MATEMÁTICAS Mayores de 25 añosTema 1. Expresiones numéricas.Números enteros: operaciones y propiedades.Números racionales: operaciones y propiedadesPotenciación y radicación: operaciones con potencias y radicales.Números reales: expresión decimal aproximada de un número irracional. Notación científica.Representación de la recta real. Intervalos. Valor absoluto y sus propiedades.Logaritmos y exponenciales: operaciones y propiedades.Números factoriales y números combinatorios. Triángulo de Tartaglia.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 1. Expresiones numéricas.Números enteros: operaciones y propiedades.

http://www.ditutor.com/numeros_enteros/numeros_enteros.htmlSe dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Valor absoluto de un número enteroEl valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al pasar al número a positivo.

|−a| = a |a| = a

Criterios para ordenar los números enterosTodo número negativo es menor que cero. −7 < 0Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 >− 10             |−7| < |−10| De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7             |10| > |7| Operaciones con números enterosSuma de números enterosSi los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8(−3) + (−5) = − 8

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2 Propiedades de la suma de números enterosInterna: a + b 3 + (−5) Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)0 = 0

Conmutativa: a + b = b + a 2 + (− 5) = (− 5) + 2 − 3 = − 3Elemento neutro: a + 0 = a (−5) + 0 = − 5 Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 −(−5) = 5

Resta de números enterosLa diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b) 7 − 5 = 2 7 − (−5) = 7 + 5 = 12 Propiedades de la resta de números enterosInterna: a − b 10 − (−5) No es Conmutativa: a - b ≠ b – a 5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enterosLa multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

-

2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enterosInterna: a · b 2 · (−5) Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15) ya que -30 = -30 Conmutativa: a · b = b · a 2 · (−5) = (−5) · 2 ya que -10 = -10 Elemento neutro: a ·1 = a (−5)· 1 = (−5)Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 – 10 ya que -16 = -16 Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.10 : 5 = 2 (−10) : (−5) = 2 10 : (−5) = − 2 (−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enterosNo es una operación interna: (−2) : 6 No es Conmutativa: a : b ≠ b : a 6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:Las potencias de exponente par son siempre positivas. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedadesa0 = 1 · a1 = a am · a n = am+n (−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128 am : a n = am - n (−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8 (am)n = am · n [(−2)3]2 = (−2)6 = 64an · b n = (a · b) n (−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216an : b n = (a : b) n (−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número enteroLas raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.

Operaciones combinadas con números enterosPrioridades en las operaciones1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.. 2º.Calcular las potencias y raíces.3º.Efectuar los productos y cocientes.4º.Realizar las sumas y restas.

Números racionales: operaciones y propiedadeshttp://www.vitutor.net/1/0_7.htmlUn número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por .

 Operaciones con números racionales

Suma y resta de números racionales

Con el mismo denominadorSe suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominadorEn primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

Interna: a + b

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ·

Conmutativa: a + b = b + a

Elemento neutro: a + 0 = a

Elemento opuesto a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Multiplicación de números racionales

Propiedades de la multiplicación de números racionales

Interna: a · b

Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa: a · b = b · a

Elemento neutro: a ·1 = a

Elemento inverso:

Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales

.

Ejercicios de operaciones con números racionales

Calcula las siguientes operaciones con números racionales:

1

2

3

4

Efectúa las divisiones de números racionales:

1

2

3

Realiza las operaciones con números racionales:

1

2

Potenciación y radicación: operaciones con potencias y radicales.

Potencias de números racionales

Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1

2

3. Producto de potencias con la misma base:

4. División de potencias con la misma base:

5. Potencia de una potencia:

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Ejercicios de potencias de números racionales

Realiza las siguientes operaciones con potencias de fracciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Halla las operaciones de fracciones con potencias:

Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Resuelve las operaciones combinadas:

Efectúa operaciones combinadas

Expresión de un radical en forma de potencia

De esta forma podemos expresar un radical como una potencia fraccionaria o viceversa (una potencia fraccionaria como un radical)

Por ejemplo, para expresar una potencia fraccionaria como un radical: a) b) c)

Ejemplos de cómo expresar un radical como una potencia fraccionaria a)

b)

c)

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se

deja en el radicando.

Si un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Si un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.

a)

b) = c) =

d) =

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

a) b) c)

d)

e) f)

g)

h) i)

Producto de radicales Radicales del mismo índicePara multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar radicalesConsiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.Podemos distinguir tres casos.

1 Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplos: a)

b)

2 Del tipo

Si m es mayor o igual que n, primero se sacan factores fuera del radical.

Si m es menor que n, se multiplica numerador y denominador por .

3 Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

a)

b)

c)

Números reales: expresión decimal aproximada de un número irracional. Notación científica. http://www.vitutor.com/di/re/r2.html

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números realesLos números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Expresión decimalComo todo número racional puede escribirse como fracción, admite también una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. De esta forma podemos comparar sus expresiones decimales. Por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5 y 1/3 = 0,3333...

Esto da lugar a dos tipos de expresiones decimales, las de período cero y las de período diferente de cero.Por ejemplo 1/2 = 0,50 representa una expresión decimal de período 0. Observa que el período es 0, pues después de la cifra 5 siguen infinitos ceros.1/3 = 0,3 representa una expresión decimal de período diferente de 0. El período es 3 y se puede representar

escribiendo el número y una raya encima .

Tomemos otro caso, busquemos la expresión decimal de 1/7. Al dividir uno por siete se obtiene donde el período es 142857.Siempre que el período sea distinto de cero estará formado por un número finito de cifras diferentes.

Podríamos preguntarnos ¿es toda expresión decimal un número racional? La respuesta es no.Existen expresiones decimales no periódicas que no se pueden expresar en forma de fracción. Por ejemplo podemos construir el número 97,1010010001.... donde las cifras decimales no se repiten nunca de la misma manera, en este caso por ejemplo, porque cada vez vamos colocando un cero más antes de escribir el 1. Así se construye un número que no es posible representarlo con una fracción porque no es periódico, por lo tanto no es un número racional. Estos números se llaman irracionales y serán los que completen la recta numérica.Uno de los irracionales más "populares" es el número pi . Normalmente tomamos una expresión decimal aproximada de π tomando 3.14 o bien 3.1416, pero π = 3.14159265358…

Notación científica http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/scno/sn_home.htmlUn número está en notación científica si ha sido expresado en la forma a × 10b donde 1 ≤ a < 10 y b son enteros. La siguiente tabla presenta ejemplos de números y cómo ellos pueden ser expresados en notación científica. Cabe

señalar que 2.34 EE4 es una notación abreviada para 2.34 x 104. En particular, este formato es común en las calculadoras.

Número Notación Científica Forma EE de la Notación Científica

123 1.23 × 102 1.23 EE 2

0.0234 2.34 × 10-2 2.34 EE -2

1230000 1.23 × 106 1.23 EE 6

0.000321 3.21 × 10-4 3.21 EE -4

La clave de la notación científica está en comprender el efecto que tiene multiplicar un número por una potencia de diez. La manera más fácil de entender esto es asociar la multiplicación por potencias de diez con un movimiento del punto decimal.

Las siguientes tablas muestran el efecto de multiplicar el número 1.23 por diversas potencias de 10. Cabe señalar que el número estará expresado como 1. 23000, para que el movimiento del punto decimal será más claro.

Multiplicar por 105 es mover la coma decimal 5 unidades a la derecha

Multiplicar por 10-4 es mover la coma decimal 4 unidades a la izquierdaDe aquí, podemos llegar a las siguientes conclusiones.

El efecto de multiplicar un número por 10a, donde a ≥ 0, es mover el punto decimal a unidades a la derecha. El efecto de multiplicar un número por 10-a, donde a ≥ 0, es mover el punto decimal a unidades a la izquierda.

Conversión de Expresiones en Notación Científica a Números Simples

Ejemplo: Convertir el número 2.34 x 105 a una expresión numérica simple expresando el mismo número sin exponentes o productos.

Solución: Podemos convertir el número anterior expresado en notación científica a una expresión numérica simple, sin exponentes o productos siguiendo los siguientes pasos.

Colocar el número 2.34 por sí mismo sin su potencia de diez asociada. Ya que 5 ≥ 0, contar cinco dígitos a la derecha. Añadir cuantos ceros sean necesarios para completar el

movimiento.

Mover el punto decimal de 5 unidades a la derecha. El resultado es 234000

Ejemplo: Eliminar los productos y las potencias de la expresión 5.581 × 10-7

Solución: Podemos convertir la expresión anterior en notación científica a un número simple sin exponentes o productos con los siguientes pasos. 

Colocar el número 5.581 por sí mismo sin su potencia de diez asociada.

Ya que -7 ≤ 0, contar 7 dígitos a la izquierda. Añadir cuantos ceros sean necesarios para completar el movimiento.

Mover el punto decimal 7 unidades a la izquierda. El resultado es .000000581

Ejemplos:

Escribe en forma usual el número en notación científica 7.43 × 103

1. Colocar el número solamente 7.43

2. Como 3 ≥ 0, contar 3 dígitos a la derecha. Añadir tantos ceros como sea necesario.

3. Mover el punto decimal 3 unidades a la derecha. 7430

Eliminar los productos y potencias del número 1.97 × 10-9

1. Colocar el número solamente 1.97

2. Como -9 ≥ 0, contar 9 dígitos a la izquierda. Añadir tantos ceros como sea necesario

3. Mover el punto decimal 9 unidades a la izquierda.

.00000000197

Expresar un número en Notación Científica

Ejemplo: Expresar 4730000 en notación científica.

Solución: Podemos convertir el número anterior a notación científica mediante los siguientes pasos.

Eliminar todos los puntos decimales del número (en este caso no hay ningún punto decimal) 473000 Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. En adelante nos referiremos a este

número como a. En este caso a = 473000.

Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial.

4.73000 a 4730000 significa 6 unidades a la derecha.

Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda. En este caso b = +6

El número en notación científica es a × 10b o en este caso 4.73000 × 106. Dependiendo de la situación, es usual eliminar los ceros de la derecha dando el resultado final 4.73 × 106.

Ejemplo: Expresar -0.0000426 en notación científica.

Solución: Podemos convertir el número anterior a notación científica mediante los siguientes pasos.

Eliminar todos los puntos decimales del número -00000426. Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. En adelante nos referiremos a este

número como a. En este caso a = -000004.26 = -4.26 .

Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial.

-4.26 a -0.0000426 significa 5 unidades a la izquierda. Cabe señalar que hay que añadir ceros superfluos a la izquierda para lograr el movimiento requerido.

Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda. En este caso b = -5

El número en notación científica es a × 10b o, en este caso -4.26 × 10-5. En este caso, no hay ceros a la izquierda por lo que el resultado final es -4.26 × 10-5.

Ejemplos:

Expresar 82600000 en notación científica.

1. Eliminar todos los puntos decimales del número (es este caso no hay ningun punto decimal)

8260000

2. Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. En adelante nos referiremos a este número como a.

a = 8260000.

3. Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial.

8.260000 a 82600000 significa 7 unidades a la derecha

4. Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y

b = +7

negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda.

El número en notación científica es a × 10b. Dependiendo de la situación, es generalmente necesario eliminar los ceros de la derecha dando el resultado final .

8.26000 × 107 = 8.26 × 107

Expresar -0.00936 en notación científica

1. Eliminar todos los puntos decimales del número.

-000936

2. Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. De ahora en adelante nos referiremos a este número como a.

a = -0009.36 = -9.36a

3. Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial.

-9.36 a -0.00936 significa 3 unidades a la izquierda.

4. Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda.

b = -3

5. El número en notación científica es a × 10b .

-9.36 × 10-3

En la aplicación de abajo, entrar el número 0.0432 en la caja rotulada Expresión y apretar el botón Someter. En la caja rotulado Resultado aparece eso número en notación científica.Para practicar entra más números para verlos en notación científica.

Representación de la recta real. Intervalos. Valor absoluto y sus propiedades.

A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:

se asocia al origen el número 0,

se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,

se asocia a cada número negativo p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real o recta de los números reales. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".

Ejemplo.

 

http://www.vitutor.com/di/re/r4.html

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Semirrectas

( – ∞ , a ] = {x / x ≤ a}

( – ∞ , a ) = {x / x < a}

(a , ∞ ) = {x / x > a}

[a , ∞ ) = {x / x ≥ a}

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2 < x < 2        x (−2, 2 )

|x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞, 2 ) (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades:

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

Ejemplo: |5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

Ejemplo:|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

Ejemplo: |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

Logaritmos y exponenciales: operaciones y propiedades.

Definición de logaritmo

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.

Ejemplos

1

2

3

4

5

6

Propiedades de los logaritmos

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5 Cambio de base:

Ejemplo

Logaritmos decimales y neperianos

Logarítmos decimales

Los logarítmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).

Logarítmos neperianos

Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

Números factoriales y números combinatorios. Triángulo de Tartaglia.

Factorial de un número natural

Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

Números combinatorios

El número    se llama también número combinatorio. Se representa por

y se lee "m sobre n".

Propiedades de los números combinatorios

1.

2.

Los números de este tipo se llaman complementarios.

3.

Triángulo de Pascal o de Tartaglia

El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:

Podemos escribir el triángulo de Pascal: