giasudaykem.com.vn Web viewDẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ . I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA. 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường

Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn

CHUYÊN ĐỀ 2 DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ .

I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:a. Kiến thức liên quan.- Trong các tam giác vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH AB. Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng B.- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn.b. Các bài tập minh họa.Bài 1 ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 ) .Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với M).1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông.2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2).3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất.

Giải :

1)

2) Chỉ ra nên

3) Chỉ ra tứ giác ABEC là hình vuông.3 điểm A, D, E cùng nhìn BC dưới mộtgóc bằng nhau và bằng 900 nên 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.4) Dễ dàng chứng minh được MO1EO2 là hình chữ nhật nên O1O2 = EM .

1

O

ED

O2O1

M

B

A

C


Gọi O là hình chiếu của E trên BC thì EO = không đổi.

Có ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )Dấu đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm BC.

Suy ra khi M là trung điểm BC.Bài 2 ( Thi THPT Hải Dương 2005-2006 )Cho nửa đường tròn đường kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P M, P N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K.1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn.2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ.3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất.

Giải :

1) MP//NQ mà ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên . Hai điểm I và N cùng nhìn PQ dưới một góc bằng nhau và bằng 900 nên 4 điểm P, Q, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính PQ.

2) Chứng minh được

3) Gọi H là hình chiếu của P trên MN, O là trung điểm MN. Áp dụng hệ thức lượng của tam giác vuông cho tam giác vuông MPN có đường cao PH :MP.NP = PH.MN (1)

Theo phần 2) (2)Từ (1) và (2) suy ra NK.MQ = PH.MN .NK.MQ đạt Max thì PH.MN đạt Max mà MN không đổi nên PH đạt Max.

Có ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng O , khi đó P là điểm chính giữa nửa đường tròn.

2

OH

K

I

QP

M N


Vậy Max(NK.MQ) = Max(PH.MN) = đạt được khi P là điểm chính giữa nửa đường tròn.Bài 3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-2009 )Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F.3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I).4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK.

Giải

a) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

Xét (O) có (EK là phân giác Ê)

(hai cung chắn hai góc nội tiếp bằng nhau)

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

3


Xét KAF và KEA:

chung

(chứng minh trên)KAF đồng dạng với KEA (g-g)b) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O tại ETa có O, I, E thẳng hàng và OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O).- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB tại F:Dễ dàng chứng minh được EIF cân tại I và EOK cân tại O

Mà hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị IF // OK (dấu hiệu nhận biết)

Vì (chứng minh trên) Ta có IF // OK ; IFABMà IF là một bán kính của (I;IE) (I;IE) tiếp xúc với AB tại Fc) Chứng minh MN//ABXét (O):

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Xét (I;IE):

(vì ) MN là đường kính của (I;IE) EIN cân tại I

Mà EOB cân tại O Mà hai góc này ở vị trí đồng vị MN//AB d)Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O) Dễ dàng chứng minh được tứ giác PFQK là hình chữ nhật; tam giác BFQ là tam giác vuông cân tại QChu vi KPQ = KP + PQ + KQ mà PK = FQ (PFQK là hình chữ nhật)FQ = QB (BFQ vuông cân tại Q) PK = QBPQ = FK (PFQK là hình chữ nhật) Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK

4


Vì (O) cố định, K cố định ( vì EK là phân giác góc AEB nên K là điểm chính giữa cung AB không chứa E )FK FO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên) Chu vi KPQ nhỏ nhất = BK + FO khi E là điểm chính giữa cung AB.Ta có FO = R

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông cân FOB tính được BK =

Chu vi KPQ nhỏ nhất = R + Bài 4 ( Thi HSG Toán 9 Quảng Ngãi 2013-2014 ).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động

trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và . Gọi H là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB.

