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演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標：集合の基礎用語・基礎記号を使える。
キーワード：クイズと思えば楽しくできる。 宿題：74、76
新知識： ・・・数の集まり。（大文字 A、B、C・・・等で表す。）
・・・集合に含まれている一つ一つの数
「3 が集合 A の要素である」＝「3 は集合 A に する」＝「3 A 」
１の例題：
(1) A＝{ x｜xは○年○組の苗字が○○の生徒} ↓∈か∉を書く。
＝{ } 君 A
(2) B＝{ x｜xは 12 の正の約数}
＝{ } 3 B
(3) C＝{ 2n｜n は 7 以上の整数}
＝{ } 7 C
(4) D＝{ x｜xは x2=4 の解}
＝{ } －2 D
まとめ
・集合は、必ず中
｛ 括弧
｝を使って表す。
・集合の表し方は２通りある。（下の①と②）
①{ x｜ 条件 } ・・・・｜の右側に、条件を書く表し方
②{ a 、b 、c 、d } ・・・・属する要素を全て書き並べる表し方
１：次の集合を、要素を書き並べる方法で表せ。
(1) A＝{ x｜xは 10 以下の正の偶数}
↓∈か∉
＝{ } 6 A
(2) B＝{ x｜xは自然数}
＝{ } -3 B
(3) C＝{ 2n｜n は 1 n 3 ≦ ≦ を満たす自然数}
＝{ } 3 C
(4) D＝{ 2n－1｜n は 1 n 4 ≦ ≦ を満たす自然数}
＝{ } 7 D
(5) E＝{ x｜xは x2−4 x−21=0 の解}
＝{ } -7 E
(6) F＝{ x｜xは正の奇数}
集合①
自己評価○、△、×
＝{ } 123 F
復習１： 3 41 ・・・ ＞ か ＜ を入れよ。
２の例題：
(1) A＝{ x｜xは○年○組生徒}…大きい集合
B＝{ x｜xは○年○組の苗字が○○の生徒}…小さい集合
・・・ は を含む。 A B と表す。 B A とも表す。
(2) C＝{ 1、2、3、4、5}
D＝{1、3、5}
・・・ は を含む。 C D
(3) E＝{ x｜xは 6 の倍数}＝{ }
F＝{ x｜xは 3 の倍数}＝{ }
・・・ は を含む。 E F
(4) G＝{ 1、2、3、4、5}
H＝{1、3、10}
・・・ は を含む。 G H
２： □に当てはまるものを埋めよ。
(1) A＝{ 1、2、3、4、5、6、7、8、9}
B＝{1、2、3、4、5}
・・・ は を含む。 A B
A か B か×を書く ⊂か⊃か×を書く。
(2) C＝{ 0 }
D＝{ 0、1、2、3、4、5}
・・・ は を含む。 C D
C か D か×を書く ⊂か⊃か×を書く
(3) E＝{ 1、2、3、4、5、6、7、8、9}
F＝{ 0、1、2、3}
・・・ は を含む。 E F
E か F か×を書く ⊂か⊃か×を書く
まとめ
大きい方が
まとめやっぱり大きい方が
(4) G＝{ x｜xは 12 の約数}＝{ }
H＝{ x｜x2−5x+6=0 }＝{ }
・・・ は を含む。 G H
G か H か×を書く ⊂か⊃か×を書く
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標： 部分集合を理解する。“かつ”と“または”を理解する。
キーワード： 山はかつ（勝つ） 宿題：78、80、82
新知識：○年○組は何人？ ４０人？？
いやいや、担任の○○先生も○年○組の大事な存在です。４１人です。
担任の○○先生の名簿番号は 番にしましょう。
では、次の集合は？ 数字で書きましょう。
(1) A＝{ x｜xは○年○組の女子}
＝{ 、13、14、・・・・・、41 }
(2) B＝{ x｜xは○年○組の 20 歳以上の成人}
＝
(3) C＝{ x｜xは○年○組の 100 歳以上の人}
＝ ???
集合・・・要素が 集合。 と表す。（注意：{0}とは違う。）
（{φ}と書いてはダメ。φ。）
復習１： 3 3 ・・・ ≧ か ≦ か ＜ か ＞ を入れよ。
復習２： □に当てはまるものを埋めよ。
(1) ：A＝{ 1、2、3、4} B＝{1、2}
・・・ は を含む。 A B
A か B か×を書く ⊂か⊃か×を書く。
(2) ：C＝{ 1、2、3、4}
D＝{ 1、2、3、4}
・・・ は を含む。 C D
C か D か×を書く ⊂か⊃か×を書く。
(3) ：E＝{ 1、2、3、4}
F＝φ
・・・ は を含む。 E F
E か F か×を書く ⊂か⊃か×を書く。
０
まとめ
等しい数も 。もちろん でもある。
まとめ
等しい集合も 。もちろん でもある。
集合②
自己評価○、△、×
０
集合・・・含まれる小さい方の集合のこと
１の例題：集合{ 1、2}の部分集合は全てで４つある。４つ全て答えよ。
１：(1) 集合{ 3、4}の部分集合は全てで４つある。４つ全て答えよ。
(2) 集合{ 5、6、7}の部分集合は全てで８つある。８つ全て答えよ。
新知識：
A＝{ x｜xは○年○組の男子}
＝{ }
B＝{ x｜xは○年○組の苗字が○○の生徒} ベン図
＝{ }
A なおかつ B の人＝{ }・・・
A または B の人
＝{ }・・・
かつ または
２の例題：A＝{1、2、3、4、5} B＝{2、4、6} について A¿ B と、A¿ B を求めよ。
かつ
A¿ B
または
A¿ B
２：(1) A＝{1、2、3、4、5、6} B＝{1、3、5、7} について A¿ B と、A¿ B を求めよ。
A¿ B=
まとめ¿・・・山はかつ¿・・・谷はまたは
A¿ B=
(2) A＝{x｜xは 24 の正の約数} B＝{x｜xは 32 の正の約数} について A¿ B と、
A¿ B を求めよ。
A¿ B=
A¿ B=
(3) A＝{ x｜x2−4 x=0} B＝{x｜xは 10 以下の正の奇数} について A¿ B と、
A¿ B を求めよ。
A¿ B=
A¿ B=
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標：全体集合・補集合・ドモルガンの法則を理解する。
キーワード：くっつけると逆!! 宿題：
新知識：男子の人数は何人ですか？１２人？本当に？
私は？明石家さんまさんは？オバマ大統領は？
を決めておかないと議論ができませんね。
集合・・・考える対象全体の集合。 U で表す。
U＝{ x｜xは○年○組の生徒}
としておけば、男子の人数は○人ですね。
担任の先生や、明石家さんまさんや、オバマ大統領は入れませんね。
では、男子で ない 人は何人ですか？
つまり女子の人数なので、○人ですね。
集合・・・～でない集合。
男子でない集合なら 男子
A でない集合なら と表す。（“A バー”と読む。）
１の例題： U＝{ 1、2、3、4、5、6、7、8、9} を全体集合とする
A＝{ 2、4、6、8} について、Aを求めよ。
集合③
自己評価○、△、×
１： U＝{ 1、2、3、4、5、6、7、8、9} を全体集合とする
A＝{ 2、4、6} B＝{1、3、4、7} について、次の集合を求めよ。
(1) A∩B （復習：山はかつ）
(2) A∪B（復習）
(3) A
(4) B
(5) A∩B （ヒント：(3)と(4) の答えを見て考えよう）
(6) A∪B （ヒント：(3)と(4) の答えを見て考えよう）
(7) A∪B （ヒント：(2) の答えを見て考えよう）
(8) A∩B
２：次の□に適するものを次の４つの選択肢から選べ。（選択肢：U、A、A、φ ）
(1) A∩A ＝ (2) A∪A ＝
(3) U ＝ (4) φ
＝
(5) U∪A ＝ (6) U∪A ＝
(7) U∩A ＝ (8) U∩A ＝
３の例題：ド・モルガンの法則①をベン図を用いて納得せよ。
３：ド・モルガンの法則②をベン図を用いて納得せよ。
４：ドモルガンの法則① ②が成り立つことが分かりました。
ではもう一度おもて面の１をみると、結果が同じものがありますね。(5) と (7) (6) と (8)
ですね。 それらが同じになる理由は、ドモルガンの法則の① ②のどちらですか？
(5) と (7) ・・・これはド・モルガンの法則の○ ↑① か ②を書こう
