Wprowadzenie w problematykę

związaną z twierdzeniem Gödla

PARADOKS PRAWDY

Epimenides z KretyEpimenides z Krety

Ja kłamię

6/7 wiek p.n.e.

Zapętlenie w nieskończoność

M.C. EscherM.C. Escher

Russell: klasy normalne i nienormalne

Mędrzec: kara śmierci

Rozróżnienie pomiędzy językiem i metajęzykiem,Arytmetyką i metamatematyką

Szkic rozumowania Gödla

Numeracja Gödla

Formuła Dem(x,y)

Numer sub(y,13,y)

Skonstruowanie formuły metamatematycznej G

Szkic dowodu kilku twierdzeń

Czytam książkę

Kłamię

Czyli w miarę łatwo jest mówić o języku w języku,

Ale jak zdania o liczbach (twierdzenia) mogą coś komentować o sobie?!

Zdania w teorii liczb (arytmetyce) mówią o własnościach liczb naturalnych, ale nie mówią nic o zdaniach.

Liczby nie są zdaniami, ich własności też nie są zdaniami, ale gdyby każdej formule udało się przyporządkować jednoznacznie numer ?...

ARYTMETYKA <------> METAMATEMATYKA

∃n (2+ n = 4)

∃n (2 + n = 9)

Początek pierwszego

i drugiego zdania jest taki sam

1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie:Formuła G nie daje się udowodnić

Szkic rozumowania Gödla

2) Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy E G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani E G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc:

Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie.

3) Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną.

Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ' (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

Numeracja GNumeracja Göödladla

mogą

Zatem każde zdanie metamatematyczne jest reprezentowane przez dokładnie jedną formułę należącą do arytmetyki.

Zależności logiczne pomiędzy zdaniami metamatematycznymi są w pełni odzwierciedlone przez związki liczbowe zachodzące pomiędzy odpowiadającymi im formułami arytmetycznymi.

Jako przykład weźmy jeden z aksjomatów w arytmetyce:

(p ⅴ p) ɔ p a = 28 × 311 × 52 × 711 × 119 × 138 × 1711

(p ⅴ p) b = 28 × 311 × 52 × 711 × 119

2 2 2

22

Metamatematyczne zdanie:

Formuła (p ⅴ p) jest początkową częścią aksjomatu (p ⅴ p) ɔ p

jest w arytmetyce odzwierciedlona formułą:

b jest czynnikiem a

METAMATEMATYKA <===> ARYTMETYKA

Ciąg formuł posiadających numer gödlowski x jest dowodem formuły z numerem gödlowskim z

Dem (x, z)

Nazwijmy tak relację, która odpowiada temu

metamatematycznemu zdaniu

Niech podstawienie sub (m, 13, m) oznacza numer gödlowski formuły, którą otrzymuje się z formuły posiadającej numer gödlowski m przez podstawienie za zmienną z numerem gödlowskim 13 (za y) cyfry oznaczającej liczbę „m” (cyfry, która jest symbolem liczby m)

Np. jeśli a jest numerem gödlowskim formuły (∃x) (x = sy )

to

sub (a, 13, a) jest numerem formuły (∃x)(x = sa)

1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie:Formuła G nie daje się udowodnić

Szkic rozumowania Gödla

2) Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy E G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani E G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc:

Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie.

3) Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną.

Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ' (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

4) Skoro G jest równocześnie formułą prawdziwą i formalnie nierozstrzygalną, to aksjomatyka arytmetyki jest niezupełna.

5) Mało tego, Gödel pokazał jeszcze jak skonstruować formułę arytmetyczną reprezentującą metamatematyczne zdanie:

„Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to jest niezupełna”

i pokazał, że ta formuła jest prawdziwa.

6) Na końcu pokazał także, że formuła odpowiadająca metamatematycznemu zdaniu:

Arytmetyka jest niesprzeczna

nie daje się udowodnić.

Konstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie:

FORMUŁA G NIE DAJE SIĘ UDOWODNIĆ

Korzystając z wprowadzonej arytmetycznej relacji Dem (x, y) oraz przyporządkowania Sub (y, 13, y)

możemy napisać następującą formułę arytmetyczną (x) ' Dem (x, sub (y, 13, y)).

Oznaczmy numer gödlowski tej formuły przez n. Formuła ta reprezentuje metamatematyczne zdanie:

Formuła posiadająca numer gödlowski sub (y, 13, y) nie daje się dowieść.

Dla przypomnienia sub (y, 13, y) to numer gödlowski formuły, którą dostaje się z formuły o numerze

gödlowskim y poprzez podstawienie w niej za zmienną z numerem gödlowskim 13 cyfry oznaczającej liczbę y.

Podstawmy teraz w formule o numerze n cyfrę n za zmienną oznaczoną numerem gödlowskim 13.Dostaniemy:(x)E Dem (x, sub (n, 13, n))numerem tej formuły jest

Sub (n, 13, n) !!!!Zatem na płaszczyźnie metamatematycznej możemy powiedzieć, że formuła ta mówi o sobie samej

że nie daje się udowodnić!NAZWIJMY TĘ FORMUŁĘ ARYTMETYCZNĄ FORMUŁĄ G

Zarys rozumowania pokazującego, że jeśli G daje się dowieść, to również ' G daje się dowieść• założenie, że G daje się dowieść jest tożsame z założeniem, że istnieje ciąg formuł arytmetycznych stanowiących dowód formuły G

• oznaczmy numer gödlowski tego ciągu przez k

• skoro sub (n, 13, n) to numer gödlowski zdania G, to zachodzi relacja arytmetyczna:

Dem (k, sub (n, 13, n))

• z twierdzenia tego za pomoca reguł transformacji elementarnej logiki możemy wywieść formułę:

' (x) ' Dem (x, sub (n, 13, n))

Jest to formuła ~G

Czyli, jeśli można udowodnić G, to można także udowodnić negację formuły G

Chociaż G nie daje się udowodnić formalnie w ramach arytmetyki to jest prawdziwą formułą arytmetyczną

W punkcie 2 pokazaliśmy, że jeśli G daje się udowodnić, to także ' G daje się udowodnić. Zatem jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to G nie daje się udowodnić.

Czyli patrząc na arytmetykę z zewnątrz w metamatematycznym opisie prawdziwe jest zdanie:

Formuła G nie daje się udowodnić.Skoro to zdanie w arytmetyce jest reprezentowane przez formułę G, to jeśli ono jest prawdziwe, to

G też jest prawdziwe

Jednak to, że G jest prawdziwą formułą arytmetyczną wywiedliśmy nie z dedukcji z aksjomatów arytmetyki, tylko z rozumowania

METAMATEMATYCZNEGO