Wojciech Bester

1

Wojciech Bester

Koło Naukowe MatematykówUniwersytetu

Rzeszowskiego

http://delta.univ.rzeszow.pl/knm/

Cel prezentacji

I. Wizualizacja krzywych zadanych w postaci algebraicznej i parametrycznej w programie mathematica 5. W szczególności krzywych III i IV stopnia.

2

II. Przedstawienie opcji wykresów 2D i funkcji obróbki obszaru kreślenia. Zastosowanie tych funkcji do popularnych krzywych jak i nieznanych.

Cel prezentacji

3

III. Przedstawienie metody badania krzywych III i IV stopnia. Wykorzystanie podmiotu matematycznego i elementów geometrii do charakteryzacji własności krzywych.

IV. Poszukiwanie zastosowania krzywych w praktyce.

4

Najprostsze wykresy 2D

1. Definiowane funkcje przez użytkownika:y=2x z=2x^2 s=2^xPlot[y,{x,0,10}] Plot[z,{x,0,10}] Plot[s,{x,0,10}]

2 4 6 8 10

5

10

15

20

2 4 6 8 10

50

100

150

200

2 4 6 8 10

200

400

600

800

1000


5

2. Cosinus, sinus, tangens, cotangens: Zadawana funkcje:

Plot[Cos[x],{x,0,Pi}]

Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]Plot[Tan[x],{x,0,Pi}]Plot[Cot[x],{x,0,Pi}]3. Dwie funkcje na

wykresie: Zadawana funkcja:

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,Pi}]

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

6


4. Funkcja ekspotencjalna, arcus sinus: Zadawane funkcje: Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}] Plot[Exp[x],{x,0,Pi}]

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

2

3

4

-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

7


5. Pozostałe funkcje warte uwagi: Zadawana funkcje:a) Logarytmiczna o podst. e: Plot[Log[x],{x,0,Pi}]

b) Logarytmiczna o podst. b: Plot[Log[b,x],{x,0,Pi}]

c) Secans: Plot[Sec[x],{x,0,Pi}]

d) Cosecans: Plot[Csc[x],{x,0,Pi}]

e) Sinus hiperbloliczny Plot[Sinh[x],{x,0,Pi}]

f) Arcus sinus hiperbloliczny Plot[ArcSinh[x],{x,0,Pi}]

-3 -2 -1 1 2 3wartości x

-1

-0.5

0.5

1

Cosinusx

8

Opcje Wykresów

A. Umieszczenie skali na obramowaniu wykresu:Opcja Frame->True: Plot[Cos[x],{x,0,Pi},Frame->True]

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1

B. Wyróżnienie osi liczbowych:Opcja AxesLabel->{„…",„…"}:Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},AxesLabel->{"wartości x","Cosinus[x]"}]

9

Opcje Wykresów

C. Dodawanie lilnii siatki na wykresie:Opcja GridLines->Automatic: Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},GridLines->Automatic]

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

D. Kontrola szerokości i długości wykresu:Opcja AspectRatio->… : Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},AspectRatio->0.4]

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

10

Opcje Wykresów

E. Wyróżnianie określonych części wykresu:Opcja PlotRange->{… , …}: Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},PlotRange->{0,1.2}]

F. Tytuł wykresu, nazwa krzywej oraz jej charakter czcionki:Funkcja PlotLabel oraz StyleForm opcja FontSlant:

Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},PlotLabel->StyleForm[Cos[x],"Section",FontSlant->"Italic"]]

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1Cosx

11

Opcje Wykresów

G. Funkcja PlotStyle i kolor krzywej:Opcja RGBColor->[… , …]: Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

H. Funkcja PlotStyle i grugość krzywej:Opcja Thickness[…] : Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle->{Thickness[0.04]}]

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

12

Opcje Wykresów

I. Funkcja PlotStyle i krzywa przerywana.Opcja Dashing[{… , …}]:Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle->{Dashing[{0.05,0.05}]}]

J. Kolor Tła:Opcja Background->RGBColor[… , … , …]: Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi},Background->RGBColor[0.3,0.4,0.6]]

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

13

Opcje WykresówBogactwo funkcji i opcji

formatowania i przedstawiania wykresów w programie

mathematica jest niemal, że nieskończone. Oto niektóre

jeszcze dostępne opcje:

option name default value

AspectRatio 1GoldenRatio the height-to-width ratio for the plot; Automaticsets it fromthe absolutexand ycoordinatesAxes Automatic whether to include axesAxesLabel None labels to be put on the axes; ylabelspecifies a label for theyaxis, xlabel,ylabelfor both axesAxesOrigin Automatic the point at which axes crossTextStyle $TextStyle the default style to use for text in the plotFormatType StandardForm the default format type to use for text in the plotDisplayFunction $DisplayFunction how to display graphics; Identitycauses no displayFrame False whether to draw a frame around the plotFrameLabel None labels to be put around the frame; give a list in clockwise order startingwith the lower xaxisFrameTicks Automatic what tick marks to draw if there is a frame; Nonegives no tick marksGridLines None what grid lines to include; Automaticincludes a grid line for every major tick markPlotLabel None an expression to be printed as a label for the plotPlotRange Automatic the range of coordinates to include in the plot; Allincludes all pointsTicks Automatic what tick marks to draw if there are axes; Nonegives no tick marks

option name default value

PlotStyle Automatic a list of lists of graphics primitives to use for each curvesee Section 2.10.3PlotPoints 25 the minimumnumber of points at which to sample the functionMaxBend 10. the maximumkink angle between successive segments of a curvePlotDivision 30. the maximumfactor by which to subdivide in samplingthe functionCompiled True whether to compile the function beingplotted

PlotStylestyle specify a style to be used for all curves in Plot

PlotStylestyle1 ,style2 ,… specify styles to be usedcyclicallyfor a sequence of curves in Plot

MeshStylestyle specify a style to be used for a mesh in density and surface graphicsBoxStylestyle specify a style to be used for the boundingboxin three-dimensional graphics

14

Implicitplot

Jest to specjalna funkcja programu mathematica do wizualizacji krzywych zapisanych w postaci algebraicznej. Wykres prezentowany przez implicitplot jest rozwiązaniem równania albo nawet kilku równań. Przy czym możemy określić przedział wyświetlanych wartości jednej lub wielu zmiennych zawartych w równaniu.

Więcej informacji możemy dostać posługując się indeksem mathematica wpisując w wyszukiwarkę Graphics`ImplicitPlot`.

Przykład zastosowania:Aby zainicjować funkcję należy na początek

aktywować procedurę: << Graphics`ImplicitPlot`Następnie:ImplicitPlot[{(x^2+y^2)^2==(x^2-y^2),

(x^2+y^2)^2==2 x y},{x,-2,2},PlotStyle-

>{{RGBColor[1,0,0],Dashing[{.03}]},{RGBColor[0,1,0]}}]

-1 -0.5 0.5 1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

15

parametricplot

Jest to funkcja programu mathematica do wizualizacji krzywych zapisanych w postaci parametrycznej. Polega to na zadaniu współrzędnych x i y, wszystkich punktów krzywej, jako funkcji w których zmienna jest np. t.

Sposoby przedstawienia wykresu za pomocą parametricplot: fy fx

ParametricPlot[{fx, fy }, {t, tmin, tmax}]ParametricPlot[{{fx, fy }, {gx, gy }}, {t, tmin, tmax}]

Przykład zastosowania:ParametricPlot[{(3Sin[t])^3,(Cos[t])^2},

{t,0,2Pi},PlotStyle->{GrayLevel[0.7]}]

-20 -10 10 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

16

Zasobnik matematyczny

. Krzywą płaską okrelamy jako algebraiczną stopnia ,

jeśli daje się opisać równaniem wielomianowym ( , ) 0,

przyczym łączny stopień dwu zmiennych jest równy .

n

F x y

n

Def

3

. Sparametryzowaną krzywą nazywamy różniczkowalne odwzorowanie

: otwartego przedziału ( , ) w przestrzeń . Słowo

różniczkowalne oznacza przyporządkowanie które dowolnemu parametrowi

I R I a b R R

t

*Def

3( , ) przypisuje punkt [ ( ), ( ), ( )] w ten sposób, że funkcje , ,

są różniczkowalne na .

a b x t y t z t R x y z

I

Przedział jest dowolny i może przyjąć postać (0,1) czy ( , ).

Natomiast zbiór ( ) nazywamy śladem lub po prostu wykresem

krzywej sparametryzowanej.

I

I

17

. Wektor '( ) [ '( ), '( ), '( )] nazywamy wektorem prędkości

(stycznym do) krzywej w punkcie .

t x t y t z t

t I

*Def

3. Niech : będzie krzywą regularną sparametryzowaną

długości łuku . Liczbę ( ) ''( ) nazywamy krzywizną krzywej

w punkcie . Zakładamy, że '( ) 1.

I R

s t t

t I s

*Def

. Krzywą nazywamy regularną jeśli '( ) 0 dla .t t I *Def

Zauważmy, że:

''( ) '( ).

długość ''( ) mierzy prędkość zmian wektora '( ).

t t

t t

1. Promieniem krzywizny nazywamy liczbę ( ) .

( )t

t

*Def


18

. Niech będzie daną długością łuku krzywej sparametryzowanej

regularnej . Wektor styczny oznaczamy ( ) '( ). Prawdziwy jest

wzór ( ) ''( ) ( ) ( ), gdzie ( ) nazywamy wektorem

n

s

s s

s s s s s

*Def

t

t n n

ormalnym. Wektor zdefiniowany jako ( ) ( ) ( ) nazywamy

binormalnym.

s s s b t n

:

'

'

'

Wzor y Fr enet at n b t n

n b t n t- b

b t n b n

3. Niech : będzie krzywą regularną sparametryzowaną długości

łuku ( ) i ( ) 0. Liczbę ( ) związaną wzorem '( ) ( ) ( )

nazywamy skręceniem krzywej w punkcie .

I R

s s s s s s

s I

*Def

b( b' n


19

podsumowanie

Przedstawione definicje są bazą do badania krzywych.

Z oczywistych powodów nie mogę dalej prowadzić tego wywodu bo prezentacja ta stałaby się wykładem z geometrii. Ale mam nadzieje, że zasygnalizowałem potrzebne narzędzia czy choćby półśrodki do zainteresowania się tą tematyką. W dalszej części prezentacji pokażę wyniki badania ciekawych krzywych III i IV stopnia oraz ich wizualizację w programie mathematica.Scharakteryzowane opcje i funkcje mathematica 5 będą narzędziem w kreśleniu i obróbki wykresów.

20

Wykorzystanie zasobnika

2 3

2 2

Wykorzystując zasobnik i prawa geometrii różniczkowej możemy

okreslić równanie parametryczne Cisoidy Dioklesa następująco:

2 2( ) [ , ], gdzie i jest promieniem okręgu.1 1

at att t R rt t

Na podstawie równania parametrycznego Cisoidy Dioklesa dostajemy punkt singularny:

'( ) (0,0) 0,stąd ( ) (0,0).t t t

0 0

0 0

0

Poszukiwanie asymptot krzywych zadane jest następujaco:

Jeżeli lim ( ) , lim ( ) , jest asymptotą pionową.

Jeżeli lim ( ) , lim ( ) , jest asymptotą poziomą.

Jeżeli lim ( )

t t t t

t t t t

t t

x t a y t to x a

x t y t a to y a

x t

0 0

0

( ), lim ( ) , oraz lim oraz

( )

lim[ ( ) ( )] jest skończony, to jest asymptotą ukośną.

t t t t

t t

y ty t k

x t

b y t kx t y kx b

2 3

2 22 2Uwzględniając, że ( ) , y( ) i stosując wzory wyżej

1 1okazuje się, iż Cisoida Dioklesa ma asymptotę pionową 2 ( ).

at atx t tt t

x a t

21

Cisoida Dioklesa

2 3

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 Niech równanie ( ) , przedstawia w postaci parametrycznej

1 1

4 2 (3 )Cisoidę Dioklesa z wektorem prędkości '( ) , .

(1 ) (1 )

0,at at

tt t

at at tt

t t

a t R

32 , 0

(2 )

xy a

a x

Krzywa ta jest cisoidą okręgu o promieniu i środku ( ,0) oraz prostej 2 .

Co ciekawe Cisoida Dioklesa jest szczególnym przypadkiem konchoidy Sluse'a ( ).

Równanie krzywej ma postać:

a S a x a

k a

Punkt O(0,0) jest punktem singularnym krzywej. Cisoida Dioklesa posiada asymptotę 2 .x a 2

1 Pole jakie tworzy krzywa ze swoją asymptotą wynosi: 3 i jest to potrojenie okręgu

tworzącego cisoidę .

P a

Ciekawostką może być fakt, że matematycy poszukując sposobu na podwojenie sześcianu

odkryli Cisoidę Dioklesa .

22

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-2

0

2

4

x

Cisoida Dioklesaa=3 a=0.08

ParametricPlot[{2a*t^2/(1+t^2),2a*t^3/(1+t^2)},{t,-8,8},PlotStyle->{Thickness[0.001],RGBColor[1,0.5,0.5]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"},PlotRange->{-10,10}]

23

Konchoida Sluse’a Krzywę definiujemy następująco: niech będzie dana prosta (prostopadła do osi

odciętych) odległa o 0 od początku układu współrzędnych oraz stała 0.

Zbiór wszystkich punktów leżących n

l

a k

A

2

a prostej wraz z punktem 0 spełniających

równanie: 0 , gdzie punkt jest punktem przecięcia prostej i .

m

S SA k S m l

Zauważmy, że Konchoida Sluse'a posiada asymptotę .a

jesli 2 wówczas punkt O(0,0) jest punktem rozgałęzienia krzywej, natomiast w każdym

przypadku tzn. niezależnie od współczynników i jest punktem osobliwym. Co ciekawe

może się stać punkte

k a

a k

m odosobnionym jeśli konchoida będzie skrócona.

2 2 2 2( )( ) 0, 0, 0a x a x y k x a k

Algebraicznie krzywa da się przedstawić wzorem:

24

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-2

0

2

4

x

Konchoida Sluse’ab=2.8, a=3

-3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

yb=2, a=1

ImplicitPlot[a(x-a)*(x^2+y^2)+k^2*x^2==0,{x,-15,15},AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

25

Strofoida

1 2

2 2

Zbiór wszystkich punktów leżących na półprostych wychodzących

z punktu ( ,0) i przecinających oś rzędnych w punkcie (0, )

tak, że 0 , nazywamy Strofoidą. Równanie algebrai

A

S a S b

S S A b

czne

krzywej wyraża się wzorem:2 2 ; 0,

a x

a xy x a

Punkt 0 jest punktem rozgałęzienia krzywej. Strofoida posiada asymptotę .x a

2 2

Krzywa jest symetryczna względem osi odciętych. Co ciekawe możemy stonstruować

strofoidę sprzężoną do danej postaci: y3

a x

x ax

2 21

2 22

Strofoida zakreśla pętle z wierzchołkiem w punkcie ( ,0) , której pole możemy

1obliczyć ze wzoru: 2 . Natomiast pole powierzchni ograniczonej krzywą

21

i asymptotą wynosi: 2 .2

H a

P a a

P a a

26

Strofoida

-6 -4 -2 0 2 4 6

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

x

y

a=2 a=-2

ImplicitPlot[{x(y^2+x^2)-a(y^2-x^2)==0,x(y^2+x^2)-a(y^2+x^2)==0},{x,-15,15},

PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

27

Trójsieczna Maclaurina Trójsieczna Maclaurina jest obrazem rozety trójlistnej za pomocą inwersji w okręgu.

Jest także Konchoidą Sluse'a o parametrach 2 .k a

Krzywa wyraża się wzorem:

2 2 ( 3 )( ), 0y x x a a x a

Krzywa jest symetryczna względem osi ; ma asymptotę oraz lokalne ekstremum

dla 3.

OX x a

x a

(0,0) to punkt rozgałęzienia (współczynnik kierunkowy to: 3 ) i jednocześnie

osobliwy tej krzywej.

O

2 Pole powierzchni jakie tworzy krzywa to: 3 3.P a

28

Trójsieczna Maclaurina

-0.5 0 0.5 1 1.5

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x

y

a=0.3

ImplicitPlot[{y^2==x^2(x+3a)(a-x),y^2==x^2(x-5a)(a-x)},{x,-17,22},AxesLabel->{"x","y"},Frame->True,PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}},FrameLabel->{"","y^2=x^2(x+0.9)(0.3-x)","","y^2=x^2(x-1.5)(0.3-x)"}]

29

Panstrofoida

1

2 2

Panstrofoidę definiujemy jako zbiór wszystkich punktów styczności półprostych

wychodzących z punktu ( ,0) i okręgów o środkach ( ,0), gdzie 0

przechodzących przez punkty: (0, ); (0

S a x x a

S b S

, ).b

2 22 ( )( )

, 0, 0x a x b

y a ba x

Panstrofoida posiada asymptotę pionową oraz punkty przegięcia dla .3 Oś symetrii to 0 .

ax a x

y

2 3 Krzywa staje się strofoidą dla 0 (0,0); (0,0).b S S

30

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-2

-1

0

1

2

x

y

a=1.5; b*b=0.2

-6 -4 -2 0

-4

-2

0

2

4

x

y

a=7; b*b=0.25

Panstrofoida

a=1,b=1.5

ImplicitPlot[y^2==((x+a)(x^2+b^2))/(a-x),{x,-12,12},PlotStyle->{Thickness[0.005],RGBColor[1,0.5,0.5]},

Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

31

Wersiera Agnesi

1 1

1 2

1

1

Niech będzie dany okrąg o promieniu oraz niech będą dane styczne i .2Z jedego punktu styczności (okręgu z styczną ) prowadzimy półprostą przecinającą

okrąg w punkcie ( , )S S

as k k

k

S x y

2 2

2 1

2 2 oraz drugą styczną ( ) w punkcie ( , ) . Wersiera

jest to zbiór wszystkich punktów ( , ).

S S

S S

k S x y

A x y

3

2 2, 0

ay a

a x

Wykres ma asymptotę o równaniu 0. Krzywa osiąga minimum w punkcie (0, ).y a

3 Punkty przegięcia mają współrzędne , , a nachylenie stycznych w tych43

3 3punktach wynosi: .

8

a a

2 Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą wynosi .P a

32

Wersiera Agnesi

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

11.5

22.53

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

77.5

8

8.59

9.5

10

x

y

a=10

a=2

ImplicitPlot[y==a^3/(a^2+x^2),{x,-7,7},PlotStyle->{Thickness[0.001],RGBColor[1,0.5,0.5]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

33

Liść Kartezjusza

3 3 3 , 0x y axy a Równanie:

przedstawia Liść Kartezjusza. Przez początek układu przechodzą dwie gałęzie krzywej,

jest to więc jej punkt rozgałęzienia, w którym obie osie układu są dla niego stycznymi.

3 Promień krzywizny dla obu gałęzi w punkcie (0,0) wynosi .2aO

Znajdujemy asymptotę którą jest prosta o równaniu 0. Krzywa posiada także

3a 3wierzchołek w punkcie , .2 2

x y a

a

3

13 Pole powierzchni ograniczone pętlą wynosi .2aP

3

23 Pole powierzchni ograniczone asymptotą i krzywą wynosi .2aP

34

Liść Kartezjusza

-15 -10 -5 0 5 10 15

-20

-15

-10

-5

0

5

10

x

y

a=8

ImplicitPlot[y^3+x^3==3a*x*y,{x,-15,15},PlotStyle->{Thickness[0.007],RGBColor[1,0.5,0.5]},Background->RGBColor[1,1,1],Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

35

Ofiuryda (ogon węża) Jest to kolejna krzywa III stopnia o równaniu:

2 2( ) ( ) 0, 0, 0x x y y ax by a b

Punkt (0,0) jest punktem rozgałęzienia o stycznych 0 i do krzywej.

Ofiuryda posiada także asymptotę: .

axO y y

bx b

Dla 0 Ofiuryda staje sie cisoidą Dioklesa.a

36

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-2

-1

0

1

2

3

x

y

Ofiuryda (ogon węża)

a=3, b=3

-2 0 2 4

-10

-5

0

5

x

y

a=13, b=3

ImplicitPlot[x(y^2+x^2)-y(a*x-b*y)==0,{x,-3,17},PlotStyle->{Thickness[0.001],RGBColor[1,0.5,0.5]},Background->RGBColor[1,1,1],Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

37

Trójsieczna Tschirnhausa

2 Trójsieczna Tschirnhausa to antypodera paraboli: 2 , a wyraża się wzorem:2

ay a x

3 2 22(2 ) 27 ( ), 0a x a x y a

Krzywa jest symetryczna względem osi odciętych, ale nie posiada asymptot.

1 Trójsieczna Tschirnhausa osiąga ekstrema w punktach: ,0 , który jest jednocześnie

2

wierzchołkiem krzywej, oraz w punktach , . Natomiast (4 ,0) jest punktem rozgałęzienia.

a

a a a

38

Trójsieczna Tschirnhausa

0 10 20 30

-10

-5

0

5

10

x

a=2

ImplicitPlot[2(2a+x)^3==27a(x^2+y^2),{x,-3,17},PlotStyle->{Thickness[0.001],RGBColor[1,0.5,0.5]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

39

Konchoida Nikomedesa

2 2 2 2 2( ) ( ) 0, 0, 0x a x y l x a l

1 2

Konchoida Nikomedesa to miejsce geometryczne takich punktów dla których

spełniony jest warunek: gdzie jest punktem przecięcia prostej

przechodzącej przez punkty i z asymp

A

OA OB l B

OS OS

totą . Krzywa ta dana jest

równaniem:

x a

1

Asymptotą jest . Wierzchołek leży w punkcie ( ,0),

Pole powierzchni ograniczonej gałęzią zewnętrzną i asymptotą wynosi .

x a a l

P

Gał ąź zewnęt r zna:

Asymptotą jest . Wierzchołek leży w punkcie ( ,0).

Początek układu współrzędnych jest punktem charakterystycznym dla krzywej. Jego rodzaj

zależy od:

gdy , jest to p

x a a l

a l

Gał ąź wewnęt r zna:

3 2

unkt odosobniony. Wykres ma wtedy dwa punkty przegięcia;

gdy , początek układu jest punktem rozgałęzienia. Krzywa ma jedno minimum

i jedno maksimum w punkcie ;

gdy , w po

a l

x a al

a l

czątku układu współrzędnych występuje ostrze krzywej.

40

-1 0 1 2 3 4 5

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

x

y

a=2, l=3 niebieskie

a=2, l=2 żółte

Konchoida Nikomedesa

ImplicitPlot[{(x-a)^2(x^2+y^2)-l^2x^2==0,(x-a)^2(x^2+y^2)-2^2x^2==0},{x,-13,13},AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,1,0]}},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

41

Ślimak Pascala

2 2 2 2 2 2( ) ( ), 0, 0x y ax l x y a l

Ślimakiem Pascala nazywamy konchoidę okręgu. Jest to szczególny przypadek

uogólnionej konchoidy, której poczatek układu leży na okręgu. Algebraicznie

wyraża się wzorem:

Okazuje się, że dla 2 ta krzywa jest skróconą konchoidą okręgu, dla 2 jest to

kardioidą (czyli zwyczajną konchoidą okręgu), natomiast dla 2 jest konchoidą okręgu

wydłużoną.

l a l a

l a

Środek konchoidy leży w punkcie ( ,0) i promieniu . Gdy krzywa ma cztery ekstrema

oznaczone punktami: , , , . Natomiast jeśli wówczas mamy doczynienia z dwoma

ekstremami, któr

a a a l

C D E F a l

2 28e opisije wzór: cos .4l al a

1 2

2 2 2

Ślimak Pascala posiada styczną podwójną gdy 2 . Punkty o i współrzędnych

4, mają wspólną współrzędną. Pole powierzchni ślimaka wynosi:

4 4

l a S S

l l a l

a a

22

2

aP l

42

0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

x

y

-2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

x

y

Ślimak Pascala

a=2, l=2a=2, l=4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

a=2, l=1

• Ślimak Pascala może służyć jako krzywa do zamiany ruchu obrotowego

na ruch harmoniczny pręta przyłożonego do wału.

Zast osowani e:

ImplicitPlot[(y^2+x^2-a*x)^2==l^2(y^2+x^2),{x,-13,13},AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]},AxesLabel->{"x","y"}]

43

Owale Bernoulliego

-2 -1 0 1 2

-4

-2

0

2

4

x

ya = 2

4 2 2 2 42(2 3 ) 0, 0y x a y a a

,x a a

2

Krzywa dana wzorem (poniżej) składa się z dwóch owali

o polu każdego z nich: P a

Punkty ekstremalne mają postać: a, 2 1 .a

ImplicitPlot[y^4+2(2x^2-3a^2)y^2+a^4==0,{x,-16,16},AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

44

Owal Cassiniego

2 2 2 2 2 2 4 4( ) 2 ( ) , 0, 0x y c x y a c a c

1 2

2

Krzywę te definiujemy jako zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny ,

dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych ognisk o współ-

rzędnych ( ,0) i ( ,0) jest stały i równy

F i F

c c a

. Algebraiczna postać krzywej to:

Owal Cassiniego przy dużej zmianie współczynników zmienia całkowicie kształt. Dla

otrzymamy Lemniskatę Bernoulliego. Dla otrzymamy dwa owale, które przecinają oś

odciętych w punktach:

a c

a c

2 2 2 2,0 , ,0a c c a

2 2 2 2

Przy założeniu 2 krzywa przyjmuje kształt ściętego owalu, a punkty przecięcia

z osia odciętych mają współrzędne: ,0 , natomiast z osią rzędnych: 0, .

Podobnie jest dla 2. E

c a c

a c a c

a c

4 4 24

kstrema które osiąga Owal Cassiniego to: , .2 2

c a a

c c

4 4 4 4 2 4 4 4 4 2

Punkty przegięcia krzywej dane są wzorem:

1 1/ 3 / 3 , / 3 / 3 .

2 2a c a c c a c a c c

45

Owal Cassiniego

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.3

x

y

a=1, c=1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

x

y

a=2.5, c=1.5

-2 -1 0 1 2-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

a=1.7, c=1.5

ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)==a^4-c^4,{x,-13,13},AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

46

Leminiskata Bernoulliego

2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0, 0x y a x y a

1 2

Krzywa ta jest szczególnym przypadkiem Owalu Cassiniego definiowana jako zbiór wszystkich

punktów dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych ognisk i o współczynnikach

( ,0) i

A F F

a

2

1 2 1 2

1( ,0) jest równy: . Krzywa wyraża się wzorem:

2a F A F A F F

Początek układu jest punktem rozgałęzienia i jednoczesnie punktem przegięcia .

Punkty przecięcia z osią odciętych to: 2,0 . Funkcja osiąga nastepujące ekstrema:

3,

2 2

a

a a

2

2

2 Promień krzywizny obliczymy ze wzoru , a pole powierzchni

3 2cos 2

ograniczonej każdą z pętli ma postać: .

a

a

P a

47

Leminiskata Bernoulliego

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

x

y

a=1

ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)==0,{x,-33,33},AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]},Frame->True,AxesLabel->{"x","y"}]

48

Dziękuję za uwagę

Literatura: Nowoczesne Kompendium Matematyki, I.N.

Bronsztejn K.A. Siemiendiajew G. Musiol H. Mühlig

Documents

Wojciech Bester