(6) と (8) ・・・これはド・モルガンの法則の○ ↑① か ②を書こう
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標： 正しい（真）か、正しくない（偽）かの判断ができる
よって、以下の 「ド・モルガンの法則②」が成り立つ
② A∪B ＝ A∩B
・・・左右にわかれていたバー をくっつけると、¿と ¿が になる。よって、以下の 「ド・モルガンの法則①」が成り立つ
① A∩B ＝ A∪B
・・・左右にわかれていたバー をくっつけると、¿ と ¿が になる。
集合④
自己評価○、△、×
キーワード： ⇒ を「はすべて」と読む。 宿題：86、88、90、92
新知識： ・・・正しい（ ）か、正しくない（ ）かの判断ができる式や文。
⇒ を使って表す。（「はすべて」と読む）（教科書では「ならば」だけど）
正しくない（偽）ということは、正しくない例が１つはある。・・・ 例
１の例題：次の命題の真偽を答えよ。偽であるときは反例を 1 つ挙げよ。はすべて
(1) 5 は小さい数である。 ( 5 ⇒ 小さい数 ということ) ↓どちらかに○を
真
偽（反例： ）
はすべて
(2) 32+42=52 ( 3
2+42 ⇒ 52
ということ)
真
偽（反例： ）
はすべて
(3) 5 は偶数である。 ( 5 ⇒ 偶数 ということ)
真
偽（反例： ）
はすべて
(4) ジョユウ ⇒ ヒト
真
偽（反例： ）
はすべて
(5) x≧ 2 ⇒ x≧ 2
真
偽（反例： ）
はすべて
(6) 自然数 n は 4 の倍数 ⇒ 自然数 n は偶数
真
偽（反例： ）
はすべて
(7) x=2 ⇒ x2=4 （x は実数とする。実数とは、皆が知ってるすべての数。）
真
偽（反例： ）
はすべて
(8) x2−2x−3=0 ⇒ x-3=0
（x は実数とする。）
真
偽（反例： ）
はすべて
(9) 自然数 n は 12 の約数 ⇒ 自然数 n は 6 の約数
真
偽（反例： ）
１：次の命題の真偽を答えよ。偽であるときは反例を 1 つ挙げよ。ただし x は実数とする。はすべて
(1) ヒト ⇒ ジョユウ
真
偽（反例： ）
はすべて
(2) 自然数 n は 6 の倍数 ⇒ 自然数 n は 12 の倍数
真
偽（反例： ）
はすべて
(3) 自然数 n は 6 の約数 ⇒ 自然数 n は 12 の約数
真
偽（反例： ）
はすべて
(4) x≧ 1 ⇒ x>0 （x は実数とする。）
真
偽（反例： ）
はすべて
(5) x>0 ⇒ x≧ 1 （x は実数とする。）
真
偽（反例： ）
はすべて
(6) 自然数 n は 10 の倍数 ⇒ 自然数 n は 2 の倍数
真
偽（反例： ）
はすべて
(7) 自然数 n は 2 の倍数 ⇒ 自然数 n は 10 の倍数
真
偽（反例： ）
はすべて
(8) 自然数 n は 10 の倍数 ⇒ 自然数 n は 15 の倍数
真
偽（反例： ）
はすべて
(9) 自然数 n は 15 の倍数 ⇒ 自然数 n は 10 の倍数
真
偽（反例： ）
はすべて
(10) 3 x=6 ⇒ x=2 （x は実数とする。）
真
偽（反例： ）
はすべて
(11) x2=3x ⇒ x=3
（x は実数とする。）
真
偽（反例： ）
復習：素数とは、約数がちょうど 個のもの。（自分自身と、１）
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
約数
２：次の命題の真偽を答えよ。偽であるときは反例を 1 つ挙げよ。ただし x は実数とする。
はすべて
(1) 21 は素数である。 ( 21 ⇒ 素数 ということ)
真
偽（反例： ）
はすべて
(2) 自然数 n は素数 ⇒ 自然数 n は奇数
真
偽（反例： ）
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標： 次（１、２、３、４）の４つの選択肢から選ぶことができる。 １必要条件である（が十分条件ではない） ２十分条件である（が必要条件ではない）
集合⑤
自己評価○、△、×
３必要十分条件である ４必要条件でも十分条件でもない
キーワード：必要十分条件ではなくて、十分必要条件 宿題：94
新知識：
ジョユウであれば、ヒトであるために（ 十分 ・ 必要 ）です。
ジョユウであることは、ヒトであるための 条件といいます。
ヒトであることは、ジョユウであるためには必ず（ 十分 ・ 必要 ）です。
ヒトであることは、ジョユウであるための 条件という
１の例題：上記の１、２、３、４の４つの選択肢から選べ。
考え方
① 「は」の下に を書く
② 真なら○ 偽なら× を両方の矢印で考える。
③ 上から十分・必要の順番で判断。
十分 十分
必要 必要
３必要十分条件 ２十分条件 １必要条件 ４どちらでもない
←(１、２、３、４のどれかを埋める)
(1) ジョユウであることは、ヒトであるための 。
(2) ヒトであることは、ジョユウであるための 。
(3) 自然数 n が偶数であることは、n＝4 であるための 。
(4) 自然数 n が 2 の倍数であることは、n が 3 の倍数であるための 。
(5) x=3 は、x2−6 x+9=0 であるための 。 （x は実数とする。）
１必要条件 ２十分条件 ３必要十分条件 ４どち らで もない
(6) |x|=2は、x=2 であるための 。 （x は実数とする。）
１：上記の１、２、３、４の４つの選択肢から選べ。
(1) x=2 は、x2=4 であるための 。 （x は実数とする。）
(2) x2+x−6=0 は、x=2 であるための 。 （x は実数とする。）
(3) x (x-2)=0は、x ( x+3 )=0であるための 。 （x は実数とする。）
(4) x≠0 は、( x-1)( x-2)=0 であるための 。 （x は実数とする。）
(5) x=2 は、|x|=2であるための 。 （x は実数とする。）
１必要条件 ２十分条件 ３必要十分条件 ４どち らで もない
(6) |x|=0は、x=0 であるための 。 （x は実数とする。）
(7) x≧ 3は、x>2であるための 。 （x は実数とする。）
(8) x<－1 は、x≦−2 であるための 。 （x は実数とする。）
(9) 自然数 n が 10 の倍数であることは、n が 30 の倍数であるための 。
(10) 自然数 n が素数であることは、n が奇数であるための 。
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標： 次（１、２、３、４）の４つの選択肢から選ぶことができる。Part2
１必要条件である（が十分条件ではない） ２十分条件である（が必要条件ではない）
３必要十分条件である ４必要条件でも十分条件でもない
キーワード：文字が 2個なら反例も 2 文字分!!! 宿題：94
集合⑥
自己評価○、△、×
復習
考え方
① 「は」の下に を書く
② 真なら○ 偽なら× を両方の矢印で考える。
③ 上から十分・必要の順番で判断。
十分 十分
必要 必要
３必要十分条件 ２十分条件 １必要条件 ４どちらでもない
１の例題：上記の１、２、３、４の４つの選択肢から選べ。
←(１、２、３、４のどれかを埋める)
(1) x=3 かつy=2は、x+ y=5 であるための 。（x , yは実数とする。）
(2) xy=1 は、x=1であるための 。 （x , yは実数とする。）
(3) x= yは、x+z= y+zであるための 。 （x , yは実数とする。）
(4) 整数 a , b の積が正であることは、整数 a , b が同符号であるための 。
１：上記の１、２、３、４の４つの選択肢から選べ。
(1) x=7 かつy=2は、x− y=5であるための 。（x , yは実数とする。）
１必要条件 ２十分条件 ３必要十分条件 ４どち らで もない
(2) x= y=0は、xy=0かつx+ y=0 であるための 。 （x , yは実数とする。）
(3) x< yは、xz< yzであるための 。（x , y , zは実数とする。）
(4) x> yは、x2> y2
であるための 。（x , yは実数とする。）
(5) 整数 a , b の和が正であることは、整数 a , b がともに正であるための 。
１必要条件
２十分条件 ３必要十分条件 ４どち らで もない
２の例題：上記の１、２、３、４の４つの選択肢から選べ。
(1) 四角形ABCD がひし形であることは、四角形ABCD が正方形であるための 。
(2) △ABC の 3辺が等しいことは、3 つの内角の大きさが等しいための 。
２：上記の１、２、３、４の４つの選択肢から選べ。
(1) 四角形ABCD がひし形であることは、四角形ABCD が平行四辺形であるための 。
(2) 図形Ｆが長方形であることは、図形Ｆが正方形であるための 。
(3) ∠Ａ＜90°であることは、△ABC が鋭角三角形であるための 。
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標： １否定を考えられる。 ２集合を数直線に図示できる。
キーワード： １否定・・・「～じゃない」 宿題：96、98
新知識： 偶数の否定は・・・・偶数じゃない・・・つまり
x≧ 1の否定は・・・・x≧ 1じゃない・・・つまり
男子かつ苗字が○○ の否定は・・・（男子かつ苗字が○○）じゃない
・・・つまり
・・・つまり
以外全員。（○○さんもだね）
男子じゃない 苗字が○○じゃない誰？
集合⑦
自己評価○、△、×
・・・これってドモルガンの法則だよ。きづいた？
偶数 →否定→ = →→→→
奇数 →→→→ ≠ →→→→
x≧ 1 →→→→ 約数 →→→→
x≦ 1 →→→→ 倍数 →→→→
x>1 →→→→ 有理数 →→→→
x<1 →→→→ 無理数 →→→→
以上 →→→→ p →→→→
以下 →→→→ q →→→→
より大きい →→→→ かつ →→→→
より小さい →→→→ または →→→→
正の数 →→→→ ともに →→→→ (かつ or または)
１の例題：次の条件の否定を作れ
(1) 自然数 n は偶数である (2) x<−1
(3) x<2 かつ y ≧5
１：次の条件の否定を作れ
(1) 自然数 n は有理数である (2) x は 5 以上である。
(3) x≦−3 (4) x≦ 2 または y>3
(5) 自然数 n は 12 の約数 かつ 自然数 n は 5 以上
(6) 2≦ x≦5 （ヒント：これ言い換えると 2≦ x x≦ 5）
２の例題：次の条件を満たすxの集合を数直線上に図示し、その範囲を答えよ。
奇数
(1) －2 ＜x＜2
(2) x＞1 かつ －2 ＜x＜2
(3) x＞1 または －2 ＜x＜2
(4) x＞1 でない
２：次の条件を満たすxの集合を数直線上に図示し、その範囲を答えよ。
(1) 3 ≦x＜5
(2) x≦ 3 かつ x≦ 5
(3) x≦ 3 または x≦ 5
(4) x≦ 3でない
－2 ＜x＜ 2
まとめ「かつ」は 本のところ。 「または」は 本のところも OK。
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
内容の目標： 逆・裏・対偶の真偽を求められる。
キーワード： 対偶・・・逆の否定 宿題：100、102、103
復習： ⇒ ・・・これの読み方は
新知識：逆・・・矢印の右と左が逆
裏・・・否定（前回の授業を思い出して）
対偶・・・逆の否定
１の例題：次の命題の真偽をいえ。偽の場合は必ず反例を 1 つ挙げよ。
また、その命題の逆・裏・対偶をつくり、それらの真偽をいえ。
実数xについて ↓○をつけよう
x=2 ⇒ x2=4 真・偽（反例： ）
逆： 真・偽（反例： ）
裏： 真・偽（反例： ）
対偶： 真・偽（反例： ）
（逆の否定）
１：次の命題の逆・裏・対偶をつくれ。
また、それらの真偽をいえ。偽の場合は必ず反例を 1 つ挙げよ。
実数xについて ↓○をつけよう
(1) x=0 ⇒ x2=0 真・偽（反例： ）
逆： 真・偽（反例： ）
裏： 真・偽（反例： ）
「 」
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
集合⑧
自己評価○、△、×
対偶： 真・偽（反例： ）
↓○をつけよう
(2) 自然数 n について
n は 6 の約数 ⇒ n は 12 の約数 真・偽（反例： ）
逆： 真・偽（反例： ）
裏： 真・偽（反例： ）
対偶： 真・偽（反例： ）
実数xについて ↓○をつけよう
(3) -3<x<3 ⇒ -1<x<1 真・偽（反例： ）
逆： 真・偽（反例： ）
復習： 裏（否定）を考える前に、
前回の復習
-3<x<3 の否定を考えるために、
-3<x<3 を言い換えると -3<x x<3 これの否定を考えればいい。
よって、-3<x<3 の否定は、
裏： 真・偽（反例： ）
⇒
まとめ
元の命題の真偽と、 の真偽は必ず同じになる。
理由：上の２つの命題は、同じ意味になるもんね。
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
対偶： 真・偽（反例： ）
２：次の命題の対偶を作り、真偽を判定せよ。
人 ⇒ い つ か死ぬ。 真・偽（反例 ：
）
対偶： 真・偽（反例： ）
３：次の命題の真偽をいえ。偽の場合は必ず反例を 1 つ挙げよ。
実数 x , y について ↓○をつけよう
x+ y≠3 ⇒ x≠2 または y≠1 真・偽（反例： ）
演習問題・・・この中から数値も全く同じ数題で確認テストをします。「全員の力で全員満点」が毎時間の目標です。 （ ）組（ ）番 氏名（ ）
「幸せに過ごせる、デキる社会人」を目指して主体的に行動してくれることを願います。今日も「達成」・「貢献」デキるかな。（●＾＾●）
⇒
⇒
集合⑨
自己評価○、△、×
内容の目標：１対偶を利用して証明できる。 ２背理法を理解する。
キーワード：１ 同じ ２ 仮定 ＆ 矛盾 宿題：105、107
復 習：
復習： つぎは（ ○ × ）のどちらか？丸をつけよ。
(1) n=2kなら,nは偶数である。（ ○ × ） (2) n=2k+1なら,nは奇数である。（ ○ × ）
１の例題：整数nについて
「n2
が偶数ならば、nは偶数であること」
を対偶を利用して証明せよ。
１：整数nについて
「3n+5が偶数ならば、nは奇数であること」
を対偶を利用して証明せよ。
復習： つぎは（ ○ × ）のどちらか？丸をつけよ。
元の命題の真偽と、 の真偽は必ず同じになる。
(3) m2が偶数なら,mは偶数である。（ ○ × ） (4)
43−5
2 は有理数である。（ ○ × ）
クイズ：４００人の生徒の中に同じ誕生日の人が必ずいる。○か×か？
分かった人は理由を考え、近くの人に話してみよう。
（ ○ × ）
数学昔話：
ピタゴラスの定理を発見した、古代ギリシャのピタゴラスは「万物の根源は数である」とい
う信念を持っていた。ピタゴラスは、自然界のあらゆるものは、整数比、つまり、分
数（
整数整数 ）で表されると信じていた。１辺が１の正方形の対角線も分数で表される
と考えた。２辺が１の直角三角形の斜辺なので、皆が知っているとおり√2。バビロニア人も同
じ事を考えていて√2=30547
21600 と分数で見積もった。これはかなり近い。２乗すると 、
1.9999983…である。しかし、ピタゴラスは、どれだけ頑張っても、2乗すると 2 になる数は分数
の形では表すことが無理であることを証明した。以下がその証明で、このような証明方法を背理
法と呼ぶ。
証明：
2乗すると 2 になる数を整数比（分数）で表せると仮定すると
（現在風にいうと、2乗すると 2 になる有理数が存在すると仮定したのです。）
少なくとも一方は奇数である整数m ,nを用いて√2= n
m と表せる。・・・★
（両方偶数だと約分出来るから。）
両辺 2乗すると
(√2 )2=( nm )2
2= n2
m2
2m2=n2… ①･･
m2は整数なので、n
2 は偶数。よって n も偶数だから
n=2t ②･･････を満たす整数t が存在する。ここで、②を①へ代入する。
2m2=4 t 2 m2=2t 2
t 2は整数なので、m2
は偶数。よって m も偶数。
したがって、m、nはともに偶数となり、★に矛盾する。
ゆえに、2乗すると 2 になる数は整数比（分数）では表せない。
これは大発見だった。この世界には整数比（分数）で表せない数もあるんだとピタゴラスは驚
いた。では、この正方形の対角線の長さは何なんだ。ぴったりの数を整数比（分数）で表すこと
が無理な数。これが無理数という数が誕生した歴史である。
２：（チャレンジ）
2√2+5 が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。
ただし、√2が無理数であることを用いてよいとする。
ヒント：2√2+5 が有理数である と仮定し、矛盾を導くことにより、
2√2+5 が無理数である と証明すればいいね。
