Realni brojevi

Proširivanje brojevnih skupova od N do R

Skup S je zatvoren u odnosu na operaciju * ukoliko je rezultat primene te operacije na svaka dva elementa skupa S element skupa S i kaže se da je uređeni par (S,*) grupoid.

(a,bS) a*bS

Skup prirodnih brojeva je grupoid u odnosu na sabiranje i množenje

(N,+) (a,b N)(a+bN)

(N,*) (a,b N)(a*bN)

U skupu N jednačina oblika x+b=a nije rešiva bez uslova

x+b=a x=a-b a b

Zbog toga se skupu N dodaje nula i negativni celi brojevi tj. proširuje se u skup Z koji je zatvoren u odnosu na operacije za koje je skup N bio zatvoren (+,*) sa dodatkom operacije oduzimanja. Tako su (a,b Z)(a+bZ, a*bZ, a-bZ)

(Z,+)

(Z,*) grupoid

(Z,-)

Jednačina oblika b*x=a u skupu Z nije uvek rešiva

b*x=a x=ab b a b 0

Zato se skupu Z dodaju pozitivni i negativni razlomci tj. brojevi koji se mogu pisati u obliku p/q

Proširuje se u skup racionalnih brojeva Q

(a,b Q)(a+bQ, a*bQ, a-bQ, a/bQ b0)

U skupu Q jednačina x2=2 nije rešiva jer ne postoji nijedan racionalan broj čiji je kvadrat jednak 2.

x2=2 x=√2 x=−√2

Brojevi koji nisu racionalni tj. iracionalni ne mogu se pisati u obliku p/q i oni određuju skup iracionalnih brojeva I

Q I = R skup realnih brojeva

Pri proširivanju brojnih skupova od N do R poštuju se sledeći principi:

1. svaki naredni skup je prvo proširenje prethodnog (svaki prethodni je podskup narednom)2. svako proširenje je grupoid u odnosu na operacije za koje je prethodni skup bio grupoid sa

dodatkom nove operacije3. princip permanencije (stalnosti): svi zakoni primenjeni na računske operacije važe u svim

brojnim skupovima od N do R

Skup prirodnih brojeva N

N= 1,2,3,4,...,n,n+1,...

Nematematička intuitivna definicija skupa N:

Elementi skupa N služe za prebrojavanje elemenata nekog drugog skupa.

Skup N je ograničen sa donje i leve strane jedinicom, a neograničen sa desne ili gornje strane tj. nepostoji najveći prirodni broj.

Postoje susedni prirodni brojevi n-1,n,n+1

Postoji obostrano jednoznačno preslikavanje (bijekcija) između prirodnih brojeva i tačaka na brojevnoj pravi.

Skup celih brojeva Z

Z=..., -(n+1),-n,-(n-1),...,-2,-1,0,1,2,....n,...

Skup celih brojeva je unija skupa prirodnih brojeva , nule i negativnih celih brojeva.

Neograničen je sa obe strane tj. ne postoji ni najmanji ni najveći ceo broj – postoje susedni celi brojevi

Deljivost u skupu Z

b a a=q*b

b a a=q*b+r r b

Najveći zajednički delilac NZD(a,b) je najveći broj kojim su a i b deljivi.

NZD(a,b)=b b a

NZD (18,12)=6

D(18)=1,2,3,6,9,18

D(12)= 1,2,3,4,6,12

ZD(18,12)= 1,2,3,6

Euklidov algoritam

NZD(18,12)=?

18=12*1+6

18 12 18=12*1+6 6 12

a=b*q+r

b a, r b

12=6*2+0

b=r*q1+r1

r1=0 NZD(18,12)=r=6

Primer: NZD(1260,336)=?

1260=336*3+252

336=252*1+84

252=84*3+0

NZD(1260,336)=84

Za domaći rad NZD(1080,1260,3150)=?, NZD(90,126)=?, NZD(24,90,126)=?

NZD(a,b)=1 a i b su uzajamno prosti

Parni brojevi sa zapisuju kao 2*k, k =0, 1, 2, 3,..

Neparni brojevi se zapisuju 2k+1

proizvod susednih prirodnih brojeva je paran broj

(2k+1) *2k=2(k*(2k+1))

(2k+1)+2k=4k+1=2(2k)+1

zbir susednih prirodnih brojeva je neparan broj

3 n3-n 3 n(n2-1) 3 n(n-1)(n+1)

proizvod tri uzastopna prirodna broja su je deljiv sa 3,a utvrdili smo da je deljiv i sa dva, pa je

6 n3-n 3 n3-n 2 n3-n

Skup racionalnih brojeva Q

Q=p/q pZ qN NZD(p,q)=1

racionalni broj je oblika p/q pri čemu su p i q uzajamno prosti i q različito od 0.

Skup Q nije ograničen ni sa leve ni sa desne strane

Ne postoje susedni racionalni brojevi, tj. između svaka dva susedna racionalna broja nalazi se bar jedan racionalan broj.

Skup iracionalnih brojeva I

Broj koji se ne može napisati u obliku p/q zove se iracionalan (neracionalan) broj

1. NZD(1080,1260,3150)=?

NZD(1080,1260)1260=1080*1+1801080=180*6+0NZD(1080,1260)=180NZD(180,3150)=?3150=180*17+90180=90*2+0NZD(180,3150)=90NZD(1080,1260,3150)=90

2. NZD(90,126)=?126=90*1+3636=18*2+0NZD(90,126)=18

3. NZD(24,90,126)=?

NZD(24,90)90=24*3+1824=18*1+618=6*3+0

NZD(24,90)=6NZD(6,126)126=6*21+0NZD(24,90,126)=126

Skup realnih brojeva R

Skup R je uređeno Arhimedovo polje jer u njemu važe sledeće tri grupe aksioma.

I Aksiome polja

(a,bR) a+bR a*bR (R,+), (R,*) su grupoidi(a,bR) a+b=b+a, a*b=b*a za sve realne brojeve za sabiranje i množenje važi zakon komutacije(a,bR) a+(b+c)=(a+b)+c, a*(b*c)=(a*b)*c za sve realne brojeve za sabiranje i množenje važi zakon asocijativnosti(a,bR) a*(b+c)=a*b+a*c za sve realne brojeve za sabiranje i množenje važi zakon distributivnosti(aR) a+0=a a*1=a neutralni element za + i *(aR) ((-a)R) a+(-a)=0

a*1a =1 a0 suprotni elementi za sabiranje i množenje

PRIMEĆUJEMO DA SU NEUTRALI ZA SABIRANJE I MNOŽENJE RAZLIČITI!!!!II Aksiome polja

(a,bR) ab a=b b a(a,bR) a≤b b ≤ a a=b(a,bR) a≤b a+c ≤ b+c(a,bR) (cR c0) a≤b a*c ≤ b*c(a,bR+) a0 b0 a *b 0

Ova grupa aksioma uređuje skup R, a zajedno sa prvom grupom čini uređeno polje

III Arhimedova aksioma- ne postoji najveći prirodan broj

(a,bR+) (nN) n*a bAksiome I, II i III skup R čine uređenim Arhimedovim poljem

Teoreme: (x R) –(-x)=x

(xR) –x=(-1)x(xR) x*0=0(xR) –(x+y)= - x+(-y)

x0, y0 1x* 1y=1xy

Apsolutna vrednost (modul)

I-5I=-(-5)=5I5I=5Modul broja predstavlja njegovo rastojanje od nule na realnoj osi

a, a ≥ 0

IaI= -a, a 0

x+3, x+3 ≥ 0 x+3, x≥ -3

1. Ix+3I= =

-(x+3), x+3 0 -x-3, x -3

2-x, 2-x≥0 2-x, -x≥ -2 2-x, x≤2

2. I2-xI= = =

-(2-x), 2-x0 -2+x, -x -2 -2+x, x2

x+3+2-x, x+3≥0 2-x≥0 5, x≥ -3 x≤2 5, x -3,2

x+3-2+x, x+3≥0 2-x 0 2x+1, x≥ -3 x2 2x+1, x (2, )

3. Ix+3I+I2-xI= -x-3+2-x, x+30 2-x≥0 = -2x-5 , x -3 x≤2 = -2x-1, x(-,-3)

-x-3-2+x, x+30 2-x0 -5, x -3 x2 -5,

5, -3,2

= 2x+1, x (2, )

-2x-1, x(-,-3)

2-3x+x-5, 2-3x ≥ 0 x+5≥0 -2x-3, 3x≥ -2 x≥ 5

2-3x-x+5, 2-3x ≥ 0 x+50 -2x+7, -3x≥ -2 x 5

4. I2-3xI-Ix-5I = -2+3x+x-5, 2-3x0 x+5≥0 = 4x-7, -3x -2 x≥5

-2+3x-x+5, 2-3x 0 x+5 0 2x+3, -3x-2 x 5

-2x-3, x ≤ 23 x ≥ 5 -2x-3,

-2x+7, x ≤ 23 x 5 -2x+7, x(23 ,−¿)

= 4x-7, x 23 x ≥ 5 = 4x-7, x(5,) =

2x+3, x 23 x 5 2x+3, x

23 , 5

-2x+7, x(23 ,−¿)

= 4x-7, x(5,)

2x+3, x23 , 5

4-x+2-5x, 4-x ≥0 2-5x ≥0 -6x+6, x≤ -4 -5x≥ -2

4-x-2+5x, 4-x≥ 0 2-5x 0 4x+2, x≤ -4 -5x -2

5. I4-xI-I2-5xI= -4+x+2-5x, 4-x 0 2-5x≥0 = -6x-2, x -4 -5x≥ -2

-4+x-2+5x, 4-x0 2-5x0 6x-6, x -4 -5x -2

-6x+6, x(-4, -)

4x+2,

= -6x-2, x (25 ,)

6x-6, x -4, 25

2x+x3 +x+x, x ≥0 3x, x ≥ 0

6. 2 x+ IxI3 +x+IxI=

2x−x3 +x-x, x 0 =

x3 , x 0

327. 2x−IxI3 +x-IxI zadatak iz zbirke za domaći

7. Dokazati da je:

x+ IxI2 +

x−IxI2 = x2

za x ≥ 0 je x+x2 +

x−x2 = x2+ 0 = x2 što je i trebalo dokazati

za x 0 je x−x2 +

x+x2 = 0+ x2 = x2 što je i trebalo dokazati

8. Dokazati jednakost:

2 2

2 2

2 2

22

a+2+ I a+2 I2 +

a+2−I a+2 I2 = a2+4a+4 za a ≥ 0 je

a+2+a+22 +

a+2−a−22

= (a+2)2+0= a2+4a+4 što je i trebalo dokazati

za a 0 je a+2−a−2

2 + a+2+a+2

2 = 0+(a+2)2 = a2+4a+4 što je i trebalo dokazati

330. zadatak je za domaći

9. Rešiti jednačine:

a) IxI= 2x-4

za x ≥ 0 je x=2x-4, tj. x=4 i ovo rešenje je prihvatljivo jer je uslov bio da je x ≥ 0

za x 0 je -x=2x-4, tj. x=43 i ovo rešenje nije prihvatljivo jer je uslov bio da je x 0

b) Ix+2I=2x+4

za x ≥ 0 je x+2=2x+4, tj. x= -2 i ovo rešenje nije prihvatljivo jer je uslov bio da je x ≥ 0

za x 0 je -x-2=2x+4, tj. x=−2 i ovo rešenje je prihvatljivo jer je uslov bio da je x 0

c) Ix-2I= 2x+4

za x ≥ 0 je x-2=2x+4, tj. x=-6 i ovo rešenje ni je prihvatljivo jer je uslov bio da je x ≥ 0

za x 0 je -x+2=2x+4, tj. x=−23 i ovo rešenje je prihvatljivo jer je uslov bio da je x 0

Ix-3I=5 je za domaći zadatak

10. Rešiti jednačine:

2 2

22

x+x-2=x+4, x ≥ 0, x-2 ≥ 0 x=6, x ≥ 2

a) IxI+Ix-2I =x+4 = x-x+2=x+4, x ≥ 0, x-2 0 = x= - 2, x 0,2)

-x+x-2=x+4, x 0, x-2 ≥ 0 x=-6, x

-x-x+2= x+4, x 0, x-2 0 x= - 23 , x 0

x+2+x-2=3x+4, x+2 ≥ 0, x-2 ≥0 x=-4, x ≥ 2

b) Ix+2I+Ix-2I=3x+4 = x+2-x+2=3x+4, x+2 ≥ 0, x-2 0 = x=0, x-2,2

-x-2+x-2=3x+4, x+2 0, x-2 ≥0 x= - 83 , x

-x-2-x+2= 3x+4, x+2 0, x-2 0 x= - 45 , x -2

11.

a) 1IXI =

12

1X =

12 , x ≥ 0 x=2, x ≥ 0

1−X =

12,x 0 x= -2, x 0

b) IxI ≤2

x≤2, x≥0 x0,2

-x≤2, x0 x-2,0)

c) IxI ≥3

x≥3, x≥0 x≥3

-x≥3, x0 x≤-3

=

= = x-2,2

= = x(-,-33,+)

d) Ix-2I≤ 5

x-2 ≤ 5, x-2≥0 x ≤7, x ≥2 x2,7

-x+2 ≤ 5, x-20 x ≥ -3, x2 x-3,2

e) I2x-3I 1 je za domaći zadatak

f) I12x+3 I4

x2+3 4,

x2+3 ≥ 0 x 2, x ≥ -6 x-6,2)

−x2

−3 4, x2+3 0 x -14, x -6 x(-14,-6)

g) I23x+1 I ≥ 3 je za domaći zadatak

12. I IxI - 1 I ≤ 2

1 Ix-1I ≤ 2, za x≥0

2 I-x-1I ≤2, za x 0

1 x-1 ≤ 2, x-1 ≥ 0 x ≤3, x ≥ 1 x1,3

-x+1 ≤ 2, x-1 0 -x ≤ 1, x 1 x-1,1)

i u prvom slučaju je x ≥ 0 pa je:

= = = x-3,7

= = = x(-14,2)

= =

x0,3

x0,1)

2 - x-1 ≤ 2, x-1 ≥ 0 -x ≤3, x ≥ 1 x1,+)

x+1 ≤ 2, x-1 0 x ≤ 1, x 1 x(-,1)

i u drugom slučaju je x 0 pa je:

x

x (-, 0)

13. II2x+1I -5I 2

1 I2x+1-5I 2 ,2x+1 ≥ 0

2 I-2x-1-5I 2, 2x+1 0

1 I2x-4I 2

2x-4 2, 2x-4 ≥ 0 x 3, x ≥ 2 x 3

-2x+4 2, 2x-40 x ≤ 1, x 2 x ≤ 1

i u prvom slučaju je 2x+1 ≥ 0 pa je:

x 3

x- 12 ,1

2 I-2x-6I 2

-2x-6 2, -2x-6 ≥ 0 -2x 8, -2x ≥ 6 x ≤ -4, x ≤ -3 x ≤ -4

2x+6 2, -2x-6 0 2x -4, -2x 6 x -2, x ≥ -3 x -2

i u drugom slučaju je 2x+1 0 pa je:

x ≤ -4

= =

= =

= = =

x(-2, - 12 )