Własności dynamiczne układów dyskretnych - Matlabatol.am.gdynia.pl/~tomera/ts/z_uklad_iirz_matlab.pdf · Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab

Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera

Akademia Morska w Gdyni

Katedra Automatyki Okrętowej

Teoria sterowania

Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab

Mirosław Tomera

1. WPROWADZENIE

W układach sterowania dyskretnego sygnały występują w formie impulsów lub kodowane są cyfrowo,

natomiast sterowane procesy zawierają często podzespoły analogowe. Dla przykładu silnik prądu

stałego, który jest urządzeniem analogowym może być sterowany zarówno przez regulator wysyłający

sygnały analogowe jak i przez regulator cyfrowy, który wysyła sygnały cyfrowe. W ostatnim

przypadku konieczny jest do połączenia regulatora cyfrowego z urządzeniem analogowym

przetwornik cyfrowoanalogowy (C/A). Na rysunku 1 przedstawiony jest schemat blokowy typowego

układu dyskretnego. Na wejściu i wyjściu regulatora cyfrowego występują próbki sygnału oddzielone

od siebie o okres próbkowania T.

Regulator

cyfrowy

r(t) r*(t)C/A Proces

h(t) y(t)

Rys. 1. Schemat blokowy typowego układu sterowania dyskretnego.

W najprostszym wydaniu przetwornik C/A może być wykonany jako urządzenie typu impulsator–

ekstrapolator, które składa się z urządzenia próbkującego i ekstrapolującego wartość próbki przez

okres próbkowania T. Urządzeniem C/A najczęściej stosowanym w analizie układów dyskretnych jest

połączenie idealnego impulsatora z ekstrapolatorem zerowego rzędu (ZOH – zero-order hold). Po

takich założeniach, część układu z rysunku 1 może być funkcjonalnie zastąpiona przez schemat

blokowy pokazany na rysunku 2.

r(t) r*(t)ZOH

h(t)

T

Rys. 2. Impulsator i ekstrapolator zerowego rzędu.

Na rysunku 3 pokazane zostały typowe operacje idealnego próbkowania i ekstrapolowania zerowego

rzędu (ZOH). Sygnały ciągłe są próbkowane z okresem T i następnie ciąg impulsów )(* tr

o amplitudach r(t) jest ekstrapolowany przez okres próbkowania. Ekstrapolator zerowego rzędu

(ZOH) podtrzymuje amplitudę sygnału doprowadzanego do wejścia w danej chwili czasu (kT) przez

cały okres próbkowania T aż do pojawienia się następnej próbki w chwili t = (k+1)T. Wyjście z układu

ekstrapolującego (ZOH) jest schodkową aproksymacją sygnału wejściowego idealnie próbkowanego

r(t) z impulsatora.

Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab

Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 2

t

r(t)

t = kT

t = kT

r*(t)

h(t)

(a)

(b)

(c)

Rys. 3. (a) Sygnał wejściowy do idealnego impulsatora, (b) Sygnał wyjściowy z impulsatora, (c) sygnał

wyjściowy z ekstrapolatora zerowego rzędu (ZOH).

Gdy okres próbkowania T dąży do zera to wyjście z układu ekstrapolującego h(t) dąży do r(t), czyli

)()(lim0

trthT

(1)

Opierając się na powyższych definicjach, typowy dyskretny układ otwarty modelowany jest w sposób

pokazany na rysunku 4.

r(t) r*(t)ZOH

h(t)

T

Proces

sterowany

y(t)

G(s)

Rys. 4. Schemat blokowy układu dyskretnego

2. TRANSMITANCJA DYSKRETNA UKŁADÓW LINIOWYCH

Transformata operatorowa Laplace’a sygnału wyjściowego y(t) z rysunku 4 jest następująca

)()()( * sRsGsY (2)

Chociaż wartość wyjścia y(t) jest wyznaczana po zastosowaniu odwrotnej transformaty Laplace’a na

obu stronach równania (2) to jednak krok ten jest trudny do wykonania gdyż G(s) oraz R*(s)

reprezentują dwa różne rodzaje sygnałów.

r(t) r*(t)ZOH

h(t)

T

Proces

sterowany y(t)

T

y*(t)

S2

S1

Rys. 5. Schemat blokowy układu dyskretnego z fikcyjnym impulsatorem na wyjściu



Aby ominąć ten problem zastosowany zostanie fikcyjny impulsator na wyjściu układu, jak pokazane

zostało to na rysunku 5. Fikcyjne próbki 2S mają taki sam okres próbkowania T i są

zsynchronizowane z próbkami 1S . Próbkowana postać sygnału y(t) została oznaczona jako )(* ty .

