Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GEOTEHNIČKI FAKULTET
VANJA KARAKAŠ
SAVIJANJE POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA
DIPLOMSKI RAD
VARAŽDIN, 2012.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GEOTEHNIČKI FAKULTET
DIPLOMSKI RAD
SAVIJANJE POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA
KANDIDAT: MENTOR:
Vanja Karakaš Doc.dr.sc. Krešo Ivandić
VARAŽDIN, 2012.
SADRŽAJ
1. UVOD ...................................................................................................................... 1
2. OPTEREĆENJE NA PILOTE ................................................................................ 3
3. KLASIFIKACIJA PILOTA ..................................................................................... 3
4. DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA PROBLEMA I RUBNI UVJETI ................... 5
5. OPČENITO O NAČINU PRORAČUNA
PILOTA OPTEREĆENIH POPREČNOM SILOM ............................................... 8
6. ANALITIČKI NAČIN PRORAČUNA
POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA ................................................................ 9
6.1. ANALIZA NA JEDNOPARAMETARSKOM MODELU TLA ................... 11
6.2. ANALIZA NA DVOPARAMETARSKOM MODELU TLA ........................ 13
7. ODABIR EKVIVALENTNOG KOEFICIJENTA REAKCIJE PODLOGE .......... 15
7.1. KOEFICIJENT ELASTIČNOSTI U POPREČNOM SMJERU ................... 17
8. PRIKAZ NEKIH SITUACIJA KOD KOJIH
DOLAZI DO POREČNOG OPTEREĆENJA PILOTA ...................................... 21
8.1. PRIMJER 1 - SLOBODAN PILOT
OPTEREĆEN IZNAD RAZINE TERENA .................................................... 21
8.2. PRIMJER 2 - DEFORMACIONA ENERGIJA PILOTA ............................ 24
9. PRORAČUNSKA ANALIZA PILOTA ................................................................ 26
9.1. PRIKAZ PROMJENA RAČUNATIH STATIČKIH VELIČINA
OBZIROM NA PROMJENU KOEFICIJENTA REAKCIJE TLA k ............ 43
9.2. PRIKAZ RELATIVNOG ODNOSA POMAKA
VRHA PILOTA I KOEFICIJENTA REAKCIJE PODLOGE ..................... 46
9.3. PRIKAZ RELATIVNOG ODNOSA
MAKSIMALNOG MOMENTA SAVIJANJA
PILOTA I KOEFICIJENTA REAKCIJE PODLOGE .................................... 47
10. ZAKLJUČAK ...................................................................................................... 48
11.
LITERATURA...................................................................................................... 51
12. SAŽETAK ........................................................................................................... 52
Savijanje poprečno opterećenih pilota
1. UVOD
Kada tlo u dostupnoj dubini nema dovoljnu moć nošenja ili je pak njegova
stišljivost prevelika, pa bi slijeganje bilo neprihvatljivo veliko, građevina se mora
osloniti na dublje slojeve tla koji imaju veću nosivost ili manju stišljivost. U takvim
slučajevima riječ je o dubokom temeljenju građevine, među koje spada i temeljenje na
pilotima. Piloti su stupovi od čvrstog materijala koji, uz zahtjevani stupanj sigurnosti,
prenose sile od građevine na dublje slojeve tla.
Pilot je dominantno jednodimenzionalni (štapni) element, dok materijali od kojih
se rade piloti mogu biti različiti (drvo, beton, prednapregnuti beton, čelik). Bez obzira
na materijal od kojeg je izrađen, pilot je element u sistemu konstrukcija - tlo čija je
krutost puno veća od krutosti tla u kojem se pilot nalazi i čije se ponašanje može
relativno točno predvidjeti uobičajenim simplifikacijama (linearno elastični materijal),
barem za uobičajeni raspon radnih sila.
S druge strane, tlo ima sasvim drugačije osobine od pilota. Geometrijske i
mehaničke karakteristike tla se ne mogu unaprijed propisati, već ih treba utvrditi na
svakoj lokaciji gdje se želi graditi. Općenito karakteristike tla, u onom smislu koje
zanima građevinskog inženjera, su nelinearno i neelastično ponašanje uz svojstva
nehomogenosti i anizotropnosti. Isto tako realno tlo pokazuje svojstva povezanog
kontinuuma tj. djelovanjem opterećenja u jednoj točki neće doći do deformacija i
pomaka samo u toj točki, već i u onim točkama koje nisu direktno opterećene.
Iz tih razloga problem zajedničkog rada dva tako različita elementa postaje vrlo
složen. Općenito statička analiza pilota u tlu spada u kategoriju problema interakcije
objekt - tlo. Reaktivni pritisci tla ovisni su o pomaku pilota, ali s druge strane veličina
pomaka pilota ovisi o otporu tla.
Pilot kao konstruktivni element može biti opterećen kosom silom i momentom.
Rastavljanjem sile na komponentu u smjeru osi pilota i okomito na os, analiza se može
svesti na odvojene probleme uzdužno i poprečno opterećenog pilota. Kod uzdužno
opterećenih pilota u većini je slučajeva tlo kritični element, jer uzdužne sile koje djeluju
na pilot nisu dovoljno velike da značajnije deformiraju pilot (skraćenje ili produljenje),
prije nego li dođe do loma tla. S druge strane, kod poprečno opterećenih pilota,
1
Savijanje poprečno opterećenih pilota
opterećenja na pilot su dovoljno velika da se mora izvršiti analiza naprezanja i
deformacija u pilotu jer pilot postaje kritičan element u sistemu konstrukcija - tlo.
U ovom radu će se dati prikaz različitih načina proračuna poprečno opterećenih
pilota, koji se mogu podijeliti prema načinu modeliranja tla.
Najstariji način opisivanja ponašanja tla je modeliranje tla nezavisnim oprugama
konstantne krutosti ili tzv. Winkler - ov model. Ovaj model je do sada najprimjenjivaniji
u praksi zbog svoje jednostavnosti, te velikog iskustva u primjeni modela na različitim
inženjerskim problemima.
Slijedeći način modeliranja tla u proračunima poprečno opterećenih pilota je
model tla kao elastičnog kontinuuma, koji se pojavio sedamdesetih godina prošloga
stoljeća. Rješenja takvog tipa bazirana su na Mindlin-ovom rješenju djelovanja
koncentrirane sile u elastičnom poluprostoru.
Zadnji način modeliranja tla je analiza metodom konačnih elemenata, gdje se
diskretizacijom pilota omogućuje točnije modeliranje problema interakcije pilota i tla.
U radu će se također dati analiza veze između deformacija pilota i potencijalne
energije deformiranog pilota, gdje je osnovni cilj utvrđivanje distribucije potencijalne
energije deformacija u pilot i tlo za različite računske modele tla.
