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W h t d E t i klWachstum und EntwicklungBausteine zur Wachstumstheorie
Prof. Dr. Wolfgang StröbeleIn Zusammenarbeit mit Dipl.-Math. Eric Meyer
Lehrstuhl für VolkswirtschaftstheorieUniversität Münster
Bausteine zur Wachstumstheorie 2
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten
• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
investitionen
Bausteine zur Wachstumstheorie 3
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten
• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
investitionen
Produktionsfunktionen 4
Charakterisierung durch:g• SubstitutionselastizitätWie leicht lässt sich ein Produktionsfaktor durch denanderen substituieren bzw.Wie „krumm“ ist die Isoquante?
• Skalenelastizität• SkalenelastizitätWie weit liegen die Isoquanten auseinander?
Substitutionselastizität 5
Messung von Substitution bei einer gegebenen Produktionsfunktion g g gF=F(K,L) durch die Grenzrate der Substitution:
L
F∂
K
L
FF
KFL
dLdK
−=
∂∂∂−=
L1K∂
Y1Y2
Y3
L2
0 KK1 K2
Substitutionselastizität 6
Definition: Substitutionselastizität
K
Wie ändert sich das relative Faktoreinsatzverhältnis bei der relativen Änderung der Grenzrate der Substitution?
dKvonÄnderungrelativeLKvonÄnderungrelative
=σ
dLg
dKKddKdKd ⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
LK
dLdKd
dLLd
dLdKdL
d:
LKL
d
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⎟⎠
⎜⎝=
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝=σ
LdLdLL ⎠⎝
Substitutionselastizität 8
Beispiel 0<σ<1
K
Kmin
S b tit ti i b h ä kt M ß ö li h b i ht
Lmin L
Substitution in beschränktem Maße möglich, aber nichtüber ein Minimalniveau hinaus
Skalenelastizität 12
Definition: Skalenelastizität Wie ändert sich bei proportionaler Änderung der Faktoreinsatzmengender Output?
rungSkalenänderelativerungOutputänderelative
=εK
dYdY
dYrungSkalenänderelative
α⋅==ΔαYdd α
αα
α
L
Spezielle Produktionsfunktionen 13
Linear-limitationale Produktionsfunktionen
⎞⎛ 11⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= L
u1;K
v1minY
vK
Linear-limitationale Produktionsfunktion
uv
LK=
K
L
Spezielle Produktionsfunktionen 14
Linear-limitationale Produktionsfunktionen
• Produktionsfaktoren sind zumindest kurzfristig nicht substituierbar• Produktionsfaktoren sind zumindest kurzfristig nicht substituierbar.• Der „knappe Faktor“ bestimmt die Höhe der Produktion.• Das Verhältnis von Kapital und Arbeit wird durch die Technologieparameterv (Kapitalkoeffizient) und u (Arbeitskoeffizient) bestimmtv (Kapitalkoeffizient) und u (Arbeitskoeffizient) bestimmt.
∂ Y
L gegeben
∂ K
1v
K L= ⋅v
K
K Lu
Spezielle Produktionsfunktionen 15
Substitutionale Produktionsfunktionen
Neoklassische makroökonomische Produktionsfunktionen• Homogene Produktionsfunktionen
Li h P d kti f kti• Linear-homogene Produktionsfunktionen
CES-ProduktionsfunktionenCES Produktionsfunktionen
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen
Spezielle Produktionsfunktionen 16
Neokl. makroökonomische Produktionsfunktionen
Y∂Standardannahmen für substitutionale Produktionsfunktionen (1)
KY∂∂ = FK > 0; FL > 0 positive Grenzerträge
(2)2Y∂ = FKK < 0; FLL < 0 abnehmende Grenzerträge (2) 2K∂
= FKK < 0; FLL < 0 abnehmende Grenzerträge
FKL > 0 Konvexität (3) F (0,0) = 0 ohne Inputs kein Output (3) F (0,0) 0 ohne Inputs kein Output (4) 0Flim KK
=∞→
; 0Flim LL=
∞→ Annahme über die Grenz-
produktivitäten für große“ (bzw∞=
→K0K
Flim ; ∞=→
L0LFlim
produktivitäten für „große (bzw. sehr kleine) Einsatzmengen an Produktionsfaktoren
(5) ∞=)LK(Flim (L>0 fest) keine absolute Obergrenze für die(5) ∞=∞→
)L,K(FlimK
(L>0 fest)
∞=∞→
)L,K(FlimL
(K>0 fest)
keine absolute Obergrenze für die Produktion
Spezielle Produktionsfunktionen 17
Homogene Produktionsfunktionen
Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt homogen vom ( , ) gGrade λ genau dann, wenn F (α ⋅ K, α ⋅ L) = αλ ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereiches.
Eigenschaften:
(1) Die Skalenelastizität Yd
dY α⋅
α ist gleich dem Homogenitätsgrad λ.
Ydα(2) Mit einer einzigen Isoquante ist die Schar aller Isoquanten bestimmt. (3) Eulersche Formel: λ ⋅ Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L . (4) FK (K, L) und FL (K, L) sind homogen vom Grade λ - 1.(5) Die Substitutionselastizität σ ist längs eines Fahrstrahls durch den
U k t t d ilt )1(FF1 KL λ⋅⋅λUrsprung konstant und es gilt: )1(FFFF1
LK
KL −λ−⋅
λ=
σ.
Spezielle Produktionsfunktionen 18
Linear-homogene Produktionsfunktionen
Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt linear-homogen ⇔ Df ( , ) g Df
F (α ⋅ K, α ⋅ L) = α ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereichs d.h. eine Ver-α-fachung aller Produktionsfaktorinputs führt zu einer V f h d P d kti d h di P d kti f kti i t hVer-α-fachung der Produktion, d.h. die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 1. Eigenschaften: g
(1) LY d.h. die durchschnittliche Arbeitsproduktivität ist nur von
LK = k
Y Y Kabhängig (ebenso spiegelbildlich auch KY ) :
LY = F (
LK , 1) = f (k) .
(2) FL (Grenzproduktivität der Arbeit) und FK sind nur von K = k abhängig ( ) L ( p ) K Lg g
(3) Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L (Spezialfall der Eulerschen Formel ), d.h. bei Entlohnung nach Grenzproduktivitäten Y = i ⋅ K + w ⋅ Lg p
Spezielle Produktionsfunktionen 19
Linear-homogene Produktionsfunktionen
Eigenschaften:Eigenschaften: (4) Die Grenzproduktivität eines Faktors nimmt (bei Konstanz des je-
weils anderen Faktoreinsatzes) mit zunehmendem Einsatz nicht zu: F ≤ 0 und F ≤ 0FLL ≤ 0 und FKK ≤ 0 .
(5) Die Substitutionselastizität σ = KL
KL
FFFF⋅⋅ ist längs eines Ursprung-
fahrstrahls konstant.
Spezielle Produktionsfunktionen 20
Linear-homogene Produktionsfunktionen
Definition: Eine Produktionsfunktion erfüllt die Inada-Bedingungen, wenn: a) sie linear-homogen ist b) sie die Bedingungen (1) bis (5) auf Folie 16 erfülltb) sie die Bedingungen (1) bis (5) auf Folie 16 erfüllt. Für diese Funktionen gilt:
Y(1) Die Arbeitsproduktivität LY = y = f (k) ist eine streng monoton
wachsende Funktion der Kapitalintensität der Arbeit mit f' > 0 und f" < 0. (2) k ist eine eindeutige streng monoton wachsende Funktion des Lohn
Zins-Verhältnisses (und umgekehrt):
k ↑w
↑ k ↑ ⇔ r
↑.
Spezielle Produktionsfunktionen 21
CES-Produktionsfunktionen
Produktionsfunktionen mit einer konstanten Substitutionselastizität heißen CES-Funktionen (CES= constant elasticity of substitution). Sie habendie Form:
ρ ρ 1/ρEs sind: - A: Skalierung für die Produktionshöhe - 0 < δ < 1: Verteilungsparameter für Lohn- und Gewinneinkommen
Y = A⋅[ δ ⋅ K-ρ + (1-δ) ⋅ L-ρ ]-1/ρ
0 < δ < 1: Verteilungsparameter für Lohn und Gewinneinkommen - ρ: Maß für die Substitutionselastizität σ = 1/(1+ρ)
Spezielle Produktionsfunktionen 22
CES-Produktionsfunktionen, Beispiele
( ) 21
22 L80K20Y−−−( ) 222 L8.0K2.0Y ⋅+⋅=
Spezielle Produktionsfunktionen 23
CES-Produktionsfunktionen, Beispiele
( ) 101
1010 L5.0K5.0Y−−− ⋅+⋅= ( )L5.0K5.0Y +
Spezielle Produktionsfunktionen 25
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen sind ein spezieller Typ von g p ypCES-Funktionen mit der Substitutionselastizität σ=1:
Y = K1-a ⋅ La
neoklassische makroökono-mische Produktionsfunktion
Cobb Douglas
CES-Produk-tionsfunktionen
INADA- Bedingungen
σ <1
mit
Cobb-Douglas-Funktionen σ = 1
σ >1
Cobb-Douglas-Funktion 30
Warum sind sie so beliebt?
dY
Einfach rechnen und zu interpretieren:
(1) Produktionselastizität
KY
dKdY
dKY
dY
lastizitätoduktionsePr ⋅==
KLKLK)a1(
Kaa1
aa ⋅⋅−=−
−
)a1(K
−=
Cobb-Douglas-Funktion 31
Warum sind sie so beliebt?
Einfach rechnen und zu interpretieren:
(2) Einkommensverteilung (historischer Ursprung)Nach Euler gilt:
wLrKLFKFY LK +=+=
Nach Euler gilt:
Also: Sozialprodukt = Kapitaleinkommen + Lohneinkommen
LaK)a1(Y ⋅+⋅−=
Also: Sozialprodukt = Kapitaleinkommen + Lohneinkommen
(3) Leichtes Rechnen mit Wachstumsraten(3) Leichtes Rechnen mit Wachstumsraten
Cobb-Douglas-Funktion 32
Growth AccountingUnterstellt man eine Produktionsfunktion der FormUnterstellt man eine Produktionsfunktion der Form
Y = A ⋅ K1-a ⋅ La
wobei A ein Effizienzparameter ist, so lässt sich das Wachstum einerVolkswirtschaft auf die Beiträge der einzelnen Faktoren aufteilen:
LaK)a1(AY ⋅+⋅−+=
Das Wachstum des autonomen Effizienzparameters A bezeichnet manals Totale Faktorproduktivität (TFP). Sie ist das nicht durch K und L erklärbare Residual und reflektiert den technischen Fortschritt.
Cobb-Douglas-Funktion 33
Growth AccountingBeispiel Bundesrepublik 1991-1998Es gilt dann (s.o.):
%21g*)1(g*gg KNYa α−−α−=
(W h BIP l)
%63g%5,0g%2,1g
N
Y
+−=+= (Wachstum BIP real)
(Beschäftigungswachstum)(Wachstum Kapitalstock in konst Preisen)
%6,3*)73,01(%)5,0(*73,0%2,1g73,0
%6,3g
a
K
=−−−−==>=α
+= (Wachstum Kapitalstock in konst. Preisen)(durchschnittliche Lohnquote)
%593,0%972,0%365,0%2,1%6,3)73,01(%)5,0(73,0%2,1ga
=−+=
>
Interpretation: technischer Fortschritt in Höhe von ca. 0,6% pro Jahr.Aber beachten: Veränderungen der Sektoralstruktur können Ergebnisverzerren => Vorsicht bei gesamtwirtschaftlicher Produktionsfunktion!
Bausteine zur Wachstumstheorie 38
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten
• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
investitionen
Investitionsverhalten 39
Investitionsannahmen
K i i tä di Ei tä di• Keine eigenständige Investitionsfunktion(Neoklassik)
• Eigenständige Investitionsfunktion(Keynesianismus)
• Explizite Formulierungdes Investitionsverhaltens
Investitionsverhalten 40
Eigenständige Investitionsfunktion
Investitionen erfolgen wenn der Barwertüberschuss desInvestitionen erfolgen, wenn der Barwertüberschuss des Investitionsprojektes positiv ist:
0DDrschussBarwertübe n1 >++= 0)i1()i1(
rschussBarwertübe n >+
+++
= K
wobei i der Marktzins ist, mit dem diskontiert wird, und Di die Rückflüssed P j kt i daus dem Projekt sind.
Umgekehrt ließe sich auch eine Rendite r des Projektes suchen, bei der
n1 DD0 nn1
)r1(D
)r1(D0
+++
+= K
gilt. Die Investition ist dann lohnend, wenn r > i ist.g
Investitionsverhalten 41
Eigenständige Investitionsfunktion
Einflussfaktoren auf die Investitionen sind dann:Einflussfaktoren auf die Investitionen sind dann:• der Marktzinssatz i• erwartete Absatzchancen (Zahlungsrückläufe).
Keynesianische Wachstumstheorien verwenden Investitionsfunktionenmit• der erwarteten Nachfrage• der erwarteten Profitrate r (wird nicht behandelt)
Die Investitionen wirken dabei via Einkommen auf das Sparverhalten.
Investitionen sind inhärent destabilisierendInvestitionen sind inhärent destabilisierend.
Investitionsverhalten 42
Keine eigenständige Investitionsfunktion
Die Investitionen werden gleich der Ersparnis angenommen!Die Investitionen werden gleich der Ersparnis angenommen!
Zinssatz stimmt die Pläne der Haushalte (Sparer) und Unternehmen (Investoren) aufeinander ab.
Ist I > S, dann folgt i↑. Damit S(Y,i) ↑ und I(i,r)↓, bis zum Gleichgewicht.
Kurzfristige Ungleichgewichte sind für langfristige Wachstumspfade nichtrelevant.
Bausteine zur Wachstumstheorie 43
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten
• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
investitionen
Technischer Fortschritt 44
Definition:Technischer Fortschritt liegt vor, wenn eine Erweiterung des technisch-organisatorischen Wissens eine Erhöhung des Outputs erlaubt, ohne dass der Einsatz an Produktionsfaktoren erhöht werden müsste.
Technischer Fortschritt wirkt so, als würden die ProduktionsfaktorenTechnischer Fortschritt wirkt so, als würden die Produktionsfaktorenquasi vermehrt, obgleich deren physischer Einsatz unverändert ist.
Hieran und an den Wirkungen auf die Faktorentlohnung und denHieran und an den Wirkungen auf die Faktorentlohnung und denKapitalkoeffizienten setzen die Klassifikationen an.
Technischer Fortschritt 45
Hicks-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Hicks-neutral, wenn die Einkommensverteilung nicht verändert wird.
D.h. es muss gelten:)t(F)t(F
)0(F)0(F
L
K
L
K =
Der technische Fortschritt vermehrt in gleichem Maße Kapital und Arbeit.
Die Produktionsfunktion lautet:Y = em⋅t ⋅ F (K, L)
Technischer Fortschritt 46
Arbeitsvermehrender technischer Fortschritt:
)t(F)t(F
)0(F)0(F KK <
Kapitalsparender technischer Fortschritt:
)t(F)0(F LL
Kapitalsparender technischer Fortschritt:
)t(F)t(F
)0(F)0(F KK >
(eigentlich kapitalvermehrend)
)t(F)0(F LL
Technischer Fortschritt 47
Harrod-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Harrod-neutral, wenn er Zinssatz und Kapitalkoeffizienten nicht verändert.
Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K, L ⋅ em⋅t)
Y YL
=
Yv
k=1
KY
v const= = .
′ = ′ ==
f k t f k tZinssatz const
( , ) ( , ).
1 0
f k t( , )1
f k t( , )0
v Zinssatz const.
k KL
=k∗ k∗∗
L