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MECANICA DE FLUIDOS I
INDICE
INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5
Los Fluidos. 5
Hidromecánica. 6
Densidad. 7
Densidad Relativa. 9
Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton. 12
Viscosidad Cinemática. 17
Módulo de Elasticidad Volumétrica 18
Presión 21
Medida de la presión 34
ESTATICA DE LOS FLUIDOS 42
Fuerza Sobre Superficie Plana. 49
Fuerza Sobre Superficie Curva. 54
El Principio de Arquímedes. 58
CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 63
El Campo de Velocidades. 63
El Campo de las Aceleraciones. 65
El Campo Rotacional. 71
Clasificación de los Flujos. 74
Descripción del Movimiento. 79
Línea de Corriente. 80
Campo Potencial, solenoidal y Armónico. 84
Movimiento Plano de los Fluidos. 87
Ecuaciones de Cauchy – Riemann. 97
Red de Corriente. 98
Gasto o Caudal-Ecuación de Continuidad. 109
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 2
DINÁMICA DE LOS FLUIDOS
Principio de la Cantidad de Movimiento. 119
Dinámica de los Fluidos Perfectos. 128
Ecuación de Bernoulli. 131
Dinámica de los Fluidos Reales. 138
Coeficiente de Coriolis. 140
Coeficiente de Boussinesq. 143
Ecuación de la Energía.- Bombas y Turbinas. 146
Problemas de Aplicación del Principio de la Energía con Bombas y Turbinas. 150
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 3
INTRODUCCIÓN
En la formación del Ingeniero, además de las matemáticas instrumento imprescindible
de trabajo y de la Física, base de la ingeniería han de intervenir las siguientes disciplinas
fundamentales: Mecánica de los cuerpos rígidos, mecánica de los cuerpos deformables, o
resistencia de materiales, termodinámica, transmisión de calor y mecánica de fluidos.
La explosión de la información, de hoy en día en el mundo de la ciencia y de técnica,
hace necesario que toda aquella información que se sume a las existentes, éstas deben reunir
ciertos requisitos de unidad y síntesis, que en el presente se ha tratado de cumplir; y van
principalmente orientados para mis alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil, de la
Facultad de Ingeniería Civil, de Sistemas y de Arquitectura, de la Universidad Nacional Pedro
Ruiz Gallo, de la ciudad de Lambayeque.
La presente separata contiene parte del curso de Mecánica de los Fluidos I, que dicto
en mi Universidad, producto de mi experiencia docente, en el dictado del mismo, y que incluye
aspectos como: propiedades, estática, cinemática y dinámica de de los fluidos.
Por ubicarnos estratégicamente en medio de grandes proyectos de naturaleza
hidráulica, tales como el Proyecto Olmos y el Terminal marítimo Puerto Eten, el Corredor
Bioceanico y Zona Franca Industrial, nos exige competencias, que este inicial trabajo, pretende
contribuir en destacar la importancia de la mecánica de los fluidos en la formación del ingeniero
civil.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 4
CONTENIDO
Los Fluidos
Definición de Fluidos: Son substancias (cualquier materia) que tiene la propiedad (capacidad)
de fluir; es decir de deslizarse a lo largo de un conducto ajustándose o adaptándose a su
forma.
También se le define como substancias que se deforman continuamente cuando son sometidas
a esfuerzos cortantes o tangenciales.
Clases de Fluidos:
Pueden ser:
a) Fluidos líquidos: Es un estado típico de la materia, se les puede considerar prácticamente
incomprensibles bajo las mismas condiciones de presión y temperatura; se caracterizan
por tener un volumen propio y su forma cambia dependiendo del conducto o recipiente que
lo contiene agregándose de que muestran una superficie libre.
b) Fluidos gaseosos: Es un estado típico de la materia, son compresibles.
Se caracterizan por no tener volumen ni forma propia, son expansibles y no posee una
superficie libre.
Diferencia entre líquidos y gases:
LÍQUIDO GAS
POR SU VOLÚMEN 1.- Volumen propio
1.- No poseen volumen propio; susceptible de variación, acomodándose al recipiente que los contiene
POR SU COMPRESIBILIDAD
2.-Son prácticamente incompresible. líquido perfecto (incompresible)
2.-Son compresibles Gas perfecto (infinitamente compresibles)
Definición Mecánica de Fluidos: Es la parte de la física que se ocupa de estudiar el equilibrio
y movimiento de los fluidos, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería.
La mecánica de los fluidos se subdivide en dos campos principales:
- La estática de los fluidos o hidrostática, que se ocupa de estudiar los fluidos en
reposo,
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 5
- La dinámica de los fluidos, que se ocupa de estudiar los fluidos en movimiento.
La Hidromecánica:
Es una rama importante de la mecánica los fluidos que se ocupa de estudiar el equilibrio y
movimiento de los fluidos incompresibles, especialmente los fluidos líquidos.
La Hidromecánica técnica o hidráulica cuando las leyes y principios de la Hidromecánica se
aplican en estructuras que le interesan directamente al ingeniero civil.
La Dinámica de los fluidos se subdivide en:
- Hidrodinámica: Estudia el movimiento de los fluidos incompresibles, se aplica al flujo de
líquidos o al flujo de gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es
esencialmente incompresible,
- La Aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases, cuando
los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario
incluir los efectos de la compresibilidad.
Estados de la materia: La materia se presenta en diferentes estados, que se reducen
típicamente a tres: sólido, líquido y gaseoso, sin perjuicio de que existan estados intermedios,
que según los casos, puedan asimilarse a uno u otro.
La diferencia entre sólido y fluido: las cualidades esenciales de la materia son: la masa, la
forma y la duración.
Magnitudes: son las cualidades de la materia, en cuanto a susceptibles de medición.
La diferencia entre sólido y fluido; que son estados contrapuesto; el patrón de ambas es el
grado de rigidez del enlace molecular.
Sólido típico, es capaz de resistir una acción deformante permanente, mientras que el fluido
es incapaz de ello.
Sólido perfecto (infinita rigidez del enlace molecular) y fluido perfecto (infinita libertad del
enlace molecular).
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E
1.- Sólido Sólido : Masa; volumen; forma geométrica2.- Líquido
Fluidos :Masa; volumen
3.- Gas Masa.
6
No existiendo en la naturaleza magnitudes infinitas es decir a falta de la infinita rigidez o de la
infinita libertad del enlace molecular, el sólido perfecto y el fluido perfecto son entes de razón,
puras abstracciones.
1.- Densidad (ρ): Es la masa contenido en la unidad de volumen.
Masa: Es la sustancias de la materia.
M: Es el símbolo de la magnitud de la masa.
: Es el símbolo del volumen de la masa M
Ecuación de dimensiones:
- Sistema absoluto : dimensiones
- Sistema gravitacional : dimensiones.
Unidades:
M.K.S :
- Sistema Absoluto
C.G.S :
M.K.S :
- Sistema Gravitacional
C.G.S :
- Sistema Internacional
Donde: kgm = Kilogramo masa.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 7
kgf = Kilogramo fuerza.
grm = gramo masa.
grf = gramo fuerza
2.- Peso Específico (): Es el peso de la unidad de volumen.
Ecuación de dimensiones:
- Sistema absoluto : dimensiones
- Sistema gravitacional : dimensiones
Unidades:
M.K.S :
- Sistema Absoluto
C.G.S :
M.K.S : o
- Sistema Gravitacional
C.G.S : o
- Sistema Internacional
Para relacionar las unidades de medida entre los sistemas absolutos y gravitacionales, se usa
la segunda ley de Newton del movimiento:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 8
SISTEMASISTEMA ABSOLUTO SISTEMA GRAVITACIONAL
M.K.S
C.G.S
La Unidad derivada para la fuerza es el newton (N) definido como la fuerza que aplicada sobre 1 kgm le produce una aceleración de 1 m/s2. kgm, m y s; son Unidades fundamentales.
La unidad derivada de masa es el “kgm” que adquiere la aceleración gravitacional cuando se le aplica una fuerza de 1 kgf. Kgf, m y s; son unidades fundamentales.
3.-Densidad Relativa.-(ρr): es otra forma de cuantificar la densidad de un liquido, refiriéndola a
la correspondencia al agua. Es decir es la relación entre la densidad del fluido y la densidad del
agua a una presión y temperatura especifica. (4°C y 1 atmósfera).
Carece de dimensiones.
4.-Peso Específico relativo (r), o Gravedad Específica.-: Análogamente a la densidad
relativa; el Peso específico relativo es la relación entre el peso específico del fluido y el peso
específico del agua a una presión y temperatura específica.
Carece de dimensiones
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 9
5.-Volumen Especifico : El volumen específico se define de distinta manera en el
sistema absoluto y en el sistema gravitacional.
5.1.- Sistema Absoluto y Sistema Internacional: El volumen específico es el volumen
ocupado por la unidad de masa (un kilogramo masa) de la sustancia.
El volumen específico es el reciproco de la densidad.
Ecuación de dimensiones:
Unidades:
Sistema absoluto (MKS) y Sistema Internacional.
Ejm. El del agua destilada a la presión atmosférica y 4°C es
aproximadamente igual a . Es interesante observar que la densidad del aire a la
presión atmosférica y 4°C es aproximadamente 1.3 y su .
Es decir, 1 kgm de aire a la presión atmosférica ocupa aproximadamente 800 veces mas
espacio que “1 kg.m” de agua.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 10
5.2.- Sistema Técnico o Gravitacional: El volumen específico es el volumen ocupado por la
unidad de peso (un kilogramo peso) de la sustancia.
El volumen específico es el recíproco del peso específico.
El volumen específico, como todas las magnitudes específicas, se han de referir en el sistema
absoluto (También en el S.I), que es un sistema másico, a la unidad de masa (kgm); mientras
que en el sistema gravitacional, las mismas magnitudes específicas se han de referir a la
unidad de peso (kgp o kgf).
Nótese sin embargo, que siendo “1 kgp” el peso de “1 kgm”, los valores numéricos de
coinciden en ambos sistemas de unidades, pero expresados en
unidades diferentes ( en el sistema absoluto y en el sistema gravitacional). Asimismo,
el valor numérico de “” en el sistema Técnico o Gravitacional es igual al valor numérico de “ρ”
en el sistema absoluto; pero el valor numérico de “ρ” en el sistema técnico o gravitacional no es
igual al valor numérico de “” en el sistema absoluto, como es fácil de comprobar.
6.-Viscosidad.- (µ):
1. La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la
interacción y cohesión molecular.
2. La viscosidad de un fluido determina la cantidad de resistencia opuestas a las fuerzas
cortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones (acción reciproca),
que se ejercen entre las moléculas del fluido.
3. También se define como una medida de su resistencia a la rapidez de deformación,
cuando se someten a un esfuerzo tangencial que explica su fluidez.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 11
4. Determina la resistencia opuesta al deslizamiento cuando se desplaza el fluido.
6.1.- Ley de la Viscosidad de Newton:
Hipótesis:
1.- Considérese dos superficies planas paralelas de grandes dimensiones, una fija y otra móvil,
con el espacio entre ellas llenos de fluidos, separadas a una pequeña distancia “yo”.
2.- Que la placa superior se mueve a una velocidad constante “V0”, al actuar sobre ella una
fuerza “F” también constante.
3.- El fluido en contacto con la placa móvil se adhiere a ella moviéndose a la misma
velocidad “Vo”, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecerá en
reposo.
4.- si la separación “yo” y la velocidad “Vo” no son muy grandes, la variación de las velocidades
vendrá dado por una línea recta
La experiencia ha demostrado que la fuerza “F” varía con el área de la placa “A”, con la
velocidad “V0” e inversamente proporcional con la separación “Y0”.
(1)
Por triángulos semejantes: (2)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 12
(I)
Donde:
µ = viscosidad absoluta o dinámica
Según Newton el esfuerzo tangencial () que se produce entre dos láminas separadas una
distancia “dy” que se desplazan con velocidades (v) y (v + dv), es
Ahora:
Analicemos el movimiento de un flujo sobre una frontera sólida fija, donde las partículas se
mueven en líneas rectas paralelas (fluido viscoso: laminar) como consecuencia anterior
supondremos que el flujo se producen en forma de capas o laminas de espesor diferencial,
cuyas velocidades varían con la distancia “Y” normal a dicha frontera.
Recordemos la definición (3) de la Viscosidad: “La Viscosidad es una medida de su
resistencia a la rapidez de deformación, cuando se someten a un esfuerzo tangencial
que explica su fluidez”.
Para las mismas hipótesis anteriores, es decir tratándose de un flujo bien ordenado en que las
partículas del fluido se mueven en líneas rectas y paralelas (flujo paralelo): flujo laminar, se
trata pues de un flujo de capas o láminas.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 13
En tales condiciones Newton en el año 1686, demostró:
(1) El esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación.
Además sabemos que: (2);
Donde: y θ en radianes y para ángulos pequeños: (3)
: ; Luego (4)
:
De acuerdo con esta ecuación el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un fluido puede
desaparecer en los siguientes casos:
a) Si se desprecia la acción de la viscosidad (fluido no viscoso)
b) Si la distribución de velocidades es uniforme (v= cte) y por tanto dv/dy=0; sucede cuando el
flujo es turbulento y el efecto viscoso es despreciable.
c) En un líquido en reposo, donde la velocidad en cada punto (y como consecuencia dv/dy
vale cero.
6.2.- Ecuación de Dimensiones:
Sistema Absoluto : dimensiones.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 14
Sistema Gravitacional : dimensiones.
6.3.- Unidades:
M.K.S:
Sistema Absoluto
C.G.S:
M.K.S:
Sistema Gravitacional
C.G.S:
Sistema Internacional.
Conclusiones Adicionales: - La viscosidad de un líquido ocurre por la cohesión de
moléculas. Esta cohesión y por tanto la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta.
La viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas, existe poca
cohesión entre ellas. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras durantes
sus movimientos rápidos. La propiedad de la viscosidad resulta de estos choques. Este
movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que la viscosidad aumenta con la
temperatura.
Nuevamente se nota que la presión tiene solo un efecto pequeño sobre la viscosidad y por lo
general ésta no se toma en cuenta.
Fórmulas Empíricas para Calcular la Viscosidad Absoluta del Agua y del Aire.
- La viscosidad para el agua.- Está dada por la fórmula de Poiseuille (1799-1869),
investigador Francés (médico).
Sistema Absoluto
Donde: y
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 15
Sistema Gravitacional
Donde:
y
Ejemplo: si t = 20 oC.
- La viscosidad para el aire.-
y
Estas fórmulas funcionan para cualquier valor de la temperatura.
7.- Viscosidad Cinemática.- ( )
Para los cálculos prácticos es más conveniente relacionar la viscosidad dinámica del fluido y su
densidad.
Ecuación de Dimensiones:
Dimensiones.
Se aprecia que la ventaja de usar esta nueva propiedad es evidente, ya que sus dimensiones
son [L2T-1], esto es independiente de los conceptos de masa y fuerza.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 16
Unidades:
Sistema M.K.S:
Sistema C.G.S:
Equivalente útil:
En la fig. se muestra los valores de “ ” y “µ” para el caso del agua y el aire en función de la
temperatura y la presión atmosférica al nivel del mar.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 17
8.- Módulo de Elasticidad Volumétrica (E): Expresa la compresibilidad de un fluido, es la
relación entre el incremento de presión (ΔP) y la disminución unitaria de volumen ( ).
Es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad), cuando se somete a
diversas presiones.
En general, cuando un volumen de un líquido de densidad “ ” y presión “p” se somete a
compresión por efecto de una fuerza “F”, como se muestra en la Fig., la masa total de fluido
permanecerá constante, es decir que:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 18
De donde resulta:
Al multiplicar ambas muestras x dp (diferencial de presión), se obtiene:
El signo negativo de la ecuación indica una disminución en el volumen al aumentar la presión
“p”
- El aire es 20000 veces más compresible que el agua.
- El agua es 100 veces más compresible que el acero.
Ecuación de dimensiones:
Sistema Absoluto: Dimensiones
Sistema Absoluto: Dimensiones
Unidades:
M.K.S:
Sistema Gravitacional
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 19
C.G.S:
M.K.S:
Sistema Gravitacional
C.G.S:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 20
9.-Presión:
La presión no es una fuerza sino el cociente de una fuerza sobre una superficie.
Donde:
= Es una fuerza normal a la superficie “A”
= Presión media sobre la superficie “A”
Propiedades de la Presión
Primera Propiedad: La presión en un punto de un fluido en reposo, es igual en todas
direcciones (principios de Pascal). Es decir, una diminuta placa (infinitesimal) sumergida en un
fluido experimentaría el mismo empuje de parte del fluido, sea cual fuere la orientación de la
placa.
Demostración:
a) Considérese un pequeño prisma triangular de líquido en reposo, bajo la acción del fluido
que lo rodea.
b) Los valores medios de la presión o presiones medias sobre las tres superficies son p1, p2
y p3.
En la dirección “Z”, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre ellas.
Sumando las fuerzas en la dirección “x” e “y” se obtiene:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 21
Equivalencias
Las ecuaciones anteriores se reducen a:
ó
Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, “dy” tiende a cero en el límite, y la
presión media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presión
en un punto. Por tanto al poner dy = 0 en la ecuación (2) se obtiene y de aquí:
.
Presión de un fluido: Se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa
normalmente a cualquier superficie plana, en el mismo plano horizontal.
Demostración: “si se aplica una presión a un fluido incompresible (un liquido), la presión se
transmite, sin disminución, a través de todo el fluido”.MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 22
Esto se demuestra utilizando la botella de Pascal; que básicamente, consiste en una botella de
forma esférica, a la cual se le ha aplicado varios agujeros. Tapados los agujeros con corchos,
se llena con un líquido.
Al aplicar una presión “ ” por el émbolo, esta se transmite con igual magnitud en todas
direcciones, haciendo saltar todos los corchos al mismo tiempo.
Aplicaciones del Principio de Pascal: Prensa Hidráulica- Es aquel dispositivo o máquina que
está constituida básicamente por dos cilindros de diferentes diámetros conectados entre sí, de
manera que ambas confinen un liquido.
El objetivo de esta máquina es obtener fuerzas grandes aplicando fuerzas pequeñas. Tener en
cuenta que esta máquina esta basado en el principio de Pascal. Esta máquina hidráulica
funciona como un dispositivo multiplicador de fuerzas.
Son ejemplos directos de este dispositivo: los sillones de los dentistas y los barberos, los frenos
hidráulicos, etc.
Demostración
Por el principio de Pascal,
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 23
Fórmula de Desplazamiento
Demostración:
Diferencia entre Fuerza y Presión.- Los sólidos transmiten sólo fuerza, los líquidos transmiten
la presión.
Segunda Propiedad.-
“La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido
en reposo es la misma”.
Demostración
a) Consideremos un cilindro de fluido horizontal de longitud “l” y de sección circular infinitesimal
“dA”
b) Lo valores medios de las presiones o presiones medias sobre las superficies (2), son “p1” y
“p2”.
De la Ecuación de equilibrio según el eje del cilindro se deduce.
;
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 24
Ni la gravedad, ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguno
en la dirección del eje del cilindro. Como la orientación del eje del cilindro es arbitraria queda
demostrada la segunda propiedad.
Tercera Propiedad.-
“En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una parte del
fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto.
Como esta fuerza normal es la presión, en el interior de un fluido en reposo no existe mas
fuerza que la debida a la presión”.
Demostración:
a) Consideremos un volumen cualquiera de fluido como en la figura.
b) Dividamos el volumen en dos partes (A) y (B) por una superficie “θ” cualesquiera.
Análisis: Si la fuerza que ejerce “B” sobre “A” tuviera la dirección 1, se descompondría en dos
fuerzas 2 y 3.
El fluido no puede soportar la fuerza tangencial 3 sin ponerse en movimiento; pero por hipótesis
el fluido está en reposo, luego la fuerza no puede tener la dirección 1 y tiene que tener la
dirección 2, o sea, la dirección de la normal.
Este mismo argumento es valedero para la fuerza que el fluido en reposo ejerce sobre el
contorno sólido en el cual está contenido.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 25
Cuarta Propiedad
“La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es
decir, es una compresión, jamás una tracción. Tomando como positivo el signo de compresión,
la presión absoluta no puede ser jamás negativa”.
Quinta Propiedad
“La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal”.
Demostración: Según la figura, supongamos que “θ” es la superficie libre de un líquido, no
horizontal. Cortado por un plano “” no horizontal y aislando la parte superior del líquido se ve
que siendo las fuerzas elementales de presión que el líquido inferior ejerce sobre el líquido
aislado normales al plano “”, su resultante también lo será y no podrá estar en equilibrio con la
fuerza de la gravedad, W.
Unidades (dimensiones): Sistema Absoluto:
Sistema Gravitacional:
- M.K.S:
ABSOLUTO
- C.G.S:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 26
- M.K.S:
GRAVITACIONAL
- C.G.S:
En la práctica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de columna de un
líquido determinado: por ejemplo en metros de columna de agua, en milímetros de columna
de mercurio, etc. Dimensionalmente la presión no es una longitud sino una fuerza partido por
una superficie. Por eso en el Sistema Internacional (SI) las alturas como unidades de
presión han sido abolidas aunque no hay dificultad en seguir utilizándose como alturas
equivalentes. Como excepción puede seguirse utilizando como unidad de presión el mm. de
columna de mercurio, que recibe el nombre de “Torr” (en atención a Torricelli), nombre que
debe sustituir al de mm. cm. :
A continuación se deduce una ecuación, que permite pasar fácilmente de una presión
expresada en columna equivalente de un fluido a la expresada en unidades de presión
de un sistema cualquiera:
Consideremos un recipiente cilíndrico de base horizontal “A” lleno de líquido de densidad “ρ”
hasta una altura “h”.
Por definición de presión:
Ejemplo: Hallar la presión correspondiente a una columna de glicerina de h = 300mm.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 27
; Luego
Luego (S:I)
Aplicando (α)
Con frecuencia se presenta el caso al pasar de una columna del líquido “x” a otra de un
líquido distinto “y”.
Aplicando la ecuación (α), se tiene:
Si el líquido “y” es agua, se tiene:
ó
Caso particular, para transformar a alturas equivalentes de columnas de agua.
Ejm:
Convertir 750 Torr en unidades diversas.
Solución:
; Luego:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 28
Presión Atmosférica (Pamb)
Según las normas DIN 1314 (Feb. 1977), que denomina a la presión atmosférica Pamb (del
latín “ambiens”)
“Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella existe. Esta
presión puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si el recipiente está
abierto, sobre la superficie libre del líquido reina la presión atmosférica “pamb”, debido al peso
de la columna de aire que gravita sobre el fluido”.
La presión atmosférica varía con la temperatura y la altitud.
Presión atmosférica estándar: Es la presión al nivel medio del mar y a la temperatura de
15ºC; equivale a la atmósfera real que se encuentra en muchas partes del mundo.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 29
En la técnica se utiliza mucho la atmósfera técnica.
El kilopascal es también usado como unidad de presión
Presión Atmosférica Local y Temporal:- Es la presión atmosférica reinante en un lugar y
tiempo determinado
Por lo tanto hay tres atmósferas:
1.- Atmósfera Estándar = 1.033227 kg/cm2=1.01396 bar
2.- Atmósfera Técnica = 1.019368 kg/cm2=1 bar
3.- Atmósfera Local y Temporal = ¿ ?
Presión Absoluta y Presión Relativa o Excedente.
La presión en cualquier sistema de unidades se puede expresar como presión absoluta (pabs) o
como presión relativa o excedente (pr). Esta denominación no afecta a la unidad, sino al cero
de la escala. Sucede lo mismo con la temperatura: Los grados centígrados expresan
temperaturas relativas, tomando como 0ºC la temperatura de fusión del hielo; mientras que las
temperaturas en ºKelvin expresan temperaturas absolutas, medidas a partir del cero absoluto.
En el sistema inglés de unidades, los grados Farenheit expresan temperaturas relativas
(Temperatura de fusión del hielo 32ºF); mientras que los grados Rankine expresan
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 30
temperaturas absolutas. El cero absoluto de temperaturas es el mismo en todos los sistemas
de unidades. Lo mismo sucede con el cero absoluto de presiones.
Escala Kelvin.- Se sabe que la temperatura no tiene límite superior; pero si un inferior.
Métodos modernos de la física de bajar la temperatura de un cuerpo; máximo a la vecindad de
-273ºC; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar más.
La temperatura de -273ºC se denomina cero absoluto y un gran físico del siglo XIX llamado
Kelvin, propuso una construcción de una escala termométrica cuyo cero fuese el cero absoluto
y cuyos intervalos de un grado fueran iguales a las de las escalas Celsius o Centígrados.
0K=273º + 0C
Las presiones absolutas se miden con relación al cero absoluto (vacío total o 100% de
vacío) y las presiones relativas con relación a la atmósfera.
La mayoría de los manómetros (dispositivos para medir presiones), están construidos de
manera que miden presiones relativas o excedentes con relación a la Atmósfera local. Para MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 31
hallar la presión absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leída en el manómetro la
presión atmosférica local medida exactamente con un barómetro. Muchas veces no se necesita
gran precisión y entonces se suma a la lectura del manómetro (presión relativa) la Atmósfera
Técnica, que es igual a 1 bar =1.019 Kg/cm2
De aquí resulta la Ecuación Fundamental:
Donde:
= Presión absoluta “Pa”, S.I
= Presión relativa, “Pa”, SI (medida con el manómetro)
= Presión atmosférica, presión ambiente o presión barométrica, “Pa”, SI
(medida con un barómetro).
O bien la Ecuación aproximada:
bar……….(β)
1 bar = 1 atmósfera técnica
Las ecuaciones (α) y (β) pueden estudiarse gráficamente en la figura siguiente.
Finalmente los vacíos se miden con mucha frecuencia en tanto por ciento de la presión
atmosférica local. Es decir el cero absoluto es 100% de vacío y la presión atmosférica local al
cero por ciento.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 32
Torricelli, Fue el primero en medir la presión atmosférica, su experimento consistió en:
a) Consiguió un tubo de vidrio abierto por uno de los extremos, al cual llenó completamente de
mercurio. Fig. A
b) Consiguió un recipiente también al cual introdujo el mismo líquido mercurio. Fig. B
c) Tapando el extremo libre del tubo volteó dicho tubo y lo sumergió en el recipiente antes
mencionado, para inmediatamente destaparlo.
d) El mercurio descendió por el tubo y se detuvo a una altura de 76 cm. Encima del nivel del
mercurio del recipiente. Fig. C..
Torricelli concluyó que la presión atmosférica al actuar sobre el recipiente equilibraba a la
columna de 76cm de mercurio, con la cual la presión atmosférica sería:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 33
Medida de la Presión
La medida, la transmisión y el registro de presiones, es muy frecuente, tanto en laboratorios,
como en la industria.
Los medidores de presión o manómetros necesariamente son variadísimos, yá que en los
laboratorios y la Industria se han de medir presiones desde un vacío absoluto del 100 por 100
hasta 10,000 bar y aún mayores, con grado de precisión muy diverso y en medios
(temperaturas elevadas, atmósferas explosivas, etc.) muy diversos.
Los aparatos que sirven para medir las presiones se denominan manómetros. Los manómetros
pueden clasificarse según los siguientes criterios:
1.-Clasificación: según la naturaleza de la presión medida:
a. -Instrumentos que miden la presión atmosférica: barómetros
b. -Instrumentos que miden la presión relativa: manómetros.
c. -Instrumentos que miden la presión absoluta: manómetros de presión absoluta.
d. -Instrumentos para medir diferencias de presiones: manómetros diferenciales.
e. -Instrumentos para medir presiones muy pequeñas: micromanómetros.
2.-Clasificación según el principio de funcionamiento.
A.-Mecánicos, el principio de funcionamiento de estos consiste en equilibrar la fuerza
originada por la presión que se quiere medir con otra fuerza, a saber, con el peso de una
columna de líquido, con un resorte en los manómetros clásicos o con la fuerza ejercida sobre
la otra cara de un émbolo en los manómetros de émbolo. Esta última fuerza se mide
mecánicamente.
B.-Eléctricos, en este tipo de manómetros la presión origina una deformación elástica, que
se mide eléctricamente.
El grado de exactitud de cada manómetro depende del tipo, de la calidad de construcción, de
su instalación y, por supuesto, de su adecuada lectura.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 34
A.-Barómetros
Son Instrumentos que sirven para medir la presión atmosférica. Los principales son: barómetro
de mercurio de cubeta y barómetro de mercurio en “U”.
Barómetro de Mercurio de Cubeta.-
En la figura representada, encima del mercurio reina el vacío, p = 0, se ha tenido en cuenta de
eliminar el aire al sumergir el tubo. Una escala graduada móvil no dibujada en la figura, cuyo
cero se hace coincidir antes de hacer la lectura con el nivel del mercurio en la cubeta, permite
leer “l”, que es la presión atmosferita pamb en Torr. o en mm c.m.
Del diagrama del cuerpo libre de la figura se cumple:
P2=Pamb=P1+الHg
Pero como P1=0, entonces:
Pamb= الHg h
Barómetro de Mercurio en “U”
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 35
En este barómetro la cubeta queda eliminada.
Por razonamiento similar y evaluando el diagrama del cuerpo libre de la columna de mercurio,
entre las secciones “0” y “1” y teniendo en consideración que Po=0, pues corresponde al vacío
total; y además de la segunda propiedad de la presión “la presión en todos los puntos situados
en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma”; es decir: P1 = P2
= Pamb
Luego: Pamb=الHg h
B.-Piezómetros
Son tubos transparentes de cristal o plástico, recto o con un codo, de diámetro que no debe ser
inferior a 5 mm para evitar los efectos de capilaridad debidos a la tensión superficial. Este tubo
se conecta al punto que se quiere medir la presión, practicando cuidadosamente en la pared
del recipiente o tubería un orificio, que se llama orificio piezométrico.
Los tubos piezométricos constituyen el procedimiento más económico y al mismo tiempo de
gran precisión para medir presiones relativamente pequeñas. Midiendo la altura de ascensión
del líquido en el tubo piezométrico nos dará la presión requerida.
PA = ال h
Donde ال es el peso específico del fluido en la tubería, que es mismo que asciende en el tubo
piezométrico o simplemente piezómetro.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 36
C.-Manómetros
Se utilizan para medir presiones relativas, tanto positivas como negativas. Particularmente se
utilizan cuando el fluido es poco viscoso, pues en este caso trata de ganar grandes alturas,
utilizándose el mercurio como líquido manométrico.
El líquido manométrico se escogerá apropiadamente de acuerdo a las presiones a medir.
Tipos:
Manómetro en “U”; con Sobrepresión o Presión Relativa Positiva
Es aquel que es conectado a depósitos o tuberías a presión, por lo tanto las presiones a
registrar son mayores que la atmosférica.
Objetivo, determinar la presión en “A”.
Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2”
P1 = P2
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura “h”, puesto que se está trabajando con
presiones relativas,
Luego,
Pamb =0
Entonces:
P1 = ال l h (1)
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio de altura “z”,
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 37
P1 = PA + ال z (2)
Igualando (1) y (2):
PA = ال l h - ال z
Hagamos,
;
Manómetro en “U”; con Depresión o Presión Relativa Negativa
Es aquel que es conectado a depósito o tubería en vacío, por lo tanto las presiones a
registrar son menores que la atmosférica.
Objetivo, determinar la presión en “A”.
Se sabe que la presión en “2” es igual a la presión en “3”
P2 = P3
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura “z+h”, puesto que se está trabajando con
presiones relativas,
Luego,
P3 =0 (1)
Entonces:
P2 = PA + ال z + ال l h (2)
Igualando (1) y (2):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 38
PA = -(ال lh- ال z)
Hagamos,
Entonces:
Regla Práctica:
Consiste en dividir el fluido en secciones, correspondientes a los cambios de densidad. En la
práctica se escribe inmediatamente una sola ecuación partiendo del punto inicial (A) y en
nuestro caso sumándole o restándole los términos correspondientes a las columnas de líquido
hasta llegar al punto final (B); es una suma y resta de presiones; al considerar positivas las
presiones de secciones que se encuentran por debajo de la sección inmediata de referencia y
negativas, las presiones que se encuentren por encima de la sección inmediata de referencia;
ejemplo:
Pero,
PD = 0
Entonces:
Resultado que es el mismo obtenido por el procedimiento analítico o general.
Manómetro Diferencial
Mide la diferencia de presiones entre dos puntos. La sensibilidad del manómetro es tanto
mayor cuanto la diferencia (الm - ( ال sea menor. Siendo الm el peso específico del líquido
manométrico.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 39
Objetivo, determinar la diferencia de presiones entre “A” y “B”.
Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2” y también a la Presión en “3”
P1 = P2 = P3 (1)
Del diagrama del cuerpo libre en equilibrio de la columna de altura “z”,
PA = P1 + ال z (2)
Reemplazando (1) en (2) ,
Resulta:
PA = P3 + ال z (3)
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de la columna de altura “h”,
P3 = P4 + ال l h (4)
Pero, P4 =P5 (5)
Sustituyendo (5) en (4), resulta:
P3 = P5 + ال l h (6)
Además, del diagrama del cuerpo libre de la columna de altura “h+z”:
PB = P5 + ال (h+z) (7)
Restando (3)-(7) y simplificando,
Resulta:
PA – PB = P3 – P5 -ال h (8)
(6) en (8):
PA – PB = h (ال l- ال)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 40
D.-Vacuómetros
Sirve para medir presiones de líquidos o gases empleando un líquido manométrico no miscible.
Aplicando los mismos principios que en los manómetros al vacuómetro de líquido de la figura,
se obtiene la presión absoluta de la sección “5”:
P5 =ال (Sh-z)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 41
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y
cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de
ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo
cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua.
Si todas las partículas de un elemento fluido, visto como un medio continuo, están en reposo o
moviéndose con la misma velocidad, se dice que el fluido es un medio estático; por lo que el
concepto de propiedades de un fluido estático pueden aplicarse a situaciones en las cuales se
están moviendo los elementos del fluido, con tal de que no haya movimiento relativo entre
elementos finitos. Como no hay movimiento relativo entre las placas adyacentes, tampoco
existirán fuerzas cortantes, por lo que la viscosidad en este caso deja de ser importante y las
únicas fuerzas que actúan sobre las superficies de los fluidos son las de presión. La estática se
refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partícula fluida o
un cuerpo.
Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o
en movimiento: Las fuerzas másicas y las fuerzas superficiales.
Las fuerzas másicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el material en
cuestión sin contacto directo, ejemplo la gravedad.
Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su
proximidad, por contacto directo; es por esto una acción de contorno o superficial, ejemplo las
fuerzas de presión, de fricción, etc.
En mecánica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o áreas, así:
ó
ó
Ecuación Fundamental de Variación de la Presión en un Fluido en Reposo Absoluto
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 42
Como el fluido se encuentra en reposo absoluto, estará sometido exclusivamente a su peso
propio, no existirán otro tipo de fuerzas de masa o exteriores; es decir, además de la fuerza
gravitacional, existirán las fuerzas superficiales debido a la presión, no existiendo fuerzas de
fricción o tangenciales por encontrarse en reposo absoluto.
Evaluemos la variación de la presión en un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx,
dy y dz, como se muestra en la figura, en donde se hallará las fuerzas que producen en el eje
“y”, la presión y la gravedad de las partículas fluidas.
Como la masa contenida en el elemento diferencial de volumen, está en equilibrio, y
conociendo por la segunda propiedad de la presión que todos los puntos contenidos en un
plano horizontal tienen la misma presión; por lo tanto las fuerzas debidas a las presiones en las
direcciones “z” y “x” se cancelan, por lo que resulta aplicable solo la ecuación de equilibrio en la
dirección “y”:
Simplificando y ordenando resulta:
ó (α)
En general, la ecuación de la estática de los fluidos (α), no se puede integrar a menos que se
especifique la naturaleza de “ρ”. En la determinación de la presión se trata entonces por
separado los gases y a los líquidos.
Pero como remarcamos al inicio del estudio del presente tema, como ingenieros civiles nos
interesa fundamentalmente el estudio de los líquidos, especialmente el agua, por lo que solo
abordaremos el caso de fluidos líquidos; por lo que siendo así, integraremos para los puntos P1
y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo:MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 43
Donde, de la figura superior, extrema derecha:
Luego:
(β)
Donde: Presión absoluta
Presión atmosférica
Presión manométrica o relativa
La expresión (β), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos
Líquidos o Incompresibles en reposo absoluto.
Si se trabaja con presiones relativas, la expresión (β), se transforma en:
(φ)
Cuyo diagrama de variación de la presión de la ecuación (φ) es:
Ecuación Fundamental de la Hidrostática
Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos
líquidos y gases.
Consideremos un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo hemos
separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura siguiente, en
donde se hallará las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presión y la aceleración de
las partículas fluidas:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 44
Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de
coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:
; ;
Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.
Sea F = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad de masa,
que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa “dm” del elemento diferencial
ortoédrico de volumen .
Es decir : (ξ)
Donde:
F= Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleración externa al
fluido; es una fuerza másica. X, Y y Z, son sus componentes. También se le denomina
aceleración externa .
Como el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, se verifica, en cada eje
coordenado:
Condición de equilibrio en el eje “y”:
Simplificando:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 45
De igual manera realizando el equilibrio en los ejes “x” y “z”, resulta:
Donde: , y (ε)
Las expresiones (ε), son conocidas como las Ecuaciones estáticas de Euler.
Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estáticas de Euler, tendremos:
El primer miembro de la ecuación corresponde al desarrollo de :
Además reemplazando (ξ), en la expresión anterior, resulta:
(ψ)
La expresión (ψ), es conocida como la Ecuación Fundamental Vectorial de la Hidrostática,
o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.
Proyectando la expresión (ψ), según la dirección “ ”:
Donde:
El desarrollo de la expresión anterior resulta:
El desarrollo del primer miembro de la ecuación corresponde a “dp”, luego esta puede ser
escrita, como:
(π)
La expresión (π), es conocida como la Ecuación Fundamental Analítica de la Hidrostática,
o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.
Variación de la Presión de un Fluido Líquido Sometido a su Peso Propio
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 46
Aplicando la ecuación fundamental analítica de la hidrostática (π)
Donde:
y
Reemplazando en la Ecuación (π), tendremos:
En el caso de los líquidos, ال = Cte; luego tendremos:
Integrando para los puntos P1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del
fluido en reposo:
Sabiendo que: y reemplazando y acomodando la expresión anterior:
ó (φ)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 47
La expresión (φ), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos
Líquidos o Incompresibles en Reposo Absoluto para el caso de presiones relativas.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 48
Fuerza Hidrostática sobre una Superficie Plana
Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana
sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.
Determinación de la Fuerza (F)
- La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:
; Pero
; Además:
Luego:
- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza
resultante F, debida a la presión será:
, sustituyendo (1)
Por definición de centro de gravedad: ………….. (3).
Donde: momento del área con respecto al eje X
Ordenada del centro de gravedad
Área total de la superficie plana sumergida
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 49
(3) en (2): …………. (4); pero
Es decir:
“La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión
relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.
b) Determinación del Centro de Presiones
- La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se
llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las
superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)
- Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema
de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de
los momentos de las componentes”
Cálculo de Yp
Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene:
; Pero . Donde:
Momento de la resultante
Momento de las componentes
De (1)
(1) y (4) en (5):
Donde: momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 50
En (6):
Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales,
paralelos a los ejes “x” e “y”.
Para ello aplicamos el teorema de Steiner
Respecto al eje :
(8) en (7):
Donde:
Es decir:
El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies
horizontales que coinciden
b.2: Cálculo de Xp
Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:
; Pero
(1) y (4) en (9):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 51
Donde:
Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.
en (10): .
Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales e , se tiene:
(12) en (11):
El valor puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro
lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que ,
en cuyo caso:
Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que
tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 52
Componentes de la Fuerza Hidrostática de una Superficie Plana Inclinada:
Siendo:
Luego:
“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie
inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha
superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”.
Fuerzas de Presión Sobre Superficies Curvas
La Resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva, está
formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la
superficie. La magnitud y posición de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede
determinarse fácilmente por los métodos usados para superficies planas. Sin embargo, se
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 53
pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para
luego combinarlas vectorialmente.
Considérense las fuerzas que obran sobre el prisma de líquido ilustrado en la fig.(A), limitado
por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El
peso de este volumen es una fuerza “w” vertical hacia abajo, y actuando de derecha a
izquierda, sobre o-b está la fuerza horizontal , en donde “Av” es el área de la
superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en
equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reacción de la superficie curva a-b. Se deduce en
consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una
superficie curva es igual, y está aplicada en el mismo punto, que la fuerza que actúa sobre la
superficie plana vertical formada al proyectar en dirección horizontal la superficie curva. Por
otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al
peso del líquido que se encuentra encima de ésta, y está aplicada en el centro de la gravedad
del volumen líquido. Un razonamiento semejante demostrará que cuando el líquido se
encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen
imaginario del líquido que se encontraría encima de la superficie y está aplicada hacia arriba
pasando por su centro de gravedad.
Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la
componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por
LNM y actúa hacia arriba pasando por “G” como se indica.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 54
Ejm 1.- La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de
longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un tirante.
El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio.
a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante
b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta
c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la
pared.
Solución:
a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante
La posición de “P” está a arriba de “C”
ó
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 55
“Pv” esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del circulo, el cual se encuentra a:
, a la izquierda de “oc”
Para calcular “T”, se halla tomado momentos respecto a la articulación “c” como sigue:
Reemplazando valores:
b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta.
La dirección, sentido y la posición de “P” se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su
intersección. Como todos los componentes elementales de “P” son normales a la superficie de
la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto “o”, se concluye que “P” pasará también
por “o”.
c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando el peso de la
pared.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 56
-)
-)
Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es:
R = 6839 Kg.
Principio de Arquímedes
“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje
vertical (fuerza vertical) ascendente igual al peso del volumen del líquido desalojado”. El
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 57
punto de aplicación de dicho empuje coincide con el Centroide del volumen sumergido (Igual al
del volumen desalojado) y se conoce con el nombre de “centro de flotación o de carena”.
Centro de flotación o de carena: es el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo y
es el punto donde está aplicado el empuje.
Demostración:
Sea el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un líquido, existe un estado de equilibrio
debido a que el líquido ejerce sobre el cuerpo una presión ascendente de igual magnitud que el
peso propio del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados anteriores.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 58
Parcialmente Sumergido
en el volumen de control.
La integral es igual al volumen ( ) de la parte del cuerpo en flotación que se encuentra debajo de la superficie libre del líquido; esto es:
Totalmente Sumergido
en el volumen de control
= Volumen del líquido desalojado (volumen del cuerpo sumergido)
= Peso específico del líquido.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 59
Relación entre el Empuje y el Peso del cuerpo sumergido
Sea W = El peso total del cuerpo
E = Empuje del fluido sobre el cuerpo
1.- Si E < W, el cuerpo tiende a ir hacia el fondo
2.- Si E = W, el equilibrio del cuerpo es estable (el cuerpo se mantiene sumergido en la
posición en que se le deje) “Flotación en Equilibrio”.
3.- Si E > W, el cuerpo tiende a ir hacia la superficie.
Condiciones de Equilibrio de los Cuerpos en Flotación
El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos:
1.- Estable.- Una fuerza actuante-por ejemplo el empuje del oleaje o del viento- origina una
inclinación lateral, pero cuando aquella cesa el cuerpo vuelve a su posición original. Este
tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo.
2.- Inestable.- La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo (zozobra), el cuál después
recupera una posición más o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo
centro de gravedad es alto.
3.- Indiferente.- La fuerza actuante origina un movimiento de rotación continua del cuerpo;
cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya duración es
la misma que la de dicha fuerza. Este tipo de equilibrio lo poseen cuerpos cuya distribución
de la masa es uniforme (por ejemplo la esfera con posición de flotación indiferente; el
cilindro cuya posición de flotación es indiferente con su eje longitudinal en la dirección
horizontal).
Las condiciones de equilibrio de un cuerpo flotante se explican con claridad utilizando como
ejemplo un barco (como el mostrado en la fig. a) cuya superficie de flotación muestra una forma
simétrica con un eje longitudinal y otro transversal. La rotación alrededor del primer eje se
conoce como Balanceo, y del segundo Cabeceo.
En La posición de equilibrio (Sin fuerzas ocasionales) sobre el barco actúa el peso “W” ejercido
en el centro de gravedad “G”, además del empuje ascendente del líquido “E” que actúa en el
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 60
centro de flotación o de carena, G1. Ambas fuerzas son iguales, colineales y de sentido
contrario.
Al producirse una fuerza ocasional el barco se inclina un ángulo θ y pasa a ocupar la posición
mostrada en la fig. (b); el punto “G1”, pasa ahora a la posición “G’1”.
Por efecto de las cuñas sombreadas- una que se sumerge y otra que emerge por encima de la
línea de flotación- se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2.
El empuje ascendente total “E”, en su nueva posición “G’1”, es la resultante de “E” en su
posición original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuñas.
El momento de la Fuerza Resultante con respecto a “G1” será igual a la suma algebraica de los
momentos de sus componentes, y considerando que “θ” es pequeño, por lo tanto “W” pasa por
“G1”.
Cálculo de .
Para un elemento de volumen ( ) de la cuña
, donde .
(2) (1):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 61
;
Luego:
= Momento de Inercia del área de la sección del barco a nivel de la superficie de flotación
con respecto al eje longitudinal “Z” del mismo que pasa por “O”.
El par de fuerzas E y W producen un momento M1 = W hsenө, que tratará de volver al barco a
su posición original o de voltearlo mas, hasta hacerlo zozobrar.
Para predecir el comportamiento del barco es importante conocer la posición del punto “M” de
intersección de “E” en “G’1”, con el eje “y” del barco inclinado; punto que se denomina
metacentro y la altura metacéntrica se indica con “h”. A medida que “h” aumenta es mas
estable la flotación del cuerpo, es decir, más rápidamente tratará de recobrar su posición
original.
El equilibrio es estable si el punto “M” queda arriba del punto “G” (h>0) y es inestable si “M”
queda debajo de “G”; por tanto, la estabilidad del barco exige que sea h>0, esto es:
, siendo “θ” pequeño, senθ=tangθ
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 62
CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
Definición.- Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus partículas, sin
considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al conocimiento de las magnitudes
cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación.
Campo de flujo.- Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento, donde sus
magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presión, densidad,
temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un punto a
otro y en un mismo punto de un instante a otro (función de la posición y tiempo).
Características del campo de flujo
Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la
cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y temperatura.
Campo Vectorial: En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita definir una
dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde esto es tres valores
escalares definen la cantidad física; ejemplos: la velocidad, la aceleración y la rotación.
Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más componentes
escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento de inercia.
1.- Campo vectorial de velocidades.-
El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea usualmente curva
que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas:
a) Por el conocimiento del vector de posición , de la partícula, como una función vectorial
del tiempo (t).
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 63
Si es función del tiempo entonces sus componentes son también funciones del tiempo; es
decir:
; ; .
b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo.
En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido,
siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una función escalar del tiempo;
esto es:
Definición de Velocidad.- El Vector velocidad de una partícula fluida se define como la
rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posición.
.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 64
Donde representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en
el tiempo dt.
La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula
según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de
la posición de la partícula y del tiempo.
Haciendo: ; y
Luego, Expresión vectorial de la velocidad.
Donde:
Módulo de la Velocidad:
2.- Campo vectorial de aceleraciones.- Es un campo vectorial que se deriva del campo de
velocidades.
Definición de aceleración.- El vector aceleración de una partícula en un punto se define como
la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 65
En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria
de la partícula; siendo la aceleración también una función de la posición y tiempo.
Haciendo: ; y
Resulta:
Expresión vectorial de la aceleración
A veces es conveniente expresar la aceleración en función de sus componentes normal y
tangencial.
Módulo de aceleración:
La aceleración deriva del campo de velocidades, donde:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 66
Tomemos un diferencial total de velocidad :
Ordenando:
…………..(1)
Sabemos que:
Y además:
Luego: ……………(2)
(2)→(1): …………….(3)
Donde la Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en función del
producto escalar , denominado divergencia de .
= aceleración local (depende del tiempo)
= aceleración convectiva (depende de la posición)
Comentario: Si el flujo es permanente: y
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 67
Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva.
Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en término del
producto vectorial , conocido como rotacional de .
Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación.
Hagamos:
(II)=
(III) =
Trabajando con (I):
Sumando y restando ; a la expresión anterior, resulta:
iVzx
VzVyx
VyVzx
VzVyx
VyVxz
VzVxy
VyVxx
Vx )(
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 68
………”(α)”.
Del primer término de (α); observamos:
x
VxVx
x
VxVx2
2
1
x
Vx
2
1 2
Tomando los extremos: ……………..(β)
Análogamente: ……………..(β)
x
VzVz
x
Vz
2
2
1 …………… (β)
(β) → (α)
Factor común:
…………….(ө)
Además conocemos que:
VzVyVxzyx
kji
V
, cuyo desarrollo es:
Ahora, el desarrollo de: :
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 69
VzVyVx
Vxy
Vyx
Vxz
Vzx
Vyz
Vzy
kji
VV )()()()(
Trabajando ahora sólo con la componente en la dirección de
:(θ)→(ال)
Análogamente:
Aceleración convectiva( ):
;
Por lo tanto, la aceleración total de la partícula será:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 70
3.- El campo rotacional.
Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa la rotación local
de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial de por .
Rotacional de
VzVyVxzyx
kji
Vrot
Cuyo desarrollo es:
Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto como de tiempo y
es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo, por esta razón se le
conoce también como campo vorticoso.
Significado físico del vector rotacional:
Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede experimentar una
rotación, intentemos una representación física del vector rotacional.
Generalidades para la interpretación física:
a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la traslación de la
partícula)
b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro alrededor
de un eje instantáneo, que pasa por el centro de gravedad de la partícula “P0” (cuya
dirección lo da el vector unitario ( ), normal al plano formado por dos líneas ortogonales
contenidas en la partícula.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 71
c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “Po”, ha tenido una
traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo , en un instante dt;
adquiriendo una velocidad tangencial .
Descripción de la rotación pura.-
1.- Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las líneas
ortogonales, esta la tomamos como posición inicial de la rotación pura, (prescindiendo de la
traslación de la partícula).
2.- En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P ’” habiéndose desplazado un ,
con un radio de giro .
3.- Al producirse la rotación la velocidad angular vale:
Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad angular será:
La velocidad tangencial puede definirse como:
Donde:
Calculamos el rotacional de , es decir:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 72
Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento de rotación
alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:
De la expresión (β)
La aceleración en un punto está formada por las componentes:
= Corresponde al movimiento de traslación pura.
= Correspondiente al movimiento de rotación, llamada
aceleración de “Coriolis”.
y
= Aceleración local.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 73
Clasificación de los Flujos
Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente o no
permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico, crítico o subcrítico;
tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional, incompresible o
compresible, etc. aunque no los únicos, si son los flujos más importantes que clasifica la
ingeniería.
Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por canal.
Flujo permanente y no permanente
Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable. El flujo es permanente si
las características hidráulicas del flujo en una sección (velocidad, presión, densidad, etc.) no
cambian con respecto al tiempo; o bien, si las variaciones en ella son muy pequeñas con
respecto a sus valores medios y éstos no varían con el tiempo.
Matemáticamente se puede representar:
Flujo permanente.
Si las características hidráulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo no
permanente, matemáticamente se representa:
; etc. Flujo no permanente.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 74
Flujo Uniforme y no uniforme
Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable. El flujo es uniforme si las
variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo (velocidad, presión, densidad,
etc.) no cambian con respecto al espacio.
Matemáticamente se puede representar:
Si las características hidráulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo no
uniforme o variable. Matemáticamente se representa.
Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubería de diámetro
constante y la otra con tubería de diámetro decreciente.
Flujo Unidimensinal, Bidimensional y Tridimensional.
Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus características
hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo
existen en las tres direcciones.
El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos
paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho plano, o bien ellas
permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene
ambos) en dos direcciones exclusivamente.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 75
El flujo es unidimensional, Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de
una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la
conducción.
El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al efecto de la
viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero en otro punto es
distinto de cero; sin embargo bajo la consideración de valores medios de las características en
cada sección se puede considerar unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en
hidráulica, por las simplificaciones que trae consigo.
En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo prevalece una
dirección es considerada unidimensional, como ocurre con las tuberías y los canales. En el
caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda
dimensión para describir al flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.
Laminar y Turbulento
Clasificación de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y de las fuerzas de
inercia.
Flujo Laminar.- Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias ordenado, rectilíneas
y paralelas.
Flujo turbulento: Flujo característico de velocidades ordinarias (altas), de trayectoria erráticas
o desordenadas. Existen pequeñas componentes de velocidad en direcciones transversales a
la del movimiento general, las cuales no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de
acuerdo con una ley aleatoria, aún cuando el flujo en general sea permanente.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 76
Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado intenso
de las partículas que consume parte de la energía del movimiento por efecto de la fricción
interna y que también en cierto modo, es resultado de los efectos viscosos del fluido.
Existe un parámetro que es función , y cuyo valor permite diferenciar el flujo, es decir, si
es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds ( ).
Flujo Rotacional e Irrotacional.-
Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot adquiere valores distintos de cero para
cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector
rotacional de es igual a cero para cualquier punto e instante.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 77
No existe mezcla macroscópica
o intercambio transversal entre
partículas.
Existe mezclado intenso de las
partículas.
Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de
un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen
la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre
con bastante frecuencia en los problemas de la práctica.
Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo
movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo
es Irrotacional.
Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como irrotacionales. En otros
casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribución de velocidades puede ser de forma
tal que las líneas medianas o las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no
modifican su orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se
representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector rot sería
normal al plano del papel.
El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.
Flujo Lineal Irrotacional Flujo Lineal Rotacional
Flujo Curvilíneo Irrotacional Flujo Curvilíneo Rotacional(Esquema Ideal) (Esquema Real)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 78
Descripción del Movimiento
El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de conocer:
El cambio de posición de una partícula
La variación de la velocidad en un punto.
Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido:
Método de Euler: También conocido como local, consiste en elegir un punto y determinar las
variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin considerar el camino que después
siga cada partícula individual (trayectoria). Elegida la posición de una partícula en el espacio,
sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:
Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz
Las variables independientes son: x, y, z, t.
Método de Lagrange: Consiste en elegir una partícula y determinar las variables cinemática
de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su
posición inicial (xo, yo, zo), en el instante t = to , en otro instante cualquiera “t”, la misma
partícula se encuentra en la posición . Entonces la posición de la partícula se tiene
conocida en cualquier instante si el vector de posición se determina como función del tiempo
“t” y la posición inicial ; o sea:
Las variables dependientes son: x, y, z.
Las variables independientes son: a, b, c, t.
De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más simple. Es el
que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 79
Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente
Se supone que en un instante “t0” se conoce el campo de velocidad de un flujo.
Línea de Corriente.- se define línea de corriente toda línea trazada idealmente en el seno
líquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector
velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un
punto común, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores
distintos.
Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la configuración de las líneas de corriente es
otra. Si el flujo es permanente la configuración de dos líneas de corriente es la misma en
cualquier momento.
Línea de corriente para un instante “t”
Ecuaciones de la línea de corriente
En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está infinitamente
próximo a “2”, de manera que se puede considerar que .
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 80
Como son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:
Donde = Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2”
Como son paralelos
Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):
La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente para un instante “t”.
Donde, recordamos que:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 81
Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partícula
con el transcurrir del tiempo.
Luego (2)→(1)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 82
Comparando (3), (4), (5) y acomodando:
La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.
“Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas distintas, pero si el
flujo es permanente significa lo mismo”.
La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el tiempo.
- Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma trayectoria.
- En cada punto a0, a1, … an el vector velocidad permanece igual
Todas las partículas que pasen por
Todas las partículas que pasen por
Todas las partículas que pasen por
Tubo de flujo: Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las líneas de corriente
que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas líneas de corriente definen una
superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo de corriente y que no puede ser atravesada por
el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena líquida o vena fluida.
Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete hidráulico.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 83
Campo potencial, solenoidal y Armónico
Campo Potencial: Es un campo vectorial en el que existe una función escalar
(denominada función potencial o potencia), tal que:
Donde:
= campo potencial vectorial
= función escalar o función potencial de
Calculemos el donde
Lo que demuestra que si el campo de es potencial, es Irrotacional; lo cual justifica que se
pueda decir indistintamente campo potencial o campo Irrotacional.
Para el caso particular del campo vectorial de velocidades,
Es un campo potencial de velocidades
= función potencial de velocidades
Verificándose también:
Lo que justifica que el campo potencial de velocidades es un campo Irrotacional.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 84
Por definición de son ortogonales
Campo Solenoidal: Es un campo vectorial, en el que existe una función vectorial
(denominada función solenoidal), tal que:
Donde:
= Campo solenoidal
= función solenoidal vectorial de
Calculemos la divergencia de : , donde:
Sumando términos obtenemos:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 85
“Lo que demuestra que si el campo de es solenoidal, se verificará que su divergencia es
nula”.
Además se cumple que es normal a ; para que el producto escalar sea cero
Para el caso particular del campo de velocidades:
= Es un campo solenoidal de velocidades
= Es una función solenoidal vectorial de
Verificándose también:
“Condición de flujo incompresible (líquidos)”.
Campo Armónico o Laplaceano: Es un campo vectorial, que sucede para flujos
incompresibles y que además es Irrotacional
Por ser incompresible; el campo cumple:
(1) Condición de campo solenoidal
Por ser Irrotacional; el campo cumple:
y (2) condición de campo potencial
(2) → (1)
Ecuación de Laplace o Laplaceano
“En resumen un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace, donde “ ” recibe
el nombre de función armónica”.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 86
Movimiento Plano de fluidos
La mayoría de problemas sobre conducción de agua en tuberías y canales se resuelven con la
hipótesis de flujo unidimensional. Pero también hay un grupo importante de problemas en los
que se hace imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que
la descripción del flujo en planos paralelos es idéntica a la estudiada.
Se hace el análisis del flujo en un plano, es decir movimiento plano es aquel que es idéntico en
todos los planos perpendiculares a una dirección, llamado dirección de identidad.
Parecería que solamente el líquido ideal (sin viscosidad y por ello Irrotacional) puede ser objeto
de estudio en lo que se refiere a movimiento plano, pero no es así. Como regla general, se
puede producir un flujo casi irrotacional en líquidos reales si el efecto de la viscosidad en el
movimiento es de poca importancia.
Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como es el
subsuelo o una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con predominio de la
viscosidad (flujo laminar) pero resulta casi irrotacional. Esto hace que el estudio del flujo plano
alcance también a este importante caso del flujo.
La Función Corriente
Introducción: Supongamos un líquido incomprensible en movimiento bidimensional,
permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje “z” (dirección identidad), de
modo que su estudio puede hacerse en el plano x y; se puede considerar luego una familia de
L.C. (líneas de corriente), las que no cambiarán con el tiempo por tratarse de un movimiento
permanente.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 87
Familia de líneas de corriente
De la ecuación analítica de las líneas de corriente (flujo bidimensional):
Definición: La función corriente es una función escalar que define a una familia de líneas de
corriente. Esta función tiene un valor constante diferente para cada línea de corriente.
Las líneas de corriente sirven para la representación gráfica de los flujos llamados
bidimensionales, que pueden representarse fácilmente en un plano porque la velocidad no
tiene componente normal al plano del dibujo, y la configuración de corriente en todos los planos
paralelos al del dibujo es idéntica.
Por cada punto de la corriente pasa una línea de corriente. Por tanto si se trazaran todas las
líneas de corriente no se distinguiría ninguna y se trazaran demasiadas el dibujo sería confuso.
Por eso se trazan solo unas cuantas; pero de manera que entre cada dos líneas consecutivas
circula el mismo caudal, .
En el punto “P” sobre una línea de corriente, los tres vectores indicados en la figura son
normales entre sí, de modo que se cumple:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 88
Pero:
Comparando (a) y (b)
”Componentes de en coordenadas cartesianas, relacionada con la Función Corriente.”
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 89
En coordenadas polares, en forma análoga:
“Componentes de en coordenadas polares, relacionada con la Función Corriente.”
De la ecuación analítica de las líneas de corriente para un flujo plano:
Desarrollando:
Sustituyendo: en la expresión anterior, resulta:
,
Integrando, resulta:
“Lo que confirma que la función corriente “ψ” tiene un valor constante diferente para cada línea
de corriente”.
Además sabemos que son ortogonales es decir:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 90
Siendo:
Donde se conoce que:
Luego:
Además si son ortogonales
Conclusiones:
1) Conocido uno de las funciones vectoriales, se puede encontrar la otra función vectorial
ortogonal.
2) El módulo de , es igual al módulo del gradiente de
(a)
3) El módulo del gradiente de , es igual a la derivada de , según la dirección normal a
las líneas de corriente
(b) ó
Si es un vector unitario en la dirección normal a las líneas de corriente, por definición de
derivada direccional se tiene que:
Pero toda vez que son paralelos
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 91
4) El gasto que circula entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de los valores
que adquiere la función de corriente en esas líneas:
Demostración:
Consideremos dos líneas de corriente separadas una
distancia “n” normal a las dos líneas de corriente según Fig.
Determinamos el gasto “q” que atraviesa la sección identidad de
dimensiones es decir el gasto que pasa entre dos líneas de corriente
separados una distancia “n”
Entiéndase como gasto o caudal el volumen que atraviesa a la sección identidad, normal a
ella, en la unidad a tiempo, matemáticamente expresado como:
En un intervalo “dt” el volumen de fluido que atraviesa el elemento de
superficie “dA” (sección identidad) es:
Pero:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 92
ó
El gasto es igual a la velocidad media por el área (A).
Para el caso en estudio: …….. ( )
Además si el flujo es incompresible y permanente V = Cte.
ó
Además sabemos que:
Luego ; apliquemos diferenciales normales e integrando:
……..( )
De ( ) y ( ), resulta:
2 1 q
La Función Potencial
Introducción: El estudio del flujo plano es posible solo si se cumple que el campo de
velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una función escalar
, llamada función potencia tal que:
Donde recordamos que si el campo de velocidades es potencial, es irrotacional, lo cual justifica
que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.
Concepto: Es una función escalar que define a una familia de líneas equipotenciales. Esta
función tiene un valor constante diferente para cada línea equipotencial.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 93
Familia de líneas equipotenciales
Por definición de campo potencial de velocidades, se sabe:
Donde: = Campo potencial de velocidades
= Función potencial de velocidades
Desarrollando (1) :
Pero
Comparando (a) y (b):
En coordenadas polares, en forma análoga:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 94
Componente de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con la Función Potencial.
“Componentes de en coordenadas polares, relacionada con la Función Potencial.”
Ecuación Analítica de las líneas equipotenciales
Es otro vector ≠ del vector , pero que define la dirección de la línea equipotencial ,
tangente a
De la ecuación analítica de las líneas de corriente tenemos:
Como son líneas ortogonales, la ecuación analítica de las líneas equipotenciales se
obtiene sustituyendo en (1) como se aprecia en la figura anterior, luego;
La expresión (2), constituye la ecuación analítica de las líneas equipotenciales.
Desarrollando (2):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 95
Sustituyendo:
Integrando:
“Lo cual confirma que la función potencial tiene un valor constante diferente para cada línea
equipotencial”.
Conclusiones
El módulo de es igual al módulo del gradiente de , puesto que ,
entonces:
El módulo del gradiente de es la derivada de según la normal a las líneas
equipotenciales .
Pero de (1):
Luego:
= separación entre dos líneas equipotenciales normales a .
“La velocidad es inversamente proporcional a la separación de los equipotenciales”.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 96
Otra ventaja es una interpretación física del flujo gracias a las superficies equipotenciales. Se
llaman así a las superficies en los cuales se cumple ; y juegan el mismo papel
que las superficies de nivel para la energía y potencial del peso de un cuerpo.
Ecuaciones de Cauchy – Riemann
Del desarrollo anterior se desprende que las funciones no son independientes
sino que están relacionadas entre sí a través de las siguientes expresiones, conocidas como
ecuaciones de Cauchy – Riemann
En coordenadas cartesianas.
Comparando (1) y (2)
“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas cartesianas”
En coordenadas Polares
Comparando (3) y (4):
1
1
rVr r r
Vr
“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas polares”.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 97
Red de Corriente
Concepto: Es una representación diagramático de las líneas de corriente y equipotenciales del
escurrimiento, por lo tanto es una malla formada por la función de corriente y la
función potencial . Esta malla resulta ser cuadrada.
Sabemos que:
Igualando ambas expresiones:
Tomemos derivadas ordinarias:
Si tomamos: resulta que , lo que significa que las líneas corrientes y las
equipotenciales, además de ser ortogonales formarían una malla de cuadrados.
En conclusión, el estudio del flujo plano en un cierto contorno, se refiere a la obtención de la
red de corriente para ese contorno y a partir de la red de corriente, que es única en cada
contorno, deducir la distribución de velocidades o la distribución de presiones en las zonas de
interés.
Por lo expuesto, la red de corriente es un espectro de líneas ortogonales. En una red de flujo
todas las áreas limitadas por un par de líneas de corriente y un par de líneas equipotenciales,
son homólogas, por ejemplo, tienen la misma relación de anchura a longitud. Lo anterior
implica que la red de flujo es un conjunto de rectángulos; en la práctica, y por comodidad y
conveniencia, se trazan líneas de corriente y equipotenciales formando redes de cuadrados,
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 98
debiéndose interpretar como tales, las figuras que quedan determinadas al cortarse las líneas,
de manera que las longitudes medias sean iguales.
En el diseño de una presa de tierra es indispensable contar con el trazo de la red de corriente.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 99
EJEMPLOS APLICATIVOS.
1. Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están gobernadas por los siguientes
campos:
Campo escalar de densidades y el campo vectorial de velocidades
Demostrar que cumple la ecuación de continuidad.
Solución
Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:
Ecuación Diferencial de continuidad
Donde: ; y
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 100
Verificándose la Ecuación de Continuidad.
2. Se tiene el siguiente campo de velocidades; Hallar el
componente W, sabiendo que para Z = 0; se tiene W = 0 y que la divergencia de dicho
campo es 40 xyz.
Solución
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 101
3. Se tiene el siguiente potencial de velocidad:
Determinar si es una función armónica y encontrar la expresión de los siguientes campos
vectoriales.
a) Velocidades
b) Aceleraciones locales
c) Aceleraciones convectivas
d) Aceleraciones totales.
Solución
Determinación si la función es armónica
Un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace y donde recibe el
nombre de función Armónica,
L.q.q.d
Es una función armónica
Determinar el Campo de Velocidades.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 102
Condición de Campo potencial, Irrotacional (pues si la función es armónica, entonces
el campo es potencial o Irrotacional)
La aceleración en un punto está formada por tres componentes:
: Aceleración local – función del tiempo.
: Aceleración correspondiente al movimiento de traslación pura.
: Aceleración correspondiente al movimiento de rotación, llamado aceleración
de Coriolis.
Determinar campo de aceleración local
Campo de aceleraciones locales
Determinar el campo de aceleraciones convectivas
(Campo Armónico e Irrotacional)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 103
Determinar el campo de aceleraciones totales:
4. Que valores deben tener a, b y c, para que el campo vectorial sea un campo
potencial; si se sabe:
Solución
Condición del campo potencial
Donde:
Desarrollando el determinante:
Donde:
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Resolviendo por métodos numéricos las ecuaciones (I), (II) y (III), resulta :
5. Siendo la velocidad una función de los parámetros “x” e “y” del plano y siendo V la
componente de la velocidad en la dirección “y”: Vy = 4x2 + 3xy - 2y.2
Encontrar la componente de la velocidad en el otro eje, para que cumpla con el movimiento
solenoidal y la ecuación de continuidad.
Solución
Datos
Condiciones:
a) Movimiento solenoidal
b) Ecuación de Continuidad
Desarrollo de (II):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 105
6. Que relación deben tener a, b, c, para que el campo velocidad sea un campo
solenoidal.
Solución
Condición de campo solenoidal
Donde
Donde:
El campo solenoidal tiene la característica de un movimiento esférico.
7. Dado un campo de flujo, cuyo potencial ( ) esta dado por = axy, para un flujo plano.
a) verificar la ecuación de continuidad.
b) Hallar la función corriente para esta función .
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 106
Solución:
a) Ecuación de continuidad: (1)
Donde: (Condición del campo potencial de ) (2)
= Función potencial escalar de velocidad.
(2) (1): (3).
De (3): (Flujo Plano)
; Donde:
(L.q.q.d)
b) Hallar la función corriente para esta función ( )
Función corriente en el plano (xy).
Función corriente en el plano “y”.
Función corriente en el plano “x”.
De las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenada rectangulares:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 107
Función corriente para el eje “y” (la constante es con respecto al eje “x”) y C1 = C1(x)
Función corriente para el eje “x” (la constante es con respecto al eje “y”) y
Función genérica de corriente.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 108
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, y que sirven para
resolver numerosos problemas que se presentan en la práctica.
I.-Definiciones Previas
1.- Sistema
El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su tamaño
pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa del material que
comprende el sistema no se altere con el tiempo. Por ejemplo, un sistema puede constar de
cierta masa de agua encerrada en un recipiente flexible. El agua puede pasar al estado de
vapor por medio del calentamiento, con un aumento considerable del volumen en cuestión.
Mientras no se produzca una transferencia de masa a través de las paredes del recipiente, no
se viola el concepto de sistema.
El estado de un sistema es una condición particular de éste, que puede especificarse por
medición y observación. Algunas propiedades del sistema están asociadas con un estado dado
y, entre ellas, se cuentan el volumen, la densidad, la presión y la temperatura. En última
instancia, se puede decir que el estado del sistema está determinado por la observación y
medición de sus propiedades. Estas pueden dividirse en dos grupos: las que por naturaleza
son independientes de la cantidad de materia, denominadas propiedades intensivas y las que,
como el volumen y la masa, dependen de la cantidad de materia en consideración y que se
conocen como propiedades extensivas.
2.-Volumen de Control
El primer punto de análisis que debe presentarse es una definición de los tipos de
volumen, en los que se determinarán las características del flujo. Nos referimos a los dos
siguientes:
2.1.-Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio,
relacionado a un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento,
respecto a un sistema absoluto.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 109
2.2.-Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es
deformable, cuando parte de su superficie, o toda ella, está en movimiento en un
instante dado.
Si la superficie se mueve en tal forma que no la atraviese ninguna materia, el volumen de
control es un sistema. Cada tipo de volumen de control representa simplemente una región de
interés particular, en la cual estableceremos formas de las leyes básicas.
El concepto de volumen de control no deformable, puede ilustrarse, observando que el
que se selecciona para estudiar el flujo en una tubería, podría ser el volumen interno,
comprendido entre dos puntos, a lo largo de su longitud. El sistema de coordenadas de
referencia podría ser cualquier sistema fijo relacionado con el tubo.
Un buen ejemplo de un volumen de control deformable es el de un balón que se llena de
aire por medio de un tubo. El balón no es un sistema, por que su masa no es constante. La
boquilla de entrada del balón es la única parte de la superficie que no se deforma, cuando entra
el aire.
II.-Principio de la Conservación de la Materia
“La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del
flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen”. Si el volumen
que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede
ser indefinido.
El principio de conservación de la materia o principio de conservación de la masa, también
se expresa como: “El aumento de masa, en un tiempo t, del fluido contenido en un volumen
dado, será igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de
las que salen”:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 110
( ) = masa del sistema en el tiempo ,
( )= masa del sistema en el tiempo ,
Es decir la masa en el sistema permanece invariable:
Donde:
masa en el volumen de control en el instante “ ”.
masa en el volumen de control en el instante” ”
masa que entra en el volumen de control en el intervalo” ”
masa que sale del volumen de control en el intervalo “ ”
Dividiendo entre ordenando y tomando límites cuando :
;
Donde:
rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control, y
gasto o caudal neto de masa entrante en la unidad de tiempo.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 111
Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra,
sumadas algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo
completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de la forma siguiente:
“La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de
tiempo ( ), mas la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen ( ), es igual a
cero”, matemáticamente se expresa así:
(α)
Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial, que a uno
finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.
III.-Ecuación Diferencial de Continuidad
Aplicable a problemas de flujo con potencial.
Para obtenerla aplicamos el principio de la conservación de la materia, al volumen
de control diferencial mostrado en la fig, (de lados dx, dy y dz).
En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la cara ABCD, entra una masa:
y por la cara EFGH, sale una masa:MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 112
Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD a
la cara EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, asignándoles una
convención de signos a las masas que salen del volumen de control, como
positivas (+) y negativas (-) a las masas entrantes, luego, la masa perdida o
cantidad neta de masa que atraviesa estas caras será:
Trasladando “dt” al primer miembro, entonces tendremos: la cantidad neta de
masa que atraviesa las caras normales al eje “y”, en la unidad de tiempo, también
conocido como gasto másico:
(I)
Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa que atraviesan las caras
normales a los ejes “x” y “z”, son:
(II)
(III)
Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa las superficies de frontera del
volumen en la unidad de tiempo, o caudal de masa o gasto de masa (QM), será:
(IV)
Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):
+ + (A)
Ahora, finalmente calculemos la “ rapidez de variación de la masa contenida
en el volumen de control diferencial:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 113
Por lo tanto:
(B)
Sustituyendo (A) y (B) en (α):
+ + + = 0
Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación
anterior se puede simplificar y ordenando, resulta:
+ + + = 0
Los tres primeros sumandos de la ecuación anterior, representan el desarrollo del
producto escalar:
Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:
+ = 0 (β)
Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad.
La expresión (β), también se puede expresar de la siguiente forma:
= 0 (β’)
La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial de Continuidad, ha sido
obtenida después de aplicar las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son
dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la general
para un flujo compresible no permanente; admitiendo las siguientes
simplificaciones:
Flujo Compresible Permanente
= 0
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 114
Luego sustituyendo en (β), resulta:
= 0
Flujo Incompresible no Permanente
ρ = Cte.
Entonces:
y = 0
Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en (β’), resulta:
Y puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:
(ө)
Flujo Incompresible Permanente
ρ = Cte y = 0
Luego:
Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):
Luego, análogamente al caso anterior, resulta:
(ө)
“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple
que la divergencia de es cero”.
Un flujo se considera incompresible, si los cambios de densidad de un punto a otro
son despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y gases
a bajas velocidades pueden ser considerados incompresibles. El flujo de un gas
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 115
con velocidades entre 60 y 90 m/s se puede considerar incompresible, siempre
que no exista intercambio de calor en el exterior.
IV.-Ecuación de Continuidad para una Vena Líquida
La vena líquida mostrada en la figura está limitada por su superficie de contorno (que
generalmente coincide con una frontera sólida, o por esta y una superficie libre) y por
las secciones transversales (1) y (2), normales al eje que une los centros de gravedad
de todas las secciones. Las velocidades en cada punto de una misma sección
transversal poseen un valor medio “v”, que se considera representativo de toda la
sección y de dirección tangencial al eje de la vena.
Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en la fig. , limitado por la superficie de
contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos secciones transversales normales
al eje de la vena, separadas la distancia “ds”, donde “s” representa la coordenada curvilínea
siguiendo el eje de la vena.
Aplicando el principio de la conservación de la materia, al volumen elemental en estudio:
Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen
elemental en estudio, es:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 116
(Φ)
Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental en
estudio, es:
Tomando extremos, resulta:
(ΦΦ)
El principio de conservación de la masa establece:
(Φ) + (ΦΦ) = 0
Resultando:
+ = 0
Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la mayoría de los casos, que la
longitud “ds” del elemento de volumen considerado no depende del tiempo. Este puede salir
de la derivada del segundo término de la ecuación anterior y simplificarse con el que aparece
en el primero, de lo cual resulta:
+ = 0 (ε)
Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al desarrollar las derivadas parciales
indicadas se obtiene:
(δ)
Como:
;
Sustituyendo la última expresión en (δ), resulta:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 117
Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto sumando y “A” del tercero y quinto
sumando de la ecuación anterior, y aplicando el concepto de diferencial total de “A” y de “ρ”,
al ser funciones ambas de “s” y “t”, resulta:
Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:
(φ)
La expresión (φ), es la Ecuación de Continuidad para una vena líquida donde se
produce un flujo no permanente y compresible.
Si el escurrimiento es permanente las derivadas con respecto a “t” que aparecen en la
ecuación (ε), se eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:
= 0
O, bien:
Si además el fluido es incompresible:
vA = Cte. (ξ)
La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por cada sección de la vena líquida
en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones transversales,
tales como (1) y (2) de la misma vena líquida, se cumple que el gasto que circula por
ellas es constante”:
Q =V1 A1 = V2 A2
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 118
Principio de Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento de un elemento de masa “m”, es el producto de esta por su
velocidad.
Sea “ ” la cantidad de movimiento:
La ecuación de cantidad de movimiento de un cuerpo libre o volumen de control se deriva de
la segunda ley de Newton, que establece lo siguiente:
“La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre una masa de fluido es igual a la
rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir:
Si:
Calculando el :
Además:
;
Reemplazando (2) en (1):
Haciendo: , una función vectorial ligada al movimiento.
Luego, de la expresión (3):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 119
Y sea “ I1” la función”I” incrementada un :
Para hallar el valor de “I1” necesitamos los valores de: y sabiendo que:
;
Dividiendo la expresión anterior entre dt:
Además se sabe:
Además se sabe por deformación volumétrica de los fluidos que: “la velocidad de deformación
volumétrica relativa, coincide con la suma de velocidades de deformación lineal”, es decir:
Despejando :
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 120
Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).
Siendo “dt” un tiempo muy pequeño, por lo tanto , es una cantidad despreciable por lo cual
se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:
Por definición de producto escalar:
Luego:
……………………. (7)
Ahora:
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Dividiendo (I1 - I) entre dt.
, al considerar un volumen de control de profundidad la unidad.
La dirección del es perpendicular al área, es decir:
Se sabe que:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 122
También se sabe que:
Pero de (3) se sabe que:
; Por lo tanto:
Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de los fluidos
conocida como la ecuación o principio de la cantidad de movimiento.
Para el caso especial del movimiento permanente la ecuación general de la cantidad de
movimiento se simplifica a:
Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del
movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad y la
densidad en un punto permanecen constantes.
Se sabe que el vector velocidad y el vector área son ambos perpendiculares al área, es decir:
La fuerza quedaría:
Se sabe que: pero como , entonces
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 123
Entonces la fuerza quedaría:
Si tuviéramos el siguiente volumen de control:
Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porción de fluido entre
ambas secciones actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico.
Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:
Entonces las fuerzas seria:
y
Las velocidades son:
y
Las fuerzas quedarían:
La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 124
Principio de la Cantidad de Movimiento Aplicado a la Corriente Líquida
Sea la vena liquida siguiente:
El sentido de los vectores de las secciones transversales siempre saliente de la vena liquida y
perpendicular a la sección, es decir:
Donde y son vectores unitarios perpendiculares a las secciones y
respectivamente.
Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe que:
.
Pero como el flujo es liquido y se sabe que los líquidos son incompresibles, por lo tanto la
densidad de un punto a otro no varia, es decir: , y la fuerza resultaría:
En cada sección transversal se desarrolla una fuerza; es decir en S1 se produce una fuerza
y en la sección S2 se produce una fuerza y la suma de ambas nos da la fuerza total que
actúa en la vena liquida.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 125
Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con suave curvatura, se puede decir que las
velocidades son perpendiculares a las secciones transversales y además que el sentido es
opuesto al sentido de , se puede escribir que:
;
La fuerza quedará:
Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas secciones transversales:
Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la más suave curvatura, entonces se
puede decir que:
Por lo tanto:
Entonces:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 126
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 127
Dinámica de los Fluidos Perfectos
Estudiaremos el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido
en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la
acción de fuerzas exteriores o de masa.
Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de
coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:
; ;
Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.
= Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa
(concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial
ortoédrico de volumen );
Donde X, Y y Z son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa.
Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y su aceleración interna y la fuerza
que actúa, se puede escribir:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 128
Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando
existen movimientos relativos:
m Ax = Rx …. (1)
m Ay = Ry….. (2)
m Az = Rz ….. (3)
Desarrollo de (1):
Pero: m = masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico =
……. (4)
Análogamente, desarrollando (2) y (3), resulta:
Sumando miembro a miembro (I), (II), y (III), vectorialmente:
La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido
Perfecto.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 129
Donde: p = presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial
ortoédrico más próximo al origen de coordenadas.
= densidad del fluido
= Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del
volumen considerado, como por ejemplo el peso. Es una
aceleración, pero externa.
= Aceleración (interna) de la partícula fluida.
Si = 0, entonces:
Que es la Ecuación Vectorial General de la Hidrostática o Ecuación de Euler (no hay
desplazamiento relativo).
De la expresión (IV), despejando, resulta:
Se conoce que:
(6) en (5)
Ecuación vectorial de la Dinámica del fluido perfecto o Ecuación de Euler:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 130
Ecuación de Bernoulli
Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo
gravitacional.
Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de
Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento
permanente.
En estas condiciones, de la Ecuación ( ), o Ecuación de Euler:
- ; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en
un punto se mantienen constantes).
- Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:
Donde : X = 0
Y = 0
Z =-g
Luego:
Y que reemplazándolo en la ecuación anterior resulta:
Proyectamos la expresión vectorial en la dirección (vector direccional de la partícula):
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 131
Casos:
1.-Movimiento Irrotacional:
Luego:
Cálculo de:
Reemplazando (A), (B) y (C) en ( )
Dividiendo entre “g”:
Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 132
2) Movimiento Rotacional:
y son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir que se considera
tangente a la línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con .
De la ecuación de Euler ( ):
Desarrollo del término :
De la figura se observa que los vectores y ; son ortogonales, por lo tanto por
definición de producto escalar: = 0
Por lo tanto la ecuación de Euler( ) se reduce a la expresión( ):
Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación
Diferencial de Bernoulli:
3) Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional, en
movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional.MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 133
= Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)
Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido
incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será:
“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g),
piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”
El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía.
Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad
de producir trabajo:
z = Energía de posición o potencial o carga de posición
= Energía de presión o piezométrica o carga de presión.
= Energía cinética o carga de velocidad.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 134
Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli
Primer Término: (z)
Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”.
Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P”
este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la
energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición
en su plano a otro plano, tenemos:
Ep = W z
Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”.
“z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua.
Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.
Segundo Término: (V 2 /2g)
Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que
desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna
fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía
cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 135
Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:
Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:
Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía
cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.
Tercer Término: (p/ )
Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y
conteniendo una cierta cantidad de agua.
La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce
compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que
es igual a: p = F/S.
Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si
abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa
que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”.
Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía
que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale:
Ep = F L ; pero F = p S
Ep = p S L ; pero S L =
Ep = p
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 136
Pero también:
, luego:
Ep = ; cuando W = 1 (kg o lb)
Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo
considerarla como poseída por aquel.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 137
Dinámica de los Fluidos Reales
La ecuación de Bernoulli es:
………………… (a1)
Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal incompresible.
Cada término tiene unidades de energía por unidad de peso y los tres términos se refieren a
energía utilizable.
De considerarse la viscosidad en el análisis anterior, aparecerá un término adicional en función
del esfuerzo cortante” ” que representaría la energía por unidad de peso, empleado para
vencer las fuerzas de fricción. Este término, por razones de orden práctico se puede expresar e
interpretar del modo que sigue:
…………. (a2)
Donde : pérdida de energía por unidad de peso.
Ecuación que explica el principio de la energía para una línea de corriente: “La energía total por
unidad de peso en (1), es igual a la energía por unidad de peso en (2) más la pérdida de la
energía producida desde (1) hasta (2)”
Para una tubería se puede considerar:
1. El filete hidráulico o la línea de corriente coincide con el eje de la tubería.
2. Que, los valores de z, p y son los representativos de cada sección.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 138
3. Que, el valor de V en esta línea de corriente no es representativo de las velocidades en
la sección.
4. Que, consecuencia de “3”, conviene utilizar como valor representativo de estas
velocidades, el valor medio (velocidad media); debiendo, en consecuencia reemplazar:
Reemplazando en (a2)
….. (a3)
Ecuación de energía para una tubería en flujo permanente real viscoso bajo campo
gravitacional; donde las presiones como las velocidades en las secciones (1) y (2) son las
medias.
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 139
Potencia de una corriente líquida
Corriente líquida: son escurrimientos líquidos bajo campo gravitacional que puede concebirse
formado por filetes rectos o de suave curvatura.
Sea:
La carga total o energía total por unidad de peso en una sección, con respecto a un plano de
referencia (m, kg-m/kg).
= representa el peso del líquido que pasa por la sección en la unidad de tiempo (kg/seg).
= representa la energía por unidad de tiempo, es decir la potencia de la corriente
con respecto al plano de referencia (kg-m/seg) en la sección.
Por eso:
Expresión del coeficiente de Coriolis:
- La potencia elemental de un filete hidráulico o de una línea de corriente es:
……………………… (a4)
La potencia total de toda la corriente será:
……………………… (a6)
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 140
- La potencia total de toda la corriente que le corresponde utilizando la velocidad media
será:
………………………………………(a7)
(a6) = (a7)
Para el caso de los líquidos; = cte.
Pero:
Multiplicando el numerador y el denominador por
……………………….. (a8)
Donde:
= Coeficiente de Coriolis o Coeficiente de Corrección de la Energía Cinética
MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 141
Principio de la Cantidad de Movimiento aplicado a las corrientes líquidas.
Luego aceptando que los filetes hidráulicos son rectos o a lo más con suave curvatura.
Luego:
; ordenando:
………………….(a9)
Pero: En general,
O, en particular:
En la Ec. (a9), multiplicando el numerador y al denominador por y ,
respectivamente tenemos:
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Donde:
= Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la Cantidad de
Movimiento
Para el caso de líquidos:
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Relación entre y :
Sea:
De la figura superior, reemplazando:
El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V, son de signos
positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría de la sección, entonces se
cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero, quedando:
La reducción del primer término es 1,
Entonces:
Luego:
………………(a10)
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Además, se sabe que:
Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término del segundo
miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero, quedando:
…………………(a11)
De (a10) y (a11) :
……………………(a12)
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Aplicaciónes de la Ecuación de la Energía
-Tubería que conecta dos depósitos o descarga entre dos depósitos,
(PA=PB= Presión atmosférica, igual a cero, trabajando con presiones relativas)
………………………….. (a13)
Donde: ………... (a14)
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Es decir la pérdida de carga desde A hasta B, será la suma de las pérdidas de carga debida a
la fricción, más las pérdidas de cargas localizadas e igual al desnivel de las superficies libres
de agua de los estanques o carga estática “H”, es decir:
De (a13) y (a14): ……………………. (a15)
-Tubería que conecta dos depósitos mediante una instalación de bombeo.
Donde: = Altura dinámica total o carga neta que el agua recibe de la bomba.
H = Altura Estática a carga estática.
B
LA
h = Pérdidas de cargas localizadas desde hasta es decir de la
tubería de succión y de la tubería de impulsión.
= Perdidas de cargas por fricción desde hasta es decir las
producidas en la tubería de succión y en la de impulsión.
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Potencia Neta o Potencia Útil de la Bomba
Potencia Bruta o Potencia Entregada.
P BRUTA = P UTIL + P PÉRDIDA
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-Tubería que conecta dos depósitos mediante una Turbina.
Donde: HT = Altura o carga neta que la turbina recibe del agua.
H = Altura o carga estática.
B
LA
h = Pérdidas de cargas localizadas desde hasta .
= Perdidas de cargas por fricción desde hasta .
Potencia Neta o Potencia Útil de la Turbina.
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Problemas de Aplicación
1. Calcular y para la siguiente distribución de velocidades: que se
produce en una tubería de sección circular.
Solución:
Por definición se sabe que:
Pero:
Según dato del problema es una distribución de velocidades característica de un flujo laminar.
Diferencial de área o superficie:
Simplificando e integrando resulta:
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Reemplazando “α” en la Ec. (a12), resulta:
2. Se desea abastecer de agua a un edificio por el método cisterna – bomba – tanque
elevado; con la ayuda del plano de arquitectura se ha bosquejado el sistema que se
muestra en la figura. Los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son 16” y 12”
respectivamente, obteniéndose una descarga en el tanque elevado de 0.10 m3/s ¿Qué
bomba seleccionaría Ud. y cual seria la presión en los puntos B y C?
Nota: Considere e = 0,8 y hallar la potencia en HP
La perdida de carga entre a A y B es equivalente a 4 cargas de velocidad. La pérdida de
carga entre C y D es igual a 5 m. de agua
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Cálculo la Potencia Bruta de la Bomba.
Calculo de la Presión en B
Cálculo de la Presión en C:
Pero, , entonces:
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3.-En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45m en “A” a
0,30m en “B”.En “B” se bifurca; la tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD
0,25m de diámetro. “C” y “D” descargan en la atmósfera.
La velocidad media en “A” es 0,80 m/s y la velocidad media en “D” es 1,60 m/s. Calcular el
gasto en “C” y “D” y las velocidades en “B” y “C”.
Cálculo de :
Por el principio de continuidad:
Cálculo de :
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Cálculo de :
Despejando:
Cálculo de :
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4.-Se desea diseñar el muro de anclaje en un corto tramo de la tubería de presión de una
central hidroeléctrica. En dicho tramo se produce una reducción de la sección (1): ( )
a la sección (2): ( ); fluyendo un caudal de 0,250 m3 /s. La presión en la sección
aguas abajo es 1,48 kg/cm2. Hallar el módulo y ángulo que hace con la horizontal la fuerza
que soporta el muro.
a.- Cálculo de F1 :
Aplicando Bernoulli entre (1) y (2):
E1 = E2
Reemplazando los datos en la Ecuación de Bernoulli, resulta:
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b.- Cálculo del Módulo y Angulo de la Fuerza que soporta el muro.
Aplicando la Ecuación de la Cantidad de Movimiento:
De la Ecuación (A):
Reemplazando los valores conocidos de , , , , , y en la expresión anterior
y despejando el valor de , resulta:
De la Ecuación (B):
Reemplazando los valores conocidos de , , , y en la expresión anterior y
despejando el valor de , resulta:
La Resultante de la Fuerza que soporta al muro, será:
La inclinación de la Fuerza que soporta el muro:
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