Word Completo Mecanica de Fluidos i

MECANICA DE FLUIDOS I

INDICE

INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5

Los Fluidos. 5

Hidromecánica. 6

Densidad. 7

Densidad Relativa. 9

Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton. 12

Viscosidad Cinemática. 17

Módulo de Elasticidad Volumétrica 18

Presión 21

Medida de la presión 34

ESTATICA DE LOS FLUIDOS 42

Fuerza Sobre Superficie Plana. 49

Fuerza Sobre Superficie Curva. 54

El Principio de Arquímedes. 58

CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 63

El Campo de Velocidades. 63

El Campo de las Aceleraciones. 65

El Campo Rotacional. 71

Clasificación de los Flujos. 74

Descripción del Movimiento. 79

Línea de Corriente. 80

Campo Potencial, solenoidal y Armónico. 84

Movimiento Plano de los Fluidos. 87

Ecuaciones de Cauchy – Riemann. 97

Red de Corriente. 98

Gasto o Caudal-Ecuación de Continuidad. 109

MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 2

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS

Principio de la Cantidad de Movimiento. 119

Dinámica de los Fluidos Perfectos. 128

Ecuación de Bernoulli. 131

Dinámica de los Fluidos Reales. 138

Coeficiente de Coriolis. 140

Coeficiente de Boussinesq. 143

Ecuación de la Energía.- Bombas y Turbinas. 146

Problemas de Aplicación del Principio de la Energía con Bombas y Turbinas. 150


INTRODUCCIÓN

En la formación del Ingeniero, además de las matemáticas instrumento imprescindible

de trabajo y de la Física, base de la ingeniería han de intervenir las siguientes disciplinas

fundamentales: Mecánica de los cuerpos rígidos, mecánica de los cuerpos deformables, o

resistencia de materiales, termodinámica, transmisión de calor y mecánica de fluidos.

La explosión de la información, de hoy en día en el mundo de la ciencia y de técnica,

hace necesario que toda aquella información que se sume a las existentes, éstas deben reunir

ciertos requisitos de unidad y síntesis, que en el presente se ha tratado de cumplir; y van

principalmente orientados para mis alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil, de la

Facultad de Ingeniería Civil, de Sistemas y de Arquitectura, de la Universidad Nacional Pedro

Ruiz Gallo, de la ciudad de Lambayeque.

La presente separata contiene parte del curso de Mecánica de los Fluidos I, que dicto

en mi Universidad, producto de mi experiencia docente, en el dictado del mismo, y que incluye

aspectos como: propiedades, estática, cinemática y dinámica de de los fluidos.

Por ubicarnos estratégicamente en medio de grandes proyectos de naturaleza

hidráulica, tales como el Proyecto Olmos y el Terminal marítimo Puerto Eten, el Corredor

Bioceanico y Zona Franca Industrial, nos exige competencias, que este inicial trabajo, pretende

contribuir en destacar la importancia de la mecánica de los fluidos en la formación del ingeniero

civil.


CONTENIDO

Los Fluidos

Definición de Fluidos: Son substancias (cualquier materia) que tiene la propiedad (capacidad)

de fluir; es decir de deslizarse a lo largo de un conducto ajustándose o adaptándose a su

forma.

También se le define como substancias que se deforman continuamente cuando son sometidas

a esfuerzos cortantes o tangenciales.

Clases de Fluidos:

Pueden ser:

a) Fluidos líquidos: Es un estado típico de la materia, se les puede considerar prácticamente

incomprensibles bajo las mismas condiciones de presión y temperatura; se caracterizan

por tener un volumen propio y su forma cambia dependiendo del conducto o recipiente que

lo contiene agregándose de que muestran una superficie libre.

b) Fluidos gaseosos: Es un estado típico de la materia, son compresibles.

Se caracterizan por no tener volumen ni forma propia, son expansibles y no posee una

superficie libre.

Diferencia entre líquidos y gases:

LÍQUIDO GAS

POR SU VOLÚMEN 1.- Volumen propio

1.- No poseen volumen propio; susceptible de variación, acomodándose al recipiente que los contiene

POR SU COMPRESIBILIDAD

2.-Son prácticamente incompresible. líquido perfecto (incompresible)

2.-Son compresibles Gas perfecto (infinitamente compresibles)

Definición Mecánica de Fluidos: Es la parte de la física que se ocupa de estudiar el equilibrio

y movimiento de los fluidos, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería.

La mecánica de los fluidos se subdivide en dos campos principales:

- La estática de los fluidos o hidrostática, que se ocupa de estudiar los fluidos en

reposo,


- La dinámica de los fluidos, que se ocupa de estudiar los fluidos en movimiento.

La Hidromecánica:

Es una rama importante de la mecánica los fluidos que se ocupa de estudiar el equilibrio y

movimiento de los fluidos incompresibles, especialmente los fluidos líquidos.

La Hidromecánica técnica o hidráulica cuando las leyes y principios de la Hidromecánica se

aplican en estructuras que le interesan directamente al ingeniero civil.

La Dinámica de los fluidos se subdivide en:

- Hidrodinámica: Estudia el movimiento de los fluidos incompresibles, se aplica al flujo de

líquidos o al flujo de gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es

esencialmente incompresible,

- La Aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases, cuando

los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario

incluir los efectos de la compresibilidad.

Estados de la materia: La materia se presenta en diferentes estados, que se reducen

típicamente a tres: sólido, líquido y gaseoso, sin perjuicio de que existan estados intermedios,

que según los casos, puedan asimilarse a uno u otro.

La diferencia entre sólido y fluido: las cualidades esenciales de la materia son: la masa, la

forma y la duración.

Magnitudes: son las cualidades de la materia, en cuanto a susceptibles de medición.

La diferencia entre sólido y fluido; que son estados contrapuesto; el patrón de ambas es el

grado de rigidez del enlace molecular.

Sólido típico, es capaz de resistir una acción deformante permanente, mientras que el fluido

es incapaz de ello.

Sólido perfecto (infinita rigidez del enlace molecular) y fluido perfecto (infinita libertad del

enlace molecular).

MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E

1.- Sólido Sólido : Masa; volumen; forma geométrica2.- Líquido

Fluidos :Masa; volumen

3.- Gas Masa.

6

No existiendo en la naturaleza magnitudes infinitas es decir a falta de la infinita rigidez o de la

infinita libertad del enlace molecular, el sólido perfecto y el fluido perfecto son entes de razón,

puras abstracciones.

1.- Densidad (ρ): Es la masa contenido en la unidad de volumen.

Masa: Es la sustancias de la materia.

M: Es el símbolo de la magnitud de la masa.

: Es el símbolo del volumen de la masa M

Ecuación de dimensiones:

- Sistema absoluto : dimensiones

- Sistema gravitacional : dimensiones.

Unidades:

M.K.S :

- Sistema Absoluto

C.G.S :

M.K.S :

- Sistema Gravitacional

C.G.S :

- Sistema Internacional

Donde: kgm = Kilogramo masa.


kgf = Kilogramo fuerza.

grm = gramo masa.

grf = gramo fuerza

2.- Peso Específico (): Es el peso de la unidad de volumen.


- Sistema absoluto : dimensiones

- Sistema gravitacional : dimensiones

Unidades:

M.K.S :

- Sistema Absoluto

C.G.S :

M.K.S : o

- Sistema Gravitacional

C.G.S : o

- Sistema Internacional

Para relacionar las unidades de medida entre los sistemas absolutos y gravitacionales, se usa

la segunda ley de Newton del movimiento:


SISTEMASISTEMA ABSOLUTO SISTEMA GRAVITACIONAL

M.K.S

C.G.S

La Unidad derivada para la fuerza es el newton (N) definido como la fuerza que aplicada sobre 1 kgm le produce una aceleración de 1 m/s2. kgm, m y s; son Unidades fundamentales.

La unidad derivada de masa es el “kgm” que adquiere la aceleración gravitacional cuando se le aplica una fuerza de 1 kgf. Kgf, m y s; son unidades fundamentales.

3.-Densidad Relativa.-(ρr): es otra forma de cuantificar la densidad de un liquido, refiriéndola a

la correspondencia al agua. Es decir es la relación entre la densidad del fluido y la densidad del

agua a una presión y temperatura especifica. (4°C y 1 atmósfera).

Carece de dimensiones.

4.-Peso Específico relativo (r), o Gravedad Específica.-: Análogamente a la densidad

relativa; el Peso específico relativo es la relación entre el peso específico del fluido y el peso

específico del agua a una presión y temperatura específica.

Carece de dimensiones


5.-Volumen Especifico : El volumen específico se define de distinta manera en el

sistema absoluto y en el sistema gravitacional.

5.1.- Sistema Absoluto y Sistema Internacional: El volumen específico es el volumen

ocupado por la unidad de masa (un kilogramo masa) de la sustancia.

El volumen específico es el reciproco de la densidad.


Unidades:

Sistema absoluto (MKS) y Sistema Internacional.

Ejm. El del agua destilada a la presión atmosférica y 4°C es

aproximadamente igual a . Es interesante observar que la densidad del aire a la

presión atmosférica y 4°C es aproximadamente 1.3 y su .

Es decir, 1 kgm de aire a la presión atmosférica ocupa aproximadamente 800 veces mas

espacio que “1 kg.m” de agua.


5.2.- Sistema Técnico o Gravitacional: El volumen específico es el volumen ocupado por la

unidad de peso (un kilogramo peso) de la sustancia.

El volumen específico es el recíproco del peso específico.

El volumen específico, como todas las magnitudes específicas, se han de referir en el sistema

absoluto (También en el S.I), que es un sistema másico, a la unidad de masa (kgm); mientras

que en el sistema gravitacional, las mismas magnitudes específicas se han de referir a la

unidad de peso (kgp o kgf).

Nótese sin embargo, que siendo “1 kgp” el peso de “1 kgm”, los valores numéricos de

coinciden en ambos sistemas de unidades, pero expresados en

unidades diferentes ( en el sistema absoluto y en el sistema gravitacional). Asimismo,

el valor numérico de “” en el sistema Técnico o Gravitacional es igual al valor numérico de “ρ”

en el sistema absoluto; pero el valor numérico de “ρ” en el sistema técnico o gravitacional no es

igual al valor numérico de “” en el sistema absoluto, como es fácil de comprobar.

6.-Viscosidad.- (µ):

1. La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la

interacción y cohesión molecular.

2. La viscosidad de un fluido determina la cantidad de resistencia opuestas a las fuerzas

cortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones (acción reciproca),

que se ejercen entre las moléculas del fluido.

3. También se define como una medida de su resistencia a la rapidez de deformación,

cuando se someten a un esfuerzo tangencial que explica su fluidez.


4. Determina la resistencia opuesta al deslizamiento cuando se desplaza el fluido.

6.1.- Ley de la Viscosidad de Newton:

Hipótesis:

1.- Considérese dos superficies planas paralelas de grandes dimensiones, una fija y otra móvil,

con el espacio entre ellas llenos de fluidos, separadas a una pequeña distancia “yo”.

2.- Que la placa superior se mueve a una velocidad constante “V0”, al actuar sobre ella una

fuerza “F” también constante.

3.- El fluido en contacto con la placa móvil se adhiere a ella moviéndose a la misma

velocidad “Vo”, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecerá en

reposo.

