Wielkości fizyczne

Układ jednostek SI

Analiza wymiarowa

1

Tadeusz MMolenda

Instytut Fizyki Uniwersytet Szczeciński

Wielkość fizyczna ndash właściwość fizyczna ciała lub zjawiska

ktoacuterą można wyznaczyć jakościowo i ilościowo czyli można

poroacutewnać jakościowo i ilościowo z taką samą właściwością

innych ciał lub zjawisk (można zmierzyć)

Wartość wielkości fizycznej ndash iloczyn liczby zwanej liczbową

wartością wielkości A i oznaczanej przez A określającej ile

jednostek miary zawiera wielkość A oraz jednostki miary

wielkości A oznaczaej przez [A]

A = A [A ]

np s = 5 m oznacza że s = 5 [s] = m

między A i [A] nie stawiamy symbolu iloczynu ndash kropki stosujemy odstęp ndash poacutełpauzę

(odstęp na jedną spację) za wyjątkiem oznaczeń miar kąta płaskiego stopnia ndash deg

minuty ndash rsquo i sekundy ndash Prime

Jednostka miary ndash dokładnie określona wartość danej

wielkości fizycznej ktoacuterej liczbową wartość przyjęto umownie

roacutewną jedności np 1 m ( jeden metr) 1 s (jedna sekunda)

Służy do poroacutewnywania ze sobą innych wartości tej samej

wielkości fizycznej

Jednostki miar pochodzące od nazwisk uczonych zapisuje się

w transkrypcji fonetycznejmałą literą i podlegają one regułom w transkrypcji fonetycznejmałą literą i podlegają one regułom

deklinacji np sześć woltoacutew pięć amperoacutew dwa dżule itp

Symbol (oznaczenie) jednostki miary ndash znak umowny

oznaczający jednostkę miary np m ndash symbol metra

N ndash symbol niutona

Symbole jednostek miar pochodzące od nazwisk uczonych

zapisuje się dużą literą (dotyczy pierwszej litery nazwiska)

np C ndash kulomb Hz ndash herc ale Ω ndash om od Ohma

Oznaczenia jednostek drukuje się taką czcionką jak cały tekst

natomiast oznaczenia wielkości fizycznych i wszelkich ich wskaźnikoacutew

powinny być drukowane czcionką szeryfową

Wartości liczbowe wielkości fizycznych piszemy czcionką prostą

np 5 m 1200 W itd

Symbole jednostek miar piszemy drukiem prostym i literami małymi

za wyjątkiem gdy pochodzą od nazwisk np A (amper)

minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą

np niuton (N) metr (m)

minus Symbol jednostki nie jest skroacutetem lecz wielkością matematyczną

Operacjami matematycznymi nie można działać na nazwy jednostek

Można zapisać np metr na sekundę ale nie metrsekunda

minus Nie należy pisać 1 metr lecz 1 m nie 5 kilogramoacutew lecz 5 kg

(pomijając teksty popularne)

Oznaczenia jednostki należy używać łącznie z wartością liczbowąi jest to

podstawowa forma zapisu

Informację bdquonapięcie wynosi 230 Vrdquo

należy napisać właśnie w ten sposoacuteb

Wyjątkowo w tekście dla laikoacutew albo w celu objaśnienia poprawnej

wymowy lub też w tekście literackim albo w prasie można napisać

bdquonapięcie wynosi dwieście trzydzieści pięć woltoacutewrdquo

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Oznaczenie jednostki bez wartości liczbowej ale łącznie z oznaczeniem

właściwej wielkości fizycznej może się pojawić w samym tekście

naukowym a w szczegoacutelności przy objaśnianiu oznaczeń wielkości

fizycznych występujących we wzorach w nagłoacutewkach tablic przy osiach

wykresoacutew

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Patrz Literatura ndash poz 9 2 5

Zapisując wartość dowolnej wielkości fizycznej

wolno użyć tylko jednej jednostki

np długość rury wynosi l = 11385 m

Niedopuszczalny jest zapis l = 11 m 38 cm 5 mm

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Wielkość fizyczna ndash właściwość fizyczna ciała lub zjawiska

ktoacuterą można wyznaczyć jakościowo i ilościowo czyli można

poroacutewnać jakościowo i ilościowo z taką samą właściwością

innych ciał lub zjawisk (można zmierzyć)

Wartość wielkości fizycznej ndash iloczyn liczby zwanej liczbową

wartością wielkości A i oznaczanej przez A określającej ile

jednostek miary zawiera wielkość A oraz jednostki miary

wielkości A oznaczaej przez [A]

A = A [A ]

np s = 5 m oznacza że s = 5 [s] = m

między A i [A] nie stawiamy symbolu iloczynu ndash kropki stosujemy odstęp ndash poacutełpauzę

(odstęp na jedną spację) za wyjątkiem oznaczeń miar kąta płaskiego stopnia ndash deg

minuty ndash rsquo i sekundy ndash Prime

Jednostka miary ndash dokładnie określona wartość danej

wielkości fizycznej ktoacuterej liczbową wartość przyjęto umownie

roacutewną jedności np 1 m ( jeden metr) 1 s (jedna sekunda)

Służy do poroacutewnywania ze sobą innych wartości tej samej

wielkości fizycznej

Jednostki miar pochodzące od nazwisk uczonych zapisuje się

w transkrypcji fonetycznejmałą literą i podlegają one regułom w transkrypcji fonetycznejmałą literą i podlegają one regułom

deklinacji np sześć woltoacutew pięć amperoacutew dwa dżule itp

Symbol (oznaczenie) jednostki miary ndash znak umowny

oznaczający jednostkę miary np m ndash symbol metra

N ndash symbol niutona

Symbole jednostek miar pochodzące od nazwisk uczonych

zapisuje się dużą literą (dotyczy pierwszej litery nazwiska)

np C ndash kulomb Hz ndash herc ale Ω ndash om od Ohma

Oznaczenia jednostek drukuje się taką czcionką jak cały tekst

natomiast oznaczenia wielkości fizycznych i wszelkich ich wskaźnikoacutew

powinny być drukowane czcionką szeryfową

Wartości liczbowe wielkości fizycznych piszemy czcionką prostą

np 5 m 1200 W itd

Symbole jednostek miar piszemy drukiem prostym i literami małymi

za wyjątkiem gdy pochodzą od nazwisk np A (amper)

minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą

np niuton (N) metr (m)

minus Symbol jednostki nie jest skroacutetem lecz wielkością matematyczną

Operacjami matematycznymi nie można działać na nazwy jednostek

Można zapisać np metr na sekundę ale nie metrsekunda

minus Nie należy pisać 1 metr lecz 1 m nie 5 kilogramoacutew lecz 5 kg

(pomijając teksty popularne)

Oznaczenia jednostki należy używać łącznie z wartością liczbowąi jest to

podstawowa forma zapisu

Informację bdquonapięcie wynosi 230 Vrdquo

należy napisać właśnie w ten sposoacuteb

Wyjątkowo w tekście dla laikoacutew albo w celu objaśnienia poprawnej

wymowy lub też w tekście literackim albo w prasie można napisać

bdquonapięcie wynosi dwieście trzydzieści pięć woltoacutewrdquo

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Oznaczenie jednostki bez wartości liczbowej ale łącznie z oznaczeniem

właściwej wielkości fizycznej może się pojawić w samym tekście

naukowym a w szczegoacutelności przy objaśnianiu oznaczeń wielkości

fizycznych występujących we wzorach w nagłoacutewkach tablic przy osiach

wykresoacutew

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Patrz Literatura ndash poz 9 2 5

Zapisując wartość dowolnej wielkości fizycznej

wolno użyć tylko jednej jednostki

np długość rury wynosi l = 11385 m

Niedopuszczalny jest zapis l = 11 m 38 cm 5 mm

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Jednostka miary ndash dokładnie określona wartość danej

wielkości fizycznej ktoacuterej liczbową wartość przyjęto umownie

roacutewną jedności np 1 m ( jeden metr) 1 s (jedna sekunda)

Służy do poroacutewnywania ze sobą innych wartości tej samej

wielkości fizycznej

Jednostki miar pochodzące od nazwisk uczonych zapisuje się

w transkrypcji fonetycznejmałą literą i podlegają one regułom w transkrypcji fonetycznejmałą literą i podlegają one regułom

deklinacji np sześć woltoacutew pięć amperoacutew dwa dżule itp

Symbol (oznaczenie) jednostki miary ndash znak umowny

oznaczający jednostkę miary np m ndash symbol metra

N ndash symbol niutona

Symbole jednostek miar pochodzące od nazwisk uczonych

zapisuje się dużą literą (dotyczy pierwszej litery nazwiska)

np C ndash kulomb Hz ndash herc ale Ω ndash om od Ohma

Oznaczenia jednostek drukuje się taką czcionką jak cały tekst

natomiast oznaczenia wielkości fizycznych i wszelkich ich wskaźnikoacutew

powinny być drukowane czcionką szeryfową

Wartości liczbowe wielkości fizycznych piszemy czcionką prostą

np 5 m 1200 W itd

Symbole jednostek miar piszemy drukiem prostym i literami małymi

za wyjątkiem gdy pochodzą od nazwisk np A (amper)

minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą

np niuton (N) metr (m)

minus Symbol jednostki nie jest skroacutetem lecz wielkością matematyczną

Operacjami matematycznymi nie można działać na nazwy jednostek

Można zapisać np metr na sekundę ale nie metrsekunda

minus Nie należy pisać 1 metr lecz 1 m nie 5 kilogramoacutew lecz 5 kg

(pomijając teksty popularne)

Oznaczenia jednostki należy używać łącznie z wartością liczbowąi jest to

podstawowa forma zapisu

Informację bdquonapięcie wynosi 230 Vrdquo

należy napisać właśnie w ten sposoacuteb

Wyjątkowo w tekście dla laikoacutew albo w celu objaśnienia poprawnej

wymowy lub też w tekście literackim albo w prasie można napisać

bdquonapięcie wynosi dwieście trzydzieści pięć woltoacutewrdquo

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Oznaczenie jednostki bez wartości liczbowej ale łącznie z oznaczeniem

właściwej wielkości fizycznej może się pojawić w samym tekście

naukowym a w szczegoacutelności przy objaśnianiu oznaczeń wielkości

fizycznych występujących we wzorach w nagłoacutewkach tablic przy osiach

wykresoacutew

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Patrz Literatura ndash poz 9 2 5

Zapisując wartość dowolnej wielkości fizycznej

wolno użyć tylko jednej jednostki

np długość rury wynosi l = 11385 m

Niedopuszczalny jest zapis l = 11 m 38 cm 5 mm

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Oznaczenia jednostek drukuje się taką czcionką jak cały tekst

natomiast oznaczenia wielkości fizycznych i wszelkich ich wskaźnikoacutew

powinny być drukowane czcionką szeryfową

Wartości liczbowe wielkości fizycznych piszemy czcionką prostą

np 5 m 1200 W itd

Symbole jednostek miar piszemy drukiem prostym i literami małymi

za wyjątkiem gdy pochodzą od nazwisk np A (amper)

minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą minus Samą nazwę jednostki zapisujemy zawsze małą literą

np niuton (N) metr (m)

minus Symbol jednostki nie jest skroacutetem lecz wielkością matematyczną

Operacjami matematycznymi nie można działać na nazwy jednostek

Można zapisać np metr na sekundę ale nie metrsekunda

minus Nie należy pisać 1 metr lecz 1 m nie 5 kilogramoacutew lecz 5 kg

(pomijając teksty popularne)

Oznaczenia jednostki należy używać łącznie z wartością liczbowąi jest to

podstawowa forma zapisu

Informację bdquonapięcie wynosi 230 Vrdquo

należy napisać właśnie w ten sposoacuteb

Wyjątkowo w tekście dla laikoacutew albo w celu objaśnienia poprawnej

wymowy lub też w tekście literackim albo w prasie można napisać

bdquonapięcie wynosi dwieście trzydzieści pięć woltoacutewrdquo

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Oznaczenie jednostki bez wartości liczbowej ale łącznie z oznaczeniem

właściwej wielkości fizycznej może się pojawić w samym tekście

naukowym a w szczegoacutelności przy objaśnianiu oznaczeń wielkości

fizycznych występujących we wzorach w nagłoacutewkach tablic przy osiach

wykresoacutew

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Patrz Literatura ndash poz 9 2 5

Zapisując wartość dowolnej wielkości fizycznej

wolno użyć tylko jednej jednostki

np długość rury wynosi l = 11385 m

Niedopuszczalny jest zapis l = 11 m 38 cm 5 mm

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Oznaczenia jednostki należy używać łącznie z wartością liczbowąi jest to

podstawowa forma zapisu

Informację bdquonapięcie wynosi 230 Vrdquo

należy napisać właśnie w ten sposoacuteb

Wyjątkowo w tekście dla laikoacutew albo w celu objaśnienia poprawnej

wymowy lub też w tekście literackim albo w prasie można napisać

bdquonapięcie wynosi dwieście trzydzieści pięć woltoacutewrdquo

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Oznaczenie jednostki bez wartości liczbowej ale łącznie z oznaczeniem

właściwej wielkości fizycznej może się pojawić w samym tekście

naukowym a w szczegoacutelności przy objaśnianiu oznaczeń wielkości

fizycznych występujących we wzorach w nagłoacutewkach tablic przy osiach

wykresoacutew

albo bdquonapięcie wynosi 230 woltoacutewrdquo

Patrz Literatura ndash poz 9 2 5

Zapisując wartość dowolnej wielkości fizycznej

wolno użyć tylko jednej jednostki

np długość rury wynosi l = 11385 m

Niedopuszczalny jest zapis l = 11 m 38 cm 5 mm

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Zapisując wartość dowolnej wielkości fizycznej

wolno użyć tylko jednej jednostki

np długość rury wynosi l = 11385 m

Niedopuszczalny jest zapis l = 11 m 38 cm 5 mm

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Podział wielkości fizycznych

Skalarna wielkość fizyczna ndash hellip np t m s

Symbole wielkości fizycznych skalarnych piszemy kursywą

Wektorowa wielkość fizyczna ndash hellip np v F lub

Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy

ndash zwykłymi literami z jedną strzałką nad literą

(w niektoacuterych podręcznikach jest zapis kursywą i taki możemy stosować)

ndash lub literami pochyłymi pogrubionymi (bez strzałki) np F

Fr

v

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Wielkości fizyczne ich zapis oznaczenia

W = W [W]

F = 5 N (F_=_5_N)

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

s

m3=v

np

v F - czcionka pochyła 5 N - czcionka prosta

i nie π sin cos lecz π sin cos

a nie F = 5 [N] F = 5N F=5N F = 5 N F = 5 = 5 N

i nie pięć N czy 5 niutonoacutew

lecz pięć niutonoacutew

Uwaga odstępu między wartością liczbową a jednostką nie stosuje się dla

tradycyjnych jednostek miar kąta płaskiego - stopnia minuty i sekundy

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

WZORY FIZYCZNE

Roacutewnanie definicyjneSzybkość średnia v ndash skalarna wielkość fizyczna informująca o przebytej drodze w jednostce czasu roacutewna stosunkowi przebytej drogi do czasu w ktoacuterym została przebyta

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę ms

lubt

s

∆

∆== v

t

sv

Jednostka szybkości prędkości ndash metr na sekundę msprędkość z jaką poruszający się punkt przebywa drogę długości 1 mw czasie 1 s

s

m

][

][][ ==

t

sv

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI

Układ SI jest dziesiętnym systemem metrycznym opartymna siedmiu wielkościach podstawowych i ich jednostkach

Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne

Międzynarodowy układ jednostek miar SI został ustanowiony

przez XI Generalną Konferencję Miar w Paryżu w 1960 roku

W Polsce układ SI obowiązuje od 1966 W Polsce układ SI obowiązuje od 1966

(Rozporządzeniem Rady Ministroacutew - Dziennik Ustaw Nr 25 z dnia 30 czerwca 1966 poz154)

Obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata za wyjątkiem Stanoacutew Zjednoczonych Liberii i Birmy

Obowiązujące obecnie przepisy w RPRozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638

Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Bibliografia1 The International System of Units (SI) 8th edition BIPM S`evres 2006

httpwwwbipmorgutilscommonpdfsi_brochure_8_enpdf SI Brochure The International System of Units (SI) [8th edition 2006 updated in 2014] wwwbipmorgenpublicationssi-brochure

2 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006 r w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 225 poz 1638 Rozporządzenie Rady Ministroacutew z dnia 12 stycznia 2010 r zmieniające rozporządzenie w sprawie legalnych jednostek miar Dz U nr 9 poz 61

3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 3 Nelson RA Guide for Metric Practice Physics Today August 1996 BG 15 August 1998 BG 13 httpwwwpubliciastateedu~bkhteaching518metric_practicepdf

4 Błażejewski S Najważniejsze jednostki miar PWT Warszawa 1960 5 Massalski J M Studnicki J Legalne jednostki miar i stałe fizyczne Wyd IV poprawione

i poszerzone PWN Warszawa 1999 6 Massalski J Praktyka stosowania SI Fizyka w szkole nr 3 150 (1998) O układzie SI i symbolach

Postępy Fizyki 48 227 (1997)7 Molenda T M Wytyczne do zapisu zadań z olimpiady fizycznej httpofszcplindexphpstrona=168 Molenda T M O nieprawidłowościach w oznaczeniach wielkości fizycznych i pojęciu ciepła Problemy dydaktyki fizyki Krośnice-

Wrocław 2011 ISDN 978-83-7432-732-9 str 169 ndash 174 httpdydaktykafizykaszcplpdfpdf_161pdf

9 Musiał E Pisownia oraz wymowa nazw i oznaczeń jednostek miar httpredinped2plattachmentsarticle231INPE_175-176-art_01pdf

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Nr

Wielkość fizyczna Jednostka

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Nazwa Symbol(oznaczenie)

Wymiar(oznacz)

1 długość l L s b h r d metr m L

2 masa m M kilogram kg M

Wielkości podstawowe i ich jednostki

Obecnie układ SI zawiera 7 jednostek podstawowych

2 masa m M kilogram kg M

3 czas t (T) sekunda s T

4natężenie prądu

elektrycznegoI amper A I

5 temperatura T (θ ) kelwin K Θ

6 światłość I (J ) kandela cd J

7 liczność materii n v mol mol N

l - długość L - długość krzywej s - droga

b - szerokość h - wysokość r - promień d - średnica

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych

to jednostki pochodne

bull wyrażane za pomocą jednostek podstawowych

np za pomocą metra i sekundy (prędkość przyspieszenie)

bull posiadające własne nazwy

np niuton - N dżul - J wat - W luks - lx lumen - lm itp

lub nie posiadające własnej nazwy

Uwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniająceUwaga do 1995 r radian i steradian stanowiły tzw jednostki uzupełniające

NazwaSymbol

(oznaczenie)Nazwa

jednostkioznaczeniejednostki

wyrażenie- jednostki

podstawowe

kąt płaski α β γ α β γ α β γ α β γ θθθθ radian rad m m-1 = 1

kąt bryłowy ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ ω ΩΩΩΩ steradian sr m2 m-2 = 1

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Jednostki głoacutewnesą to jednostki podstawowe SI oraz te jednostki pochodne SI

ktoacutere wynikają wprost z roacutewnań definicyjnych a nie są jednostkami krotnymi

(nie są dziesiętnymi wielokrotnościami ani podwielokrotnościami)

Jednostki głoacutewne poza stopniem Celsjusza mają nazwy jednowyrazowe

Oznaczenia jednostek miar ktoacuterych nazwy upamiętniają wybitnych uczonych

bądź wynalazcoacutew i pochodzą od ich nazwiska pisze się dużą literą

W oznaczeniach dwuliterowych tylko pierwsza litera jest duża

Pisownia i wymowa nazw jednostek jest uregulowana przez przepisy ilub normy

krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka krajowe w oparciu o zasady pisowni właściwe dla danego języka

W każdym języku nazwa jednostki miar jest rzeczownikiem pospolitym i należy

ją pisać jak inne rzeczowniki pospolite małą literą o ile ogoacutelne reguły pisowni

nie stanowią inaczej

Nazwy jednostek odmienia się według zasad deklinacji polskiej

W języku polskim obowiązuje pisownia fonetyczna nazw jednostek czyli sposoacuteb

pisania wyrazoacutew zgodny z ich wymową i z użyciem wyłącznie liter alfabetu

polskiego W druku nazwy jednostek powinny mieć czcionkę prostą (antykwę)

Określone w normach i przepisach nazwy oraz oznaczenia jednostek miar są

nietykalne nie wolno ich zniekształcać

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

franc

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Definicje jednostek wielkości podstawowych

1 m (jeden metr) jest roacutewny drodze jaką przebywa w proacuteżni światło

w ciągu czasu 1299792458 s

16

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Kilogram - jest masą wzorca tej jednostki przechowywanego w

Międzynarodowym Biurze Miar w Segravevres pod Paryżem

Jest to masa walca

o wysokości i średnicy podstawy 39 mm

wykonany ze stopu platyny z irydem

Wzorzec kilograma został zatwierdzony Wzorzec kilograma został zatwierdzony

uchwałą I Generalnej Konferencji Miar

w 1889 r

Jest to obecnie jedyna jednostka podstawowa posiadająca przedrostek (kilo)

i jedyna dla ktoacuterej podstawą definicji jest określony przedmiot a nie

odwołanie się do stałych fizycznych

17

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Sekunda (s) - czas roacutewny 9 192 631 770 okresom promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury

nadsubtelnej stanu podstawowego S12 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja

odnosi się do atomu cezu w spoczynku w temperaturze 0 K) Definicja ta

obowiązująca od 1967 r została ustalona przez XIII Generalną Konferencję Miar

Poprzednio sekundę definiowano jako 131 556 9259747 część roku

zwrotnikowego 1900 (XI Generalna Konferencja Miar z 1960 r) lub 186400

część doby (do 1960 r)

Amper (A) ndash prąd eletryczny niezmieniający się ktoacutery płynąc w dwoacutech

roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym znikomo małym umieszczonych w proacuteżni w odległości 1 m od siebie -

wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy wywołuje między tymi przewodami siłę oddziaływań roacutewną 2 x 10-7 N na każdy

metr długości

Kelwin (K) - jest to 127316 część temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ktoacuterej skład izotopowy charakteryzuje się następującymi stosunkami liczności materii hellip

Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej i roacuteżnicy temperatur

Punkt potroacutejny - stan w jakim dana substancja może istnieć w trzech stanach skupienia

roacutewnocześnie w roacutewnowadze termodynamicznej

Temperatura w kelwinach = Temperatura w stopniach Celsjusza + 27315

Temp t w oC = temp T w K ndash 27315 tdegC = TK - 27315 18

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Mol (mol) - jest to liczność (ilość) materii układu zawierającego

liczbę cząstek jest roacutewną liczbie atomoacutew w masie 0012 kg 12C

(węgiel 12) przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek

ktoacuterymi mogą byccedil atomy cząsteczki jony elektrony inne cząstki

lub określone zespoły takich cząstek występująca gdy liczba

w jednym molu znajduje się 6022140857(74)middot1023 cząstek

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

Kandela (cd) ndash światłość źroacutedła emitującego w określonym kierunku

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540middot1012 hercoacutew

i o natężeniu promieniowania w tym kierunku roacutewnym 1683 wata na

steradian

Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra

19

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Przykłady wielkości i jednostek pochodnych

bull Niuton N ndash jednostka siły1 N (jeden niuton) jest siłą ktoacutera w kierunku jej działania ciału o masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 ms2 (jeden metr na kwadrat sekundy )

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła

2-2-

22skgm1skgm1

s

mkg1

s

m1kg1N1 =sdotsdot=sdot=sdot=

bull Dżul J ndash jednostka pracy energii i ciepła 1 J (jeden dżul) jest roacutewny pracy wykonanej przez siłę 1 N (jednego niutona)

gdy przesunięcie wynosi 1 m (jeden metr ) a kierunek i zwroty siły i przesunięcia są zgodne

20TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

2-22-2

2

2

2skgm1skgm1

s

mkg1m1

s

mkg1m1N1J1 =sdotsdot=sdot=sdotsdot==sdot=

Definicje ndash patrz TMolenda JStelmach Fizyka dla hellip (prościej jaśniej)

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Zapis jednostek złożonych

Jednostki złożone tworzone jako ilorazy jednostek miar można

zapisywać na trzy sposoby

1) w postaci ułamka z kreską ułamkową skośną (ukośnikiem prawym)

ndash woacutewczas mianownik zawierający więcej niż jedno oznaczenie

jednostki miary ujmuje się w nawias

2) w postaci ułamka z kreską ułamkową poziomą

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

21TMMolenda Statystyka i analiza danych pomiarowych Jednostki

3) w postaci iloczynu potęg jednostek miar

Oznaczenia jednostek miar złożonych tworzonych jako iloczyny jednostek miar

można zapisać

1) stosując znak mnożenia w postaci kropki umieszczanej w połowie wysokości

wiersza pomiędzy oznaczeniami jednostek miar tworzących jednostkę złożoną

2) oddzielając oznaczenia jednostek miar pojedynczym odstępem

W uzasadnionych przypadkach a w szczegoacutelności w maszynopisach dopuszcza

się pisanie kropki na dole wiersza

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

PrzykładyJednostkę wspoacutełczynnika rozszerzalności objętościowej można zapisać następująco

1Klub

K

1lub1K

minus

i wymawia się odpowiednio

jeden na kelwin jeden na kelwin kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę przyśpieszenia można zapisać następująco

2

2

2smlub

s

mlubms

minussdot

i wymawia się odpowiednio i wymawia się odpowiednio metr na kwadrat sekundy metr na kwadrat sekundy metr razy sekunda do potęgi minus drugiej

i wymawia się odpowiednio

wat na metr i kelwin wat na metr i kelwin

bądź wat razy metr do potęgi minus jeden i razy kelwin do potęgi minus jeden

Jednostkę wspoacutełczynnika przewodności cieplnej (konduktywności cieplnej)

można zapisać następująco

Warto zwroacutecić uwagę że w dwoacutech pierwszych zapisach brak znaku mnożenia przy

niewyraźnej spacji moacutegłby prowadzić do mylnej interpretacji ndash wat na milikelwin

11KmWlub

Km

WlubKmW

minussdotsdotsdot

sdot -)(

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol

101 deka da 10minus1 decy d

102 hekto h 10minus2 centy c

103 kilo k 10minus3 mili m

106 mega M 10minus6 mikro micro

109 giga G 10minus9 nano n

Przedrostki wielokrotne i podwielokrotne układu SI

23

109 giga G 10minus9 nano n

1012 tera T 10minus12 piko p

1015 peta P 10minus15 femto f

1018 eksa E 10minus18 atto a

1021 zetta Z 10minus21 zepto z

1024 jotta Y 10minus24 jokto y

Wiele wykładnikoacutew liczby dziesięć zostało nazwanych aby ułatwić opis wielkości np

femtosekundowy impuls optyczny zamiast 0 000 000 000 000 001 sekundowy impuls

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Przykłady

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Yg ndash jottagram Zm ndash zettametr EB ndash eksabajt Ps ndash petasekunda

Tm ndash terametr GHz ndash gigaherc MHz ndash megaherc kcal ndash kilokaloria

hl ndash hektolitr dag ndash dekagram m ndash metr g ndash gram dm ndash decymetr

cm ndash centymetr mm ndash milimetr microm ndash mikrometr nF ndash nanofarad

pF ndash pikofarad fm ndash femtometr as ndash attosekunda zN ndash zeptoniuton

yg ndash joktogram

24

Wyjątki nie stosujemy przedrostkoacutew do jednostek kąta rad sr

Jednostki Plancka np czas Plancka ~ 10-44 s długość Plancka ~ 10-35 m

5Pc

Gt

h=

3PPc

Gcl t

h==

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

33 m

kg1000

cm

g1 = 33 cm

g0010

m

kg1 =

Przeliczenie - jednostki gęstości

333

3 m

kg1000

m

kg1000000

1000

1

m1000000

1

kg1000

1

1cm

g1 =sdot==

Przeliczenia patrz np httpmiaryhogapl

gęstość wody = 9998 kgm3

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

360deg = 2π rad

Radian (rad) ndash jednostka miary łukowej kąta płaskiego a ponadto

niemianowana jednostka pochodna układu SI zdefiniowana jako roacutewność

długości l łuku okręgu

o środku w wierzchołku kąta i jego promienia r

Z def kąta płaskiego (TMM JS)

rad180

π)(rad)(

o

o sdot=

ααo

o

3572π

360rad1 asymp=

Kilogram siła kG 1 kG = 981 N

Kaloria cal 1 cal = 41868 J

Kilowatogodzina kWh 1 kWh = 3 600 000 J

Koń mechaniczny KM 1 KM = 7355 W

CGS MKSA

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Znaku mnożenia nie używa się w pisowni oznaczeń jednostek o nazwach

jednowyrazowych oraz ich krotności np watogodzina (Wh kWh MWh

GWh) amperogodzina (Ah) lumenogodzina (lmh)

niutonometr (Nm) omometr (Ωm)

Oznaczenie bdquokVrdquo należy wymawiać bdquoka-werdquo a nie bdquoka-faurdquo

oznaczenie bdquokVArdquo należy wymawiać bdquoka-we-ardquo a nie bdquoka-fau-ardquo

W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia W nazwie bdquosimensrdquo należy wymawiać bdquosrdquo bez zmiękczenia

jak w słowie bdquosinusrdquo

Wymawianie litery bdquovrdquo jako bdquowerdquo to staranna polska wymowa

jednak wg słownika można wymieniąć inaczej

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Wybrane jednostki fotometryczne

Lumen lm (od łac lumen ndash światło)

jest to strumień świetlny wysyłany w kąt bryłowy 1 sr

przez punktowe źroacutedło światła o światłości 1 cd

Luks lx (od łac lux ndash światło)

jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez

strumień świetlny 1 lm na powierzchni 1 m2

kandela cd (od łac candela ndash świeca)

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Dioptria

ndash jednostka miary zdolności zbierającej układu optycznego legalna

nienależąca do układu SI (pozaukładowa) stosowana w optyce

(jednostka miary stosowana wyłącznie w specjalnych dziedzinach)

Legalność jednostki oznacza że można jej używać natomiast nie

została ona uznana za jednostkę pochodną w układzie SI

Obecnie nie jest używany żaden skroacutet dioptrii

Dawniej stosowano oznaczenia D dpt δ

Wymiarem dioptrii jest odwrotność metra

m

1dioptria =

1m1dioptria1 minus=

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Znamionowy strumień świetlny lampy (Φ) ktoacutera ma zastąpić żaroacutewkę lm

Deklarowana mocroacutewnoważnej

żaroacutewki

Świetloacutewka kompaktowa

Żaroacutewka halogenowa

LED i inne lampy

W

125 119 136 15

229 217 249 25229 217 249 25

432 410 470 40

741 702 806 60

970 920 1055 75

1398 1326 1521 100

2253 2137 2452 150

3172 3009 3452 200

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

2500

3000

3500

4000

Moc żar Led

W lm

0 0

15 136

25 249

40 470

strumień świetlny Led

lm

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

40 470

60 806

75 1 055

100 1 521

150 2 452

200 3 452

Moc zwykłej żaroacutewki W

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Wybrane jednostki pozaukładoweJednostki miar o specjalnych nazwach i oznaczeniach

Wielkość jednostka symbol Relacje Def podst jedn SI

objętość litr l L 1 l = 1dm3 = 103 m3

masa tona t 1 t = 1 000 kg

czas godzina h 1h = 3 600 s

prędkość kmh kmh 1 kmh = 136 ms

Upowszechnia się ozn bdquoLrdquo W Polsce od 2010 r ndash tylko bdquolrdquo

atmosfera atm 1 atm= 101 325 Pa = 760 Tr

tor Tr 1 Tr = 133 Pa

mmHg mmHg 1 mmHg = 1 Tr

bar bar 1 bar= 105 Pa

mmH2O mmH2O 1 mmH2O = 981 Pa

kąt płaski stopień deg 1deg = 001745 rad

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Jednostka

wyjściowa

Pascal Bar atmosfera

techniczna

atmosfera

fizyczna

Tor mm

Hg mmH2O Psi

1 Pa 1 bar 1 at 1 atm1 Tr

1 mmHg 1 mmH2O 1 psi

1 Pa 1 10-5 10210-5 986910-6 75010-3 0102 14510-4

1 bar 105 1 102 09869 750 10 1974 1450

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

Jednostki ciśnienia

33

1 at 98 0665 09807 1 09678 7356 10 00003 7356

1 atm 101 325 1013 1033 1 760 10 3326 147

1 Tr mm

Hg133322 133310-3 1359510-4 1359510-4 1 13595 136

1 mm H2O 9806 980610-5 10010-4 967810-5 735610-2 1 73610-2

1 psi 6894757 6894757 7031102 680510-2 68910-3 703102 1

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

1 atm czyli atmosfera fizyczna z definicji wynosi 101325 hPa

Atmosfera techniczna - ozn at z kolei odpowiada naciskowi 1 kg na powierzchnię 1 cm2

gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

Stąd 1 at = 980665 Pa

Tor Tr zdefiniowano w ten sposoacuteb że 760 Tr wynosi dokładnie 1 atm Zatem tor jest

praktycznie roacutewnoważny ciśnieniu 1 mmHg (dokładnie 1 mmHg = 1000000142 Tr)

1 mmHg czyli milimetr słupa rtęci jest ciśnieniem wywieranym przez słup rtęci o wysokości

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

34

1 mm i o gęstości 135951 gcm3 gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową

980665 ms2 W przybliżeniu 1 atm = 760 mmHg

1 mmH2O czyli milimetr słupa wody odpowiada ciśnieniu wywieranemu przez słup wody

o wysokości 1 mm gdy przyspieszenie ziemskie ma wartość standardową 980665 ms2

psi czyli funt siła na cal kwadratowy (pound per square inch) odpowiada naciskowi

jednego funta na powierzchnię cala kwadratowego gdy przyspieszenie ziemskie ma

wartość standardową 980665 ms2 W przybliżeniu 1 psi = 6895 Pa

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Z analizy wymiarowej

Każda jednostka wielkości fizycznej może być wyrażona

jedynie poprzez siedem podstawowych jednostek miar w SI

Każdą pozostałą wielkość fizyczną możemy wyrazić za pomocą tych jednostek

podstawowych Jednostki podstawowe oznacza się literami (początkowymi od angielskich

wyrazoacutew) długość ndash L masa ndash M czas ndash T itd

Wymiar jednostki pochodnej oznaczonej przez Maxwella jako [A] wyraża się przez

wymiar jednostek podstawowych w postaci iloczynu ich potęg gdzie potęgi są liczbami

wymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zerowymiernymi ktoacutere mogą być zaroacutewno liczbami dodatnimi ujemnymi jak i roacutewnymi zero

Zasada jednorodności wymiarowej(sformułowanej jeszcze przez Fouriera) w prostszej formie

wszystkie roacutewnania opisujące dowolne zjawisko fizyczne mają taką postać że

wchodzące w jego skład człony mają jednakowe wymiary (są w postaci jednomianu)

a argumenty funkcji trygonometrycznych logarytmicznych wykładniczych itp są

bezwymiarowe

Wielkość fizyczną możemy zapisać w postaci (jednomianu)

prod=j

a

j

jACA

gdzie ndash Aj ndash wielkości fizyczne aj ndash nieznane wspoacutełczynniki liczbowe

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Przykład 1 Znaleźć okres wahań wahadła matematycznego

Wypiszmy wielkości fizyczne określające sobą okres wahań wahadła

Wygodnie jest je zapisać w tabeli

Wielkość fizyczna Oznaczenie Wymiar

Okres wahań

Masa wahadła

Przyśpieszenie ziemskie

Długość wahadła

Kąt wychylenia

t

m

g

l

ϕ

T (s)

M (kg)

LT -2 (m s-2)

L (m)

Zależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następującaZależność funkcyjna między tymi wielkościami jest następująca

t= f (m g l ϕ)

Roacutewnanie wymiarowe ma postać

lub dla zapisu na jednostkach

Z zasady jednorodności wymiarowej zależność tą piszemy w postaci jednomianu

dcba lmCt ϕg=

cbadcbadcba lmlmClmCt ][][][]][][][][[][][ ggg === ϕϕ

( ) cbt LLTMT ][ 2minus== α

( ) cb

g msmks 2minus= α

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Z warunku ze wykładniki potęg przy jednostkach podstawowych w obu częściach

roacutewnania

czyli

są sobie roacutewne uzyskujemy następujący układ roacutewnań

dla wykładnikoacutew przy L (m) 0 = b + c

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

( ) cbag msmks 2minus=

bacb -2100 skgmskgm +=

21minus=b bc minus=

dla wykładnikoacutew przy M (kg) 0 = a

dla wykładnikoacutew przy T (s) 1 = -2 b

Stąd

g

lCt =

Zatem

π2=C

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania

Analiza wymiarowa jest skuteczną i szybką metoda otrzymywania wzoroacutew

Wstępne jej zastosowanie w sposoacuteb widoczny informuje nas o związkach

zachodzących między występującymi wielkościami w danym zjawisku

Przeprowadzając ścisłą analizę tego zjawiska lub wykonując eksperyment możemy

się skupić na wielkościach istotnych dla jego przebiegu

Ponadto w wielu przypadkach gdy nie jesteśmy pewni co do słuszności danego

wzoru możemy się upewnić stosując tę metodę Możliwość szybkiego sprawdzenia

poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego poprawności wzoru uchroni znających tę metodę od częstokroć nieprawidłowego

ich wypisywania

kryterium konieczne poprawności wzoru

często stosowane przy rozwiązywaniu zadania