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Statistik II - 28.4.2006 2
Was wir bereits wissen…• Durch die Gesetze der großen Zahl bzw. durch
den ZGW können wir die asymptotischen Eigenschaften von Punktschätzern herleiten.
• Dabei spielt die Normalverteilung eine wichtige Rolle.
• Häufig haben wir aber keine exakt normalverteilten Schätzer, sondern es liegen Verteilungen vor, die aus der Normalverteilung erzeugt wurden.
Statistik II - 28.4.2006 3
Was wir nicht wissen…
• Wie zuverlässig sind unsere Schätzungen?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Schätzung in einem bestimmten Intervall?
• Wie breit ist das Intervall, in dem die Schätzung mit einer gegeben Wahrscheinlichkeit liegt?
Statistik II - 28.4.2006 4
• Sei die standardisiere ZV annähernd standardnormalverteilt.
• Dann ist
• Falls
• Siehe Tabellen der Standardnormalverteilung
Statistik II - 28.4.2006 6
• Falls bekannt sind, dann kann man direkte Schlüsse von der Grundgesamtheit auf die Stichprobe ziehen:
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegtin einem vorgegebenem Intervall? -D(z) ist unbekannt
• Wie groß ist das Intervall, in welchesmit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt? -Intervallgrenzen unbekannt
Statistik II - 28.4.2006 7
Unbekannte Grundgesamtheit
• Intervall um eine unbekannte Größe bei gegebener Wahrscheinlichkeit .
• : Konfidenzwahrscheinlichkeit
Beispiel:• Erwartungswert• Varianz
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Konfidenzintervall E-Wert
• Intervall basiert auf Stichprobenmittel und geschätzter Standardabweichung
• Wie ist verteilt?
Statistik II - 28.4.2006 9
• Benutzeals erwartungstreuen und konsistenten Schätzer der Standardabweichung.
Dann ist:
- Der Zähler ist standardnormalverteilt- ist verteilt (s.u.).
Damit ist Student-t verteilt mit n-1 d.f.
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−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
x
f(x)
ft(x,5)
ft(x,10)
ft(x,100)
fSt
(0,1)
Simulation der t-Verteilung
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1.5 2 2.5 3 3.50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
x
f(x)
ft(x,5)
ft(x,10)
ft(x,100)
fSt
(0,1)
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n ist groß
• Die t-Verteilung konvergiert gegen die Standardnormalverteilung, wenn n großgenug ist.
• Die Konfidenzintervalle können deshalb bei großen Stichproben auch mit der Normalverteilung gebildet werden:
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Simulation KI für E-Wert• Ziehe n=5,10 und 100 Beobachtungen unabhängig aus
der Standardnormalverteilung.• Berechne , und setze • In unserem Beispiel ergibt sich:
• Ist
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• Damit ergibt sich für
[-0.09;0.23][-0.10;0.23]n=100
[-0.72;0.10][-0.76;0.14]n=10
[-1.27;0.43][-1.52;0.43]n=5
NormalverteilungStudent-t
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Konfidenzintervall Varianz• Die Varianz einer Zufallsstichprobe
ist auch eine ZV und lässt sich wie folgt umformen:
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• Damit:
• Bemerke
und
Deshalb
Und damit
Mit als dem -Quantil der Verteilung
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Wir erhalten:
Und damit
Falls man den erwartungstreuen Schätzer für die unbekannte Varianz verwendet:
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Simulation der -Verteilung
• Folge einer Verteilung.• Wie sieht diese Verteilung für
verschiedene Freiheitsgrade aus?• Konvergiert sie für viele Freiheitsgrade
auch gegen die Normalverteilung?
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0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
x
f(x)
χ25
χ210
χ1002
fst
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n ist groß• Wird die Zahl der Freiheitsgrade größer, so konvergiert
die Verteilung einer standardisierte -verteilten ZV gegen die Normalverteilung.
• Da ,
folgt:
und
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Simulation für Konvergenz in Verteilung
1. Ziehe 1.000 Beobachtungen unabhängig aus der -Verteilung mit 5, 10 und 100 Freiheitsgraden.
2. Standardisiere die gezogenen Werte3. Schätze die Verteilung mit Hilfe der
empirischen Verteilungsfunktion 4. Vergleiche mit der Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung.
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−6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
F(z
)
F
5(z)
F10
(z)
F100
(z)
Fst
(z)
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Simulation für KI-Varianz
• Selbes Design und Realisationen, wie bei der Simulation für KI des E-Werts.
• Wir erhalten:
• Und