4.- si la separación “yo” y la velocidad “Vo” no son muy grandes, la variación de las velocidades

vendrá dado por una línea recta

La experiencia ha demostrado que la fuerza “F” varía con el área de la placa “A”, con la

velocidad “V0” e inversamente proporcional con la separación “Y0”.

(1)

Por triángulos semejantes: (2)


(I)

Donde:

µ = viscosidad absoluta o dinámica

Según Newton el esfuerzo tangencial () que se produce entre dos láminas separadas una

distancia “dy” que se desplazan con velocidades (v) y (v + dv), es

Ahora:

Analicemos el movimiento de un flujo sobre una frontera sólida fija, donde las partículas se

mueven en líneas rectas paralelas (fluido viscoso: laminar) como consecuencia anterior

supondremos que el flujo se producen en forma de capas o laminas de espesor diferencial,

cuyas velocidades varían con la distancia “Y” normal a dicha frontera.

Recordemos la definición (3) de la Viscosidad: “La Viscosidad es una medida de su

resistencia a la rapidez de deformación, cuando se someten a un esfuerzo tangencial

que explica su fluidez”.

Para las mismas hipótesis anteriores, es decir tratándose de un flujo bien ordenado en que las

partículas del fluido se mueven en líneas rectas y paralelas (flujo paralelo): flujo laminar, se

trata pues de un flujo de capas o láminas.


En tales condiciones Newton en el año 1686, demostró:

(1) El esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación.

Además sabemos que: (2);

Donde: y θ en radianes y para ángulos pequeños: (3)

: ; Luego (4)

:

De acuerdo con esta ecuación el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un fluido puede

desaparecer en los siguientes casos:

a) Si se desprecia la acción de la viscosidad (fluido no viscoso)

b) Si la distribución de velocidades es uniforme (v= cte) y por tanto dv/dy=0; sucede cuando el

flujo es turbulento y el efecto viscoso es despreciable.

c) En un líquido en reposo, donde la velocidad en cada punto (y como consecuencia dv/dy

vale cero.

6.2.- Ecuación de Dimensiones:

Sistema Absoluto : dimensiones.


Sistema Gravitacional : dimensiones.

6.3.- Unidades:

M.K.S:

Sistema Absoluto

C.G.S:

M.K.S:

Sistema Gravitacional

C.G.S:

Sistema Internacional.

Conclusiones Adicionales: - La viscosidad de un líquido ocurre por la cohesión de

moléculas. Esta cohesión y por tanto la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta.

La viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas, existe poca

cohesión entre ellas. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras durantes

sus movimientos rápidos. La propiedad de la viscosidad resulta de estos choques. Este

movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que la viscosidad aumenta con la

temperatura.

Nuevamente se nota que la presión tiene solo un efecto pequeño sobre la viscosidad y por lo

general ésta no se toma en cuenta.

Fórmulas Empíricas para Calcular la Viscosidad Absoluta del Agua y del Aire.

- La viscosidad para el agua.- Está dada por la fórmula de Poiseuille (1799-1869),

investigador Francés (médico).

Sistema Absoluto

Donde: y



Donde:

y

Ejemplo: si t = 20 oC.

- La viscosidad para el aire.-

y

Estas fórmulas funcionan para cualquier valor de la temperatura.

7.- Viscosidad Cinemática.- ( )

Para los cálculos prácticos es más conveniente relacionar la viscosidad dinámica del fluido y su

densidad.

Ecuación de Dimensiones:

Dimensiones.

Se aprecia que la ventaja de usar esta nueva propiedad es evidente, ya que sus dimensiones

son [L2T-1], esto es independiente de los conceptos de masa y fuerza.


Unidades:

Sistema M.K.S:

Sistema C.G.S:

Equivalente útil:

En la fig. se muestra los valores de “ ” y “µ” para el caso del agua y el aire en función de la

temperatura y la presión atmosférica al nivel del mar.


8.- Módulo de Elasticidad Volumétrica (E): Expresa la compresibilidad de un fluido, es la

relación entre el incremento de presión (ΔP) y la disminución unitaria de volumen ( ).

Es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad), cuando se somete a

diversas presiones.

En general, cuando un volumen de un líquido de densidad “ ” y presión “p” se somete a

compresión por efecto de una fuerza “F”, como se muestra en la Fig., la masa total de fluido

permanecerá constante, es decir que:


De donde resulta:

Al multiplicar ambas muestras x dp (diferencial de presión), se obtiene:

El signo negativo de la ecuación indica una disminución en el volumen al aumentar la presión

“p”

- El aire es 20000 veces más compresible que el agua.

- El agua es 100 veces más compresible que el acero.


Sistema Absoluto: Dimensiones

Sistema Absoluto: Dimensiones

Unidades:

M.K.S:



C.G.S:

M.K.S:


C.G.S:


9.-Presión:

La presión no es una fuerza sino el cociente de una fuerza sobre una superficie.

Donde:

= Es una fuerza normal a la superficie “A”

= Presión media sobre la superficie “A”

Propiedades de la Presión

Primera Propiedad: La presión en un punto de un fluido en reposo, es igual en todas

direcciones (principios de Pascal). Es decir, una diminuta placa (infinitesimal) sumergida en un

fluido experimentaría el mismo empuje de parte del fluido, sea cual fuere la orientación de la

placa.

Demostración:

a) Considérese un pequeño prisma triangular de líquido en reposo, bajo la acción del fluido

que lo rodea.

b) Los valores medios de la presión o presiones medias sobre las tres superficies son p1, p2

y p3.

En la dirección “Z”, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre ellas.

Sumando las fuerzas en la dirección “x” e “y” se obtiene:


Equivalencias

Las ecuaciones anteriores se reducen a:

ó

Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, “dy” tiende a cero en el límite, y la

presión media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presión

en un punto. Por tanto al poner dy = 0 en la ecuación (2) se obtiene y de aquí:

.

Presión de un fluido: Se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa

normalmente a cualquier superficie plana, en el mismo plano horizontal.

Demostración: “si se aplica una presión a un fluido incompresible (un liquido), la presión se

transmite, sin disminución, a través de todo el fluido”.MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 22

Esto se demuestra utilizando la botella de Pascal; que básicamente, consiste en una botella de

forma esférica, a la cual se le ha aplicado varios agujeros. Tapados los agujeros con corchos,

se llena con un líquido.

Al aplicar una presión “ ” por el émbolo, esta se transmite con igual magnitud en todas

direcciones, haciendo saltar todos los corchos al mismo tiempo.

Aplicaciones del Principio de Pascal: Prensa Hidráulica- Es aquel dispositivo o máquina que

está constituida básicamente por dos cilindros de diferentes diámetros conectados entre sí, de

manera que ambas confinen un liquido.

El objetivo de esta máquina es obtener fuerzas grandes aplicando fuerzas pequeñas. Tener en

cuenta que esta máquina esta basado en el principio de Pascal. Esta máquina hidráulica

funciona como un dispositivo multiplicador de fuerzas.

Son ejemplos directos de este dispositivo: los sillones de los dentistas y los barberos, los frenos

hidráulicos, etc.

Demostración

Por el principio de Pascal,


Fórmula de Desplazamiento

Demostración:

Diferencia entre Fuerza y Presión.- Los sólidos transmiten sólo fuerza, los líquidos transmiten

la presión.

Segunda Propiedad.-

“La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido

en reposo es la misma”.

Demostración

a) Consideremos un cilindro de fluido horizontal de longitud “l” y de sección circular infinitesimal

“dA”

b) Lo valores medios de las presiones o presiones medias sobre las superficies (2), son “p1” y

“p2”.

De la Ecuación de equilibrio según el eje del cilindro se deduce.

;


Ni la gravedad, ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguno

en la dirección del eje del cilindro. Como la orientación del eje del cilindro es arbitraria queda

demostrada la segunda propiedad.

Tercera Propiedad.-

“En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una parte del

fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto.

Como esta fuerza normal es la presión, en el interior de un fluido en reposo no existe mas

fuerza que la debida a la presión”.

Demostración:

a) Consideremos un volumen cualquiera de fluido como en la figura.

b) Dividamos el volumen en dos partes (A) y (B) por una superficie “θ” cualesquiera.

Análisis: Si la fuerza que ejerce “B” sobre “A” tuviera la dirección 1, se descompondría en dos

fuerzas 2 y 3.

El fluido no puede soportar la fuerza tangencial 3 sin ponerse en movimiento; pero por hipótesis

el fluido está en reposo, luego la fuerza no puede tener la dirección 1 y tiene que tener la

dirección 2, o sea, la dirección de la normal.

Este mismo argumento es valedero para la fuerza que el fluido en reposo ejerce sobre el

contorno sólido en el cual está contenido.


Cuarta Propiedad

“La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es

decir, es una compresión, jamás una tracción. Tomando como positivo el signo de compresión,

la presión absoluta no puede ser jamás negativa”.

Quinta Propiedad

“La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal”.

Demostración: Según la figura, supongamos que “θ” es la superficie libre de un líquido, no

horizontal. Cortado por un plano “” no horizontal y aislando la parte superior del líquido se ve

que siendo las fuerzas elementales de presión que el líquido inferior ejerce sobre el líquido

aislado normales al plano “”, su resultante también lo será y no podrá estar en equilibrio con la

fuerza de la gravedad, W.

Unidades (dimensiones): Sistema Absoluto:

Sistema Gravitacional:

- M.K.S:

ABSOLUTO

- C.G.S:


- M.K.S:

GRAVITACIONAL

- C.G.S:

En la práctica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de columna de un

líquido determinado: por ejemplo en metros de columna de agua, en milímetros de columna

de mercurio, etc. Dimensionalmente la presión no es una longitud sino una fuerza partido por

una superficie. Por eso en el Sistema Internacional (SI) las alturas como unidades de

presión han sido abolidas aunque no hay dificultad en seguir utilizándose como alturas

equivalentes. Como excepción puede seguirse utilizando como unidad de presión el mm. de

columna de mercurio, que recibe el nombre de “Torr” (en atención a Torricelli), nombre que

debe sustituir al de mm. cm. :

A continuación se deduce una ecuación, que permite pasar fácilmente de una presión

expresada en columna equivalente de un fluido a la expresada en unidades de presión

de un sistema cualquiera:

Consideremos un recipiente cilíndrico de base horizontal “A” lleno de líquido de densidad “ρ”

hasta una altura “h”.

Por definición de presión:

Ejemplo: Hallar la presión correspondiente a una columna de glicerina de h = 300mm.


; Luego

Luego (S:I)

Aplicando (α)

Con frecuencia se presenta el caso al pasar de una columna del líquido “x” a otra de un

líquido distinto “y”.

Aplicando la ecuación (α), se tiene:

Si el líquido “y” es agua, se tiene:

ó

Caso particular, para transformar a alturas equivalentes de columnas de agua.

Ejm:

Convertir 750 Torr en unidades diversas.

Solución:

; Luego:


Presión Atmosférica (Pamb)

Según las normas DIN 1314 (Feb. 1977), que denomina a la presión atmosférica Pamb (del

latín “ambiens”)

“Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella existe. Esta

presión puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si el recipiente está

abierto, sobre la superficie libre del líquido reina la presión atmosférica “pamb”, debido al peso

de la columna de aire que gravita sobre el fluido”.

La presión atmosférica varía con la temperatura y la altitud.

Presión atmosférica estándar: Es la presión al nivel medio del mar y a la temperatura de

15ºC; equivale a la atmósfera real que se encuentra en muchas partes del mundo.


En la técnica se utiliza mucho la atmósfera técnica.

El kilopascal es también usado como unidad de presión

Presión Atmosférica Local y Temporal:- Es la presión atmosférica reinante en un lugar y

tiempo determinado

Por lo tanto hay tres atmósferas:

1.- Atmósfera Estándar = 1.033227 kg/cm2=1.01396 bar

2.- Atmósfera Técnica = 1.019368 kg/cm2=1 bar

3.- Atmósfera Local y Temporal = ¿ ?

Presión Absoluta y Presión Relativa o Excedente.

La presión en cualquier sistema de unidades se puede expresar como presión absoluta (pabs) o

como presión relativa o excedente (pr). Esta denominación no afecta a la unidad, sino al cero

de la escala. Sucede lo mismo con la temperatura: Los grados centígrados expresan

temperaturas relativas, tomando como 0ºC la temperatura de fusión del hielo; mientras que las

temperaturas en ºKelvin expresan temperaturas absolutas, medidas a partir del cero absoluto.

En el sistema inglés de unidades, los grados Farenheit expresan temperaturas relativas

(Temperatura de fusión del hielo 32ºF); mientras que los grados Rankine expresan


temperaturas absolutas. El cero absoluto de temperaturas es el mismo en todos los sistemas

de unidades. Lo mismo sucede con el cero absoluto de presiones.

Escala Kelvin.- Se sabe que la temperatura no tiene límite superior; pero si un inferior.

Métodos modernos de la física de bajar la temperatura de un cuerpo; máximo a la vecindad de

-273ºC; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar más.

La temperatura de -273ºC se denomina cero absoluto y un gran físico del siglo XIX llamado

Kelvin, propuso una construcción de una escala termométrica cuyo cero fuese el cero absoluto

y cuyos intervalos de un grado fueran iguales a las de las escalas Celsius o Centígrados.

0K=273º + 0C

Las presiones absolutas se miden con relación al cero absoluto (vacío total o 100% de

vacío) y las presiones relativas con relación a la atmósfera.

La mayoría de los manómetros (dispositivos para medir presiones), están construidos de

manera que miden presiones relativas o excedentes con relación a la Atmósfera local. Para MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 31

hallar la presión absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leída en el manómetro la

presión atmosférica local medida exactamente con un barómetro. Muchas veces no se necesita

gran precisión y entonces se suma a la lectura del manómetro (presión relativa) la Atmósfera

Técnica, que es igual a 1 bar =1.019 Kg/cm2

De aquí resulta la Ecuación Fundamental:

Donde:

= Presión absoluta “Pa”, S.I

= Presión relativa, “Pa”, SI (medida con el manómetro)

= Presión atmosférica, presión ambiente o presión barométrica, “Pa”, SI

(medida con un barómetro).

O bien la Ecuación aproximada:

bar……….(β)

1 bar = 1 atmósfera técnica

Las ecuaciones (α) y (β) pueden estudiarse gráficamente en la figura siguiente.

Finalmente los vacíos se miden con mucha frecuencia en tanto por ciento de la presión

atmosférica local. Es decir el cero absoluto es 100% de vacío y la presión atmosférica local al

cero por ciento.


Torricelli, Fue el primero en medir la presión atmosférica, su experimento consistió en:

a) Consiguió un tubo de vidrio abierto por uno de los extremos, al cual llenó completamente de

mercurio. Fig. A

b) Consiguió un recipiente también al cual introdujo el mismo líquido mercurio. Fig. B

c) Tapando el extremo libre del tubo volteó dicho tubo y lo sumergió en el recipiente antes

mencionado, para inmediatamente destaparlo.

d) El mercurio descendió por el tubo y se detuvo a una altura de 76 cm. Encima del nivel del

mercurio del recipiente. Fig. C..

Torricelli concluyó que la presión atmosférica al actuar sobre el recipiente equilibraba a la

columna de 76cm de mercurio, con la cual la presión atmosférica sería:


Medida de la Presión

La medida, la transmisión y el registro de presiones, es muy frecuente, tanto en laboratorios,

como en la industria.

Los medidores de presión o manómetros necesariamente son variadísimos, yá que en los

laboratorios y la Industria se han de medir presiones desde un vacío absoluto del 100 por 100

hasta 10,000 bar y aún mayores, con grado de precisión muy diverso y en medios

(temperaturas elevadas, atmósferas explosivas, etc.) muy diversos.

Los aparatos que sirven para medir las presiones se denominan manómetros. Los manómetros

pueden clasificarse según los siguientes criterios:

1.-Clasificación: según la naturaleza de la presión medida:

a. -Instrumentos que miden la presión atmosférica: barómetros

b. -Instrumentos que miden la presión relativa: manómetros.

c. -Instrumentos que miden la presión absoluta: manómetros de presión absoluta.

d. -Instrumentos para medir diferencias de presiones: manómetros diferenciales.

e. -Instrumentos para medir presiones muy pequeñas: micromanómetros.

2.-Clasificación según el principio de funcionamiento.

A.-Mecánicos, el principio de funcionamiento de estos consiste en equilibrar la fuerza

originada por la presión que se quiere medir con otra fuerza, a saber, con el peso de una

columna de líquido, con un resorte en los manómetros clásicos o con la fuerza ejercida sobre

la otra cara de un émbolo en los manómetros de émbolo. Esta última fuerza se mide

mecánicamente.

B.-Eléctricos, en este tipo de manómetros la presión origina una deformación elástica, que

se mide eléctricamente.

El grado de exactitud de cada manómetro depende del tipo, de la calidad de construcción, de

su instalación y, por supuesto, de su adecuada lectura.


A.-Barómetros

Son Instrumentos que sirven para medir la presión atmosférica. Los principales son: barómetro

de mercurio de cubeta y barómetro de mercurio en “U”.

Barómetro de Mercurio de Cubeta.-

En la figura representada, encima del mercurio reina el vacío, p = 0, se ha tenido en cuenta de

eliminar el aire al sumergir el tubo. Una escala graduada móvil no dibujada en la figura, cuyo

cero se hace coincidir antes de hacer la lectura con el nivel del mercurio en la cubeta, permite

leer “l”, que es la presión atmosferita pamb en Torr. o en mm c.m.

Del diagrama del cuerpo libre de la figura se cumple:

P2=Pamb=P1+الHg

Pero como P1=0, entonces:

Pamb= الHg h

Barómetro de Mercurio en “U”


En este barómetro la cubeta queda eliminada.

Por razonamiento similar y evaluando el diagrama del cuerpo libre de la columna de mercurio,

entre las secciones “0” y “1” y teniendo en consideración que Po=0, pues corresponde al vacío

total; y además de la segunda propiedad de la presión “la presión en todos los puntos situados

en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma”; es decir: P1 = P2

= Pamb

Luego: Pamb=الHg h

B.-Piezómetros

Son tubos transparentes de cristal o plástico, recto o con un codo, de diámetro que no debe ser

inferior a 5 mm para evitar los efectos de capilaridad debidos a la tensión superficial. Este tubo

se conecta al punto que se quiere medir la presión, practicando cuidadosamente en la pared

del recipiente o tubería un orificio, que se llama orificio piezométrico.

Los tubos piezométricos constituyen el procedimiento más económico y al mismo tiempo de

gran precisión para medir presiones relativamente pequeñas. Midiendo la altura de ascensión

del líquido en el tubo piezométrico nos dará la presión requerida.

PA = ال h

Donde ال es el peso específico del fluido en la tubería, que es mismo que asciende en el tubo

piezométrico o simplemente piezómetro.


C.-Manómetros

Se utilizan para medir presiones relativas, tanto positivas como negativas. Particularmente se

utilizan cuando el fluido es poco viscoso, pues en este caso trata de ganar grandes alturas,

utilizándose el mercurio como líquido manométrico.

El líquido manométrico se escogerá apropiadamente de acuerdo a las presiones a medir.

Tipos:

Manómetro en “U”; con Sobrepresión o Presión Relativa Positiva

Es aquel que es conectado a depósitos o tuberías a presión, por lo tanto las presiones a

registrar son mayores que la atmosférica.

Objetivo, determinar la presión en “A”.

Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2”

P1 = P2

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura “h”, puesto que se está trabajando con

presiones relativas,

Luego,

Pamb =0

Entonces:

P1 = ال l h (1)

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio de altura “z”,


P1 = PA + ال z (2)

Igualando (1) y (2):

PA = ال l h - ال z

Hagamos,

;

Manómetro en “U”; con Depresión o Presión Relativa Negativa

Es aquel que es conectado a depósito o tubería en vacío, por lo tanto las presiones a

registrar son menores que la atmosférica.

Objetivo, determinar la presión en “A”.

Se sabe que la presión en “2” es igual a la presión en “3”

P2 = P3

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura “z+h”, puesto que se está trabajando con

presiones relativas,

Luego,

P3 =0 (1)

Entonces:

P2 = PA + ال z + ال l h (2)

Igualando (1) y (2):


PA = -(ال lh- ال z)

Hagamos,

Entonces:

Regla Práctica:

Consiste en dividir el fluido en secciones, correspondientes a los cambios de densidad. En la

práctica se escribe inmediatamente una sola ecuación partiendo del punto inicial (A) y en

nuestro caso sumándole o restándole los términos correspondientes a las columnas de líquido

hasta llegar al punto final (B); es una suma y resta de presiones; al considerar positivas las

presiones de secciones que se encuentran por debajo de la sección inmediata de referencia y

negativas, las presiones que se encuentren por encima de la sección inmediata de referencia;

ejemplo:

Pero,

PD = 0

Entonces:

Resultado que es el mismo obtenido por el procedimiento analítico o general.

Manómetro Diferencial

Mide la diferencia de presiones entre dos puntos. La sensibilidad del manómetro es tanto

mayor cuanto la diferencia (الm - ( ال sea menor. Siendo الm el peso específico del líquido

manométrico.


Objetivo, determinar la diferencia de presiones entre “A” y “B”.

Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2” y también a la Presión en “3”

P1 = P2 = P3 (1)

Del diagrama del cuerpo libre en equilibrio de la columna de altura “z”,

PA = P1 + ال z (2)

Reemplazando (1) en (2) ,

Resulta:

PA = P3 + ال z (3)

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de la columna de altura “h”,

P3 = P4 + ال l h (4)

Pero, P4 =P5 (5)

Sustituyendo (5) en (4), resulta:

P3 = P5 + ال l h (6)

Además, del diagrama del cuerpo libre de la columna de altura “h+z”:

PB = P5 + ال (h+z) (7)

Restando (3)-(7) y simplificando,

Resulta:

PA – PB = P3 – P5 -ال h (8)

(6) en (8):

PA – PB = h (ال l- ال)


D.-Vacuómetros

Sirve para medir presiones de líquidos o gases empleando un líquido manométrico no miscible.

Aplicando los mismos principios que en los manómetros al vacuómetro de líquido de la figura,

se obtiene la presión absoluta de la sección “5”:

P5 =ال (Sh-z)


ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y

cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de

ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo

cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua.

Si todas las partículas de un elemento fluido, visto como un medio continuo, están en reposo o

moviéndose con la misma velocidad, se dice que el fluido es un medio estático; por lo que el

concepto de propiedades de un fluido estático pueden aplicarse a situaciones en las cuales se

están moviendo los elementos del fluido, con tal de que no haya movimiento relativo entre

elementos finitos. Como no hay movimiento relativo entre las placas adyacentes, tampoco

existirán fuerzas cortantes, por lo que la viscosidad en este caso deja de ser importante y las

únicas fuerzas que actúan sobre las superficies de los fluidos son las de presión. La estática se

refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partícula fluida o

un cuerpo.

Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o

en movimiento: Las fuerzas másicas y las fuerzas superficiales.

Las fuerzas másicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el material en

cuestión sin contacto directo, ejemplo la gravedad.

Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su

proximidad, por contacto directo; es por esto una acción de contorno o superficial, ejemplo las

fuerzas de presión, de fricción, etc.

En mecánica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o áreas, así:

ó

ó

Ecuación Fundamental de Variación de la Presión en un Fluido en Reposo Absoluto


Como el fluido se encuentra en reposo absoluto, estará sometido exclusivamente a su peso

propio, no existirán otro tipo de fuerzas de masa o exteriores; es decir, además de la fuerza

gravitacional, existirán las fuerzas superficiales debido a la presión, no existiendo fuerzas de

fricción o tangenciales por encontrarse en reposo absoluto.

Evaluemos la variación de la presión en un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx,

dy y dz, como se muestra en la figura, en donde se hallará las fuerzas que producen en el eje

“y”, la presión y la gravedad de las partículas fluidas.

Como la masa contenida en el elemento diferencial de volumen, está en equilibrio, y

conociendo por la segunda propiedad de la presión que todos los puntos contenidos en un

plano horizontal tienen la misma presión; por lo tanto las fuerzas debidas a las presiones en las

direcciones “z” y “x” se cancelan, por lo que resulta aplicable solo la ecuación de equilibrio en la

dirección “y”:

Simplificando y ordenando resulta:

ó (α)

En general, la ecuación de la estática de los fluidos (α), no se puede integrar a menos que se

especifique la naturaleza de “ρ”. En la determinación de la presión se trata entonces por

separado los gases y a los líquidos.

Pero como remarcamos al inicio del estudio del presente tema, como ingenieros civiles nos

interesa fundamentalmente el estudio de los líquidos, especialmente el agua, por lo que solo

abordaremos el caso de fluidos líquidos; por lo que siendo así, integraremos para los puntos P1

y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo:MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 43

Donde, de la figura superior, extrema derecha:

Luego:

(β)

Donde: Presión absoluta

Presión atmosférica

Presión manométrica o relativa

La expresión (β), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos

Líquidos o Incompresibles en reposo absoluto.

Si se trabaja con presiones relativas, la expresión (β), se transforma en:

(φ)

Cuyo diagrama de variación de la presión de la ecuación (φ) es:

Ecuación Fundamental de la Hidrostática

Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos

líquidos y gases.

Consideremos un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo hemos

separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura siguiente, en

donde se hallará las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presión y la aceleración de

las partículas fluidas:


Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de

coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

; ;

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

Sea F = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad de masa,

que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa “dm” del elemento diferencial

ortoédrico de volumen .

Es decir : (ξ)

Donde:

F= Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleración externa al

fluido; es una fuerza másica. X, Y y Z, son sus componentes. También se le denomina

aceleración externa .

Como el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, se verifica, en cada eje

coordenado:

Condición de equilibrio en el eje “y”:

Simplificando:


De igual manera realizando el equilibrio en los ejes “x” y “z”, resulta:

Donde: , y (ε)

Las expresiones (ε), son conocidas como las Ecuaciones estáticas de Euler.

Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estáticas de Euler, tendremos:

El primer miembro de la ecuación corresponde al desarrollo de :

Además reemplazando (ξ), en la expresión anterior, resulta:

(ψ)

La expresión (ψ), es conocida como la Ecuación Fundamental Vectorial de la Hidrostática,

o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Proyectando la expresión (ψ), según la dirección “ ”:

Donde:

El desarrollo de la expresión anterior resulta:

El desarrollo del primer miembro de la ecuación corresponde a “dp”, luego esta puede ser

escrita, como:

(π)

La expresión (π), es conocida como la Ecuación Fundamental Analítica de la Hidrostática,

o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Variación de la Presión de un Fluido Líquido Sometido a su Peso Propio


Aplicando la ecuación fundamental analítica de la hidrostática (π)

Donde:

y

Reemplazando en la Ecuación (π), tendremos:

En el caso de los líquidos, ال = Cte; luego tendremos:

Integrando para los puntos P1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del

fluido en reposo:

Sabiendo que: y reemplazando y acomodando la expresión anterior:

ó (φ)


La expresión (φ), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos

Líquidos o Incompresibles en Reposo Absoluto para el caso de presiones relativas.


Fuerza Hidrostática sobre una Superficie Plana

Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana

sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.

Determinación de la Fuerza (F)

- La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:

; Pero

; Además:

Luego:

- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza

resultante F, debida a la presión será:

, sustituyendo (1)

Por definición de centro de gravedad: ………….. (3).

Donde: momento del área con respecto al eje X

Ordenada del centro de gravedad

Área total de la superficie plana sumergida


(3) en (2): …………. (4); pero

Es decir:

“La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión

relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.

b) Determinación del Centro de Presiones

- La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se

llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las

superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)

- Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema

de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de

los momentos de las componentes”

Cálculo de Yp

Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene:

; Pero . Donde:

Momento de la resultante

Momento de las componentes

De (1)

(1) y (4) en (5):

Donde: momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.


En (6):

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales,

paralelos a los ejes “x” e “y”.

Para ello aplicamos el teorema de Steiner

Respecto al eje :

(8) en (7):

Donde:

Es decir:

El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies

horizontales que coinciden

b.2: Cálculo de Xp

Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:

; Pero

(1) y (4) en (9):


Donde:

Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.

en (10): .

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales e , se tiene:

(12) en (11):

El valor puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro

lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que ,

en cuyo caso:

Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que

tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.


Componentes de la Fuerza Hidrostática de una Superficie Plana Inclinada:

Siendo:

Luego:

“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie

inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha

superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”.

Fuerzas de Presión Sobre Superficies Curvas

La Resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva, está

formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la

superficie. La magnitud y posición de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede

determinarse fácilmente por los métodos usados para superficies planas. Sin embargo, se


pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para

luego combinarlas vectorialmente.

Considérense las fuerzas que obran sobre el prisma de líquido ilustrado en la fig.(A), limitado

por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El

peso de este volumen es una fuerza “w” vertical hacia abajo, y actuando de derecha a

izquierda, sobre o-b está la fuerza horizontal , en donde “Av” es el área de la

superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en

equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reacción de la superficie curva a-b. Se deduce en

consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una

superficie curva es igual, y está aplicada en el mismo punto, que la fuerza que actúa sobre la

superficie plana vertical formada al proyectar en dirección horizontal la superficie curva. Por

otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al

peso del líquido que se encuentra encima de ésta, y está aplicada en el centro de la gravedad

del volumen líquido. Un razonamiento semejante demostrará que cuando el líquido se

encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen

imaginario del líquido que se encontraría encima de la superficie y está aplicada hacia arriba

pasando por su centro de gravedad.

Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la

componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por

LNM y actúa hacia arriba pasando por “G” como se indica.


Ejm 1.- La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de

longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un tirante.

El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio.

a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante

b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta

c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la

pared.

Solución:

a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante

La posición de “P” está a arriba de “C”

ó


“Pv” esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del circulo, el cual se encuentra a:

, a la izquierda de “oc”

Para calcular “T”, se halla tomado momentos respecto a la articulación “c” como sigue:

Reemplazando valores:

b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta.

La dirección, sentido y la posición de “P” se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su

intersección. Como todos los componentes elementales de “P” son normales a la superficie de

la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto “o”, se concluye que “P” pasará también

por “o”.

c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando el peso de la

pared.


-)

-)

Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es:

R = 6839 Kg.

Principio de Arquímedes

“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje

vertical (fuerza vertical) ascendente igual al peso del volumen del líquido desalojado”. El


punto de aplicación de dicho empuje coincide con el Centroide del volumen sumergido (Igual al

del volumen desalojado) y se conoce con el nombre de “centro de flotación o de carena”.

Centro de flotación o de carena: es el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo y

es el punto donde está aplicado el empuje.

Demostración:

Sea el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un líquido, existe un estado de equilibrio

debido a que el líquido ejerce sobre el cuerpo una presión ascendente de igual magnitud que el

peso propio del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados anteriores.


Parcialmente Sumergido

en el volumen de control.

La integral es igual al volumen ( ) de la parte del cuerpo en flotación que se encuentra debajo de la superficie libre del líquido; esto es:

Totalmente Sumergido

en el volumen de control

= Volumen del líquido desalojado (volumen del cuerpo sumergido)

= Peso específico del líquido.


Relación entre el Empuje y el Peso del cuerpo sumergido

Sea W = El peso total del cuerpo

E = Empuje del fluido sobre el cuerpo

1.- Si E < W, el cuerpo tiende a ir hacia el fondo

2.- Si E = W, el equilibrio del cuerpo es estable (el cuerpo se mantiene sumergido en la

posición en que se le deje) “Flotación en Equilibrio”.

3.- Si E > W, el cuerpo tiende a ir hacia la superficie.

Condiciones de Equilibrio de los Cuerpos en Flotación

El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos:

1.- Estable.- Una fuerza actuante-por ejemplo el empuje del oleaje o del viento- origina una

inclinación lateral, pero cuando aquella cesa el cuerpo vuelve a su posición original. Este

tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo.

2.- Inestable.- La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo (zozobra), el cuál después

recupera una posición más o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo

centro de gravedad es alto.

3.- Indiferente.- La fuerza actuante origina un movimiento de rotación continua del cuerpo;

cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya duración es

la misma que la de dicha fuerza. Este tipo de equilibrio lo poseen cuerpos cuya distribución

de la masa es uniforme (por ejemplo la esfera con posición de flotación indiferente; el

cilindro cuya posición de flotación es indiferente con su eje longitudinal en la dirección

horizontal).

Las condiciones de equilibrio de un cuerpo flotante se explican con claridad utilizando como

ejemplo un barco (como el mostrado en la fig. a) cuya superficie de flotación muestra una forma

simétrica con un eje longitudinal y otro transversal. La rotación alrededor del primer eje se

conoce como Balanceo, y del segundo Cabeceo.

En La posición de equilibrio (Sin fuerzas ocasionales) sobre el barco actúa el peso “W” ejercido

en el centro de gravedad “G”, además del empuje ascendente del líquido “E” que actúa en el


centro de flotación o de carena, G1. Ambas fuerzas son iguales, colineales y de sentido

contrario.

Al producirse una fuerza ocasional el barco se inclina un ángulo θ y pasa a ocupar la posición

mostrada en la fig. (b); el punto “G1”, pasa ahora a la posición “G’1”.

Por efecto de las cuñas sombreadas- una que se sumerge y otra que emerge por encima de la

línea de flotación- se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2.

El empuje ascendente total “E”, en su nueva posición “G’1”, es la resultante de “E” en su

posición original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuñas.

El momento de la Fuerza Resultante con respecto a “G1” será igual a la suma algebraica de los

momentos de sus componentes, y considerando que “θ” es pequeño, por lo tanto “W” pasa por

“G1”.

Cálculo de .

Para un elemento de volumen ( ) de la cuña

, donde .

(2) (1):


;

Luego:

= Momento de Inercia del área de la sección del barco a nivel de la superficie de flotación

con respecto al eje longitudinal “Z” del mismo que pasa por “O”.

El par de fuerzas E y W producen un momento M1 = W hsenө, que tratará de volver al barco a

su posición original o de voltearlo mas, hasta hacerlo zozobrar.

Para predecir el comportamiento del barco es importante conocer la posición del punto “M” de

intersección de “E” en “G’1”, con el eje “y” del barco inclinado; punto que se denomina

metacentro y la altura metacéntrica se indica con “h”. A medida que “h” aumenta es mas

estable la flotación del cuerpo, es decir, más rápidamente tratará de recobrar su posición

original.

El equilibrio es estable si el punto “M” queda arriba del punto “G” (h>0) y es inestable si “M”

queda debajo de “G”; por tanto, la estabilidad del barco exige que sea h>0, esto es:

, siendo “θ” pequeño, senθ=tangθ


CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS

Definición.- Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus partículas, sin

considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al conocimiento de las magnitudes

cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación.

Campo de flujo.- Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento, donde sus

magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presión, densidad,

temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un punto a

otro y en un mismo punto de un instante a otro (función de la posición y tiempo).

Características del campo de flujo

Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la

cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y temperatura.

Campo Vectorial: En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita definir una

dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde esto es tres valores

escalares definen la cantidad física; ejemplos: la velocidad, la aceleración y la rotación.

Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más componentes

escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento de inercia.

1.- Campo vectorial de velocidades.-

El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea usualmente curva

que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas:

a) Por el conocimiento del vector de posición , de la partícula, como una función vectorial

del tiempo (t).


Si es función del tiempo entonces sus componentes son también funciones del tiempo; es

decir:

; ; .

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo.

En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido,

siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una función escalar del tiempo;

esto es:

Definición de Velocidad.- El Vector velocidad de una partícula fluida se define como la

rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posición.

.


Donde representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en

el tiempo dt.

La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula

según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de

la posición de la partícula y del tiempo.

Haciendo: ; y

Luego, Expresión vectorial de la velocidad.

Donde:

Módulo de la Velocidad:

2.- Campo vectorial de aceleraciones.- Es un campo vectorial que se deriva del campo de

velocidades.

Definición de aceleración.- El vector aceleración de una partícula en un punto se define como

la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:


En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria

de la partícula; siendo la aceleración también una función de la posición y tiempo.

Haciendo: ; y

Resulta:

Expresión vectorial de la aceleración

A veces es conveniente expresar la aceleración en función de sus componentes normal y

tangencial.

Módulo de aceleración:

La aceleración deriva del campo de velocidades, donde:


Tomemos un diferencial total de velocidad :

Ordenando:

…………..(1)

Sabemos que:

Y además:

Luego: ……………(2)

(2)→(1): …………….(3)

Donde la Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en función del

producto escalar , denominado divergencia de .

= aceleración local (depende del tiempo)

= aceleración convectiva (depende de la posición)

Comentario: Si el flujo es permanente: y


Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva.

Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en término del

producto vectorial , conocido como rotacional de .

Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación.

Hagamos:

(II)=

(III) =

Trabajando con (I):

Sumando y restando ; a la expresión anterior, resulta:

iVzx

VzVyx

VyVzx

VzVyx

VyVxz

VzVxy

VyVxx

Vx )(


………”(α)”.

Del primer término de (α); observamos:

x

VxVx

x

VxVx2

2

1

x

Vx

2

1 2

Tomando los extremos: ……………..(β)

Análogamente: ……………..(β)

x

VzVz

x

Vz

2

2

1 …………… (β)

(β) → (α)

Factor común:

…………….(ө)

Además conocemos que:

VzVyVxzyx

kji

V

, cuyo desarrollo es:

Ahora, el desarrollo de: :


VzVyVx

Vxy

Vyx

Vxz

Vzx

Vyz

Vzy

kji

VV )()()()(

Trabajando ahora sólo con la componente en la dirección de

:(θ)→(ال)

Análogamente:

Aceleración convectiva( ):

;

Por lo tanto, la aceleración total de la partícula será:


3.- El campo rotacional.

Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa la rotación local

de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial de por .

Rotacional de

VzVyVxzyx

kji

Vrot

Cuyo desarrollo es:

Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto como de tiempo y

es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo, por esta razón se le

conoce también como campo vorticoso.

Significado físico del vector rotacional:

Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede experimentar una

rotación, intentemos una representación física del vector rotacional.

Generalidades para la interpretación física:

a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la traslación de la

partícula)

b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro alrededor

de un eje instantáneo, que pasa por el centro de gravedad de la partícula “P0” (cuya

dirección lo da el vector unitario ( ), normal al plano formado por dos líneas ortogonales

contenidas en la partícula.


c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “Po”, ha tenido una

traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo , en un instante dt;

adquiriendo una velocidad tangencial .

Descripción de la rotación pura.-

1.- Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las líneas

ortogonales, esta la tomamos como posición inicial de la rotación pura, (prescindiendo de la

traslación de la partícula).

2.- En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P ’” habiéndose desplazado un ,

con un radio de giro .

3.- Al producirse la rotación la velocidad angular vale:

Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad angular será:

La velocidad tangencial puede definirse como:

Donde:

Calculamos el rotacional de , es decir:


Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento de rotación

alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:

De la expresión (β)

La aceleración en un punto está formada por las componentes:

= Corresponde al movimiento de traslación pura.

= Correspondiente al movimiento de rotación, llamada

aceleración de “Coriolis”.

y

= Aceleración local.


Clasificación de los Flujos

Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente o no

permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico, crítico o subcrítico;

tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional, incompresible o

compresible, etc. aunque no los únicos, si son los flujos más importantes que clasifica la

ingeniería.

Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por canal.

Flujo permanente y no permanente

Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable. El flujo es permanente si

las características hidráulicas del flujo en una sección (velocidad, presión, densidad, etc.) no

cambian con respecto al tiempo; o bien, si las variaciones en ella son muy pequeñas con

respecto a sus valores medios y éstos no varían con el tiempo.

Matemáticamente se puede representar:

Flujo permanente.

Si las características hidráulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo no

permanente, matemáticamente se representa:

; etc. Flujo no permanente.


Flujo Uniforme y no uniforme

Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable. El flujo es uniforme si las

variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo (velocidad, presión, densidad,

etc.) no cambian con respecto al espacio.

Matemáticamente se puede representar:

Si las características hidráulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo no

uniforme o variable. Matemáticamente se representa.

Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubería de diámetro

constante y la otra con tubería de diámetro decreciente.

Flujo Unidimensinal, Bidimensional y Tridimensional.

Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus características

hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo

existen en las tres direcciones.

El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos

paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho plano, o bien ellas

permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene

ambos) en dos direcciones exclusivamente.


El flujo es unidimensional, Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de

una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la

conducción.

El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al efecto de la

viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero en otro punto es

distinto de cero; sin embargo bajo la consideración de valores medios de las características en

cada sección se puede considerar unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en

hidráulica, por las simplificaciones que trae consigo.

En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo prevalece una

dirección es considerada unidimensional, como ocurre con las tuberías y los canales. En el

caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda

dimensión para describir al flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.

Laminar y Turbulento

Clasificación de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y de las fuerzas de

inercia.

Flujo Laminar.- Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias ordenado, rectilíneas

y paralelas.

Flujo turbulento: Flujo característico de velocidades ordinarias (altas), de trayectoria erráticas

o desordenadas. Existen pequeñas componentes de velocidad en direcciones transversales a

la del movimiento general, las cuales no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de

acuerdo con una ley aleatoria, aún cuando el flujo en general sea permanente.


Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado intenso

de las partículas que consume parte de la energía del movimiento por efecto de la fricción

interna y que también en cierto modo, es resultado de los efectos viscosos del fluido.

Existe un parámetro que es función , y cuyo valor permite diferenciar el flujo, es decir, si

es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds ( ).

Flujo Rotacional e Irrotacional.-

Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot adquiere valores distintos de cero para

cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector

rotacional de es igual a cero para cualquier punto e instante.


No existe mezcla macroscópica

o intercambio transversal entre

partículas.

Existe mezclado intenso de las

partículas.

Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de

un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen

la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre

con bastante frecuencia en los problemas de la práctica.

Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo

movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo

es Irrotacional.

Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como irrotacionales. En otros

casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribución de velocidades puede ser de forma

tal que las líneas medianas o las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no

modifican su orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se

representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector rot sería

normal al plano del papel.

El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.

Flujo Lineal Irrotacional Flujo Lineal Rotacional

Flujo Curvilíneo Irrotacional Flujo Curvilíneo Rotacional(Esquema Ideal) (Esquema Real)


Descripción del Movimiento

El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de conocer:

El cambio de posición de una partícula

La variación de la velocidad en un punto.

Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido:

Método de Euler: También conocido como local, consiste en elegir un punto y determinar las

variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin considerar el camino que después

siga cada partícula individual (trayectoria). Elegida la posición de una partícula en el espacio,

sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:

Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz

Las variables independientes son: x, y, z, t.

Método de Lagrange: Consiste en elegir una partícula y determinar las variables cinemática

de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su

posición inicial (xo, yo, zo), en el instante t = to , en otro instante cualquiera “t”, la misma

partícula se encuentra en la posición . Entonces la posición de la partícula se tiene

conocida en cualquier instante si el vector de posición se determina como función del tiempo

“t” y la posición inicial ; o sea:

Las variables dependientes son: x, y, z.

Las variables independientes son: a, b, c, t.

De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más simple. Es el

que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos.


Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente

Se supone que en un instante “t0” se conoce el campo de velocidad de un flujo.

Línea de Corriente.- se define línea de corriente toda línea trazada idealmente en el seno

líquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector

velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un

punto común, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores

distintos.

Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la configuración de las líneas de corriente es

otra. Si el flujo es permanente la configuración de dos líneas de corriente es la misma en

cualquier momento.

Línea de corriente para un instante “t”

Ecuaciones de la línea de corriente

En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está infinitamente

próximo a “2”, de manera que se puede considerar que .


Como son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:

Donde = Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2”

Como son paralelos

Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):

La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente para un instante “t”.

Donde, recordamos que:


Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partícula

con el transcurrir del tiempo.

Luego (2)→(1)


Comparando (3), (4), (5) y acomodando:

La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.

“Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas distintas, pero si el

flujo es permanente significa lo mismo”.

La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el tiempo.

- Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma trayectoria.

- En cada punto a0, a1, … an el vector velocidad permanece igual

Todas las partículas que pasen por



Tubo de flujo: Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las líneas de corriente

que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas líneas de corriente definen una

superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo de corriente y que no puede ser atravesada por

el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena líquida o vena fluida.

Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete hidráulico.


Campo potencial, solenoidal y Armónico

Campo Potencial: Es un campo vectorial en el que existe una función escalar

(denominada función potencial o potencia), tal que:

Donde:

= campo potencial vectorial

= función escalar o función potencial de

Calculemos el donde

Lo que demuestra que si el campo de es potencial, es Irrotacional; lo cual justifica que se

pueda decir indistintamente campo potencial o campo Irrotacional.

Para el caso particular del campo vectorial de velocidades,

Es un campo potencial de velocidades

= función potencial de velocidades

Verificándose también:

Lo que justifica que el campo potencial de velocidades es un campo Irrotacional.


Por definición de son ortogonales

Campo Solenoidal: Es un campo vectorial, en el que existe una función vectorial

(denominada función solenoidal), tal que:

Donde:

= Campo solenoidal

= función solenoidal vectorial de

Calculemos la divergencia de : , donde:

Sumando términos obtenemos:


“Lo que demuestra que si el campo de es solenoidal, se verificará que su divergencia es

nula”.

Además se cumple que es normal a ; para que el producto escalar sea cero

Para el caso particular del campo de velocidades:

= Es un campo solenoidal de velocidades

= Es una función solenoidal vectorial de

Verificándose también:

“Condición de flujo incompresible (líquidos)”.

Campo Armónico o Laplaceano: Es un campo vectorial, que sucede para flujos

incompresibles y que además es Irrotacional

Por ser incompresible; el campo cumple:

(1) Condición de campo solenoidal

Por ser Irrotacional; el campo cumple:

y (2) condición de campo potencial

(2) → (1)

Ecuación de Laplace o Laplaceano

“En resumen un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace, donde “ ” recibe

el nombre de función armónica”.


Movimiento Plano de fluidos

La mayoría de problemas sobre conducción de agua en tuberías y canales se resuelven con la

hipótesis de flujo unidimensional. Pero también hay un grupo importante de problemas en los

que se hace imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que

la descripción del flujo en planos paralelos es idéntica a la estudiada.

Se hace el análisis del flujo en un plano, es decir movimiento plano es aquel que es idéntico en

todos los planos perpendiculares a una dirección, llamado dirección de identidad.

Parecería que solamente el líquido ideal (sin viscosidad y por ello Irrotacional) puede ser objeto

de estudio en lo que se refiere a movimiento plano, pero no es así. Como regla general, se

puede producir un flujo casi irrotacional en líquidos reales si el efecto de la viscosidad en el

movimiento es de poca importancia.

Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como es el

subsuelo o una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con predominio de la

viscosidad (flujo laminar) pero resulta casi irrotacional. Esto hace que el estudio del flujo plano

alcance también a este importante caso del flujo.

La Función Corriente

Introducción: Supongamos un líquido incomprensible en movimiento bidimensional,

permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje “z” (dirección identidad), de

modo que su estudio puede hacerse en el plano x y; se puede considerar luego una familia de

L.C. (líneas de corriente), las que no cambiarán con el tiempo por tratarse de un movimiento

permanente.


Familia de líneas de corriente

De la ecuación analítica de las líneas de corriente (flujo bidimensional):

Definición: La función corriente es una función escalar que define a una familia de líneas de

corriente. Esta función tiene un valor constante diferente para cada línea de corriente.

Las líneas de corriente sirven para la representación gráfica de los flujos llamados

bidimensionales, que pueden representarse fácilmente en un plano porque la velocidad no

tiene componente normal al plano del dibujo, y la configuración de corriente en todos los planos

paralelos al del dibujo es idéntica.

Por cada punto de la corriente pasa una línea de corriente. Por tanto si se trazaran todas las

líneas de corriente no se distinguiría ninguna y se trazaran demasiadas el dibujo sería confuso.

Por eso se trazan solo unas cuantas; pero de manera que entre cada dos líneas consecutivas

circula el mismo caudal, .

En el punto “P” sobre una línea de corriente, los tres vectores indicados en la figura son

normales entre sí, de modo que se cumple:


Pero:

Comparando (a) y (b)

”Componentes de en coordenadas cartesianas, relacionada con la Función Corriente.”


En coordenadas polares, en forma análoga:

“Componentes de en coordenadas polares, relacionada con la Función Corriente.”

De la ecuación analítica de las líneas de corriente para un flujo plano:

Desarrollando:

Sustituyendo: en la expresión anterior, resulta:

,

Integrando, resulta:

“Lo que confirma que la función corriente “ψ” tiene un valor constante diferente para cada línea

de corriente”.

Además sabemos que son ortogonales es decir:


Siendo:

Donde se conoce que:

Luego:

Además si son ortogonales

Conclusiones:

1) Conocido uno de las funciones vectoriales, se puede encontrar la otra función vectorial

ortogonal.

2) El módulo de , es igual al módulo del gradiente de

(a)

3) El módulo del gradiente de , es igual a la derivada de , según la dirección normal a

las líneas de corriente

(b) ó

Si es un vector unitario en la dirección normal a las líneas de corriente, por definición de

derivada direccional se tiene que:

Pero toda vez que son paralelos


4) El gasto que circula entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de los valores

que adquiere la función de corriente en esas líneas:

Demostración:

Consideremos dos líneas de corriente separadas una

distancia “n” normal a las dos líneas de corriente según Fig.

Determinamos el gasto “q” que atraviesa la sección identidad de

dimensiones es decir el gasto que pasa entre dos líneas de corriente

separados una distancia “n”

Entiéndase como gasto o caudal el volumen que atraviesa a la sección identidad, normal a

ella, en la unidad a tiempo, matemáticamente expresado como:

En un intervalo “dt” el volumen de fluido que atraviesa el elemento de

superficie “dA” (sección identidad) es:

Pero:


ó

El gasto es igual a la velocidad media por el área (A).

Para el caso en estudio: …….. ( )

Además si el flujo es incompresible y permanente V = Cte.

ó

Además sabemos que:

Luego ; apliquemos diferenciales normales e integrando:

……..( )

De ( ) y ( ), resulta:

2 1 q

La Función Potencial

Introducción: El estudio del flujo plano es posible solo si se cumple que el campo de

velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una función escalar

, llamada función potencia tal que:

Donde recordamos que si el campo de velocidades es potencial, es irrotacional, lo cual justifica

que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.

Concepto: Es una función escalar que define a una familia de líneas equipotenciales. Esta

función tiene un valor constante diferente para cada línea equipotencial.


Familia de líneas equipotenciales

Por definición de campo potencial de velocidades, se sabe:

Donde: = Campo potencial de velocidades

= Función potencial de velocidades

Desarrollando (1) :

Pero

Comparando (a) y (b):

En coordenadas polares, en forma análoga:


Componente de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con la Función Potencial.

“Componentes de en coordenadas polares, relacionada con la Función Potencial.”

Ecuación Analítica de las líneas equipotenciales

Es otro vector ≠ del vector , pero que define la dirección de la línea equipotencial ,

tangente a

De la ecuación analítica de las líneas de corriente tenemos:

Como son líneas ortogonales, la ecuación analítica de las líneas equipotenciales se

obtiene sustituyendo en (1) como se aprecia en la figura anterior, luego;

La expresión (2), constituye la ecuación analítica de las líneas equipotenciales.

Desarrollando (2):


Sustituyendo:

Integrando:

“Lo cual confirma que la función potencial tiene un valor constante diferente para cada línea

equipotencial”.

Conclusiones

El módulo de es igual al módulo del gradiente de , puesto que ,

entonces:

El módulo del gradiente de es la derivada de según la normal a las líneas

equipotenciales .

Pero de (1):

Luego:

= separación entre dos líneas equipotenciales normales a .

“La velocidad es inversamente proporcional a la separación de los equipotenciales”.


Otra ventaja es una interpretación física del flujo gracias a las superficies equipotenciales. Se

llaman así a las superficies en los cuales se cumple ; y juegan el mismo papel

que las superficies de nivel para la energía y potencial del peso de un cuerpo.

Ecuaciones de Cauchy – Riemann

Del desarrollo anterior se desprende que las funciones no son independientes

sino que están relacionadas entre sí a través de las siguientes expresiones, conocidas como

ecuaciones de Cauchy – Riemann

En coordenadas cartesianas.

Comparando (1) y (2)

“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas cartesianas”

En coordenadas Polares

Comparando (3) y (4):

1

1

rVr r r

Vr

“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas polares”.


Red de Corriente

Concepto: Es una representación diagramático de las líneas de corriente y equipotenciales del

escurrimiento, por lo tanto es una malla formada por la función de corriente y la

función potencial . Esta malla resulta ser cuadrada.

Sabemos que:

Igualando ambas expresiones:

Tomemos derivadas ordinarias:

Si tomamos: resulta que , lo que significa que las líneas corrientes y las

equipotenciales, además de ser ortogonales formarían una malla de cuadrados.

En conclusión, el estudio del flujo plano en un cierto contorno, se refiere a la obtención de la

red de corriente para ese contorno y a partir de la red de corriente, que es única en cada

contorno, deducir la distribución de velocidades o la distribución de presiones en las zonas de

interés.

Por lo expuesto, la red de corriente es un espectro de líneas ortogonales. En una red de flujo

todas las áreas limitadas por un par de líneas de corriente y un par de líneas equipotenciales,

son homólogas, por ejemplo, tienen la misma relación de anchura a longitud. Lo anterior

implica que la red de flujo es un conjunto de rectángulos; en la práctica, y por comodidad y

conveniencia, se trazan líneas de corriente y equipotenciales formando redes de cuadrados,


debiéndose interpretar como tales, las figuras que quedan determinadas al cortarse las líneas,

de manera que las longitudes medias sean iguales.

En el diseño de una presa de tierra es indispensable contar con el trazo de la red de corriente.


EJEMPLOS APLICATIVOS.

1. Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están gobernadas por los siguientes

campos:

Campo escalar de densidades y el campo vectorial de velocidades

Demostrar que cumple la ecuación de continuidad.

Solución

Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:

Ecuación Diferencial de continuidad

Donde: ; y


Verificándose la Ecuación de Continuidad.

2. Se tiene el siguiente campo de velocidades; Hallar el

componente W, sabiendo que para Z = 0; se tiene W = 0 y que la divergencia de dicho

campo es 40 xyz.

Solución


3. Se tiene el siguiente potencial de velocidad:

Determinar si es una función armónica y encontrar la expresión de los siguientes campos

vectoriales.

a) Velocidades

b) Aceleraciones locales

c) Aceleraciones convectivas

d) Aceleraciones totales.

Solución

Determinación si la función es armónica

Un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace y donde recibe el

nombre de función Armónica,

L.q.q.d

Es una función armónica

Determinar el Campo de Velocidades.


Condición de Campo potencial, Irrotacional (pues si la función es armónica, entonces

el campo es potencial o Irrotacional)

La aceleración en un punto está formada por tres componentes:

: Aceleración local – función del tiempo.

: Aceleración correspondiente al movimiento de traslación pura.

: Aceleración correspondiente al movimiento de rotación, llamado aceleración

de Coriolis.

Determinar campo de aceleración local

Campo de aceleraciones locales

Determinar el campo de aceleraciones convectivas

(Campo Armónico e Irrotacional)


Determinar el campo de aceleraciones totales:

4. Que valores deben tener a, b y c, para que el campo vectorial sea un campo

potencial; si se sabe:

Solución

Condición del campo potencial

Donde:

Desarrollando el determinante:

Donde:


Resolviendo por métodos numéricos las ecuaciones (I), (II) y (III), resulta :

5. Siendo la velocidad una función de los parámetros “x” e “y” del plano y siendo V la

componente de la velocidad en la dirección “y”: Vy = 4x2 + 3xy - 2y.2

Encontrar la componente de la velocidad en el otro eje, para que cumpla con el movimiento

solenoidal y la ecuación de continuidad.

Solución

Datos

Condiciones:

a) Movimiento solenoidal

b) Ecuación de Continuidad

Desarrollo de (II):


6. Que relación deben tener a, b, c, para que el campo velocidad sea un campo

solenoidal.

Solución

Condición de campo solenoidal

Donde

Donde:

El campo solenoidal tiene la característica de un movimiento esférico.

7. Dado un campo de flujo, cuyo potencial ( ) esta dado por = axy, para un flujo plano.

a) verificar la ecuación de continuidad.

b) Hallar la función corriente para esta función .


Solución:

a) Ecuación de continuidad: (1)

Donde: (Condición del campo potencial de ) (2)

= Función potencial escalar de velocidad.

(2) (1): (3).

De (3): (Flujo Plano)

; Donde:

(L.q.q.d)

b) Hallar la función corriente para esta función ( )

Función corriente en el plano (xy).

Función corriente en el plano “y”.

Función corriente en el plano “x”.

De las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenada rectangulares:


Función corriente para el eje “y” (la constante es con respecto al eje “x”) y C1 = C1(x)

Función corriente para el eje “x” (la constante es con respecto al eje “y”) y

Función genérica de corriente.


ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, y que sirven para

resolver numerosos problemas que se presentan en la práctica.

I.-Definiciones Previas

1.- Sistema

El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su tamaño

pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa del material que

comprende el sistema no se altere con el tiempo. Por ejemplo, un sistema puede constar de

cierta masa de agua encerrada en un recipiente flexible. El agua puede pasar al estado de

vapor por medio del calentamiento, con un aumento considerable del volumen en cuestión.

Mientras no se produzca una transferencia de masa a través de las paredes del recipiente, no

se viola el concepto de sistema.

El estado de un sistema es una condición particular de éste, que puede especificarse por

medición y observación. Algunas propiedades del sistema están asociadas con un estado dado

y, entre ellas, se cuentan el volumen, la densidad, la presión y la temperatura. En última

instancia, se puede decir que el estado del sistema está determinado por la observación y

medición de sus propiedades. Estas pueden dividirse en dos grupos: las que por naturaleza

son independientes de la cantidad de materia, denominadas propiedades intensivas y las que,

como el volumen y la masa, dependen de la cantidad de materia en consideración y que se

conocen como propiedades extensivas.

2.-Volumen de Control

El primer punto de análisis que debe presentarse es una definición de los tipos de

volumen, en los que se determinarán las características del flujo. Nos referimos a los dos

siguientes:

2.1.-Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio,

relacionado a un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento,

respecto a un sistema absoluto.


2.2.-Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es

deformable, cuando parte de su superficie, o toda ella, está en movimiento en un

instante dado.

Si la superficie se mueve en tal forma que no la atraviese ninguna materia, el volumen de

control es un sistema. Cada tipo de volumen de control representa simplemente una región de

interés particular, en la cual estableceremos formas de las leyes básicas.

El concepto de volumen de control no deformable, puede ilustrarse, observando que el

que se selecciona para estudiar el flujo en una tubería, podría ser el volumen interno,

comprendido entre dos puntos, a lo largo de su longitud. El sistema de coordenadas de

referencia podría ser cualquier sistema fijo relacionado con el tubo.

Un buen ejemplo de un volumen de control deformable es el de un balón que se llena de

aire por medio de un tubo. El balón no es un sistema, por que su masa no es constante. La

boquilla de entrada del balón es la única parte de la superficie que no se deforma, cuando entra

el aire.

II.-Principio de la Conservación de la Materia

“La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del

flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen”. Si el volumen

que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede

ser indefinido.

El principio de conservación de la materia o principio de conservación de la masa, también

se expresa como: “El aumento de masa, en un tiempo t, del fluido contenido en un volumen

dado, será igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de

las que salen”:


( ) = masa del sistema en el tiempo ,

( )= masa del sistema en el tiempo ,

Es decir la masa en el sistema permanece invariable:

Donde:

masa en el volumen de control en el instante “ ”.

masa en el volumen de control en el instante” ”

masa que entra en el volumen de control en el intervalo” ”

masa que sale del volumen de control en el intervalo “ ”

Dividiendo entre ordenando y tomando límites cuando :

;

Donde:

rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control, y

gasto o caudal neto de masa entrante en la unidad de tiempo.


Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra,

sumadas algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo

completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de la forma siguiente:

“La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de

tiempo ( ), mas la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen ( ), es igual a

cero”, matemáticamente se expresa así:

(α)

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial, que a uno

finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.

III.-Ecuación Diferencial de Continuidad

Aplicable a problemas de flujo con potencial.

Para obtenerla aplicamos el principio de la conservación de la materia, al volumen

de control diferencial mostrado en la fig, (de lados dx, dy y dz).

En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la cara ABCD, entra una masa:

y por la cara EFGH, sale una masa:MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 112

Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD a

la cara EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, asignándoles una

convención de signos a las masas que salen del volumen de control, como

positivas (+) y negativas (-) a las masas entrantes, luego, la masa perdida o

cantidad neta de masa que atraviesa estas caras será:

Trasladando “dt” al primer miembro, entonces tendremos: la cantidad neta de

masa que atraviesa las caras normales al eje “y”, en la unidad de tiempo, también

conocido como gasto másico:

(I)

Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa que atraviesan las caras

normales a los ejes “x” y “z”, son:

(II)

(III)

Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa las superficies de frontera del

volumen en la unidad de tiempo, o caudal de masa o gasto de masa (QM), será:

(IV)

Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):

+ + (A)

Ahora, finalmente calculemos la “ rapidez de variación de la masa contenida

en el volumen de control diferencial:


Por lo tanto:

(B)

Sustituyendo (A) y (B) en (α):

+ + + = 0

Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación

anterior se puede simplificar y ordenando, resulta:

+ + + = 0

Los tres primeros sumandos de la ecuación anterior, representan el desarrollo del

producto escalar:

Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:

+ = 0 (β)

Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad.

La expresión (β), también se puede expresar de la siguiente forma:

= 0 (β’)

La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial de Continuidad, ha sido

obtenida después de aplicar las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son

dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la general

para un flujo compresible no permanente; admitiendo las siguientes

simplificaciones:

Flujo Compresible Permanente

= 0


Luego sustituyendo en (β), resulta:

= 0

Flujo Incompresible no Permanente

ρ = Cte.

Entonces:

y = 0

Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en (β’), resulta:

Y puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:

(ө)

Flujo Incompresible Permanente

ρ = Cte y = 0

Luego:

Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):

Luego, análogamente al caso anterior, resulta:

(ө)

“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple

que la divergencia de es cero”.

Un flujo se considera incompresible, si los cambios de densidad de un punto a otro

son despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y gases

a bajas velocidades pueden ser considerados incompresibles. El flujo de un gas


con velocidades entre 60 y 90 m/s se puede considerar incompresible, siempre

que no exista intercambio de calor en el exterior.

IV.-Ecuación de Continuidad para una Vena Líquida

La vena líquida mostrada en la figura está limitada por su superficie de contorno (que

generalmente coincide con una frontera sólida, o por esta y una superficie libre) y por

las secciones transversales (1) y (2), normales al eje que une los centros de gravedad

de todas las secciones. Las velocidades en cada punto de una misma sección

transversal poseen un valor medio “v”, que se considera representativo de toda la

sección y de dirección tangencial al eje de la vena.

Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en la fig. , limitado por la superficie de

contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos secciones transversales normales

al eje de la vena, separadas la distancia “ds”, donde “s” representa la coordenada curvilínea

siguiendo el eje de la vena.

Aplicando el principio de la conservación de la materia, al volumen elemental en estudio:

Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen

elemental en estudio, es:


(Φ)

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental en

estudio, es:

Tomando extremos, resulta:

(ΦΦ)

El principio de conservación de la masa establece:

(Φ) + (ΦΦ) = 0

Resultando:

+ = 0

Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la mayoría de los casos, que la

longitud “ds” del elemento de volumen considerado no depende del tiempo. Este puede salir

de la derivada del segundo término de la ecuación anterior y simplificarse con el que aparece

en el primero, de lo cual resulta:

+ = 0 (ε)

Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al desarrollar las derivadas parciales

indicadas se obtiene:

(δ)

Como:

;

Sustituyendo la última expresión en (δ), resulta:


Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto sumando y “A” del tercero y quinto

sumando de la ecuación anterior, y aplicando el concepto de diferencial total de “A” y de “ρ”,

al ser funciones ambas de “s” y “t”, resulta:

Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:

(φ)

La expresión (φ), es la Ecuación de Continuidad para una vena líquida donde se

produce un flujo no permanente y compresible.

Si el escurrimiento es permanente las derivadas con respecto a “t” que aparecen en la

ecuación (ε), se eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:

= 0

O, bien:

Si además el fluido es incompresible:

vA = Cte. (ξ)

La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por cada sección de la vena líquida

en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones transversales,

tales como (1) y (2) de la misma vena líquida, se cumple que el gasto que circula por

ellas es constante”:

Q =V1 A1 = V2 A2


Principio de Cantidad de Movimiento

La cantidad de movimiento de un elemento de masa “m”, es el producto de esta por su

velocidad.

Sea “ ” la cantidad de movimiento:

La ecuación de cantidad de movimiento de un cuerpo libre o volumen de control se deriva de

la segunda ley de Newton, que establece lo siguiente:

“La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre una masa de fluido es igual a la

rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir:

Si:

Calculando el :

Además:

;

Reemplazando (2) en (1):

Haciendo: , una función vectorial ligada al movimiento.

Luego, de la expresión (3):


Y sea “ I1” la función”I” incrementada un :

Para hallar el valor de “I1” necesitamos los valores de: y sabiendo que:

;

Dividiendo la expresión anterior entre dt:

Además se sabe:

Además se sabe por deformación volumétrica de los fluidos que: “la velocidad de deformación

volumétrica relativa, coincide con la suma de velocidades de deformación lineal”, es decir:

Despejando :


Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).

Siendo “dt” un tiempo muy pequeño, por lo tanto , es una cantidad despreciable por lo cual

se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:

Por definición de producto escalar:

Luego:

……………………. (7)

Ahora:


Dividiendo (I1 - I) entre dt.

, al considerar un volumen de control de profundidad la unidad.

La dirección del es perpendicular al área, es decir:

Se sabe que:


También se sabe que:

Pero de (3) se sabe que:

; Por lo tanto:

Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de los fluidos

conocida como la ecuación o principio de la cantidad de movimiento.

Para el caso especial del movimiento permanente la ecuación general de la cantidad de

movimiento se simplifica a:

Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del

movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad y la

densidad en un punto permanecen constantes.

Se sabe que el vector velocidad y el vector área son ambos perpendiculares al área, es decir:

La fuerza quedaría:

Se sabe que: pero como , entonces


Entonces la fuerza quedaría:

Si tuviéramos el siguiente volumen de control:

Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porción de fluido entre

ambas secciones actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico.

Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:

Entonces las fuerzas seria:

y

Las velocidades son:

y

Las fuerzas quedarían:

La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son:


Principio de la Cantidad de Movimiento Aplicado a la Corriente Líquida

Sea la vena liquida siguiente:

El sentido de los vectores de las secciones transversales siempre saliente de la vena liquida y

perpendicular a la sección, es decir:

Donde y son vectores unitarios perpendiculares a las secciones y

respectivamente.

Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe que:

.

Pero como el flujo es liquido y se sabe que los líquidos son incompresibles, por lo tanto la

densidad de un punto a otro no varia, es decir: , y la fuerza resultaría:

En cada sección transversal se desarrolla una fuerza; es decir en S1 se produce una fuerza

y en la sección S2 se produce una fuerza y la suma de ambas nos da la fuerza total que

actúa en la vena liquida.


Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con suave curvatura, se puede decir que las

velocidades son perpendiculares a las secciones transversales y además que el sentido es

opuesto al sentido de , se puede escribir que:

;

La fuerza quedará:

Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas secciones transversales:

Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la más suave curvatura, entonces se

puede decir que:

Por lo tanto:

Entonces:



Dinámica de los Fluidos Perfectos

Estudiaremos el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido

en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la

acción de fuerzas exteriores o de masa.

Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de

coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

; ;

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

= Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa

(concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial

ortoédrico de volumen );

Donde X, Y y Z son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa.

Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y su aceleración interna y la fuerza

que actúa, se puede escribir:


Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando

existen movimientos relativos:

m Ax = Rx …. (1)

m Ay = Ry….. (2)

m Az = Rz ….. (3)

Desarrollo de (1):

Pero: m = masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico =

……. (4)

Análogamente, desarrollando (2) y (3), resulta:

Sumando miembro a miembro (I), (II), y (III), vectorialmente:

La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido

Perfecto.


Donde: p = presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial

ortoédrico más próximo al origen de coordenadas.

= densidad del fluido

= Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del

volumen considerado, como por ejemplo el peso. Es una

aceleración, pero externa.

= Aceleración (interna) de la partícula fluida.

Si = 0, entonces:

Que es la Ecuación Vectorial General de la Hidrostática o Ecuación de Euler (no hay

desplazamiento relativo).

De la expresión (IV), despejando, resulta:

Se conoce que:

(6) en (5)

Ecuación vectorial de la Dinámica del fluido perfecto o Ecuación de Euler:


Ecuación de Bernoulli

Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo

gravitacional.

Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de

Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento

permanente.

En estas condiciones, de la Ecuación ( ), o Ecuación de Euler:

- ; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en

un punto se mantienen constantes).

- Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:

Donde : X = 0

Y = 0

Z =-g

Luego:

Y que reemplazándolo en la ecuación anterior resulta:

Proyectamos la expresión vectorial en la dirección (vector direccional de la partícula):


Casos:

1.-Movimiento Irrotacional:

Luego:

Cálculo de:

Reemplazando (A), (B) y (C) en ( )

Dividiendo entre “g”:

Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.


2) Movimiento Rotacional:

y son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir que se considera

tangente a la línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con .

De la ecuación de Euler ( ):

Desarrollo del término :

De la figura se observa que los vectores y ; son ortogonales, por lo tanto por

definición de producto escalar: = 0

Por lo tanto la ecuación de Euler( ) se reduce a la expresión( ):

Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación

Diferencial de Bernoulli:

3) Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional, en

movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional.MECÁNICA DE FLUIDOS I INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 133

= Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)

Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido

incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será:

“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g),

piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”

El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía.

Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad

de producir trabajo:

z = Energía de posición o potencial o carga de posición

= Energía de presión o piezométrica o carga de presión.

= Energía cinética o carga de velocidad.


Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli

Primer Término: (z)

Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”.

Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P”

este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la

energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición

en su plano a otro plano, tenemos:

Ep = W z

Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”.

“z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua.

Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.

Segundo Término: (V 2 /2g)

Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que

desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna

fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía

cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:


Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:

Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía

cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.

Tercer Término: (p/ )

Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y

conteniendo una cierta cantidad de agua.

La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce

compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que

es igual a: p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si

abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa

que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”.

Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía

que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale:

Ep = F L ; pero F = p S

Ep = p S L ; pero S L =

Ep = p


Pero también:

, luego:

Ep = ; cuando W = 1 (kg o lb)

Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo

considerarla como poseída por aquel.


Dinámica de los Fluidos Reales

La ecuación de Bernoulli es:

………………… (a1)

Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal incompresible.

Cada término tiene unidades de energía por unidad de peso y los tres términos se refieren a

energía utilizable.

De considerarse la viscosidad en el análisis anterior, aparecerá un término adicional en función

del esfuerzo cortante” ” que representaría la energía por unidad de peso, empleado para

vencer las fuerzas de fricción. Este término, por razones de orden práctico se puede expresar e

interpretar del modo que sigue:

…………. (a2)

Donde : pérdida de energía por unidad de peso.

Ecuación que explica el principio de la energía para una línea de corriente: “La energía total por

unidad de peso en (1), es igual a la energía por unidad de peso en (2) más la pérdida de la

energía producida desde (1) hasta (2)”

Para una tubería se puede considerar:

1. El filete hidráulico o la línea de corriente coincide con el eje de la tubería.

2. Que, los valores de z, p y son los representativos de cada sección.


3. Que, el valor de V en esta línea de corriente no es representativo de las velocidades en

la sección.

4. Que, consecuencia de “3”, conviene utilizar como valor representativo de estas

velocidades, el valor medio (velocidad media); debiendo, en consecuencia reemplazar:

Reemplazando en (a2)

….. (a3)

Ecuación de energía para una tubería en flujo permanente real viscoso bajo campo

gravitacional; donde las presiones como las velocidades en las secciones (1) y (2) son las

medias.


Potencia de una corriente líquida

Corriente líquida: son escurrimientos líquidos bajo campo gravitacional que puede concebirse

formado por filetes rectos o de suave curvatura.

Sea:

La carga total o energía total por unidad de peso en una sección, con respecto a un plano de

referencia (m, kg-m/kg).

= representa el peso del líquido que pasa por la sección en la unidad de tiempo (kg/seg).

= representa la energía por unidad de tiempo, es decir la potencia de la corriente

con respecto al plano de referencia (kg-m/seg) en la sección.

Por eso:

Expresión del coeficiente de Coriolis:

- La potencia elemental de un filete hidráulico o de una línea de corriente es:

……………………… (a4)

La potencia total de toda la corriente será:

……………………… (a6)


- La potencia total de toda la corriente que le corresponde utilizando la velocidad media

será:

………………………………………(a7)

(a6) = (a7)

Para el caso de los líquidos; = cte.

Pero:

Multiplicando el numerador y el denominador por

……………………….. (a8)

Donde:

= Coeficiente de Coriolis o Coeficiente de Corrección de la Energía Cinética


Principio de la Cantidad de Movimiento aplicado a las corrientes líquidas.

Luego aceptando que los filetes hidráulicos son rectos o a lo más con suave curvatura.

Luego:

; ordenando:

………………….(a9)

Pero: En general,

O, en particular:

En la Ec. (a9), multiplicando el numerador y al denominador por y ,

respectivamente tenemos:


Donde:

= Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la Cantidad de

Movimiento

Para el caso de líquidos:


Relación entre y :

Sea:

De la figura superior, reemplazando:

El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V, son de signos

positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría de la sección, entonces se

cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero, quedando:

La reducción del primer término es 1,

Entonces:

Luego:

………………(a10)


Además, se sabe que:

Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término del segundo

miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero, quedando:

…………………(a11)

De (a10) y (a11) :

……………………(a12)


Aplicaciónes de la Ecuación de la Energía

-Tubería que conecta dos depósitos o descarga entre dos depósitos,

(PA=PB= Presión atmosférica, igual a cero, trabajando con presiones relativas)

………………………….. (a13)

Donde: ………... (a14)


Es decir la pérdida de carga desde A hasta B, será la suma de las pérdidas de carga debida a

la fricción, más las pérdidas de cargas localizadas e igual al desnivel de las superficies libres

de agua de los estanques o carga estática “H”, es decir:

De (a13) y (a14): ……………………. (a15)

-Tubería que conecta dos depósitos mediante una instalación de bombeo.

Donde: = Altura dinámica total o carga neta que el agua recibe de la bomba.

H = Altura Estática a carga estática.

B

LA

h = Pérdidas de cargas localizadas desde hasta es decir de la

tubería de succión y de la tubería de impulsión.

= Perdidas de cargas por fricción desde hasta es decir las

producidas en la tubería de succión y en la de impulsión.


Potencia Neta o Potencia Útil de la Bomba

Potencia Bruta o Potencia Entregada.

P BRUTA = P UTIL + P PÉRDIDA


-Tubería que conecta dos depósitos mediante una Turbina.

Donde: HT = Altura o carga neta que la turbina recibe del agua.

H = Altura o carga estática.

B

LA

h = Pérdidas de cargas localizadas desde hasta .

= Perdidas de cargas por fricción desde hasta .

Potencia Neta o Potencia Útil de la Turbina.


Problemas de Aplicación

1. Calcular y para la siguiente distribución de velocidades: que se

produce en una tubería de sección circular.

Solución:

Por definición se sabe que:

Pero:

Según dato del problema es una distribución de velocidades característica de un flujo laminar.

Diferencial de área o superficie:

Simplificando e integrando resulta:


Reemplazando “α” en la Ec. (a12), resulta:

2. Se desea abastecer de agua a un edificio por el método cisterna – bomba – tanque

elevado; con la ayuda del plano de arquitectura se ha bosquejado el sistema que se

muestra en la figura. Los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son 16” y 12”

respectivamente, obteniéndose una descarga en el tanque elevado de 0.10 m3/s ¿Qué

bomba seleccionaría Ud. y cual seria la presión en los puntos B y C?

Nota: Considere e = 0,8 y hallar la potencia en HP

La perdida de carga entre a A y B es equivalente a 4 cargas de velocidad. La pérdida de

carga entre C y D es igual a 5 m. de agua


Cálculo la Potencia Bruta de la Bomba.

Calculo de la Presión en B

Cálculo de la Presión en C:

Pero, , entonces:


3.-En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45m en “A” a

0,30m en “B”.En “B” se bifurca; la tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD

0,25m de diámetro. “C” y “D” descargan en la atmósfera.

La velocidad media en “A” es 0,80 m/s y la velocidad media en “D” es 1,60 m/s. Calcular el

gasto en “C” y “D” y las velocidades en “B” y “C”.

Cálculo de :

Por el principio de continuidad:

Cálculo de :


Cálculo de :

Despejando:

Cálculo de :


4.-Se desea diseñar el muro de anclaje en un corto tramo de la tubería de presión de una

central hidroeléctrica. En dicho tramo se produce una reducción de la sección (1): ( )

a la sección (2): ( ); fluyendo un caudal de 0,250 m3 /s. La presión en la sección

aguas abajo es 1,48 kg/cm2. Hallar el módulo y ángulo que hace con la horizontal la fuerza

que soporta el muro.

a.- Cálculo de F1 :

Aplicando Bernoulli entre (1) y (2):

E1 = E2

Reemplazando los datos en la Ecuación de Bernoulli, resulta:


b.- Cálculo del Módulo y Angulo de la Fuerza que soporta el muro.

Aplicando la Ecuación de la Cantidad de Movimiento:

De la Ecuación (A):

Reemplazando los valores conocidos de , , , , , y en la expresión anterior

y despejando el valor de , resulta:

De la Ecuación (B):

Reemplazando los valores conocidos de , , , y en la expresión anterior y

despejando el valor de , resulta:

La Resultante de la Fuerza que soporta al muro, será:

La inclinación de la Fuerza que soporta el muro:



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