2
Savijanje poprečno opterećenih pilota
2. OPTEREĆENJE NA PILOTE
Piloti su u najvećem broju slučajeva opterećeni silom i/ili koncentriranim
momentom na svojem vrhu. Kosa sila rastavlja se na komponentu u smjeru osi pilota i
okomito na njegovu os. Prethodno je bilo rečeno da su mehanizmi nosivosti za ta dva
slučaja potpuno različiti, te se oni analiziraju odvojeno.
Za analizu uzdužno opterećenih pilota nosivost tla imati će ključnu ulogu pri
dimenzioniranju, dok će kod poprečno opterećenih pilota to najčešće imati maksimalni
moment savijanja u pilotu ili maksimalni (horizontalni) pomak vrha pilota.
3. KLASIFIKACIJA PILOTA
Kada pilot može izdržati razinu deformacije koja dovodi do sloma tla nazivamo
ga krutim, dok u situaciji kada pilot postaje kritičan i do njegova sloma dolazi pri
deformaciji ispod kritične razine za tlo nazivamo ga fleksibilnim ili elastičnim pilotom.
Može se reći da su kruti piloti kratki, dok su dugi fleksibilni, međutim za točnu
klasifikaciju potrebno je uzeti u obzir i odnos krutosti pilota i tla te dužinu pilota.
Za definiranje krutih ili fleksibilnih pilota koristi se pojam tzv. kritične dužine
pilota. To je dužina pilota nakon koje promatrane veličine (pomaci, momenti, reaktivni
pritisci) poprimaju beznačajne vrijednosti.
3
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 1 - Kruti i fleksibilni pilot opterećen horizontalnom silom H
Prema Fleming, Weltman, Randolph, Elson (1980) za pilot dane fleksione krutosti
E⋅I p , koji se nalazi u tlu, koje je karakterizirano koeficijentom reakcije tla k, kritična
dužina pilota definira se kao:
lk=4⋅[ ( E⋅I )pk⋅d ]
14
[ m ]
Vidi se da kritična dužina lk uključuje oba elementa tj. pilot i tlo, preko
računskog koeficijenta reakcije tla k, promjera pilota d i krutosti pilota E⋅I . Ako je
pilot, u računskom smislu greda, veoma krut u odnosu na tlo, lk poprima relativno
veliku vrijednost, što će imati za posljedicu da će opterećenje na pilot uzrokovati
pomake pilota na značajnijoj udaljenosti od mjesta djelovanja opterećenja. S druge
strane mekani pilot i kruto tlo dati će relativno malu kritičnu dužinu. Tako se može za
određeni pilot i tlo u kojem se pilot nalazi, odrediti kritična dužinu tog sistema i iz
rješenja zadanog problema odrediti točku u kojoj će pomak biti jednak nuli, te nakon
koje pomaci padaju na zanemarive vrijednosti. Ako je pilot kraći od kritične dužine
nazivamo ga kruti pilot, dok je pilot duži od efektivne dužine fleksibilni pilot. Drugim
riječima, što je veći odnos krutosti pilota i tla, to je potrebna veća dužina pilota da ga se
može smatrati fleksibilnim.
4
Savijanje poprečno opterećenih pilota
U slučaju da dno pilota trpi neke pomake i deformacije, a istovremeno dolazi do
savijanja pilota uslijed poprečnog opterećenja, takav pilot računamo kao fleksibilni pilot
konačne dužine, dok za slučaj kada su pomaci na dnu pilota zanemarivo mali, pilot
možemo računati kao da je beskonačno dug. Ovaj drugi slučaj ima utjecaja na
pojednostavljenje općeg rješenja diferencijalne jednadžbe prilikom analitičkog
rješavanja problema.
Kratki piloti računaju se na bazi teorije plastičnosti, gdje je težište bačeno na
određivanje nosivosti tla u sistemu pilot - tlo. Mjerodavna veličina za dimenzioniranje
je maksimalno horizontalno opterećenje pilota obzirom na nosivost tla.
Kod elastičnih pilota dominantne su deformacione linije pilota te maksimalne
rezne sile u pilotu, koje su mjerodavne za dimenzioniranje. U radu će se analizirati
ponašanje elastičnih pilota.
4. DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA PROBLEMA I RUBNI UVJETI
Opća diferencijalna jednadžba problema poprečno opterećenog pilota glasi:
E⋅I⋅d4 y ( z )dz4 =−q ( z)+ f ( z )
gdje su:
- E - modul elastičnosti pilota
- I - moment tromosti poprečnog presjeka pilota
- y(z) - nepoznata funkcija horizontalnog pomaka pilota
- q(z) - nepoznata funkcija reaktivnog pritiska tla
- f(z) - poznata funkcija vanjskog opterećenja na pilot
Ovdje se podrazumijeva da ponašanje pilota odgovara ponašanju elastične grede,
za koju vrijedi, uz zanemarenje diferencijalnih veličina drugog reda, da je vrijednost
četvrte derivacije funkcije pomaka u promatranoj točki nosača jednaka vanjskoj sili u
5
Savijanje poprečno opterećenih pilota
toj točki. U slučaju običnog grednog nosača na točkastim ležajevima (koji su nepokretni
ili su im pomaci unaprijed zadani) vanjsko opterećenje je poznato, pa se rješenje može
tražiti direktno. Ležajne reakcije traže se iz uvjeta ravnoteže, a funkcija pomaka
grednog nosača iz odgovarajućih rubnih uvjeta.
U slučaju pilota ili općenito nosača koji ne leže na točkastim ležajevima već na
kontinuiranoj podlozi, osim nepoznate funkcije pomaka pilota pojavljuje se i nepoznata
funkcija raspodjele reaktivnih pritisaka u podlozi tj. na nosač.
Da bi problem bio rješiv, potrebno je pronaći dodatnu vezu između dviju
nepoznatih funkcija pomaka i reaktivnih pritisaka. Dodatna veza između nepoznatih
pomaka i nepoznatih reaktivnih pritisaka u stvari predstavlja određeni model tla. Ako je
model jednostavan, kao u slučaju Winkler - ovog modela, problem će se moći riješiti u
zatvorenom obliku. U slučaju složenije veze pomaka i reaktivnih pritisaka, te time
vjerojatno i realnijeg opisivanja stvarnog ponašanja tla, problem postaje složeniji i više
nije moguće dobiti rješenje u zatvorenom obliku, već se problem rješava numerički.
Bez obzira na model tla i način njegova rješavanja, razlikuje se nekoliko
karakterističnih slučajeva rubnih uvjeta na vrhu i na dnu pilota.