a) Tính số đo b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di

động trên nửa đường tròn.c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích

lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.Giải :

a) Tính số đo

Tứ giác BFHI nội tiếp => (tam giác OEF đều)b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn.Ta có : AE.AC = AC(AC –CE) = AC2 – AC.AE BF.BC = BC(BC –CF) = BC2 – BC.CFAE.AC+BF.BC = AC2 + BC2 – AC.AE – BC .CFMà AC.AE = BC.CF =CO2 – R2

=>

AC2 + BC2 =2CO2 +

5

I

H

C

A O B

E

F

ABEF= R2

·CIF

·CIF

· · º 01HIF HBF sd EF 302

= = =


Suy ra : AE.AC+BF.BC = 2CO2 + – CO2 + R2 – CO2 + R2 = 3R2

AE.AC+BF.BC= 3R2 Cố định.

c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.Ta có SABEF = SAOF + SFOE + SEOB

SFOE = (Vì tam giác FOE là tam giác đều cạnh R)

SAOF + SEOB = OA.FM+ OB.EN = R. = R.PQ (PQ là đường trung bình của hình thang EFMN)

SABEF = + R.PQ mà PQ ≤ OP = .

Do đó SABEF = + = khi Q trùng với O hay EF // AB.Bài 5 ( Thi HSG Bình Thuận 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc (O). Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB.1) Chứng minh N, P, Q thẳng hàng.2) Khi M thuộc cung nhỏ BC. Tìm vị trí của M để PQ lớn nhất.

Giải :

1) Dễ dàng chứng minh được nên 3 điểm Q, N, P thẳng hàng. 2) Từ phần 1) suy ra được

( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )Suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi Q trùng B, P trùng Ckhi đó AM là đường kính.Vậy MaxPQ = BC khi M đối xứng A qua O.

6

OQ N

P

M

F

E

C

BA

O

C

P

N

M

Q

B

A


2. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc.a. Kiến thức liên quan.- Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có hai đầu là A và B.- Với ba điểm bất kỳ A, B, C trong mặt phẳng ta có bất đẳng thức ba điểm :

. Dấu đẳng thức xảy ra khi C thuộc đoạn thẳng AB.b. Các bài tập minh họa.Bài 1 ( Thi vào THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nhọn có . gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và M, N lần lượt là các điểm trên hai cạnh AB, AC. Tìm vị trí điểm M, N để tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất.

Giải :Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB, AC. Ta có : AP = AQ = AH

=> tam giác APQ đều => PQ = AH.Chu vi tam giác HMN = HM + HN + MN = PM + MN + NQ PQ = AH không đổi.Dấu đẳng thức xảy ra khi M, N lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC.Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác HMN là AH với M, N lần lượt là giao điểm của PQ với AB và AC.Bài 2

Cho góc và điểm A nằm trong góc đó . Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất .

Giải:

Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho . Trên

tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .

OD =OA, OC = OB , DOC = AOB CD = ABDo đó AC +AB = AC +CD

7x

y

m

C

D

A

BO

Q

P

M

CB H

A


Mà AC +CD ≥ ADAC +AB ≥ ADXảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ADVậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD . Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Giải :Gọi I ,K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , HG .

AEF vuông tại A có AI

là trung tuyến AI = EFCGH vuông tại C có CM

là trung tuyến CM = GHIK là đường trung bình của EFG

IK = FG

KM là đường trung bình của EGH KM = EHDo đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A,I,K,M,C thẳng hàng.

Khi đó ta có EH//AC, FG//AC, nên EF//DB , tương tự GH//DB . Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD .3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.a. Kiến thức liên quan.- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.- Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn.

8

M

K

I

E

D H C

G

F BA


- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng dây lớn hơn.b. Các bài tập minh họa.Bài 1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2009 - 2010 )

Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK

vuông góc với AN . 1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn.2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK.3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN.

Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.Giải :

1) Từ giả thiết: , Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc một đường tròn

2) = sđ (1)

= sđ (2)

Từ (1) và (2) MN là phân giác của góc KMB

3) sđ ; sđ

cùng thuộc một đường tròn

lớn nhất MN.AB lớn nhất

MN lớn nhất (Vì AB= const ) M là chính giữa

Bài 2 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2006-2007 )

9

O

N

K

H

E

BA

M


Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN .a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính AH.AK theo R.c) Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó .

Giải :a) Dễ dàng chứng minh.b) c) Dễ thấy tam giác MNB đều.Trên KN lấy E sao cho KE = KMSuy ra đều.

Có KM + KN + KB = 2KNKN lớn nhất khi nó là đường kínhDo đó Max (KM+KN+KB) = 4R . Khi đó K là điểm đối xứng của N qua O.Bài 3 ( Thi vào THPT Hùng Vương - Phú Thọ 2013-2014 )Cho điểm A cố định trên (O;R) . Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của (O)

thỏa mãn . Xác định vị trí của B và C trên (O) để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Giải :Kẻ AH BC, OI BC , đường kính AD .Ta dễ dàng chứng minh được => AH.AD = AB.AC => AB.AC = 2R.AH (1) .

Theo đề , => AB.AC = 3R2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra .Ta có :

=> .Do AH không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi

10

E

K

H

C

N

M

OBA

H I

O

C

D

B

A


BC lớn nhất => OI nhỏ nhất => => BC OA => tam giác ABC đều.Vậy khi B, C thuộc (O) và tam giác ABC đều thì diện tích tam giác ABC lớn nhất.Bài 4 ( Thi HSG Toán 9 Hải Dương 2013-2014 )

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.

a) Chứng minh b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần

lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.

Giải :a) Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta có

sđ (1)

11

x

1

1

1

1

H

K

O

A

B C

M


Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) (2)

Tứ giác MHOK nội tiếp (cùng chắn ) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hay b) Có tứ giác AOMD nội tiếp (4)

sđ ; sđ

tứ giác AMGO nội tiếp (5)Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn

và đồng dạng

hay OD.GF = OG.DE.c) Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho MA’ = MA đều

Chu vi tam giác MAB là Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O) => M là điểm chính giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AOVậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB

Gọi I là giao điểm của AO và BC

Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB =

Bài 5 ( Thi HSG Toán 9 Bắc Ninh 2013-2014 )Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và

12

1

21 1

21

F

GE

D

H

O

A

B C

M

21

A'

I

H

O

A

B C

M


N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh rằng .2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN

Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.

Giải :

1) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

B là trực tâm của tam giác AEF AB EF

(cùng phụ với góc ) vuông NEF vuông NAB (g.g)

= tan600 =

2) là góc ở tâm cùng chắn cung MN

tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường

kính EF tâm K.

OMKN là tứ giác nội tiếp.3) Gọi I là giao điểm của AC và MD. Ta có

Tam giác MCD có CI vừa là đường cao vừa là phân giác cân tại C.

SMCD = 2.SMCI = =

= = SMCD lớn nhất MC lớn nhất MC là đường kính của (O)

13

O

K

FE

NM

B

A

yx

O

D

NM

C

B

A


4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai.a. Kiến thức liên quan.Bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng :A2 0 ; - A2 0 .Do đó, với m là hằng số thì :f = A2 + m m ; Minf = m với A = 0 và tồn tại giá trị của " biến " để thỏa mãn điều đó.f = - A2 + m m ; Maxf = m với A = 0 và tồn tại giá trị của " biến " để thỏa mãn điều đó.* " biến " trong hình học được hiểu là yếu tố biến đổi : điểm, đường...b. Các bài tập minh họa.Bài 1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2003-2004 )Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD.1) Chứng minh : MIC = HMK .2) Chứng minh : CM vuông góc với HK.3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải :1) Sau khi chỉ ra H, M, P thẳng hàng và K, M, I thẳng hàng thì dễ dàng chứng minh được 1)2) Gọi N là giao điểm của CM và HK

thì theo 1) ta dễ dàng chỉ ra được

N

I

P

K

H

D

B C

A

M

3) Gọi cạnh hình vuông là a thì a không đổi.

14


Đặt AK = x => KD = a - xDễ dàng chỉ ra AKMH, KDCI, PCBH là các hình chữ nhật.Ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi , khi đó M là tâm hình vuông.

Vậy MinSCHK = M là tâm hình vuông.Bài 2

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH .

Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.Giải:

H

G

F

E

D C

BA

Dễ có : AHE = BEF = CFG = DGH

HE = EF = FG = GH , = 900

HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất .Đặt AE = x thì HA = EB = 4-xHAE vuông tại A nên :HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4 x)2

= 2x2 8x +16 = 2(x 2)2 +8 ≥ 8

=> MinHE = =2 x = 2

Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 cm , khi đó AE = 2 cm .

15


Bài 3 Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.

Giải:ADME là hình chữ nhật . Đặt AD = x thì ME = xME //AB

AE = 8 xTa có : SADME = AD .AE

= x ( 8 x ) = 8x x2

= (x 3)2 +12 ≤ 12=> MinSADME = 12 x =3 Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm2 , khi đó D là trung điểm của

AB , M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.

5. Sử dụng bất đẳng thức AM - GM và một số bất đẳng thức đại số khác.a. Kiến thức liên quan.a1 . Bất đẳng thức AM - GM là bất đẳng thức nêu mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân của các số thực không âm ai ( i = 1,2,...,n )AM - GM viết tắt cho cụm từ : arithmetic mean - geometric mean .- Bất đẳng thức AM - GM :

16

E

CM

B

D

A


Với n số không âm ta có:

Dấu “=” xảy ra . Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất

đẳng thức AM-GM như sau:

1. Dấu “=” xảy ra a = b.

2.Dấu “=” xảy ra a = b = c.

3. (ab > 0). Dấu “=” xảy ra a = b.

hay (a > 0). Dấu “=” xảy ra a = 1.

4. hay

Dấu “=” xảy ra .a2. Bất đẳng thức BCS .Có nhiều cách gọi khác nhau cho bất đẳng thức này : Bất đẳng thức Cauchy; bất đẳng thức Bunyakovsky ; bất đẳng thức Cauchy - Schwarz hay bất đẳng thức Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz . Tài liệu này gọi là bất đẳng thức BCS ( viết tắt cho Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz )

Với 2 bộ n số thực và ta có:

hoặc

Dấu “=” xảy ra b. Các bài tập minh họa.

17


Bài 1 . Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB . Vẽ về một phía của AB các tia Ax , By vuông góc với AB. Qua M kẻ hai đường thẳng thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau cắt Ax tại C, cắt By tại D. Xác định vị trí của C và D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.

Giải :

Ta có : Đặt MA = a , MB = b

Khi đó,

nên Vì a,b không đổi nên diện tích tam giác MCD nhỏ nhất khi 2sin coslớn nhất.Theo bất đẳng thức AM - GM :2sin cos sin2 + cos2 = 1. Dấu đẳng thức xảy ra khi sin = cos => = 450 => AM = MC ; BM = BD.Vậy MinSMCD = ab khi C và D được xác định sao cho AM = MC ; BM = BD

Bài 2. ( Thi THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2008-2009 )Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định khác O (OP < R). Hai dây AB và CD thay đổi sao cho AB vuông góc với CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AD. Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC lần lượt tại M, N.

1) Chứng minh rằng : Bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh rằng : BD = 2.EO3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tứ giác ACBD.

Giải :

1) PE trung tuyến nên EA = EP

18

α

α

ba

yx

D

C

BMA

P

O

C D

A

B

K

H

E

M

F

N


cân tại E mà

vuông tại M

Chứng minh tương tự ta có: Bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc đường tròn đường

kính BP2) Do EA = EC và FA = FD nên .

Do đó (1) Do EF là đường trung bình của nên EF // CD và CD = 2EF

mà (2)

Từ (1) và (2) .

C/M tương tự ta có: đồng dạng với (g.g)

3) Kẻ lần lượt tại H và K

. Tính tương tự : suy ra

(vì ta có )

Chứng minh diện tích tứ giác ACBD bằng Do không đổi nên AB2.CD2 nhỏ nhất khi nhỏ nhất hoặc AB đi qua O hoặc CD đi qua O.Vậy diện tích tứ giác ACBD nhỏ nhất bằng :

AB hoặc CD đi qua O. (có thể chỉ ra cách dựng: Kẻ đường kính qua P và kẻ dây với đường kính đó tại P)

Ta có nên HO2.KO2 lớn nhất khi HO = KO ;

AB2.CD2 lớn nhất khi lớn nhất HO = KO

19


AB và CD cách đều O.Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn nhất bằng

AB và CD cách đều O

Bài 3. ( Thi vào THPT Quảng Ninh 2011-2012 )Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C cố định trên bán kính OA (C khác A và O) , điểm M di động trên đường tròn (M khác A,B) . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM , đường thẳng này cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại D và E .

a) Chứng minh ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp .b) Chứng minh DC EC.c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ADEB nhỏ nhất .

Giải :a) b) Dễ chứng minh.c) Tứ giác ABED là hình thang vuông nên diện tích của nó là :

S = .Dễ thấy không đổi ( do A,C,B cố định )

20

M

C

E

D

BO

A


Áp dụng bất đẳng thức AM - GM : . Dấu đẳng thức xảy ra khi AD = BE

Vậy MinSADEB = AB khi và chỉ khi AD = BE, khi đó ABED là hình chữ nhật nên MC vuông góc AB => M là giao của đường thẳng qua C và vuông góc AB.

Bài 4. ( Thi vào THPT Tp Hồ Chí Minh 2010-2011 )Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).

a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và

MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ

nhật APMQ có diện tích lớn nhất.Giải :

a) Dễ chứng minh được.b) Chứng minh được EO là trung trực AM nên O, I, E thẳng hàng.

c) Ta có OE//MP =>

Từ (1) và (2) suy ra => K là trung điểm MP.d) Ta có : AB = 2R ; AP = x => PB = 2R - xTam giác AMB vuông tại M có MP là đường cao nên :

MP2 = PA.PB = x(2R-x) =>

21

x

I

K

Q

P

E

M

AO

B


Có : SMPAQ = AP.MP =

= ( theo bất đẳng thức AM-GM ).Dấu đẳng thức xảy ra khi :

Vậy diện tích hình chữ nhật APMQ lớn nhất bằng khi M thuộc đường tròn sao cho P là trung điểm OB.Bài 5. ( Thi vào THPT Nguyễn Bình - Quảng Ninh 2013-2014 )Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM. Gọi H là chân đường vuông góc của M xuống AK

a) Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếpb) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?c) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOKd) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB. Xác định vị trí của K để chu vi

tam giác OPK lớn nhấtGiải :

a) Vì M là điểm chính giữa của cung AB,

nên sđ 900 => (đ/l góc ở tâm), mà MH AK (gt)

=> = 900

Trong tứ giác AOHM, ta có:

Do đó đỉnh O và H luôn nhìn đoạn Am dưới một góc 900, nên AOHM là tứ giác nội tiếp

22

P

H

K

B

M

OA


b) Xét tam giác vuông MHK có Nên tam giác MHK là tam giác vuông cân tại Hc) Vì tam giác MHK cân tại H nên : HM = HKXét MHO và KHO có

HM = HK (c/m trên) HO cạnh chungOM = OK = R

Suy ra MHO = KHO ( c-c-c)

Nên , Do vậy OH là phân giác của góc MOKd) Ta có chu vi của tam giác OPK là: C = OP + PK + OK. Mà OK không đổi, nên chu vi tam giác OPK lớn nhất OP + PK lớn nhấtÁp dụng bất đẳng thức BCS ta có(OP + PK)2 ≤ (12 + 12)( OP2 + PK2) = 2R2. Vậy (OP + PK)2 lớn nhất bằng 2R2, nên

OP + PK lớn nhất bằng . Do đó chu vi của tam giác OPK lớn nhất bằng: +

R = ( , khi OP = PK hay K là điểm chính giữa của cung MB

II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1. Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đường thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q.

1) Chứng minh BP = CQ.2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh

BC để đoạn PQ ngắn nhất.3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. Tính

góc AHC.Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH là đường cao của tam giác (H BC).

1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM

vuông góc với AC.3) Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.

Chứng minh : r + R . Bài 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD.

23

AB.AC


1) Chứng minh : MIC = HMK .2) Chứng minh CM vuông góc với HK.3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4. Cho nửa đường tròn đường kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P M, P N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K.

1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn.2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ.3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất.

Bài 5. Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF.

1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp. b) MF vuông góc với HK.

2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất.

Bài 6. Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ Ab lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN (KAN). 1. Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK. 3. Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.Bài 7. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh

BC( M khắc B ) và N là điểm trên CD ( N khác C ) sao cho . Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q.

a) Chứng minh rằng ABMQ là tứ giác nội tiếp.b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng AH vuông góc với MN.c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất.

Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (R là một độ dài cho trước). Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc cung AD và góc COD = 1200. Gọi giao điểm của hai dây AD và BC là E, giao điểm của các đường thẳng AC và BD là F.

a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.b) Tính bán kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác FAB theo R khi C, D thay đổi nhưng

vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.

24

45oMAN


Bài 9. Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

1) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.3) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt

(O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.4) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

Bài 10. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM. Gọi H là chân đường vuông góc của M xuống AK

e) Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếpf) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?g) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOKh) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB. Xác định vị trí của K để chu vi tam

giác OPK lớn nhất.Bài 11. Cho đường tròn (O) có bán kính R và điểm C nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A và B ( A nằm giữa C và O). Kẻ tiếp tuyến CM đến đường tròn ( M là tiếp điểm). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt CM tại E và tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt CM tại F.

1) Chứng minh tứ giác AOME nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh và CE.MF=CF.ME3) Tìm điểm N trên đường tròn (O) ( N khác M) sao cho tam giác NEF có diện tích

lớn nhất.Tính diện tích lớn nhất đó theo R, biết góc .Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N.

a) CMR: ABC=DBCb) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàngd) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN

có độ dài lớn nhất.Bài 13. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 12 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By. M là một điểm thuộc nửa đường tròn (O), M không trùng với A và B. AM cắt By tại D, BM cắt Ax tại C. E là trung điểm của đoạn thẳng BD.

25

AOE OMB

0AOE 30


1.Chứng minh: AC . BD = AB2.2.Chứng minh: EM là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.3.Kéo dài EM cắt Ax tại F. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn tâm O

sao cho diện tích tứ giác AFEB đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C cố định trên bán kính OA (C khác A và O) , điểm M di động trên đường tròn (M khác A,B) . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM , đường thẳng này cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại D và E .

a) Chứng minh ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp .b) Chứng minh DC EC.c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ADEB nhỏ nhất .

Bài 15Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

1) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.3) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.4) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

Bài 16. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các

điểm M và N sao cho góc = 450, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.a) Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.b) Gọi H là giao điểm của MF với NE và I là giao điểm của BH với MN. Tính độ

dài đoạn BI theo a.c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.

Bài 17.Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B.

Trên cung lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM , tia CO cắt d tại D.

a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.b) Chứng minh rằng: NO AD

26


c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD. d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 18.Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại

điểm F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định

vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.Bài 19.

Cho (O;R) Dây BC<2R cố định .Gọi A chạy trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC Nhọn kẻ ba đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEFH nội tiếp ,xác định tâm I dường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.b) Chứng minh rằng khi A chạy trên cung lớn BC thì tiếp tuyến tại E của (I) luôn đi

qua một điểm cố định. c) Tìm vị trí A thuộc cung lớn BC để diện tích tam giác AEF lớn nhấtBài 20Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN .

1) CMR: ABC=DBC2) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.3) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng

4) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất.

27


28

Documents

giasudaykem.com.vn Web viewDẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ . I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA. 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường