Wprowadzenie do laboratorium 1 Estymacja jednorównaniowego modelu popytu na bilety lotnicze

Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik ZarządzaniaWyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT__________________________________________________________________

Wprowadzenie do laboratorium 1

Estymacja jednorównaniowego modelu popytu na bilety lotnicze



Etapy budowy modelu ekonometrycznego

Specyfikacja modelu

Zebranie danych statystycznych

Estymacja parametrów modelu

Weryfikacja statystyczna modelu

Praktyczne wykorzystanie modelu



Specyfikacja modelu

Sformułowanie celu i zakresu modelu oraz hipotez badawczych

Cele: poznawcze prognostyczne normatywne

Wybór i zdefiniowanie zmiennych endogenicznych i egzogenicznych

Wybór postaci analitycznej funkcji



Kolejne etapy budowy modelu

Zebranie danych statystycznych

Struktura danych: dane przekrojowe szeregi czasowe dane panelowe

Estymacja parametrów modelu

z wykorzystaniem oprogramowania GRETL



Weryfikacja modelu

testowanie istotności wpływu poszczególnych zmiennych niezależnych na zmienną zależną ( test t-Studenta oraz test F )

ocena stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych (błąd standardowy reszt Se , współczynnik zmienności resztowej Ve ,

współczynnik determinacji R2 , błędy standardowe parametrów)

testowanie sferyczności / niesferyczności składnika losowego: autokorelacji składnika losowego (test Durbina-Watsona) heteroskedastyczności składnika losowego (test White’a)

ocena liniowości postaci analitycznej modelu



Interpretacja parametrów w przypadku funkcji liniowej

Interpretuje się je jak pochodne cząstkowe:

Współczynnik âi oznacza o ile średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie ceteris paribus (przy niezmienionych pozostałych zmiennych objaśniających) o jednostkę.

w przypadku funkcji potęgowej

Interpretuje się je jak współczynniki elastyczności:

Współczynnik âi oznacza o ile procent średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie, ceteris paribus, o jeden procent.



Kierunki wykorzystania modelu

do celów poznawczychbadanie zachowań podmiotów gospodarczych, analiza zależności ekonomicznych, badanie funkcjonowania systemów ekonomicznych, weryfikacja hipotez i teorii ekonomicznych

do celów prognostycznych

do celów normatywnych poszukiwanie efektywnych decyzji gospodarczych, analiza alternatywnych polityk ekonomicznych



Przesłanki uwzględnienia składnika losowegow modelu ekonometrycznym:

a. niedeterministyczny charakter zjawisk społeczno-gospodarczych, konieczność uwzględnienia czynnika losowego

b. błędy wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego, błędy obserwacji

c. błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej

d. błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej (niedokładnie odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną)

Przesłanka (a) odzwierciedla immanentną, niezależną od badającego, własność zjawisk gospodarczych – niedeterministyczny, losowy charakter.

Przesłanki (b, c i d) odzwierciedlają błędy, które można ograniczyć w wyniku doskonalenia metod gromadzenia i analizy danych statystycznych oraz metod estymacji.



Założenia modelu KMNK1. Xay

(Każda obserwacja yt jest liniową funkcją obserwacji xtk oraz składnika losowego εt)

2. 0E

(Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru.)

3. IE 2 (Założenie o sferyczności składnika losowego)

3a. IE t22

(Wariancja składnika losowego jest stała, tzn. występuje jednorodność wariancji składnika losowego)

3b. tsE ts 0

(Składnik losowy jest nieskorelowany, nie występuje autokorelacja składnika losowego)

4. X jest macierzą n x (k+1) o elementach ustalonych w powtarzalnych próbach

5. nkxr 1)(

Między zmiennymi objaśniającymi nie ma zależności liniowej.



Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów

Z tw. Gaussa-Markowa:

Przy powyższych założeniach klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) daje najlepsze (o najniższej wariancji) estymatory wśród liniowych i nieobciążonych.

BLUE – Best Linear Unbiased Estimators - najlepsze nieobciążone estymatory liniowe

yXXXa TT 1)(ˆ



Test Fishera-SnedecoraTest F Fishera –Snedecora umożliwia całościową ocenę przydatności modelu

Hipoteza 0,...,,: 210 iaaaH (wszystkie parametry przy zmiennych

objaśniających są równe zero) wobec hipotezy 1H ,że przynajmniej jeden parametr jest różny od zera

Wartość statystyki F obliczona dla modelu:

11 2

2

knR

kR

F

ma rozkład F o poziomie istotności α oraz 1, 21 knsks

1}),,({ 21 ssFFP kr

}),,({ 21 ssFFP kr



Test Fishera-Snedecora - cd

),,( 21 ssFF kr ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw

do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych objaśniających są nieistotnie różne od zera, a więc wszystkie zmienne objaśniające mają nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując – wszystkie zmienne xi są nieistotne, żadna z nich nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y, model jest nieprzydatny z tego punktu widzenia).

),,( 21 ssFF kr ► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do

odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że przynajmniej jeden współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a tym samym przynajmniej jedna zmienna objaśniająca ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując, test oparty na statystyce F daje pozytywną, z punktu widzenia jakości dopasowania modelu, odpowiedź – oszacowany model zawiera istotne zmienne objaśniające).

gdzie ),,( 21 ssFkr – wartość krytyczna statystyki F o poziomie istotności α oraz

1, 21 knsks



Test t-StudentaTest t-Studenta: umożliwia wyselekcjonować i odrzucić nieistotne zmienne objaśniające

0:0: 10 ii aHwobecaH

zmienna losowa ai

ii S

at

ˆ ma rozkład t-Studenta o poziomie istotności α oraz

liczbie stopni swobody r (jest to obliczona wartość statystyki t-Studenta dla danej zmiennej objaśniającej xi ) Liczba stopni swobody : )1( ktr dla modelu z wyrazem wolnym lub

ktr bez wyrazu wolnego

1}),({ rttP kri

}),({ rttP kri



Test t-Studenta – cd.),( rtt kri ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do

odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że współczynnik ai jest nieistotnie różny od zera, a zmienna xi ma nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest nieistotna).

),( rtt kri ► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do

odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a zmienna xi ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest istotna).

gdzie ),( rtkr – wartość krytyczna statystyki t-Studenta o poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody r

Wykorzystując ten test należy zastosować sekwencyjną metodę odrzucania nieistotnych zmiennych objaśniających – zaczynając od zmiennych najmniej istotnych (o najniższej, co do modułu, wartości statystyki t-Studenta).



Test t-Studenta w GRETL

Dla każdego parametru podawane są: wartość statystyki t-Studenta p-value - empiryczny poziom istotności (dwustronne prawdopodobieństwo

związane z rozkładem t-Studenta

symboliczne oznaczenie stopnia istotności (gwiazdki)

Uwaga:

Liczba gwiazdek charakteryzuje istotność zmiennych:

*** - zmienna istotna statystycznie przy poziomie istotności 0,01;

** - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,05;

* - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,1.



Test F a test t-Studenta

Uwaga:

Test F nie rozstrzyga czy wszystkie zmienne objaśniające są istotne, odpowiedź na takie pytanie daje test oparty na statystyce t-Studenta.



Badanie założeń dotyczących składnika losowego Z a ł o ż e n i e o s f e r y c z n o ś c i s k ł a d n i k a l o s o w e g o :

IE 2 o z n a c z a , ż e : m a c i e r z k o w a r i a n c j i j e s t m a c i e r z ą d i a g o n a l n ą z j e d n a k o w y m i w a r t o ś c i a m i n a p r z e k ą t n e j r ó w n y m i σ 2 i z e r a m i p o z a d i a g o n a l n ą ( ξ - w e k t o r )

m o ż n a r o z b i ć n a d w a z a ł o ż e n i a :

IE t22 w y s t ę p u j e j e d n o r o d n o ś ć w a r i a n c j i s k ł a d n i k a

l o s o w e g o

N i e s p e ł n i e n i e t e g o z a ł o ż e n i a o z n a c z a , ż e w y s t ę p u j e h e t e r o s k e d a s t y c z n o ś ć s k ł a d n i k a l o s o w e g o .

tsE ts 0 s k ł a d n i k l o s o w y j e s t n i e z a l e ż n y

N i e s p e ł n i e n i e t e g o z a ł o ż e n i a o z n a c z a , ż e w y s t ę p u j e a u t o k o r e l a c j a s k ł a d n i k a l o s o w e g o .



Test Durbina-WatsonaT e s t D u r b i n a - W a t s o n a w e r y f i k u j e b r a k / w y s t ę p o w a n i e a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u

H i p o t e z a 0: 10 H o z n a c z a b r a k a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u , w o b e c h i p o t e z y 0: 11 H .

g d z i e 1 - w s p ó ł c z y n n i k a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u

S t a t y s t y k a D u r b i n a - W a t s o n a d :

n

tt

n

ttt

e

ee

d

2

2

2

21 )(

p r z y b l i ż e n i e : )1(222 11 d



Test Durbina-Watsona - cd

),,( kndd L ► taki wynik testu wskazuje, że są podstawy do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: występuje autokorelacja wariancji składnika losowego)

),,(),,( knddknd UL ► taki wynik testu nie rozstrzyga kwestii autokorelacji składnika losowego

),,( kndd U ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: nie występuje autokorelacja wariancji składnika losowego)

),,( kndL - dolna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu

istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k ),,( kndU - górna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu

istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k



Test Durbina-Watsona dla ujemnej korelacji

T e s t d l a u j e m n e j k o r e l a c j i : H i p o t e z a 0: 10 H o z n a c z a b r a k a u t o k o r e l a c j i p i e r w s z e g o r z ę d u , w o b e c h i p o t e z y 0: 11 H . w y k o r z y s t u j e s t a t y s t y k ę d ’ = 4 - d . D l a u j e m n e j k o r e l a c j i s t a t y s t y k a d p r z y j m u j e w a r t o ś c i z p r z e d z i a ł u ( 2 , 4 ) . W t e d y n a l e ż y d o k o n a ć p r z e k s z t a ł c e n i a :

d ’ = 4 - d .



Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych

błąd standardowy reszt Se

oraz współczynnik zmienności resztowej Ve

współczynnik determinacji R2 : nieskorygowany i skorygowany

oraz współczynnik zbieżności φ2

błędy standardowe parametrów Sai



Odchylenie standardowe składnika losowego

Błąd standardowy reszt:

)1(

2

kn

eSe

Współczynnik zmienności resztowej:

y

SV e

e



Współczynnik R2

W s p ó ł c z y n n i k d e t e r m i n a c j i R k w a d r a t ( U n a d j u s t e d R - s q u a r e d )

2

2

2

22

)(1

)(

)ˆ(1

yy

e

yy

yy

SST

SSE

SST

SSRR

g d z i e : S S T ( t o t a l s u m o f s q u a r e s ) – c a ł k o w i t a ( o g ó l n a ) w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j y , s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e ń w a r t o ś c i e m p i r y c z n y c h o d ś r e d n i e j ( z m i e n n o ś ć c a ł k o w i t a ) S S R ( r e g r e s s i o n s u m o f s q u a r e s ) – o b j a ś n i o n a w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j y , s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e ń w a r t o ś c i t e o r e t y c z n y c h o d ś r e d n i e j ( z m i e n n o ś ć o b j a ś n i o n a ) S S E ( e r r o r s u m o f s q u a r e s ) – n i e o b j a ś n i o n a w a r i a n c j a z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j y , s u m a k w a d r a t ó w r e s z t , c z y l i s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e ń w a r t o ś c i t e o r e t y c z n y c h o d e m p i r y c z n y c h ( z m i e n n o ś ć n i e o b j a ś n i o n a )



Współczynnik zbieżności

Współczynnik zbieżności 2 : 22 1 R

2

22

)( yy

e

Skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared) umożliwia porównywalność różnych modeli ekonometrycznych

)1(1

11

~ 22 Rkn

nR



Jak zapisujemy ostateczny wynik estymacji

ŷ = 54,353 - 2,871 x1 + 1,784 x2 + 0,873 x3

(29,410) (0,446) (0,539) (0,310)



Prognozana podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego

nixaxaay ikikii ,...,1,...110

spełnione są wszystkie założenia schematu Gaussa-Markowa, wtedy MNK-estymator jest BLUE, a prognoza na okres n+s wynosi:

Tsxaxaay ksnksnsn ,...,1,...ˆ ,1,10

Jeżeli dla klasycznego modelu regresji liniowej o postaci:



Błędy prognozy

2snsn VV

snsnsn yy ˆ

%100ˆ

*

sn

snsn y

VV

])(1[ 122 Tsn

Tsnesn xXXxSV

Błąd prognozy ex ante w okresie n+s - Vn+s :

Błąd prognozy ex post w okresie n+s - δn+s :

Względne błędy prognozy : %100ˆ

*

sn

snsn y



Źródła błędów prognoza. błędy estymacji (wartości estymatorów różnią się od rzeczywistych wartości

parametrów)

b. błędy struktury stochastycznej (jeśli założenia dotyczące składnika losowego nie są spełnione, estymatory tracą pożądane własności)

c. błędy losowe (wynikające z niedeterministycznego charakteru zjawisk społeczno-gospodarczych)

d. błędy pomiaru wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego

e. błędy specyfikacji:

- błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej

- błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej, niedokładnie odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną

f. błędy warunków endogenicznych (zmienia się siła oddziaływania między zmiennymi)

g. błędy warunków egzogenicznych (błędnie przyjęte wartości zmiennych egzogenicznych w okresie prognozy)

Documents

Wprowadzenie do laboratorium 1 Estymacja jednorównaniowego modelu popytu na bilety lotnicze