1. Vrh pilota (z = 0)
- slobodan pilot
- poznato - nepoznato
−E⋅I⋅d2 ydz2 =M 0
y ( z=0 )= y0
−E⋅I⋅d3 ydz3 =T 0 ( dy
dz )z=0
=ϕ0
6
Savijanje poprečno opterećenih pilota
- upeti pilot
- poznato - nepoznato
( dydz )
z=0=0 y ( z=0 )=0
−E⋅I⋅d3 ydz3 =T 0 −E⋅I⋅d2 y
dz2 =M 0
2. Dno pilota (z = l)
- slobodan pilot
- poznato - nepoznato
−E⋅I⋅d2 ydz2 =M l=0
y ( z=l )= y l
−E⋅I⋅d3 ydz3 =T l=0 ( dy
dz )z=l
=ϕl
- upeti pilot
- poznato - nepoznato
y ( z=l )=0 −E⋅I⋅d2 ydz2 =M l
( dydz )
z=l=0 −E⋅I⋅d3 y
dz3 =T l
7
Savijanje poprečno opterećenih pilota
5. OPČENITO O NAČINU PRORAČUNA PILOTA OPTEREĆENIH
POPREČNOM SILOM
Već je rečeno da će način proračuna poprečno opterećenih pilota ovisiti o
složenosti modela, tj. o tome u kojoj mjeri ćemo se računskim modelom približiti
stvarnom ponašanju tla. Način proračuna se opčenito može podijeliti na analitički i
numerički.
Analitički način proračuna primjenjiv je samo na jednostavnim modelima, kao što
je Winkler - ov jednoparametarski model s konstantnim koeficijentom reakcije tla po
dubini. Isto tako moguće je dobiti rješenje u zatvorenom obliku i za tzv.
dvoparametarski model tla, koji osim krutosti opruge, sadrži i dodatni parametar kojim
se pokušava opisati svojstvo tla kao povezanog kontinuuma. I u ovom slučaju
koeficijent krutosti tla k konstantan je po dubini. Osim za konstantan koeficijent
reakcije tla moguće je dobiti analitičko rješenje za linearno rastući koeficijent reakcije
korištenjem redova potencija.
Ovime su iscrpljene mogućnosti analitičkog rješavanja problema, što znači da se
od stvarnih svojstava tla jedino nehomogenost tla, preko linearne varijacije koeficijenta,
te kontinuiranost, preko dodatnog parametra u dvoparametarskom modelu, može
djelomično uzeti u obzir analitičkim putem.
U slučaju kada se modelom želimo približiti stvarnom ponašanju tla, složenost
proračuna raste, te se moramo koristiti numeričkim metodama. U skupinu modela čija
se rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku spadaju Mindlin - ov model
poluprostora, nelinearni model poluprostora, ali isto tako i nelinearni jednoparametarski
i dvoparametarski modeli sa složenijom raspodjelom koeficijenta reakcije tla po dubini.
Najprimjenjivanije numeričke metode proračuna su metoda konačnih diferencija,
metoda konačnih elemenata i metoda rubnih elemenata. Osnovna karakteristika tih
metoda je diskretizacija (matematička ili fizikalna) problema, koja dovodi do
formulacije problema preko niza linearnih algebarskih jednadžbi, čime se problem svodi
na rješavanje linearnih sustava jednadžbi umjesto traženja rješenja neprekinutih
funkcija.
8
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 2 - Prikaz dodatnih veza između nepoznatih funkcija pomaka u(z) i reaktivnih pritisaka
tla p(z) u jednoparametarskom i dvoparametarskom modelu tla te Mindlin - ovom modelu
6. ANALITIČKI NAČIN PRORAČUNA POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA
Promatra se horizontalno opterećen pilot koji je opterećen isključivo na vrhu
(glavi) pilota, što omogućuje bitno pojednostavljenje problema u tom smislu što se
provodi analiza homogenog dijela osnovne diferencijalne jednadžbe. Rubni uvjeti za
nalaženje nepoznatih konstanti mogu biti kombinacija upetog i/ili slobodnog pilota na
glavi i stopi.
9
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 3 - Horizontalno opterećen vertikalni pilot
Diferencijalna jednadžba problema za pilote konstantnog poprečnog presjeka od
istog materijala ( E⋅I=const ) izgleda ovako:
E⋅I⋅d4 u (z )dz4 + p ( z)=0
Za ovaj izraz karakteristični su slijedeći rubni uvjeti za slobodni i/ili upeti pilot na vrhu i
glavi gdje su:
- T 0 , T l - poprečna sila na vrhu i glavi pilota
- M 0 , M l - moment savijanja na vrhu i glavi pilota
- u0 , ul - pomak vrha i glave pilota
- ϕ0 , ϕl - kut zaokreta vrha i glave pilota
10
Savijanje poprečno opterećenih pilota
6.1. Analiza na jednoparametarskom modelu tla
p ( z )=k⋅u ( z )
k [kN/m3] je Winkler - ov koeficijent ili koeficijent reakcije tla. Ovaj koeficijent
predstavlja krutost tla ili opterećenje po m2 površine tla koje daje jedinični pomak.
Slijedi diferencijalna jednadžba:
E⋅I⋅d4 u (z )dz4 +k⋅u ( z )=0
Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe glasi:
u ( z )=C1⋅eαz⋅cosαz+C2⋅eαz⋅sin αz+C3⋅e−αz⋅cos αz+C4⋅e−αz⋅sin αz
gdje je:
α=4√ k⋅d4⋅E⋅I
- d - promjer pilota
Rješenje predstavlja linearnu superpoziciju umnoška eksponencijalnih i
trigonometrijskih funkcija. Vidljivo je da numeričke vrijednosti članova uz nepoznate
konstante C1 i C2 rastu s dubinom zbog eksponencijalnog dijela izraza. To bi značilo
da pomak raste što je veća dubina pilota, što nije fizikalno prihvatljivo za duge pilote
(kojima je omjer duljine i promjera veći od deset puta). Zbog toga se zanemaruje dio
općeg rješenja uz C1 i C2 te se pilot tretira kao polubeskonačan sa dva rubna uvjeta
samo na glavi pilota te se može pisati:
u ( z )=C1⋅e−αz⋅cosαz+C2⋅e−αz⋅sin αz
Pripadne derivacije ovog općeg rješenja dane su slijedećim izrazima:
u ' ( z )=−C1⋅α⋅e−αz⋅(cosαz+sin αz )+C2⋅α⋅e−αz⋅(cosαz−sin αz )
11
Savijanje poprečno opterećenih pilota
u '' (z )=2⋅C1⋅α 2⋅e−αz⋅sin αz−2⋅C2⋅α2⋅e−αz⋅cos αz
u ''' ( z )=2⋅C1⋅α 3⋅e−αz⋅(cos αz−sin αz )+2⋅C2⋅α3⋅e−αz⋅(cos αz+sin αz )
Funkcija momenata savijanja:
M (z )=−E⋅I⋅u '' ( z)=2⋅E⋅I⋅α2⋅e−αz⋅(C2⋅cosαz−C1⋅sin αz )
Funkcija poprečnih sila duž nosača:
T ( z )=−E⋅I⋅u ''' ( z )=2⋅E⋅I⋅α 3⋅e−αz⋅[(C1−C2)⋅sin αz−(C1+C2)⋅cos αz ]
U slučaju beskonačno dugog pilota provodi se analiza dvije kombinacije rubnih
uvjeta na glavi pilota (na stopi su za duge pilote pomak i kut zaokreta jednaki nuli zbog
velike vrijednosti argumenta z):
Slobodan pilot:
M (0 )=M 0⇒ 2⋅E⋅I⋅α2⋅C2=M 0
T (0 )=H0⇒ 2⋅E⋅I⋅α3⋅(C1+C2)=−H0
Rješenje sustava:
C1=−H0+α⋅M 0
2⋅α 3⋅E⋅I
C2=α⋅M 0
2⋅α3⋅E⋅I
Konačno redom funkcije pomaka, kuta zaokreta, momenta i poprečnih sila:
u ( z )=− e−αz
2⋅α 3⋅E⋅I⋅[ (H0+α⋅M 0)⋅cosαz−α⋅M 0⋅sin αz ]
12
Savijanje poprečno opterećenih pilota
u ' ( z )=−(H0+α⋅M 0)
2⋅α 2⋅E⋅I⋅e−αz⋅(cosαz+sin αz )+
α⋅M 0
2⋅α 2⋅E⋅I⋅e−αz⋅(cosαz−sin αz )
M (z )=e−αz⋅[( H0
α+M0)⋅sin αz+M 0⋅cos αz ]
T ( z )=αe−αz⋅¿¿
Vidljivo je da jednoparametarski model ne opisuje svojstvo tla kao kontinuuma,
jer pomak tla u takvom modelu nastaje samo u točkama gdje djeluje opterećenje.
Susjedne točke koje nisu direktno opterećene nepomične su, što je u suprotnosti s
realnim ponašanjem tla. Isto tako Winkler - ov koeficijent reakcije tla u stvarnosti nije
konstantan, već ovisi o opterećenju i veličini opterećene površine te vrijedi samo za
određeno stanje naprezanja u tlu. Za isti iznos opterećenja, na istom tlu za dvije različite
veličine opterećene površine dobivaju se različite vrijednosti koeficijenta reakcije tla u
istoj promatranoj točki.
6.2. Analiza na dvoparametarskom modelu tla
p ( z )=k⋅u ( z )−N⋅d2 udz 2
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe može se napisati u sljedećem obliku:
u ( z )=eαz⋅(C1⋅cos βz+C2⋅sin βz )+e−αz⋅(C3⋅cos βz+C4⋅sin βz )
gdje je:
- α=√ λ2+
N4⋅E⋅I
- β=√ λ2−
N4⋅E⋅I
13
Savijanje poprečno opterećenih pilota
- λ=4√ k⋅d
4⋅E⋅I [1/m]
- k, d, E, I, Ci - kao i kod jednoparametarskog modela
Može se računati s beskonačno dugim pilotom, kao i kod jednoparametarskog
modela, kada je dužina pilota veća od kritične, pa je opće rješenje:
u ( z )=e−αz⋅(C3⋅cos βz+C4⋅sin βz )
Nepoznate konstante C3 i C4 određuju se iz rubnih uvjeta na vrhu pilota.
Dvoparametarski model, koji je nastao kasnije od jednoparametarskog modela i
koji je imao za cilj poboljšanje jednoparametarskog modela tla, opisuje svojstvo tla kao
kontinuiranog medija preko krutosti membrane. Međutim kao i kod jednoparametarskog
modela tla, pojavljuje se problem određivanja parametara modela k i N . Ovi parametri
nisu fizikalni parametri te ih je problem odrediti u konkretnom inženjerskom problemu.
14
Savijanje poprečno opterećenih pilota
7. ODABIR EKVIVALENTNOG KOEFICIJENTA REAKCIJE PODLOGE
Konkretan odabir vrijednosti k ovisi o nizu faktora:
- ispitivanju pilota na terenu
- modelskom ispitivanju pilota
- načinu izvedbe pilota
- rezultatima laboratorijskih i in situ ispitivanja svojstava tla
- postojećem iskustvu na predmetnoj lokaciji
- fazi projektiranja
- uračunatom riziku
- iskustvu projektanta
15
Savijanje poprečno opterećenih pilota
H, M y S=dydx
Pomak Rotacija
M=E⋅I⋅( d2 ydx2 ) V=E⋅I⋅( d3 y
dx 3 ) p=E⋅I⋅( d4 ydx4 )
Moment Posmik Reakcija tlaSlika 4 - Funkcije naprezanja pilota i tla
16
Savijanje poprečno opterećenih pilota
k hi=pi
wi [kNm3 ]
7.1. Koeficijent elastičnosti u poprečnom smjeru
Odabir krutosti opruga k h i raspodjela po dubini ovisi o parametrima koji su na
raspolaganju:
- vrsta tla
- parametri deformabilnosti E , v
- dopuštena nosivost pilota qa
- rezultati provedenih istražnih radova (SPT, presiometar...)
- rezultati in situ ispitivanja pilota
- krutosti pilota na djelovanje horizontalne sile i momenta
Odabir koeficijenta elastičnosti u poprečnom smjeru
Empirijske korelacije
Koherentna tla (glina)
k h=nb /d
nb=8 MN /m2 Lako gnječiva glina
nb=16 MN /m2 Teško gnječiva glina
nb=32 MN /m2 Čvrsta glina
17
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Nekoherentna tla (pijesak)
k h=nh⋅z /d
Suhi pijesak Potopljeni pijesak
nh=2,2 MN /m3 Rahli pijesak nh=1,3 MN /m3
nh=6,7 MN /m3 Srednje zbijeni pijesak nh=4,5 MN /m3
nh=18 , 0 MN /m3 Zbijeni pijesak nh=17 ,0 MN /m3
Preko modula elastičnosti tla ES
Vesić
k=0 ,65⋅ES
(1−vS2 )
⋅( ES⋅d4
E p⋅I p)
112
- Ep⋅I p - krutost pilota
Glick
Za 2⋅L/d=90−120 i v=0,2−0,4
k h= (0,8−1,1 )⋅ES /d
Chen
k h=1,6⋅ES /d Koherentna tla
k h=3⋅ES/d Nekoherentna tla
18
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Rasponi vrijednosti modula elastičnosti
Vrsta tlaModul elastičnosti E s, v [
kNm2 ]
Gline
Meke 1000 - 15000
Srednje tvrde 15000 - 30000
Tvrde 30000 - 100000
Pijesci
Prašinasti 7000 - 20000
Rahli 10000 - 20000
Srednje zbijeni 20000 - 40000
Zbijeni 40000 - 80000
Šljunci
Rahli 30000 - 80000
Srednje zbijeni 70000 - 100000
Zbijeni 100000 - 200000
E s,h=( 13/ 11 )⋅E s, v
Na osnovu in situ ispitivanja pilota
α=3√ H0
2⋅E⋅I⋅u0 - za slobodan polubeskonačan pilot
α=4√ k⋅d4⋅E⋅I
k ekv=4⋅E⋅I
d⋅( H0
2⋅E⋅I⋅u0)
43
gdje je:
19
Savijanje poprečno opterećenih pilota
- H0 - horizontalna sila
- u0 - horizontalni pomak
Poznavanje krutosti (fleksibilnosti) pilota na djelovanje poprečne sile i momenta
savijanja
Slika 5 - Fleksibilnost pilota na djelovanje poprečne sile i momenta
L= 32⋅
uH
uM
E⋅I=2724⋅uH
⋅( uH
uM)
3
⋅(1−K⋅uH )
20
Savijanje poprečno opterećenih pilota
K=
32⋅
uH
ϕ M⋅uM−9
8⋅
uH2
uM3
98⋅
uM
ϕM⋅( uH
2
uM)−9
8⋅( uH
uM )3
8. PRIKAZ NEKIH SITUACIJA KOD KOJIH DOLAZI DO POPREČNOG
OPTEREĆENJA PILOTA
8.1. Primjer 1 - Slobodan pilot opterećen iznad razine terena
Za djelovanje horizontalne sile H na vertikalni pilot potrebno je odrediti ukupni
pomak točke A (slika 7).
E=3⋅107 kN /m2
I=0,84⋅3 ,14 /64=0 ,0201 m4
E⋅I=3⋅107⋅0 , 0201=6 , 03⋅105 kNm2
α=4√ kh⋅d
4⋅E⋅I =4√8000⋅0,84⋅6 , 03⋅105=0 ,227
m−1
Pretpostavlja se kruta veza u razini terena između dvaju dijelova različitih poprečnih
presjeka.
21
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 6 - Slobodni pilot opterećen iznad razine terena
Rješenje zadatka bazira se na rastavljanju zadanog sustava na dva nezavisna
statička sistema. Ukupni pomak vrha pilota dobiva se superpozicijom pomaka
dobivenog opterećenjem pilota u razini terena te pomaka dobivenog na konzoli.
U ovom slučaju pilot je u razini terena opterećen silom H te momentom
M=H⋅t , dok je konzola opterećena silom H. Za ukupni horizontalni pomak točke A
može se pisati:
uu=u0+ϕ0⋅t+uk
22
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 7 - Ukupni pomak slobodnog pilota opterećenog iznad razine terena
Iz općih izraza za pomak i kut zaokreta za pilot opterećen u razini terena silom H te
monentom M=H⋅t može se pisati:
u ( z )=− e−αz
2⋅α 3⋅E⋅I⋅[( H+α⋅H⋅t )⋅cosαz−α⋅H⋅t⋅sin αz ]
u ' ( z )=−( H+α⋅H⋅t )2⋅α 2⋅E⋅I
⋅e−αz⋅(cos αz+sin αz )+ α⋅H⋅t2⋅α 2⋅E⋅I
⋅e−αz⋅(cosαz−sin αz )
Za z=0 :
u (0 )=uo=− H +α⋅H⋅t2⋅α3⋅E⋅I
=200⋅(1+0 , 227⋅4,2 )2⋅0 ,2273⋅6 ,03⋅105=0 ,028
m
u ' (0 )=ϕ0=(H +2⋅α⋅H⋅t )
2⋅α 2⋅E⋅I=
200⋅(1+2⋅0 ,227⋅4,2 )2⋅0 ,2272⋅6 ,03⋅105 =0 , 009
ϕ0⋅t=0 , 009⋅4,2=0 , 038 m
Pomak konzole:
uk=H⋅t3
3⋅E⋅I k=200⋅4,23
3⋅3⋅107⋅0,5⋅0,63
12
=0 , 018
m
23
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Ukupni pomak:
uu=0 , 028+0 ,038+0 ,018=0 , 084 m
8.2. Primjer 2 - Deformaciona energija pilota
Primjena izraza za deformacionu energiju pilota je prilikom dimenzioniranja
obalnih konstrukcija temeljenih na pilotima, gdje dolazi do horizontalnog udara broda,
jedan od važnijih parametara.
Osnovna ideja u korištenju energije deformiranog pilota je u tome da se
pretpostavi da ukupnu kinetičku energiju broda ne amortizira samo deformaciona
energija odbojnika, već da u izraz za energetsku ravnotežu uđe i deformaciona energija
obalne konstrukcije i tla u kojem je ona temeljena.
Kada cjelokupnu kinetičku energiju broda preuzima samo elastični odbojnik izraz
za energetsku ravnotežu kinetičke energije broda i deformacione energije elastičnog
odbojnika može se simbolički napisati ovako:
Ekin=Eod
gdje je:
- Ekin - kinetička energija broda
- Eod - deformaciona energija odbojnika
Na taj se način konstrukcija, ali i tlo u kojem je ona temeljena, prilikom
djelovanja broda smatra apsolutno krutom, tj. ona se ne deformira prilikom djelovanja
udara broda. Međutim kada se odredi ekvivalentna statička sila na konstrukciju, ona će
dati pomak te konstrukcije što znači da će generirati i dodatnu deformacionu energiju.
Na taj način energetska ravnoteža neće biti zadovoljena.
Zatim se za generiranu deformacionu energiju odbojnika određuje ekvivalentna
statička sila koja djeluje na konstrukciju. Ova se sila određuje na osnovu dijagrama koje
24
Savijanje poprečno opterećenih pilota
daju proizvođači odbojnika gdje se daje veza djelujuće energije, pomaka i ekvivalentne
statičke sile.
Kada se uzmu u obzir i deformacione energije ostalih dijelova nosivog sklopa
uključujući i tlo u kojem je konstrukcija temeljena, izraz za kinetičku energiju izgleda
ovako:
Ekin=Eod+Ekon+Et=Eod+Eng+E p+E t
gdje je:
- Ekon - deformaciona energija konstrukcije
- Et - deformaciona energija tla
- Eng - deformaciona energija naglavne grede
- Ep - deformaciona energija pilota iznad i ispod razine tla
Sada se veličina ekvivalentne sile na odbojnik neće tražiti za ukupnu kinetičku
energiju, već za razliku kinetičke energije i dijela energije koja je ušla u obalnu
konstrukciju i tlo. Na taj način ekvivalentna sila, ujedno i mjerodavna sila za
dimenzioniranje konstrukcije, postaje manja, a energetska ravnoteža ostaje sačuvana.
Za uobičajeni raspon dimenzija konstrukcije i karakteristika tla, ova ekvivalentna
sila je oko 25 % manja nego u slučaju kada se uzima u obzir samo deformaciona
energija elastičnog odbojnika, što je za velike i skupe obalne konstrukcije značajna
ušteda prilikom njihova dimenzioniranja.
