметарот на почетниот лист хартија?

Решенија

1. Нека х е најмалиот број од низата. Тогаш важи

Тоа е низата на броеви:52, 53, 54, ..., 82

Најголемиот број од низата е 82.

2. Нека x, y и z се бараните броеви, да претпоставиме дека важи x

Бидејќи 12 е најголемиот заеднички делител на тие броеви, тогаш следува дека сите се деливи со 12, па можат да се запишат во облик

x=12a, y=12b, z=12c, каде што а, b и c се меѓусебно различни броеви и a

Бидејќи збирот на бараните броеви изнесува 108, тогаш важи x+y+z=108, односно 12a+12b+12c=108. Со примена на дистрибутивното својство на множењето во однос на собирањето, следува 12(a+b+c)=108, па после делењето со 12 следува a+b+c=9

Сите можни решенија се:

I можност.a=1, b=2, c=6Бараните броеви се 12, 24 и 72

II можност.a=1, b=3, c=5Бараните броеви се 12, 36 и 60

III можност.a=2, b=3, c=4Бараните броеви се 24, 36 и 48

3. Бидејќи за х години на секој од нив бројот на годините му се зголемува за х, следува 22+3x=28. Од ова следува х=2

За 2 години Аце ќе има онолку години колку што има Марко денес

Исто така за следното зголемување важи 22+3y=37, a решението е y=5.

За 5 години Анте ќе има онолку години колку што Виктор има денес.

Виктор е најстар, па Марко и најмлад е Аце.

Ако со а ги означиме бројот на годините од Аце денес, Марко кој е 2 години постар од Аце има а+2 години, а Виктор кој е 5 години постар од Аце има а+5 години.

Тогаш важи: a+a+2+a+5=22, следува дека а=5

Аце денес има 5 години, Марко 7, а Виктор 10 години

4. Нека х е првиот количник, а у вториот количник

Тогаш важи 1600=n∙x+1, односно 1450=n∙у+7

Понатаму, n∙x=1599 односно n∙у=1443

Поради тоа, n ќе биде заеднички делител на броевите 1599 и 1443

Заеднички делители на броеви 1599 и 1443 се: 1, 3, 13 и 39, а бидејќи n>7, следува n{13,39}

За n=13, важи x=123, y=111

За n=39, важи x=41, y=37

5. Марко и Кире ги поделиле правоаголниците на следниот начин

МаркоКире

Нека AB=a, BC=b

Ако ги собереме периметрите на правоаголниците AEFD и EFCB, тогаш ќе добиеме збир за 2EF=2b поголем од периметарот на правоаголникот ABCD.

Ако ги собереме периметрите на правоаголниците ABMN и NMCD, тогаш ќе добиеме збир за 2NM=2a поголем од периметарот на правоаголникот ABCD.

Значи со собирање на периметрите на 4 помали правоаголници ќе добиеме збир кој одговара на тродуплиот периметар L на почетниот правоаголник ABCD.

Значи, важи 3∙L=60+60+75+75=270, односно L=90cm

Периметарот на почетниот лист е 90cm.

Documents

matematikafizikahome.files.wordpress.com€¦ · Web view2019. 2. 18. · Ако 1 бомбониера кошта како 3 чоколади, тогаш заклучуваме