Embed Size (px)
Citation preview
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Bài toán 1: Bài toán lập kế hoạch sản xuất.Ví dụ 1: Một hộ ở Bát Tràng sản xuất 2 loại sản phẩm là bát và lọ hoa. Để sản
xuất một chiếc bát cần 0,5 kg đất cao lanh và một giờ để làm, đem lại mức lãi 4000 đồng; Để sản xuất một lọ hoa cần 1kg đất cao lanh và 0,5 giờ để làm, đem lại mức lãi 3000 đồng. Với lượng nguyên liệu là 50kg và thời gian 70 giờ thì phải sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để thu được tổng số tiền lãi cao nhất ?
Hướng dẫn: Gọi x, y lần lượt là số bát và lọ hoa cần sản xuất để thu được nhiều tiền nhất(x≥ 0, y≥ 0). Khi đó số tiền thu được là : f (x;y) = 4000x + 3000y (đồng) Số lượng nguyên liệu sản xuất bát và lọ hoa là : 0,5x + y Thời gian sản xuất tương ứng là : x + 0,5y Với lượng nguyên liệu là 50 kg và thời gian 70 giờ nên ta có hệ bất phương trình:
{0,5 x+ y ≤ 50x+0,5 y ≤ 70
x≥ 0y≥ 0
⇔ {x+2 y≤ 1002 x+ y≤ 140
x≥ 0y ≥0
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)
GỐM SỨ BÁT TRÀNG
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC ( kể cả biên). Hàm số f(x,y) = 4000x + 3000y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi (x,y) là tọa độ một trong các đỉnh O(0,0) , A(0,50), B( 60,20), C(70,0). Mà ta có : f(0,0) = 0; f(0,50) = 150000; f(60,20) = 300000; f(70,0) = 280000 Suy ra f(x,y) lớn nhất khi (x,y) = (60,20). Do đó cần sản xuất 60 chiếc bát và 20 lọ hoa thì tổng tiền lãi cao nhất.
Ví dụ 2: Xí nghiệp Ladoda ở Kiêu Kị sản xuất hai loại sản phẩm bằng da là cặp sách và ba lô. Một chiếc cặp sách sản xuất mất 2 giờ và lãi 20 000 đồng; Một chiếc ba lô sản xuất mất 1 giờ và lãi 15 000 đồng. Biết xí nghiệp có 125 công nhân, mỗi công nhân làm việc 8 giờ/ ngày. Nguyên liệu da đủ để sản xuất 800 sản phẩm mỗi ngày và trong mỗi ngày chỉ có 400 khóa cặp, 700 khóa ba lô. Tìm số sản phẩm mỗi loại phải sản xuất trong 1 ngày để có lãi nhiều nhất.
Hướng dẫn: Gọi x, y lần lượt là số cặp sách và ba lô mà xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày
(x, y ≥ 0).Gọi số tiền lãi xí nghiệp thu được là f(x; y) thì:
f(x; y)= 20000x + 15000y ( đồng).Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình:
{ x+ y ≤ 8002x+ y ≤125.8(¿)
0 ≤ x≤ 4000≤ y≤ 700
⇔ { x+ y≤ 8002 x+ y≤ 1000(¿)
0 ≤ x ≤ 4000 ≤ y ≤700
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ (*).
LADODA- KIÊU KỊ- VĂN GIANG- HƯNG YÊN
Miền nghiệm của hệ (*) là đa giác OABCDE (cả kể biên). Hàm số f(x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0; 0),
A(400; 0), B(400; 200), C(200 ;600 ¿ , D( 100; 700), E(0, 700).Ta có: f(0; 0) = 0. f(400; 0) = 8 000 000.f(400; 200) = 11 000 000.f(200; 600) = 13 000 000.f(100; 700) = 12 500 000.f(0; 700) = 10 500 000.Suy ra: f(200; 600) là giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của
hệ (*).Như vậy xí nghiệp cần sản xuất 200 cặp sách và 600 ba lô trong 1 ngày để có
lãi nhiều nhất.Bài toán 2:Bài toán nông nghiệp.Ví dụ 1: Một hộ nông dân ở Mễ Sở định trồng táo và trồng ổi trên diện tích 8
sào (1 sào bắc bộ = 360 m2 ). Nếu trồng táo thì cần 20 công và thu được
3 000 000 đồng trên mỗi sào, nếu trồng ổi thì cần 30 công và thu 4 000 000 đồng
trên mỗi sào. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được
nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180.
Hướng dẫn:
Gọi x,y lần lượt là diện tích trồng táo và trồng ổi tính theo đơn vị sào (x;y≥0). Giả sử L(x;y) là số tiền lãi thu được thì L(x;y)=3x+4y (triệu đồng). Tổng số công trồng táo và ổi là 20x+30y.
Khi đó (x;y) phải thỏa mãn hệ bất phương trình:
{ x+ y ≤ 820 x+30 y ≤180
x≥ 0y ≥ 0
⇔ { x+ y ≤82 x+3 y ≤18
x≥ 0y ≥ 0
(I).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của L(x;y) trong miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).
MỄ SỞ- VĂN GIANG- HƯNG YÊN
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC kể cả các cạnh OA,AB,BC,CO. Ta có L(x;y) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh O(0,0), A(8,0), B(6,2), C(0,6). Ta có L(0;0) = 0 L(0;6) = 24
L(8;0) = 24 L(6;2) = 26. Vậy cần trồng 6 sào táo và 2 sào ổi để có lãi suất lớn nhất.
Ví dụ 2: Một hộ nông dân ở Liên Nghĩa - Văn Giang định trồng quất cảnh và cam cảnh trên diện tích 3 sào (1 sào bắc bộ = 360m2 ). Nếu trồng quất thì cần 20 công và thu được 50 triệu đồng trên 1 sào, nếu trồng cam cảnh thì cần 30 công và thu được 60 triệu đồng trên 1 sào. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất ? Biết rằng tổng số công không quá 80.
Hướng dẫn:Gọi x, y lần lượt là diện tích (số sào) mà hộ nông dân sử dụng để trồng quất
cảnh và cam cảnh ( x ≥ 0; y ≥ 0).Tổng số công dùng để trồng x sào quất cảnh và y sào cam cảnh là: 20x + 30y.
Gọi số tiền hộ nông dân thu được là f(x; y) thì f(x; y)= 50x + 60y (triệu đồng).Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình:
{ x+ y ≤ 320 x+30 y ≤80
x≥ 0y ≥ 0
⇔ { x+ y≤ 32 x+3 y≤ 8
x ≥ 0y ≥0
(*)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ (*).
LIÊN NGHĨA- VĂN GIANG- HƯNG YÊN
Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác OABC (cả kể biên). Hàm số f(x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0; 0), A(3; 0), B(1; 2),
C(0 ; 83¿.
Ta có: f(0; 0) = 0. f(3; 0) = 150 ( triệu đồng).f(1; 2) = 170 ( triệu đồng).f(3; 0) = 150 ( triệu đồng).Suy ra: f(1; 2) là giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ
(*).Như vậy hộ nông dân cần trồng 1 sào cây quất cảnh và 2 sào cây cam cảnh để
thu được nhiều tiền nhất.Bài toán 3 :Bài toán nội trợ.Ví dụ: Trong một cuộc thi về “Nữ công gia chánh” ở trường Dương Quảng
Hàm, ban tổ chức yêu cầu sử dụng nguyên liệu bắt buộc là thịt heo và sườn heo để
chế biến một mâm cỗ. Mâm cỗ cần ít nhất 1800 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit
để đảm bảo lượng dinh dưỡng. Mỗi kg thịt heo chứa 1 600 đơn vị protein và 400
đơn vị lipit, mỗi kg sườn chứa 1 200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit. Biết rằng
1kg thịt heo giá 80 000 đồng, 1kg sườn giá 120 000 đồng và chỉ được mua tối đa 2
kg thịt heo và 1,5 kg sườn.
Phần thắng sẽ thuộc về đội nào chế biến được mâm cỗ đảm bảo chất dinh
dưỡng và chi phí bỏ ra ít nhất.
Hướng dẫn:
Gọi x và y lần lượt là số kg thịt heo và số kg sườn heo mà mỗi đội mua (0 ≤ x≤ 2;0≤ y≤ 1,5¿. Khi đó chi phí để mua số thịt và sườn trên là : f ( x , y )=80 x+120 y ¿nghìn đồng). Suy ra số protein và số đơn vị lipit lần lượt là 1600x+1200y đơn vị và 400x+800y đơn vị. Do mỗi mâm cỗ cần ít nhất 1800 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên ta có hệ bất phương trình sau:
{1600 x+1200 y ≥1800400 x+800 y ≥ 800
0 ≤ x ≤20≤ y≤ 1,5
⇔{8 x+6 y≥ 9x+2 y≥ 20≤ x≤ 2
0≤ y ≤ 1,5
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)
THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác ABCD (kể cả biên). Hàm số f(x,y) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi (x,y) là tọa độ một trong số các đỉnh A(0,6 ;0,7), B( 2 ; 0), C(2 ;1,5), D(0 ;1,5).
Mà ta có :f(0,6 ;0,7)= 132f(2 ;0)=160 f(2 ;1,5)=340f(0 ;1,5)=180
Suy ra f(x,y) nhỏ nhất khi (x,y)= (0,6 ;0,7). Do đó gia đình này cần phải mua 0,6 kg thịt heo và 0,7 kg sườn heo để số tiền bỏ ra là ít nhất.
Bài toán 4: Bài toán vận tải
Công ty Nam Châm Việt Nam cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng.
Nơi thuê xe có 2 loại xe Daewoo và Hyundai, trong đó loại xe Daewoo có 10 chiếc
và loại xe Hyundai có 9 chiếc. Một chiếc xe loại Daewoo cho thuê với giá 4 triệu
đồng, một chiếc xe loại Hyundai cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe
loại Daewoo có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi xe loại Hyundai có
thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Hỏi công ty phải thuê bao nhiêu xe mỗi
loại để chi phí bỏ ra là ít nhất?
Hướng dẫn:
Gọi x và y lần lượt là số xe Daewoo và Hyundai cần thuê. Khi đó số tiền cần bỏ ra để thuê xe là f(x,y) = 4x+3y ( triệu đồng).
Ta có số xe Daewoo sẽ chở được 20x người và 0,6x tấn hàng ; y xe Hyundai sẽ chở được 10y người và 1,5y tấn hàng. Suy ra x xe Daewoo và y xe Hyundai sẽ chở được 20x+10y người và 0,6x+1,5y tấn hàng. Ta có hệ bất phương trình sau :
{20 x+10 y ≥1400,6 x+1,5 y ≥ 9
0≤ x ≤100 ≤ y≤ 9
⇔{ 2 x+ y ≥ 142 x+5 y≥ 30
0 ≤ x≤ 100≤ y ≤ 9
(¿)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác ABCD (kể cả biên).Hàm số f(x)=4x+3y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất
phương trình (*). Khi (x,y) là tọa độ một trong các đỉnh A(5,4), B(10,2), C(10,9), D(2 ,5 ; 9).
Ta có : f(5,4)=32 ; f(10,2)=46 ;f(10,9)=67 ;f(2 ,5 ; 9)=37
Suy ra f(x,y) nhỏ nhất khi (x,y)=(5 ;4). Như vậy để chi phí vận chuyển thấp nhất cần thuê 5 xe Daewoo và 4 xe Hyundai.
Bài toán 5: Bài toán pha chế (Đề dự bị kì thi THPTQG năm 2015)
Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương
liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít
nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước táo
cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm
thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít
nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất?
A. 7 lít nước cam.
B. 6 lít nước táo.
C. 4 lít nước cam, 5 lít nước táo .
D. 6 lít nước cam, 3 lít nước táo.
Hướng dẫn:
Gọi x,y lần lượt là số lít nước cam và nước táo cần pha chế (x ;y≥0).Giả sử f(x ;y) là số điểm thưởng nhận được thì f(x ;y) = 60x+80y (điểm).Ta có lượng đường cần dùng là : 30x+10y (g).Lượng nước cần dùng là :x+y (lít).Lượng hương liệu cần dùng là : x+4y (g)
Ta có (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trinh :{30 x+10 y ≤210x+ y ≤ 9
x+4 y ≤ 24x , y ≥ 0
⇔ {3 x+ y ≤ 21x+ y ≤ 9
x+4 y≤ 24x , y≥ 0
(I)
Bài toán trở thành tính giá trị lớn nhất của f(x ;y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD với O(0,0),A(0 ;6), B(4,5), C(6,3), D(7,0) và f(x ;y) nhận giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác.Ta có :f(0 ,6)=480. f(6,3)=600.
f(4,5)=640. f(7,0)=420. f(0,0)=0.
Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo để có số điểm thưởng lớn nhất.
Chọn đáp án C.
Bài toán 6: Bài toán chăn nuôi
Một hộ nông dân ở Đông Tảo có diện tích chuồng nuôi không quá 300 con gà
và con vịt. Mỗi con gà khi bán lãi 60 000 đồng. Mỗi con vịt khi bán lãi
40 000 đồng. Mỗi con gà đến khi bán thịt ăn hết 18 kg cám viên. Mỗi con vịt đến
khi bán thịt ăn hết 8 kg cám viên. Hỏi hộ nông dân đó cần nuôi bao nhiêu con gà
và con vịt sao cho số tiền lãi là lớn nhất, biết đại lí cám cung cấp vốn bằng cách
cho nợ không quá 4 000 kg cám.
Hướng dẫn:
Gọi x và y lần lượt là số con gà và con vịt mà hộ nông dân nuôi.
(0≤ x≤ 300 ,0 ≤ y ≤300 , x , y∈N ).
Khi đó số tiền lãi mà hộ nông dân thu được là:
f(x,y)=60x+40y (nghìn đồng)
Số kg cám cần dùng là: 18x+8y.
Ta có hệ bất phương trình:
{ x+ y≤ 30018 x+8 y ≤ 4000
0 ≤ x≤ 300 , x∈N0≤ y ≤ 300 , y∈N
{ x+ y≤ 3009 x+4 y ≤2000
0≤ x≤ 300 , x∈N0 ≤ y ≤ 300 , y∈N
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của
hệ bất phương trình (*):
ĐÔNG TẢO- KHOÁI CHÂU- HƯNG YÊN
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).
Hàm số f(x,y)=60x+40y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất
phương trình (*) khi (x,y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0 ; 0),
A( 20009
; 0), B(160 ; 140), C(0 ; 300).
Ta có f(0; 0)=0
f(20009
;0)= 13333
f(160; 140)= 15200
f (0; 300) =12000
Suy ra f(160,140) là giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của
hệ bất phương (*).
Vậy hộ nông dân cần nuôi 160 con gà và 140 con vịt để được số tiền lãi lớn
nhất.
Bài toán 7: Bài toán xây dựng
Công ty Vinaconex muốn đầu tư xây dựng một khu chung cư gồm hai loại
phòng là phòng chung cư cao cấp và phòng chung cư bình dân. Một phòng chung
cư cao cấp lãi 20 triệu đồng, một phòng chung cư bình dân lãi 15 triệu đồng. Trong
công ty có 3 nhóm thợ chính quyết định đến tiến độ xây dựng là: Thợ xây có 400
công, thợ sắt có 300 công, thợ ốp có 180 công. Định mức lao động của công ty
được cho trong bảng sau:
Nhóm thợ Định mức lao động
Chung cư cao cấp Chung cư bình dân
Thợ xây 20 10
Thợ sắt 20 5
Thợ ốp 6 5
Hỏi công ty nên xây bao nhiêu phòng mỗi loại để thu được lợi nhuận là cao nhất ?
Hướng dẫn:Gọi x,y lần lượt là số phòng chung cư cao cấp và chung cư bình dân (x,y ≥ 0).Ta có (x;y) là nghiệm của hệ bất phương trình:
{20 x+10 y ≤ 40020 x+5 y ≤ 3006 x+5 y ≤ 180
x≥ 0y≥ 0
⇔{2 x+ y ≤ 404 x+ y≤ 60
6 x+5 y ≤180x≥ 0y ≥ 0
(I)
Gọi f(x;y) là lợi nhuận thu được thì f(x;y)=20x+15y (triệu đồng).Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trong miền nghiệm của hệ
bất phương trình (I).Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là tam giác OABCD (kể cả các
cạnh) trong đó O(0; 0); A(15; 0), B(10; 20); C(5; 30), D(0; 36)Khi đó f(x;y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình
khi (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh O,A,B, C, D.
Ta có:f(0;0) = 0.f(15; 0) = 300.f(10; 20) =500.f(5; 30)=550f(0; 36) = 540Vậy công ty nên xây 5 phòng chung cư cao cấp và 30 phòng chung cư bình
dân thì lợi nhuận thu được là cao nhất.c) Bài tập đề nghị
Ví dụ 1: Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A
và vitamin B đối với cơ thể người. Theo đó một người mỗi ngày có thể tiếp nhận
được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B; một
người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. Do tác động phối
hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày số đơn vị vitamin B không ít hơn 12 số đơn vị
vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. Giá của một đơn vị
vitamin A là 9 đồng, giá của một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Hỏi cần chi ít nhất
bao nhiêu tiền mỗi ngày để dùng đủ cả hai loại vitamin trên.
A.3400 đồng.
B.3150 đồng.
C.7650 đồng.
D.4350 đồng.
Ví dụ 2: Cả 3 nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I, II.
Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm
khác nhau. Số máy trong một nhóm của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một
đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Nhóm Số máy trong
mỗi nhóm.
Số máy trong từng nhóm để sản
xuất ra một đơn vị sản phẩm.
Sản phẩm I. Sản phẩm II.
A 10 2 2
B 4 0 2
C 12 2 4
Một đơn vị sản phẩm I lãi 30 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 50 nghìn
đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất:
A. 6 sản phẩm loại I.
B. 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II
C. 2 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II.
D. 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II.
Ví dụ 3: Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái
bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ
mộc có thể làm 40 giờ/tuần và tốn 6 giờ để làm một cái bàn, 3 giờ để làm một cái
ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp 3 lần số bàn.
Một cái bàn chiếm chỗ bằng 4 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn
trên tuần. Hỏi trong ba tuần người thợ mộc phải sản xuất như thế nào để số tiền lãi
thu về là lớn nhất ?
A. Sản xuất 16 cái bàn và 48 cái ghế trong 7 tuần.
B. Sản xuất 4 cái bàn và 32 cái ghế trong 3 tuần.
C. Sản xuất 1 cái bàn và 10 cái ghế trong 1 tuần.
D. Sản xuất 40 cái ghế trong 3 tuần.
Ví dụ 4: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Để sản xuất mỗi kg loại I cần
2 kg nguyên liệu và 30 giờ; để sản xuất mỗi kg loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15
giờ. Xưởng sản xuất này có 200 kg nguyên liệu và có thể hoạt động trong 50 ngày
liên tục biết rằng mỗi kg sản phẩm loại I thu lợi nhuận 40 nghìn đồng, mỗi kg sản
phẩm loại II thu lợi nhuận 30 nghìn đồng. Hỏi nên sản xuất mỗi loại bao nhiêu sản
phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
A. 20 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II.
B. 50 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II..
C. 80 sản phẩm loại II.
D. 40 sản phẩm loại I.
Ví dụ 5: Một cơ sở sản xuất dự định sản xuất ra hai loại sản phẩm A và B.
Các sản phẩm này được chế tạo ra từ 3 loại nguyên liêụ I, II, III. Số lượng đơn vị
dự trữ của từng loại nguyên liệu và số lượng đơn vị từng loại nguyên liệu cần để
sản xuất ra một đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho tương ứng trong bảng sau:
Loại
nguyên
liệu.
Nguyên liệu
dự trữ mỗi
loại.
Số đơn vị cần dùng cho việc sản
xuất một đơn vị sản phẩm.
Sản phẩm A. Sản phẩm B.
I 18 2 3
II 30 5 4
III 25 1 6
Mỗi đơn vị sản phẩm A lãi 300 nghìn đồng, mỗi đơn vị sản phẩm B lãi 200
nghìn đồng. Hãy cho biết với kế hoạch sản xuất như thế nào thì số tiền lãi thu được
là lớn nhất:
A. Sản xuất 18 sản phẩm A và 30 sản phẩm B trong vòng 7 tuần.
B. Sản xuất 80 sản phẩm A và 95 sản phẩm B trong vòng 26 tuần.
C. Sản xuất 33 sản phẩm A và 32 sản phẩm B trong vòng 9 tuần.
D. Sản xuất 32 sản phẩm A và 33 sản phẩm B trong vòng 9 tuần.
Ví dụ 6: Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc
lập. Radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày,
radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày. Để sản
xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc radio kiểu
hai cần 9 linh kiện. Tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu một là 250 nghìn đồng,
tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu hai là 180 nghìn đồng. Hãy lập kế hoạch sản
xuất sao cho số tiền lãi thu được là nhiều nhất. Biết rằng số linh kiện có thể sử
dụng tối đa trong một ngày là 900.
A. Sản xuất 15 radio kiểu một và 80 radio kiểu hai.
B. Sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai.
C. Sản xuất 45 radio kiểu một.
D. Sản xuất 80 radio kiểu hai.
Ví dụ 7: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm ký hiệu là A và B. Một tấn sản phẩm loại A lãi 2 triệu đồng, một tấn sản
phẩm loại B lãi 3 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A phải dùng máy M1 trong 2 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy M2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu?
A. 8 triệu đồng.B. 12 triệu đồng.C. 6 triệu đồng.D. 10 triệu đồng.Ví dụ 8: Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 100
kg chất A và 9 kg chất B. Từ một tấn nguyên liệu loại I giá 5 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20 kg chất A. Từ một tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 1,5 kg chất B. Mỗi kg chất A có giá 0,5 triệu đồng, mỗi kg chất B có giá 5 triệu đồng. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để lợi nhuận thu về là lớn nhất? Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 8 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II.
A. 5 tấn nguyên liệu loại I và 6 tấn nguyên liệu loại II.B. 5 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II.C. 8 tấn nguyên liệu loại I và 6 tấn nguyên liệu loại II.D. 8 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II.Ví dụ 9: Một máy cán thép có thể sản xuất hai sản phẩm thép tấm và thép
cuộn (một máy không thể sản xuất hai loại thép cùng lúc và có thể làm việc 40giờ/tuần). Công suất sản xuất thép tấm là 250 tấn/ giờ, công suất sản xuất thép cuộn là 150 tấn/ giờ. Mỗi tấn thép tấm có giá 25 USD, mỗi tấn thép cuộn có giá 30 USD. Biết rằng mỗi tuần thị trường chỉ tiêu thụ tối đa 5000 tấn thép tấm và 3500 tấn thép cuộn. Hỏi cần sản xuất bao nhiêu tấn thép mỗi loại để lợi nhuận thu được là cao nhất.
A. 5000 tấn thép tấm và 3000 tấn thép cuộn. B. 4500 tấn thép tấm và 3500 tấn thép cuộn.C. 3500 tấn thép tấm và 2000 tấn thép cuộn.D. 5000 tấn thép tấm và 3500 tấn thép cuộn.Ví dụ 10: Một hộ nông dân định trồng cà phê và ca cao trên diện tích 10 ha.
Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu về 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng ca cao thì cần 30 công và thu về 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần
trồng mỗi loại cây trên vơi diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất. Biết rằng số công trồng cà phê không vượt quá 100 công, và số công trồng ca cao không vượt quá 180 công.
A. 10 ha cà phê.B. 5 ha cà phê và 6 ha ca cao.C. 4 ha cà phê và 6 ha ca cao.D. 6 ha cà phê và 4 ha ca cao. Ví dụ 11: Công ty vàng bạc đá quý Minh Châu trong một tháng cần sản xuất
ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn cacbon loại I ( giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 6 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn cacbon loại II (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 2 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ có giá 10 triệu đồng. Hỏi trong một tháng công ty này thu về được nhiều nhất bao nhiêu tiền. Biết rằng mỗi tháng chỉ có thể sử dụng tối đa 4 tấn cacbon mỗi loại.
A. 200 triệu đồng.B. 280 triệu đồng.C. 150 triệu đồng.D. 110 triệu đồng.Ví dụ 12: Để sản xuất một sản phẩm loại A cần 2 đơn vị nguyên liệu loại I và
4 đơn vị nguyên liệu loại III. Để sản xuất một sản phẩm loại B cần 1 đơn vị
nguyên liệu loại I và 2 đơn vị nguyên liệu loại II:
Số đơn vị nguyên liệu loại I hiện có là 12.
Số đơn vị nguyên liệu loại II hiện có là 12.
Số đơn vị nguyên liệu loại III hiện có là 16.
Mỗi sản phẩm loại A lãi 400 000 đồng.
Mỗi sản phẩm loại B lãi 700 000 đồng.
Hỏi phải sản xuất mấy sản phẩm loại A, mấy sản phẩm loại B để có mức lãi
cao nhất ?
A. Sản xuất 3 sản phẩm A và 3 sản phẩm B.
B. Sản xuất 3 sản phẩm A và 5 sản phẩm B.
C. Sản xuất 3 sản phẩm A và 6 sản phẩm B.
D. Sản xuất 6 sản phẩm A và 3 sản phẩm B.
Ví dụ 13: Một công ty sản xuất hai loại sơn nội thất và sơn ngoài trời. nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại A, B với trữ lượng là 6 tấn và 8 tấn tương ứng. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần 2 tấn nguyên liệu A và 1 tấn nguyên liệu B. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần 1 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B. Qua điều tra thị trường công ty biết rằng nhu cầu sơn nội thất không hơn sơn ngoài trời quá 1 tấn , nhu cầu cực đại của sơn nội thất là 2 tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là 2000 USD, giá bán một tấn sơn ngoài trời là 3000 USD.
Hỏi cần sản xuất mỗi loại sơn bao nhiêu tấn để có doanh thu lớn nhất ?A. Sản xuất 2 tấn sơn nội thất và 2 tấn sơn ngoài trời .
B. Sản xuất 2 tấn sơn nội thất và 1 tấn sơn ngoài trời .
C. Sản xuất 3 tấn sơn nội thất và 2 tấn sơn ngoài trời .
D. Sản xuất 2 tấn sơn nội thất và 4 tấn sơn ngoài trời .
Ví dụ 14: Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng hai loại tàu 100 mã lực và 50 mã lực. Trong xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch. Thợ sắt có 4000 công, thợ rèn có 3000 công, thợ mộc có 1800 công. Định mức lao động của mỗi loại tàu được cho trong bảng sau:
Loại thợ Định mức lao động
100 mã lực 50 mã lực
Thợ sắt 200 100
Thợ rèn 200 50
Thợ mộc 60 50
Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao nhất ?
A. Đóng 10 tàu 100 mã lực và 20 tàu 50 mã lực.B. Đóng 5 tàu 100 mã lực và 30 tàu 50 mã lực.C. Đóng 20 tàu 100 mã lực và 10 tàu 50 mã lực.D. Cả A và B đều đúng .Ví dụ 15: Một hộ nông dân dự định nuôi tối đa 6 lứa gà và vịt trong một năm
(12 tháng). Mỗi lứa gà lãi 10 triệu đồng. Mỗi lứa vịt lãi 6 triệu đồng. Thời gian
nuôi một lứa gà là 6 tháng, thời gian nuôi một lứa vịt bằng một phần ba thời gian nuôi một lứa gà. Hỏi hộ nông dân đó phải nuôi bao nhiêu lứa gà và vịt trong một năm để số tiền lãi là lớn nhất ?
A. Nuôi 0 lứa gà và 6 lứa vịt.B. Nuôi 6 lứa gà và 0 lứa vịt.C. Nuôi 3 lứa gà và 3 lứa vịt.D. Nuôi 2 lứa gà và 2 lứa vịt.Hướng dẫn, đáp án phần bài tập đề nghị
Ví dụ 1:Gọi x,y lần lượt là số đơn vị vitamin A và vitamin B (x,y≥ 0).Số tiền mỗi ngày để dùng đủ cả hai loại vitamin là: f(x,y) = 9x + 7,5y ( đồng)Ta có hệ bất phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán:
{0≤ x≤ 6000≤ y ≤500
400 ≤ x+ y ≤ 100012
x≤ y≤ 3 x
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên mền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ (*) lục giác ABCDEF (kể cả biên) với A(100;300),
B (8003
; 4003 ); C(500;500), D(600;400), E(600;300) ,F(500
3 ; 500).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x,y) = f(100,300) = 3150.Vậy cần ít nhất 3150 đồng để sử dụng vitamin hàng ngày.Chọn đáp án B.
Ví dụ 2:Gọi x,y lần lượt là số đơn vị sản phẩm I và II (x,y ≥ 0 ¿.Số tiền lãi của đơn vị này là: f(x,y)= 30x+50y (nghìn đồng).Ta có hệ bất phương trình:
{2 x+2 y ≤102 y ≤ 4
2 x+4 y≤ 12x , y≥ 0
⇔ { x+ y ≤5y≤ 2
x+2 y ≤6x , y ≥ 0
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y)=30x+50y trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ (*) làngũ giác OABCD (kể cả biên).Ta cóO(0; 0), A(5; 0), B(4; 1), C(2; 2), D(0; 2).Ta có: f(0,0)=0.f(4,1)=170.f(2,0)=100.f(5,0)=150.f(0,2)=100.
Vậy f(x,y) lớn nhất khi (x,y)=( 4; 1) tức là cần sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II để thu về lợi nhuận cao nhất.
Chọn đáp án B.Ví dụ 3:
Gọi x, y lần lượt là số bàn và số ghế người thợ mộc làm trong một tuần (x,y≥ 0)
Khi đó số tiền mà thợ mộc thu được là: 150x+50y (nghìn đồng)Khi đó ta có hệ bất phương trình:
{6 x+3 y ≤ 40
y≥ 3 x
x+ y4
≤ 4
x , y≥ 0
⇔{6 x+3 y ≤ 40y≥ 3 x
4 x+ y≤ 16x , y≥ 0
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ (*)
Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác OABC ( kể cả biên).Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
{ y=3 x4 x+ y=16
⇒ A (167
; 487
)⇒ f (167
, 487
)=48007
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
{6 x+3 y=104 x+ y=16
⇒B( 43
; 323 )⇒ f ( 4
3, 32
3 )=22003
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
{ x=06 x+3 y=40
⇒C (0 ; 403 )⇒ f (0 , 40
3 )=20003
Vậy lãi suất mỗi tuần lớn nhất khi sản xuất 43 cái bàn và 32
3 cái ghế.
Do đó trong 3 uần, lãi suất lớn nhất khi sản xuất4cái bàn và 32 cái ghế.Chọn đáp án B.
Ví dụ 4:Gọi x và y lần lượt là số sản phẩmloại I và loại II mà xưởng này sản xuất
(x,y ≥ 0).Số lượng sản
phẩmSố nguyên liệu Thời gian sản xuất Lãi
1 kg loại I 2 kg 30 giờ 40 (nghìn đồng)
x kg loại I 2x kg 30x giờ 40x (nghìn đồng)
1 kg loại II 4 kg 15 giờ 30 (nghìn đồng)
y kg loại I 4y kg 15y giờ 30y (nghìn đồng)
Vì xưởng sản xuất này có 200 kg nguyên liệu và có thể hoạt động trong 50 ngày liên tục (mỗi ngày có 24 giờ) nên ta có hệ bất phương trình sau:
{ 2x+4 y≤ 20030 x+15 y ≤50.24
x , y≥ 0⇔ {x+2 y≤ 100
2 x+ y≤ 80x , y ≥0
(*)
Lợi nhuận thu được là L= 40x+30y (nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).Ta có toạ độđiểmA là nghiệm của hệ phương trình:
{ y=0x+2 y=100
⇒ A ( 40,0 )⇒ f (40,0 )=1600.
Ta có toạ độđiểm B là nghiệm của hệ phương trình:
{x+2 y=1002 x+ y=80
⇒B (20,40 )⇒ f (20,40 )=2000.
Ta có toạ độđiểm C là nghiệm của hệ phương trình:
{ x=02x+ y=100
⇒C ( 0;50 )⇒ f (0 ;50 )=1500.
Ta suy ra f(x,y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ (*) khi (x,y)=(20,40).
Như vậy để thu lợi nhuận lớn nhất thì xưởng sản xuất này phải sản xuất 20 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II.
Chọn đáp án A.Ví dụ 5:
Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm A và B mà đơn vị này sản xuất hàng tuần (x,y≥ 0).
Loại nguyên liệu Nguyên liệu dự trữ
mỗi loại
Số đơn vị cần dùng / 1 đơn vị sản phẩm
Sản phẩm A Sản phẩm B
I 18 2 3II 30 5 4II 25 1 6
Lợi nhuận thu được hàng tuần là:L = f(x,y) = 300x+200y ( nghìn đồng)Theo bài ra ta có hệ bất phương trình sau:
{2 x+3 y≤ 185x+4 y ≤30x+6 y≤ 25
x , y≥ 0
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).Hàm số f(x,y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x,y) là toạ độ của một trong các
đỉnh O,A,B,C.Ta có toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
{ y=02 x+3 y=18
⇒ A (6 ;0 )⇒ f (6,0 )=180.
Ta có toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
{2x+4 y=30x+6 y=25
⇒B(4 013
; 9526 )⇒ f ( 40
13; 9526 )=61500
13≈ 4 730 .
Ta có toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
{ x=0x+6 y=25
⇒C(0 ; 256 )⇒ f (0 , 25
6 )=25003
≈ 833.
Vậy f(x,y) lớn nhất khi (x,y) = ( 4 013
; 9526 ) tức là xưởng này cần sản xuất 80 sản
phẩm A và 95 sản phẩm B trong vòng 26 tuần để thu lợi nhuận cao nhất.Chọn đáp án B.
Ví dụ 6: Gọi x,y lần lượt là số radio kiểu một và radio kiểu hai mà công ty sản xuất
trong một ngày (x; y ≥ 0).Khi đó f(x,y) = 250x+180y (nghìn đồng) là số tiền lãi của công ty trong một
ngày .Theo bài ra ta có hệ bất phương trình sau:
{12 x+9 y ≤9000≤ x≤ 450 ≤ y≤ 80
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD (kể cả biên).
Hàm số f(x,y) sẽđạt giá trị lớn nhất khi (x,y) là toạ độ của một trong cácđỉnh O(0; 0), A(45; 0), B(45; 40), C(15; 80), D(0; 80).
f(0; 0) = 0f(45; 0) = 11250f(45; 40) = 18450f(15; 80) = 18150f(0; 80) = 14400Suy ra f(x,y) lớn nhất khi (x,y) = (45; 40). Do đó công ty cần sản xuất 45
radio kiểu một và 40 radio kiểu hai trong một ngày.Chọn đáp án B.
Ví dụ 7:Gọi x,y lần lượt là số sản phẩm loại A và B mà phân xưởng sản xuất trong
một ngày (x; y ≥ 0).Khi đó gọi L là số tiền lãi của phân xưởng trong một ngày thì ta có: L= 2x+3y.Số giờ làm trong ngày của máy M1 là 2x+y Số giờ làm trong ngày của máy M2 là x+y
Từ đây ta có x,y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:{2 x+ y ≤6x+ y ≤ 4x , y≥ 0
(I)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là tứ giác OABC (kể cả các cạnh)
Khi đó L đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh O(0;0),A(3;0),B(2;2),C(0;4).
Ta có : L(0;0)=0 L(2;2)=10 L(3;0)=6 L(0;4)=12.
Vậy L đạt giá trị lớn nhất là 12 khi xưởng sản xuất 4 tấn sản phẩm loại B.Chọn đáp án B.
Ví dụ 8:Gọi x, y lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I, II cần dùng để sản xuất (x ≥ 0, y≥ 0). Khi đó số tiền mua nguyên liệu là : 5x + 3yTừ một tấn nguyên liệu loại I có thể chiết xuất được 20 kg chất A. Từ một
tấn nguyên liệu loại II có thể chiết xuất được 1,5 kg chất B. Mỗi kg chất A có giá 0,5 triệu đồng, mỗi kg chất B có giá 5 triệu đồng. Nên số tiền thu được là: 20.0,5x + 5.1,5y
Do đó tiền lãi thu được là: (20.0,5x + 5.1,5y) - (5x + 3y) = 5x + 4,5y.Từ x tấn nguyên liệu loại I chiết xuất được 20x kg chất ATừ y tấn nguyên liệu loại II chiết xuất được 1,5y kg chất BMà cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 8 tấn nguyên
liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II nên ta có : 20x ≥ 100; 1,5 y ≥ 9;0 ≤ x≤ 8;0≤ y≤ 9.Từ các dữ kiện trên bài toán tương đương với hệ bất phương trình:
{5 ≤ x ≤ 86 ≤ y ≤ 9 (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là hình vuông ABCD ( kể cả biên).
Hàm số f(x,y) = 5x + 4,5y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi (x,y) là tọa độ một trong các đỉnh A(5,9), B( 8,9), C(8,6),D( 5,6).
Mà ta có : f(5,9) = 65,5; f(8,9) = 80,5; f(8,6) = 67, f(5,6) = 52.Suy ra f(x,y) lớn nhất khi (x,y) = (8,9). Do đó cần dùng 8 tấn nguyên liệu
loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II thì doanh thu lớn nhất.Chọn đáp án D.
Ví dụ 9:Gọi x,y lần lượt là số tấn thép tấm và thép cuộn mà máy cán thép sản xuất
trong 1 tuần (x,y≥0).Gọi số tiền lãi thu được là f(x;y) thì f(x;y)=25x+30y USD.
Thời gian để sản xuất x tấn thép tấm là x250 giờ.
Thời gian để sản xuất y tấn thép cuộn là y150 giờ.
(x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình:{ 0 ≤ x≤ 50000≤ y ≤3500x
250+ y
150≤ 40
⇔ { 0≤ x≤ 50000≤ y ≤3500
3 x+5 y≤ 30000(I).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là ngũ giác OABCD(kể cả các cạnh)
trong đó A(5000;0) , B(5000;3000) , C(125003
;3500¿ , D(0;3500).
Khi đó f(x;y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh O,A,B,C,D.
Ta có: f(5000;0) = 125000. f(0;3500) =105000.
f(5000;3000) = 215000. f(12500
3 ;3500) = 627500
3 .
f(0;0)=0.Vậy cần sản xuất 5000 tấn thép tấm và 3000 tấn thép cuộn trong một tuần để
lợi nhuận thu được lớn nhất.Chọn đáp án A.
Ví dụ 10:Gọi x, y lần lượt là số ha diện tích trồng cà phê và ca cao (x≥ 0, y≥ 0). Khi
đó số tiền thu được là : f (x) = 10x + 12y (triệu đồng) .Số công cần để trồng cà phê là : 20x
Số công cần để trồng ca cao là : 30yVì số công trồng cà phê không vượt quá 100 công, và số công trồng ca cao
không vượt quá 180 công nên ta có hệ phương trình:
{20 x ≤10030 y≤ 180x+ y≤ 10x , y≥ 0
⇔ { x≤ 5y ≤ 6
x+ y ≤10x , y ≥ 0
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là hình ngũ giác OABCD ( kể cả biên).
Hàm số f(x,y) = 10x + 12y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi (x,y) là tọa độ một trong các đỉnh O(0;0) , A(5,0) B(5,5), C(4,6), D(0,6).
Mà ta có : f(0,0) = 0, f(0,6) = 72, f(4,6) = 112, f(5,0) = 50, f(5,5) = 110.Suy ra f(x,y) lớn nhất khi (x,y) = (4,6). Do đó cần trồng 4 ha cà phê và 6 ha
ca cao thì tổng tiền lãi cao nhất.Chọn đáp án C.
Ví dụ 11: Gọi x, y lần lượt là số tấn cacbon loại I và loại II mà công ty sử dụng để chiết xuất kim cương ( x≤ 4; y ≥ 0).
Số tiền mua nguyên liệu là f(x,y)=100x + 40y (triệu đồng ). Với nguyên liệu trên sẽ sản xuất được 6x + 2y viên kim cương to và 3x + 2y viên kim cương nhỏ.Số tiền thu được từ các viên kim cương là: (6x +2y).20 + (3x + 2y).10=150x+60y ( triệu đồng ).Lợi nhuận hàng tháng của công ty là: f(x; y)=50x + 20y ( triệu đồng).Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình:
{6 x+2 y ≥123x+2 y≥ 9
x , y ≥ 0x , y ≤ 4
⇔{ 3 x+ y ≥ 63 x+2 y ≥ 9
x , y≥ 0x , y ≤ 4
(¿)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ (*) là ngũ giác ABCDE (cả kể biên). Hàm số f(x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh A(3; 0), B(4; 0), C(4;
4), D(23
;4 ¿, E(1; 3).
Ta có: f(3; 0) = 150(triệu đồng).f(4; 0) = 200 (triệu đồng ).f(4; 4) = 280 (triệu đồng ).
f(23
;4 ¿= 3403 (triệu đồng).
f(1; 3)= 110 (triệu đồng).Suy ra f(4;4) là giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ
(*).Như vậy, mỗi tháng công ty này có thể thu về nhiều nhất 280 triệu tiền lãi.
Chọn đáp án B.Ví dụ 12 : Gọi số sản phẩm loại A là x, số sản phẩm loại B là y (x,y≥0). Khi đó giả sử số tiền lãi là L(x;y) thì L(x;y)=400000x+700000y (đồng). Số nguyên liệu loại I cần dùng là: 2x+y Số nguyên liệu loại II cần dùng là: 2y. Số nguyên liệu loại III cần dùng là:4x
Vậy (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình :{2x+ y ≤120≤ x≤ 40 ≤ y≤ 6.
(I).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm L(x;y) trên miền nghiệm của hệ (I).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD kể cả các cạnh OA, AB, BC, CD,DO.
Ta có L(x;y) đạt giá trị lớn nhất khi (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh O;A;B;C;D.
Ta có L(0;0) = 0. L(4;0)=1600000.L(0;6)=4200000. L(4;4)=4400000.
L(3;6)=5400000.Vậy cần sản xuất 3 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B để lãi xuất lớn
nhất.Chọn đáp án C.
Ví dụ 13:Gọi x, y lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất (x ≥ 0, y≥ 0). Khi đó số tiền thu được là : f (x;y) = 2000x + 3000y USDSố lượng nguyên liệu loại A cần dùng để sản xuất là : 2x + ySố lượng nguyên liệu loại B cần dùng để sản xuất là : x + 2y
Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại A, B với trữ lượng là 6 tấn và 8 tấn tương ứng
Do nhu cầu sơn nội thất không hơn sơn ngoài trời quá 1 tấn , nhu cầu cực đại
của sơn nội thất là 2 tấn nên ta có hệ phương trình:{2 x+ y ≤60 ≤ x ≤ 2
y ≥ 0x− y≤ 1x+2 y ≤ 8
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABCD (kể cả biên).
Hàm số f(x,y) = 2000x + 3000y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi (x,y) là tọa độ một trong các đỉnh O(0,0) , A(0,4), B( 2,2), C(2,1), D( 2,0).
Mà ta có : f(0,0) = 0, f(0,4) = 12000, f(2,2) = 10000, f(2,1) = 7000Suy ra f(x,y) lớn nhất khi (x,y) = (2,2). Do đó cần sản xuất 2 tấn sơn nội
thất và 2 tấn sơn ngoài trời thì doanh thu lớn nhất.Chọn đáp án A.
Ví dụ 14:Gọi x,y lần lượt là số tàu 100 mã lực và 50 mã lực cần đóng (x,y ≥ 0).Ta có (x;y) là nghiệm của hệ bất phương trình:
{200 x+100 y ≤ 4000200 x+50 y ≤300060 x+50 y ≤ 1800
x≥ 0y≥ 0
⇔ {2 x+ y≤ 404 x+ y ≤ 60
6 x+5 y ≤180x≥ 0y ≥ 0
(I)
Gọi f(x;y) là số mã lực đạt được thì f(x;y)=100x+50y (mã lực).Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trong miền nghiệm của hệ
bất phương trình (I).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là ngũ giác OABCD (kể cả các cạnh) trong đó O(0; 0); A(0; 36), B(5; 30); C(10; 20), D(15; 0)
Khi đó f(x;y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh O,A,B, C, D.
Ta có:f(0;0) = 0. f(15; 0) = 1500. f(10; 20) =2000. f(5; 30)=2000 f(0; 36) = 1800
Vậy có thể đóng 10 tàu 100 mã lực và 20 tàu 50 mã lực hoặc đóng 5 tàu 100 mã lực và 30 tàu 50 mã lực thì tổng mã lực là lớn nhất.
Chọn đáp án D.Ví dụ 15 :
Gọi x và y lần lượt là số lứa gà và lứa vịt mà hộ nông dân nuôi trong một năm
(0≤ x≤ 2;0 ≤ y ≤6 ; x , y∈N ).
Khi đó số tiền lãi mà hộ nông dân thu được là:
f(x,y)=10x+6y (triệu đồng)
Thời gian nuôi một lứa vịt là: 13.6=2 (tháng).
Ta có hệ bất phương trình:
{ x+ y≤ 66 x+2 y≤ 12
0 ≤ x≤ 2 , x∈N0≤ y ≤ 6 , y∈N
⇔ { x+ y ≤63 x+ y ≤6
0≤ x ≤2 , x∈N0≤ y≤ 6 , y∈N
(*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của
hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác OAB (kể cả biên).
Hàm số f(x,y)=10x+6y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất
phương trình (*) khi (x,y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0,0) A(2,0), B(0,6)
Ta có f(0,0)=0
f(2,0)= 10.2 +6.0=20
f(0,6)=10.0+6.6=36
Suy ra f(0,6) là giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) trên miền nghiệm của hệ bất
phương (*).
Vậy hộ nông dân cần nuôi 6 lứa vịt để được số tiền lãi lớn nhất.
Chọn đáp án A.