25
Savijanje poprečno opterećenih pilota
9. PRORAČUNSKA ANALIZA PILOTA
Analiza utjecaja koeficijenta reakcije podloge k na raspodjelu pomaka, momenata
savijanja i poprečnih sila za polubeskonačan pilot. Raspon vrijednosti k je 500, 1 000,
2 000, 5 000, 10 000, 20 000, 50 000 i 100 000. Pilot je okruglog presjeka promjera
d=1 m, duljine l=9 m, armirano betonski s modulom elastičnosti E=3⋅107 kN /m2
i
Poisson - ovim koeficijentom v=0,3 .
26
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 500 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
Tablica 1 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
27
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 8 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 2 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 9 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 3 - Vrijednosti poprečnih sila
28
x(l) w(x)0 0,179390,5 0,164081 0,148811,5 0,133582 0,118412,5 0,103303 0,088283,5 0,073334 0,058464,5 0,043655 0,028925,5 0,014246 -0,000406,5 -0,014997 -0,029557,5 -0,044108 -0,058638,5 -0,073169 -0,08768
x(l) M(x)0 0,000000,5 -89,107201 -157,703591,5 -207,698562 -240,995872,5 -259,491803 -265,073943,5 -259,620534 -245,000174,5 -223,072095 -195,686635,5 -164,686016 -131,905376,5 -99,173857 -68,315777,5 -41,151858 -19,500268,5 -5,177689 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 10 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 1 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
29
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -157,066421 -117,955691,5 -82,658832 -51,162532,5 -23,450413 0,495743,5 20,695054 37,166654,5 49,928915 58,998915,5 64,391896 66,120996,5 64,197037 58,628427,5 49,421268 36,579558,5 20,105509 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 4 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 11 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 5 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 12 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 6 - Vrijednosti poprečnih sila
30
x(l) w(x)0 0,090490,5 0,082601 0,074731,5 0,066912 0,059152,5 0,051453 0,043843,5 0,036304 0,028834,5 0,021445 0,014115,5 0,006836 -0,000396,5 -0,007587 -0,014747,5 -0,021888 -0,029018,5 -0,036139 -0,04325
x(l) M(x)0 0,000000,5 -89,018051 -157,386761,5 -207,072392 -240,029962,5 -258,199593 -263,504093,5 -257,847624 -243,115254,5 -221,173365 -193,870735,5 -163,040056 -130,499956,5 -98,057177 -67,508977,5 -40,645408 -19,251588,5 -5,109589 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 13 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 2 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
31
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -156,729921 -117,400511,5 -81,993812 -50,483252,5 -22,836253 0,983503,5 21,014044 37,293364,5 49,857975 58,741725,5 63,974866 65,583396,5 63,588727 58,007507,5 48,851808 36,129508,5 19,844989 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 7 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 14 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 8 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 15 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 9 - Vrijednosti poprečnih sila
32
x(l) w(x)0 0,046020,5 0,041841 0,037681,5 0,033572 0,029522,5 0,025533 0,021623,5 0,017794 0,014034,5 0,010345 0,006715,5 0,003146 -0,000396,5 -0,003877 -0,007337,5 -0,010778 -0,014208,5 -0,017639 -0,02105
x(l) M(x)
0 0,000000,5 -88,843191 -156,765541,5 -205,845112 -238,137562,5 -255,668953 -260,430993,5 -254,378434 -239,428324,5 -217,460835 -190,321425,5 -159,823976 -127,754696,5 -95,876537 -65,933827,5 -39,656868 -18,766278,5 -4,976729 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 16 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 5 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
33
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -156,070021 -116,312401,5 -80,691342 -49,153972,5 -21,635583 1,935813,5 21,635444 37,538364,5 49,716545 58,236595,5 63,157966 64,531686,5 62,399677 56,794547,5 47,739878 35,251068,5 19,336619 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 10 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 17 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 11 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 18 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 12 - Vrijednosti poprečnih sila
34
x(l) w(x)0 0,019300,5 0,017351 0,015431,5 0,013562 0,011742,5 0,009993 0,008313,5 0,006714 0,005174,5 0,003715 0,002305,5 0,000956 -0,000376,5 -0,001647 -0,002897,5 -0,004128 -0,005348,5 -0,006569 -0,00777
x(l) M(x)0 0,000000,5 -88,344371 -154,995091,5 -202,351032 -232,755702,5 -248,479933 -251,710603,5 -244,544824 -228,988564,5 -206,959225 -180,291125,5 -150,743446 -120,009856,5 -89,729127 -61,496297,5 -36,873568 -17,400528,5 -4,602979 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 19 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 10 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
35
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -154,188451 -113,214881,5 -76,990602 -45,385392,5 -18,240683 4,618913,5 23,375664 38,210424,5 49,295775 56,790575,5 60,835956 61,552556,5 59,039057 53,371877,5 44,606138 32,777688,5 17,906309 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 13 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 20 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 14 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 21 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 15 - Vrijednosti poprečnih sila
36
x(l) w(x)0 0,010320,5 0,009141 0,007981,5 0,006872 0,005812,5 0,004823 0,003903,5 0,003054 0,002264,5 0,001535 0,000875,5 0,000256 -0,000346,5 -0,000887 -0,001417,5 -0,001928 -0,002428,5 -0,002919 -0,00341
x(l) M(x)0 0,000000,5 -87,588811 -152,318561,5 -197,079762 -224,654282,5 -237,682453 -238,642643,5 -229,841424 -213,412634,5 -191,323505 -165,386415,5 -137,274766 -108,541646,5 -80,640217 -54,944377,5 -32,769018 -15,388538,5 -4,052879 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 22 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 20 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
37
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -151,341201 -108,542911,5 -71,430262 -39,748602,5 -13,190543 8,580913,5 25,912904 39,146914,5 48,606015 54,585185,5 57,344436 57,104356,5 54,044107 48,301587,5 39,975608 29,130108,5 15,800189 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 16 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 23 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 17 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 24 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 18 - Vrijednosti poprečnih sila
38
x(l) w(x)0 0,005740,5 0,004961 0,004211,5 0,003502 0,002852,5 0,002263 0,001733,5 0,001264 0,000864,5 0,000515 0,000205,5 -0,000066 -0,000296,5 -0,000497 -0,000677,5 -0,000848 -0,001008,5 -0,001169 -0,00132
x(l) M(x)0 0,000000,5 -86,303121 -147,780621,5 -188,177892 -211,029982,5 -219,601903 -216,854533,5 -205,431354 -187,661844,5 -165,577565 -140,937565,5 -115,260156 -89,858446,5 -65,877447 -44,330847,5 -26,135718 -12,143688,5 -3,167249 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 25 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 50 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
39
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -146,505041 -100,656431,5 -62,112952 -30,384862,5 -4,890233 14,998693,5 29,918114 40,483614,5 47,268225 50,786855,5 51,486326 49,740096,5 45,847177 40,034577,5 32,462958 23,235038,5 12,406619 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 19 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 26 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 20 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 27 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 21 - Vrijednosti poprečnih sila
40
x(l) w(x)0 0,002790,5 0,002311 0,001861,5 0,001442 0,001082,5 0,000763 0,000503,5 0,000294 0,000134,5 0,000005 -0,000095,5 -0,000156 -0,000196,5 -0,000227 -0,000237,5 -0,000248 -0,000248,5 -0,000259 -0,00025
x(l) M(x)0 0,000000,5 -83,560851 -138,192981,5 -169,565212 -182,856862,5 -182,640303 -172,829693,5 -156,679434 -136,817924,5 -115,304815 -93,702165,5 -73,151866 -54,453696,5 -38,139727 -24,542107,5 -13,852368 -6,170828,5 -1,545489 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 28 - Dijagram poprečnih sila
Proračun za koeficijent reakcije tla k = 100 000 kN/m3
Horizontalni pomak w(x), [m]
41
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -136,238831 -84,185951,5 -43,033232 -11,659132,5 11,220673 26,938153,5 36,788714 41,973194,5 43,561175 42,471435,5 39,465666 35,151926,5 29,995247 24,333057,5 18,393778 12,317338,5 6,176709 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 22 - Vrijednosti horizontalnog pomaka
Slika 29 - Dijagram horizontalnog pomaka
Momenti savijanja M(x), [kNm]
Tablica 23 - Vrijednosti momenata savijanja
Slika 30 - Dijagram momenata savijanja
Poprečne sile Q(x), [kNm]
Tablica 24 - Vrijednosti poprečnih sila
42
x(l) w(x)0 0,001650,5 0,001321 0,001001,5 0,000722 0,000492,5 0,000303 0,000153,5 0,000054 -0,000034,5 -0,000085 -0,000105,5 -0,000116 -0,000116,5 -0,000117 -0,000097,5 -0,000088 -0,000068,5 -0,000049 -0,00002
x(l) M(x)0 0,000000,5 -80,741871 -128,520581,5 -151,178352 -155,651202,5 -147,795313 -132,347373,5 -112,976054 -92,390134,5 -72,476445 -54,447565,5 -38,985566 -26,372506,5 -16,602857 -9,475397,5 -4,664708 -1,773468,5 -0,368019 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 31 - Dijagram poprečnih sila
9.1. Prikaz promjena računatih statičkih veličina obzirom na promjenu
koeficijenta reakcije tla k
43
x(l) Q(x)0 -200,000000,5 -125,784061 -67,956501,5 -24,992142 5,147582,5 24,698963 35,873643,5 40,713424 41,006314,5 38,249105 33,643425,5 28,114336 22,342826,5 16,805237 11,814807,5 7,561588 4,148658,5 1,622929 0,00000
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Horizontalni pomak w(x), [m]
Slika 32 - Dijagram horizontalnih pomaka uz promjenu koeficijenta k
Momenti savijanja M(x), [kNm]
44
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 33 - Dijagram momenata savijanja uz promjenu koeficijenta k
Poprečne sile Q(x), [kNm]
45
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Slika 34 - Dijagram poprečnih sila uz promjenu koeficijenta k
9.2. Prikaz relativnog odnosa pomaka vrha pilota i koeficijenta reakcije podloge
46
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Tablica 25 - Vrijednosti horizontalnih pomaka pilota i koeficijenata reakcije podloge
Uki Ukmax ki kmax Uki /Ukmax ki /kmax
0,17939 0,00165 500 100000 108,721212 0,005000,09049 0,00165 1000 100000 54,842424 0,010000,04602 0,00165 2000 100000 27,890909 0,020000,01930 0,00165 5000 100000 11,696970 0,050000,01032 0,00165 10000 100000 6,254545 0,100000,00574 0,00165 20000 100000 3,478788 0,200000,00279 0,00165 50000 100000 1,690909 0,500000,00165 0,00165 100000 100000 1,000000 1,00000
Slika 35 - Dijagram relativnog odnosa pomaka vrha pilota i koeficijenta k
47
Savijanje poprečno opterećenih pilota
9.3. Prikaz relativnog odnosa maksimalnog momenta savijanja pilota i koeficijenta
reakcije podloge
Tablica 26 - Vrijednosti momenata savijanja pilota i koeficijenata reakcije podloge
Mki(max) Mkmax(max) ki kmax Mki(max) /Mkmax(max) ki/kmax
-265,07394 -155,65120 500 100000 1,70300 0,00500-263,50409 -155,65120 1000 100000 1,69291 0,01000-260,43099 -155,65120 2000 100000 1,67317 0,02000-251,71060 -155,65120 5000 100000 1,61715 0,05000-238,64264 -155,65120 10000 100000 1,53319 0,10000-219,60190 -155,65120 20000 100000 1,41086 0,20000-182,85686 -155,65120 50000 100000 1,17479 0,50000-155,65120 -155,65120 100000 100000 1,00000 1,00000
Slika 36 - Dijagram relativnog odnosa maksimalnog momenta savijanja pilota i koeficijenta k
48
Savijanje poprečno opterećenih pilota
10. ZAKLJUČAK
Kada tlo u dostupnoj dubini nema dovoljnu moć nošenja ili je pak njegova
stišljivost prevelika, pa bi slijeganje bilo neprihvatljivo veliko, građevina se mora
osloniti na dublje slojeve tla koji imaju veću nosivost ili manju stišljivost. U takvim
slučajevima riječ je o dubokom temeljenju građevine, među koje spada i temeljenje na
pilotima.
Pilot kao konstruktivni element može biti opterećen kosom silom i momentom.
Rastavljanjem sile na komponentu u smjeru osi pilota i okomito na os, analiza se može
svesti na odvojene probleme uzdužno i poprečno opterećenog pilota. Kod uzdužno
opterećenih pilota u većini je slučajeva tlo kritični element, jer uzdužne sile koje djeluju
na pilot nisu dovoljno velike da značajnije deformiraju pilot, prije nego li dođe do loma
tla. S druge strane, kod poprečno opterećenih pilota, opterećenja na pilot su dovoljno
velika da se mora izvršiti analiza naprezanja i deformacija u pilotu, jer pilot postaje
kritičan element u sistemu konstrukcija - tlo.
Kada pilot može izdržati razinu deformacije koja dovodi do sloma tla nazivamo
ga krutim, dok u situaciji kada pilot postaje kritičan i do njegova sloma dolazi pri
deformaciji ispod kritične razine za tlo nazivamo ga fleksibilnim ili elastičnim pilotom.
Za definiranje krutih ili fleksibilnih pilota koristi se pojam tzv. kritične dužine
pilota. To je dužina pilota nakon koje promatrane veličine (pomaci, momenti, reaktivni
pritisci) poprimaju beznačajne vrijednosti.
Ako je pilot veoma krut u odnosu na tlo, kritična dužina pilota poprima relativno
veliku vrijednost, što će imati za posljedicu da će opterećenje na pilot uzrokovati
pomake pilota na značajnijoj udaljenosti od mjesta djelovanja opterećenja. S druge
strane mekani pilot i kruto tlo dati će relativno malu kritičnu dužinu.
Pri analizi poprečno opterećenih pilota, ključnu ulogu pri dimenzioniranju imaju
maksimalni moment savijanja u pilotu te maksimalni (horizontalni) pomak vrha pilota.
Odabir proračuna poprečno opterećenih pilota ovisi o složenosti modela, tj. o
tome u kojoj mjeri se računskim modelom želimo približiti stvarnom ponašanju tla.
Način proračuna se opčenito može podijeliti na analitički i numerički.
49
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Analitički način proračuna primjenjiv je samo na jednostavnim modelima, kao što
je Winkler - ov jednoparametarski model s konstantnim koeficijentom reakcije tla po
dubini. Ovaj model je do sada najprimjenjivaniji u praksi zbog svoje jednostavnosti, te
velikog iskustva u primjeni modela na različitim inženjerskim problemima. Međutim,
jednoparametarski model ne opisuje svojstvo tla kao kontinuuma, jer pomak tla u
takvom modelu nastaje samo u točkama gdje djeluje opterećenje. Susjedne točke koje
nisu direktno opterećene nepomične su, što je u suprotnosti s realnim ponašanjem tla.
Isto tako Winkler - ov koeficijent reakcije tla u stvarnosti nije konstantan, već ovisi o
opterećenju i veličini opterećene površine te vrijedi samo za određeno stanje naprezanja
u tlu.
Dvoparametarski model, koji je imao za cilj poboljšanje jednoparametarskog
modela tla, opisuje svojstvo tla kao kontinuiranog medija preko krutosti membrane.
Međutim kao i kod jednoparametarskog modela tla, pojavljuje se problem određivanja
parametara modela k i N .
U slučaju kada se modelom želimo približiti stvarnom ponašanju tla, složenost
proračuna raste, te se moramo koristiti numeričkim metodama. Neke od tih metoda su
Mindlin - ov model poluprostora, nelinearni model poluprostora, ali isto tako i
nelinearni jednoparametarski i dvoparametarski modeli sa složenijom raspodjelom
koeficijenta reakcije tla po dubini.
Proračun je proveden odabirom jednoparametarskog modela tla. Prikazan je
utjecaj promjene koeficijenta reakcije tla na vrijednosti horizontalnih pomaka,
momenata savijanja pilota te poprečnih sila.
Dijagram horizontalnog pomaka pokazuje nam kako koeficijent reakcije tla utječe
na vrijednost horizontalnog pomaka pilota, tj. da povećanjem koeficijenta reakcije tla
opada vrijednost horizontalnog pomaka pilota. Također je vidljivo kako je za isti
koeficijent k , povećanjem dubine, horizontalni pomak manji.
Dijagram momenata savijanja pilota pokazuje nam ovisnost momenata savijanja o
koeficijentu reakcije tla. Vidljivo je da s porastom dubine raste i vrijednost momenata
savijanja, doseže svoj maksimum, te daljnjim porastom dubine počinje opadati i pri dnu
pilota jednak je nuli. Prikazano je i bitno smanjenje momenata savijanja povećanjem
koeficijenta reakcije tla k .
50
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Dijagram poprečnih sila nam pak pokazuje ovisnost porečnih sila o koeficijentu
k . Vidljivo je smanjenje iznosa poprečne sile povećanjem dubine te pad vrijednosti na
nulu pri dnu pilota. Moguće je uočiti da o koeficijentu reakcije tla ovisi nagib krivulje,
tj. brzina opadanja iznosa poprečne sile sa dubinom. U slučaju veće vrijednosti
koeficijenta reakcije k , pad poprečnih sila je pri manjim dubinama veći, dok im je pri
dnu pilota tendencija ka nuli manja nego kada k ima nižu vrijednost.
Što je tlo u zbijenijem stanju, to je i koeficijent k veći, pa se može zaključiti da na
horizontalni pomak, momente savijanja pilota i poprečne sile utječe zbijenost temeljnog
tla.
Kod relativnog odnosa pomaka vrha pilota i koeficijenta k vidljivo je da
približavanjem vrijednosti odabranog koeficijenta k maksimalnoj, odnosno smanjenjem
omjera tih dviju vrijednosti opada i omjer odgovarajućeg pomaka i maksimalnog
pomaka vrha pilota. Daljnjim povečanjem vrijednosti k , odnosno smanjenjem omjera,
približavamo se jedinici. Također isto vrijedi i za relativni odnos maksimalnog
momenta savijanja pilota i koeficijenta reakcije tla k . Vidljivo je da krivulja ima blagi
nagib što znači da koeficijent k u manjoj mjeri utječe na momente savijanja za razliku
od pomaka vrha pilota gdje krivulja ima strmi pad na početku, a zatim blago pada do
kraja.
Iz rezultata je vidljivo kako odabir koeficijenta reakcije tla k utječe na razultate te
izuzetnu važnost pravilnog odabira istog. Bitan je odabir koeficijenta k , koji je samo
jedan od mnogo parametara na koje trebamo paziti prilikom proračuna, koji što realnije
opisuje tlo na kojem se gradi kako bi smanjili greške u proračunu te velike i nepotrebne
troškove.
51
Savijanje poprečno opterećenih pilota
11. LITERATURA
Ivandić, K (Varaždin, 28.11.2002.): Dimenzioniranje temeljnih konstrukcija -
predavanje
Ivandić, K: Piloti opterećeni horizontalnom silom i momentom
Ivandić, K: Temeljenje I.
Ivandić, K (2010): Koeficijent elastičnosti podloge pilota: Opatija,
16. - 19. lipnja. 2010.
52
Savijanje poprečno opterećenih pilota
12. SAŽETAK
Autor:
Vanja Karakaš
Naslov rada:
Savijanje poprečno opterećenih pilota
Ključne riječi:
Piloti, poprečno opterećenje, Winkler - ov koeficijent reakcije tla,
jednoparametarski i dvoparametarski model tla
Sažetak:
Piloti su stupovi koji prenose sile od građevine na dublje nosive
slojeve tla. Sile koje djeluju na pilot, pored momenta, se rastavljaju na
uzdužnu i poprečnu komponentu. Poprečna opterećenja su dovoljno
velika da se mora izvršiti analiza naprezanja i deformacija u pilotu jer
pilot postaje kritičan element u sistemu konstrukcija tlo. Način
proračuna pilota se dijeli na analitički i numerički. Analitički način
proračuna se primjenjuje na jednostavnijim modelima kao što je
Winkler - ov jednoparametarski model s konstantnim koeficijentom
reakcije tla po dubini. Postoji i dvoparametarski model koji, osim
krutosti opruge, sadrži i parametar kojim se pokušava opisati tlo kao
povezani kontinuum. Ako se želimo približiti stvarnom ponašanju tla,
koristimo se numeričkim metodama. Najprimjenjivanije numeričke
53