TEOREMA PYTHAGORAS

Disusun untuk Memenuhi Tugas

Mata kuliah : FILSAFAT ILMU

Dosen Pengampu : Drs. GATUT ISWAHYUDI, M.Si

Oleh :

1. SUYONO S.851008048

2. IKHSAN DWI SETYONO S.851008025

3. TUMINI S.851008051

4. TRI WIDIASTUTI S.851008050

Kelas Paralel 1, 2010

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCA SARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2010

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pythagoras adalah seorang matematikawan yang lahir sekitar tahun 582 SM. di

Pulau Samos, Yunani. Pythagoras hidup amat sederhana, keras, dan memakai waktunya

mengerjakan matematika. Pythagoras yakin bahwa matematika menyimpan semua

rahasia alam semesta dan dia percaya bahwa beberapa angka memiliki keajaban.

Pythagoras diingat karena dalil Pythagoras, sebuah rumus sederhana dalam geometri

tentang ketiga sisi dalam segitiga siku - siku. Namun, Pythagoras juga melakukan

beberapa eksperimen ilmiah paling pertama melalui mendengarkan suara senar yang

diregangkan dengan panjang yang berbeda dan meneliti matematika oktaf dan harmoni.

Ide - ide matematika Pythagoras menjadi penting bagi filsuf Plato dan melalui pengaruh

Plato para ilmuwan lain seperti Galileo, Kepler, dan Sir Issac Newton.

Pada tahun 2500 SM, orang-orang Mesir Kuno menganggap pasangan bilangan

3,4 dan 5 sebagai bilangan-bilangan yang ajaib dan menyebutnya sebagai salah satu

ajaran dari Dewa Oasis. Ketika mereka membangun fondasi piramida, mereka

menggunakan bilangan-bilangan tersebut sebagai acuan membangun sudut siku-siku

dengan bantuan sebuah tali yang dibuat 4 simpul dengan jarak masing-masing antara

simpul pertama dan kedua berjarak 3 satuan, simpul kedua dan ketiga berjarak 4 satuan

dan simpul ketiga dan keempat berjarak 5 satuan. Jika tali tersebut dibuat segitiga

dengan menyatukan simpul pertama dan keempat, maka didapatkan sebuah segitiga

siku-siku yaitu suatu segitiga yang salah satunya siku-siku.

Dalam matematika , Teorema Pythagoras adalah suatu hubungan di geometri

Euclid antara tiga sisi pada sebuah segitiga siku-siku dimana: Dalam setiap segitiga

siku-siku, luas persegi yang berada di sebelah sisi miring adalah sama dengan jumlah

bidang kotak yang berada pada kedua sisi lainnya

Teorema dapat ditulis sebagai persamaan yang berkaitan dengan panjang sisi a,

b, dan c, yang sering disebut persamaan Pythagoras:

cb

a

dimana c merupakan panjang sisi miring, dan a dan b mewakili panjang dua sisi lain

Teorema Pythagoras ini dinamai oleh seorang matematikawan Yunani bernama

Pythagoras , setelah melakukan penelitian, penemuan dan membuktikan . Meskipun

banyak ilmuan sering berpendapat tentang teorema tersebut (Ada banyak bukti bahwa

matematikawan Babilonia memahami rumus tersebut, tetapi ada sedikit bukti yang

dipasang ke dalam kerangka matematis) . Matematika menyediakan alat-alat praktis

dalam bentuk konsep yang dirancang untuk perhitungan tertentu. Di sisi lain

Pythagoras, adalah salah satu yang pertama untuk memahami angka sebagai unsur-

unsur dalam segitiga siku-siku.

PEMBAHASAN

1. PEMBUKTIAN

1.1 Pembuktian dengan segitiga serupa.

Pembuktian menggunakan segitiga serupa.

Seperti kebanyakan pembuktian atas teorema Pythagoras, cara ini berdasarkan atas

proporsioanalitas dari sisi-sisi dua segitiga yang serupa. Kita anggap ABC menggambarkan

sebuah segitiga siku-siku dengan siku berada di C, seperti terlihat pada gambar. Kita gambar

ketinggiannya dari titik C, dan menyebut H sebagai pertemuan dengan sisi AB. Segitiga

ACH sama dengan segitiga ABC karena keduanya memiliki sebuah siku dan berbagi sudut di

A, yang berarti sudut ketiga akan sama di kedua segitiga ini. Dengan pemikiran yang sama,

segitiga CBH juga sama dengan ABC. Kesamaan tersebut mengarah kepada dua

perbandingan:

ac= HB

adan b

c= AH

b , Dapat juga ditulis menjadi:

a2 = c x HB dan b2 = c x AH

Setelah menjumlahkan kedua persamaan tersebut, kita mendapatkan:

a2 + b2 = c x HB + c x AH = c x (HB+AH) = c2

Dengan kata lain, Teorema Pythagoras:

a2+b2 = c2

1.2 Pembuktian Euclid

Di dalam Elements Euclid, teorema Pythagoras dibuktikan oleh sebuah

pendapat dalam garis-garis berikut ini. A, B, C, adalah vertices segitiga siku-siku,

dengan siku di A. Gambarlah garis lurus dari titik A menuju sisi yang berlawanan

dengan hypotenuse dalam persegi di luas hypotenuse. Garis itu membagi persegi yang

ada di luas hypotenuse menjadi dua persegi panjang, yang masing-masing memiliki luas

yang sama dengan salah satu persegi dari luas kaki-kakinya.

Sebagai pembuktian formalnya, kita memerlukan empat lemmata dasar:

1. Apabila dua segitiga memiliki dua sisi dari salah satu yang sama dengan dua sisi

lainnya, dan sudut-sudutnya terbentuk dari sisi-sisi yang sama, kedua segitiga itu

menjadi congruent (Teorema Sisi-Sudut-Sisi)

2. Luas segitiga adalah separuh dari luas parallelogram dalam dasar yang sama dan

memiliki ketinggian sama

3. Luas persegi adalah sama dengan produk dari sisi-sisinya yang terbagi dua.

4. Luas persegi panjang adalah sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.

Ide intuitif di balik bukti ini, yang membuat mudah untuk diikuti, adalah bahwa

persegi-persegi yang ada di atas terbentuk menjadi parallelograms dengan ukuran yang

sama, kemudian berubah dan terbentuk menjadi persegi panjang kiri dan kanan yang

terletak di bawah, di luas konstan.

Ilustrasi memuat garis-garis baru.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

1. Buatlah ACB menjadi segitiga siku-siku dengan siku CAB.

2. Di tiap sisi BC, AB, dan CA, persegi-persegi tergambar, CBDE, BAGF, dan ACIH,

dengan urutan seperti itu.

3. Dari A, gambarlah sebuah garis parallel dengan BD dan CE. Garis ini akan

mempertenukan BC dan DE di K dan L.

4. Gabungkan CF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA.

5. Sudut CAB dan BAG adalah sudut siku; sehingga C, A, dan G adalah collinear.

Berlaku juga untuk B, A, dan H.

6. Sudut CBD dan FBA adalah sudut siku; sehingga sudut ABD sama dengan sudut

FBC karena keduanya adalah penjumlahan dari sudut siku dan sudut ABC.

7. Karena AB dan BD sama dengan FB dan BC, dengan urutan seperti itu segitiga

ABD harus sama dengan segitiga FBC.

8. Karena A collinear dengan K dan L, persegi panjang BDLK harus dua kali lebih

besar dari segitiga ABD.

9. Karena C collinear dengan A dan G, persesi BAGF harus dua kali lebih besar dari

segitiga FBC.

10.Dengan demikian persegi panjang BDLK harus sama besar dengan persegi BAGF =

AB2.

11.Demikian juga, dapat dilihat bahwa persegi panjang CKLE harus sama besar dengan

persegi ACIH = AC2.

12.Penambahan dua hasil ini, AB2 + AC2 = BD x BK + KL x KC

13. Karena BD = KL, BD* BK + KL x KC = BD (BK + KC) = BD x BC

14. Dengan demikian, AB2 + AC2 = BC2, karena CBDE adalah sebuah persegi

1.3 Pembuktian Garfield

Luas trapezoid adalah

A = h2 (S1 + S2) , dimana h adalah tinggi, dan s1 dan s2 adalah panjang dari sisi-sisi

parallel.Sehingga luas trapezoid dalam gambar adalah:

A = (a+b)

2 (a+b) = (a+b)2

2

Sedangkan Segitiga 1 dan Segitiga 2 masing-masing memiliki luas ab2 , dan Segitiga 3

memilliki luas c2

2, dan luas ini separuh dari persegi yang ada di hypotenuse. Kemudian,

luas trapezoid adalah:

A =

ab2

+ ab2

+ c2

2=ab+ c2

2

Kedua luas harus sama, sehingga:

(a+b)2

2=ab+ c2

2

a2+2ab+b2

2=ab+ c2

2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

C2

a2

a

b

c

c2

b2

Dengan demikian, persegi yang ada di hypotenuse = penjumlahan dari persegi-persegi

dari kedua sisi lainnya.

1.4 Pembuktian Dengan Pengurangan

Dalam pembuktian ini, persegi yang ada di hypotenuse ditambah empat rangkap

segitiga dapat disatukan ke dalam bentuk yang sama dengan persegi-persegi dari dua

sisi lainnya ditambah empat rangkap segitiga. Pembuktian ini diambil dari China.

Pembuktian dengan penjumlahan luas.

Pembuktian Dari Persamaan

Dari diagram yang terdapat di pembuktian Euclid di atas, kita dapat melihat tiga

gambar serupa, masing-masing menjadi “sebuah persegi dengan segitiga di atasnya”.

Karena segitiga besar dibuat dari dua segitiga kecil, luasnya adalah penggabungan dari

luas dua segitiga kecil. Dengan kesamaan itu, ketiga persegi ada di dalam proporsi yang

sama yang saling berhubungan dengan ketiga segitiga, demikian juga luas persegi yang

lebih besar adalah penggabungan dari luas dua persegi yang lebih kecil.

Pembuktian Teorema Pythagoras dengan pengaturan empat segitiga siku-siku

yang identik: Karena total luas dan luas semua segitiga adalah konstan, total luas

hitamnya juga konstan. Tetapi ini dapat dibagi ke dalam persegi-persegi dari sisi-sisi

segitiga a, b, c, yang menunjukkan bahwa a2+b2=c2.

Pembuktian dengan penyususunan kembali diberikan melalui ilustrasi dan

animasi. Dalam ilustrasi, luas dari masing-masing persegi besar adalah (a+b)2. Dalam

keduanya luas keempat segitiga identik dihapus. Sisa luasnya, a2 + b2 dan c2, Gambar,

ketiga paling kanan juga memberikan bukti. Kedua atas kotak dibagi seperti

yang ditunjukkan dengan shading biru dan hijau, potongan segitiga ketika

disusun ulang dapat dibuat persegi yang lebih rendah pada terpanjang atau

sebaliknya persegi besar dapat dibagi seperti yang ditunjukkan menjadi

potongan-potongan yang mengisi dua lainnya. Hal ini menunjukkan daerah

persegi besar sama yang kedua yang lebih kecil.

(a + b)2 = c2 +

ab2 +

ab2 +

ab2 +

ab2

(a + b)2 = c2 +ab +ab

(a + b)2 = c2 +2ab

Karena: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Maka :

a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab

jadi: a2 + b2 = c2

1.5 Pembuktian secara Aljabar

Digram dari dua bukti aljabar

Teorema tersebut bisa dibuktikan secara aljabar menggunakan empat

salinan dari sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a, b, dan c, diatur dalam

sebuah persegi dengan sisi c seperti di bagian atas diagram. Keempat segitiga

sama dengan luas yaitu masing-masing luasnya

ab2 . Sedangkan persegi kecil

memiliki sisi b - a dan luas daerah (b - a) 2 . Luas persegi besar adalah:

Tapi ini adalah sebuah persegi dengan panjang sisi c maka luasnya adalah c2.

Sehingga berlaku:

Sebuah bukti yang sama menggunakan empat salinan dari segitiga sama

diatur simetris sekitar persegi dengan sisi c, seperti ditunjukkan pada bagian

bawah diagram. Hal ini menghasilkan sebuah persegi yang lebih besar, dengan

sisi a + b maka luasnya (a + b ) 2. Keempat segitiga dan sisi c persegi harus

memiliki daerah yang sama dengan persegi yang lebih besar,

Maka didapat :

2 PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS

2.1 Triple Pythagoras

Triple Pythagoras memiliki tiga integer positif a, b, dan c sehingga a2 + b2 = c2.

Dengan kata lain, triple Pythagoras mewakili panjang sisi sebuah segitiga siku-siku

dimana ketiga sisinya memiliki panjang integer. Bukti monumen megalitikum di Eropa

Utara menunjukkan bahwa triple semacam itu sudah diketahui sebelum penemuan

tulisan. Triple semacam itu umumnya ditulis (a, b, c). Beberapa contoh yang terkenal

adalah (3, 4, 5) dan (5, 12, 13).

Daftar Triple Pythagoras kuno hingga 100

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13,

84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89),

(48, 55, 73), (65, 72, 97)

2.2 Keberadaan angka-angka irasional

Salah satu konsekuensi dari teorema Pythagoras adalah bahwa panjang yang

incommensurable (perbandingannya adalah angka irasional), seperti akar pangkat 2,

dapat dibangun. Sebuah segitiga siku-siku yang kedua kakinya sama memiliki panjang

hypotenuse akar pangkat 2. Bukti bahwa akar pangkat 2 adalah irasional sangatlah

kontras dengan keyakinan lama yang menyebut bahwa segala sesuatu adalah rasional.

Menurut legenda, Hippasus, yang membuktikan ketidakrasionalan akar pangkat dua,

tenggelam di laut sebagai konsekuensinya.

2.3 Jarak koordinat kartesius

Rumus jarak koordinat kartesius berasal dari teorema Pythagoras. Bila (χ0, y0) dan

(χ1, y1) adalah titik-titik di dalam pesawat, jarak diantara keduanya juga disebut jarak

Euclidean diketahui dengan:

√ ( χ1 – χ 0 )2 + ( y 1 – y 0 ) 2 .

Lebih umum lagi, di dalam Euclidean n-space, jarak Euclidean diantara dua titik,

A=(a1, a2, …, an) dan B=(b1, b2, …, bn) didefinisikan menggunakan teorema Pythagoras

sebagai berikut:

√(a1 – b 1)2 + (a2 – b 2) 2 + … + (a n – b n) 2

= √∑

i = 1

n

( ai − bi )2

KESIMPULAN

Teorema Pythagoras adalah suatu hubungan di geometri Euclid antara tiga sisi

pada sebuah segitiga siku-siku dimana dalam setiap segitiga siku-siku, luas persegi yang

berada di sebelah sisi miring adalah sama dengan jumlah bidang kotak yang berada

pada kedua sisi lainnya. Teorema Pythagoras ini dinamai oleh seorang matematikawan

Yunani bernama Pythagoras , setelah melakukan penelitian, penemuan dan

membuktikan . Meskipun banyak ilmuan sering berpendapat tentang teorema tersebut

(Ada banyak bukti bahwa matematikawan Babilonia memahami rumus tersebut, tetapi

ada sedikit bukti yang dipasang ke dalam kerangka matematis) . Matematika

menyediakan alat-alat praktis dalam bentuk konsep yang dirancang untuk perhitungan

tertentu. Di sisi lain Pythagoras, adalah salah satu yang pertama untuk memahami angka

sebagai unsur-unsur dalam segitiga siku-siku.

Teorema dapat ditulis sebagai persamaan yang berkaitan dengan panjang sisi a,

b, dan c, yang sering disebut persamaan Pythagoras:

Sebuah tripel Pythagoras memiliki tiga bilangan bulat positif a, b, dan c, seperti

bahwa 2 + b 2 = c 2 Dalam sebuah Pythagorean triple merupakan panjang sisi segitiga

siku-siku di mana ketiga sisi memiliki panjang integer. Beberapa contoh dikenal dengan

baik adalah (3, 4, 5) dan (5, 12, 13).

b

a

c