Upload
phamtuyen
View
219
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ
YOumlNETİM BİLİŞİM SİSTEMLERİ
(Edirne-2010)
İccedilindekilerYOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞU- 2 -
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ- 2 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ- 3 -
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI- 4 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI- 4 -
MATEMATİK PROGRAMLAMA- 5 -Tarihsel Gelişim- 5 -Matematiksel Tanım- 6 -Uygulama Alanları- 7 -Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması- 7 -
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLAR- 10 -
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİ- 11 -DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİ- 11 -DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ- 12 -DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASI- 12 -
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının Oluşturulması- 13 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması- 16 -
TABLOSAL YOumlNTEM- 17 -İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 17 -Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 22 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 22 -Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 26 -
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)- 27 -
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı- 27 -Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar- 29 -
OLASILIKLI MODELLER- 29 -Tahmin Yapmak- 29 -
Doğrusal Olasılık Modeli- 30 -Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması- 31 -Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır- 31 -
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları- 32 -Logit Model- 34 -Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi- 36 -
Araştırma ve Bulgular- 37 -En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları- 39 -Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları- 42 -
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU- 43 -
Ccedilubuk Diyagramları- 44 -CPM (Kritik Yol Metodu)- 46 -PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) Youmlntemi- 49 -
SONUCcedil - 51 -
KAYNAKCcedilA - 52 -
1 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞUYoumlneylem Araştırmasırsquonın organizasyonlar ve kuruluşların youmlnetiminde bilimsel bir metot olarak ortaya ccedilıkışı 60ndash70 yıl oumlncesinden başlamıştır
Her ne kadar bu yaklaşımın koumlkleri Frederik Taylor H Gantt ve Gilbrethsrsquoler devrine kadar gitse de genel olarak İkinci Duumlnya Savaşırsquondaki askeri problemlerin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılması Youmlneylem Araştırmasırsquonın ilk ortaya ccedilıkışı olarak kabul edilmektedir Bu savaşta kıt kaynakların ccedileşitli askeri operasyonlara ve bunların ccedileşitli faaliyetlerine en etkin bir şekilde atanması ccedilok acil ve oumlnemli bir zorunluluktu Bu nedenle İngiliz ve Amerikalı askeri youmlneticiler ccedilok sayıda ve farklı disiplinlerdeki bilim adamlarına bu konunun incelenmesi goumlrevini verdiler İncelemenin amacı askeri operasyonlarda stratejik ve taktik bir araştırmanın yapılmasıydı Bilim adamlarından istenen şey aslında askeri operasyonlar uumlzerinde araştırma yapılmasıdır Ccedileşitli mesleklerde ccedilalışan bilim adamlarından oluşan bu ekiplerin ccedilalışmaları İngiltere Hava Savaşının Pasifikrsquoteki Ada Savaşlarının ve Kuzey Atlantik Savaşının kazanılmasında oumlnemli bir rol oynamıştır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ Youmlneylem Araştırması ccedilalışmalarının askeri alandaki başarısı enduumlstrinin de bundan yararlanmasını teşvik etmiştir Savaştan sonra enduumlstrideki buumlyuumlk gelişmelerin devam etmesi organizasyonların daha buumlyuumlmesine ve karmaşıklaşmasına neden olmuş ve ihtisaslaşmayı tekrar oumln plana ccedilıkarmıştır Savaş esnasında askeri youmlneylem araştırması ekiplerinde yer almış olan sivil danışman uzman ve bazı iş adamları enduumlstrideki problemlerin askeri problemlerden kısmen farklı ancak aynı youmlntemler ile ccediloumlzuumllebilir olduklarını goumlrmuumlşlerdir Boumlylece youmlneylem araştırması enduumlstriye iş hayatına ve devletin sivil sektoumlrlerine de girmeye başlamıştır 1950 yılından itibaren ilk oumlnce İngilterersquode sonra da Amerika Birleşik Devletlerirsquonde youmlneylem araştırmasının ccedileşitli enduumlstriyel kuruluşlarda uygulanmasına başlanmış ve başarılı sonuccedillar alınmıştır O zamandan guumlnuumlmuumlze bu alandaki ilgi artmış ve youmlneylem araştırması uygulamaları gerek askeri alanda ve gerekse de enduumlstri ticaret tarım hizmet gibi benzeri sivil alanlarda buumlyuumlk bir hızla ve başarıyla devam etmiştir ve aynı şekilde devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının boumlyle hızlı bir şekilde gelişmesinde iki esas faktoumlruumln rol oynadığı goumlruumllmektedir
Savaştan sonra youmlneylem araştırması ekiplerinde goumlrev almış bilim adamları ile bu alana daha sonra katılan bilim adamları bu alanla ilgili araştırmalara devam etmeleri iccedilin teşvik edilerek youmlnlendirilmişlerdir Bu suretle bu alanda oumlnemli gelişmeler olmuştur Bunlardan ilk gelişmeyi 1947 yılında George Dantzig doğrusal programlama (lineer programlama) problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılan ldquoSimpleks Metodurdquonu geliştirmek suretiyle başlatmıştır Youmlneylem Araştırması tekniklerinden pek ccediloğu bu arada doğrusal programlama dinamik programlama kuyruk teorisi gibi konular 1960 yılından oumlnce yeteri kadar geliştirilmişlerdir Youmlneylem araştırması teorisinin hızlı gelişmesindeki ikinci oumlnemli faktoumlr bu alandaki ccedilalışmalara buumlyuumlk bir hız veren ve bunları daha geniş alanlara yayan ve bu bilim iccedilin ccedilok oumlnemli bir kuvvet ve destek olan bilgisayar devrimi ve bunun yarattığı hamlelerdir Bazı karmaşık youmlneylem araştırması problemlerinin başarılı bir şekilde ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ccedilok fazla miktarda hesaplama tekrarı gerekli olur Bu hesaplamaların el ile yapılması soumlz konusu olamaz Bu gibi durumlarda bilgisayarların geliştirilerek kullanılmaları insanların
2 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
yapabilecekleri aritmetik hesaplamaların onlardan binlerce hatta milyonlarca kez daha hızlı dolayısıyla daha kısa zamanda ve hatasız olarak yapılmalarını sağlar Bu faktoumlr youmlneylem araştırmasını buumlyuumlk bir başarıya goumltuumlrmuumlştuumlr ve bu başarı guumlnuumlmuumlzde de aynı şekilde devam etmektedir Bilgisayarların geliştirilmesinde de youmlneylem araştırmasının katkısı olmuştur
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ Youmlneylem araştırması ldquoOrganizasyonla ilgili sistemlerin operasyonlarını ilgilendiren kararların verilmesine bilimsel bir yaklaşımrdquo olarak ifade edilebilir Ancak bu tanım o kadar genel bir tanımdır ki başka birccedilok alanda da aynı anlamda uygulanabilir Bu nedenle belki de youmlneylem araştırmasının kendine oumlzguuml yapısını kavramanın en iyi yolu onun oumlnemli karakteristiklerini incelemek olacaktır Youmlneylem araştırmasının oumlnemli bazı karakteristikleri aşağıda verilmiştir
1 Youmlneylem Araştırması geniş bir uygulama alanına sahiptir2 Youmlneylem Araştırması bilimsel bir yaklaşım ortaya koyar3 Youmlneylem Araştırması geniş bir bakış accedilısına sahiptir4 Youmlneylem Araştırması optimal ccediloumlzuumlme odaklanmıştır5 Youmlneylem Araştırması disiplinler arası bir ccedilalışma ve ekip işidir
Youmlneylem Araştırması gerccedilek hayattan kaynaklanan deterministik ve probabilistik sistemlerin modellenmesi ve bunlarla ilgili olarak optimal kararların verilmesiyle ilgilenir Devlet teşkilatı birimlerinde ticarette enduumlstride ekonomide tabii ve sosyal bilimlerde yapılan bu uygulamalar buumlyuumlk oumllccediluumlde kıt kaynakların faaliyetlere dağıtılması gereksinimi ile karakterize edilirler Bu durumda bilimsel analizden youmlneylem araştırması ile sağlanan kadar bir hayli anlayış yani bilgi elde edilebilir Youmlneylem araştırması yaklaşımından sağlanan katkılar esas itibariyle aşağıda belirtilen oumlzelliklerden kaynaklanır
Youmlneylem Araştırması Yaklaşımından sağlanan katkılar
1 Gerccedilek yaşam durumunun matematiksel bir model ile ifade edilmesi ve karar vericinin amaccedillarına uygun bir ccediloumlzuumlmuumln bulunabilmesi iccedilin oumlnemli elemanların oumlzetlenmesi
2 Bu şekilde ccediloumlzuumlmlerin yapısını araştırma ve bunların elde edilmesi iccedilin sistematik proseduumlrlerin geliştirilmesi
3 Eğer gerekli ise matematiksel teori dahil arzu edilirliğin sistem oumllccediluumlsuumlnuumln veren bir ccediloumlzuumlm geliştirilmesi
İngiliz Youmlneylem Araştırması Derneği (British Operational Research Society) ise youmlneylem araştırmasını şoumlyle tanımlamıştır Youmlneylem Araştırması insan makine para ve malzemeden oluşan enduumlstri ticari resmi ve askeri sistemlerin youmlnetiminde karşılaşılan problemlere modern bilimin uygulanmasıdır Belirgin yaklaşımı sistemin şans ve risk oumllccediluumlsuumlnuuml de kapsayan alternatif karar strateji ve kontrollerin sonuccedillarını tahmin ve karşılaştırmaya yarayan bilimsel bir model geliştirmektir Amacı youmlnetimin politika ve faaliyetlerinin belirlenmesine yardımcı olmaktır Youmlneylem araştırması uygulamaları son yıllarda organizasyonların youmlnetiminde artan bir şekilde buumlyuumlk bir etkiye sahip olmuştur Bu uygulamaların hem sayıları ve hem de ccedileşitleri ccedilok hızlı olarak artmaya devam etmekte olup herhangi bir yavaşlama veya azalma eğilimi de soumlz konusu değildir
İkinci Duumlnya Savaşı esnasında youmlneylem araştırması ile sağlanan başarılardan sonra İngiliz ve Amerikan askeri servisleri emir-komuta zincirinin farklı seviyelerinde aktif youmlneylem araştırması grupları oluşturmaya devam etmişlerdir Sonuccedil olarak şimdi ldquoaskeri youmlneylem
3 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
araştırmacılarrdquo diye adlandırılan ccedilok sayıda insan mevcuttur Bu kimseler savunma problemlerine youmlneylem araştırması yaklaşımını uygulamaktadırlar Oumlrneğin bunlar silah sistemlerinin ihtiyaccedilları ve kullanımı iccedilin taktik planlamalarla meşgul olmaktadır Bunun dışında ccedilabaların atanması ve birleştirilmesi gibi daha buumlyuumlk problemlerle de uğraşmaktadırlar Bunların kullandıkları youmlntemlerin bazıları politika biliminde matematikte ekonomide olasılık teorisinde ve istatistikte oldukccedila gelişmiş duumlzeyde fikirler ve goumlruumlşler iccedilermektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI Youmlneylem araştırması ticari kuruluşlar ve enduumlstriyel işletmeler dahil organizasyonların farklı bir ccedilok tuumlrlerinde geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır İş duumlnyasındaki buumlyuumlk şirket ve holdinglerle kuumlccediluumlk enduumlstriyel ve ticari organizasyonların buumlyuumlk bir kısmında youmlneylem araştırması grupları başarılı ccedilalışmalar gerccedilekleştirebilmektedir Genel olarak uumlretim uccedilak ve fuumlze sanayi otomobil enduumlstrisi haberleşme ve bilgisayar enduumlstrisi elektrik enerjisi uumlretimi elektronik gıda metaluumlrji madencilik kağıt petrol enduumlstrisi finans ve bankacılık sektoumlruuml sağlık sektoumlruuml ve transport ve lojistik sektoumlruuml dahil pek ccedilok enduumlstriyel ve hizmet sektoumlruumlnde youmlneylem araştırması geniş ve yaygın bir şekilde uygulanmıştır ve uygulanmaya devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının bazı youmlntemleri ile ccediloumlzuumllebilen bazı problemler şu şekilde ifade edilebilirler
Doğrusal Programlama Metodu personel atanması uumlruumln karışımı malzemelerin alaşımlanması toplu uumlretim planlama taşıma ve dağıtım problemlerinde yatırım portfoumlylerinin oluşturulması ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde başarılı olarak kullanılmaktadır
Dinamik Programlama reklam harcamalarının planlanması satış ccedilabalarının dağıtılması uumlretim planlaması ve programlanması vs gibi alanlarda başarılı olarak uygulanmaktadır
Kuyruk Teorisi trafik sistemlerinde makinelerin tamir bakım ve revizyon programlarının yapılması bakım ekiplerinin adetlerinin belirlenmesi hava trafiğinin programlanması barajların tasarımı hastane youmlnetimi ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde uygulama alanlarına sahiptir
Envanter Teorisi karar teorisi oyun teorisi ve simuumllasyon gibi youmlneylem araştırmasının diğer metotları da ccedilok ccedileşitli alanlarda başarı ile uygulanmaktadır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI Youmlneylem araştırmasının ccedileşitli organizasyon ve işletmelerde uygulamaları hakkında kesin bilgiler elde etmek amacıyla oumlzellikle Amerika Birleşik Devletlerinde bazı anket ccedilalışmaları yapılmıştır Bu kapsamlı anket ccedilalışmalarının sadece kullanım sıklığına goumlre youmlneylem araştırması tekniklerinin sıralanması ile ilgili olan oumlzet sonucu tablo 11rsquo de goumlruumllmektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ
4 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur
Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur
Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı
Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır
JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı
II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel
5 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İccedilindekilerYOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞU- 2 -
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ- 2 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ- 3 -
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI- 4 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI- 4 -
MATEMATİK PROGRAMLAMA- 5 -Tarihsel Gelişim- 5 -Matematiksel Tanım- 6 -Uygulama Alanları- 7 -Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması- 7 -
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLAR- 10 -
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİ- 11 -DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİ- 11 -DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ- 12 -DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASI- 12 -
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının Oluşturulması- 13 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması- 16 -
TABLOSAL YOumlNTEM- 17 -İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 17 -Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 22 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 22 -Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 26 -
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)- 27 -
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı- 27 -Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar- 29 -
OLASILIKLI MODELLER- 29 -Tahmin Yapmak- 29 -
Doğrusal Olasılık Modeli- 30 -Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması- 31 -Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır- 31 -
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları- 32 -Logit Model- 34 -Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi- 36 -
Araştırma ve Bulgular- 37 -En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları- 39 -Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları- 42 -
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU- 43 -
Ccedilubuk Diyagramları- 44 -CPM (Kritik Yol Metodu)- 46 -PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) Youmlntemi- 49 -
SONUCcedil - 51 -
KAYNAKCcedilA - 52 -
1 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞUYoumlneylem Araştırmasırsquonın organizasyonlar ve kuruluşların youmlnetiminde bilimsel bir metot olarak ortaya ccedilıkışı 60ndash70 yıl oumlncesinden başlamıştır
Her ne kadar bu yaklaşımın koumlkleri Frederik Taylor H Gantt ve Gilbrethsrsquoler devrine kadar gitse de genel olarak İkinci Duumlnya Savaşırsquondaki askeri problemlerin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılması Youmlneylem Araştırmasırsquonın ilk ortaya ccedilıkışı olarak kabul edilmektedir Bu savaşta kıt kaynakların ccedileşitli askeri operasyonlara ve bunların ccedileşitli faaliyetlerine en etkin bir şekilde atanması ccedilok acil ve oumlnemli bir zorunluluktu Bu nedenle İngiliz ve Amerikalı askeri youmlneticiler ccedilok sayıda ve farklı disiplinlerdeki bilim adamlarına bu konunun incelenmesi goumlrevini verdiler İncelemenin amacı askeri operasyonlarda stratejik ve taktik bir araştırmanın yapılmasıydı Bilim adamlarından istenen şey aslında askeri operasyonlar uumlzerinde araştırma yapılmasıdır Ccedileşitli mesleklerde ccedilalışan bilim adamlarından oluşan bu ekiplerin ccedilalışmaları İngiltere Hava Savaşının Pasifikrsquoteki Ada Savaşlarının ve Kuzey Atlantik Savaşının kazanılmasında oumlnemli bir rol oynamıştır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ Youmlneylem Araştırması ccedilalışmalarının askeri alandaki başarısı enduumlstrinin de bundan yararlanmasını teşvik etmiştir Savaştan sonra enduumlstrideki buumlyuumlk gelişmelerin devam etmesi organizasyonların daha buumlyuumlmesine ve karmaşıklaşmasına neden olmuş ve ihtisaslaşmayı tekrar oumln plana ccedilıkarmıştır Savaş esnasında askeri youmlneylem araştırması ekiplerinde yer almış olan sivil danışman uzman ve bazı iş adamları enduumlstrideki problemlerin askeri problemlerden kısmen farklı ancak aynı youmlntemler ile ccediloumlzuumllebilir olduklarını goumlrmuumlşlerdir Boumlylece youmlneylem araştırması enduumlstriye iş hayatına ve devletin sivil sektoumlrlerine de girmeye başlamıştır 1950 yılından itibaren ilk oumlnce İngilterersquode sonra da Amerika Birleşik Devletlerirsquonde youmlneylem araştırmasının ccedileşitli enduumlstriyel kuruluşlarda uygulanmasına başlanmış ve başarılı sonuccedillar alınmıştır O zamandan guumlnuumlmuumlze bu alandaki ilgi artmış ve youmlneylem araştırması uygulamaları gerek askeri alanda ve gerekse de enduumlstri ticaret tarım hizmet gibi benzeri sivil alanlarda buumlyuumlk bir hızla ve başarıyla devam etmiştir ve aynı şekilde devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının boumlyle hızlı bir şekilde gelişmesinde iki esas faktoumlruumln rol oynadığı goumlruumllmektedir
Savaştan sonra youmlneylem araştırması ekiplerinde goumlrev almış bilim adamları ile bu alana daha sonra katılan bilim adamları bu alanla ilgili araştırmalara devam etmeleri iccedilin teşvik edilerek youmlnlendirilmişlerdir Bu suretle bu alanda oumlnemli gelişmeler olmuştur Bunlardan ilk gelişmeyi 1947 yılında George Dantzig doğrusal programlama (lineer programlama) problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılan ldquoSimpleks Metodurdquonu geliştirmek suretiyle başlatmıştır Youmlneylem Araştırması tekniklerinden pek ccediloğu bu arada doğrusal programlama dinamik programlama kuyruk teorisi gibi konular 1960 yılından oumlnce yeteri kadar geliştirilmişlerdir Youmlneylem araştırması teorisinin hızlı gelişmesindeki ikinci oumlnemli faktoumlr bu alandaki ccedilalışmalara buumlyuumlk bir hız veren ve bunları daha geniş alanlara yayan ve bu bilim iccedilin ccedilok oumlnemli bir kuvvet ve destek olan bilgisayar devrimi ve bunun yarattığı hamlelerdir Bazı karmaşık youmlneylem araştırması problemlerinin başarılı bir şekilde ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ccedilok fazla miktarda hesaplama tekrarı gerekli olur Bu hesaplamaların el ile yapılması soumlz konusu olamaz Bu gibi durumlarda bilgisayarların geliştirilerek kullanılmaları insanların
2 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
yapabilecekleri aritmetik hesaplamaların onlardan binlerce hatta milyonlarca kez daha hızlı dolayısıyla daha kısa zamanda ve hatasız olarak yapılmalarını sağlar Bu faktoumlr youmlneylem araştırmasını buumlyuumlk bir başarıya goumltuumlrmuumlştuumlr ve bu başarı guumlnuumlmuumlzde de aynı şekilde devam etmektedir Bilgisayarların geliştirilmesinde de youmlneylem araştırmasının katkısı olmuştur
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ Youmlneylem araştırması ldquoOrganizasyonla ilgili sistemlerin operasyonlarını ilgilendiren kararların verilmesine bilimsel bir yaklaşımrdquo olarak ifade edilebilir Ancak bu tanım o kadar genel bir tanımdır ki başka birccedilok alanda da aynı anlamda uygulanabilir Bu nedenle belki de youmlneylem araştırmasının kendine oumlzguuml yapısını kavramanın en iyi yolu onun oumlnemli karakteristiklerini incelemek olacaktır Youmlneylem araştırmasının oumlnemli bazı karakteristikleri aşağıda verilmiştir
1 Youmlneylem Araştırması geniş bir uygulama alanına sahiptir2 Youmlneylem Araştırması bilimsel bir yaklaşım ortaya koyar3 Youmlneylem Araştırması geniş bir bakış accedilısına sahiptir4 Youmlneylem Araştırması optimal ccediloumlzuumlme odaklanmıştır5 Youmlneylem Araştırması disiplinler arası bir ccedilalışma ve ekip işidir
Youmlneylem Araştırması gerccedilek hayattan kaynaklanan deterministik ve probabilistik sistemlerin modellenmesi ve bunlarla ilgili olarak optimal kararların verilmesiyle ilgilenir Devlet teşkilatı birimlerinde ticarette enduumlstride ekonomide tabii ve sosyal bilimlerde yapılan bu uygulamalar buumlyuumlk oumllccediluumlde kıt kaynakların faaliyetlere dağıtılması gereksinimi ile karakterize edilirler Bu durumda bilimsel analizden youmlneylem araştırması ile sağlanan kadar bir hayli anlayış yani bilgi elde edilebilir Youmlneylem araştırması yaklaşımından sağlanan katkılar esas itibariyle aşağıda belirtilen oumlzelliklerden kaynaklanır
Youmlneylem Araştırması Yaklaşımından sağlanan katkılar
1 Gerccedilek yaşam durumunun matematiksel bir model ile ifade edilmesi ve karar vericinin amaccedillarına uygun bir ccediloumlzuumlmuumln bulunabilmesi iccedilin oumlnemli elemanların oumlzetlenmesi
2 Bu şekilde ccediloumlzuumlmlerin yapısını araştırma ve bunların elde edilmesi iccedilin sistematik proseduumlrlerin geliştirilmesi
3 Eğer gerekli ise matematiksel teori dahil arzu edilirliğin sistem oumllccediluumlsuumlnuumln veren bir ccediloumlzuumlm geliştirilmesi
İngiliz Youmlneylem Araştırması Derneği (British Operational Research Society) ise youmlneylem araştırmasını şoumlyle tanımlamıştır Youmlneylem Araştırması insan makine para ve malzemeden oluşan enduumlstri ticari resmi ve askeri sistemlerin youmlnetiminde karşılaşılan problemlere modern bilimin uygulanmasıdır Belirgin yaklaşımı sistemin şans ve risk oumllccediluumlsuumlnuuml de kapsayan alternatif karar strateji ve kontrollerin sonuccedillarını tahmin ve karşılaştırmaya yarayan bilimsel bir model geliştirmektir Amacı youmlnetimin politika ve faaliyetlerinin belirlenmesine yardımcı olmaktır Youmlneylem araştırması uygulamaları son yıllarda organizasyonların youmlnetiminde artan bir şekilde buumlyuumlk bir etkiye sahip olmuştur Bu uygulamaların hem sayıları ve hem de ccedileşitleri ccedilok hızlı olarak artmaya devam etmekte olup herhangi bir yavaşlama veya azalma eğilimi de soumlz konusu değildir
İkinci Duumlnya Savaşı esnasında youmlneylem araştırması ile sağlanan başarılardan sonra İngiliz ve Amerikan askeri servisleri emir-komuta zincirinin farklı seviyelerinde aktif youmlneylem araştırması grupları oluşturmaya devam etmişlerdir Sonuccedil olarak şimdi ldquoaskeri youmlneylem
3 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
araştırmacılarrdquo diye adlandırılan ccedilok sayıda insan mevcuttur Bu kimseler savunma problemlerine youmlneylem araştırması yaklaşımını uygulamaktadırlar Oumlrneğin bunlar silah sistemlerinin ihtiyaccedilları ve kullanımı iccedilin taktik planlamalarla meşgul olmaktadır Bunun dışında ccedilabaların atanması ve birleştirilmesi gibi daha buumlyuumlk problemlerle de uğraşmaktadırlar Bunların kullandıkları youmlntemlerin bazıları politika biliminde matematikte ekonomide olasılık teorisinde ve istatistikte oldukccedila gelişmiş duumlzeyde fikirler ve goumlruumlşler iccedilermektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI Youmlneylem araştırması ticari kuruluşlar ve enduumlstriyel işletmeler dahil organizasyonların farklı bir ccedilok tuumlrlerinde geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır İş duumlnyasındaki buumlyuumlk şirket ve holdinglerle kuumlccediluumlk enduumlstriyel ve ticari organizasyonların buumlyuumlk bir kısmında youmlneylem araştırması grupları başarılı ccedilalışmalar gerccedilekleştirebilmektedir Genel olarak uumlretim uccedilak ve fuumlze sanayi otomobil enduumlstrisi haberleşme ve bilgisayar enduumlstrisi elektrik enerjisi uumlretimi elektronik gıda metaluumlrji madencilik kağıt petrol enduumlstrisi finans ve bankacılık sektoumlruuml sağlık sektoumlruuml ve transport ve lojistik sektoumlruuml dahil pek ccedilok enduumlstriyel ve hizmet sektoumlruumlnde youmlneylem araştırması geniş ve yaygın bir şekilde uygulanmıştır ve uygulanmaya devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının bazı youmlntemleri ile ccediloumlzuumllebilen bazı problemler şu şekilde ifade edilebilirler
Doğrusal Programlama Metodu personel atanması uumlruumln karışımı malzemelerin alaşımlanması toplu uumlretim planlama taşıma ve dağıtım problemlerinde yatırım portfoumlylerinin oluşturulması ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde başarılı olarak kullanılmaktadır
Dinamik Programlama reklam harcamalarının planlanması satış ccedilabalarının dağıtılması uumlretim planlaması ve programlanması vs gibi alanlarda başarılı olarak uygulanmaktadır
Kuyruk Teorisi trafik sistemlerinde makinelerin tamir bakım ve revizyon programlarının yapılması bakım ekiplerinin adetlerinin belirlenmesi hava trafiğinin programlanması barajların tasarımı hastane youmlnetimi ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde uygulama alanlarına sahiptir
Envanter Teorisi karar teorisi oyun teorisi ve simuumllasyon gibi youmlneylem araştırmasının diğer metotları da ccedilok ccedileşitli alanlarda başarı ile uygulanmaktadır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI Youmlneylem araştırmasının ccedileşitli organizasyon ve işletmelerde uygulamaları hakkında kesin bilgiler elde etmek amacıyla oumlzellikle Amerika Birleşik Devletlerinde bazı anket ccedilalışmaları yapılmıştır Bu kapsamlı anket ccedilalışmalarının sadece kullanım sıklığına goumlre youmlneylem araştırması tekniklerinin sıralanması ile ilgili olan oumlzet sonucu tablo 11rsquo de goumlruumllmektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ
4 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur
Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur
Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı
Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır
JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı
II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel
5 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞUYoumlneylem Araştırmasırsquonın organizasyonlar ve kuruluşların youmlnetiminde bilimsel bir metot olarak ortaya ccedilıkışı 60ndash70 yıl oumlncesinden başlamıştır
Her ne kadar bu yaklaşımın koumlkleri Frederik Taylor H Gantt ve Gilbrethsrsquoler devrine kadar gitse de genel olarak İkinci Duumlnya Savaşırsquondaki askeri problemlerin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılması Youmlneylem Araştırmasırsquonın ilk ortaya ccedilıkışı olarak kabul edilmektedir Bu savaşta kıt kaynakların ccedileşitli askeri operasyonlara ve bunların ccedileşitli faaliyetlerine en etkin bir şekilde atanması ccedilok acil ve oumlnemli bir zorunluluktu Bu nedenle İngiliz ve Amerikalı askeri youmlneticiler ccedilok sayıda ve farklı disiplinlerdeki bilim adamlarına bu konunun incelenmesi goumlrevini verdiler İncelemenin amacı askeri operasyonlarda stratejik ve taktik bir araştırmanın yapılmasıydı Bilim adamlarından istenen şey aslında askeri operasyonlar uumlzerinde araştırma yapılmasıdır Ccedileşitli mesleklerde ccedilalışan bilim adamlarından oluşan bu ekiplerin ccedilalışmaları İngiltere Hava Savaşının Pasifikrsquoteki Ada Savaşlarının ve Kuzey Atlantik Savaşının kazanılmasında oumlnemli bir rol oynamıştır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ Youmlneylem Araştırması ccedilalışmalarının askeri alandaki başarısı enduumlstrinin de bundan yararlanmasını teşvik etmiştir Savaştan sonra enduumlstrideki buumlyuumlk gelişmelerin devam etmesi organizasyonların daha buumlyuumlmesine ve karmaşıklaşmasına neden olmuş ve ihtisaslaşmayı tekrar oumln plana ccedilıkarmıştır Savaş esnasında askeri youmlneylem araştırması ekiplerinde yer almış olan sivil danışman uzman ve bazı iş adamları enduumlstrideki problemlerin askeri problemlerden kısmen farklı ancak aynı youmlntemler ile ccediloumlzuumllebilir olduklarını goumlrmuumlşlerdir Boumlylece youmlneylem araştırması enduumlstriye iş hayatına ve devletin sivil sektoumlrlerine de girmeye başlamıştır 1950 yılından itibaren ilk oumlnce İngilterersquode sonra da Amerika Birleşik Devletlerirsquonde youmlneylem araştırmasının ccedileşitli enduumlstriyel kuruluşlarda uygulanmasına başlanmış ve başarılı sonuccedillar alınmıştır O zamandan guumlnuumlmuumlze bu alandaki ilgi artmış ve youmlneylem araştırması uygulamaları gerek askeri alanda ve gerekse de enduumlstri ticaret tarım hizmet gibi benzeri sivil alanlarda buumlyuumlk bir hızla ve başarıyla devam etmiştir ve aynı şekilde devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının boumlyle hızlı bir şekilde gelişmesinde iki esas faktoumlruumln rol oynadığı goumlruumllmektedir
Savaştan sonra youmlneylem araştırması ekiplerinde goumlrev almış bilim adamları ile bu alana daha sonra katılan bilim adamları bu alanla ilgili araştırmalara devam etmeleri iccedilin teşvik edilerek youmlnlendirilmişlerdir Bu suretle bu alanda oumlnemli gelişmeler olmuştur Bunlardan ilk gelişmeyi 1947 yılında George Dantzig doğrusal programlama (lineer programlama) problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılan ldquoSimpleks Metodurdquonu geliştirmek suretiyle başlatmıştır Youmlneylem Araştırması tekniklerinden pek ccediloğu bu arada doğrusal programlama dinamik programlama kuyruk teorisi gibi konular 1960 yılından oumlnce yeteri kadar geliştirilmişlerdir Youmlneylem araştırması teorisinin hızlı gelişmesindeki ikinci oumlnemli faktoumlr bu alandaki ccedilalışmalara buumlyuumlk bir hız veren ve bunları daha geniş alanlara yayan ve bu bilim iccedilin ccedilok oumlnemli bir kuvvet ve destek olan bilgisayar devrimi ve bunun yarattığı hamlelerdir Bazı karmaşık youmlneylem araştırması problemlerinin başarılı bir şekilde ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ccedilok fazla miktarda hesaplama tekrarı gerekli olur Bu hesaplamaların el ile yapılması soumlz konusu olamaz Bu gibi durumlarda bilgisayarların geliştirilerek kullanılmaları insanların
2 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
yapabilecekleri aritmetik hesaplamaların onlardan binlerce hatta milyonlarca kez daha hızlı dolayısıyla daha kısa zamanda ve hatasız olarak yapılmalarını sağlar Bu faktoumlr youmlneylem araştırmasını buumlyuumlk bir başarıya goumltuumlrmuumlştuumlr ve bu başarı guumlnuumlmuumlzde de aynı şekilde devam etmektedir Bilgisayarların geliştirilmesinde de youmlneylem araştırmasının katkısı olmuştur
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ Youmlneylem araştırması ldquoOrganizasyonla ilgili sistemlerin operasyonlarını ilgilendiren kararların verilmesine bilimsel bir yaklaşımrdquo olarak ifade edilebilir Ancak bu tanım o kadar genel bir tanımdır ki başka birccedilok alanda da aynı anlamda uygulanabilir Bu nedenle belki de youmlneylem araştırmasının kendine oumlzguuml yapısını kavramanın en iyi yolu onun oumlnemli karakteristiklerini incelemek olacaktır Youmlneylem araştırmasının oumlnemli bazı karakteristikleri aşağıda verilmiştir
1 Youmlneylem Araştırması geniş bir uygulama alanına sahiptir2 Youmlneylem Araştırması bilimsel bir yaklaşım ortaya koyar3 Youmlneylem Araştırması geniş bir bakış accedilısına sahiptir4 Youmlneylem Araştırması optimal ccediloumlzuumlme odaklanmıştır5 Youmlneylem Araştırması disiplinler arası bir ccedilalışma ve ekip işidir
Youmlneylem Araştırması gerccedilek hayattan kaynaklanan deterministik ve probabilistik sistemlerin modellenmesi ve bunlarla ilgili olarak optimal kararların verilmesiyle ilgilenir Devlet teşkilatı birimlerinde ticarette enduumlstride ekonomide tabii ve sosyal bilimlerde yapılan bu uygulamalar buumlyuumlk oumllccediluumlde kıt kaynakların faaliyetlere dağıtılması gereksinimi ile karakterize edilirler Bu durumda bilimsel analizden youmlneylem araştırması ile sağlanan kadar bir hayli anlayış yani bilgi elde edilebilir Youmlneylem araştırması yaklaşımından sağlanan katkılar esas itibariyle aşağıda belirtilen oumlzelliklerden kaynaklanır
Youmlneylem Araştırması Yaklaşımından sağlanan katkılar
1 Gerccedilek yaşam durumunun matematiksel bir model ile ifade edilmesi ve karar vericinin amaccedillarına uygun bir ccediloumlzuumlmuumln bulunabilmesi iccedilin oumlnemli elemanların oumlzetlenmesi
2 Bu şekilde ccediloumlzuumlmlerin yapısını araştırma ve bunların elde edilmesi iccedilin sistematik proseduumlrlerin geliştirilmesi
3 Eğer gerekli ise matematiksel teori dahil arzu edilirliğin sistem oumllccediluumlsuumlnuumln veren bir ccediloumlzuumlm geliştirilmesi
İngiliz Youmlneylem Araştırması Derneği (British Operational Research Society) ise youmlneylem araştırmasını şoumlyle tanımlamıştır Youmlneylem Araştırması insan makine para ve malzemeden oluşan enduumlstri ticari resmi ve askeri sistemlerin youmlnetiminde karşılaşılan problemlere modern bilimin uygulanmasıdır Belirgin yaklaşımı sistemin şans ve risk oumllccediluumlsuumlnuuml de kapsayan alternatif karar strateji ve kontrollerin sonuccedillarını tahmin ve karşılaştırmaya yarayan bilimsel bir model geliştirmektir Amacı youmlnetimin politika ve faaliyetlerinin belirlenmesine yardımcı olmaktır Youmlneylem araştırması uygulamaları son yıllarda organizasyonların youmlnetiminde artan bir şekilde buumlyuumlk bir etkiye sahip olmuştur Bu uygulamaların hem sayıları ve hem de ccedileşitleri ccedilok hızlı olarak artmaya devam etmekte olup herhangi bir yavaşlama veya azalma eğilimi de soumlz konusu değildir
İkinci Duumlnya Savaşı esnasında youmlneylem araştırması ile sağlanan başarılardan sonra İngiliz ve Amerikan askeri servisleri emir-komuta zincirinin farklı seviyelerinde aktif youmlneylem araştırması grupları oluşturmaya devam etmişlerdir Sonuccedil olarak şimdi ldquoaskeri youmlneylem
3 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
araştırmacılarrdquo diye adlandırılan ccedilok sayıda insan mevcuttur Bu kimseler savunma problemlerine youmlneylem araştırması yaklaşımını uygulamaktadırlar Oumlrneğin bunlar silah sistemlerinin ihtiyaccedilları ve kullanımı iccedilin taktik planlamalarla meşgul olmaktadır Bunun dışında ccedilabaların atanması ve birleştirilmesi gibi daha buumlyuumlk problemlerle de uğraşmaktadırlar Bunların kullandıkları youmlntemlerin bazıları politika biliminde matematikte ekonomide olasılık teorisinde ve istatistikte oldukccedila gelişmiş duumlzeyde fikirler ve goumlruumlşler iccedilermektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI Youmlneylem araştırması ticari kuruluşlar ve enduumlstriyel işletmeler dahil organizasyonların farklı bir ccedilok tuumlrlerinde geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır İş duumlnyasındaki buumlyuumlk şirket ve holdinglerle kuumlccediluumlk enduumlstriyel ve ticari organizasyonların buumlyuumlk bir kısmında youmlneylem araştırması grupları başarılı ccedilalışmalar gerccedilekleştirebilmektedir Genel olarak uumlretim uccedilak ve fuumlze sanayi otomobil enduumlstrisi haberleşme ve bilgisayar enduumlstrisi elektrik enerjisi uumlretimi elektronik gıda metaluumlrji madencilik kağıt petrol enduumlstrisi finans ve bankacılık sektoumlruuml sağlık sektoumlruuml ve transport ve lojistik sektoumlruuml dahil pek ccedilok enduumlstriyel ve hizmet sektoumlruumlnde youmlneylem araştırması geniş ve yaygın bir şekilde uygulanmıştır ve uygulanmaya devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının bazı youmlntemleri ile ccediloumlzuumllebilen bazı problemler şu şekilde ifade edilebilirler
Doğrusal Programlama Metodu personel atanması uumlruumln karışımı malzemelerin alaşımlanması toplu uumlretim planlama taşıma ve dağıtım problemlerinde yatırım portfoumlylerinin oluşturulması ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde başarılı olarak kullanılmaktadır
Dinamik Programlama reklam harcamalarının planlanması satış ccedilabalarının dağıtılması uumlretim planlaması ve programlanması vs gibi alanlarda başarılı olarak uygulanmaktadır
Kuyruk Teorisi trafik sistemlerinde makinelerin tamir bakım ve revizyon programlarının yapılması bakım ekiplerinin adetlerinin belirlenmesi hava trafiğinin programlanması barajların tasarımı hastane youmlnetimi ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde uygulama alanlarına sahiptir
Envanter Teorisi karar teorisi oyun teorisi ve simuumllasyon gibi youmlneylem araştırmasının diğer metotları da ccedilok ccedileşitli alanlarda başarı ile uygulanmaktadır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI Youmlneylem araştırmasının ccedileşitli organizasyon ve işletmelerde uygulamaları hakkında kesin bilgiler elde etmek amacıyla oumlzellikle Amerika Birleşik Devletlerinde bazı anket ccedilalışmaları yapılmıştır Bu kapsamlı anket ccedilalışmalarının sadece kullanım sıklığına goumlre youmlneylem araştırması tekniklerinin sıralanması ile ilgili olan oumlzet sonucu tablo 11rsquo de goumlruumllmektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ
4 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur
Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur
Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı
Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır
JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı
II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel
5 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
yapabilecekleri aritmetik hesaplamaların onlardan binlerce hatta milyonlarca kez daha hızlı dolayısıyla daha kısa zamanda ve hatasız olarak yapılmalarını sağlar Bu faktoumlr youmlneylem araştırmasını buumlyuumlk bir başarıya goumltuumlrmuumlştuumlr ve bu başarı guumlnuumlmuumlzde de aynı şekilde devam etmektedir Bilgisayarların geliştirilmesinde de youmlneylem araştırmasının katkısı olmuştur
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ Youmlneylem araştırması ldquoOrganizasyonla ilgili sistemlerin operasyonlarını ilgilendiren kararların verilmesine bilimsel bir yaklaşımrdquo olarak ifade edilebilir Ancak bu tanım o kadar genel bir tanımdır ki başka birccedilok alanda da aynı anlamda uygulanabilir Bu nedenle belki de youmlneylem araştırmasının kendine oumlzguuml yapısını kavramanın en iyi yolu onun oumlnemli karakteristiklerini incelemek olacaktır Youmlneylem araştırmasının oumlnemli bazı karakteristikleri aşağıda verilmiştir
1 Youmlneylem Araştırması geniş bir uygulama alanına sahiptir2 Youmlneylem Araştırması bilimsel bir yaklaşım ortaya koyar3 Youmlneylem Araştırması geniş bir bakış accedilısına sahiptir4 Youmlneylem Araştırması optimal ccediloumlzuumlme odaklanmıştır5 Youmlneylem Araştırması disiplinler arası bir ccedilalışma ve ekip işidir
Youmlneylem Araştırması gerccedilek hayattan kaynaklanan deterministik ve probabilistik sistemlerin modellenmesi ve bunlarla ilgili olarak optimal kararların verilmesiyle ilgilenir Devlet teşkilatı birimlerinde ticarette enduumlstride ekonomide tabii ve sosyal bilimlerde yapılan bu uygulamalar buumlyuumlk oumllccediluumlde kıt kaynakların faaliyetlere dağıtılması gereksinimi ile karakterize edilirler Bu durumda bilimsel analizden youmlneylem araştırması ile sağlanan kadar bir hayli anlayış yani bilgi elde edilebilir Youmlneylem araştırması yaklaşımından sağlanan katkılar esas itibariyle aşağıda belirtilen oumlzelliklerden kaynaklanır
Youmlneylem Araştırması Yaklaşımından sağlanan katkılar
1 Gerccedilek yaşam durumunun matematiksel bir model ile ifade edilmesi ve karar vericinin amaccedillarına uygun bir ccediloumlzuumlmuumln bulunabilmesi iccedilin oumlnemli elemanların oumlzetlenmesi
2 Bu şekilde ccediloumlzuumlmlerin yapısını araştırma ve bunların elde edilmesi iccedilin sistematik proseduumlrlerin geliştirilmesi
3 Eğer gerekli ise matematiksel teori dahil arzu edilirliğin sistem oumllccediluumlsuumlnuumln veren bir ccediloumlzuumlm geliştirilmesi
İngiliz Youmlneylem Araştırması Derneği (British Operational Research Society) ise youmlneylem araştırmasını şoumlyle tanımlamıştır Youmlneylem Araştırması insan makine para ve malzemeden oluşan enduumlstri ticari resmi ve askeri sistemlerin youmlnetiminde karşılaşılan problemlere modern bilimin uygulanmasıdır Belirgin yaklaşımı sistemin şans ve risk oumllccediluumlsuumlnuuml de kapsayan alternatif karar strateji ve kontrollerin sonuccedillarını tahmin ve karşılaştırmaya yarayan bilimsel bir model geliştirmektir Amacı youmlnetimin politika ve faaliyetlerinin belirlenmesine yardımcı olmaktır Youmlneylem araştırması uygulamaları son yıllarda organizasyonların youmlnetiminde artan bir şekilde buumlyuumlk bir etkiye sahip olmuştur Bu uygulamaların hem sayıları ve hem de ccedileşitleri ccedilok hızlı olarak artmaya devam etmekte olup herhangi bir yavaşlama veya azalma eğilimi de soumlz konusu değildir
İkinci Duumlnya Savaşı esnasında youmlneylem araştırması ile sağlanan başarılardan sonra İngiliz ve Amerikan askeri servisleri emir-komuta zincirinin farklı seviyelerinde aktif youmlneylem araştırması grupları oluşturmaya devam etmişlerdir Sonuccedil olarak şimdi ldquoaskeri youmlneylem
3 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
araştırmacılarrdquo diye adlandırılan ccedilok sayıda insan mevcuttur Bu kimseler savunma problemlerine youmlneylem araştırması yaklaşımını uygulamaktadırlar Oumlrneğin bunlar silah sistemlerinin ihtiyaccedilları ve kullanımı iccedilin taktik planlamalarla meşgul olmaktadır Bunun dışında ccedilabaların atanması ve birleştirilmesi gibi daha buumlyuumlk problemlerle de uğraşmaktadırlar Bunların kullandıkları youmlntemlerin bazıları politika biliminde matematikte ekonomide olasılık teorisinde ve istatistikte oldukccedila gelişmiş duumlzeyde fikirler ve goumlruumlşler iccedilermektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI Youmlneylem araştırması ticari kuruluşlar ve enduumlstriyel işletmeler dahil organizasyonların farklı bir ccedilok tuumlrlerinde geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır İş duumlnyasındaki buumlyuumlk şirket ve holdinglerle kuumlccediluumlk enduumlstriyel ve ticari organizasyonların buumlyuumlk bir kısmında youmlneylem araştırması grupları başarılı ccedilalışmalar gerccedilekleştirebilmektedir Genel olarak uumlretim uccedilak ve fuumlze sanayi otomobil enduumlstrisi haberleşme ve bilgisayar enduumlstrisi elektrik enerjisi uumlretimi elektronik gıda metaluumlrji madencilik kağıt petrol enduumlstrisi finans ve bankacılık sektoumlruuml sağlık sektoumlruuml ve transport ve lojistik sektoumlruuml dahil pek ccedilok enduumlstriyel ve hizmet sektoumlruumlnde youmlneylem araştırması geniş ve yaygın bir şekilde uygulanmıştır ve uygulanmaya devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının bazı youmlntemleri ile ccediloumlzuumllebilen bazı problemler şu şekilde ifade edilebilirler
Doğrusal Programlama Metodu personel atanması uumlruumln karışımı malzemelerin alaşımlanması toplu uumlretim planlama taşıma ve dağıtım problemlerinde yatırım portfoumlylerinin oluşturulması ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde başarılı olarak kullanılmaktadır
Dinamik Programlama reklam harcamalarının planlanması satış ccedilabalarının dağıtılması uumlretim planlaması ve programlanması vs gibi alanlarda başarılı olarak uygulanmaktadır
Kuyruk Teorisi trafik sistemlerinde makinelerin tamir bakım ve revizyon programlarının yapılması bakım ekiplerinin adetlerinin belirlenmesi hava trafiğinin programlanması barajların tasarımı hastane youmlnetimi ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde uygulama alanlarına sahiptir
Envanter Teorisi karar teorisi oyun teorisi ve simuumllasyon gibi youmlneylem araştırmasının diğer metotları da ccedilok ccedileşitli alanlarda başarı ile uygulanmaktadır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI Youmlneylem araştırmasının ccedileşitli organizasyon ve işletmelerde uygulamaları hakkında kesin bilgiler elde etmek amacıyla oumlzellikle Amerika Birleşik Devletlerinde bazı anket ccedilalışmaları yapılmıştır Bu kapsamlı anket ccedilalışmalarının sadece kullanım sıklığına goumlre youmlneylem araştırması tekniklerinin sıralanması ile ilgili olan oumlzet sonucu tablo 11rsquo de goumlruumllmektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ
4 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur
Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur
Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı
Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır
JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı
II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel
5 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
araştırmacılarrdquo diye adlandırılan ccedilok sayıda insan mevcuttur Bu kimseler savunma problemlerine youmlneylem araştırması yaklaşımını uygulamaktadırlar Oumlrneğin bunlar silah sistemlerinin ihtiyaccedilları ve kullanımı iccedilin taktik planlamalarla meşgul olmaktadır Bunun dışında ccedilabaların atanması ve birleştirilmesi gibi daha buumlyuumlk problemlerle de uğraşmaktadırlar Bunların kullandıkları youmlntemlerin bazıları politika biliminde matematikte ekonomide olasılık teorisinde ve istatistikte oldukccedila gelişmiş duumlzeyde fikirler ve goumlruumlşler iccedilermektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI Youmlneylem araştırması ticari kuruluşlar ve enduumlstriyel işletmeler dahil organizasyonların farklı bir ccedilok tuumlrlerinde geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır İş duumlnyasındaki buumlyuumlk şirket ve holdinglerle kuumlccediluumlk enduumlstriyel ve ticari organizasyonların buumlyuumlk bir kısmında youmlneylem araştırması grupları başarılı ccedilalışmalar gerccedilekleştirebilmektedir Genel olarak uumlretim uccedilak ve fuumlze sanayi otomobil enduumlstrisi haberleşme ve bilgisayar enduumlstrisi elektrik enerjisi uumlretimi elektronik gıda metaluumlrji madencilik kağıt petrol enduumlstrisi finans ve bankacılık sektoumlruuml sağlık sektoumlruuml ve transport ve lojistik sektoumlruuml dahil pek ccedilok enduumlstriyel ve hizmet sektoumlruumlnde youmlneylem araştırması geniş ve yaygın bir şekilde uygulanmıştır ve uygulanmaya devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının bazı youmlntemleri ile ccediloumlzuumllebilen bazı problemler şu şekilde ifade edilebilirler
Doğrusal Programlama Metodu personel atanması uumlruumln karışımı malzemelerin alaşımlanması toplu uumlretim planlama taşıma ve dağıtım problemlerinde yatırım portfoumlylerinin oluşturulması ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde başarılı olarak kullanılmaktadır
Dinamik Programlama reklam harcamalarının planlanması satış ccedilabalarının dağıtılması uumlretim planlaması ve programlanması vs gibi alanlarda başarılı olarak uygulanmaktadır
Kuyruk Teorisi trafik sistemlerinde makinelerin tamir bakım ve revizyon programlarının yapılması bakım ekiplerinin adetlerinin belirlenmesi hava trafiğinin programlanması barajların tasarımı hastane youmlnetimi ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde uygulama alanlarına sahiptir
Envanter Teorisi karar teorisi oyun teorisi ve simuumllasyon gibi youmlneylem araştırmasının diğer metotları da ccedilok ccedileşitli alanlarda başarı ile uygulanmaktadır
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI Youmlneylem araştırmasının ccedileşitli organizasyon ve işletmelerde uygulamaları hakkında kesin bilgiler elde etmek amacıyla oumlzellikle Amerika Birleşik Devletlerinde bazı anket ccedilalışmaları yapılmıştır Bu kapsamlı anket ccedilalışmalarının sadece kullanım sıklığına goumlre youmlneylem araştırması tekniklerinin sıralanması ile ilgili olan oumlzet sonucu tablo 11rsquo de goumlruumllmektedir
YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ
4 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur
Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur
Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı
Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır
JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı
II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel
5 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur
Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur
Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı
Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır
JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı
II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel
5 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır
Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır
Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır
Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı
Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere
Optimum z = f (x 1 x2xn)
6 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1
g2 (x 1 x2xn) b2
= gm(x 1 x2xn) bm
Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır
Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır
Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır
Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır
7 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir
Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır
Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek
Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir
maks z=3x1 + 4x2
Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun
Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa
(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40
(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60
(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)
8 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir
Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml
Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir
Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır
Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır
Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır
Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan
9 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır
DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır
AŞAMA
Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır
DURUM
Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir
KARAR
Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir
OPTİMAL POLİTİKA
Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur
GECcedilİŞ FONKSİYONLARI
Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir
OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI
Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir
10 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir
CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir
Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir
DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir
Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir
Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada
N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir
Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b
A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum
-yen pound N pound b
A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum
a pound N pound +yen
A B Her iki tarafı accedilık durum
-yen pound N pound +yen
A B
11 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır
DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir
Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır
Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar
Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır
Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir
Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur
DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır
Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır
12 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir
Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)
Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin
(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)
0 0 0 0
1 1 2 4
2 2 3 5
3 4 4 6
4 6 5 7
5 8 7 9
6 10 9 10
7 13 11 12
8 16 14 13
9 20 17 14
10 25 20 16
İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım
Problemde
xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını
X Toplam uumlretim miktarını
Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin
Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir
Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak
x1 1 durum
x2 2 durum
xn ninci durumu goumlstermektedir
Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri
13 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler
xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını
xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)
0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir
Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre
1 makina 1 Aşamayı
2 makina 2 aşamayı
n makina n aşamayı goumlstermektedir
Ayrıca
fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde
fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır
Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir
fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)
i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım
fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]
Kısıtlayıcı koşul
0 pound xn pound X
Burada
xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)
X Suumlrecin o andaki durumunu
Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri
14 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir
Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım
Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir
Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur
f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul
0 pound x1pound X
İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir
İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)
x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek
f1(X) = c1(x1)
f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir
Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul
0 pound x2pound X
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur
Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir
Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir
15 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir
Birinci aşama iccedilin
f1(X)=min [c1(x1)]
0 pound x1pound X
İkinci aşama iccedilin
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]
0pound x2pound X
n-1inci aşama iccedilin
fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))
0pound xn-1pound X
ninci aşama iccedilin
fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)
0pound xnpound X
Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır
Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir
n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )
0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )
0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir
16 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım
İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir
Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir
Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır
Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim
X x1 C1(x1) f1(X)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 4 4
4 4 6 6
5 5 8 8
6 6 10 10
7 7 13 13
8 8 16 16
9 9 20 20
10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]
Opound x2pound X
yazılabilir
17 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)
f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]
Opound x2pound 1
Buradan
C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2
f2(1) = min
C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
Opound x2pound 1 elde edilir
Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır
X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin
f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir
C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3
18 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir
Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir
X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir
Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir
X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2
min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda
1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3
min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin
1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4
min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr
19 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5
X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir
Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6
Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir
Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı
f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1
C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4
Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2
C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2
Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir
20 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur
Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9
X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir
Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz
Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir
Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine
21 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 0 2 0 2
3 3 4 0123 4 0 4
4 4 6 234 5 0 5
5 5 8 34 6 0 6
6 6 10 4 7 0 7
7 7 13 45 9 0 9
8 8 16 456 11 0 11
9 9 20 4567 13 034 13
10 10 25 4567 15 4 14
Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir
Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir
x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14
Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır
İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir
Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır
Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır
22 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X x3 C3(x3) f3(X)
0 0 0 0
1 1 4 4
2 2 5 5
3 3 6 6
4 4 7 7
5 5 9 9
6 6 10 10
7 7 12 12
8 8 13 13
9 9 14 14
10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir
Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu
f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin
23 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır
1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4
durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur
1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9
min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2
24 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir
1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0
f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler
1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2
f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3
f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda
1 seccedilenek x1=1 6- x1=5 2 seccedilenek x1=2 6- x1=4
f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda
1 seccedilenek x1=2 7- x1=5 2 seccedilenek x1=3 7- x1=4
f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında
1 seccedilenek x1=2 8- x1=6 2 seccedilenek x1=3 8- x1=5 3 seccedilenek x1=4 8- x1=4
f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler
1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4
Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk
25 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır
Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir
Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml
Uumlretim 3makine 2 Makine 1 Makine
Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)
0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 1 2 1 1
2 2 5 2 3 2 2
3 3 6 3 4 3210 4
4 4 7 4 5 012 5
5 5 9 5 7 12 6
6 6 10 6 9 2 7
7 7 12 7 11 23 9
8 8 13 4 12 234 11
9 9 14 5430 14 12345 13
10 10 16 4 15 2 14
Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır
12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı
x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim
26 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir
SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir
Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır
Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez
Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır
Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir
Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır
Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur
Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı
Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır
27 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır
Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir
Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir
Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir
Uumlst sezgisel algoritma ise
28 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır
Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir
Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar
Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır
OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak
Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir
Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar
Doğrusal Olasılık Modeli
Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)
29 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)
Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin
dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin
Y=α+β i X i+ei(1)
eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir
ei Hata terimi olup N(0 σ 2
) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2
olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir
Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir
Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin
E(Yi|Xi)=α + βXi (2)
modeli elde edilir
Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)
Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından
E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)
değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir
E(Yi|Xi)=α + βXi (4)
30 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
olarak da ifade edilebilir
Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır
Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)
Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından
0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt
α+β Xilt 1
şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır
Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)
Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması
En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir
e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)
Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)
yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)
Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır
E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler
31 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir
ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları
Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi
0ndashα
-β
Xi1-Pi
Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin
olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir
E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0
Pi iccedilin ccediloumlzerek
Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i
(7)
elde edilir
Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile
Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[
=
Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)
Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]
=Pi(1-Pi) (9)
Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi
olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı
a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi
gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek
YiradicWi
= αradicWi
+ β XiradicWi
+ eiradicWi
(10)
modeli elde edilir Burada
32 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]
= radicPi(1minusPi )
dir
b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır
c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir
Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile
bulup Y
iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)
iquestnin tahmini elde edilir
Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y
iquesti(1minus Y
^iquesti)
iquest
iquest
iquest değeri bulunur
Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr
Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir
Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması
Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve
probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1
şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar
R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması
Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır
33 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)
0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması
Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi
=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır
Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli
teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr
Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur
Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir
Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur
Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)
34 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Pi=E(Y i=1|X i)=1
1+eminus(α+βX i)
=1
1+eminusZi
(12)
Burada
Zi = α+β Xi
rsquodir
Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir
Zi = α+β Xi
e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)
(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık
iccedilin gerekli olan 0iquest
Pi iquest
1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye
adlandırılan Zi değişkeni -infin
ile +infin
arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler
alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest
Pi iquest
1 ve Zi ile Pi
arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun
belirlenmesi iccedilin α
ve β
parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye
ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α
ve β
rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin
Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı
1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır
Pi= 1
1+eminusZi
eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi
) ile ccedilarpılarak
(1+eminusZi
)Pi=1(13)
elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak
eminusZi
=1Piminus1=
1minusPiPi
(14)
35 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
elde edilir
eminusZi= 1eZi
kullanılarak
eZi= Pi1minusPi
(15)
goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak
ln (Pi
1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)
elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur
Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu
Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )
)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)
şeklinde yazılırα
ve β1 β p
regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri
logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1
0)ve
ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir
Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir
Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi
SıraMezuniyet
Durumu (Y)
Cinsiyet
(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)
1 1 2 1 575
2 1 1 1 1350
36 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
3 1 2 1 1400
98 1 1 2 525
99 1 1 1 500
100
0 1 1 950
Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl
Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen
Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay
37 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Araştırma ve Bulgular
Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır
Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri
Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz
Sabit 0334 0226 1478 0143
Sayısal Net 002 0010 1978 0051
Cinsiyet -004 0104-
03730710
Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207
R2 0060
Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir
Y=α+β Xi+ei
1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa
Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa
X1=Oumlğrencinin cinsiyeti
X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml
X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti
ei= Hata terimirsquodir
Yiquest=0 334minus0 04X
1+0 091 X
2+0 02X
3iquest
denklemi kurulabilir
Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest=046
46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
38 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )
iquest =050
50 olarak hesaplanacaktır
Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=102
102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır
Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir
Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)
Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1
Meslek lisesi mezunu ise X2=2
ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur
En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir
a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )
iquest=465
b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )
iquest=556
c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 4 puan
Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )
iquest=647
Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde
a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)
Sayısal neti 3175 puan
39 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)
iquest=98
b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)
iquest=1071
c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)
Sayısal neti 3175 puan
Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)
iquest=1162
olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır
En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46
K(1) Klasik(1) 575 50
K(1) Klasik(1) 3175 102
E(2) Klasik(1) 3175 98
E(2) Meslek(2) 3175 1071
E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162
K(1) Klasik(1) 400 465
K(1) Meslek(2) 400 556
K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647
Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır
Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki
Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt
yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir
40 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Liquest=0 213+0 158 X
1minus0 953X
2+0 095X
3iquest
O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır
Pi
iquest=1
1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)
iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri
Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837
Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734
Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451
Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin
Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus2 434
iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma
olasılığı tahmin edilebilir
OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus25925
iquest=09304 9304 olur
OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0273
iquest =05678 5678 olur
41 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=0606 606 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında
P
iquest= 1
1+eminus0 036
iquest =0501 501 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 226
iquest=07731 7731 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 384
iquest =07996 7996 olacaktır
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 431
iquest=06061 6061 bulunur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus0 194
iquest=05483 5483rsquotir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
42 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
P
iquest= 1
1+eminus1 666
iquest=08410 841 olur
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı
P
iquest= 1
1+eminus1 429
iquest=08067 8067rsquodir
Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak
P
iquest= 1
1+eminus2 619
iquest=09321 9321 bulunur
Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır
Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları
Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()
K(1) Klasik(1) 3175 9190
E(2) Klasik(1) 3175 9304
K(1) Klasik(1) 900 5678
E(2) Klasik(1) 900 6060
K(1) Meslek(2) 900 5010
K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731
E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996
E(2) Klasik(1) 900 6061
E(2) Meslek(2) 900 5483
E(2) Klasik(1) 2200 8410
E(2) Meslek(2) 2200 8067
E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321
Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır
43 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)
iccedilin
Δ piquest=0 799minus0 932=0 133
iquest
X= 3175 ile X=9 arasındaki fark
(Δx=2275iccedilinΔ p
iquest=0 919minus567=0 352
iquest değerleri bulunur
Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )
mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır
Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir
Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir
Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır
OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir
KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU
Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır
1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında
44 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar
Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur
Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır
1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar
Planlama Teknikleri
Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)
Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin
45 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir
Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz
Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir
bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir
bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır
bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir
bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir
bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir
46 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)
Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır
CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve
kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar
1 Kısa vadeli (stratejik) planlar
2 Uzun vadeli (taktik) planlar
olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır
Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek
duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir
47 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir
48 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
49 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
50 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır
Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır
PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir
Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması
bağıntısıyla hesaplanır Burada
51 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır
Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir
52 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler
1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır
2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir
3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir
4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur
Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken
_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir
_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir
_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır
_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir
Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da
_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur
İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir
İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir
_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır
Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)
Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)
Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir
SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur
Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım
Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır
53 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i
KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs
Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf
54 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i