)()()( zRzGzY (3)

gdzie )(zG definiowana jest jako transformata z funkcji operatorowej G(s) i opisana jest również jako

0

)()(k

kzkTgzG (4)

Czyli dla układów dyskretnych pokazanych na rysunkach 4 oraz 5, transformata Z wyjścia jest równa

transmitancji z procesu oraz transformacie Z wejścia.

3. TRANSMITANCJA DYSKRETNA UKŁADÓW LINIOWYCH POŁĄCZONYCH KASKADOWO

Transmitancja opisująca układy dyskretne z elementami połączonymi w kaskadę jest trochę bardziej

złożona aniżeli dla układów ciągłych z powodu występowania lub braku impulsatora pomiędzy tymi

elementami. Na rysunku 6 pokazane zostały dwie różne sytuacje układu dyskretnego który zawiera

dwa elementy połączone w kaskadę. Na rysunku 6(a) te dwa elementy rozdzielone są przez impulsator

2S , który jest zsynchronizowany z impulsatorem 1S i mają taki sam okres próbkowania. Na rysunku

6(b) oba te elementy zostały połączone bezpośrednio. Ważne jest rozróżnienie tych dwóch

przypadków przy wyprowadzaniu transmitancji impulsowej oraz transmitancji z.

r(t) r*(t)G

1(s)

d(t)

T Y(s)T

y*(t)

S2

S1

R(s) R*(s) D(s)G

2(s)

d*(t)

D*(s)

T

y(t)

Y*(s)

(a)

r(t) r*(t)G

1(s)

d(t)

T Y(s)

y*(t)

S1

R(s) R*(s) D(s)G

2(s)

T

y(t)

Y*(s)

(b)

Rys. 6. (a) Układ dyskretny z elementami połączonymi kaskadowo i rozdzielonymi impulsatorem. (b) Układ

dyskretny z elementami połączonymi kaskadowo, bez rozdzielającego impulsatora

Dla układu z rysunku 6(a), sygnał wyjściowy zapisywany jest jako

)()()()( 21 zRzGzGzY (5)

Z tego wynika, że transformata z dwóch układów rozdzielonych przez impulsator jest równa

iloczynowi transformat z tych dwóch układów.

Dla układu z rysunku 6(b), sygnał wyjściowy zapisywany jest jako

)(zY = )()(21 zRzGG (6)

4. TRANSMITANCJA DYSKRETNEGO UKŁADU ZAMKNIĘTEGO

Transmitancja dyskretnego układu zamkniętego zależy od położenia impulsatora w układzie.



a(t) a*(t)G(s)

T Y(s)

y*(t)

A(s) A*(s)

T

y(t)

Y*(s)

H(s)

r(t)

R(s)

(a)

a(t)

y*(t)

G(s)

T

Y(s)

y*(t)

A(s)

Y*(s)

T

y(t)

Y*(s)

H(s)

r(t)

R(s)

(b)

Rys. 7. Dyskretny układ z pojedynczą pętlą. (a) Impulsator występuje w torze bezpośrednim, (b) Impulsator

występuje w torze sprzężenia.

Na rysunku 7 pokazane zostały dwa układy w których w różnych miejscach pętli umieszczony został

impulsator. W układzie z rysunku 7(a) impulsator występuje w torze bezpośrednim, natomiast na

rysunku 7(b) impulsator występuje w sprzężeniu. Wyjście z impulsatora traktowane jest jako wejście

do układu. Wobec tego na rysunku 7(a) układ ma dwa wejścia R(s) oraz A*(s), natomiast sygnały Y(s)

oraz A(s) traktowane są jako wyjścia układu i w tym przypadku transformata dyskretna sygnału

wyjściowego jest następująca

Y(z) = )()(1

)(zR

zGH

zG

(7)

W układzie z rysunku 7(b) wyjście z impulsatora A*(s) oraz R(s) są wejściami do układu natomiast

Y(s) oraz A(s) są wyjściami układu i w tym przypadku wypadkowa transmitancja dyskretna ma postać

Y(z) = )(1

)(

zGH

zGR

(8)

5. TRANSMITANCJA EKSTRAPOLATORA ZEROWEGO RZĘDU

Opierając się na podanym wcześniej opisie dla ekstrapolatora zerowego rzędu (ZOH) jego

charakterystyka impulsowa pokazana została na rysunku 8.

1

00 T t

gh(t)

Rys. 8. Odpowiedź impulsowa ekstrapolatora zerowego rzędu.



Transmitancja ekstrapolatora zerowego rzędu jest następująca

)(sGh = £ )}({ tgh = s

e sT1 (9)

Jeśli ekstrapolator zerowego rzędu połączony jest kaskadowo z procesem liniowym o transmitancji

)(sG p , tak jak pokazano to na rysunku 4, to transformata Z takiego połączenia zapisana jest

następująco

)(zG = Z )}()({ sGsG ph = Z

)(1

sGs

ep

sT

(10)

Korzystając z własności transformaty Z o czasie opóźnienia, równanie (10) można uprościć do postaci

)(zG = )1( 1 z Z

s

sG p )( (11)

Przykład 1

Dla układu z rysunku 4, rozważ następującą transmitancję

)5.0(

1)(

sssG p (1.1)

Okres próbkowania T = 1 [s]. Transmitancja z opisująca zależność pomiędzy wejściem

i wyjściem określana jest przy użyciu wzoru (7).

)(zG = )1( 1 z Z

)5.0(

12 ss

= )1( 1 z Z

5.0

4242 sss

=

z

z 1

5.024

)1(2

14

ez

z

z

z

z

z

= 5.0

)1(4

1

24

ez

z

z=

6065.0607.1

3608.04261.02

zz

z (1.2)

Te same wyniki można uzyskać korzystając z funkcji c2d z biblioteki MATLABA.

T = 1; % Okres próbkowania

numC = 1; % Licznik transmitancji ciągłej

denC = conv([1 0],[1 0.5]); % Mianownik transmitancji

sysC = tf(numC, denC); % Transmitancja operatorowa

sysD = c2d( sysC, T,'zoh'); % Wyznaczenie transmitancji dyskretnej

[numD, denD] = tfData( sysD, ’v’)

printsys( numD, denD, 'z') % Wypisanie transmitancji na ekran

6. ODPOWIEDŹ CZASOWA UKŁADU STEROWANIA DYSKRETNEGO

Aby zaprojektować układ sterowania dyskretnego, najpierw należy poznać własności tych układów

w dziedzinie czasu i zmiennej z. Odpowiedzi wyjściowe większości układów sterowania dyskretnego

są funkcjami czasu ciągłego t. Wobec tego wskaźniki jakości takie jak maksymalne przeregulowanie,

czas narastania, współczynnik tłumienia i tak dalej, mogą być również zastosowane dla układów

dyskretnych. Jedyna różnica jest taka, że aby zastosować takie narzędzia analityczne jak transformaty

Z, sygnały ciągłe są próbkowane i wówczas niezależną zmienną czasu jest kT, gdzie T jest okresem



próbkowania wyrażonym w sekundach. Również własności przejściowe układu dyskretnego

charakteryzowane są przez bieguny i zera transmitancji na płaszczyźnie z.

Podstawowy schemat blokowy układu sterowania dyskretnego z pojedynczą pętlą pokazany

został na rysunku 9. Transmitancja tego układu jest następująca:

T(z) = )(1

)(

)(

)(

zGH

zG

zR

zY

(12)

gdzie GH(z) oznacza transformatę Z transmitancji G(s)H(s).

ZOHa*(t)r(t)

Gp(s)

y*(t)

G(s)

H(s)

T

y(t)

Y*(s)

Y(s)T A*(s)

a(t)

A(s)R(s)

Rys. 9. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego z pojedynczą pętlą

Najczęstszym testem służącym do badania własności dynamicznych układów sterowania jest

odpowiedź skokowa. Jeśli odpowiedź układu dyskretnego opisana jest transformatą

)()()( zRzTzY (13)

wówczas postać dyskretną wyznacza się na podstawie wzoru (13) po podstawieniu )1()( zzzU

i następnie wyznaczeniu odwrotnej transformaty Z. Sposób wyznaczania dyskretnej odpowiedzi

skokowej dla układu o zadanej transmitancji pokazny jest w przykładzie 2.

W MATLABIE do symulacji numerycznych odpowiedź impulsowa układu dyskretnego

o transmitancji dyskretnej sysD jest wyznaczana przy użyciu

yD = dimpulse( numD, denD)

yD = dimpulse( numD, denD, N)

natomiast dyskretna odpowiedź skokowa

yD = dstep(numD, denD)

yD = dstep(numD, denD, N)

gdzie N oznacza maksymalną liczbę próbek. Należy pamiętać, że y(kT), k = 0, 1, 2, .... zawiera tylko

informacje o próbkach sygnału y(t) w chwilach próbkowania. Jeśli okres próbkowania jest względnie

duży w stosunku do najbardziej znaczącej stałej czasowej układu, wówczas y(kT) może nie być

dokładną reprezentacją sygnału y(t).

Transmitancję dyskretną T(z) można przekształcić do postaci równan dynamicznych

zapisywanych następująco

)()()1( krkk GFxx (14)

)()()( kJrkky Hx (15)

w których równanie (14) nosi nazwę dyskretnych równania stanu, a równanie (15) dyskretnego

równania wyjścia. Przekształcenia tego można dokonać w sposób analityczny stosując metody

dekompozycji transmitancji dyskretnej, ale dla transmitancji o znznych wartościach wpółczynników

najłatwiej dokonać tego przy użyciu następującej komendy Matlaba

[F, G, H, J] = dtf2ss( numD, denD)



Przykład 2

Dla układu opisanego poniższą transmitancją dyskretną, wyznacz odpowiedź skokową.

)(zG = )(

)(

zU

zY=

6.09.0

3.04.02

zz

z (2.1)

Okres próbkowania w tym układzie wynosi T = 1 [s].

Rozwiązanie. W sposób analityczny odpowiedź skokową wyznacza się podobnie jak dla

układów ciągłych. W pierwszej kolejności, zamiast wejściowego sygnału dyskretnego U(z)

podstawia się jego transformatę dyskretną

)(zY = )()( zUzG = 16.09.0

3.04.02

z

z

zz

z (2.2)

i następnie uzyskaną transformatę dyskretną (2.2) rozkłada się na sumę transformat

elementarnych zapisanych

)(zY = 6305.045.0

)119.05.0(

6305.045.0

)119.05.0(

1 jz

zj

jz

zj

z

z

(2.3)

Poza zapisaniu wartości residuów i położeń biegunów w postaciach wykładniczych

)(zY = 9509.0

908.2

9509.0

908.2

7746.0

514.0

7746.0

514.0

1 j

j

j

j

ez

ze

ez

ze

z

z

(2.4)

dla każdego składnika sumy znajduje się postać dyskretną odpowiedzi skokowej

)(ky = )908.29509.0cos()7746.0(0279.1)(1 kk k (2.5)

Na rysunku 2.1 znajduje się uzyskany wykres dyskretnej odpowiedzi skokowej. Te same wyniki

można uzyskać przy użyciu funkcji step znajdującej się w bibliotece MATLABA.

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

t = kT [s]

y(kT

)

Dyskretna odpowiedź skokowa (T = 1 [s])

Rys. 2.1. Dyskretna odpowiedź skokowa



Wyniki uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu.

clear

close all

tmax = 25;

T = 1; % Okres próbkowania

numD = [0.4 0.3]; % Licznik transmitancji

denD = [1 -0.9 0.6]; % Mianownik transmitancji

[rD, pD, kD] = residue( numD, conv(denD,[1 -1]))

M_rD = abs( rD(2))

phi_rD = angle( rD(2))

M_pD = abs( pD(2))

phi_pD = angle( pD(2))

ArD = 2*M_rD

N = tmax/T % Liczba próbek

for i = 0:N,

k = i;

tD(i+1) = k*T;

uD(i+1) = 1;

yD(i+1) = rD(1) + ArD*(M_pD^k)*cos( phi_pD*k + phi_rD);

end;

[tk, yk] = stairs(tD, yD)

figure(1)

plot(tk, yk, 'k-', tD, uD, 'k:')

xlabel( 't = kT [s]')

ylabel( 'y(kT)')

title(' Dyskretna odpowiedź skokowa (T = 1 [s])')

axis([0 tmax 0 1.5])

Przykład 3

Dla układu pokazanego na rysunku 3.1. wyznacz odpowiedź skokową. Uzyskaną transmitancję

wypadkową zapisz w postaci dyskretnych równań stanu. Parametry dla tego układu są

następujące: 1K = 2, 2K = 2, = 2, T = 0.1 [s].

1

s

r(t) y(t)K

1

1

s

K2

ZOHTR(s) Y(s)

Rys. 3.1. Schemat blokowy układu impulsowego.

Rozwiązanie: Układ z rysunku 3.1 należy sprowadzić do postaci z rysunku 9. Korzystając

z zasad przekształcania schematów blokowych otrzymuje się schemat pokazany na rysunku 3.2.

r(t)ZOH

TR(s) Y*(s)

K1

s(s +K1) T

y*(t)y(t)

Y(s)

G(s)

K1 K

2s

K1

Rys. 3.2. Schemat blokowy układu impulsowego z rysunku 2.1 po przekształceniach.



Po podstawieniu danych liczbowych uzyskuje się następujące transmitancje:

transmitancja dynamiki w torze bezpośrednim

)4(

2

)()(

1

1

ssKss

KsG p

(3.1)

transmitancja dynamiki w sprzężeniu

12

22)(

1

21

ss

K

sKKsH (3.2)

Transmitancja dyskretna transmitancji G(s) znajdującej się w torze bezpośrednim układu z

rysunku 3.2 obejmującego ekstrapolator zerowego rzędu oraz transmitancję procesu Gp(s),

wyznaczana jest ze wzoru (10) w podobny sposób jak w przykładzie 1. Transmitancja dyskretna

w torze bezpośrednim

)()( zGGzG pzoh = Z )}({ sGG pzoh = 67032.06703.1

007694.000879.02

zz

z (3.3)

Transmitancja dyskretna pętli wyznaczana na podstawie kaskadowego połączenia

ekstrapolatora zerowego rzędu, transmitancji Gp(s) i transmitancji znajdującej się w przężeniu,

również w podobny sposób jak w przykładzie 1.

)()()( zHzGGzGH pzoh = Z )}({ sHGG pzoh = 67032.06703.1

17253.015605.02

zz

z (3.4)

Dyskretna transmitancja wypadkowa układu z rysunku 3.2

T(z) = )(1

)(

)(

)(

zGH

zG

zR

zY

=

67032.06703.1

17253.015605.01

67032.06703.1

007694.000879.0

2

2

zz

zzz

z

= 8429.08264.1

007694.000879.02

zz

z (3.5)

Odpowiedź skokową na podstawie transmitancji (3.5) wyznaczona została przy użyciu kodu

programu zawartego w przykładzie 2 i w tym przypadku ma następującą postać

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

, y(kT

)

układ

ciągły

T = 0.1 [s]

Rys. 3.1. Porównanie odpowiedzi jednostkowej układu dyskretnego i ciągłego.



)(ky = )4519.21032.0cos()9181.0(2963.1)(1 kk k (3.6)

Współczynniki macierzy dyskretnych równań dynamicznych opisanych wzorami (14) i (15)

wyznaczone zostały na podstawie transmitancji (3.5) przy użyciu funkcji dtf2ss które w tym

przypadku przyjmują następujące wartości

01

8429.08264.1F

0

1G ]0077.00088.0[H ]0[J (3.7)

Uzyskane dyskretne równania stanu są następujące:

)()(8429.0)(8264.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx (3.8)

)(0077.0)(0088.0)( 21 kxkxky

Porównanie wyników uzyskanych dla układu ciągłego bez impulsatora jak i dyskretnego

z impulsatorem przedstawione zostało na rysunku 3.1.

Wyniki w tym przykładzie wygenerowane zostały przy użyciu następującego kodu programu:

clear

close all

T = 0.1; % Okres próbkowania

tmax = 7; % Odcinek czasu

% Układ ciągły

numGpC = 2;

denGpC = conv([1 0], [1 4])

sysGpC = tf( numGpC, denGpC); % transmitancja dynamiki

% w torze bezpośrednim

numHC = [-1 1];

denHC = 1;

sysHC = tf( numHC, denHC); % transmitancja dynamiki

% w sprzężeniu

sysC = feedback( sysGpC, sysHC); % transmitancja wypadkowa

% całego układu ciągłego

[numC, denC] = tfdata( sysC, 'v'); % współczynniki wielomianów

% licznika i mianownika

% Wygenerowanie odpowiedzi skokowej bez impulsatora

t = [0:0.01:tmax];

yC = step( numC, denC, t);

% Układ dyskretny

sysGD = c2d( sysGpC, T, 'zoh');

[numGD, denGD] = tfdata( sysGD, 'v'); % współczynniki wielomianów

% licznika i mianownika transmitancji toru bezpośredniego

sysGHC = series( sysGpC, sysHC);

sysGHD = c2d( sysGHC, T, 'zoh');

[numGHD, denGHD] = tfdata( sysGHD, 'v'); % współczynniki

licznika i mianownika transformaty dyskretnej pętli

numD = numGD; % Licznik

denD = numGHD + denGHD; % i mianownik dyskretnej transmitancji

% wypadkowej

[F, G, H, J] = dtf2ss( numD, denD) % Macierze równań dynamicznych

N = tmax/T % Liczba próbek

yD1 = dstep( numD, denD, N); % odpowiedź skokowa

% wyznaczona na podstawie transmitancji

yD2 = dstep( F, G, H, J, 1, N); % odpowiedź skokowa

% wyznaczona na podstawie równań dynamicznych

yD = yD2; % wybór skokowej odpowiedzi dyskretnej do wykreślenia

tDmax = (N-1)*T;

tD=[0:T:tDmax]';



[tDp, yDp]= stairs( tD, yD); % Wygenerowanie odpowiedzi schodkowej

% Wykreślenie uzyskanych wyników

figure(1)

plot( t, yC, 'k-', tDp, yDp, 'k-')

xlabel('t [s]')

ylabel('y(t), y(kT)')

grid on

7. WSKAŹNIKI JAKOŚCI OPISUJĄCE UKŁAD

Dynamiczna jakość sterowania w dziedzinie czasu definiowana jest w zależności od parametrów

odpowiedzi skokowej układu (dla sygnału zadanego o postaci funkcji skokowej). Najczęściej

używanymi parametrami tej odpowiedzi są: czas narastania nt , maksymalne przeregulowanie pM ,

czas regulacji Rt i uchyb w stanie ustalonym ue . Parametry te są równie dobre dla układu

dyskretnego jak i dla układu ciągłego. Na płaszczyźnie s wymagania te mają następującą postać:

n

nt

8.1 (16)

p

p

M

M

22 ln

ln

(17)

Rt

6.4 (18)

Wymagania dotyczące uchybu w stanie ustalonym w zależności od rodzaju sygnału zadanego

określone są przez stałe uchybowe. Wymagania dotyczące uchybu zostaną tutaj pominięte.

Okres próbkowania T dobiera się tak, aby było przynajmniej 6 próbek w odcinku czasu

definiowanym jako czas narastania, lepsze i gładsze wyniki sterowania uzyska się jeśli będzie

przynajmniej 10 próbek w czasie narastania.

8. PRZEKSZTAŁCENIE WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI UKŁADU NA PŁASZCZYZNĘ Z

Odpowiedź układu dyskretnego zależy od położeń biegunów transmitancji dyskretnej na płaszczyźnie

z. Bazując na tym można dokonać przekształcenia wskaźników jakości układu na akceptowalne

położenia biegunów. Dla przykładu, czas narastania nt ciągłego układu II rzędu jest odwrotnie

proporcjonalny do częstotliwości drgań własnych n (16). Przy użyciu przekształcenia sTez

dokonuje się przekształcenia położeń biegunów z płaszczyzny s na płaszczyznę z i częstotliwość drgań

własnych n przekształcana jest na kąt bieguna we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie z

jako Td , gdzie 21 nd . Maksymalne przeregulowanie odpowiedzi skokowej pM jest

odwrotnie proporcjonalne do współczynnika tłumienia (17) i linie stałego tłumienia z płaszczyzny s

przekształcane są na logarytmiczne spirale na płaszczyźnie z. Czas regulacji Rt jest odwrotnie

proporcjonalny do części rzeczywistej bieguna na płaszczyźnie s (18) które odpowiadają

promieniom bieguna na płaszczyźnie z jako Ter .

Podsumowując, aby otrzymać akceptowalne położenia biegunów na płaszczyźnie z należy:

Wyznaczyć żądane wartości n , , z zadanych wymagań projektowych dotyczących

odpowiedzi skokowej na czas narastania nt , maksymalne przeregulowanie pM i czas regulacji Rt

Obliczyć promień Ter .



Wykreśl linie stałego tłumienia i stałych n . Zostanie to wykonane przy użyciu funkcji

z biblioteki MATLABA o nazwie zgrid, która wykreśla linie stałego od 0.1 do 0.9 z krokiem

0.1 oraz TNn 10 dla stałych wartości od 1 do 10.

Zaznacz obszary położeń biegunów spełniających zadane wymagania projektowe układu

sterowania dyskretnego.

Przykład 4

Znajdź obszary położeń biegunów transmitancji układu dyskretnego na płaszczyźnie z, jeśli

wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące:

0.3 nt 0.6 [s],

5 pM 30 [%]

1.5 Rt 3.5 [s], = 1 [%].

T = 0.2 [s]

Rozwiązanie: Korzystając z zależności opisanych wzorami (16), (17), (18), wyznaczone zakresy

dopuszczalnych wartości parametrów n , , są następujące

3 n 6 [rad/s] (4.1)

0.358 0.690 (4.2)

1.314 3.067 (4.3)

Funkcja zgrid z biblioteki MATLABA wykreśla linie stałego tłumienia oraz częstotliwości

drgań własnych n . O ile może być podawana do funkcji w sposób bezpośredni to n musi

zostać przeliczona względem okresu próbkowania T według zależności

10

Ns (4.4)

gdzie

TN n10 (4.5)

Po podstawieniu wzoru (4.5) do zależności (4.4) uzyskuje się

Tns (4.6)

Funkcja zgrid nie wykreśla linii stałego , które muszą być naniesione na wykres niezależnie

i są one okręgami o stałych promieniach wyznaczanych z zależności

Ter (4.7)

Ostatecznie zakresy parametrów wykreślanych na płaszczyźnie z, które są następujące

0.6 s 1.2 [rad/s] (4.8)

0.358 0.690 (4.9)

0.541 r 0.769 (4.10)

Zakresy parametrów opisanych zależnościami (4.7), (4.8) oraz (4.9) pokazane są na rysunku

4.1. Wyniki te uzyskane zostały przy użyciu następujących linii kodu programu

clear

close all

T = 0.2; % Okres próbkowania

% wn1, wn2 - granice dopuszczalnych wartości wn

wn1 = 3;



wn2 = 6;

% zeta1, zeta2 - granice dopuszczalnych wartości zeta

zeta1 = 0.358;

zeta2 = 0.690;

% sigma1, sigma2 - granice dopuszczanych wartości sigma

sigma1 = 1.314;

sigma2 = 3.067;

% ws1, ws1 - próbkowane częstotliwości wn

ws1 = wn1*T;

ws2 = wn2*T;

% R1, R2 - promienie granicznych wartości sigma1, sigma2

R1 = exp(-sigma1*T);

R2 = exp(-sigma2*T);

% Wyznaczenie okręgów o stałych promieniach R1, R2

for i=0:360,

xCircle1(i+1) = R1*cos(i*pi/180);

yCircle1(i+1) = R1*sin(i*pi/180);

xCircle2(i+1) = R2*cos(i*pi/180);

yCircle2(i+1) = R2*sin(i*pi/180);

end;

% wykreślenie okręgów o stałych promieniach

plot( xCircle1, yCircle1, 'k:', xCircle2, yCircle2, 'k:')

axis([-1 1 -1 1])

xlabel('Re z')

ylabel('Im z')

zgrid([zeta1 zeta2], [ws1 ws2])

axis equal

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.667

0.358

1.2

0.6

1.2

0.6

Re z

Im z

0.736

0.541

Rys. 4.1. Wykres obszaru dozwolonych położeń biegunów na płaszczyźnie z spełniających zadane



ĆWICZENIA W MATLABIE

M1. Dla poniższych układów dyskretnych znajdź transmitancję dyskretną )()( zRzY Okres

próbkowania T = 0.5 [s].

a)

y(t)

T

1

s(s + 2)

r(t) r*(t)

b)

y(t)

T

1

s + 1

r(t) r*(t) 10

s + 2

c)

y(t)1

s + 1

r(t) r*(t) 10

s + 2T T

d)

y(t)

TZOH

r(t) r*(t) 5

s(s + 2)

h(t)

e)

y(t)

TZOH

e(t) e*(t) 1

s + 2

h(t)r(t)

f)

y(t)

TZOH

e(t) e*(t) 1

s + 2

u*(t)r(t) 1

s + 1T

g)

y(t)

TZOH

e(t) e*(t) 1

s + 2

h(t)r(t)

1

s + 1

h)

y(t)

TZOH

e(t) e*(t) 1

s + 2

u*(t)r(t) 1

s + 1T

1

s + 3



M2. Dla poniższych układów sterowania, wyznacz transmitancję dyskretną całego układu )()( zRzY

i następnie wyznacz odpowiadające im dyskretne równania stanu.

a) Okres próbkowania T = 0.25 [s].

1

s(s+0.1)

0.5s

R(s) Y(s)ZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(a) Schemat blokowy układu dyskretnego.

b) Okres próbkowania T = 0.2 [s].

1

s

R(s) Y(s)ZOH

T

2

s T

Y*(s)

Rys. M2(b) Schemat blokowy układu dyskretnego.

c) Okres próbkowania T = 0.1 [s].

1

s

2

R(s) Y(s)7

sZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(c) Schemat blokowy układu dyskretnego.

d) Okres próbkowania T = 0.15 [s].

61

s+1

R(s) Y(s)1

sZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(d) Schemat blokowy układu dyskretnego.



e) Okres próbkowania T = 0.1 [s].

1

s(s+4)

0.5s

R(s) Y(s)14ZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(e) Schemat blokowy układu dyskretnego.

f) Okres próbkowania T = 0.05 [s].

41

s(s+0.1 )

s

R(s) Y(s)ZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(f) Schemat blokowy układu dyskretnego.

g) Okres próbkowania T = 0.15 [s].

1

s+1

R(s) Y(s)ZOH

T

5

s

Y*(s)

T

Rys. M2(g). Schemat blokowy układu dyskretnego.

h) Okres próbkowania T = 0.1 [s].

1

s+15

R(s) Y(s)

2

1

sZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(h). Schemat blokowy układu dyskretnego.

i) Okres próbkowania T = 0.05 [s].

1

s+1

R(s) Y(s)

2

4

sZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(i). Schemat blokowy układu dyskretnego.



j) Okres próbkowania T = 0.5 [s].

1

s

R(s) Y(s)

4

ZOHT

5

s

Y*(s)

T

Rys. M2(j). Schemat blokowy układu dyskretnego.

k) Okres próbkowania T = 0.15 [s].

1

s+115

R(s) Y(s)

4

1

sZOH

T

Y*(s)

T

Rys. M2(k). Schemat blokowy układu dyskretnego.

l) Okres próbkowania T = 0.1 [s].

16

s

R(s) Y(s)ZOH

T

1

s T

Y*(s)

Rys. M2(l). Schemat blokowy układu dyskretnego.

M3. Naszkicuj obszary na płaszczyźnie z w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu,

które spełniają poniższe wymagania.

a)

czas narastania tn 0.5 [s]

procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp 20 [%]

czas regulacji tR 2 [s], ( = 1 [%])

okres próbkowania: T = 0.05 [s].

b)

czas narastania 0.3 tn 0.6 [s],

maksymalne przeregulowanie 15 Mp 30 [%],

czas regulacji 7

10 tR

3

10 [s], ( = 2 [%])

okres próbkowania T = 0.1 [s].

c)

czas narastania tn 2 [s]

procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 10 Mp 25 [%]

czas regulacji tR 6 [s], ( = 2%)

okres próbkowania: T = 0.2 [s]



d)

czas narastania tn 0.6 [s],

maksymalne przeregulowanie Mp 20 [%],

czas regulacji 1 tR 2 [s], ( = 2%)


e)



czas regulacji tR 3.6 [s], ( = 2%)


f)

czas narastania 0.6 tn 1.8 [s],


czas regulacji tR 1.8 [s], ( = 2%)


g)



czas regulacji tR 8 [s], = 1 [%]


h)



czas regulacji 1 tR 7

10 [s], ( = 1 [%])


i)


procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp 14 [%]

czas regulacji tR 4 [s], ( = 1 [%])


j)


procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 12 Mp 18 [%]



k)





l)



czas regulacji tR 7.2 [s], ( = 1 [%])




ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ

M1.

a) 3679.03679.1

3161.0)(

2

zz

zzG

b) 2231.09744.0

3865.2)(

2

zz

zzG

c) 2231.09744.0

10)(

2

2

zz

zzG

d) 3679.03679.1

3303.04598.0)(

2

zz

zzG

e) 0518.0

3161.0)(

zzG

f) 2231.06583.0

1606.3)(

2

zzzG

g) 2701.08970.0

1917.03161.0)(

2

zz

zzG

M2.

a) )()(8890.0)(8310.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0283.0)(0297.0)( 21 kxkxky

b) )()(8659.0)(8.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0308.0)(0352.0)( 21 kxkxky

c) )()(8350.0)(7650.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0350.0)(0350.0)( 21 kxkxky

d) )()(7962.0)(6796.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0554.0)(0612.0)( 21 kxkxky

e) )()(6898.0)(5770.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0522.0)(0606.0)( 21 kxkxky

f) )()(9513.0)(9416.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0048.0)(0049.0)( 21 kxkxky

g) )()(7870.0)(6898.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0462.0)(0510.0)( 21 kxkxky

h) )()(7613.0)(7181.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0205.0)(0227.0)( 21 kxkxky

i) )()(8652.0)(8559.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0045.0)(0048.0)( 21 kxkxky

j) )()(0625.0)(9375.0)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0125.0)(1125.0)( 21 kxkxky

k) )()(5764.0)(3389.1)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(1040.0)(1334.0)( 21 kxkxky

l) )()(5429.0)(3048.0)1( 211 krkxkxkx

)()1( 12 kxkx

)(0749.0)(0774.0)( 21 kxkxky

M3.

a) 0.18 s

0.4559

0 r 0.8914

b) 0.3 s 0.6

0.3579 0.5169

0.7558 r 0.8869

c) 0.18 s

0.4037 0.5912

0.8752 r 1

d) 0.15 s

0.4559

0.8187 r 0.9048



e) 0 s 0.225

0.4037

0.8948 r 1

f) 0.1 s 0.3

0.5912

0.8007 r 1

g) 0.18 s

0.2155 0.5169

0 r 0.9174

h) 1.2 s

0.4037 0.6901

0.3985 r 0.5252

i) 0 s 0.4

0.5305

0 r 0.8914

j) 0.0563 s

0.4791 0.5594

0 r 0.9753

k) 0 s 0.9

0.5912

0.8187 r 1

l) 0.3 s

0.4136 0.5594

0 r 0.88

LITERATURA

1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Digital Control of Dynamic Systems, 3rd

ed.

Addison-Wesley Publishing Company, 1998.

2. Kuo B.C.: Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.

Documents

Własności dynamiczne układów dyskretnych - Matlabatol.am.gdynia.pl/~tomera/ts/z_uklad_iirz_matlab.pdf · Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab